第4章 静电场

大学物理课件：静电场一、静电场的基本概念1.1电荷电荷是物质的一种属性，是带电粒子的基本单位。

根据电荷的性质，电荷可分为正电荷和负电荷。

自然界中，已知的电荷只有两种：电子和质子。

电子带负电，质子带正电。

电荷的量是量子化的，即电荷量总是元电荷的整数倍。

1.2静电场（1）存在势能：在静电场中，电荷之间存在电势差，电荷在电场中移动时会受到电场力的作用，从而具有势能。

（2）叠加原理：静电场中，任意位置的电场强度是由所有电荷在该点产生的电场强度的矢量和。

（3）保守性：静电场力做功与路径无关，只与初末位置有关，因此静电场是保守场。

1.3电场强度电场强度是描述电场中电荷受力大小的物理量。

电场强度E的定义为单位正电荷所受到的电场力F，即E=F/q。

电场强度是矢量，方向与正电荷所受电场力方向相同。

在国际单位制中，电场强度的单位为牛/库仑（N/C）。

二、库仑定律2.1库仑定律的表述库仑定律是描述静止电荷之间相互作用的定律。

库仑定律表明，两个静止点电荷之间的相互作用力与它们的电荷量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比，作用力在它们的连线上。

2.2库仑定律的数学表达式设两个点电荷的电荷量分别为q1和q2，它们之间的距离为r，则它们之间的相互作用力F可以用库仑定律表示为：F=kq1q2/r^2其中，k为库仑常数，其值为8.9910^9N·m^2/C^2。

