高中数学同步学案 函数的平均变化率

高二数学A 学案 函数的平均变化率编号：9 编制：纪登彪 审核：姜希青 时间：2012-2-17一、学习目标1、通过实例分析，理解函数平均变化率的意义；2、会求函数()f x 在0x 到0x x +∆之间的平均变化率。

二、基础知识1、函数平均变化率的定义：已知函数()01,,y f x x x =是其定义域内不同的两点，令x ∆= ，()()1010y y y f x f x ∆=-=-=，则当 时，商 称作函数()y f x =在区间[]00,x x x +∆（或[]00,x x x +∆）的平均变化率。

2、思考：若函数在[]12,x x 内的平均变化率为0，能否说明函数()y f x =没有发生变化？3、函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量x ∆取值越小，越能准确体现函数的变化规律。

三、典型例题例1、已知函数()31f x x =+，计算()f x 在-3到-1之间和在1到1x +∆之间的平均变化率。

【变式训练】：求()221y f x x ==+在0x 到0x x +∆之间的平均变化率，并求当011,2x x =∆=时平均变化率的值。

例2、已知一物体的运动方程为()223s t t x =++，求物体在1t =到1t t =+∆这段时间内的平均速度。

变式训练：一质点作直线运动，其位移s 与时间t 的关系为()21s t t =+，该质点在2到()20t t +∆∆>之间的平均速度不大于5，求t ∆的取值范围。

四、当堂训练1、已知函数2y x=，当x 由2变为1.5时，函数的改变量y ∆= 2、在平均变化率的定义中，自变量的改变量x ∆为（ ）Ａ。

0x ∆> Ｂ、0x ∆< Ｃ、0x ∆= Ｄ、0x ∆≠2、一半径为r 的圆面，当半径增大r ∆时，面积S 的增量是多少？平均变化率为多少？。

学案1.1 .1 函数的平均变化率编者：刘志英2009.2.18【课标点击】（一）学习目标（1）掌握平均变化率的概念；能通过计算平均变化率了解曲线的陡峭程度，能理解平均变化率的实际意义；（2）能熟练计算函数在某区间上平均变化率．（二）教学重点，难点（1）掌握平均变化率的概念并能熟练地计算．【课前准备】（一）问题导引问题一：如图，某市2004年4月20号最高气温为33.4C，而此前的两天，4月19号和4月18号最高气温分别为24.4C和18.6C，短短两天时间气温“陡增”14.8C，人们无不感叹：“天气热得太快了”．问题二：（1）将该市2004年3月18号最高气温为3.5C与4月18号最高气温18.6C进行比较，两者的温差为15.1C，甚至超过了14.8C，人们却不发出上述感叹，为什么？（2）从图象上观察，,B C 之间的曲线较,A B 之间的曲线谁更“陡峭”？问题答案： 用比值33.418.6()3432C B C By y x x ----来近似地量化,B C 之间的曲线的陡峭程度，并称该比值为气温在区间[32,34]上的平均变化率．即气温在区间[1,32]上的平均变化率为18.6 3.515.10.532131-=≈-． 即气温在区间[32,34]上的平均变化率为33.418.614.87.434322-==-． 虽然,B C 与,A B 之间温差几乎相同，但平均变化率却相差很大．【学习探究】（一）自学课本第3、4页知识点梳理：1， 自变量的改变量2， 函数值的该变量3， 函数的平均变化率（二）思考与讨论函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率表示为：2121()()f x f x x x --． 可以吗？ 在图形上的表现为：平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”。

（三）．典例示范例1．某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解：从出生到第3个月，婴儿体重的平均变化 率为：6.5 3.51(/)30kg -=-月． 从第6个月到第12个月，婴儿体重的平均变化 率为：118.60.4(/)126kg -=-月． 例2． 如图水经过缸吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积0.1()5t V t e-=（单位3)cm 计算第一个10s 内V 的平均变化率．解：区间[0.10]上，体积V 的平均变化率为：3(10)(0) 1.83950.3161(/)10010V V cm s --≈=--． 负号表示容器甲中的水在减少．例3．已知2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）[1,3]； （2）[1,2]； （3）[1,1.1] ； （4）[1,1.001]．解：（1）()f x 在[1,3]上的平均变化率为：22(3)(1)3143131f f --==--； （2）()f x 在[1,2]上的平均变化率为：22(2)(1)2132121f f --==--； （3）()f x 在[1,1.1]上的平均变化率为：22(1.1)(1) 1.11 2.11.11 1.11f f --==--； （4）()f x 在[1,1.001]上的平均变化率为：22(1.001)(1) 1.0011 2.0011.0011 1.0011f f --==--． 例4．已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算()f x ，()g x 在区间[31]--，[0,5]上的平均变化率．解：()f x 在区间[31]--上的平均变化率为：(1)(3)2(1)(3)f f ---=---． ()f x 在区间[0,5]上的平均变化率为：(5)(0)250f f -=-． ()g x 在区间[31]--上的平均变化率为：(1)(3)2(1)(3)g g ---=----． ()g x 在区间[0,5]上的平均变化率为：(5)(0)250g g -=--． （四）变式拓展1、一次函数y kx b =+在区间[,]m n 上的平均变化率有什么特点？（等于它的斜率）．2．函数()f x 在区间[,]m n 上的平均变化率与曲线上两点(,())m f m ，(,())n f n 间的斜率有何关系？3．练习：书5P 练习A 1，2，题（五）归纳总结：（六）当堂检测 书P 5练习A3题【巩固提高】A 组：书P 5练习B1、2题B 组：1．已知曲线212y x =上两点的横坐标是0x 和0x x +∆，求过AB 两点的直线斜率；2．一物体按规律210s t t =+作变速直线运动，求该物体从2秒末到6秒末这段时间内的平 均速度；。

