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•功的基本概念与性质•恒力作用下物体做功分析•功率的基本概念与计算•动能定理及其应用目录•功能关系与能量转化守恒•典型例题解析与课堂互动功的基本概念与性质功是描述力对物体做功多少的物理量，即力在空间上的积累效应。
功是能量转化的量度，表示力对物体做功的能力。
功的正负表示能量转化的方向，正功表示能量增加，负功表示能量减少。
功的定义及物理意义功是标量，只有大小，没有方向。
功的大小等于力与物体在力的方向上移动的距离的乘积。
功的单位是焦耳（J），1 J = 1N·m。
功的标量与矢量属性当力与物体移动方向相反时，力对物体做负功，物体动能减少。
当力与物体移动方向垂直时，力对物体不做功，即零功。
此时物体的动能不变，但可能发生其他形式的能量转化。
当力与物体移动方向相同时，力对物体做正功，物体动能增加。
正功、负功及零功析恒力作用下直线运动的基本概念01当物体在恒力作用下沿直线运动时，其位移方向与力的方向相同或相反。
此时，力对物体所做的功等于力与物体在力的方向上位移的乘积。
正功和负功的判定02当力的方向与物体位移的方向相同时，力对物体做正功；当力的方向与物体位移的方向相反时，力对物体做负功。
直线运动中的功的计算公式03$W = Fscostheta$，其中$W$是功，$F$是恒力，$s$是物体在力的方向上的位移，$theta$是力和位移之间的夹角。
曲线运动中的功的定义当物体在恒力作用下沿曲线运动时，力对物体所做的功等于力与物体在力的方向上投影的位移的乘积。
曲线运动中的功的计算方法首先确定物体在力的方向上的投影位移，然后根据公式$W = Fscostheta$计算功。
曲线运动中的正功和负功的判定与直线运动类似，当力的方向与物体在力的方向上的投影位移的方向相同时，力对物体做正功；当力的方向与物体在力的方向上的投影位移的方向相反时，力对物体做负功。
变力作用下物体做功探讨变力作用下物体的运动情况当物体受到变力作用时，其运动轨迹可能是直线或曲线。
功和功率（讲义）一、知识点睛1．做功的两个必要因素（1）作用在物体上的力；（2）物体在这个力的方向上移动的距离。
2．功的计算公式W= _______ 。
3．功率：表示做功____ 的物理量。
4．功率的计算：（1）定义式P= _____ ；（2）特例：机车做匀速直线运动时，牵引力的功率与牵引力的大小 F 和速度大小v 之间的关系为P= __ 。
二、精讲精练【板块一】功1. 水平面上的小车在水平方向的拉力作用下，沿拉力的方向移动一段距离。
则下列判断正确的是（）A．小车所受重力做了功B．小车所受支持力做了功C．小车所受拉力做了功D．没有力对小车做功2. 如图所示，用100N 的力将50N的物体 A 压在竖直墙壁B上，物体沿墙壁向下匀速滑行了0.5m ，则重力做的功是J，压力做的功是________________ J。
3. 一个重200N 的物体在水平拉力作用下匀速前进了25m，拉力撤销后，物体由于惯性又前进了10m。
若拉力做的功为500J,则拉力的大小为__________ N 。
4. 地震时有个男子，掉进突然裂开的地缝里，周围的人都以为他已经遇难，没想到，他又被巨大的气流从深约20m 的地方安第 2 题图全冲上地面。
估算上升过程中气流对他所做的功约为（g=10N/kg）（）A．1.2×102JB．1.2×103JC．1.2×104JD．1.2×105J5. 一个人先后用同样大小的力 F 将不同质量的物体分别在光滑水平面、粗糙水平面和粗糙斜面上沿力的方向移动相同的距 离 s （如图所示），该力在这三个过程中所做的功分别为W 1、 W 2、W 3，关于它们之间的大小关系说法正确的是（ ）A ．W 1<W 2<W 3B ．W 1<W 2=W 3C ．W 1=W 2=W 3D ． W 1=W 2<W 36. 如图所示，重为 80N 的物体在大小为 20N ，方向水平向右的拉力 F 1 作用下，在水平面上以 2m/s 速度做匀速直线运动。
一、机械能1．势能与相互作用的物体的相对位置有关的能量叫做势能，包括重力势能、弹性势能、分子势能等。
2．重力做功（1）物体的高度发生变化时，重力要做功。
物体被举高时，重力做负功；物体下落时，重力做正功。
（2）特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
