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1．1.1 函数的平均变化率明目标、知重点 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．1．函数的平均变化率已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝ΔyΔx 叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx (或[x 0＋Δx ，x 0])之间的平均变化率． 2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的斜率．某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？ 探究点一 函数的平均变化率思考1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答 如图，表示A 、B 之间的曲线和B 、C 之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化．如用比值y C －y Bx C －x B 近似量化B 、C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[x B ，x C ]上的平均变化率．思考2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？答 如果问题中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么问题中的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．思考3 平均变化率有什么几何意义？答 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率．x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是相应Δx ＝x 2－x 1的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零． 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解 从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为 6.5－3.53－0＝1(千克/月)．从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为 11－8.612－6＝2.46＝0.4(千克/月)． 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则： (1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 答案 (1)12 (2)34解析 (1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎨⎧x ＋32，－1≤x ≤1x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.探究点二 求函数的平均变化率例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率： (1)[1,3]；(2)[1,2]；(3)[1,1.1]；(4)[1,1.001]． 解 (1)函数f (x )在[1,3]上的平均变化率为 f (3)－f (1)3－1＝32－122＝4；(2)函数f (x )在[1,2]上的平均变化率为 f (2)－f (1)2－1＝22－121＝3；(3)函数f (x )在[1,1.1]上的平均变化率为f (1.1)－f (1)1.1－1＝1.12－120.1＝2.1；(4)函数f (x )在[1,1.001]上的平均变化率为f (1.001)－f (1)1.001－1＝1.0012－120.001＝2.001.反思与感悟 函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．跟踪训练2 求函数y ＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？ 解 在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx ；对任意Δx 有，k 1<k 2<k 3，∴在x ＝3附近的平均变化率最大．思考 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率有什么特点？答 根据函数平均变化率的几何意义，一次函数图象上任意两点连线的斜率是定值k ，即一次函数的平均变化率是定值． 探究点三 平均变化率的应用例3 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？解 由图象可知s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)， 则s 1(t 0)－s 1(0)t 0<s 2(t 0)－s 2(0)t 0，所以在从0到t 0这段时间内乙的平均速度大．反思与感悟 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．跟踪训练3 甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？ 解 甲赚钱的平均速度为105×12＝1060＝16(万元/月)，乙赚钱的平均速度为25(万元/月)．因为乙平均每月赚的钱数大于甲平均每月赚的钱数， 所以乙的经营成果比甲的好．1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是( ) A ．4 B ．4.1 C ．0.41 D ．3 答案 B解析 v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________． 答案 23．已知函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10.(1)计算从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01. (2)根据(1)中的计算，当|Δx |越来越小时，函数h (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解 (1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1) ＝－4.9(Δx )2－3.3Δx ， ∴ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3. ①当Δx ＝2时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2；③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢． 2．求函数f (x )的平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.。