2.3电场强度的计算根据库仑定律，可以求出单个点电荷产生的电场强度。

设一个点电荷q产生的电场强度为E，则距离该电荷r处的电场强度E 为：E=kq/r^2三、电势与电势差3.1电势电势是描述电场中某一点电荷势能的物理量。

电势的定义为单位正电荷从无穷远处移到该点时所做的功W，即V=W/q。

电势是标量，单位为伏特（V）。

3.2电势差的计算电势差是描述电场中两点间电势差异的物理量。

电势差U的定义为单位正电荷从一点移到另一点时所做的功W，即U=W/q。

电势差是标量，单位为伏特（V）。

第四章 静 电 场 习 题1. 如图所示，两个同心球壳．内球壳半径为R 1，均匀带有电荷Q ；外球壳半径为R 2，壳的厚度忽略，原先不带电，但与地相连接．设地为电势零点，则在两球之间、距离球心为r 的P 点处电场强度的大小与电势分别为：(A) E ＝204r Q επ，U ＝r Q 04επ．(B) E ＝204r Qεπ，U ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-πr R Q 11410ε． (C) E ＝204r Qεπ，U ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-π20114R r Q ε．(D) E ＝0，U ＝204R Qεπ． ［ C ］2. 如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R 1、带电荷Q 1，外球面半径为R 2、带有电荷Q 2．设无穷远处为电势零点，则在内球面之内、距离球心为r 处的P 点的电势U 为：(A) r Q Q 0214επ+． (B) 20210144R Q R Q εεπ+π．(C) 0． (D) 1014R Q επ． ［ B ］3. 在一个带有正电荷的均匀带电球面外，放置一个电偶极子，其电矩p ϖ的方向如图所示．当释放后，该电偶极子的运动主要是 A) 沿逆时针方向旋转，直至电矩pϖ沿径向指向球面而停止．B) 沿顺时针方向旋转，直至电矩p ϖ沿径向朝外而停止．C) 沿顺时针方向旋转至电矩p ϖ沿径向朝外，同时沿电场线远离球面移动． D) 沿顺时针方向旋转至电矩p ϖ沿径向朝外，同时逆电场线方向向着球面p ϖ移动. ［ D ］4.一个静止的氢离子(H +)在电场中被加速而获得的速率为一静止的氧离子(O +2)在同一电场中且通过相同的路径被加速所获速率的： (A) 2倍． (B) 22倍．(C) 4倍． (D) 42倍． ［ B ］5. 一平行板电容器，板间距离为d ，两板间电势差为U 12,一个质量为m 、电荷为－e 的电子，从负极板由静止开始飞向正极板．它飞行的时间是：(A) 122eU md． (B) 122eU md ．(C) 122eU md(D) m eU d212［ C ］6. 图示为一具有球对称性分布的静电场的E ~r 关系曲线．请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的．(A) 半径为R 的均匀带电球面．(B) 半径为R 的均匀带电球体． (C) 半径为R 、电荷体密度r ＝Ar (A 为常数）的非均匀带电球体．(D) 半径为R 、电荷体密度r ＝A/r (A 为常数) 的非均匀带电球体, ［ D ］7. 在点电荷+q 的电场中，若取图中P 点处为电势零点 ， 则M 点的电势为(A)a q 04επ． (B) a q08επ． (C)a q04επ-． (D) a q 08επ-． ［ D ］8.如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量等于：(A) 06εq． (B) 012εq ．(C) 024εq． (D) 048εq ． ［ C ］9.有一个球形的橡皮膜气球，电荷q 均匀地分布在表面上，在此气球被吹大的过程中，被气球表面掠过的点(该点与球中心距离为r )，其电场强度的大小将由_______204r qεπ ____________变为_______0__________．10.图中曲线表示一种轴对称性静电场的场强大小E 的分布，r 表示离对称轴的距离，这是由___半径为R 的无限长均匀带电圆柱面 _____________产生的电场．11.一闭合面包围着一个电偶极子，则通过此闭合面的电场强度通量 F e ＝_______0__________．12.一面积为S 的平面，放在场强为E ϖ的均匀电场中，已知 E ϖ与平面间的夹角为q (＜p/2)，则通过该平面的电场强度通量的数值F e ＝_________ ES cos(p/2 -q ) _____________．13.真空中一半径为R 的均匀带电球面，总电荷为Q ．今在球面上挖去很小一块面积△S (连同其上电荷)，若电荷分布不改变，则挖去小块后球心处电势(设无穷远处电势为零)为_____⎪⎭⎫⎝⎛π∆-π20414R S R Q ε ___________．14. 一半径为R 的均匀带电球面，其电荷面密度为s ．若规定无穷远处为电势零点，则该球面上的电势U ＝_____ Rs / e 0 _______________．A bcqO Er E /1∝rR15.一半径为R 的绝缘实心球体，非均匀带电，电荷体密度为r ＝r 0 r (r 为离球心的距离，r 0为常量)．设无限远处为电势零点．则球外(r ＞R )各点的电势分布为U ＝______ r R 0404ερ ____________．16. 