山东省普通高中学业水平考试数学试题(数学会考试题)

2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷一、本大题共20小题，每小题3分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合A ＝{1, 3, 5}，B ＝{2, 3}，则A ∪B ＝（ ） A.{3} B.{1, 5} C.(1, 2, 5)∩{1, 2, 5} D.{1, 2, 3, 5}2. 函数f(x)=cos (12x +π6)的最小正周期为（ ）A.π2B.πC.2πD.4π3. 函数f(x)=√x −1+ln (4−x)的定义域是( ) A.(1, +∞) B.[1, 4) C.(1, 4] D.(4, +∞)4. 下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)上是减函数的是（ ） A.y ＝−x 3 B.y =1C.y ＝|x|D.y =1x 25. 已知直线l 过点P(2, −1)，且与直线2x +y −l ＝0互相垂直，则直线l 的方程为（ ） A.x −2y ＝0 B.x −2y −4＝0 C.2x +y −3＝0 D.2x −y −5＝06. 已知函数f(x)={2x,x ≤0x 32,x >0 ，则f(−1)+f(1)＝（ ）A.0B.1C.32D.27. 已知向量a →与b →的夹角为π3，且|a →|＝3，|b →|＝4，则a →⋅b →=( ) A.6√3 B.6√2C.4√3D.68. 某工厂抽取100件产品测其重量（单位：kg ）．其中每件产品的重量范围是[40, 42]．数据的分组依据依次为[40, 40, 5)，[40, 5, 41)，[41, 41, 5)，[41, 5, 42)，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40, 41)内的产品件数为（ ）A.30B.40C.60D.809.sin 110∘ cos 40∘−cos 70∘sin 40∘= ( ) A.12B.√32C.−12D.−√3210. 在平行四边形ABCD 中，AB →+BD →−AC →=( ) A.DC →B.BA →C.BC →D.BD →11. 某产品的销售额y （单位：万元）与月份x 的统计数据如表．用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为y =7x +a ，则实数a =( )C.4D.10.512. 下列结论正确的是（ ） A.若a <b ，则a 3<b 3 B.若a >b ，则2a <2b C.若a <b ，则a 2<b 2 D.若a >b ，则ln a >ln b13. 圆心为M(1, 3)，且与直线3x −4y −6＝0相切的圆的方程是（ ） A.(x −1)2+(y −3)2＝9 B.(x −1)2+(y −3)2＝3 C.(x +1)2+(y +3)2＝9D.(x +1)2+(y +3)2＝314. 已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（ ）A.事件“都是红色卡片”是随机事件B.事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C.事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件15. 若直线(a −1)x −2y +1＝0与直线x −ay +1＝0垂直，则实数a ＝（ ） A.−1或2 B.−1C.13D.316. 将函数y ＝sin x 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移π12个单位，得到的图象对应的函数解析式为（ ） A.y ＝sin (3x −π4)B.y ＝sin (3x −π12)C.y ＝sin (13x −π4) D.y ＝sin (13x −π12)17. 3名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ） A.14 B.23C.12D.3418. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列判断正确的是（ ）A.A 1D ⊥C 1CB.BD 1⊥ADC.A 1D ⊥ACD.BD 1 ⊥AC19. 已知向量a →，b →不共线，若AB →=a →+2b →，BC →=−3a →+7b →，CD →=4a →−5b →，则（ ）A.A ，B ，C 三点共线B.A ，B ，D 三点共线C.A ，C ，D 三点共线D.B ，C ，D 三点共线20. 在三棱锥P −ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝1，PB ＝PC ＝2，则该三棱锥的外接球体的体积为（ ） A.9π2B.27π2C.9πD.36π二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人．若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽取18人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为________．已知α为第二象限角，若sin α=35，则tan α的值为________．已知圆锥底面半径为1，高为√3，则该圆锥的侧面积为________．已知函数f(x)＝x 2+x +a 在区间(0, 1)内有零点，则实数a 的取值范围为________．若P 是圆C 1：(x −4)2+(y −5)2＝9上一动点，Q 是圆C 2：(x +2)2+(y +3)2＝4上一动点，则|PQ|的最小值是________．三、解答题：本题共3小题，共25分．如图，在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、PC 中点，求证：EF // 面PAD ．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＝6，cos B =13． （1）若sin A =35，求b 的值；（2）若c ＝2，求b 的值及△ABC 的面积S ．已知函数f(x)＝ax+log3(9x+1)(a∈R)为偶函数．（1）求a的值；（2）当x∈[0, +∞)时，不等式f(x)−b≥0恒成立，求实数b的取值范围．参考答案与试题解析2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷一、本大题共20小题，每小题3分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【考点】并集及其运算【解析】进行并集的运算即可．【解答】∵A＝{1, 3, 5}，B＝{2, 3}，∴A∪B＝{1, 2, 3, 5}．2.【答案】D【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】根据三角函数的周期公式直接进行计算即可．【解答】由三角函数的周期公式得T=2π12=4π，3.【答案】B【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：∵函数f(x)=√x−1+ln(4−x)，∴{x−1≥0,4−x>0.解得1≤x<4.∴函数f(x)的定义域是[1, 4)．故选B．4.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性对选项分别进行判断即可．【解答】由幂函数的性质可知，y＝−x3，y=1x为奇函数，不符合题意，y＝|x|为偶函数且在(0, +∞)上单调递增，不符号题意，y=1x2为偶函数且在(0, +∞)上单调递减，符合题意．5.【答案】B【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】根据题意设出直线l的方程，把点P(2, −1)代入方程求出直线l的方程．【解答】根据直线l与直线2x+y−l＝0互相垂直，设直线l为x−2y+m＝0，又l过点P(2, −1)，∴2−2×(−1)+m＝0，解得m＝−4，∴直线l的方程为x−2y−4＝0．6.【答案】C【考点】求函数的值函数的求值【解析】推导出f(−1)＝2−1=12，f(1)=132=1，由此能求出f(−1)+f(1)的值．【解答】∵函数f(x)={2x,x≤0x32,x>0，∴f(−1)＝2−1=12，f(1)=132=1，∴f(−1)+f(1)=12+1=32．故选：C．7.【答案】D【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】进行数量积的运算即可． 【解答】∵ 向量a →与b →的夹角为π3，且|a →|＝3，|b →|＝4， ∴ a →⋅b →=|a →||b →|cos π3=3×4×12=6．8. 【答案】 B【考点】频率分布直方图 【解析】由频率分布直方图得重量在[40, 41)内的频率为0.4．由此能求出重量在[40, 41)内的产品件数． 【解答】由频率分布直方图得：重量在[40, 41)内的频率为：(0.1+0.7)×0.5＝0.4． ∴ 重量在[40, 41)内的产品件数为0.4×100＝40． 9. 【答案】 A【考点】求两角和与差的正弦 【解析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可． 【解答】解：sin 110∘ cos 40∘−cos 70∘sin 40∘ =sin 70∘ cos 40∘−cos 70∘sin 40∘ =sin (70∘−40∘) =sin 30∘=12． 故选A ． 10. 【答案】 B【考点】向量加减法的应用 【解析】利用平面向量加法法则直接求解． 【解答】在平行四边形ABCD 中，AB →+BD →−AC →=AB →+BD →+CA →=CD →=BA →．11.【答案】 B【考点】求解线性回归方程 【解析】由已知求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程即可求得实数a ． 【解答】 x ¯=3+4+5+64=4.5，y ¯=25+30+40+454=35，∴ 样本点的中心坐标为(4.5, 35)，代入y =7x +a ，得35＝7×4.5+a ，即a =3.5． 12. 【答案】 A【考点】不等式的基本性质 【解析】利用函数的单调性、不等式的性质即可判断出正误． 【解答】A ．a <b ，可得a 3<b 3，正确；B ．a >b ，可得2a >2b ，因此B 不正确；C ．a <b ，a 2与b 2大小关系不确定，因此不正确；D ．由a >b ，无法得出ln a >ln b ，因此不正确． 13.【答案】 A【考点】 圆的切线方程 圆的标准方程【解析】由题意可知，圆的半径即为圆心M 到直线的距离，根据点到直线的距离公式即可求解． 【解答】由题意可知，圆的半径r =|3−12−6|5=3，故所求的圆的方程为(x −1)2+(y −3)2＝9． 14. 【答案】 C【考点】 随机事件 【解析】利用随机事件的定义直接求解． 【解答】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片， 在A 中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A 正确； 在B 中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B 正确； 在C 中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C 错误；在D 中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D 正确． 