《函数的平均变化率》学习任务单【学习目标】1. 结合实例，理解函数的平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义．2. 会求简单函数在x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率．3. 在理解函数的平均变化率的过程中，体会“以直代曲”的思想与数形结合的方法．【课上任务】1. 如果山坡是平直的，我们可以用“坡度”来刻画山坡的陡峭程度．回忆一下，什么是坡度？如何用数学式子表示坡度？2. 如果山坡是弯曲的，我们怎么刻画山坡的陡峭程度？3. 曲线上一小段弯曲的线能否用平直的线来近似替代？学习经验中，有没有这种替代的例子？4. 是否可以把爬山者上升的高度y 看成水平行进距离x 的函数？把这座山的剖面图看作相应函数y =f (x )的图象？为什么？5. 如何表示一般函数的平均变化率？如何用函数的平均变化率刻画山坡的陡峭程度？6. 在函数的平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆中，∆x 为什么不等于0？可以小于0吗？∆y 呢？7. 平均变化率为正数、0、负数的含义是什么？8. 函数y =f (x )在x 0−∆x 到x 0+∆x 之间的平均变化率如何表示？9. 函数的平均变化率的几何意义是什么？10. 一次函数的平均变化率一定是常数吗？它的几何意义是什么？11.求函数的平均变化率的主要步骤有哪些？12.函数的平均变化率00()()f x x f x x +∆-∆与0x 和x ∆有关吗？它们的关系如何？ 13.本节课你学到了什么？你是如何获得这些知识的？可以谈谈自己的体会吗？【学习疑问】14．教材中哪段文字没看明白？15．本节课有几个环节？哪个环节没弄清楚？16．在学习过程中有什么困惑？17．各环节之间的联系和逻辑关系如何？【课后作业】18. 求223y x x =-+在2到94之间的平均变化率．19. 试比较正弦函数sin y x =在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，哪一个较大？【课后作业参考答案】18.解: 当自变量从x 0变到x 0+∆x 时，函数的平均变化率为22000000()()[()2()3](23)f x x f x x x x x x x x x +∆-+∆-+∆+--+=∆∆ 2002()222x x x x x x x∆+∆-∆==+∆-∆． 19.解: 正弦函数sin y x =在0到π6之间的平均变化率为 ππ()(0)sin sin 0366πππ066f f --==-； 在π3到π2之间的平均变化率为ππππ()()sin sin 2323πππ236f f --==- 正弦函数sin y x =在0到π6之间的平均变化率较大．。
一、选择题1．曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的平均变化率为( )A ．－2(Δx )2B ．－(Δx )2C ．2ΔxD ．－2Δx【解析】 Δy ＝f (0＋Δx )－f (0)＝f (Δx )－f (0)＝－2(Δx )2＋1－1＝－2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝－2(Δx )2Δx ＝－2Δx . 【答案】 D2．一物体的运动方程是s ＝5t 2，物体从1 s 到3 s 的平均速度是( )A ．30 m/sB ．20 m/sC ．40 m/sD ．45 m/s【解析】 由平均变化率的定义可知Δs ＝5×32－5×12＝5×8＝40(m)， ∴Δs Δt ＝403－1＝20(m/s)． 【答案】 B3．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy Δx ＝( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2【解析】 Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)1＋Δx －1＝4＋2Δx . 【答案】 C4．若函数f (x )＝x 2－c 在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】(m2－c)－(12－c)m－1＝3，故m＝2(m＝1舍去)．【答案】 A5．函数y＝x2＋2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0的平均变化率为k2，则()A．k1<k2B．k1>k2C．k1＝k2D．不确定【解析】k1＝(x0＋Δx)2－x20Δx＝2x0＋Δx，k2＝x20－(x0－Δx)2Δx＝2x0－Δx，∴k1－k2＝2Δx.∵Δx的正负不确定，∴k1与k2的大小关系不确定．【答案】 D二、填空题6．在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h内发现水位从105.1 m上涨到107.5 m，则水位涨幅的平均变化率是________m/h.【解析】水位涨幅的平均变化率为107.5－105.124＝0.1(m/h)．【答案】0.17．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，ΔyΔx＝________.【解析】ΔyΔx＝(2＋Δx)3－2－(23－2)Δx＝(Δx)3＋6(Δx)2＋12ΔxΔx＝(Δx)2＋6Δx＋12.【答案】(Δx)2＋6Δx＋128．某物体作自由落体运动，下落距离s (单位： m)与时间t (单位：s)满足s ＝12gt 2，则该物体在[4,5]内的平均速度为________ .【解析】 v ＝s (5)－s (4)5－4＝12×25g －12×16g ＝4.5g (m/s)．【答案】 4.5g m/s三、解答题9．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在下列区间上f (x )及g (x )的平均变化率．(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．【解】 (1)f (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝2，g (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为－2.(2)f (x )在区间[0,5]上的平均变化率为f (5)－f (0)5－0＝2，g (x )在区间[0,5]上的平均变化率为－2.10．已知一物体的运动方程为s (t )＝t 2＋2t ＋3，求物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度．【解】 物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的位移增量Δs ＝s (1＋Δt )－s (1) ＝[(1＋Δt )2＋2(1＋Δt )＋3]－(12＋2×1＋3)＝(Δt )2＋4Δt .物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝4Δt ＋(Δt )2Δt ＝4＋Δt .11．有一底面半径为r cm ，高为h cm 的倒立圆锥容器，若以n cm 3/s 的速率向容器里注水，求注水时前t s 内水面上升的平均速率．【解】 如图所示，设注水t s 时，水面高度为y cm ，此时水面半径为x cm ，则y h ＝x r ，x ＝r h y ，tn ＝π3x 2y ，∴tn ＝13π·(r h y )2·y＝π3·r 2h 2·y 3， ∴y ＝ 33tnh 2πr 2＝ 33nh 2πr 2·3t .∴在0 s 到t s 之间水面上升的平均速率为v ＝Δy Δt ＝33nh 2πr 2(3t －0)t －0＝ 33nh 2πr 23t 2 ＝ 33nh 2πr 2t 2(cm/s).。
