反证法优秀课件

一、问题情境 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”
你能对小华的判断说出理由吗？
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。
小华的理由：
我们可以把这种说理方法总结一下：
1．反证法 假设原命题______(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________，从而证明了__________，这种证明方法叫做反证法． 2．反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与________、____、____、____等矛盾．
A
B
C
P
证明：假设PB=PC。 在△ABP与△ACP中 AB=AC(已知） AP=AP（公共边） PB=PC（已知） ∴△ABP≌△ACP（S.S.S) ∴∠APB=∠APC(全等三角形对应边相等） 这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾，假设不成立. ∴PB≠PC
作业： 练习：学案中巩固提高 习题91页：A组
独立 作业
谢谢大家
0
（平行四边形对边平行）
证明：假设CD、BE互相平分
连结DE，故四边形BCED是平行四边形
∴BD∥CE
这与BD、CE交于点A矛盾
假设错误， ∴CD、BE不能互相平分
变式训练1 已知a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ca不大于零． 证明：假设ab＋bc＋ca>0， 因为a2＋b2＋c2≥0. 则(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)>0. 所以(a＋b＋c)2>0，即a＋b＋c≠0，这与a＋b＋c＝0矛盾，所以假设不成立，故ab＋bc＋ca≤0.
显然这与故事中的李树长满果子相矛盾。说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？

摆好香案，端坐弹琴，态度从容，琴声幽雅，
司马懿见此情景，心中疑虑：“诸葛亮
一生精明过人，谨慎有余，从不冒险，
今天如此这般，城内恐怕必有伏兵，有
意诱我入城，绝不能中计也。”
数学中常见实例分析：
1.a 0, b 0, a b 1, 求证：a, b中至少有
1
一个不大于 .
2
2.a, b, c不全为零，a b c 0, 求证：a, b, c
只有一个根．
点评：“有且只有”包含了“有根”和“只有这个
根”两层意思．由于a≠0，因此方程至少有一

个根＝ .从正面较难说明为什么只有这个

根．故我们采用反证法．
试一试
求证：在一个三角形中，
至少有一个内角小于或等
于60°.
A
B
C
证明：假设结论不成立，即：
＜
＜
＜
∠A___ 60°, ∠B ___ 60°,
（1）a是实数。
（2)a大于2。
a小于或等于２
a不是实数
（3）a小于2。
（4）至少有2个
a大于或等于２
最多有1个
（5）最多有一个
（6）两条直线平行。
至少有两个
两直线不平行
巩固新知
2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”
的第一步是 假设a=b 。
巩固新知
3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相
中至少有一个大于0.
定义
假设原命题 不成立 ，经过正确的推理，最后得出矛
假设错误
盾，因此说明________，从而证明了
这样的证明方法叫做反证法.
原命题成立，
反证法常见的矛盾类型

高效展示
目标与要求 1. 规范认真，步骤严谨， 板书整洁； 2. 不但要展示解题过程， 更重要的是展示规律、数 学思想方法，以及 注意的问题、拓展等。 3. 非展示同学：在同学展 示的时候继续讨论或记忆 总结.并学会倾听，学会 整理自己的答案，准备点 评、补充和质疑.
展示ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题
小组
例3 达标练习2题 达标练习3题
原词语
等于
否定词
不等于 不是
原词语 任意的
至少有一个
否定词
某个
是 都是 大于 小于
一个也没有 不都是 至多有一个 至少有两个 不大于 至少有n个 至多有（n-1)个 大于或等于 至多有n个 至少有（n+1)个 存在某x, 成立
对所有x, 存在某x， 对任何x， 不成立 成立 不成立
例1 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根。
与x1 x 2矛盾
故假设不成立，结论成立。
注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,
是唯一性问题,常用反证法
例2：
求证： 列
解题反思：
2 , 3 , 5 不可能成等差数
•证明本题时，你是怎么想到反证法的？ •反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻辑矛盾是什么？
注：否定型命题(命题的结论是“不可能……”，
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样 的推理方法?
王戎的推理方法是:
假设李子不苦, 则因树在“道”边,李子早就被
别
人采摘,
这与“多子”产生矛盾.
发生在身边的例子:
妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天在外 地旅游. 小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和 她妈妈呢! 上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么?