1.1.1 《函数的平均变化率》教案教学目的：理解函数的平均变化率，为进一步学习导数的概念做好准备.重点难点：数学符号语言的理解.学科素养：用所学探索未知，通过数学定义的教学，体会数学研究的手段方法.一、引入与新课：【提出问题】问题1：春游爬山的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁。

怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度？【抽象概括】假设图一是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．我们先假定一小段山路是直的（曲化直）。

设点A 的坐标为(x 0，y 0)，点B 的坐标为(x 1，y 1)（如图二）．问题2：若旅游者从点A 爬到点B ，且这段山路是平直的，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？ 提示：自变量x 的改变量为x 1－x 0，记作Δx =x 1－x 0，函数值y 的改变量为y 1－y 0，记作Δy ＝y 1－y 0. 问题3：根据Δx 与Δy 的大小能否判断山坡陡峭程度？提示：图三可知，Δy 相同，Δx 不同，山坡AB 与BC 陡峭程度不同；图四可知，Δy 不同，Δx 相同，山坡AB 与BC 陡峭程度也不同。

所以根据Δx 与Δy 的大小不能判断山坡陡峭程度图一 图二图三图四问题4：观察图三和图四，可以用怎样的数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？提示：观察图三和图四可知，两边山坡的倾斜的角度可以刻画山路的陡峭程度。

联想到直线的倾斜角的定义，可知1010tan y y y k x x xθ-∆===-∆可近似地刻画． 【解决问题】显然，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比Δy Δx的绝对值越大，山坡越陡，反之，山坡越缓．现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？一个很自然的想法是将弯曲山路分成许多小段（分割），每一小段山坡可视为平直的。

函数的平均变化率教案一、教学目标1. 让学生理解函数的平均变化率的定义及其几何意义。

2. 培养学生利用导数求函数的平均变化率的能力。

3. 引导学生运用函数的平均变化率解决实际问题。

二、教学内容1. 函数的平均变化率的定义2. 函数的平均变化率的计算3. 函数的平均变化率的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的平均变化率的定义及其计算方法。

2. 教学难点：函数的平均变化率在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解函数的平均变化率的定义、计算方法及其应用。

