2021年高二学业水平考试数学试题 含答案

2021年高二学业水平测试数学试题 含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1、已知集合，，则.2、下列函数中，与函数定义域相同的函数为.3、设是等差数列的前项和，已知，，则.4、某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体积是.5、将函数的图像向左平移个单位，得到函数 的图像，则下列说法正确的是. 的最小正周期为 是偶函数 的图像关于点对称 在区间上是减函数6、已知，则下列不等关系式中正确的是.7、在中，已知，，则. 8、设满足约束条件 则的最小值为 9、设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为10、小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11、过点且与直线平行的直线方程是12、如图，在半径为的圆内随机撒粒豆子，有粒落在阴影部分， 据此估计阴影部分的面积为13、执行如图所示的程序框图，则输出的的值是14、在中，已知，，，则的长为三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15、（本小题满分12分）实验室某一天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：.43俯视图侧视图正视图（1）求实验室这一天上午10点的温度；（2）当为何值时，这一天中实验室的温度最低.16、（本小题满分12分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾的正确分类投放情况，现随机抽取了该市四类垃圾箱总计100吨生活垃圾，数据统计如下（2）试估计生活垃圾投放错误．．的概率.17、（本小题满分14分）如图所示，四棱锥中，底面为矩形， ，，点为的中点. （1）求证：； （2）求证：. 18、（本小题满分14分）已知直线与圆相交于不同两点，.B（1）求实数的取值范围（2）是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19、（本小题满分14分）已知等差数列的公差为，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：.20、（本小题满分14分）已知，函数.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）求函数的零点个数.数学参考答案一、选择题二、填空题11、12、13、14、三、解答题15、解：（1）依题意实验室这一天上午10点，即时，，所以上午10点时，温度为.（2）因为，所以，令，即，所以故当时，即时，取得最小值，故当时，这一天中实验室的温度最低。

2021年高二下学期期中学业水平测试数学理试题 含答案高二数学科（理）试卷一、选择题（单项选择题，每小题5分，共40分）1．{}(){}=12,30,x x N x x x -<=-<设集合M 那么“（ ） A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件2．设等差数列{a n }的前 n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝20，则a 7＋a 8＋a 9＝( )A ．63B ．45C ．27D ．363. 用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3 (n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)34．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ） A ． B ． C ．4 D ．10 ５. 某校要从4名教师中选派3名参加省骨干教师3期培训，各期只派1名。

由于工作上的原因，甲、乙两名老师不能参加第一期的培训，则不同选派方法有（ ）种。

A. 8 B. 12 C. 24 D. 486. 若(1－2x )2011＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2011x 2011(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 201122011的值为 ( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2７．函数y = sinx + 13 sin3x 在x = π3 处有极值，则的值为（ ） A. －6 B. 6 C. －2 D. 2 8.设实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共30分）9. 已知向量和向量对应的复数分别为和，则向量对应的复数为________ . 10.若，则二项式展开式中含的项的系数是________. 11．已知函数，等比数列的公比为2，若， 则 .12.规定，其中为正整数且。

