导数的概念(平均变化率)ppt

3．1导数的概念3．1.1 平均变化率某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：问题1：试比较时间x 从0 min 到20 min 和从20 min 到30 min 体温变化情况，哪段时间体温变化较快？提示：从20 min 到30 min 变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率．问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正、可负、可为零．1．平均变化率一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．平均变化率与曲线变化关系平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．对平均变化率的理解(1)由平均变化率的定义知，平均变化率可正、可负、可为零． (2)平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．[对应学生用书P36][例1] 已知函数f ((1)求函数f (x )在区间[1,1.1]上的平均变化率； (2)求函数f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率． [思路点拨] 直接利用平均变化率的定义求解即可． [精解详析] (1)f (1.1)－f (1)1.1－1＝2×1.12－2×120.1＝0.420.1＝4.2.(2)f (2.01)－f (2)2.01－2＝2×2.012－2×220.01＝8.080 2－80.01＝0.080 20.01＝8.02.[一点通] 求函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率的步骤： 第一步：求x 2－x 1； 第二步：求f (x 2)－f (x 1)； 第三步：由定义得出f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.1.如图是函数y ＝f (x )的图象，则：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12. (2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.答案：(1)12 (2)342．求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？解：在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1＜k 2＜k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大.[例2] 已知气球的体积为V (单位：L)与半径r (单位：dm)之间的函数关系是V (r )＝43πr 3.(1)求半径r 关于体积V 的函数r (V )；(2)比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 时半径r 的平均变化率，哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？[思路点拨] 首先由球的体积公式变形得到函数r (V )的解析式，再根据求平均变化率的步骤运算．[精解详析] (1)∵V ＝43πr 3，∴r 3＝3V 4π，r ＝ 33V 4π，∴r (V )＝ 33V4π.(2)函数r (V )在区间[0,1]上的平均变化率约为r (1)－r (0)1－0＝33×14π－01≈0.62(dm/L)． 函数r (V )在区间[1,2]上的平均变化率约为r (2)－r (1)2－1＝－ 33×24π－33×14π≈0.16(dm/L)．显然体积V 从0 L 增加到1 L 时，半径变化快，这说明随着体积的增加，气球的半径增加的越来越慢．[一点通] 平均变化率在实际问题中有很大作用，要把实际问题中的量与函数中的量对应起来，从而能利用平均变化率的定义来解决实际问题．3．已知某一细菌分裂的个数随时间t s 的变化满足函数关系式f (t )＝3t ＋1，分别计算该细菌在[1,2]，[3,4]，[5,6]时间段内分裂个数的变化率，由此你能得出什么结论？解：细菌分裂的个数在[1,2]内的平均变化率为 f (2)－f (1)2－1＝32－3＝6， 细菌分裂的个数在[3,4]内的平均变化率为 f (4)－f (3)4－3＝34－33＝54. 细菌分裂的个数在[5,6]内的平均变化率为 f (6)－f (5)6－5＝36－35＝486. 由此得出随时间的增加，细菌分裂的个数增加速度越来越快． 4.某商户2017年上半年的销售收入如图所示：试说明该商户1月到2月和2月到6月的经营情况．解：1月到2月，销售收入的平均变化率为6－22－1＝4(万元/月)，2月到6月，销售收入的平均变化率为12－66－2＝1.5(万元/月)．因为4＞1.5，故可说明该商户1月到2月的销售情况较好，2月到6月销售迟缓．平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势，平均变化率的绝对值反映了曲线在给定的区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，曲线在该区间上的变化越快；反之则慢．[对应课时跟踪训练(十五)]1．函数f (x )＝1x 在x ＝1到x ＝2之间的平均变化率为________．解析：f (2)－f (1)2－1＝12－11＝－12.答案：－122．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示为c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值：解析：c (70)－c (30)70－30＝0.90－0.9840＝－0.002.答案：－0.0023．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx＝________.解析：Δy Δx ＝(1＋Δx )2＋1－(1＋1)1＋Δx －1＝2Δx ＋(Δx )2Δx ＝Δx ＋2.答案：Δx ＋24．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1.1,2.21)，则该曲线在[1,1.1]上的平均变化率为________．解析：2.21－21.1－1＝0.210.1＝2.1.答案：2.15．函数y ＝f (x )＝ln x ＋1从e 到e 2的平均变化率为________． 解析：因为Δy ＝f (e 2)－f (e)＝(ln e 2＋1)－(ln e ＋1)＝1，Δx ＝e 2－e ， 所以Δy Δx ＝1e 2－e .答案：1e 2－e6．已知自由落体运动的位移s (m)与时间t (s)的关系为s ＝f (t )＝12gt 2，计算t 从3秒到3.1秒、3.001秒、3.000 1秒各段时间内的平均速度(g ＝9.8 m/s 2)．解：设Δt ＝(t ＋d )－t 指时间改变量，Δs ＝f (t ＋d )－f (t )指位移改变量． 则Δs ＝f (t ＋d )－f (t )＝12g (t ＋d )2－12gt 2＝gtd ＋12gd 2，v ＝Δs Δt ＝gtd ＋12gd 2d ＝gt ＋12gd ，所以t 从3秒到3.1秒的平均速度v ＝29.89(m/s)； t 从3秒到3.001秒的平均速度v ＝29.404 9(m/s)； t 从3秒到3.000 1秒的平均速度v ＝29.400 49(m/s)．7．路灯距地面8 m ，一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度在地面上从路灯在地面上射影点C 沿某直线离开路灯．(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式； (2)求人离开路灯的第一个10 s 内身影的平均变化率．解：(1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m ，由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BECD ，即y y ＋x ＝1.68，所以y ＝f (x )＝14x .(2)在[0,10]上身影的平均变化率为： f (10)－f (0)10－0＝14×10－14×010＝14.即人离开路灯的第一个10 s 内身影的平均变化率为14.8．若函数y ＝f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的范围．解：因为函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx ，所以由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又因为Δx ＞0，即Δx 的取值范围是(0，＋∞)．。