15.【答案】 C【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系 【解析】根据题意，分析可得(a −1)+2a ＝0，解可得a 的值，即可得答案． 【解答】根据题意，若直线(a −1)x −2y +1＝0与直线x −ay +1＝0垂直， 必有(a −1)+2a ＝0，解可得a =13； 16.【答案】 A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】由题意利用函数y ＝A sin (ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 【解答】将函数y ＝sin x 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），可得y ＝sin 3x 的图象； 再将得到的图象向右平移π12个单位，得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin 3(x −π12)＝sin (3x −π4)， 17.【答案】 D【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】求得3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可． 【解答】3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有23＝8种情况， 周六、周日都有同学参加公益活动，共有23−2＝8−2＝6种情况， ∴ 所求概率为68=34． 18.【答案】 D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】直接可以看出A ，B ，C 均不成立，用线线垂直来推线面垂直进而得到线线垂直． 【解答】因为AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1；BD ∩DD 1＝D ； BD ⊆平面DD 1B 1B ，DD 1⊆平面DD 1B 1B ， ∴ AC ⊥平面DD 1B 1B ； BD 1⊆平面DD 1B 1B ； ∴ AC ⊥BD 1； 即D 对． 19.【答案】 B【考点】平行向量（共线） 【解析】BD →=BC →+CD →=(−3a →+7b →)+(4a →−5b →)=a →+2b →=AB →，从而BD →∥AB →，进而A ，B ，D 三点共线． 【解答】向量a →，b →不共线，AB →=a →+2b →，BC →=−3a →+7b →，CD →=4a →−5b →，∴ BD →=BC →+CD →=(−3a →+7b →)+(4a →−5b →)=a →+2b →=AB →， ∴ BD →∥AB →，∴ A ，B ，D 三点共线． 20. 【答案】 A【考点】球的表面积和体积 【解析】由题意将此三棱锥放在长方体中，可得长方体的长宽高，再由长方体的对角线等于外接球的直径求出外接球的体积． 【解答】由三棱锥中PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝1，PB ＝2，PC ＝2将此三棱锥放在长方体中，由题意知长方体的长宽高分别是：1，2，2．设外接球的半径为R ，则2R =√12+22+22=3所以R =32， 所以外接球的体积V =43πR 3=92π，二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．【答案】 8【考点】 分层抽样方法 【解析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率值，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数目，得到女运动员要抽取得人数． 【解答】∵ 某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人， ∴ 这支田径队共有45+36＝81人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为18的样本， ∴ 每个个体被抽到的概率是1881=29，∵ 女运动员36人，∴ 女运动员要抽取36×29=8人， 【答案】−34【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos α 的值，从而求得tan α的值． 【解答】∵ α为第二象限角sin α=35， ∴ cos α=−45，则tan α=sin αcos α=−34， 【答案】 2π【考点】柱体、锥体、台体的侧面积和表面积 【解析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解． 【解答】由已知可得r ＝1，ℎ=√3，则圆锥的母线长l =√12+(√3)2=2．∴ 圆锥的侧面积S ＝πrl ＝2π． 【答案】 (−2, 0) 【考点】函数零点的判定定理 【解析】由零点存在性定理得f(0)f(1)＝a(a +2)<0，求出即可． 【解答】函数f(x)＝x 2+x +a 在区间(0, 1)内有零点， f(0)＝a ，f(1)＝2+a ，由零点存在性定理得f(0)f(1)＝a(a +2)<0，得−2<a <0， 经验证a ＝−2，a ＝0均不成立， 故答案为：(−2, 0) 【答案】 5【考点】圆与圆的位置关系及其判定 【解析】分别找出两圆的圆心坐标，以及半径r 和R ，利用两点间的距离公式求出圆心间的距离d ，根据大于两半径之和，得到两圆的位置是外离，又P 在圆C 1上，Q 在圆C 2上，则|PQ|的最小值为d −(r +R)，即可求出答案． 【解答】圆C 1：(x −4)2+(y −5)2＝9的圆心C 1(4, 5)，半径r ＝3， 圆C 2：(x +2)2+(y +3)2＝4的圆心C 2(−2, −3)，半径r ＝2， d ＝|C 1C 2|=√(4+2)2+(5+3)2=10>2+3＝r +R ， 所以两圆的位置关系是外离， 又P 在圆C 1上，Q 在圆C 2上，则|PQ|的最小值为d −(r +R)＝10−(2+3)＝5， 三、解答题：本题共3小题，共25分． 【答案】证明：取PD 的中点G ，连接FG 、AG ． 因为PF ＝CF ，PG ＝DG ， 所以FG // CD ，且FG =12CD ．又因为四边形ABCD 是平行四边形，且E 是AB 的中点．所以AE // CD ，且AE =12CD ． 所以FG // AE ，且FG ＝AE ，所以四边形EFGA 是平行四边形， 所以EF // AG ．又因为EF⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，所以EF // 平面PAD．【考点】直线与平面平行【解析】取PD的中点G，连接FG、AG，由PF＝CF，PG＝DG，所以FG // CD，且FG=12CD．又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点．所以AE // CD，且AE=12CD．证得四边形EFGA是平行四边形，所以EF // AG，由线面平行的判定定理即可得证．【解答】证明：取PD的中点G，连接FG、AG．因为PF＝CF，PG＝DG，所以FG // CD，且FG =12CD．又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点．所以AE // CD，且AE=12CD．所以FG // AE，且FG＝AE，所以四边形EFGA是平行四边形，所以EF // AG．又因为EF⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，所以EF // 平面PAD．【答案】由cos B=13可得sin B=2√23，由正弦定理可得，asin A =bsin B，所以b=a sin Bsin A =6×2√2335=20√23，由余弦定理可得，cos B=13=a2+c2−b22ac=36+4−b22×2×6，解可得，b＝4√2，S=12ac sin B=12×6×2×2√23=4√2．【考点】正弦定理余弦定理【解析】（1）先根据同角平方关系求出sin B，然后结合正弦定理即可求解，（2）结合余弦定理及三角形的面积公式即可求解．【解答】由cos B=13可得sin B=2√23，由正弦定理可得，asin A=bsin B，所以b=a sin Bsin A=6×2√2335=20√23，由余弦定理可得，cos B=13=a2+c2−b22ac=36+4−b22×2×6，解可得，b＝4√2，S=12ac sin B=12×6×2×2√23=4√2．【答案】根据题意可知f(x)＝f(−x)，即ax+log3(9x+1)＝−ax+log3(9−x+1)，整理得log39x+19−x+1=−2ax，即−2ax=log39x=2x，解得a＝1；由（1）可得f(x)＝x+log3(9x+1)，因为f(x)−b≥0对x∈[0, +∞)恒成立，即x+log3(9x+1)≥b对x∈[0, +∞)恒成立，因为函数g(x)＝x+log3(9x+1)在[0, +∞)上是增函数，所以g(x)min＝g(0)＝log32，则b≤log32．【考点】函数奇偶性的性质与判断函数恒成立问题【解析】（1）根据偶函数性质f(x)＝f(−x)，化简整理可求得a的取值；（2）根据条件可知x+log3(9x+1)≥b对x∈[0, +∞)恒成立，求出函数g(x)＝x+log3(9x+1)在[0, +∞)上的最小值即可【解答】根据题意可知f(x)＝f(−x)，即ax+log3(9x+1)＝−ax+log3(9−x+1)，整理得log39x+19−x+1=−2ax，即−2ax=log39x=2x，解得a＝1；由（1）可得f(x)＝x+log3(9x+1)，因为f(x)−b≥0对x∈[0, +∞)恒成立，(9x+1)≥b对x∈[0, +∞)恒成立，即x+log3(9x+1)在[0, +∞)上是增函数，因为函数g(x)＝x+log32，所以g(x)min＝g(0)＝log32．则b≤log3。

山东省及年月普通高中学业水平考试(会考)数学试题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：山东省2015年12月普通高中学业水平考试数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共4页。

满分100分，考试限定用时90分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考籍号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（共60分）注意事项：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不涂在答题卡上，只答在试卷上无效。