2021年高二下学期期末学业水平监测数学理试题 Word版含答案一、填空题（本大题共14题，每小题5分，共70分）1．已知复数z1=1+i，z2=m﹣i（m∈R，i是虚数单位），若z1•z2为纯虚数，则m= _________ ．2．二项式（x﹣）6的展开式中第5项的二项式系数为_________ ．（用数字作答）3．若随机变量X～B（3，），则P（X=2）= _________ ．4．计算：+= _________ ．（用数字作答）5．抛掷一颗质地均匀的骰子，设A表示事件“正面向上的数字为奇数”、B表示事件“正面向上的数字大于3”，则P（A|B）= _________ ．6．用0，1，2，3四个数字，组成没有重复数字的四位数，则其中偶数的个数为_________．7．已知函数f（x）=sin（2x﹣），那么f′（）的值是_________．8．记n!=1×2×…n（n∈N*），则1!+2!+3!+…+xx!的末位数字是_________．9．已知随机变量X的概率分布如下表所示，且其数学期望E（X）=2，X 0 1 2 3P a b则随机变量X的方差是_________．10．已知在等比数列{a n}中，若m+2n+p=s+2t+r，m，n，p，s，t，r∈N*，则a m•a n2•a p=a s•a t2•a r．类比此结论，可得到等差数列{b n}的一个正确命题，该命题为：在等差数列{b n}中，若m+2n+p=s+2t+r，m，n，p，s，t，r∈N*，则_________．11．设正四棱锥的侧棱长为3，则其体积的最大值为_________．12．已知甲、乙两人投篮投中的概率分别为和，若两人各投2次，则两人投中次数相等的概率为_________．13．已知函数f（x）的导函数f′（x）是二次函数，且f′（x）=0的两根为0和2，若函数f （x）在开区间（2m﹣3，）上存在最大值和最小值，则实数m的取值范围为_________．14．某宿舍的5位同学每人写一张明信片并放在一个不透明的箱子中，每人从中任意取出一张，记一个“恰当”为有一位同学取到的明信片不是自己写的，用ξ表示“恰当”的个数，则随机变量ξ的数学期望是_________．二、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（12分）某小组有4名男生，3名女生．（1）若从男，女生中各选1人主持节目，有多少种不同的选法？（2）若从男，女生中各选2人，组成一个小合唱队，要求站成一排且2名女生不相邻，共有多少种不同的排法？16．（12分）设（2x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5求：（1）a0+a1+a2+a3+a4（2）（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2．17．（12分）已知函数f（x）=（x＞﹣1）．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求f（x）的最小值．18．（14分）在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取3个不同的数．（1）求这3个数中恰有2个是奇数的概率；（2）设X为所取3个数中奇数的个数，求随机变量X的概率分布及数学期望．19．（15分）已知数列{a n}的首项a1=1，设T n=a1+a2+a3+…+a n+a n+1（n∈N*）．（1）若数列{a n}是等差数列，且公差d=2，求T n；（2）若数列{a n}是等比数列，且公比q=2．①求T n；②用数学归纳法证明：T n＞n2+2n（n∈N*，n≥2）．20．（15分）已知函数f（x）=x2﹣alnx，a∈R．（1）若a=2，求函数f（x）的极小值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若方程f（x）=0在区间[，e]上有且只有一个解，求实数a的取值范围．三、选做题（在21、22、23、24题中只能选做1题，每小题10分）【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）如图，AB为圆O的直径，BC与圆O相切于点B，D为圆O上的一点，AD∥OC，连接CD．求证：CD为圆O的切线．【选修4-2：矩阵与变换】22．已知矩阵A=，向量=，求矩阵A的逆矩阵，及使得A=成立的向量．【选修4-4：坐标系及参数方程】23．在极坐标系中，已知圆C的圆心为C（2，），半径为1，求圆C的极坐标方程．【选修4-5：不等式选讲】24．求函数y=+的最大值．二、解答题（本大题共6小题，共80分）15．解：（1）完成这是事情可分为两步进行：第一步，从4名男生中选1名男生，有4种选法，第二步，从3名女生中选1名女生，有3种选法，根据分步计数原理，共有4×3=12种选法答：有12种不同的选法；（2）完成这是事情可分为四步进行：第一步第一步，从4名男生中选2名男生，有=6种选法，第二步，从3名女生中选2名女生，有=3种选法，第三步，将选取的2名男生排成一排，有=2种排法，第四步，在2名男生之间及两端共3个位置选2个排2个女生，有=6，根据分步计数原理，不同的排法种数为6×3×2×6=216答：有216种不同的排法．16．解：当x=1时，a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=a5+a4+a3+a2+a1+a0=1；当x=﹣1时，a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1x+a0=﹣243；（1）∵a5=25=32∴a0+a1+a2+a3+a4=1﹣32=﹣31（2）∵（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2．=（a5+a4+a3+a2+a1+a0）（﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1+a0）=1×（﹣243）=﹣24317．解：（1）∵f（x）=，∴f′（x）=，∴f′（1）=，∵f（1）=，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为ex﹣4y+e=0；（2）令f′（x）=0，可得x=0，x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，函数单调递减，x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x=0时，f（x）的最小值为1．18．解：（1）记“3个数中恰有2个是奇数”为事件A，从9个自然数中，任取3个不同的数，共会出现=84种等可能的结果，其中3个数中恰有2个是奇数的结果有=40种，故这3个数中恰有2个是奇数的概率P（A）=．（2）由题意得X的取值范围为0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）==，P（X=2）=，P（X=3）=，∴随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3 PEX==．19．解：（1）由题意得，a n=2n﹣1，∵=，T n=a1+a2+a3+…+a n+a n+1，∴T n=a n+1+a n+…+a2+a1=a n+1+a n+…+a2+a1，…2分∴2T n=（a1+a n+1）+（a2+a n）+…+（a n+a2）+（a n+1+a1），=（a1+a n+1）（++…++）=（1+2n+1）2n，∴T n=（n+1）•2n…4分（2）①由题得，a n=2n﹣1，T n=a1+a2+…+a n+a n+1=+2+22+…+2n﹣1+2n=（1+2）n=3n…7分②证明：（i）当n=2时，T2=32=9，22+2×2=8，T2＞8，不等式成立，…9分（ii）假设n=k（k∈N，k≥2）时，不等式成立，即3k＞k2+2k，…10分当n=k+1时，3k+1=3•3k＞3（k2+2k）…11分∵3（k2+2k）﹣[（k+1）2+2（k+1）]=2k2+2k﹣3，∵k≥2，∴2k2+2k﹣3＞2k﹣3＞0，∴3k+1＞（k+1）2+2（k+1）．即当n=k+1时，不等式也成立…14分根据（i）（ii）可知，对任意n∈N*（n≥2），不等式成立…15分20．解：（1）a=2时，f（x）=x2﹣2lnx，x＞0，∴f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，x＜﹣1（舍），令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴x=1时，f（x）取到极小值f（1）=1，（2）∵f′（x）=，x＞0，①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞，x＜﹣（舍），令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增a＞0时，f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（3）由题意得：方程a=在区间[，e]上有且只有一个解，令g（x）=，则g′（x）=，令g′（x）=0，解得：x=，∴g（x）在（，）上递减，在（，e）递增，又g（）=＜g（e）=e2，∴方程a=在区间[，e]上有且只有一个解时，有＜a≤e2，或a=2e，∴实数a的取值范围时：{a|＜a≤e2或a=2e}．三、选做题（在21、22、23、24题中只能选做1题，每小题10分）【选修4-1：几何证明选讲】21．证明：连接OD，∵AD∥OC，∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠COB=∠COD，在△COB和△COD中，OB=OD，∠COB=∠COD，OC=OC，∴△COB≌△COD（SAS），∴∠ODC=∠OBC，∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，即OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线．22．解：矩阵的行列式为=﹣2，∴矩阵A的逆矩阵A﹣1=，∴=A﹣1=．23．解：在圆C上任意取一点P（ρ，θ），在△POC中，由余弦定理可得CP2=OC2+OP2﹣2OC•OP•cos∠POC，即1=4+ρ2﹣2×2×ρcos（θ﹣），化简可得ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+3=0．当O、P、C共线时，此方程也成立，故圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+3=0．24．解：由柯西不等式可得y2=（+）2≤[12+（）2]（1+x+1﹣x）=6，当且仅当=，即x=﹣时取等号，∵y≥0，∴x=﹣时，y的最大值为．27704 6C38 永>37527 9297 銗23855 5D2F 崯33062 8126 脦t35210 898A 覊738420 9614 阔*ZS 22962 59B2 妲^。