2. 利用几何图形和实例，帮助学生形象理解函数的平均变化率。

3. 开展小组讨论，引导学生运用函数的平均变化率解决实际问题。

五、教学过程1. 导入：通过举例，如物体在直线运动中的速度变化，引入函数的平均变化率的概念。

2. 新课讲解：讲解函数的平均变化率的定义，引导学生理解函数的平均变化率的几何意义。

讲解如何利用导数求函数的平均变化率，并通过示例进行演示。

3. 案例分析：给出几个实际问题，让学生运用函数的平均变化率进行解决，巩固所学知识。

4. 课堂练习：布置一些有关函数的平均变化率的练习题，让学生独立完成，检测学习效果。

提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。

六、课后作业1. 复习本节课的内容，重点掌握函数的平均变化率的定义及其计算方法。

2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

3. 思考并解答拓展问题，提高运用能力。

七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估学生对函数的平均变化率的理解和应用能力。

3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作态度、问题解决能力等。

八、教学反思在课后对教学情况进行反思，分析学生的学习效果，针对存在的问题调整教学方法和要求，以提高教学质量。

九、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，辅助讲解函数的平均变化率的概念和计算方法。

§1.1 导 数1.1.1 函数的平均变化率【学习要求】1．理解并掌握平均变化率的概念．2．会求函数在指定区间上的平均变化率．3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．【学法指导】从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义.填一填：知识要点、记下疑难点1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ x 1－x 0 ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ，则当Δx ≠0时，商f x 0＋Δx －f x 0Δx＝_Δy Δx ___叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的 平均变化率 ．2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：Δy Δx＝_____f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1_____ 表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 斜率 .研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题．探究点一 函数的平均变化率问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答 如图，表示A 、B 之间的曲线和B 、C之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化．如用比值y C －y B x C －x B近似量化B 、C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[x B ，x C ]上的平均变化率． 问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？答 如果问题中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么问题中的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解 从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为6.5－3.53－0＝1(千克/月)． 从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为11－8.612－6＝2.46＝0.4(千克/月)． 问题3 平均变化率有什么几何意义？答 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率．x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是相应Δx ＝x 2－x 1的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零．跟踪训练1如图是函数y ＝f (x )的图象，则：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；(2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．解析 (1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12. 2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋32，－1≤x ≤1x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34. 答案 (1)12 (2)34探究点二 求函数的平均变化率例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率：(1)[1,3]；(2)[1,2]；(3)[1,1.1]；(4)[1,1.001]．解 (1)函数f (x )在[1,3]上的平均变化率为f 3－f 13－1＝32－122＝4； (2)函数f (x )在[1,2]上的平均变化率为f 2－f 12－1＝22－121＝3； 3)函数f (x )在[1,1.1]上的平均变化率为f 1.1－f 11.1－1＝1.12－120.1＝2.1； (4)函数f (x )在[1,1.001]上的平均变化率为f 1.001－f 11.001－1＝1.0012－120.001＝2.001. 小结 函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况． 跟踪训练2 分别求函数f (x )＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n )时的平均变化率．解 自变量x 从0变到1时，函数f (x )的平均变化率为1－3×1－1－01－0＝－3， 自变量x 从m 变到n 时，函数f (x )的平均变化率为1－3n －1－3m n －m＝－3. 问题 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率有什么特点？答 根据函数平均变化率的几何意义，一次函数图象上任意两点连线的斜率是定值k ，即一次函数的平均变化率是定值． 探究点三 平均变化率的应用例3 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？解 由图象可知s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)，则s 1t 0－s 10t 0<s 2t 0－s 20t 0， 所以在从0到t 0这段时间内乙的平均速度大．小结 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．跟踪训练3 甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？解 甲赚钱的平均速度为105×12＝1060＝16(万元/月)，乙赚钱的平均速度为25(万元/月)． 所以乙的经营成果比甲的好．1．函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为__－9 ________．解析 函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为f 2－f 12－1＝5－3×22－5－31＝－9. 2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为__2______．3. 甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是___乙_____．解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1t 0－W 1t 0－Δt Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2t 0－W 2t 0－Δt Δt ， 所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．课堂小结：1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢．2．求函数f (x )的平均变化率的步骤：(1)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(2)计算平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.。

1．1.1函数的平均变化率明目标、知重点1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．1．函数的平均变化率已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝ΔyΔx 叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx (或[x 0＋Δx ，x 0])之间的平均变化率． 2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的斜率．[情境导学]某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？ 探究点一函数的平均变化率思考1如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答如图，表示A 、B 之间的曲线和B 、C 之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化．如用比值y C －y Bx C －x B 近似量化B 、C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[x B ，x C ]上的平均变化率．思考2什么是平均变化率，平均变化率有何作用？答如果问题中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么问题中的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．思考3平均变化率有什么几何意义？答设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率ΔyΔx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率．x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是相应Δx ＝x 2－x 1的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零． 例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为 6.5－3.53－0＝1(千克/月)． 从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为11－8.612－6＝2.46＝0.4(千克/月)． 反思与感悟求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1如图是函数y ＝f (x )的图象，则：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 答案(1)12(2)34解析(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.探究点二求函数的平均变化率例2已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率： (1)[1,3]；(2)[1,2]；(3)[1,1.1]；(4)[1,1.001]． 解(1)函数f (x )在[1,3]上的平均变化率为 f (3)－f (1)3－1＝32－122＝4；(2)函数f (x )在[1,2]上的平均变化率为 f (2)－f (1)2－1＝22－121＝3；(3)函数f (x )在[1,1.1]上的平均变化率为 f (1.1)－f (1)1.1－1＝1.12－120.1＝2.1；(4)函数f (x )在[1,1.001]上的平均变化率为f (1.001)－f (1)1.001－1＝1.0012－120.001＝2.001.反思与感悟函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．跟踪训练2求函数y ＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？解在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx ；对任意Δx 有，k 1<k 2<k 3，∴在x ＝3附近的平均变化率最大．思考一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率有什么特点？答根据函数平均变化率的几何意义，一次函数图象上任意两点连线的斜率是定值k ，即一次函数的平均变化率是定值． 探究点三平均变化率的应用例3甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？解由图象可知s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)， 则s 1(t 0)－s 1(0)t 0<s 2(t 0)－s 2(0)t 0，所以在从0到t 0这段时间内乙的平均速度大．反思与感悟平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢． 跟踪训练3甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？解甲赚钱的平均速度为105×12＝1060＝16(万元/月)，乙赚钱的平均速度为25(万元/月)．因为乙平均每月赚的钱数大于甲平均每月赚的钱数， 所以乙的经营成果比甲的好．1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是() A ．4 B ．4.1 C ．0.41 D ．3 答案B解析v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________． 答案23．已知函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10.(1)计算从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01. (2)根据(1)中的计算，当|Δx |越来越小时，函数h (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1) ＝－4.9(Δx )2－3.3Δx ， ∴ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3. ①当Δx ＝2时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2；③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3. [呈重点、现规律]1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢． 2．求函数f (x )的平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.。