一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） l. 已知集合{}1,2A =，{}2,3B =，则A B =UA. {}2B. {}1,2C. {}2,3D. {}1,2,3 2. 图象过点(0,1)的函数是 A.2xy = B.2log y x =C.12y x= D. 2y x =3. 下列函数为偶函数的是 A.sin y x =. B. cos y x =C. tan y x =D. sin 2y x =4. 在空间中，下列结论正确的是A.三角形确定一个平面B.四边形确定一个平面C.一个点和一条直线确定一个平面D.两条直线确定一个平面5. 已知向量(1,2),(1,1)a b =-=，则a b =g A. 3 B.2 C. 1 D. 06. 函数()sin cos f x x x =的最大值是 A.14B.12C.32D. 17. 某学校用系统抽样的方法，从全校500名学生中抽取50名做问卷调查，现将500名学生编号为1，2，3，…，500，在1~10中随机抽地抽取一个号码，若抽到的是3号，则从11~20中应抽取的号码是A. 14B. 13C. 12D. 11 8. 圆心为(3,1)，半径为5的圆的标准方程是 A. 22(3)(1)5x y +++= B. 22(3)(1)25x y +++=C.22(3)(1)5x y -+-=D.22(3)(1)25x y -+-= 49. 某校100名学生数学竞赛成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，则该次数学成绩在[50,60)内的人数为 A. 20 B. 15 C. 10 D. 610. 在等比数列{}n a 中，232,4a a ==，则该数列的前4项和为 A. 15 B. 12 C. 10 D. 6 11. 设,,a b c R ∈，且a b >，则下列不等式成立的是 A.22a b >B. 22ac bc >C. a c b c +>+D.11a b< 112. 已知向量(1,2),(2,)a b x =-=，若//a b ，则x 的值是 A. 4- B. 1- C. 1 D. 4 13. 甲、乙、丙3人站成一排，则甲恰好站在中间的概率为 A. 13B.12C.23D. 1614. 已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为 A. 1 B.2C. 3D.215 已知实数020.31log 3,(),log 22a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 A. b c a << B. b a c << C. c a b << D. c b a <<16. 如图，角α的终边与单位圆交于点M ，M 的纵坐标为45，则cos α=A.35B.35- C.45D.45-17. 甲、乙两队举行足球比赛，甲队获胜的概率为13，则乙队不输的概率为A.56B.34C.23D. 1318. 如图，四面体ABCD 的棱DA ⊥平面ABC ，090ACB ∠=， 则四面体的四个面中直角三角形的个数是 A. 1 B.2 C. 3 D. 419.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c . 若222c a ab b =++，则C = A. 0150 B. 0120 C.060D. 03020. 如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出a 的值是2值为 A. 12B. 13C.14D. 15第II 卷（共40分）注意事项：1. 第II 卷共8个小题，共40分。

山东高二高中数学水平会考班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若，则一定成立的不等式是A．B．C．D．2.等差数列中，若，则等于A．3B．4C．5D．63.在中，a=15,b=10,A=60°，则=A．B．C．D．4.等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是A．90B．100C．145D．1905.在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且a=1，等于A． B． C． D．26.不等式的解集为，不等式的解集为，不等式的解集是，那么等于A．－3B．1C．－1D．37.已知两个正数、的等差中项是5，则、的等比中项的最大值为A. 10B. 25 C 50 D. 1008.已知圆的半径为4，为该圆的内接三角形的三边，若，则三角形的面积为A．B．C．D．9.当时，不等式恒成立，则的最大值和最小值分别为A．2，－1B．不存在，2C．2，不存在D．－2，不存在10.已知x、y满足约束条件则目标函数z＝(x＋1)2＋(y－1)2的最大值是A．10B．90C．D．211.已知等比数列满足，且，则当时，A．B．C．D．12.已知方程的四个实根组成以为首项的等差数列,则A.2 C. D.二、填空题1.等差数列的前项和为，若，则2.若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是3.设等比数列的公比，前项和为，则4.在中，角的对边分别是，已知，则的形状是三角形.三、解答题1.已知集合，（Ⅰ）当时，求（Ⅱ）若，求实数的取值范围.2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积.3.如图，海中小岛A周围40海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险?4.已知点（1，2）是函数的图象上一点，数列的前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式（Ⅱ）若，求数列的前项和．5.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(50≤x≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋)升，司机的工资是每小时14元(Ⅰ)求这次行车总费用y关于x的表达式(Ⅱ)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值6.已知数列中，，,（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式（Ⅱ）记，数列的前项和为，求使的的最小值山东高二高中数学水平会考答案及解析一、选择题1.若，则一定成立的不等式是A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查的是不等式的性质。

2020年山东省普通高中学业水平等级数学试卷一．选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分．1-8小题只有一个选项符合题意，9-12为多选题）1．（5分）设集合{|13}A x N x =∈-剟，2{|B y y x ==，}x R ∈，则(A B =I ) A ．{0，1，2，3}B ．{1，2，3}C ．[1，3]D ．[0，3]2．（5分）已知a 、b 都是实数，那么“0a b <<”是“11a b>”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）设函数()tan 2x f x =，若3151(log 2),(log )2a f b f ==，0.2(2)c f =，则( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<4．（5分）已知P 为等边三角形所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r ，若||2AB =u u u r，则()(AP AB AC +=u u u r u u u r u u u rg )A ．23B ．3C ．6D ．与λ有关的数值5．（5分）17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，51BC AC -=．根据这些信息，可得sin 234(︒= )A ．125- B ．35+-C ．51+-D ．45+-6．（5分）已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=+++⋯+，若12242n a a a ++⋯+=，则4()x x λ+展开式中常数项()A ．32B ．24C ．4D ．87．（5分）在棱长为1的正四面体A BCD -中，E 是BD 上一点，3BE ED =u u u r u u u r，过E 作该四面体的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为( ) A ．8πB ．316π C ．4π D ．516π 8．（5分）若定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足f ’ ()()9x x f x e >+，f （3）327e =，则不等式()9x f x xe >的解集是( ) A ．(3,)+∞B ．(,3)-∞C ．(3,)-+∞D ．(,3)-∞-9．（5分）已知数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为2，数列{}n b 为等比数列，首项为1，公比为2，设n n b c a =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，则当2019n T <时，n 的取值可以是下面选项中的( ) A ．8B ．9C ．10D ．1110．（5分）已知函数3211()32f x x ax bx c =+++有两个极值点1x ，2x ，若11()f x x =，则关于x 的方程2()()0f x af x b ++=的不同实根个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．511．（5分）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E 、F 为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中不是定值的是()A ．点P 到平面QEF 的距离B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．三棱锥P QEF -的体积D ．QEF ∆的面积12．（5分）函数()f x 图象上不同两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，||AB 为A ，B 两点间距离，定义||(,)||A B k k A B AB ϕ-=为曲线()f x 在点A 与点B 之间的“曲率”，其中正确命题为( )A ．存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数B ．函数32()1f x x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1，2，则“曲率” (,)A B ϕ>C ．函数2()(0,)f x ax b a b R =+>∈图象上任意两点A 、B 之间 的“曲率” (,)2A B a ϕ…D ．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是曲线()x f x e =上不同两点，且121x x -=，若(,)1t A B ϕ<g 恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）已知复数131iz i+=-，则复数z 的虚部为 ． 14．（5分）函数()alnxf x x=的图象在点2(e ，2())f e 处的切线与直线41y x e =-平行，则()f x 的极值点是 ．15．（5分）设0x >，0y >，若2xln ，2yln 成等差数列，则19x y+的最小值为 ． 16．