A B C D3.函数y=的定义域为------------------------------------------------------- ( )A.{x |x ≠2或x≠3 }B.{x |x ≠2且x≠3 }C.{ x | 2<x<3}D.{x |x<2 或x>3}4．下面结论正确的是--------------------------------------------------------------------------------（）A、若，则有，B、若，则有，C、若，则有，D、若，则有5．在等差数列{a n}中，已知前15项之和S15=60，那么a8=------------------------------（）A.3B.4C.5D.66．从四件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是---（）A B C D7.球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是------------------------------------------（）A. B . C. D.8.写出下列程序运行后的结果.(1)=1=2PRINT ,,END运行结果为-----------------------------------------------------------（）A.1，2，-1 B．1，-2，-1 C．1，-2，1 D．1，2，19.等于--------------------------------------------------（）A B C D10 已知过点和的直线与直线平行，则的值为----------------------------------------------------------------------------------------（）A B C D —511. 垂直于同一条直线的两条直线一定---------------------------------------------------------（）A 平行B 相交C 异面D 以上都有可能12.在数列中，等于----------------------------------------------------（）A B C D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

广西普通高中2021-2022学年高二6月学业水平考试 数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知M 是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M 可表示为（ ） A ．{x |x =1}B ．{x |x =2}C ．{1，2}D ．{1，2，3}2．如图是由圆柱和长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．若复数34i 3i b +=+，i 为虚数单位，则b =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．54．如图所示程序框图中，若输入a =1，b =2，则输出S 的值是（ ）A ．12B ．8C ．4D ．15．已知直线:20l x y c ++=经过点(1,1)，则c 的值为（ ） A ．-3B ．-5C ．-7D ．-96．某班有55人，要抽出3人，班长给全班同学编号：01，02，03，…，55.用随机数表法确定人选，依次得到4个随机数为03，25，98，47，其中，不能作为编号的随机数是（ ） A ．03 B ．25C ．98D ．477．已知cos αtan α=1，则sin α=（ ）A ．13B C ．37D ．598．如图，在ABCD 中，AB AD +=（ ）A ．BDB ．AC C ．BCD ．CD9．数列{}n a 的前4项为：1111,,,25811，则它的一个通项公式是（ ）A ．121n - B ．121n + C ．131n - D ．131n + 10．函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与y 轴的交点坐标是（ ） A ．()0,0 B ．()0,1 C ．()0,2 D ．()1,111．若1tan 4α=，则()tan α-=（ ） A ．1-2B ．1-3C ．1-4D ．1-512．如图是定义在[-4，0]上的y =f (x )的图像，则f (x )最大值为（ ）A ．-4B ．0C ．1D ．413．已知函数()f x 与x 的值对应如下表，C ．{}1,2,3,4D ．{}4,5,614．下图是某城市5月24日到6月7日共15天的空气质量指数的茎叶图，则该城市15天的空气质量指数的众数为（ ）A ．12B ．15C ．30D ．3215．132=（ ）A ．1BC D 16．一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图，根据前三个点阵图形的规律，第四个点阵表示的三角形数是（ ）A ．1B ．6C ．10D ．2017．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1111,B C D C 的中点，则下列结论正解的是（ ）A ．EF BD ⊥B ．EF BD ∥C ．EF 与BD 相交 D ．EF 与11B D 相交18．已知等差数列{}n a 中，前4项为1，3，5，7，则数列{}n a 前10项的和10S =（ ）19．如图，在正六边形ABCDEF 中，与向量AB 相等的向量是（ ）A ．BCB ．EDC ．AFD ．CD20．在平面直角坐标系中，原点()0,0到直线20x y +-=的距离等于（ ） A．1BC D ．321．cos66cos6sin 66sin 6⋅+⋅=（ ） A ．12B ．13C ．15D ．1622．已知直线l 的倾斜角为60，且经过点()0,1，则直线l 的方程为（ ）A ．y =B ．2y =-C ．1y =+D ．3y =+23．椭圆221259x y +=的长半轴长=a （ ）A ．11B ．7C ．5D ．224．不等式260x x +-<的解集为（ ） A ．RB ．{|32}x x -<<C ．{3}x x |<-D ．{|2}x x >25．