§3.1.1变化率问题【学习目标】了解平均变化率的定义。

理解公式并会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

【自学点拨】[问题1] 已知函数()x f ，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数()x f 从1x 到2x 的___________.习惯上用x ∆表示12x x -，即x ∆=___________,可把x ∆看做是相对于1x 的一个“增量”，可用+1x x ∆代替2x ，类似有=∆)(x f __________________,于是，平均变化率可以表示为_______________________[问题2] 在吹气球问题中，当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_______________[问题3]在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态?在5.00≤≤t 这段时间里，v =_________________在21≤≤t 这段时间里，v =_________________在21t t t ≤≤这段时间里，v =_________________ [问题4]对于公式，应注意：（1）平均变化率公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的_______的差。

（2）平均变化率公式中,分子、分母中同为被减数的是右端点，减数是左端点，一定要同步。

[问题5] 平均变化率=∆∆x f12)()(x x x f x f --表示什么?【课前练习】1、函数()2x x f =在区间[]3,1-上的平均变化率是（ ） x 2 AA 、4B 、2C 、41D 、43 2、经过函数22x y -=图象上两点A 、B 的直线的斜率（1,5.1==B A x x ）为_______;函数22x y =在区间[1，1.5]上的平均变化率为_________________3、如果质点M 按规律23t s +=运动，则在时间[2，2.1]中相应的平均速度等于______【课后练习】1、 已知函数1)(2+-=x x f ，分别计算()x f 在下列区间上的平均变化率 （1）[1，1.01] (2)[0.9,1] (3)[0.99,1] (4)[1,1.001]2、 已知一次函数)(x f y =在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式。

高中数学 3.1.1函数的平均变化率学案 新人教B 版选修
22
【知识要点】
一 平均变化率定义
二 函数f(x) 从x 0到x 0+△x 之间的平均变化率
函数f(x) 从x 1到x 2之间的平均变化率
是
【典例剖析】
例1：求y=x 2在x 0到x 0+△x 之间的平均变化率
例2：求y=x 2-2x+3在2到
4
9之间的平均变化率
【实战练习】
1：求y=x
1在x 0到x 0+△x 之间的平均变化率(x 0)0
2：求y= x 2在x 0到x 0+△x 之间的平均变化率,并计算当x 0=1，2，3，△x=3
1时平均变化率的值，哪个平均变化率最大、最小？
3求函数y=x 在区间[x 0，x 0+△x ] 上的平均变化率
4求函数y=lnx 在区间[1，e ] 上的平均变化率
5试比较正弦函数y=sinx 在0到6π之间和3π到2
π之间的平均变化率，那一个较大？
6对于以下四个函数：
（1）y= x （2）y= x 2 （3）y= x 3 （4）y=x
1 在区间[1,2]上函数的平均变化率最大的是？
7 国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连
续检测结果如右图所示. 试问哪个企业治污效果好. （其中W表示治污量）
【思维导图】。

函数的平均变化率教案教案：函数的平均变化率一、教学目标1.了解函数的平均变化率的概念和意义。

2.掌握计算函数在给定区间内的平均变化率的方法。

3.掌握函数的平均变化率在实际问题中的应用。

二、教学准备1.准备一些能够让学生实际体验函数的平均变化率的例子。

2.准备一些函数图像，以帮助学生理解平均变化率的概念。

3.检查计算函数平均变化率的方法和公式。

三、教学过程第一部分：引入概念1.导入问题：首先，向学生提出以下问题：如果我们关注一些物体的运动，我们如何描述它的平均速度？请学生回答。

引导学生思考速度的概念：速度是距离关于时间的变化率，即速度等于位移与时间的比值。

3.定义平均变化率：引导学生思考平均变化率的定义：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数在这个区间的平均变化率为：平均变化率=(f(b)-f(a))/(b-a)解释上述定义的含义。

引导学生通过举例来解释平均变化率的意义和计算方法。

第二部分：计算平均变化率1.案例讲解：通过一个实际问题来计算平均变化率。

例如，一辆汽车在段时间内的行驶距离。

假设汽车在0到5秒之间的行驶距离由函数f(t)=2t^2表示。

按照平均变化率的定义，可以计算出从0到5秒的平均变化率为：平均变化率=(f(5)-f(0))/(5-0)2.练习训练：让学生计算以下函数在给定区间内的平均变化率：a)f(x)=3x-1,在区间[1,5]上的平均变化率。