图中所示曲线表示球对称或轴对称静电场的某一物理量随径向距离r 成反比关系，该曲线可描述_________无限长均匀带电直线 ______的电场的E~r 关系，也可描述______正点电荷 _______ 的电场的U~r 关系．(E 为电场强度的大小，U 为电势)17.如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度．17. 解：设杆的左端为坐标原点O ，x 轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为l =q / L ，在x 处取一电荷元d q = l d x = q d x / L ，它在P 点的场强：()204d d x d L q E -+π=ε()204d x d L L xq -+π=ε 2分总场强为 ⎰+π=Lx d L x L q E 020)(d 4－ε()d L d q +π=04ε 3分方向沿x 轴，即杆的延长线方向．18.电荷线密度为l 的无限长均匀带电细线，弯成图示形状．若半圆弧AB 的半径为R ，试求圆心O 点的场强．18. 解：以O 点作坐标原点，建立坐标如图所示． 半无限长直线A ∞在O 点产生的场强1E ϖ，()j i R E ϖϖϖ--π=014ελ 2分半无限长直线B ∞在O 点产生的场强2E ϖ，Lq()j i R E ϖϖϖ+-π=024ελ2分半圆弧线段在O 点产生的场强3E ϖ，iR E ϖϖ032ελπ= 2分 由场强叠加原理，O 点合场强为 0321=++=E E E E ϖϖϖϖ 2分19. 半径为R 的带电细圆环，其电荷线密度为l =l 0sin f ，式中l 0为一常数，f为半径R 与x 轴所成的夹角，如图所示．试求环心O 处的电场强度．19. 解：在任意角f 处取微小电量d q =l d l ，它在O 点产生的场强为：R R l E 00204d s co 4d d εφφλελπ=π=3分它沿x 、y 轴上的二个分量为：d E x =－d E cos f 1分 d E y =－d E sin f 1分对各分量分别求和⎰ππ=20200d s co 4φφελR E x ＝R 004ελ 2分0)d(sin sin 42000=π=⎰πφφελR E y 2分故O 点的场强为：iR i E E x ϖϖϖ004ελ-== 1分20. “无限长”均匀带电的半圆柱面，半径为R ，设半圆柱面沿轴线OO'单位长度上的电荷为l ，试求轴线上一点的电场强度．20. 解:设坐标系如图所示．将半圆柱面划分成许多窄条．d l宽的窄条的电荷线密度为d gy Rxφ d φd E xd E yφO d Eθ d E y yd l d θRθO d E x xd Eθλλλd d d π=π=l R取q 位置处的一条，它在轴线上一点产生的场强为θελελd 22d d 020R R E π=π= 3分如图所示. 它在x 、y 轴上的二个分量为： d E x =d E sin q , d E y =－d E cos q 2分对各分量分别积分R R E x 02002d sin 2ελθθελππ=π=⎰ 2分 0d cos 2002=π-=⎰πθθελR E y 2分场强iR j E i E E y x ϖϖϖϖ02ελπ=+=21. 真空中两条平行的“无限长”均匀带电直线相距为a ，其电荷线密度分别为－l 和＋l ．试求：(1) 在两直线构成的平面上，两线间任一点的电场强度(选Ox 轴如图所示，两线的中点为原点)． (2) 两带电直线上单位长度之间的相互吸引力．21. 解：(1) 一根无限长均匀带电直线在线外离直线距离ｒ处的场强为：E =l / (2p e 0r ) 2分根据上式及场强叠加原理得两直线间的场强为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-π=+=x a x a E E E 21212021ελ ()22042x a a -π=ελ， 方向沿x 轴的负方向 3分 (2) 两直线间单位长度的相互吸引力F =lE =l 2 / (2p e 0a ) 2分22.实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强-λ +λ x1 2度E ϖ垂直于地面向下，大小约为100 N/C ；在离地面 km 高的地方，E ϖ也是垂直于地面向下的，大小约为25 N/C ．(1) 假设地面上各处E ϖ都是垂直于地面向下，试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度；(2) 假设地表面内电场强度为零，且地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度．(已知：真空介电常量0ε＝×10-12 C 2·N -1·m -2)22. 解：(1) 设电荷的平均体密度为r ，取圆柱形高斯面如图(1)(侧面垂直底面，底面D S 平行地面)上下底面处的场强分别为E 1和E 2，则通过高斯面的电场强度通量为：⎰⎰E ϖ·S ϖd ＝E 2D S -E 1D S ＝(E 2-E 1) D S 2分 高斯面S 包围的电荷∑q i ＝h D Sr 1分由高斯定理(E 2－E 1) D S ＝h D Sr /e 0 1分∴ () E E h 1201-=ερ＝×10-13 C/m 3 2分 (2) 设地面面电荷密度为s ．