如图，直线l 将平面分成两个区域，则阴影部分所对的二元一次不等式为（ ）A ．x -y ≤0B ．x +2y +2≤0C ．2x -y +2 ≤0D ．3x -y +2≤026．已知圆的方程为x 2+y 2=4，那么这个圆的面积等于（ ） A ．2B ．3C ．πD ．4π27．已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点坐标为（1，0），则p =（ ）28．关于正弦函数y =sin x （x ∈R)，下列说法正确的是（ ） A ．值域为R B ．最小正周期为2π C ．在(0，π)上递减D ．在(π，2π)上递增29．为了庆祝中国青年团100周年，校团委组织了一场庆祝活动，要用警戒线围出400平方米的矩形活动区域，则所用警戒线的长度的最小值为（ ） A ．30米B ．50米C ．80米D ．110米30．已知圆C :x 2+y 2=1，直线l ：y =2x +b 相交，那么实数b 的取值范围是（ ）A ．（-3，1）B ．（-∞，C ．+∞）D ．（二、填空题31．已知向量a 的坐标为（1，2），则向量3a =_________. 32．已知函数2()2f x x =+，那么(1)f =___________.33．在ABC 中，2,a b c ===cos A =_______.34．如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，则这个三棱锥的四个面中，是直角三角形的个数有_____个.35．联合国教科文组织将3月14日确定为“国际数学日”，是因为3.14是圆周率数值最接近的数字.我国数学家刘徽首创割圆术，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.步骤是：第1步，计算圆内接正六边形的周长；第2步，计算圆内接正12边形的周长；第3步，计算圆内接正24边形的周长；以此类推，第6步，需要计算的是正______边形的周长. 三、解答题36．某科技人员为了解实验田的产量情况，对某地的50块实验区进行统计，其中A 区的亩产量为460公斤，亩产量的频率分布直方图如下：(1)亩产量在[450，500]的有几个实验区？(2)从亩产量为[450，500]实验区中任选2个进行推广，则A 区被选中的概率是多少？ 37．如图，AB 是底面O 的直径，C 为O 上异于A 、B 的点，PC 垂直于O 所在平面，D 、E 分别为P A 、PC 的中点.(1)求证：DE ⊥平面ABC . (2)求证：平面BDE ⊥平面PBC . 38．已知函数()ln ()f x ax x a R =-∈. (1)当a =1时，求f (x )的单调区间.(2)若()()g x f x =+11-ln x x ⎛⎫⎪⎝⎭的图像与直线y a =相切，求a 的值.参考答案：1．D 【解析】 【分析】根据集合的知识确定正确选项. 【详解】由于集合M 是由1,2,3三个元素构成， 所以{}1,2,3M =. 故选：D 2．D 【解析】 【分析】根据俯视图的知识确定正确答案. 【详解】由于几何体从左向右是圆柱、长方体， 所以俯视图从左向右是两个矩形， 所以D 选项正确. 故选：D 3．C 【解析】 【分析】根据复数相等求解即可. 【详解】因为34i 3i b +=+，所以4b =. 故选：C 4．D 【解析】 【分析】运行程序，计算出输出的S 的值. 【详解】依题意1,2a b ==，1112122S ab ==⨯⨯=. 故选：D 5．A 【解析】 【分析】将点(1,1)的坐标代入直线方程可求出结果. 【详解】因为直线:20l x y c ++=经过点(1,1)， 所以1210c +⨯+=，得3c =-. 故选：A 6．C 【解析】 【分析】根据随机数表法的知识确定正确选项. 【详解】由于9855>，所以98不能作为编号. 故选：C 7．B 【解析】 【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】sin cos tan 1ααα=⨯==故选：B 8．B 【解析】 【分析】直接由向量加法的平行四边形法则即可求解. 【详解】由平行四边形法则知，AB AD +=AC . 故选：B. 9．C 【解析】 【分析】根据规律可得结果. 【详解】将1111,,,25811可以写成1111,,,311321331341⨯-⨯-⨯-⨯-，所以{}n a 的通项公式为131n -； 故选:C 10．B 【解析】 【分析】直接令0x =即可求解. 【详解】令0x =，则0112y ⎛⎫=⎪⎝⎭= ，故函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与y 轴的交点坐标是()0,1.故选：B. 11．C 【解析】 【分析】根据诱导公式求解即可. 【详解】()1tan tan 4αα-=-=-.故选：C 12．D 【解析】 【分析】根据函数图像确定正确答案.【详解】根据图像可知，()f x 的最大值为()04f =. 故选：D 13．A 【解析】 【分析】直接由函数定义域的概念求解即可. 【详解】由题意知：函数()y f x =的定义域为{}1,2,3,4,5,6. 故选：A. 14．C 【解析】 【分析】根据茎叶图和众数的知识确定正确答案. 【详解】根据茎叶图可知，众数为30. 故选：C 15．B 【解析】 【分析】直接由分数指数幂的运算求解即可. 【详解】 132=.故选：B. 16．C 【解析】 【分析】根据规律求得正确答案. 【详解】根据规律可知，第四个点阵表示的三角形数为：123410+++=.故选：C17．B【解析】【分析】直接由11EF B D ∥及11B D BD ∥即可求解.【详解】由,E F 分别是1111,B C D C 的中点可得11EF B D ∥，又易得11B D BD ∥，则EF BD ∥. 故选：B.18．A【解析】【分析】先求出公差，再由等差数列求和公式求解即可.【详解】设公差为d ，则312d =-=，则1010910121002S ⨯=⨯+⨯=. 故选：A.19．B【解析】【分析】由相等向量的定义可知.【详解】由图可知六边形ABCDEF 是正六边形，所以ED =AB ，与AB 方向相同的只有ED ；而BC ,AF ,CD 与AB 长度相等，方向不同，所以选项A,C,D,均错误； 故选：B20．B【解析】【分析】直接由点到直线的距离公式求解即可.【详解】原点()0,0到直线20x y +-==故选：B.21．