b)g(t)=t^2+2,在区间[-2,3]上的平均变化率。

第三部分：平均变化率的应用1.实际问题应用：给学生提供一些实际问题的例子，并要求他们计算相应的平均变化率。

例如：一个婴儿的身高和年龄的关系由函数h(t)=0.05t^2+0.5t表示（其中t表示年龄，单位为岁，h(t)表示身高，单位为米）。

学生需要计算出从1到5岁之间身高的平均变化率。

2.探究问题：让学生思考平均变化率的物理和经济含义，并展示一些相关问题的实际应用。

例如，学生可以考虑一张成绩单上各门功课的平均变化率，或者市场上其中一种商品的价格随时间的变化率。

《1.1.1函数的平均变化率》教学设计（共1课时，第1课时）【课程标准要求】通过实例理解函数的平均变化率。

【教学目标】1.理解函数平均变化率的概念。

2.会求函数的平均变化率。

3.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题。

【学情与内容分析】本节课是湘教版高中数学选择性必修第二册《第一章导数及其应用》的第1节，教材通过学生熟悉的概念平均速度出发，结合两个实例介绍函数在指定区间的平均变化率，并且总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，引导学生掌握求函数平均变化率的一般步骤.教材例题的设计，从直线运动的物体的平均速度到曲线运动的物体的平均速度，从物体的平均速度到一般函数的平均变化率，是一个逐步抽象，由特殊到一般的过程.它是从具体的实际背景出发，到舍去物理背景得到数学对象的过程，不断渗透了数学抽象的素养.新课程标准提出，通过实例分析，学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景。

平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有极其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础.【教学准备】希沃课件。

【难、重点】重点：理解函数平均变化率的概念．难点：1.会求函数的平均变化率；2.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题.【教学过程】通过教材中给出的两个具体例子作为引例，进一步理解平均速度的概念，并且总结概括出一般函数的平均变化率的定义.【引例1】（课本例1）设数轴上的动点P 在任何时刻t 的位置都能用()0.51f t t =+来表示，求该点P 在时间段[],a b 内的平均速度[],a b v . 分析： 计算得到[](),0.510.51()()0.5a b b a f b f a v b a b a+-+-===--，可见，点P 在任意时间段[],a b 内的平均速度都为0.5，所以它做匀速直线运动.作出()0.51f t t =+的图像，可以发现[],0.5a b v =就是图像上两点()()()(),,,A a f a B b f b 之间的线段AB 的斜率.【引例2】（课本例2）某物体做自由落体运动，其运动方程为212s gt =，其中t 为下落的时间（单位：s ），g 为重力加速度，大小为29.8/m s ,求它在时间段[]13，内的平均速度.分析：所求平均速度为(3)(1)219.6(/)31s s g m s -==-例3．在正弦曲线()sin f x x =上取两点()(),()22A f B f ππππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，求直线AB 的的斜率．分析：直接通过两点坐标运算斜率.解: ()()012222ABf f k ππππππ--===-- 例 4．充满气的气球近似为球体 在给气球充气时，我们都知道，开始充气时，气球膨胀较快，随后膨胀速度逐渐缓慢下来 气球膨胀实际上就是气球半径增大，表面积增大，体积增大．试描述气球的半径相对于体积的平均变化率． 分析：由生活事实可知，随着气球体积的增大，半径的增长越来越缓慢，引导学生通过平均变化率来描述这一事实.解;设气球的半径为体积为r ，则343V r π=，所以1334V r π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当0.51V ≤≤时，半径的平均变化率为1133(1)(0.5)13 1.50.2610.50.544r r ππ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎪=-≈ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当1 1.5V ≤≤时，半径的平均变化率为1133(1.5)(1)1 4.530.181.510.544.r r ππ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪=-≈ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭由上面两个结果，随着气球体积的逐渐增大，气球的半练习 1. 小球在光滑斜面上向下滚动，从开始滚动算起时间t 内所经过的距离为2()s t at =，求小球在时间段[]22h +，内的平均速度. 练习 2. 已知某化学物质在溶液中反应时的浓度随时间变化而变化（温度不变），下表记录了某温度下，该化学物质在溶液中反应时不同时刻t 的浓度()c t .试根据上表求下列时间段内的平均反应速率 （1）26t ≤≤；（2）24t ≤≤；（3）02t ≤≤.【板书设计】【评价设计】【作业设计】1、完成导学案内容2、教材P5 练习题1，2，3【教学反思】。