由于电荷只分布在地表面，所以电力线终止于地面，取高斯面如图(2) 1分由高斯定理 ⎰⎰E ϖ·S ϖd =∑i 01q ε-E D S =S∆σε011分∴ s =－e 0 E ＝－×10-10 C/m 3 2分23. 电荷面密度分别为+s 和－s 的两块无限大均匀带电平行平面，分别与x 轴垂直相交于x 1＝a ，x 2＝－a 两点．设坐标原点O 处电势为零，试求空间的电势分布表示式并画出其曲线．23. 解：由高斯定理可得场强分布为：E =-s / e 0 (－a ＜x ＜a ) 1分 E = 0 (－∞＜x ＜－a ，a ＜x ＜＋∞＝ 1分由此可求电势分布：在－∞＜x ≤－a 区间⎰⎰⎰---+==000/d d 0d a a xx x x x E U εσ0/εσa -= 2分SE 2∆SE 1(1)hE(2)-a+aO xU在－a ≤x ≤a 区间000d d εσεσxx x E U xx =-==⎰⎰ 2分在a ≤x ＜∞区间0000d d 0d εσεσa x x x E U a a x x =-+==⎰⎰⎰ 2分 图2分24. 有一带正电荷的大导体，欲测其附近P 点处的场强，将一电荷量为q 0 (q 0 >0 )的点电荷放在P 点，如图所示，测得它所受的电场力为F ．若电荷量q 0不是足够小，则(A) F / q 0比P 点处场强的数值大． (B) F / q 0比P 点处场强的数值小． (C) F / q 0与P 点处场强的数值相等． (D) F / q 0与P 点处场强的数值哪个大无法确定． ［ B ］25. 一“无限大”均匀带电平面A ，其附近放一与它平行的有一定厚度的“无限大”平面导体板B ，如图所示．已知A 上的电荷面密度为+s ，则在导体板B 的两个表面1和2上的感生电荷面密度为：(A) s 1 = - s ， s 2 = + s ． (B) s 1 = σ21-， s 2 =σ21+． (C) s 1 = σ21-， s 1 = σ21-．(D) s 1 = - s ， s 2 = 0． ［ B ］26.选无穷远处为电势零点，半径为R 的导体球带电后，其电势为U 0，则球外离球心距离为r 处的电场强度的大小为(A) 302r U R ． (B) R U 0．q 0PA +σ 2(C) 20r RU ． (D) r U 0． ［ C ］27. 如图所示，一厚度为d 的“无限大”均匀带电导体板，电荷面密度为s ，则板的两侧离板面距离均为h 的两点a 、b 之间的电势差为：(A) 0． (B)2εσ．(C) 0εσh． (D)02εσh ． ［ A ］28. 关于高斯定理，下列说法中哪一个是正确的(A) 高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D ϖ为零．(B) 高斯面上处处D ϖ为零，则面内必不存在自由电荷．(C) 高斯面的D ϖ通量仅与面内自由电荷有关．(D) 以上说法都不正确． ［ C ］29.一导体球外充满相对介电常量为e r 的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E ，则导体球面上的自由电荷面密度s 为 (A) e 0 E ． (B) e 0 e r E ． (C) e r E ． (D) (e 0 e r - e 0)E ． ［ B ］30. 一个大平行板电容器水平放置，两极板间的一半空间充有各向同性均匀电介质，另一半为空气，如图．当两极板带上恒定的等量异号电荷时，有一个质量为m 、带电荷为+q 的质点，在极板间的空气区域中处于平衡．此后，若把电介质抽去 ，则该质点 (A) 保持不动． (B) 向上运动． (C) 向下运动． (D) 是否运动不能确定． ［ B ］31.如果某带电体其电荷分布的体密度r 增大为原来的2倍，则其电场的能量变为原来的(A) 2倍． (B) 1/2倍． (C) 4倍． (D) 1/4倍． ［ C ］32. 一空心导体球壳，其内、外半径分别为R 1和R 2，带电荷q ，如图所示．当球壳中心处再放一电荷为q 的点电荷时，则导体球壳的电势(设无穷远处为电势零点)为(A) 104R q επ ． (B) 204R q επ ．(C) 102R qεπ . (D) 20R qε2π ． ［ D ］33. 一空气平行板电容器，两极板间距为d ，充电后板间电压为U ．然后将电源断开，在两板间平行地插入一厚度为d /3的金属板，则板间电压变成U ' =_____ 2U /3 ___________ ．34. 如图所示，把一块原来不带电的金属板B ，移近一块已带有正电荷Q 的金属板A ，平行放置．设两板面积都是S ，板间距离是d ，忽略边缘效应．当B 板不接地时，两板间电势差U AB =______ )2/(0S Qd ε _____________ ；B 板接地时两板间电势差='AB U ___ )/(0S Qd ε _______ ．35. 如图所示，将一负电荷从无穷远处移到一个不带电的导体附近，则导体内的电场强度____不变 __________，导体的电势__减小____________．(填增大、不变、减小)36.一金属球壳的内、外半径分别为R 1和R 2，带电荷为Q ．在球心处有一电荷为q 的点电荷，则球壳内表面上的电荷面密度s =____)4/(21R q π- __________．37.空气的击穿电场强度为 2×106 V ·m -1，直径为 m 的导体球在空气中时qS最多能带的电荷为×10-7 C _________． (真空介电常量e 0 = ×10-12 C 2·N -1·m -2 )38. 