A【解析】【分析】根据两角差的余弦公式可求出结果.【详解】 cos66cos6sin 66sin 6⋅+⋅=1cos(666)cos602-==. 故选：A22．C【解析】【分析】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可. 【详解】由题意知：直线ll 的方程为1y =+.故选：C.23．C【解析】【分析】直接由椭圆标准方程求解即可.【详解】由椭圆标准方程知，长半轴长5a =.故选：C.24．B【解析】【分析】分解因式法可求出结果.【详解】由260x x +-<，得(3)(2)0x x +-<，得32x -<<，所以不等式260x x +-<的解集为{|32}x x -<<.故选：B25．A【解析】【分析】求得直线l 的方程，结合图象确定正确答案.【详解】直线l 过原点和点()1,1，所以直线l 的方程为y x =，阴影部分为y x ≥，即0x y -≤.故选：A26．D【解析】【分析】根据圆的半径求得圆的面积.【详解】圆224x y +=的半径为2，所以面积为2π24π⨯=.故选：D27．A【解析】【分析】根据抛物线的焦点坐标求得p 的值.【详解】由于抛物线22y px =的焦点为()1,0， 所以1,22p p ==. 故选：A【解析】【分析】根据正弦函数的基本性质和图象可得结果.【详解】函数sin (R)y x x =∈的图象如图所示：如图所示，函数sin (R)y x x =∈的定义域为R ，值域为[]1,1-，所以A 错误；sin (R)y x x =∈的最小正周期为2π，所以B 正确；sin (R)y x x =∈在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所C 、D 错误； 故选：B29．C【解析】【分析】设该矩形区域的长为x 米，则宽为400x米，利用基本不等式计算即可得出结果. 【详解】设该矩形区域的长为x 米，则宽为400x 米，则所用警戒线的长度为4002280x x ⎛⎫+≥⨯= ⎪⎝⎭米，当且仅当400x x =，即20x 时，取等号.则所用警戒线的长度的最小值为80米.故选：C30．D【分析】利用圆心到直线l 的距离列不等式，从而求得b 的取值范围.【详解】圆C 的圆心为()0,0，半径为1，直线:20l x y b -+=，由于圆与直线l 相交，1<，解得b <<故选：D31．()3,6【解析】【分析】根据向量的坐标运算求得正确答案.【详解】()()1,233,6a a =⇒=.故答案为：()3,632．3【解析】【分析】直接根据函数解析式可求出结果.【详解】因为2()2f x x =+，所以2(1)123=+=f .故答案为：3.33．13 【解析】【分析】利用余弦定理求得正确答案.由余弦定理得2223341cos 263b c a A bc +-+-===. 故答案为：1334．4【解析】【分析】结合线线、线面垂直的知识求得正确答案.【详解】由于PA ⊥平面ABC ，所以,,PA AB PA AC PA BC ⊥⊥⊥，所以三角形PAB 和三角形PAC 是直角三角形.由于90ACB ∠=︒，所以BC AC ⊥，三角形ABC 是直角三角形.由于AC PA A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥，所以三角形PBC 是直角三角形.所以三棱锥四个面中，是直角三角形的个数有4个.故答案为：435．192【解析】【分析】根据“割圆术”的规律求得正确答案.【详解】依题意，边长依次为：6,12,24,48,96,192.故答案为：19236．(1)5 (2)25【解析】【分析】（1）根据频率直方图即可得到答案.（2）根据古典概型公式求解即可.(1)[]450,500的频率为0.002500.1⨯=，[]450,500共有500.15⨯=个实验区.(2)令事件A 为：A 区被选中，()1425C 2C 5P A ==. 37．(1)证明详见解析(2)证明详见解析【解析】【分析】（1）通过证明//DE AC 来证得//DE 平面ABC .（2）通过证明DE ⊥平面PBC 来证得平面BDE ⊥平面PBC .(1)由于,D E 分别是,PA PC 的中点，所以//DE AC ，由于DE ⊂/平面,ABC AC ⊂平面ABC ，所以//DE 平面ABC .(2)依题意PC ⊥平面ABC ，所以PC AC ⊥.由于AB 是圆O 的直径，所以AC BC ⊥,由于PC BC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC ，由于//DE AC ，所以DE ⊥平面PBC ，由于DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PBC .38．(1)f (x )在(0,1)递减，在(1,)+∞递增(2)1【解析】【分析】（1）当a =1时，()ln f x x x =-，求导，利用导数的正负即可得出结果.（2）求出()g x 的解析式，设出切点坐标，由已知条件消去参数a ，再转化为求函数最值问题，即可得到a 值.(1)当a =1时，()ln f x x x =-，定义域是(0,),+∞11()1,x f x x x-'=-=令()0,f x '>，解得：1,x >，令()0,f x '<解得：01,x <<，故f (x )在(0,1)递减，在(1,)+∞递增；(2) 由题意得，ln ()x g x ax x=-，设()y g x =的图像与直线y a =相切于点(,)t a ， ⊥()()0g t a g t '=⎧⎨=⎩，又21ln ()x g x a x -'=-，⊥2ln 1ln 0t at a t t a t ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩得1(21)ln 0,t t t ---=，令()1(21)ln ,F t t t t =---，则1()2ln 1,F t t t'=-- 令1()2ln 1H t t t=--，则212()0H t t t '=--< ⊥()F t '在(0,)+∞上单调递减，且(1)0F '=，⊥当01t <<时，()0F t '>，函数()F t 在(0,1)上单调递增，当1t >时，()0F t '<，函数函数()F t 在(0,1)上单调递减，⊥当且仅当t =1时，()0F t =，则221ln 1ln1 1.1t a t --===。