高中数学平均变化率教案一、教学目标：1. 掌握平均变化率的概念；2. 能够计算函数在两点之间的平均变化率；3. 能够应用平均变化率解决实际问题。

二、教学重点和难点：1. 平均变化率的概念和计算方法；2. 能够准确应用平均变化率解决实际问题。

三、教学过程：1. 导入新知识（5分钟）：通过一个生活中的例子引入平均变化率的概念，让学生了解平均变化率的重要性和应用场景。

2. 讲解平均变化率的概念和计算方法（10分钟）：通过具体的数学例题讲解平均变化率的定义和计算公式，并让学生掌握平均变化率的计算方法。

3. 练习题讲解（15分钟）：通过一些实例题和应用题，引导学生熟练掌握平均变化率的计算方法和解题技巧。

4. 小组讨论（10分钟）：分成小组，让学生根据所学知识讨论解决实际问题的方法，并在小组中相互讨论和交流。

5. 整合巩固（10分钟）：让学生根据所学知识，解决一些复杂的实际问题，巩固平均变化率的应用能力。

6. 课堂小结（5分钟）：对本节课学习内容进行总结，强调平均变化率的重要性和应用意义。

四、板书设计：1. 平均变化率的概念和计算方法；2. 函数在两点之间的平均变化率公式；3. 应用平均变化率解决实际问题的步骤。

五、课后作业：1. 完成课堂练习题；2. 练习书上相关练习题目；3. 总结平均变化率的概念和应用方法，写一份小结。

六、教学反思：通过本节课的教学，学生掌握了平均变化率的概念和应用方法，并能够熟练解决相关问题。

同时，也发现了学生在计算过程中容易犯的错误和不足之处，需要加强课后练习和巩固。

通过不断总结和反思，提高自己的教学水平，更好地引导学生学习。

教案下面是一个曲线的一个局部图形，你能判断它是直的还是弯曲的吗？如果显示出网格线，能否判断呢？这个图的全貌其实是这样的：如果我们用一个“高倍显微镜”来看曲线的一个局部，都可以近似地把它看成直线段．所以，我们也可以把弯曲的山路看成许多平直的小段组成．从学生的知识经验理解“以直代曲”．类比双曲线，理解弯曲山路中的“以直代曲”．概念的形成（四）构造数学模型表示山坡陡峭程度假设下图是一座山的剖面示意图．爬山者上升的高度y可以看成水平行进距离x的函数，这座结合函数的概山的山坡剖面图则可以看作函数y =f (x )的图象，建立平面直角坐标系如图所示．我们把山路分成许多近似平直的小段．对于AB 这一段平直的山路，放大如下图：坡度为： 1010tan y y yx x xθ-∆==-∆. 对于CD 这一段弯曲的山路，可以分成许多段，比如第一小段CD 1可以近似地看成直线段，于是这一段山路的陡峭程度可表示为：32323232()()y y f x f x y x x x x x --∆==-∆-． 一般地，任何一小段山路的陡峭程度可以表示为：11()()k k k k f x f x y x x x ++-∆=∆-．念，以函数图象表示山坡的剖面图，将实际问题数学化．用数学语言表达山路的陡峭程度．O y x D 1x 3AB k ＝y B －y A x B －x A ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝ΔyΔx ＝tan θ.概念的 巩固例 求函数y =x 在x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率． 解：当自变量从x 0变到x 0+∆x 时，函数的平均变化率为0000()()()1f x x f x x x x x x +∆-+∆-==∆∆．思考与总结：（1）函数y =2x 在x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率是什么？你有什么发现？函数y =2x 在x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率是2. 我们发现，一次函数在任何一个区间内的平均变化率等于它的一次项系数，几何意义就是直线的斜率． （2）求函数的平均变化率的主要步骤：①求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1；②求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；③求函数的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.（3）求函数在x 0附近的平均变化率，常用f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 的形式来表达．例 求函数y =x 2在x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率． 解：当自变量从x 0变到x 0+∆x 时，函数的平均变化率为2200000()()()2f x x f x x x x x x x x +∆-+∆-==+∆∆∆．计算与探索： （1）当∆x =13，x 0=1，2，3时，求函数的平均变化率；（2）当x 0=1，∆x =13，12，1时，求函数的平均变化率．通过例题研究具体函数在x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率，并研究它随着x 0及∆x 变化而变化的规律，加深和巩固对函数的平均变化率的理解．【思考】（请同学们自行思考）（1）如果10x-<∆<，它们的大小关系如何？你能结合函数的图象来解释吗？（2）与y x=的平均变化率比较，它们的大小关系如何呢？例两工厂经过治理，污水的排放流量(W)与时间(t)的关系，如图所示．试指出哪一个厂治污效果较好？分析：这是一个应用问题．读图的关键点是“治污效果”用什么量来刻画——考查函数的平均变化率的应用．解：甲、乙两厂在相同的时间内都将污水排放流量治理到标准要求．甲厂原来的排放流量较大，因而平均变化率较大，所以甲厂的治污效果较好．课堂小结本节课学习的主要内容是函数的平均变化率．学习过程从生活情境到数学情境，再到数学概念以及几何意义，初步体会了“以直代曲”的思想和数形结合的方法．概括本节课的主要知识与思想方法．布置作业（1）求223y x x=-+在2到94之间的平均变化率．（2）试比较正弦函数siny x=在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，哪一个较大？延伸巩固函数的平均变化率的概念．。

