第2课时坡比与圆弧问题1．一坡面的坡比为1∶ 3 ,那么坡角α为( C )A．15°B．20° C．30°D．45°2．如图1－3－12 ,坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2 m ,那么两树间的坡面距离AB 为( C )图1－3－12A．4 m B. 3 m C.433m D．4 3 m3．如图1－3－13 ,河坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比) ,坝高BC＝3 m ,那么坡面AB的长度是( B )A．9 m B．6 m C．6 3 m D．3 3 m图1－3－134．[2019·泰州]小明沿着坡度i为1∶3的直路向上走了50 m ,那么小明沿垂直方向升高了__25__m.【解析】第4题答图如答图 ,过点B作BE⊥AC于点E ,∵坡度i＝1∶ 3 ,∴tan A＝1∶3＝3 3 ,∴∠A＝30° ,∵AB＝50 m ,∴BE＝12AB＝25(m) ,即小明沿垂直方向升高了25 m.5．[2019·德阳]如图1－3－14所示 ,某拦水大坝的横断面为梯形ABCD ,AE ,DF为梯形的高 ,其中迎水坡AB的坡角α＝ 45° ,坡长AB＝6 2 m ,背水坡CD的坡比i＝1∶3(i为DF与FC的比值) ,那么背水坡的坡长为__12__m.图1－3－14【解析】锐角三角函数的简单实际应用．在等腰直角三角形ABE中 ,AB＝6 2 ,AE＝DF＝6 ,由坡比知∠C＝30° ,那么CD＝2DF＝12.6．如图1－3－15 ,AB是⊙O的直径 ,弦CD⊥AB ,垂足为E ,如果AB＝26 ,CD＝24 ,那么sin∠OCE＝__513__．【解析】 由题意 ,得OC ＝12AB ＝12×26＝13 ,CE ＝12CD ＝12×24＝12 ,∴在Rt △OCE 中 ,OE ＝OC 2－CE 2＝132－122＝5 ,那么sin ∠OCE ＝OE OC ＝513. 图1－3－15 图1－3－167．[2019·内江]如图1－3－16 ,AB 是⊙O 的直径 ,弦CD ⊥AB 于点E ,⊙O 半径为 3 cm ,弦CD的长为3 cm ,那么阴影局部的面积是 ⎝⎛⎭⎪⎫π－334 cm 2 ． 【解析】 ∵CD ⊥AB ,∴CE ＝ED ＝12CD ＝32.在Rt △OEC 中 ,sin ∠COE ＝CE OC ＝323＝32,∴∠COE ＝60°.∴OE ＝OC cos ∠COE ＝3×12＝32.∴S △OCD ＝12OE ·CD ＝12×32×3＝334cm 2.∵∠COE ＝60° ,∴∠COD ＝120°.∴S 扇形OCD ＝120π×〔3〕2360＝π cm 2 , ∴S 阴影＝S 扇形OCD －S △OCD ＝⎝⎛⎭⎪⎫π－334 cm 2. 8．[2019·泸州]如图1－3－17 ,为了测量出楼房AC 的高度 ,从距离楼底C 处60 3 m 的点D (点D 与楼底C 在同一水平面上)出发 ,沿斜面坡比为i ＝1∶3的斜坡DB 前进30 m 到达点B ,在点B 处测得楼顶A 的仰角为53° ,求楼房AC 的高度(参考数据：sin53°≈0.8 ,cos53°≈0.6 ,tan53°≈43,计算结果用根号表示 ,不取近似值)． 图1－3－17 第8题答图解：如答图 ,过点B 作BE ⊥CD 于点E ,BF ⊥AC 于点F ,那么四边形CEBF 是矩形．∵斜坡DB 的斜面坡比为i ＝1∶ 3 ,∴∠D ＝30° ,在Rt △BED 中 ,BD ＝30 m ,∴BE ＝BD ·sin30°＝15(m) ,ED ＝BD ·cos30°＝153(m) ,∴BF ＝CE ＝CD －ED ＝453(m) ,在Rt △AFB 中 ,∠ABF ＝53° ,∵tan ∠ABF ＝AF BF, ∴AF ＝BF ·tan53°≈603(m) ,∴AC ＝AF ＋CF ＝(603＋15)m.答：楼房AC 的高度是()603＋15 m.9．如图1－3－18 ,某仓储中心有一斜坡AB ,其坡比为i ＝1∶2 ,顶部A 处的高AC 为4 m ,B ,C 在同一水平面上．(1)求斜坡AB 的水平宽度BC ；(2)矩形DEFG 为长方形货柜的侧面图 ,其中DE ＝2.5 m ,EF ＝2 m ．将货柜沿斜坡向上运送 ,当BF ＝3.5 m 时 ,求点D 离地面的高．(5≈2.236 ,结果精确到0.1 m)图1－3－18 第9题答图解：(1)∵斜坡AB 的坡比为i ＝1∶2 ,∴AC BC ＝12,∵AC ＝4 m ,∴BC ＝8 m ； (2)如答图 ,过点D 作BC 的垂线 ,垂足为H ,交AB 于点M .