（5分）过点(0,1)M 的直线l 交椭圆22184x y +=于A ，B 两点，F 为椭圆的右焦点，ABF∆的周长最大为 ，此时ABF ∆的面积为 ． 三、解答题：本题共六个大题，共70分．17．（10分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=． （Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求a b +的取值范围．18．（12分）已知数列{}n a 前n 项和n S 满足{}*22(),n n n S a n N b =-∈是等差数列，且3412a b b =-，64b a =．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式：（2）求数列{}2(1)n n b -的前2n 项和2n T g19．（12分）在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2224AB CD BC AD ====，60DAB ∠=︒，AE BE =，PAD ∆为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ．（1）求二面角P EC D --的余弦值；（2）线段PC 上是否存在一点M ，使得异面直线DM 和PE 所成的角的余弦值为6?若存在，指出点M 的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>左顶点(2,0)M -2．（1）求椭圆Γ的方程；（2）过(1,0)N 的直线AB 交椭圆Γ于A 、B 两点，当MA MB u u u r u u u rg 取得最大值时，求MAB ∆面积．21．（12分）设函数2()f x x alnx =-． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当2a =时，①求函数()f x 在1[,]e e上的最大值和最小值；②若存在1x ，2x ，⋯，1[,]n x e e∈，使得121()()()()n n f x f x f x f x -++⋯+…成立，求n 的最大值．22．（12分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调査．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内，按[0，5]，(5，10]，(10，15]，(15，20]，(20，25]，(25，30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的22⨯列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；男 女 合计 网购迷 20 非网购迷 45 合计100（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如表所示：网购总次数支付宝支付次数 银行卡支付次数微信支付次数甲 80 40 16 24 乙90601812将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望．附：观测值公式：22()()()()()()a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++临界值表：20()P K k …0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.8282020年山东省普通高中学业水平等级数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分．1-8小题只有一个选项符合题意，9-12为多选题）1．（5分）设集合{|13}A x N x =∈-剟，2{|B y y x ==，}x R ∈，则(A B =I ) A ．{0，1，2，3}B ．{1，2，3}C ．[1，3]D ．[0，3]【解答】解：因为{|13}{0A x N x =∈-=剟，1，2，3}，2{|B y y x ==，}{|0}x R y y ∈=…， 所以{0A B =I ，1，2，3}， 故选：A ．2．（5分）已知a 、b 都是实数，那么“0a b <<”是“11a b>”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解答】解：若11a b >，则110b aa b ab --=>， 若0a b <<，则11a b>成立， 当0a >，0b <时，满足11a b>，但0a b <<不成立， 故“0a b <<”是“11a b>”的充分不必要条件， 故选：A ．3．（5分）设函数()tan 2x f x =，若3151(log 2),(log )2a f b f ==，0.2(2)c f =，则( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【解答】解：()f x 在(0,)π上单调递增； 312251112,325log log log log ==，且22log 5log 31>>； ∴22110153log log <<<； ∴13510212log log <<<； 又0.2122<<； ∴0.213510222log log π<<<<；b ac ∴<<．故选：D ．4．（5分）已知P 为等边三角形所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r ，若||2AB =u u u r，则()(AP AB AC +=u u u r u u u r u u u rg )A ．23B ．3C ．6D ．与λ有关的数值【解答】解：由()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r， 即点P 在直线BC 上， 取BC 的中点为D ， 则2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ，由向量的投影的几何意义有：22()2||2(3)6AP AB AC AD +==⨯=u u u r u u u r u u u r u u u rg ，故选：C ．5．（5分）17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，51BC AC -=sin 234(︒= )A．125-B．35+-C．51+-D．45+-【解答】解：由图可知，72ACB∠=︒，且1512cos72BCAC-︒==．251cos1442721cos+∴︒=︒-=-．则51sin234sin(14490)cos144+︒=︒+︒=︒=-．故选：C．6．（5分）已知(1)nxλ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，2012(1)n nnx a a x a x a xλ+=+++⋯+，若12242na a a++⋯+=，则4()xxλ+展开式中常数项( )A．32B．24C．4D．8【解答】解：(1)nxλ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，则23n nC C=，求得5n=，令0x=，则1a=令1x =，则5012(1)2421243n a a a a λ+++⋯+=+=+=， 解得2λ=，则42()x x+的展开式的通项公式为142rr T C +=42r r x -， 令420r -=，解得2r =，故42()x x+的展开式中的常数项为242C 224=故选：B ．7．（5分）在棱长为1的正四面体A BCD -中，E 是BD 上一点，3BE ED =u u u r u u u r，过E 作该四面体的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为( ) A ．8πB ．316π C ．4π D ．516π 【解答】解：将四面体ABCD 放置于正方体中，如图所示， 可得正方体的外接球就是四面体ABCD 的外接球，Q 正四面体ABCD 的棱长为1，∴， 可得外接球半径R满足2R =，R = E 是BD 上一点，3BE ED =u u u r u u u r，当球心O 到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O 到截面的距离等于OE ，cos ODB ∠==QOD =14DE =，222113()24416OE ∴=+-=，． ∴所得截面面积的最小值为2316ππ⨯=． 故选：B ．8．（5分）若定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足f ’ ()()9x x f x e >+，f （3）327e =，则不等式()9x f x xe >的解集是( ) A ．(3,)+∞B ．(,3)-∞C ．(3,)-+∞D ．(,3)-∞-【解答】解：()()9x f x f x e '>+Q ， ∴()()90x f x f x e '-->，∴()[9]0xf x x e -'>， 令()()9xf xg x x e =-，则()g x 在R 上单调增函数， f Q （3）327e =，g （3）3(3)270f e =-=， ∴()9x f x xe >等价于()90x f x x e->， 即()g x g >（3）， 其解集为：(3,)+∞． 故选：A ．9．（5分）已知数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为2，数列{}n b 为等比数列，首项为1，公比为2，设n n b c a =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，则当2019n T <时，n 的取值可以是下面选项中的( ) A ．8B ．9C ．10D ．11【解答】解：由题意，12(1)21n a n n =+-=-，12n n b -=， 122121n n n n b c a -==-=-g ，则数列{}n c 为递增数列，其前n 项和123(21)(21)(21)(21)n n T =-+-+-+⋯+-1212(12)(222)2212n nn n n n +-=++⋯+-=-=---．当9n =时，10132019n T =<； 当10n =时，20362019n T =>． n ∴的取值可以是8，9．故选：AB ．10．（5分）已知函数3211()32f x x ax bx c =+++有两个极值点1x ，2x ，若11()f x x =，则关于x 的方程2()()0f x af x b ++=的不同实根个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：Q 函数3211()32f x x ax bx c =+++有两个极值点1x ，2x ，不妨假设12x x <，2()0f x x ax b ∴'=++=有两个不相等的实数根， ∴△240a b =->．由于方程2()()0f x af x b ++=的判别式 △'=△240a b =->，故此方程有两解为1()f x x =或2()f x x =． 由于函数()y f x =的图象和直线1y x =的交点个数 即为方程1()f x x =的解个数；由于函数()y f x =的图象和直线2y x = 的交点个数，即为方程2()f x x =的解个数． 根据11()f x x =，画出图形，如图所示：由于函数()y f x =的图象和直线1y x =的交点个数为2，函数()y f x =的图象和直线2y x = 的交点个数为1，可得关于x 的方程1()f x x =或2()f x x =共有3个不同的实数根， 即关于x 的方程2()()0f x af x b ++=的不同实根个数为3． 