山东省普通高中学业水平考试数学试题第一卷（选取题 共45分）一、选取题（15’×3=45’）1、已知角终边通过点（-3，4），则tanx 等于A43 B 43- C 34 D 34- 2、已知lg2=a,lg3=b ，则lg 23等于A a-bB b-aC a bD ba3、设集合M={})2,1(，则下列关系成立是A 1∈MB 2∈MC (1,2)∈MD (2,1)∈M 4、直线x-y+3=0倾斜角是A 300B 450C 600D 900 5、底面半径为2，高为4圆柱，它侧面积是 A 8π B 16π C 20π D 24π 6、若b<0<a(a,b ∈R)，则下列不等式中对的是A b 2<a 2B a b 11> C -b<-a D a-b>a+b 7、已知x ∈(-2π,o),cosx=54，则tanx 等于A 43B 43-C 34D 34-8、已知数列{}n a 前n 项和s n =21++n n ，则a 3等于A 201B 241C 281D 3219、在ΔABC 中，sinA •sinB-cosA •cosB<0则这个三角形一定是 A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形 10、若函数)2(21)(≠-=x x x f ，则f(x) A 在(-2，+∞),内单调递增 B 在(-2，+∞)内单调递减C 在(2，+∞)内单调递增D 在(2，+∞)内单调递减11、在空间中，a 、b 、c 是两两不重叠三条直线，α、β、γ是两两不重叠三个平面，下列命题对的是A 若两直线a 、b 分别与平面α平行，则a ∥bB 若直线a 与平面β内一条直线b 平行，则a ∥βC 若直线a 与平面β内两条直线b 、c 都垂直，则a ⊥βD 若平面β内一条直线a 垂直平面γ，则γ⊥β 12、不等式（x+1）（x+2）<0解集是A {}12-<<-x xB {}12->-<x x x 或 C {}21<<x x D {}21><x x x 或13、正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，A 1 C 1与BD 所在直线所成角大小是A 300B 450C 600D 90014、某数学兴趣小组共有张云等10名实力相称成员， 现用简朴随机抽样办法从中抽取3人参加比赛， 则张云被选中概率是A 10%B 30%C 33.3%D 37.5% 15、如图所示程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ， 规定输出这三个数中最大数，那么在空白处判断框中， 应当填入下面四个选项中（注：框图中赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”） A c>x B x>c C c>b D b>c第二卷（非选取题共55分）二、填空题（5’ ×4=20’）16、已知a>0,b>0，a+b=1则ab 最大值是____________17、若直线2ay-1=0与直线(3a-1)x+y-1=0平行，则实数a 等于____________18、已知函数⎩⎨⎧≥-<=)4(),1()4(,2)(x x f x x f x ，那么f(5)值为____________ 19、在[-π,π]内，函数)3sin(π-=x y 为增函数区间是____________20、设┃a ┃=12，┃b ┃=9，a • b=-542， 则a 和 b 夹角θ为____________三、解答题（共5小题，共35分）21、已知a =（2，1）b=（λ，-2），若a ⊥ b ，求λ值22、（6’）已知一种圆圆心坐标为（-1， 2），且过点P （2，-2），求这个圆原则方程23、（7’）已知{}n a 是各项为正数等比数列，且a 1=1，a 2+a 3=6，求该数列前10项和S n24、（8’）已知函数R x x x x f ∈-=,cos 21sin 23)( 求f(x)最大值，并求使f(x)获得最大值时x 集合25、（8’）已知函数f(x)满足xf(x)=b+cf(x)，b ≠0,f(2)=-1,且f(1-x)=-f(x+1)对两边均故意义任意 x 都成立（1）求f(x)解析式及定义域（2）写出f(x)单调区间，并用定义证明在各单调区间上是增函数还是减函数？参照答案一、1.D2.B3.C4.B5.B6.D7.B8.A9.B10.D11.D12.A13.D14.B15.A二、16、41 17、31 18、8 19、[6π-,65π] 20、43π三、21、解：∵a ⊥b ，∴a •b=0，又∵a=（2，1），b =（λ，-2），∴a •b=2λ-2=0，∴λ=122、解：依题意可设所求圆方程为（x+1）2+（y-2）2=r 2。