函数的平均变化率教案一、教学目标：1. 让学生理解函数的平均变化率的定义及意义。

2. 让学生掌握计算函数的平均变化率的方法。

3. 培养学生运用函数的平均变化率解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 函数的平均变化率的定义2. 函数的平均变化率的计算方法3. 函数的平均变化率在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数的平均变化率的定义及计算方法。

2. 教学难点：函数的平均变化率在实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数的平均变化率的定义及计算方法。

2. 采用案例分析法，分析函数的平均变化率在实际问题中的应用。

3. 采用互动教学法，引导学生积极参与讨论，提高学生的思维能力。

五、教学过程：1. 导入新课：通过生活中的实例，引出函数的平均变化率的概念。

2. 讲解函数的平均变化率的定义：解释函数的平均变化率的含义，让学生理解其本质。

3. 讲解函数的平均变化率的计算方法：详细讲解如何计算函数的平均变化率，并通过示例进行演示。

4. 案例分析：给出实际问题，让学生运用函数的平均变化率进行解答，巩固所学知识。

5. 课堂小结：回顾本节课所学内容，让学生总结函数的平均变化率的定义、计算方法及其应用。

6. 布置作业：设计适量作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

六、教学评价：1. 评价学生对函数的平均变化率的定义和计算方法的掌握程度。

2. 评价学生运用函数的平均变化率解决实际问题的能力。

3. 评价学生在课堂讨论中的参与度和思维能力的发展。

七、教学反馈：1. 通过课堂提问，了解学生对函数的平均变化率的定义和计算方法的掌握情况。

2. 收集学生提交的作业，评估学生运用函数的平均变化率解决实际问题的能力。

3. 听取学生的课堂反馈，了解学生在讨论中的表现和思维能力的发展。

八、教学拓展：1. 引导学生进一步研究函数的瞬时变化率，探讨其与平均变化率的关系。

2. 引入实际应用案例，让学生了解函数的平均变化率在其他领域的应用。

平均变化率一、教学目标1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。

体会数学的博大精深以及学习数学的意义。

2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。

二、教学重点、难点重点：平均变化率的实际意义和数学意义难点：平均变化率的实际意义和数学意义三、教学过程一、问题情境观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为： （理解图中A 、B 、C 点的坐标的含义）问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面） 问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？二、学生活动1、曲线上BC 之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度。

2、由点B 上升到C 点，必须考察y C —y B 的大小，但仅仅注意y C —y B的大小能否精确量化BC 段陡峭程度，为什么？3、在考察y C —y B 的同时必须考察x C —x B ，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。

(d)20三、建构数学1．通过比较气温在区间[1，32]上的变化率0．5与气温[32,34]上的变化率7．4，感知曲线陡峭程度的量化。

2.一般地,给出函数f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率2121()()f x f x x x --。

3．回到气温曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构。

4。

平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x 2—x 1很小时，这种量化便有“粗糙”逼近“精确”。

四、数学运用例1、 在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？变：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？小结：仅考虑一个变量的变化是不形的。

例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积0.1()52t V t -=⨯ （单位：3cm ）， 计算第一个10s 内V 的平均变化率。

湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 3.1.1函数的平均变化率导学案 新人教A 版选修1-1【学习目标】1.通过实例，领悟由平均变化率到瞬时变化率刻画现实的过程．2.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．3.体会导数的思想及其内涵，并能运用.【自主学习】１.平均变化率的概念是什么？２．Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率一定为正值吗？３.函数在某点处附近的平均变化率是什么？４.观察函数f (x )的图象,平均变化率y x ∆=∆1212)()(x x x f x f --表示什么? ５.求函数在某点处附近的平均变化率的步骤什么？６.“Δx →0”的意义是什么？函数f (x )在x 0处的附近的平均变化率与Δx 有关吗？ 【自主检测】1.函数y ＝f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数值的改变量Δy 为( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)2．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy ． 【典型例题】例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ；(2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx；例2．求函数f (x )=3x x +图象上从点(1,2)A 到点(1,2)B x y +∆+∆的平均变化率.【课堂检测】1．质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+（0→∆t ）中相应的平均速度为A.3B.6C.9D.12 （ ）2. 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在[1，3]区间上的平均变化率 ；()f x 在[1，2]区间上的平均变化率 .3.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率 .4．已知函数f （x ）=2x+1，g （x ）= -2x ，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f （x ）及g （x ）的平均变化率.【总结提升】定义中的x 1，x 2是指其定义域内不同的两个数，记Δx＝x 2－x 1，Δy＝f(x 2)－f(x 1)，则当Δx≠0时，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝Δy Δx 称作函数y ＝f(x)从x 1到x 2的平均变化率，理解平均变化率应注意以下几点：(1)函数f(x)在x 1，x 2处有定义；(2)x 2是x 1附近的任意一点，即Δx ＝x 2－x 1≠0，但Δx 可正可负；(3)注意变量的对应，若Δx＝x 2－x 1，则Δy＝f(x 2)－f(x 1)，而不是Δy＝f(x 1)－f(x 2)；(4)平均变化率可正可负，也可为零．在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第一册学案：第3章3.1 3.1.2 第2课时函数的平均变化率含解析第2课时函数的平均变化率学习目标核心素养1.理解斜率的含义及平均变化率的概念．（重点）2．掌握判断函数单调性的充要条件．(重点、难点)通过利用函数f（x）的平均变化证明f(x)在I上的单调性，提升数学运算和培养逻辑推理素养．科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线．请根据曲线图思考下列问题:问题（1）在区间［6,17]对应的曲线上任取不同两点A(x1，y1），B(x2,y2）,ΔyΔx＝y2－y1x2－x1一定大于零吗？(2）如果在区间［2，10]对应的曲线上任取不同两点C（x3，y3）,D（x4，y4)，错误!＝错误!一定大于零吗?1．直线的斜率（1)定义:给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1）,B(x2，y2）,当x1≠x2时，称错误!为直线AB的斜率;(若记Δx＝x2－x1,相应的Δy＝y2－y1，当Δx≠0时,斜率记为ΔyΔx)，当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在．（2)作用：直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度．2．平均变化率与函数单调性若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1），y2＝f（x2)，错误!＝错误!错误!，则：（1）y＝f（x）在I上是增函数的充要条件是错误!＞0在I上恒成立；(2）y＝f(x）在I上是减函数的充要条件是错误!＜0在I上恒成立．当x1≠x2时，称ΔfΔx＝错误!为函数y＝f（x）在区间［x1，x2]（x1＜x2时)或[x2，x1]（x1＞x2时）上的平均变化率．通常称Δx为自变量的改变量，Δy为因变量的改变量．[拓展]（1）注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δx ＝x2－x1，则Δy＝f(x2）－f(x1）;若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1）－f （x2）。