故选：B ．11．（5分）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E 、F 为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中不是定值的是()A ．点P 到平面QEF 的距离B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．三棱锥P QEF -的体积D ．QEF ∆的面积【解答】解：A ．Q 平面QEF 即为对角面11A B CD ，点P 为11A D 的中点，∴点P 到平面QEF 即到对角面11A B CD 的距离124a =为定值；D ．Q 点Q 到直线CD 2a ，||EF 为定值，QEF ∴∆的面积12||2a EF =g g 为定值；C ．由A ．D 可知：三棱锥P QEF -的体积为定值；B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角与点Q 的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B 中的值不是定值． 故选：B ．12．（5分）函数()f x 图象上不同两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，||AB 为A ，B 两点间距离，定义||(,)||A B k k A B AB ϕ-=为曲线()f x 在点A 与点B 之间的“曲率”，其中正确命题为( )A ．存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数B ．函数32()1f x x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1，2，则“曲率”(,)A B ϕ>C ．函数2()(0,)f x ax b a b R =+>∈图象上任意两点A 、B 之间 的“曲率” (,)2A B a ϕ„D ．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是曲线()x f x e =上不同两点，且121x x -=，若(,)1t A B ϕ<g 恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞．【解答】解：对于A ，当函数()(0)f x kx b k =+≠时，()f x k '=，||||(,)0||||A B k k k k A B AB AB ϕ--===，故A 正确；对于B ，由题意得(1,1)A ，(2,5)B ，2()32f x x x '=-，||(,)||A B k k A B AB ϕ-∴===<，故B 错误；对于C ，()2f x ax '=，(A ϕ∴，||)2||A B k k B a AB -==，故C 正确；对于D ，由()x f x e =，得()x f x e '=，由1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 为曲线x y e =上两点，且121x x -=，可得(A ϕ，12||)||x x A B k k B AB -==1>，可得1t „，故D 错误．故选：AC ．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）已知复数131iz i+=-，则复数z 的虚部为 2- ． 【解答】解：由13(13)(1)24121(1)(1)2i i i iz i i i i +++-+====-+--+，得12z i =--，∴复数z 的虚部为2-．故答案为：2-． 14．（5分）函数()alnxf x x=的图象在点2(e ，2())f e 处的切线与直线41y x e =-平行，则()f x 的极值点是 x e = ． 【解答】解：2(1)()a lnx f x x-'=， 故2441()a f e e e '=-=-，解得：1a =， 故()lnx f x x =，21()lnx f x x -'=， 令()0f x '=，解得：x e =， 经检验x e =是函数的极值点， 故答案为：x e =．15．（5分）设0x >，0y >，若2xln ，2yln 成等差数列，则19x y+的最小值为 16 ．【解答】解：由题意可得2()2x y ln =+， 所以1x y +=， 则19199()()1010616y x x y x y x y x y+=++=+++=…， 当且仅当9y x x y =且1x y +=即14x =，34y =时取等号，此时取得最小值16． 故答案为：1616．（5分）过点(0,1)M 的直线l 交椭圆22184x y +=于A ，B 两点，F 为椭圆的右焦点，ABF∆的周长最大为 ABF ∆的面积为 ．【解答】解：设椭圆22184x y +=右焦点为(2,0)F ，1(2,0)F -，则1AF AF =，11BF BF =，所以AF BF AB ++11()AB AF BF =-+，显然11AF BF AB +…，当且仅当A ，B ，1F 共线时等号成立，所以当直线l 过点1F 时，ABF ∆的周长取最大值82， 此时直线方程为112yx -=，即220x y --=． 2222028x y x y --=⎧⎨+=⎩，可得：23420y y +-=，设1(A x ，1)y ， 2(B x ，2)y ，1243y y +=，1223y y =-， 21242210||()433y y -=+⨯=． ABF ∆的面积为：121041042⨯⨯=， 故答案为：82；410．三、解答题：本题共六个大题，共70分．17．（10分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=． （Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求a b +的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）ABC ∆中，()()3a b c a b c ab +++-=，222a b c ab ∴+-=，由余弦定理得，2221cos 22a b c C ab +-==；又(0,)C π∈Q ， 3C π∴=；（Ⅱ）由2c =，3C π=，根据正弦定理得，243sin sin sin sin 3a b c A B C π====，sin )a b A B ∴++2sin()]3A A π=+-2cos A A =+4sin()6A π=+；又ABC ∆Q 为锐角三角形，∴022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62A ππ<<； ∴2363A πππ<+<，4sin()46A π∴+„，综上，a b +的取值范围是4]．18．（12分）已知数列{}n a 前n 项和n S 满足{}*22(),n n n S a n N b =-∈是等差数列，且3412a b b =-，64b a =．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式：（2）求数列{}2(1)n n b -的前2n 项和2n T g【解答】解：（1）22n n S a =-， 当1n =时，得12a =， 当2n …时，1122n n S a --=-，作差得12n n a a -=，(2)n …所以数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以2n n a =．设等差数列{}n b 的公差为d ，由3412a b b =-，64b a =， 所以183d b =-，1165d b =+， 所以3d =，11b =， 所以32n b n =-． （2）222222212342121234212()()()3()3()3()n n n n n T b b b b b b b b b b b b --=-++-++⋯+-+=++++⋯++， 12342121223()3()3()3()n n n b b b b b b b b b -=++++⋯++=++⋯+又因为32n b n =-， 所以21222()33[13(2)2]1832n n n b b T n n n n +=⨯=+⨯-=-． 19．（12分）在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2224AB CD BC AD ====，60DAB ∠=︒，AE BE =，PAD ∆为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ．（1）求二面角P EC D --的余弦值；（2）线段PC 上是否存在一点M ，使得异面直线DM 和PE 所成的角的余弦值为6?若存在，指出点M 的位置；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设O 是AD 中点，PAD ∆为正三角形，则PO AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ， PO ⊥平面ABCD ，又2AD AE ==，60DAB ∠=︒，ADE ∴∆为正三角形，OE AD ⊥，以O 为原点，OA 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则(0P ，03)，(0E 30)，(2C -30)，设平面PEC 法向量为(n x =r，y ，)z ，(2PC =-u u u r 33)-，(0PE =u u u r 33)-，则2320330n PC x y z n PE y z ⎧=--=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u r g ，取1y =，得(0n =r ，1，1)， 平面EDC 的法向量(0m =r，0，1)，cos m <r，2||||m n n m n >==r r g r u u ur u u r ， ∴二面角P EC D --2． （2）设(01)PM PC λλ=u u u u r u u u r 剟，则(23,3)PM λλλ=--u u u u r， (12333)DM DP PM λλλ=+=-u u u u r u u u r u u u u r ，3,3)PE λ=-u u u r r，所以26|cos ,|||610104||||DM PE DM PE DM PE λλ<>===-+u u u u r u u u ru u u u r u u u r g u u u u u u u u u u u u u u u u u r ， 所以13λ=或23λ=，所以存在点M 为线段PC 的三等分点． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>左顶点(2,0)M -，离心率为22．（1）求椭圆Γ的方程；（2）过(1,0)N 的直线AB 交椭圆Γ于A 、B 两点，当MA MB u u u r u u u rg 取得最大值时，求MAB ∆面积．【解答】解：（1）由已知2a =，2c a =2c 222a b ∴-=，即242b -=， 22b ∴=，∴椭圆方程为22142x y +=．