3．重力势能（1）定义：物体由于处于一定的高度而具有的能量叫做重力势能，符号用E p表示。
（2）大小：等于它所受重力与所处高度的乘积。
（3）表达式：E p=mgh。
（4）单位：焦耳（J），与功的单位相同。
（5）相对性：重力势能总是相对选定的参考平面而言的（该平面常称为零势面）。
同一物体对于不同的参考平面重力势能不同，其值可能为正，也可能为负。
（6）系统性：重力势能是物体与地球所组成的系统共有的，物体不能脱离地球谈重力势能的大小。
（7）重力势能是标量，只有大小，没有方向，但是有正负。
4．弹性势能发生形变的物体，在恢复原状时能够对外界做功，因而具有能量，这种能量叫做弹性势能。
弹性势能的多少跟形变量的大小有关，跟其弹性系数也有关。
5．对重力做功和重力势能的理解（1）重力做功重力对物体所做的功只跟物体初、末位置的高度差有关，跟物体的运动路径无关。
具体可以从以下两个方面理解：①重力做功的多少，不受其他力做功的影响。
不论有多少力对物体做功，重力做功只与重力、物体在重力方向上的位移有关。
②重力做功不受运动状态、加速度等因素的影响。
（2）重力势能①系统性：重力势能是物体和地球所组成的系统共同具有的能量，不是地球上物体独有的，通常所说的物体的重力势能是一种不确切的习惯说法。
②相对性：重力势能E p=mgh与参考平面的选取有关，式中的h是物体重心到参考平面的高度。
重力势能是标量，只有大小而无方向，但有正负之分，当物体在参考平面之上时，重力势能E p为正值；当物体在参考平面之下时，重力势能E p为负值。
注意物体重力势能的正负的物理意义是表示比零势能大，还是比零势能小。
第1讲 功和功率教材知识萃取1. 一质量为m 的滑雪运动员,从高为h 的斜坡顶端由静止滑下。
下滑过程中运动员受到的阻力大小为f ,斜坡倾角为θ,重力加速度为g 。
运动员滑至坡底的过程中A.重力做的功为mgh sin θB.支持力做的功为mgh cos θC.合力做的功为(mg sin θ-f )hD.阻力做的功-�ℎsin�1.D 运动员滑至坡底的过程中,根据重力做功的特点可知重力做的功为W G =mgh ,选项A 错误;支持力始终垂直于斜面向上,运动员在支持力方向上没有位移,故支持力做的功为0,选项B 错误;阻力与位移始终方向相反,阻力做的功W f =-f ·ℎsin�=-�ℎsin�,选项D 正确;合力的做功为W 合=W G +W f =mgh -f ℎsin�,选项C 错误。
答案2. 如图为一质量为60 kg 的学生做引体向上的示意图,已知在做引起向上的过程中,学生重心的最高点与最低点的距离为h =0.5 m,g 取10 m/s 2,下列说法正确的是A.“上引”过程单杠对人做正功B.“下放”过程单杠对人做负功C.完成10个引体向上的过程中重力做的总功为3 000 JD.一次“上引”过程克服重力做的功为300 J2.D “上引”和“下放”过程中,单杠对人的力的作用点在人的双手上,人的双手没有位移,所以单杠对人不做功,AB 错误;“上引”过程中重力方向与位移方向相反,重力做负功,“下放”过程中重力方向与位移方向相同,重力做正功,且其绝对值相等,一个完整的引体向上重力所做的总功为零,C 错误;学生的质量为60 kg,一次“上引”过程,同学重心变化的高度为0.5 m,则一次“上引”过程同学克服重力所做的功为W =mgh =60 kg ×10 N/kg ×0.5 m=300 J,D 正确。
答案3. 如图甲所示,质量m=10 kg的物体静止在水平地面上,在水平推力F的作用下物体开始运动,水平推力(F)随位移(x)变化的图像如图乙所示。
课时检测(二十七) 功和功率 (双基落实课)1．(2024·全国卷Ⅱ)如图，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止起先沿粗糙水平路面运动至具有某一速度。
木箱获得的动能肯定( )A ．小于拉力所做的功B ．等于拉力所做的功C ．等于克服摩擦力所做的功D ．大于克服摩擦力所做的功解析：选A 由题意知，W 拉－W 阻＝ΔE k ，则W 拉＞ΔE k ，故A 正确，B 错误；W 阻与ΔE k 的大小关系不确定，故C 、D 错误。