广东省2021年普通高中学业水平考试数学试题一、单选题1．设全集U ={}12345，，，，，A ={}12，，则UA =（ ）A ．{} 12345，，，， B ．{} 2345，，， C ．{} 345，， D ．{} 34，【答案】C【分析】根据补集的定义计算可得；【详解】解：因为{}12345U =，，，，，{}12A =， 所以{}U3,4,5A =故选：C2．已知π1cos α 22⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ，则sin α= （ ）A ．12 B ．-12C ．32D ．-32【答案】A【分析】直接利用诱导公式计算可得； 【详解】解：因为π1cos α 22⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以1sin α 2=故选：A3．下列函数为偶函数的是（ ） A ．()1f x x =+ B ．()221x f x x+=C ．()3f x x = D ．()sin f x x =【答案】B【分析】根据偶函数的定义判断即可；【详解】解：对于A ：()1f x x =+为非奇非偶函数，故A 错误；对于B ：()221x f x x +=定义域为{}|0x x ≠，且()()()()221x f x f x x +--==-，所以()221x f x x+=为偶函数，故B 正确；对于C ：()3f x x =定义域为R ，且()()()3f x x f x -=-=-，所以()3f x x =为奇函数，故C 错误；对于D ：()sin f x x =为奇函数，故D 错误； 故选：B4．已知a =0.23，b =0.32，c =0.33，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜c ＜b B ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c【答案】A【分析】根据指数函数、幂函数的性质判断可得；【详解】解：因为0.3x y =在定义域上单调递减，所以230.30.3>，又3y x =在定义域上单调递增，所以330.30.2>，所以2330.30.30.2>>，即b c a >> 故选：A5．经过点(1,6),(0,2)A B -的直线的方程是（ ） A ．420x y --= B ．420x y --=C ．420x y +-=D ．420x y +-=【答案】D【分析】根据直线经过两点，利用直线的两点式方程求解即可. 【详解】因为直线经过点(1,6),(0,2)A B -， 利用两点式得直线的方程为206210y x --=---， 整理得：420x y +-=. 故选：D.6．连续抛掷两枚骰子，向上点数之和为6的概率为（ ） A ．112B ．111C ．536 D ．16【答案】C【分析】基本事件总数6636n =⨯=，利用列举法求出向上的点数之和为6包含的基本事件有5个，由此能求出向上的点数之和为6的概率． 【详解】解：连续抛掷两枚骰子， 基本事件总数6636n =⨯=，向上的点数之和为6包含的基本事件有： (1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个，∴向上的点数之和为6的概率是536P =． 故选：C ．7．下列函数在其定义域内为减函数的是（ ）A ．()3f x x =B ．()112f x x =+C ．()3log f x x =D ．()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据幂指对函数和一次函数的性质进行判定.【详解】由幂函数的性质，可知A 中函数为单调增函数，由一次函数性质可知B 中函数为增函数，由对数函数性质可知C 中函数为增函数，由指数函数性质，可知D 中函数为单调减函数， 故选：D.8．已知直线a ，b 与平面α，若a 平行α，b 在α内，则下列结论正确的是（ ） A ．//a b B ．a 与b 是异面直线 C ．a b ⊥D ．以上情况都有可能 【答案】D【分析】根据线面平行的性质判断可得；【详解】解：因为//a α，b α⊂，则//a b ，或a 与b 是异面直线或a b ⊥， 故选：D9．不等式4-x 2≤0的解集为（ ） A ．{}|22x x -≤≤ B ．{2x x ≤-或}2x ≥ C ．{}|44x x -≤≤ D ．{4x x ≤-或}4x ≥【答案】B【分析】根据一元二次不等式的求解方法直接求解即可.【详解】不等式240x -≤即()()220x x -+≥，解得2x -≤或2x ≥， 故不等式的解集为{2x x ≤-或}2x ≥. 故选：B.10．下列计算正确的是（ ） A ．52×5-2=0B ．5225⎛⎫ ⎪⎝⎭= 1C ．lg 2+lg 5=lg 7D ．32log 81=【答案】D【分析】根据指数幂及对数的运算法则计算可得；【详解】解：225551-⨯==，故A 错误；0125⎛ ⎪⎝⎭=⎫，故B 错误；()lg2lg5lg 25lg101+=⨯==，故C 错误；322log 8log 21==，故D 正确；故选：D11．圆心在C （4，-3），且与直线4x -3y =0相切的圆的方程为（ ） A ．x 2+y 2+8x +6y =0 B ．x 2+y 2+8x -6y =0 C ．x 2+y 2-8x +6y =0 D ．x 2+y 2-8x -6y =0【答案】C【分析】求出圆心到直线的距离，即圆的半径，即可求出方程. 【详解】由题可得圆的半径为圆心到直线的距离，即()()224433543r ⨯-⨯-==+-，所以圆的方程为()()224325x y -++=，即22860x y x y +-+=. 故选：C.12．如图是表示某班6名学生期末数学考试成绩的茎叶图，则这6名学生的平均成绩为（ ）A ．87B ．86C ．85.5D ．85【答案】A【分析】利用平均数公式求得平均成绩. 【详解】解：这6名学生的平均成绩为()1768585869397876x =+++++=， 故选：A.13．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏【答案】B【详解】设塔顶的a 1盏灯，由题意{a n }是公比为2的等比数列， ∴S 7=()711212a --=381，解得a 1=3． 故选B ．14．为了得到sin()3y x π=-的图象，只需把函数sin y x =的图象上的所有点（ ）A ．向右平行移动3π个单位长度 B ．向左平行移动3π个单位长度 C ．向右平行移动6π个单位长度D ．向左平行移动6π个单位长度【答案】A【分析】根据函数图象平移“左加右减”的原则，结合平移前后函数的解析式，可得答案． 【详解】解：由已知中平移前函数解析式为sin y x =，平移后函数解析式为：sin()3y x π=-，可得平移量为向右平行移动3π个单位长度， 故选：A ．15．已知a ＞0，b ＞0，a +b =1，1 a+2b 的最小值是（ ）A ．10 3B ．6C ． 3+D ．【答案】C【分析】利用1的代换，整理后利用基本不等式求最小值.【详解】1a +2b =()12233a b a b a b b a ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当1b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,即12a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故选：C.二、填空题16．已知向量(2,),(1,2)a m b →→==-，若a →与b →共线，则m = ______. 【答案】4-【分析】利用向量共线的坐标表示列出方程求解即可. 【详解】因为向量(2,),(1,2)a m b →→==-，且a →与b →共线，所以2(2)10m ⨯--⨯=， 解得：4m =-， 故答案为：4-.17．设tan 2θ=，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.【答案】3-【分析】直接利用两角和的正切公式求出tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】tan 121tan 341tan 12πθθθ++⎛⎫+===- ⎪--⎝⎭. 故答案为：3-.【点睛】本题考查两角和的正切公式，属于基础题.18．在等差数列{}n a 中，已知a 3=6，a 5=a 2+9，则a 6 = ________. 【答案】15【分析】设出公差，根据已知建立首项公差方程即可求出. 【详解】设等差数列的公差为d ， 3526,9a a a ==+，1112649a d a d a d ∴+=⎧⎨+=++⎩，解得10,3a d ==， 605315a ∴=+⨯=.故答案为：15.19．已知函数()220log 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，；设()2f a -=，则()f a = _______.【答案】2-【分析】利用指数幂运算求得a 的值，进而利用对数运算求得结果.【详解】()21224a f -=-==, ()211log 244f a f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭,故答案为：2-三、解答题20．食品安全问题越来越引起人们的重视，为了给消费者提供放心的蔬菜，某农村合作社搭建了两个无公害蔬菜大棚，分别种植西红柿和黄瓜，根据以往的种植经验，发现种植西红柿的年利润P （单位：万元），种植黄瓜的年利润Q （单位：万元）与投入的资金x （4≤x ≤16，单位：万元）满足P =42x + 8，Q =1124x +.现合作社共筹集了20万元，将其中8万元投入种植西红柿，剩余资金投入种植黄瓜.求这两个大棚的年利润总和. 【答案】39（万元）【分析】分别代入数据计算P 、Q ，然后求和即得 【详解】P =428824⨯+=,Q =()120812154⨯-+=,P +Q =24+15=39（万元）.这两个大棚的年利润总和为39（万元）.21．如图，在△ABC 中，∠A =30°，D 是边AB 上的点，CD =5，CB =7，DB =3（1）求△CBD 的面积； （2）求边AC 的长. 【答案】（1153；（2）53【分析】（1）由余弦定理求得cos B ，即可得出sin B ，再由面积公式即可求解； （2）由正弦定理即可求解.【详解】（1）在CBD 中，由余弦定理可得22237511cos 23714B +-==⨯⨯， 则253sin 1cos B B =-=， 153153372CBDS=⨯⨯=； （2）在ABC 中，由正弦定理得sin sin BC ACA B=， 即715323AC =22．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底边ABCD 是边长为2的菱形，PA =AC =2，PA ⊥平面ABC ，E ，F 分别为PD ，BC 的中点.（1）求三棱锥P-ABD的体积；（2）证明：EF∥平面PAB（参考公式：锥体的体积公式为V= 13Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高）【答案】（123（2）证明见详解；【分析】（1）首先计算三棱锥的底面面积，根据三棱锥的体积公式求解即可；（2）根据线面平行的判定定理证明即可；【详解】（1）因为在四棱锥P-ABCD中，底边ABCD是边长为2的菱形，且AC=2，所以23BD=则1112233 244ABD ABCDS S AC BD==⨯⨯=⨯⨯，又P A⊥平面ABC，所以11232333P ABD ABDV PA S-=⨯⨯=⨯（2）取线段P A中点H，连接HE,BH, 因为E，F分别为PD，BC的中点，所以1//2HE AD,1//2BF AD,则//HE BF,所以四边形HEFB为平行四边形，所以//EF BH,又EF⊄面PAB,BH⊂面PAB,所以//EF面PAB.。