（2）当直线AB 与点x 轴重合时，点M 与点A 重合，此时0MA =u u u r r， ∴0MA MB =u u u r u u u rg ，当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 的方程为1x ty =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由221142x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)230t y ty ++-=，显然△0>，12222t y y t -∴+=+，12232y y t -=+， ∴2121212121212(2)(2)(3)(3)(1)3()9MA MB x x y y ty ty y y t y y t y y =+++=+++=++++u u u r u u u rg ，22232(1)3922tt t t t --=+++++g ， 229392t t --=++ 2151522t =+„， ∴MA MB u u u r u u u r g 取得最大值为152，此时0t =，直线l 为1x =，此时A，(1,B ，||AB ∴=||3MN =，11||||322S MN AB ∴==⨯g 21．（12分）设函数2()f x x alnx =-． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当2a =时，①求函数()f x 在1[,]e e上的最大值和最小值；②若存在1x ，2x ，⋯，1[,]n x e e∈，使得121()()()()n n f x f x f x f x -++⋯+„成立，求n 的最大值．【解答】解：（1）函数2()f x x alnx =-，可得22()2a x af x x x x-'=-=，故当0a „时，()0f x '…，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '>，得x >，所以函数()f x 在)+∞上单调递增；令()0f x '<，得x ，所以函数()f x 在上单调递减． 综上，当0a „时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在)+∞上单调递增，在上单调递减． （2）①当2a =时，由（1）知，函数()f x 在1[,1)e上单调递减，在(1，]e 上单调递增．故()min f x f =（1）1=，又因为211()23f e e=+<，25.29 2.72f =-<（e ）222 2.82 5.84e =-<-=，故2()()2max f x f e e ==-，②由于，22e f -=（e ）121()()()()(1)n n f x f x f x f x n f -++⋯+-厖?（1）1n =-， 故217n e -<„．由于1[,]x e e∈时，()[1f x ∈，22]e -，取123451x x x x x =====，则2125()()()52f x f x f x e ++⋯+=<-， 故n 的最大值为6．22．（12分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调査．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内，按[0，5]，(5，10]，(10，15]，(15，20]，(20，25]，(25，30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的22⨯列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；第21页（共22页）（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如表所示：网购总次数支付宝支付次数 银行卡支付次数微信支付次数甲 80 40 16 24 乙90601812将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望．附：观测值公式：22()()()()()()a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++临界值表：20()P K k …0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.828【解答】解：（1）依题意，因为0.0150.0250.0450.350.5⨯+⨯+⨯=<，而0.0150.0250.0450.0650.650.5⨯+⨯+⨯+⨯=>，所以中位数位于[15，20)之间，所以中位数为0.50.351517.50.06-+=．（2）依题意，消费金额在20千元以上的频率为：0.0450.0350.35⨯+⨯=，所以网购迷”人数为1000.3535⨯=人，非网购迷的人数为1003565-=人． 所以补全的列联表如下：男 女 合计 网购迷 15 20 35 非网购迷 45 20 65 合计6040100第22页（共22页）所以222()()100(15204520) 6.593()()()()60403565a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯．所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”； （3）根据统计数据，甲使用支付宝的概率为401802=，乙使用支付宝的概率为602903=，甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4，22121(0)(1)(1)2336P ξ==--=，1222122121221(1)()(1)()(1)232336P c C ξ==⨯⨯-+⨯⨯-= 221212222121111213(2)()(1)()(1)()()232332336P C C ξ==⨯-+⨯⨯⨯-+⨯=， 1222122121221(3)()()()(1)232333P C C ξ==⨯⨯+⨯⨯⨯-=，22121(4)()()239P ξ==⨯=．所以随机变量ξ的分布列为：所以ξ的数学期望113117()234636393E ξ=+⨯+⨯+⨯=．。

最新山东省及普通高中学业水平考试（会考）数学试题及答案山东省2015年12月普通高中学业水平考试数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共4页。

满分100分，考试限定用时90分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考籍号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（共60分）注意事项：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不涂在答题卡上，只答在试卷上无效。

一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） l. 已知集合{}1,2A =，{}2,3B =，则A B =UA. {}2B. {}1,2C. {}2,3D. {}1,2,3 2. 图象过点(0,1)的函数是 A.2xy = B.2log y x =C.12y x= D. 2y x =3. 下列函数为偶函数的是 A.sin y x =. B. cos y x =C. tan y x =D. sin 2y x =4. 在空间中，下列结论正确的是A.三角形确定一个平面B.四边形确定一个平面C.一个点和一条直线确定一个平面D.两条直线确定一个平面5. 已知向量(1,2),(1,1)a b =-=，则a b =g A. 3 B.2 C. 1 D. 06. 函数()sin cos f x x x =的最大值是 A.14B.12C.3 D. 17. 某学校用系统抽样的方法，从全校500名学生中抽取50名做问卷调查，现将500名学生编号为1，2，3，…，500，在1~10中随机抽地抽取一个号码，若抽到的是3号，则从11~20中应抽取的号码是A. 14B. 13C. 12D. 11 8. 圆心为(3,1)，半径为5的圆的标准方程是 A. 22(3)(1)5x y +++= B. 22(3)(1)25x y +++=C.22(3)(1)5x y -+-=D.22(3)(1)25x y -+-= 49. 某校100名学生数学竞赛成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，则该次数学成绩在[50,60)内的人数为 A. 20 B. 15 C. 10 D. 610. 在等比数列{}n a 中，232,4a a ==，则该数列的前4项和为 A.15 B. 12 C. 10 D. 6 11. 设,,a b c R ∈，且a b >，则下列不等式成立的是 A.22a b >B. 22ac bc >C. a c b c +>+D.11a b< 12. 已知向量(1,2),(2,)a b x =-=，若//a b ，则x 的值是1A. 4-B. 1-C. 1D. 4 13. 甲、乙、丙3人站成一排，则甲恰好站在中间的概率为 A.13B.12C.23D. 1614. 已知函数()2sin()(0)f x x ω?ω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为 A. 1 2 C. 3 D.215 已知实数020.31log 3,(),log 22a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 A. b c a << B. b a c << C. ca b << D. c b a <<16. 如图，角α的终边与单位圆交于点M ，M 的纵坐标为45，则cos α=A.35B.35- C.45D.45-17. 甲、乙两队举行足球比赛，甲队获胜的概率为13，则乙队不输的概率为A.56B.34C.23D. 1318. 如图，四面体ABCD 的棱DA ⊥平面ABC ，090ACB ∠=，则四面体的四个面中直角三角形的个数是 A. 1 B.2 C. 3 D. 419.在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c . 若222c a ab b =++，则C = A. 0150 B. 0120 C.060D. 03020. 如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出a 的值是2值为 A. 12B. 13C.14D. 15第II 卷（共40分）注意事项：1. 第II 卷共8个小题，共40分。