在矩形DEFG 中 ,∠DGM ＝90° ,DG ＝EF ＝2 m ,GF ＝DE ＝2.5 m ,∴∠DGM ＝∠BHM ,∵∠DMG ＝∠BMH ,∴△DMG ∽△BMH ,∴GM DG ＝HM BH ＝12, ∴GM ＝1 m ．∴FM ＝1.5 m ,DM ＝ 5 m ,∴BM ＝FM ＋BF ＝5(m) ,在Rt △BHM 中 ,BM 2＝MH 2＋BH 2 ,BH ＝2MH ,∴MH ＝ 5 m ,∴DH ＝2 5 m ≈4.5 m.答：点D 离地面的高为4.5 m.10．[2019·济宁]某地一人行天桥如图1－3－19所示 ,天桥高6 m ,坡面BC 的坡比为1∶1 ,为了方便行人推车过天桥 ,有关部门决定降低坡比 ,使新坡面AC 的坡比为1∶ 3.图1－3－19(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8 m 处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要撤除？请说明理由．解：(1)由tan α＝13＝33,得α＝30°； (2)如答图 ,过点C 作CD ⊥AB 的延长线于点D ,那么CD ＝6 m.∵CD AD ＝13,∴AD ＝6 3 m ,∵BD ＝CD ＝6 m ,∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)m ,∵63－6＜8 ,即AB ＜PB .∴文化墙PM 不需要撤除．第10题答图11．[2019·海南]为做好防汛工作 ,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固 ,专家提供的方案是：水坝加高2 m(即CD ＝2 m) ,背水坡DE 的坡度i ＝1∶1(即DB ∶EB ＝1∶1) ,如图1－3－20.AE ＝4 m ,∠EAC ＝130° ,求水坝原来的高度BC .(参考数据：sin50°≈0.77 ,cos50°≈0.64 ,tan50°≈1.2)图1－3－20解： 设BC ＝x m ,在Rt △ABC 中 ,∵∠CAB ＝180°－∠EAC ＝50° ,∴AB ＝BC tan50°≈56x ,在Rt △EBD 中 ,∵i ＝DB ∶EB ＝1∶1 , ∴BD ＝BE ,∴CD ＋BC ＝AE ＋AB ,即2＋x ＝4＋56x ,解得x ＝12 ,即BC ＝12. 答：水坝原来的高度BC 约为12 m.12．[2019·厦门校级一模]如图1－3－21 ,在半径为r 的⊙O 中 ,直径AB 与弦CD 相交于点P ,CE ⊥DA 交DA 的延长线于点E ,连结AC .(1)假设AD ︵的长为29πr ,求∠ACD 的度数； (2)假设AC ︵＝BC ︵ ,tan ∠DAB ＝3 ,CE －AE ＝3 ,求r 的值．图1－3－21 第12题答图解：(1)如答图 ,连结OD .∵AD ︵的长为29πr ,⊙O 的周长＝2πr , ∴∠AOD ＝360°×29πr 2πr＝40° , ∴∠ACD ＝12∠AOD ＝20°； (2)如答图 ,连结BD .∵AC ︵＝BC ︵ ,∴∠ADC ＝45° ,∵CE ⊥DA ,∴∠AEC ＝90° ,∴DE ＝CE ,∵CE －AE ＝3 ,∴AD ＝DE －AE ＝3 ,∵AB 是⊙O 的直径 ,∴∠ADB ＝90° ,∵tan ∠DAB ＝3 ,∴BD ＝9.∴AB＝AD2＋BD2＝310 ,∴r＝3210.13．如图1－3－22 ,一楼房AB后有一假山 ,其坡比i＝1∶ 3 ,山坡坡面上点E处有一休息亭 ,测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25 m ,与亭子距离CE＝20 m．小丽从楼房顶测得点E的俯角为45° ,求楼房AB的高．图1－3－22 第13题答图解：如答图 ,过点E作EF⊥AB于点F ,EH⊥BC于点H.∵i＝1∶ 3 ,∴tan∠ECH＝33,∴∠ECH＝30° ,∴EH＝CE·sin30°＝20×12＝10(m) ,CH＝CE·cos30°＝20×32＝103(m)．又∵BC＝25 m ,∴EF＝BH＝BC＋CH＝(25＋103)m.∵点E的俯角为45° ,∴AF＝EF＝(25＋103) m. 又∵BF＝EH＝10 m ,∴AB＝AF＋BF＝(35＋103) m.答：楼房AB的高为(35＋103)m.。