地球表面附近的电场强度为 100 N/C ．如果把地球看作半径为×105 m 的导体球，则地球表面的电Q =__ ×105 C____． (2/C m N 10941290⋅⨯=πε)39. 一任意形状的带电导体，其电荷面密度分布为s (x ，y ，z )，则在导体表面外附近任意点处的电场强度的大小E (x ，y ，z ) =_______s (x ，y ，z )/e 0 _______________，其方向______与导体表面垂直朝外(s > 0) 或 与导体表面垂直朝里(s < 0)________________．40. 地球表面附近的电场强度约为 100 N /C ，方向垂直地面向下，假设地球上的电荷都均匀分布在地表面上，则地面带_负____电，电荷面密度s =×10-10 C/m 2 _______．(真空介电常量e 0 = ×10-12 C 2/(N ·m 2) ) 41. 厚度为d 的“无限大”均匀带电导体板两表面单位面积上电荷之和为s ．试求图示离左板面距离为a 的一点与离右板面距离为b 的一点之间的电势差．41. 解：选坐标如图．由高斯定理，平板内、外的场强分布为：E = 0 (板内))2/(0εσ±=x E (板外) 2分1、2两点间电势差⎰=-2121d xE U U xxx d b d d d a d 2d 22/2/02/)2/(0⎰⎰+-+-+-=εσεσ)(20a b -=εσ3分1 σ da b42.半径分别为 cm 与 cm 的两个球形导体，各带电荷 ×10-8 C ，两球相距很远．若用细导线将两球相连接．求(1) 每个球所带电荷；(2) 每球的电势．(22/C m N 1094190⋅⨯=πε)42. 解：两球相距很远，可视为孤立导体，互不影响．球上电荷均匀分布．设两球半径分别为r 1和r 2，导线连接后的电荷分别为q 1和q 2，而q 1 + q 1 = 2q ，则两球电势分别是10114r q U επ=， 20224r q U επ=2分 两球相连后电势相等， 21U U =，则有21212122112r r q r r q q r q r q +=++== 2分 由此得到 921111067.62-⨯=+=r r q r q C 1分 92122103.132-⨯=+=r r qr q C 1分两球电势 310121100.64⨯=π==r q U U ε V 2分43. 半径分别为R 1和R 2 (R 2 > R 1 )的两个同心导体薄球壳，分别带有电荷Q 1和Q 2，今将内球壳用细导线与远处半径为r 的导体球相联，如图所示, 导体球原来不带电，试求相联后导体球所带电荷q ．43. 解：设导体球带电q ，取无穷远处为电势零点，则导体球电势：r qU 004επ=2分 内球壳电势：10114R q Q U επ-=2024R Q επ+2分 二者等电势，即 r q04επ1014R q Q επ-=2024R Q επ+2分解得)()(122112r R R Q R Q R r q ++=2分44.一圆柱形电容器，外柱的直径为4 cm ，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度的大小为E 0= 200 KV/cm ．试求该电容器可能承受的最高电压． (自然对数的底e =44. 解:设圆柱形电容器单位长度上带有电荷为l ，则电容器两极板之间的场强分布为 )2/(r E ελπ= 2分设电容器内外两极板半径分别为r 0，R ，则极板间电压为⎰⎰⋅π==R r Rr r r r E U d 2d ελϖϖ0ln2r R ελπ= 2分 电介质中场强最大处在内柱面上，当这里场强达到E 0时电容器击穿，这时应有002E r ελπ= 2分000lnr RE r U = 适当选择r 0的值，可使U 有极大值，即令)/ln(/d d 0000=-=E r R E r U得 eR r /0= 2分显然有 202d d r U< 0， 故当 e R r /0= 时电容器可承受最高的电压eRE U /0max = = 147 kV 2分45.两金属球的半径之比为1∶4，带等量的同号电荷．当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能．若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍45. 解：因两球间距离比两球的半径大得多，这两个带电球可视为点电荷．设两球各带电荷Q ，若选无穷远处为电势零点，则两带电球之间的电势能为)4/(020d Q W επ=式中d 为两球心间距离． 2分 当两球接触时，电荷将在两球间重新分配．因两球半径之比为1∶4．故两球电荷之比Q 1∶Q 2 = 1∶4．Q 2 = 4 Q 1 2分 但 Q Q Q Q Q Q 25411121==+=+∴5/21Q Q =，5/85/242Q Q Q =⨯= 2分当返回原处时,电势能为 002125164W d Q Q W =π=ε 2分46. 一绝缘金属物体，在真空中充电达某一电势值，其电场总能量为W 0．若断开电源，使其上所带电荷保持不变，并把它浸没在相对介电常量为e r 的无限大的各向同性均匀液态电介质中，问这时电场总能量有多大46. 解：因为所带电荷保持不变，故电场中各点的电位移矢量D ϖ保持不变，又r r r w D D DE w εεεεε0200202112121==== 3分 因为介质均匀，∴电场总能量 rW W ε/0= 2分。