6.1.1 函数的平均变化率课后训练巩固提升1.函数y=1在以2和2+Δx为端点的闭区间上的平均变化率是( )A.0B.1C.2D.Δx解析:ΔyΔx =1-1Δx=0.答案:A2.如图,函数y=f(x)在区间[1,3]上的平均变化率是( )A.1B.-1C.2D.-2解析:ΔfΔx =f(3)-f(1)3-1=1-32=-1.故选B.答案:B3.若函数f(x)=ax+b在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a=( )A.-3B.2C.3D.-2=a=3.解析:根据平均变化率的定义,可知(2a+b)-(a+b)2-1答案:C4.已知甲、乙两人走过的路程s1(t),s2(t)与时间t的关系如图所示,则在[0,t0]这个时间段内,甲、乙两人的平均速度v甲,v乙的关系是( )A.v甲>v乙B.v甲<v乙C.v甲=v乙D.大小关系不确定解析:设直线AC,BC的斜率分别为k AC,k BC,由平均变化率的几何意义知,v甲=k AC,v乙=k BC.因为k AC<k BC,所以v甲<v乙.答案:B5.函数y=2x在区间[0,1]上的平均变化率为.=1.解析:由题意知平均变化率为2-11-0答案:16.已知汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示.在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为v1,v2,v3,其三者的大小关系是.解析:∵v1=s(t1)-s(t0)=k MA,t1-t0v2=s(t2)-s(t1)=k AB,t2-t1v3=s(t3)-s(t2)=k BC,t3-t2由图象可知,k MA<k AB<k BC,∴v3>v2>v1.答案:v3>v2>v17.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为;函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为.解析:函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为f (1)-f (-1)1-(-1)=2-12=12.由函数f(x)的图象知,f(x)={x+32,-1≤x ≤1,x +1,1<x ≤3,故函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)-f (0)2-0=3-322=34.答案:12348.已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算函数f(x)及g(x)在区间[-3,-1],[0,5]上的平均变化率.解:函数f(x)在区间[-3,-1]上的平均变化率为f (-1)-f (-3)-1-(-3)=2.函数f(x)在区间[0,5]上的平均变化率为f (5)-f (0)5-0=2.函数g(x)在区间[-3,-1]上的平均变化率为g (-1)-g (-3)-1-(-3)=-2.函数g(x)在区间[0,5]上的平均变化率为g (5)-g (0)5-0=-2.9.已知某物体运动的位移s(单位:m)是时间t(单位:s)的函数,且其图象经过(1,2),(3,6)两点.(1)求该物体在时间段[1,3]上的平均速度;(2)估计出当t=2时物体的位移.=2(m/s).解:(1)所求平均速度为6-23-1(2)将函数在区间[1,3]上的图象看成直线,则由(1)可知,直线的斜率为2,故直线方程为s-2=2(t-1),即s=2t.当t=2时,s=4.故当t=2时物体的位移可估计为4m.。
双基达标 （限时20分钟）1．函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 中，Δx不可能是( )． A ．大于0 B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0答案 C2．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是( )．A ．4B ．4.1C ．0.41D ．3 解析 ＝（3＋2.12）－（3＋22）0.1＝4.1.答案 B3．函数y ＝x 2＋x 在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率为( )． A ．Δx ＋2 B ．2Δx ＋(Δx )2 C ．Δx ＋3 D ．3Δx ＋(Δx )2解析Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝（1＋Δx ）2＋（1＋Δx ）－（12＋1）Δx ＝Δx ＋3.答案 C4．已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________． 解析 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－(2＋1)＝－12.答案 －125．一个作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体在t ＝0到t ＝2之间的平均速度为________．解析 物体在t ＝0到t ＝2之间的平均速度为（3×2－22）－02－0＝1.答案 16．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在下列区间上f (x )及g (x )的平均变化率；(1)[－3，－1]；(2)[0，5]．解 (1)函数f (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为f （－1）－f （－3）（－1）－（－3）＝[2×（－1）＋1]－[2×（－3）＋1]2＝2，g (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为g （－1）－g （－3）（－1）－（－3）＝[－2×（－1）]－[－2×（－3）]2＝－2.(2)函数f (x )在区间[0，5]上的平均变化率为 f （5）－f （0）5－0＝（2×5＋1）－（2×0＋1）5＝2，g (x )在区间[0，5]上的平均变化率为g （5）－g （0）5－0＝－2×5－（－2×0）5＝－2.综合提高 （限时25分钟）7．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )． A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2解析Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝2（1＋Δx ）2－2Δx＝4＋2Δx .答案 C8．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为( )．A ．2Δt ＋4B ．－2Δt －4C ．4D ．－2Δt 2－4Δt解析 v ＝4－2（1＋Δt ）2－（4－2×12）Δt ＝－4Δt －2（Δt ）2Δt＝－2Δt －4. 答案 B9．已知圆的面积S 与其半径r 之间的函数关系为S ＝πr 2，其中r ∈(0，＋∞)，则当半径r ∈[1，1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为________．解析 当r ∈[1，1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为ΔSΔr ＝π（1＋Δr ）2－πΔr ＝π＋2π·Δr ＋（Δr ）2π－πΔr ＝2π＋πΔr .答案 2π＋πΔr10．国家环保局在规定的排污达标的日期前， 对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示．治污效果更好的企业是(其中W 表示排污量)________．解析 ΔW Δt ＝W （t 1）－W （t 2）Δt ，在相同的时间内，由图可知甲企业的排污量减少的多，∴甲企业的治污效果更好． 答案 甲企业11．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x 台机器的成本是c (x )＝x 3－6x 2＋15x (元)，而售出x 台的收入是r (x )＝x 3－3x 2＋12x (元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？ 解 由题意，生产并售出x 台机器所获得的利润是：L (x )＝r (x )－c (x )＝(x 3－3x 2＋12x )－(x 3－6x 2＋15x )＝3x 2－3x ，故所求的平均利润为：L ＝L （20）－L （10）20－10＝87010＝87(元)．12．(创新拓展)婴儿从出生到第24个月的 体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．解第一年婴儿体重平均变化率为11.25－3.7512－0＝0.625(千克/月)；第二年婴儿体重平均变化率为14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月)．。