2．(多选)质量为4 kg 的物体被人由静止起先向上提升0.25 m 后速度达到1 m/s ，则下列说法正确的是(g 取10 m/s 2)( )A ．人对物体做的功为12 JB ．合外力对物体做的功为2 JC ．物体克服重力做的功为10 JD ．人对物体做的功等于物体增加的动能解析：选ABC 人对物体做的功等于物体机械能的增加量，即W 人＝mgh ＋12mv 2＝12 J ，A 正确，D 错误；合外力对物体做的功等于物体动能的增加量，即W 合＝12mv 2＝2 J ，B 正确；物体克服重力做的功等于物体重力势能的增加量，即W ＝mgh ＝10 J ，C 正确。
3.如图所示，木块B 上表面是水平的，木块A 置于B 上，并与B 保持相对静止，一起沿固定的光滑斜面由静止起先下滑，在下滑过程中( )A ．A 所受的合外力对A 不做功B ．B 对A 的弹力做正功C ．B 对A 的摩擦力做正功D ．A 对B 做正功解析：选C A 、B 一起沿固定的光滑斜面由静止起先下滑，加速度为g sin θ(θ为斜面倾角)，由于A 速度增大，由动能定理知，A 所受的合外力对A 做正功，B 对A 的摩擦力水平向左，对A 做正功，B 对A 的弹力竖直向上，对A 做负功，选项A 、B 错误，C 正确；B 下滑h 高度时的速度v ＝2g sin θ·h sin θ＝2gh ，B 获得的动能E k ＝12mv 2＝mgh ，设B 下滑h 高度的过程中重力对B 做功W G ，A 对B 做功W ，其中W G ＝mgh ，由动能定理得W G ＋W ＝mgh ，解得W ＝0，即A 对B 不做功，选项D 错误。
第27课时功和功率(双基落实课)[命题者说] 功和功率是高中物理的根本概念。
高考常考查功和功率的计算。
复习本课时应注意掌握功的几种计算方法、平均功率和瞬时功率的分析、机车启动问题等。
一、功的理解和正负判断1.做功的两个要素：力和物体在力的方向上发生的位移。
2．公式：W＝Flcosα(1)α是力与位移方向之间的夹角，l是物体对地的位移。
该公式只适用于恒力做功。
3．功的正负(曲线运动中α是力与速度方向之间的夹角)夹角功的正负α＜90°力对物体做正功α＝90°力对物体不做功α＞90°力对物体做负功或说成物体克服这个力做了功[小题练通]1．判断正误只要物体受力且发生位移，那么力对物体一定做功。
(×)(2)如果一个力阻碍了物体的运动，那么这个力一定对物体做负功。
(√)摩擦力可能对物体做正功、负功，也可能不做功。
(√)作用力做正功时，反作用力一定做负功。
(×)力对物体做功的正负是由力和位移间的夹角大小决定的。
(√)力始终垂直物体的运动方向，那么该力对物体不做功。
(√)(7)摩擦力对物体一定做负功。
(×)2.如下列图，拖着旧橡胶轮胎跑步是身体耐力训练的一种有效方法。
如果某受训者拖着轮胎在水平直道上跑了100m，那么以下说法正确的选项是()A．轮胎受到地面的摩擦力对轮胎做负功B．轮胎受到的重力对轮胎做正功C．轮胎受到的拉力对轮胎不做功D．轮胎受到的地面的支持力对轮胎做正功解析：选A根据力做功的条件，轮胎受到的重力和地面的支持力都与位移垂直，这两个力均不做功，选项B、D错误；轮胎受到地面的摩擦力与位移反向，做负功，A项正确；轮胎受到的拉力与位移夹角小于90°，做正功，C项错误。
3.如下列图，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的摩擦因数μ，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左做匀加速运，体m与斜面体相静止。
关于斜面m的支持力和摩擦力的以下法中的是A．支持力一定做正功B．摩擦力一定做正功C．摩擦力可能不做功D．摩擦力可能做功解析：B支持力方向垂直斜面向上，故支持力一定做正功。
而摩擦力是否存在需要，假设摩擦力恰好零，物体只受重力和支持力，如所示，此加速度a＝gtanθ，当a>gtanθ，摩擦力沿斜面向下，摩擦力与位移角小于90°，做正功；当a<gtanθ，摩擦力沿斜面向上，摩擦力与位移角大于做功。
上所述，B是的。
运中物() 90°，功是量，只有大小没有方向。
功的正即不表示大小，也不表示方向。
公式中l物体的位移，而不是力作用点的位移。
二、功的算[方法1：利用定式算恒力的功]恒力做的功：直接用W＝Flcosα算。
合力做的功方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcosα求功。
方法二：先求各力做的功W1、W2、W3、⋯再用W合＝W1＋W2＋W3＋⋯求合力做的功(代数和)。