用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏；
（2）推理过程必须完整，否则不能说 明命题的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断 定推出的结果是错误的。
1、写出下列各结论的反面：
（1）a//b
a∥b
（2）a≥0
张飞“想了一想”,佯断少妇偷瓜,命少妇跟随恶少 回家,又命恶少把三个大瓜抱回去.恶少左抱右抱,抱 了这个滚了那个,怎么也抱不过来,张飞虎眉一竖,拍 案而起,痛斥恶少:”你堂堂男子汉,三个瓜都抱不动, 她是弱女子,又抱小孩,怎能偷你三个大瓜?分明是你 污蔑.”恶少哑口无言,只得承认.
同学们，你认为张飞的判 断方法高明吗？他的推理 方法是怎样的?
平行”相矛盾，
所以假设不成立， 即l2∥l3
已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l2∥l1,l3 ∥ l1，
求证：l3∥l2 证明：
作直线l交直线 l 1 于点P。
∵l
∥
1
l
2，l3
∥l1
（已知）
l1
l2 l3
l
P
１
2 ３
∴ 直线l必定与直线l2,l3相交
（在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线
已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.
求证: l3与l2 相交.
证假明设: 假设__l_3与__l2_不__相__交_._,
那么__l_3∥__l2____.
推因理为已知___l_1_∥_l2___,
l3
P
l1
Hale Waihona Puke l2所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,

2.反证法可以适用的两种情形 (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结 论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从 反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.
用反证法证明否定性命题 【技法点拨】
1.用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命 题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具 体，适合使用反证法
【归纳】 (1)用反证法证题时，若原命题的反面不唯一时怎么 办？(2)宜用反证法证明的题型有哪些？ 提示：(1)用反证法证明命题时，若原命题的反面不唯一，这 时要把每一种情况一一否定，不能遗漏. (2)宜用反证法证明的题型有： ①易导出与已知矛盾的命题； ②“否定性”命题；
③“唯一性”命题； ④“必然性”命题； ⑤“至多”“至少”类的命题； ⑥涉及“无限”结论的命题等.
用反证法证明唯一性命题 【技法点拨】
用反证法证明唯一性命题的一般思路 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性 和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存 在”等形式出现的命题时，由于假设结论易导出矛盾，所以用 反证法证其唯一性比较简单明了.
【典例训练】(建议教师以第2题为例重点讲解) 1.在用反证法证明“两条相交直线有且只有一个交点”时的反 证应分为________和___________________. 2.求证方程2x=3有且只有一个根.
【解析】1.两条直线的交点个数包括：没有交点，有且只有一 个交点和不只有一个交点.故“有且只有一个交点”的反设应为 无交点和不只有一个交点. 答案：无交点 不只有一个交点
2.因为2x=3，所以x=log23.这说明方程有一个根.下面用反证 法证明方程2x=3的根是唯一的. 假设方程2x=3有两个根x1,x2(x1≠x2)， 则 2x1 3, 2两x2 式3,相除，得 =1.2x1x2 若x1-x2＞0，则2x1x＞2 1,这与 2x=1x12 矛盾； 若x1-x2＜0，则2x1x＜2 1,这也与 2=x11x2矛盾， 因此只能x1-x2=0，这与x1≠x2矛盾. 如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾.故2x=3只有一个根.

2.2直接证明与间接证明
2.2.2
间接证明
一、复习
1、直接证明的两种基本证法：综合法和分析法 2、这两种基本证法的推证过程和特点： 综合法 — —已知条件⇒ ⇒ ⇒ 结论 由因导果 分析法 — —结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法提供思路，再由综合法写过程
二.练习
1.已知a,b,c是不全相等的正数，且0 < x < 1. 求证： a+b b+c c+a log x + log x + log x 2 2 2 < log x a + log x b + log xc
2.设a,b是异面直线，在a上任取两点A,C， 在b上任取两点B,D， 试证：AB和CD也是异面直线.
否定结论q
逻辑矛盾
为
假
为
真
注3.反证法的证明过程可以概括为： 否定结论——推出矛盾——肯定结论， 即三个步骤：反设—归谬—存真 注4.用反证法证明的步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立 （反设） （2）从反设和已知条件出发，经过一系列正确的推理， 得出矛盾结果（归谬） （3）由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立 （存真）
例2.已知四面体S－ABC中，SA⊥底面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上 的射影． 求证：H不可能是△SBC的垂心．
解题反思：
证明该问题的关键 是哪一步？ 本题中得到的逻辑 矛盾归属哪一类？
例3：求证：正弦函数没有比2π 小的正周期.
解题反思：
证明该问题的关键是哪一步？ 本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？
A
C a