2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷一、本大题共20小题，每小题3分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合A ＝{1, 3, 5}，B ＝{2, 3}，则A ∪B ＝（ ） A.{3} B.{1, 5}C.(1, 2, 5)∩{1, 2, 5}D.{1, 2, 3, 5}2. 函数f(x)=cos(12x +π6)的最小正周期为（ ） A.π2B.πC.2πD.4π3. 函数f(x)=√x −1+ln(4−x)的定义域是( ) A.(1, +∞) B.[1, 4) C.(1, 4] D.(4, +∞)4. 下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)上是减函数的是（ ）A.y ＝−x 3B.y =1C.y ＝|x|D.y =1x5. 已知直线l 过点P(2, −1)，且与直线2x +y −l ＝0互相垂直，则直线l 的方程为（ ） A.x −2y ＝0 B.x −2y −4＝0 C.2x +y −3＝0 D.2x −y −5＝06. 已知函数f(x)={2x ,x ≤0x 32,x >0，则f(−1)+f(1)＝（ ）A.0B.1C.32 D.27. 已知向量a →与b →的夹角为π3，且|a →|＝3，|b →|＝4，则a →⋅b →=( )A.6√3B.6√2C.4√3D.68. 某工厂抽取100件产品测其重量（单位：kg ）．其中每件产品的重量范围是[40, 42]．数据的分组依据依次为[40, 40, 5)，[40, 5, 41)，[41, 41, 5)，[41, 5, 42)，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40, 41)内的产品件数为（ ）A.30B.40C.60D.80sin 110∘ cos40∘−cos70∘sin40∘=()A.1 2B.√32C.−12D.−√3210. 在平行四边形ABCD中，AB→+BD→−AC→=()A.DC→B.BA→C.BC→D.BD→11. 某产品的销售额y（单位：万元）与月份x的统计数据如表．用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程为y^=7x+a^，则实数a^=()12. 下列结论正确的是（）A.若a<b，则a3<b3B.若a>b，则2a<2bC.若a<b，则a2<b2D.若a>b，则lna>lnb13. 圆心为M(1, 3)，且与直线3x−4y−6＝0相切的圆的方程是（）A.(x−1)2+(y−3)2＝9B.(x−1)2+(y−3)2＝3C.(x+1)2+(y+3)2＝9D.(x+1)2+(y+3)2＝314. 已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（）A.事件“都是红色卡片”是随机事件B.事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C.事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件15. 若直线(a−1)x−2y+1＝0与直线x−ay+1＝0垂直，则实数a＝（）A.−1或2B.−1C.13D.316. 将函数y＝sinx的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移π12个单位，得到的图象对应的函数解析式为（）A.y＝sin(3x−π)B.y＝sin(3x−π)17. 3名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A.1 4B.23C.12D.3418. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列判断正确的是（）A.A1D⊥C1CB.BD1⊥ADC.A1D⊥ACD.BD1 ⊥AC19. 已知向量a→，b→不共线，若AB→=a→+2b→，BC→=−3a→+7b→，CD→=4a→−5b→，则（）A.A，B，C三点共线B.A，B，D三点共线C.A，C，D三点共线D.B，C，D三点共线20. 在三棱锥P−ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝PC＝2，则该三棱锥的外接球体的体积为（）A.9π2B.27π2C.9πD.36π二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人．若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽取18人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为________．已知α为第二象限角，若sinα=35，则tanα的值为________．已知圆锥底面半径为1，高为√3，则该圆锥的侧面积为________．已知函数f(x)＝x2+x+a在区间(0, 1)内有零点，则实数a的取值范围为________．若P是圆C1：(x−4)2+(y−5)2＝9上一动点，Q是圆C2：(x+2)2+(y+3)2＝4上一动点，则|PQ|的最小值是________．三、解答题：本题共3小题，共25分．如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AB、PC中点，求证：EF // 面PAD．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＝6，cosB=1．3（1）若sinA=3，求b的值；5（2）若c＝2，求b的值及△ABC的面积S．已知函数f(x)＝ax+log3(9x+1)(a∈R)为偶函数．（1）求a的值；（2）当x∈[0, +∞)时，不等式f(x)−b≥0恒成立，求实数b的取值范围．参考答案与试题解析2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷一、本大题共20小题，每小题3分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【考点】并集及其运算【解析】进行并集的运算即可．【解答】∵A＝{1, 3, 5}，B＝{2, 3}，∴A∪B＝{1, 2, 3, 5}．2.【答案】D【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】根据三角函数的周期公式直接进行计算即可．【解答】由三角函数的周期公式得T=2π12=4π，3.【答案】B【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：∵函数f(x)=√x−1+ln(4−x)，∴{x−1≥0,4−x>0.解得1≤x<4.∴函数f(x)的定义域是[1, 4)．故选B．4.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】由幂函数的性质可知，y＝−x3，y=1x为奇函数，不符合题意，y＝|x|为偶函数且在(0, +∞)上单调递增，不符号题意，y=1x2为偶函数且在(0, +∞)上单调递减，符合题意．5.【答案】B【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】根据题意设出直线l的方程，把点P(2, −1)代入方程求出直线l的方程．【解答】根据直线l与直线2x+y−l＝0互相垂直，设直线l为x−2y+m＝0，又l过点P(2, −1)，∴2−2×(−1)+m＝0，解得m＝−4，∴直线l的方程为x−2y−4＝0．6.【答案】C【考点】求函数的值函数的求值【解析】推导出f(−1)＝2−1=12，f(1)=132=1，由此能求出f(−1)+f(1)的值．【解答】∵函数f(x)={2x,x≤0x32,x>0，∴f(−1)＝2−1=12，f(1)=132=1，∴f(−1)+f(1)=12+1=32．故选：C．7.【答案】D【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】进行数量积的运算即可．【解答】∴ a →⋅b →=|a →||b →|cos π3=3×4×12=6．8.【答案】 B【考点】频率分布直方图 【解析】由频率分布直方图得重量在[40, 41)内的频率为0.4．由此能求出重量在[40, 41)内的产品件数． 【解答】由频率分布直方图得：重量在[40, 41)内的频率为：(0.1+0.7)×0.5＝0.4． ∴ 重量在[40, 41)内的产品件数为0.4×100＝40． 9.【答案】 A【考点】求两角和与差的正弦 【解析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可． 【解答】解：sin 110∘ cos40∘−cos70∘sin40∘ =sin 70∘ cos40∘−cos70∘sin40∘ =sin (70∘−40∘) =sin30∘=12． 故选A ． 10.【答案】 B【考点】向量加减法的应用 【解析】利用平面向量加法法则直接求解． 【解答】在平行四边形ABCD 中，AB →+BD →−AC →=AB →+BD →+CA →=CD →=BA →． 11.【答案】 B【考点】求解线性回归方程由已知求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程即可求得实数a^．【解答】x=3+4+5+64=4.5，y=25+30+40+454=35，∴样本点的中心坐标为(4.5, 35)，代入y^=7x+a^，得35＝7×4.5+a^，即a^=3.5．12.【答案】A【考点】不等式的基本性质【解析】利用函数的单调性、不等式的性质即可判断出正误．【解答】A．a<b，可得a3<b3，正确；B．a>b，可得2a>2b，因此B不正确；C．a<b，a2与b2大小关系不确定，因此不正确；D．由a>b，无法得出lna>lnb，因此不正确．13.【答案】A【考点】圆的切线方程圆的标准方程【解析】由题意可知，圆的半径即为圆心M到直线的距离，根据点到直线的距离公式即可求解．【解答】由题意可知，圆的半径r=|3−12−6|5=3，故所求的圆的方程为(x−1)2+(y−3)2＝9．14.【答案】C【考点】随机事件【解析】利用随机事件的定义直接求解．【解答】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误；在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确．15.C【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系 【解析】根据题意，分析可得(a −1)+2a ＝0，解可得a 的值，即可得答案． 【解答】根据题意，若直线(a −1)x −2y +1＝0与直线x −ay +1＝0垂直， 必有(a −1)+2a ＝0，解可得a =13；16.【答案】 A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】由题意利用函数y ＝Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 【解答】将函数y ＝sinx 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），可得y ＝sin3x 的图象；再将得到的图象向右平移π12个单位，得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin3(x −π12)＝sin(3x −π4)， 17.【答案】 D【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】求得3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可． 【解答】3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有23＝8种情况， 周六、周日都有同学参加公益活动，共有23−2＝8−2＝6种情况， ∴ 所求概率为68=34． 18.【答案】 D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】直接可以看出A ，B ，C 均不成立，用线线垂直来推线面垂直进而得到线线垂直． 【解答】因为AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1；BD ∩DD 1＝D ；∴ AC ⊥平面DD 1B 1B ； BD 1⊆平面DD 1B 1B ； ∴ AC ⊥BD 1； 即D 对． 19.