[例1](多)如所示，水平路面上有一量M的汽，中有一个量m的人正用恒力F向前推，在以加速度a向前加速行距离L的程中，以下法正确的是()A．人的推力F做的功FLB．人做的功maLC．人的作用力大小maD．人的摩擦力做的功(F＋ma)L[解析]由做功的定可知A正确；人行受力分析，人受重力以及人的力，合力的大小ma，方向水平向左，故人的作用力大小ma 2＋mg2，C；上述程重力不做功，合力人做的功maL，所以人做的功maL，由相互作用力及人、车的位移相同可确定，人对车做的功为－maL，选项B错误；对人由牛顿第二定律知，在水平方向上有F f－F＝ma，摩擦力做的功为(F＋ma)L，选项D正确。
[答案]AD[方法2：利用微元法求变力做功]将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。
此法在中学阶段，常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
[例2](2021·昆明模拟)如下列图，在水平面上，有一弯曲的槽道AB，槽道由半径分别为R和R的两个半圆构成。
现用大小恒为F的拉力将2一光滑小球从A点沿槽道拉至B点，假设拉力F的方向时刻与小球运动方向一致，那么此过程中拉力所做的功为()A．0B．FR3C．2πFR D.2πFR[解析]因为F的方向不断改变，不能用W＝Flcosα求解，但由于拉力F的方向时刻与小球运动方向一致，可采用微元法，把小球的位移分割成许多小段，在每一小段位移上作用在小球上的力F可视为恒力，F做的总功即为F在各个小段上做功的代数和，由此得：＝1R＋13。
W·2π··2Rπ＝πFRF2222[答案]D[方法3：化变力为恒力求变力做功]变力做功直接求解时，通常都比较复杂，但假设通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，用W＝Flcosα求解。
此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。
[例3]如下列图，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。
假设从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，那么()A．W1＞W2B．W1＜W2C．W1＝W2D．无法确定W1和W2的大小关系[解析]绳子对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力的功转化为恒力的功；因绳子对滑块做的功等于拉力F对绳子做的功，而拉力F为恒力，W＝F·Δl，l为绳拉滑块过程中力 F 的作用点移动的位移，大小等于滑轮左侧绳长的缩短量，由题图可知， l AB ＞l BC ，故W 1＞W 2，A 项正确。
[答案]A[方法4：利用平均力求变力做功]在求解变力做功时，假设物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，那么可以认为物体受到一大小为 F ＝F 1＋F 2的恒力作用，F 1、F 2分别为物体初、末2态所受到的力，然后用公式 W ＝Flcos α求此力所做的功。
[例4] 把长为l 的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为 E 0，钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比， 比例系数为 k 。
问此钉子全部进入木板需要打击几次？[解析] 在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。
钉子在整个过程中受到的平均阻力为： F ＝ 0＋kl ＝ kl2 2钉子克服阻力做的功为：W F ＝Fl ＝1kl 22设全过程共打击 n 次，那么给予钉子的总能量：2E总＝nE 0＝1kl 2，所以n ＝kl。
2 2E 0[答案]kl 22E 0[方法5：利用动能定理求变力做功 ]动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功，也适用于求变力做功。
因使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力做功的首选。