已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3
求证： l１∥l３
p
l１ l２ l３
证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交,设交点为p.
∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有 且只有一条直线平行于已知直线”矛盾．
所以假设不成立，所求证的结论成立， 即 l１∥l３
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那
么这两条直线也互相平行.
l
(3)不用反证法证明
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 求证: l1∥l3
2 l1
p1
l2
证明:作直பைடு நூலகம்l交直线l2于点p，
3
l3
∵l1∥l2 ,l 2∥l 3
∴直线l必定与直线l2，l3相交（在同一平面内，
小芳全家没外出旅游.
假设小芳全家外出旅游, 那么今天不可能碰到小芳, 与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾, 所以假设不成立, 所以小芳全家没有外出旅游.
在证明一个命题时,有时先假设命题 不成立,从这样的假设出发,经过推理得出 和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理 等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误 的,即所求证的命题正确。这种证明方法 叫做反证法。
已知：如图，四边形ABCD 求证：四边形ABCD中至少有
一个角是钝角或直角. 证：假设四边形中没有一个角是钝角或直角.
即A 90, B 90, C 90, D 90
于是A+B+C+D 360
这与四边形内角和等于360度相矛盾
所以四边形中至少有一个角是钝角或直角.
试一试
用反证法证明（填空）:在三角形的内角中， 至少有一个角大于或等于60°. 已知: ∠A，∠B，∠C是△ABC的内角. 求证: ∠A，∠B，∠C中至少有一个角大 于

.. 导. 学 固思
问题1 如何证明上述结论呢?
证明:假如
不是妈妈打破的 ,妈妈一定会大骂,当时是没
有.所以结论是妈妈打破了盘子.
问题2 反证法的意义及用反证法证明命题的基本步骤
假设命题结论的 证明方法叫反证法.
反面 成立,经过正确的推理,引出
矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的
用反证法证明问题的基本步骤:
3
C ).
2

用反证法证明命题“如果 a>b,那么 3 ������ > ������”时,假设的内 容应是( D ).
A. 3 ������ = ������ C. 3 ������ = ������且 3 ������ < ������
3 3
3 3
B. 3 ������ < ������
3
3
D. 3 ������ = ������或 3 ������ < ������
问题4 适合用反证法证明的试题类型
(1)直接证明困难, (2)需分成很多类进行讨论, (3)结论为“至少”“至多”“有无穷多个”类命题, (4)结论为“唯一”类命题.
.. 导. 学 固思
1
否定结论“方程至多有两个解”的说法中,正确的是(
A.有一个解 C.至少有三个解 B.有两个解 D.至少有两个解
明:数列{cn}不是等比数列.
【解析】假设数列{cn}是等比数列,则(an+bn) =(an-1+bn-1)(an+1+bn+1),① 因为{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为 p,q,所以 2 2 ������������ =an-1an+1,������������ =bn-1bn+1, 代入①并整理得:2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1=anbn( + ),即 2= + ,②

