教学设计3：2.3.1 变量间的相关关系~ 2.3.2 两个变量的线性相关

2.3.1 变量间的相关关系

2.3.2 两个变量的线性相关

三维目标

1．知识与技能

通过收集现实问题中两个有关联变量的数据，认识变量间的相关关系．

2．过程与方法

明确事物间的相互联系．认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系．

3．情感、态度与价值观

通过对事物之间相关关系的了解， 让学生们认识到现实中任何事物都是相互联系的辩证法思想．

重点难点

重点：(1)通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；

(2)利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系．

难点：(1)变量之间相关关系的理解；

(2)作散点图和理解两个变量的正相关和负相关．

从现实生活入手，抓住学生们的注意力，引导学生分析得出概念，让学生真正参与到概念的形成过程中来．通过对典型事例的分析， 向学生们介绍什么是散点图，并总结出如何从散点图上判断变量之间关系的规律．通过实验让学生们感受散点图的主要形成过程，并由此引出线性相关关系强化本节重点．

通过学生讨论、交流，用TI图形计算器展示、对比自己作出的散点图，得出线性相关关系、正负相关关系的概念．教师及时将求线性方程的公式展示出来，通过例题的讲解和训练，进一步加深对散点图和回归方程的理解，突破难点．

教学建议

结合本节课的教学内容和学生的认知水平，充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体．通过多媒体辅助教学，充分调动学生参与课堂教学的主动性与积极性．

本节课宜采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“散点图”为基本探究内容，以周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，通过例题和变式训练进一步巩固本节知识，将自己所学知识应用于对现实生活的深入探讨．让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．

知识1 变量间的相关关系 【问题导思】

(1)吸烟可导致肺癌．

(2)下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表.

气温(℃) 25 18 12 10 4 0

杯数 18 30 37 35 50 54

(3)y＝x2＋5(x∈R)．

问题1：吸烟一定可以导致肺癌吗？吸烟与患肺癌有关吗？

提示：吸烟不一定患肺癌，但它们有一定的关系．

问题2：小卖部中卖出的热茶杯数与当天气温有关吗？两者之间是如何变化的？

提示：两者间有关系．随着气温的降低卖出的热茶杯数增加．

问题3：y＝x2＋5(x∈R)中，x，y间是什么关系？

提示：y与x间是函数关系，是一种确定关系．

1．相关关系：不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的，而是带有不确定性．

2．散点图：将样本中几个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．

3．正相关与负相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，称它为正相关．若散点图中的点分布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，称它为负相关．

知识2 回归直线方程

【问题导思】

一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺陷．按不同转速生产出有缺陷的零件的统计数据如下：

1.在平面直角坐标系中作出散点图．

【提示】

2．从散点图中判断x和y之间是否具有相关关系？ 【提示】 有．

3．若转速为10转/秒，能否预测机器每小时生产缺陷的零件件数？

【提示】 可以．根据散点图作出一条直线，求出直线方程后可预测．

1．回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

2．回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程．

3．最小二乘法

求回归直线时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

4．求回归方程

若两个具有线性相关关系的变量的一组数据为：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则所求的回归方程为

y∧＝b∧x＋a∧ ，其中a∧，b∧为待定的参数，由最小二乘法得：

 b∧＝i＝1n (xi－x ) (yi－y )i＝1n (xi－x )2＝i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx－2，a∧＝y－b∧x.

b∧是回归直线斜率，a∧是回归直线在y轴上的截距．

某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖

息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿的出生率低，于是，他就

得出一个结论：天鹅能够带来孩子.你认为这样得到的结论可靠吗？如何证明这个结论的可

靠性？

推进新课

新知探究

提出问题

（1）粮食产量与施肥量有关系吗？“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.教师的水平与学生的水平有什么关系？你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗？

（2）两个变量间的相关关系是什么？有几种？ （3）两个变量间的相关关系的判断.

讨论结果：

（1）粮食产量与施肥量有关系,一般是在标准范围内,施肥越多,粮食产量越高；教师的水平与学生的水平是相关的,如水滴石穿,三人行必有我师等.

我们还可以举出现实生活中存在的许多相关关系的问题.例如:

商品销售收入与广告支出经费之间的关系.商品销售收入与广告支出经费有着密切的联系,但商品销售收入不仅与广告支出多少有关,还与商品质量、居民收入等因素有关.

粮食产量与施肥量之间的关系.在一定范围内,施肥量越大,粮食产量就越高.但是,施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素.因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响.

人体内的脂肪含量与年龄之间的关系.在一定年龄段内,随着年龄的增长,人体内的脂肪含量会增加,但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼等有关,可能还与个人的先天体质有关.

应当说,对于上述各种问题中的两个变量之间的相关关系,我们都可以根据自己的生活、学习经验作出相应的判断,因为“经验当中有规律”.但是,不管你的经验多么丰富,如果只凭经验办事,还是很容易出错的.因此,在分析两个变量之间的相关关系时,我们需要一些有说服力的方法.

在寻找变量之间相关关系的过程中,统计同样发挥着非常重要的作用.因为上面提到的这种关系,并不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的,而是带有不确定性.这就需要通过收集大量的数据(有时通过调查,有时通过实验),在对数据进行统计分析的基础上,发现其中的规律,才能对它们之间的关系作出判断.

(2)相关关系的概念：自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系.两个变量之间的关系分两类：

①确定性的函数关系,例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；

②带有随机性的变量间的相关关系,例如“身高者,体重也重”,我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系.相关关系是一种非确定性关系.

如商品销售收入与广告支出经费之间的关系.（还与商品质量、居民收入、生活环境等有关）

(3)两个变量间的相关关系的判断：①散点图.②根据散点图中变量的对应点的离散程度,可以准确地判断两个变量是否具有相关关系.③正相关、负相关的概念.

①教学散点图 出示例题：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据：

分析数据：大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加.我们可以作散点图来进一步分析.

②散点图的概念：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图，如下图.

从散点图我们可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高.图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系,这个图支持了我们从数据表中得出的结论.

（a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系．

b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.

c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系）

③正相关与负相关的概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（注：散点图的点如果几乎没有什么规则,则这两个变量之间不具有相关关系）

类型1 线性相关关系的判断

例1 (1)下列关系中，属于相关关系的是________

①正方形的边长与面积之间的关系；

②农作物的产量与施肥量之间的关系；

③人的身高与年龄之间的关系；

④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． (2)某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示.

年龄(岁)x 1 2 3 4 5 6

身高(cm)y 78 87 98 108 115 120

①画出散点图；

②判断y与x是否具有线性相关关系．

(1)【解析】 在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；在③中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．

【答案】 (1)②④

(2)解 ①散点图如下图所示．

②由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系．

类题通法

两个变量是否相关的两种判断方法

(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断．

(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．

活学活用

如下图所示的两个变量不具有相关关系的有________．

【解析】①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．

【答案】①④

类型2 求回归直线方程

例2 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：