[例5] (2021·南高考海)如图，一半径为 R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m 的质点自轨道端点 P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的正压力为2mg ，重力加速度大小为 g 。
质点自 P 滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为 ( )11A.4mgRB.3mgR1πC.2mgRD.4mgR[解析] 在Q 点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心2力，所以有F N －mg ＝m vR ，F N ＝2mg ，联立解得v ＝ gR ，下落过程中重力做正功，摩擦力做负功，根据动能定理可得1211 mgR－W f＝m v，解得W f＝mgR，所以克服摩擦力做功2 22mgR，C正确。
[答案]C[方法6：利用F-x图像求变力做功]在F-x图像中，图线与x轴所围“面积〞的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积〞为正，位于x轴下方的“面积〞为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规那么的几何图形)。
[例6]某物体在变力F作用下沿水平方向做直线运动，物体的质量m＝10kg，F随物体的坐标x的变化情况如下列图。
假设物体从坐标原点由静止出发，不计一切摩擦。
借鉴教科书中学习直线运动时由v-t图像求位移的方法，结合其他所学知识，根据图示的F-x图像可求出物体运动到x＝16m处时的速度大小为()A．3m/s B．4m/sC．22m/s D. 17m/s[解析]力F在运动过程中所做的总功W F＝10×4J＝40J，由动能定理得：W F＝1m v2－0，2解得物块运动到x＝16m处的速度大小为v＝22m/s，C正确。
[答案]C[方法7：利用W＝Pt求变力做功]这是一种等效代换的观点，用W＝Pt计算功时，必须满足变力的功率是一定的这一条件。
[例7]汽车质量为m,输出功率恒为P,沿平行公路前进距离x的过程中，其速度由v1增至最大速度v2，假设汽车在运动过程中所受阻力恒定，那么汽车通过距离x所用的时间为多少？[解析]牵引力做功W等于汽车增加的动能E k和克服摩擦力所做的功W f W＝E k＋W f1212E k＝m v2－m v122速度到达最大值v2时，牵引力等于摩擦力F f由P＝F v＝F f v得：F f＝P2xP克服摩擦力所做功：W f＝F f x＝v21 21 2＋ xPW ＝m v2－m v 1v 222由于汽车以不变的功率 P 行驶，W ＝Pt所以经历的时间1 m v2 21 2xP22W 2 －m v 1 ＋x2v 2m v 2－m v 1t ＝P ＝P＝2P＋v 2 。
22[答案]m v 2 －m v 1＋x2P v 2三、功率的理解与计算1.功率：功与完成这些功所用时间的比值。
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢。
3．公式：W(1)P ＝t ，P 为时间t 内的平均功率。
(2)P ＝F vv 为平均速度，那么P 为平均功率。
②v 为瞬时速度，那么P 为瞬时功率。
4．对公式P ＝F v 的几点认识公式P ＝F v 适用于力F 的方向与速度v 的方向在一条直线上的情况。
(2)当力F 和速度v 不在同一条直线上时，可以将力 F 分解或者将速度v 分解。
5．额定功率：机械可以长时间工作的最大输出功率。
6．实际功率：机械实际工作时的输出功率，要求不大于额定功率。
[小题练通]1．一个质量为m 的物块，在几个共点力的作用下静止在光滑水平面上。
现把其中一个 水平方向的力从 F 突然增大到 3F ，并保持其他力不变，那么从这时开始到t 秒末，该力的瞬时功率是()3F 2t 4F 2t A.mB.m 6F 2t 9F 2tC.mD.m解析：选C物块受到的合力为2F ，根据牛顿第二定律有2F ＝ma ，在合力作用下， 物块做初速度为零的匀加速直线运动，速度 v ＝at ，该力大小为3F ，那么该力的瞬时功率P＝3F v ，解以上各式得P ＝6F 2t ，C 正确。