步骤再探究
1、假设命题结论不成立
否定原命题的结论要严密，防止否定不 当或有遗漏
2、推理论证，得出矛盾
推理过程要完整，否则不能说明命 题的真伪性
3、原命题结论成立
能找到产生矛盾的定理、定义 或已知条件
学以致用：
1、用反证法证明“三角形的三个内角中，至 少有一个内角小于或等于60°”。 证明：假设三角形的三个内角都大于60度， 即∠A ﹥ 60°，∠B ﹥ 60°, ∠C ﹥ 60°, 180 则∠ A+∠B+ ∠C ﹥ ° , 这与 三角形的内角和是180° 相矛盾， ∴ 三角形的三个内角都大于60° 不成立， ∴ 三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于 。60°
回顾与归纳
公 假 得理 设 结 出、 论 推理论证 矛 定 的 盾理 反 等 （ 面 已） 正 知 确
命 假题 设成 得出结论 不 立 成 立 ， 原 .
反设
、 归谬
结论
再见
1、不要做刺猬，能不与人结仇就不与人结仇，谁也不跟谁一辈子，有些事情没必要记在心上。 2、相遇总是猝不及防，而离别多是蓄谋已久，总有一些人会慢慢淡出你的生活，你要学会接受而不是怀念。 3、其实每个人都很清楚自己想要什么，但并不是谁都有勇气表达出来。渐渐才知道，心口如一，是一种何等的强大! 4、有些路看起来很近，可是走下去却很远的，缺少耐心的人永远走不到头。人生，一半是现实，一半是梦想。 5、没什么好抱怨的，今天的每一步，都是在为之前的每一次选择买单。每做一件事，都要想一想，日后打脸的时候疼不疼。 6、过去的事情就让它过去，一定要放下。学会狠心，学会独立，学会微笑，学会丢弃不值得的感情。 7、成功不是让周围的人都羡慕你，称赞你，而是让周围的人都需要你，离不开你。 8、生活本来很不易，不必事事渴求别人的理解和认同，静静的过自己的生活。心若不动，风又奈何。你若不伤，岁月无恙。 9、与其等着别人来爱你，不如自己努力爱自己，对自己好点，因为一辈子不长，对身边的人好点，因为下辈子不一定能够遇见。 10、你迷茫的原因往往只有一个，那就是在本该拼命去努力的年纪，想得太多，做得太少。 11、有一些人的出现，就是来给我们开眼的。所以，你一定要禁得起假话，受得住敷衍，忍得住欺骗，忘得了承诺，放得下一切。 12、不要像个落难者，告诉别人你的不幸。逢人只说三分话，不可全抛一片心。 13、人生的路，靠的是自己一步步去走，真正能保护你的，是你自己的选择。而真正能伤害你的，也是一样，自己的选择。 14、不要那么敏感，也不要那么心软，太敏感和太心软的人，肯定过得不快乐，别人随便的一句话，你都要胡思乱想一整天。 15、不要轻易去依赖一个人，它会成为你的习惯，当分别来临，你失去的不是某个人，而是你精神的支柱;无论何时何地，都要学会独立行走 ，它会让你走得更坦然些。 16、在不违背原则的情况下，对别人要宽容，能帮就帮，千万不要把人逼绝了，给人留条后路，懂得从内心欣赏别人，虽然这很多时候很难 。 17、做不了决定的时候，让时间帮你决定。如果还是无法决定，做了再说。宁愿犯错，不留遗憾! 18、不要太高估自己在集体中的力量，因为当你选择离开时，就会发现即使没有你，太阳照常升起。 19、时间不仅让你看透别人，也让你认清自己。很多时候，就是在跌跌拌拌中，我们学会了生活。 20、命运要你成长的时候，总会安排一些让你不顺心的人或事刺激你。 21、你的假装努力，欺骗的只有你自己，永远不要用战术上的勤奋，来掩饰战略上的懒惰。 22、成长是一场和自己的比赛，不要担心别人会做得比你好，你只需要每天都做得比前一天好就可以了。 23、你没那么多观众，别那么累。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想，更不庸人自扰。 24、奋斗的路上，时间总是过得很快，目前的困难和麻烦是很多，但是只要不忘初心，脚踏实地一步一步的朝着目标前进，最后的结局交给 时间来定夺。 25、你心里最崇拜谁，不必变成那个人，而是用那个人的精神和方法，去变成你自己。 26、运气是努力的附属品。没有经过实力的原始积累，给你运气你也抓不住。上天给予每个人的都一样，但每个人的准备却不一样。不要羡 慕那些总能撞大运的人，你必须很努力，才能遇上好运气。 27、时间只是过客，自己才是主人，人生的路无需苛求，只要你迈步，路就在你的脚下延伸，只要你扬帆，便会有八面来风，启程了，人的 生命才真正开始。 28、每个人身上都有惰性和消极情绪，成功的人都是懂得管理自己的情绪和克服自己的惰性，并像太阳一样照亮身边的人，激励身边的人。 29、最终你相信什么就能成为什么。因为世界上最可怕的二个词，一个叫执着，一个叫认真，认真的人改变自己，执着的人改变命运。只要 在路上，就没有到不了的地方。 30、人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自己不奋斗，终归是摆设。无论你是谁，宁可做拼搏的失败者，也不要做安于现状的平凡人。 31、不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。 32、过自己喜欢的生活，成为自己喜欢的样子，其实很简单，就是把无数个“今天”过好，这就意味着不辜负不蹉跎时光，以饱满的热情迎 接每一件事，让生命的每一天都有滋有味。