《1.1.1 函数的平均变化率》教学案3教学目标：1. 借助实例分析引入变化率的概念，为学习导数奠定基础，帮助学生理解实例的过程。

2. 理解导数的概念，掌握球导数的定义方法。

3. 理解导数的几何意义，物理意义。

重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；难点：平均变化率的概念．课前预习：1.导数的概念：函数)(x f y =，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆= ，比值 叫做函数)(x f y =在0x 到0x +x ∆之间的平均变化率， 如果当0→∆x 时， 有极限，我们就说函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f 在点0x 处的导数，记作： .2.由导数的定义可知，求函数)(x f y =在点0x 处的导数的步骤：①求函数的增量： ；②求平均变化率： ；③取极限得导数 .3.导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义是 .4.导数的物理意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的物理意义是 .5.导函数的概念:从求函数f(x)在x=0x 处导数的过程可以看出，当x=0x 时，)(0'x f 是一个确定的数，这样，当x 变化时，)('x f 便是x 的一个函数，称它为的导函数（简称导数）,y=f(x)的导函数有时也记作 即二、例题解析：例1、变化率问题：（1）质点运动规律32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中，相应的平均速度等于（ ）A 、t ∆+6B 、tt ∆+∆+96 C 、t ∆+3 D 、t ∆+9 （2）322+-=x x y 在2=x 附近的平均变化率是（ ）A 、2B 、x ∆C 、x ∆+2D 、1例2、求函数322--=x x y 在2=x 处的导数练习：求函数x y =在1=x 处的导数例3、利用导数的几何意义求切线的斜率（1）在曲线2x y =上过哪点的切线①平行于直线54-=x y ②垂直于直线0562=+-y x ③与x 轴与135°的倾斜角（2）已知曲线331x y =上一点P )38,2(，求①求点P 处的切线的斜率②求过点P 的切线的斜率③求过点P )3,2(的切线的斜率合作探究：如何利用导数的几何意义求曲线上过某点的切线方程？三、当堂检测1.曲线22x y =在点（1，2）处的瞬时变化率为：A.2B.4C.5D.62.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()lim h f x h f x h h→+-- 的值为：A.'0()f xB.'02()f xC.'02()f x -D.03.设)(x f 是可导函数，且='=∆-∆-→∆)(,2)()2(lim 0000x f xx f x x f x 则： A.0.5 B.－1 C.0 D.－2课后练习1.已知曲线122+=x y 在点M 处的瞬时变化率为-4，则点M 的坐标是：A.（1，3）B.（-4，33）C.（-1，3）D.不确定2.设函数)(x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数值的改变量是：A.)(0x x f ∆+B.x x f ∆+)(0C.x x f ∆)(0D.)()(00x f x x f -∆+3.已知函数12+=x y 的图像上一点（1，2）及邻近一点)2,1(y x ∆+∆+，则xy ∆∆等于： A.2 B.x 2 C.x ∆+2 D. 2)(2x ∆+4.若函数12)(2-=x x f 的图象上一点（1，1）及邻近一点)1,1(y x ∆+∆+，则=∆∆xy .教后反思。