【答案】 B【考点】平行向量（共线） 【解析】BD →=BC →+CD →=(−3a →+7b →)+(4a →−5b →)=a →+2b →=AB →，从而BD →∥AB →，进而A ，B ，D 三点共线． 【解答】向量a →，b →不共线，AB →=a →+2b →，BC →=−3a →+7b →，CD →=4a →−5b →，∴ BD →=BC →+CD →=(−3a →+7b →)+(4a →−5b →)=a →+2b →=AB →，∴ BD →∥AB →，∴ A ，B ，D 三点共线． 20.【答案】 A【考点】球的体积和表面积 【解析】由题意将此三棱锥放在长方体中，可得长方体的长宽高，再由长方体的对角线等于外接球的直径求出外接球的体积． 【解答】由三棱锥中PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝1，PB ＝2，PC ＝2将此三棱锥放在长方体中，由题意知长方体的长宽高分别是：1，2，2．设外接球的半径为R ，则2R =√12+22+22=3所以R =32， 439二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．【答案】8【考点】分层抽样方法【解析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率值，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数目，得到女运动员要抽取得人数．【解答】∵ 某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人，∴ 这支田径队共有45+36＝81人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为18的样本，∴ 每个个体被抽到的概率是1881=29，∵ 女运动员36人，∴ 女运动员要抽取36×29=8人，【答案】−34【考点】同角三角函数间的基本关系【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα 的值，从而求得tanα的值．【解答】∵ α为第二象限角sinα=35，∴ cosα=−45，则tanα=sinαcosα=−34， 【答案】2π【考点】柱体、锥体、台体的侧面积和表面积【解析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解．【解答】由已知可得r ＝1，ℎ=√3，则圆锥的母线长l =√12+(√3)2=2．∴ 圆锥的侧面积S ＝πrl ＝2π．【答案】(−2, 0)【考点】函数零点的判定定理【解析】由零点存在性定理得f(0)f(1)＝a(a +2)<0，求出即可．【解答】函数f(x)＝x 2+x +a 在区间(0, 1)内有零点，f(0)＝a，f(1)＝2+a，由零点存在性定理得f(0)f(1)＝a(a+2)<0，得−2<a<0，经验证a＝−2，a＝0均不成立，故答案为：(−2, 0)【答案】5【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】分别找出两圆的圆心坐标，以及半径r和R，利用两点间的距离公式求出圆心间的距离d，根据大于两半径之和，得到两圆的位置是外离，又P在圆C1上，Q在圆C2上，则|PQ|的最小值为d−(r+R)，即可求出答案．【解答】圆C1：(x−4)2+(y−5)2＝9的圆心C1(4, 5)，半径r＝3，圆C2：(x+2)2+(y+3)2＝4的圆心C2(−2, −3)，半径r＝2，d＝|C1C2|=√(4+2)2+(5+3)2=10>2+3＝r+R，所以两圆的位置关系是外离，又P在圆C1上，Q在圆C2上，则|PQ|的最小值为d−(r+R)＝10−(2+3)＝5，三、解答题：本题共3小题，共25分．【答案】证明：取PD的中点G，连接FG、AG．因为PF＝CF，PG＝DG，CD．所以FG // CD，且FG=12又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点．CD．所以AE // CD，且AE=12所以FG // AE，且FG＝AE，所以四边形EFGA是平行四边形，所以EF // AG．又因为EF平面PAD，AG⊂平面PAD，所以EF // 平面PAD．【考点】直线与平面平行【解析】取PD的中点G，连接FG、AG，由PF＝CF，PG＝DG，所以FG // CD，且FG=1CD．又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点．所以AE // CD，且AE= 21CD．证得四边形EFGA是平行四边形，所以EF // AG，由线面平行的判定定理即可得2证．【解答】证明：取PD的中点G，连接FG、AG．因为PF＝CF，PG＝DG，所以FG // CD，且FG=12CD．又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点．所以AE // CD，且AE=12CD．所以FG // AE，且FG＝AE，所以四边形EFGA是平行四边形，所以EF // AG．又因为EF平面PAD，AG⊂平面PAD，所以EF // 平面PAD．【答案】由cosB=13可得sinB=2√23，由正弦定理可得，asinA =bsinB，所以b=asinBsinA =6×2√2335=20√23，由余弦定理可得，cosB=13=a2+c2−b22ac=36+4−b22×2×6，解可得，b＝4√2，S=12acsinB=12×6×2×2√23=4√2．【考点】正弦定理余弦定理【解析】（1）先根据同角平方关系求出sinB，然后结合正弦定理即可求解，（2）结合余弦定理及三角形的面积公式即可求解．【解答】由cosB=13可得sinB=2√23，由正弦定理可得，asinA =bsinB，所以b=asinBsinA =6×2√2335=20√23，由余弦定理可得，cosB=13=a2+c2−b22ac=36+4−b22×2×6，解可得，b＝4√2，S=12acsinB=12×6×2×2√23=4√2．【答案】根据题意可知f(x)＝f(−x)，即ax+log3(9x+1)＝−ax+log3(9−x+1)，整理得log39x+19+1=−2ax，即−2ax=log39x=2x，解得a＝1；由（1）可得f(x)＝x+log3(9x+1)，因为f(x)−b≥0对x∈[0, +∞)恒成立，即x+log3(9x+1)≥b对x∈[0, +∞)恒成立，因为函数g(x)＝x+log3(9x+1)在[0, +∞)上是增函数，所以g(x)min＝g(0)＝log32，则b≤log32．【考点】函数奇偶性的性质与判断函数恒成立问题【解析】（1）根据偶函数性质f(x)＝f(−x)，化简整理可求得a的取值；（2）根据条件可知x+log3(9x+1)≥b对x∈[0, +∞)恒成立，求出函数g(x)＝x+ log3(9x+1)在[0, +∞)上的最小值即可【解答】根据题意可知f(x)＝f(−x)，即ax+log3(9x+1)＝−ax+log3(9−x+1)，整理得log39x+19−x+1=−2ax，即−2ax=log39x=2x，解得a＝1；由（1）可得f(x)＝x+log3(9x+1)，因为f(x)−b≥0对x∈[0, +∞)恒成立，即x+log3(9x+1)≥b对x∈[0, +∞)恒成立，因为函数g(x)＝x+log3(9x+1)在[0, +∞)上是增函数，所以g(x)min＝g(0)＝log32，则b≤log32．。

山东省2015年12月普通高中学业水平考试数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共4页。

满分100分，考试限定用时90分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考籍号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（共60分）注意事项：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不涂在答题卡上，只答在试卷上无效。

一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） l. 已知集合{}1,2A =，{}2,3B =，则A B =A. {}2B. {}1,2C. {}2,3D. {}1,2,3 2. 图象过点(0,1)的函数是 A.2xy = B.2log y x =C.12y x= D. 2y x =3. 下列函数为偶函数的是 A.sin y x =. B. cos y x =C. tan y x =D. sin 2y x =4. 在空间中，下列结论正确的是A.三角形确定一个平面B.四边形确定一个平面C.一个点和一条直线确定一个平面D.两条直线确定一个平面5. 已知向量(1,2),(1,1)a b =-=，则a b = A. 3 B.2 C. 1 D. 06. 函数()sin cos f x x x =的最大值是 A.14B.12C.3 D. 17. 某学校用系统抽样的方法，从全校500名学生中抽取50名做问卷调查，现将500名学生编号为1，2，3，…，500，在1~10中随机抽地抽取一个号码，若抽到的是3号，则从11~20中应抽取的号码是A. 14B. 13C. 12D. 11 8. 圆心为(3,1)，半径为5的圆的标准方程是 A. 22(3)(1)5x y +++= B. 22(3)(1)25x y +++=C.22(3)(1)5x y -+-=D.22(3)(1)25x y -+-= 49. 某校100名学生数学竞赛成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，则该次数学成绩在[50,60)内的人数为 A. 20 B. 15 C. 10 D. 610. 在等比数列{}n a 中，232,4a a ==，则该数列的前4项和为 A. 15 B. 12 C. 10 D. 6 11. 设,,a b c R ∈，且a b >，则下列不等式成立的是 A.22a b >B. 22ac bc >C. a c b c +>+D.11a b< 12. 已知向量(1,2),(2,)a b x =-=，若//a b ，则x 的值是1A. 4-B. 1-C. 1D. 4 13. 甲、乙、丙3人站成一排，则甲恰好站在中间的概率为 A. 13B.12C.23D. 1614. 已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为 A. 1 2 C. 3 D.215 已知实数020.31log 3,(),log 22a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 A. b c a << B. b a c << C. c a b << D. c b a <<16. 如图，角α的终边与单位圆交于点M ，M 的纵坐标为45，则cos α=A.35B.35- C.45D.45-17. 甲、乙两队举行足球比赛，甲队获胜的概率为13，则乙队不输的概率为A.56B.34C.23D. 1318. 如图，四面体ABCD 的棱DA ⊥平面ABC ，090ACB ∠=， 则四面体的四个面中直角三角形的个数是 A. 1 B.2 C. 3 D. 419.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c . 若222c a ab b =++，则C = A. 0150 B. 0120 C.060D. 03020. 如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出a 的值是2值为 A. 12B. 13C.14D. 15第II 卷（共40分）注意事项：1. 第II 卷共8个小题，共40分。