2021年高二10月学习水平检查数学试题 含答案一、填空题（每题4分，共56分）1．已知实数，则直线必过定点 。

2．已知、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，，，且与平行，则 。

3．直线与直线的夹角为 。

4．已知=(,），=(1,),则向量在方向上的投影为 。

5．已知定点A （0，1），点B 在直线上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为___ ___。

6．若一条直线过点(－2,－1），且在两坐标轴上的截距相等，则此直线方程为 。

7．已知的单位向量为，若的起点坐标为(1,-2)，模为，则的终点坐标是 。

8．若，且，则向量与的夹角为 。

9．经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A(3,－2），B(－1,6)等距离的直线方程是 。

10．若和的图像有两个交点，则的取值范围是 。

11．设三条直线01232,01832,06232=+-=+-=++y mx y m x y x 围成直角三角形，则实数的值为 。

12．若直线被两平行线与所截得的线段的长为，则直线的倾斜角可以是：① ② ③ ④ ⑤，其中正确答案的序号是 。

（写出所有正确答案的序号） 13．如图，点是圆上的三点，线段与线段 交于圆内一点，若,则的取 值范围为 。

AB14．在R t△ABC 中，已知斜边BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，则的值最大时，与的夹角 。

二、选择题（每题5分，共20分） 15．下列命题正确的个数是（ ） （1）单位向量都相等； （2），则； （3）若与是单位向量，则；（4）若与是平行向量，与是平行向量，则与是平行向量。

（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）116．如图，四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，是大正方形的一条边，是小正方形的其余顶点，则的不同值的个数为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）717．过点(1,3)作直线,若经过点(a,0)和(0,b),且,则可作出的的条数为（ ） （A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）多于3条18．已知向量,，，若对任意单位向量，均有,则的最大值为（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）三、解答题（12分＋14分＋14分＋16分＋18分，共74分）19．（本题12分）已知点A(2，0），B(0，6），O 为坐标原点，若原点O 关于直线AB 的对称点为D ，连接并延长BD 到P ，且|PD|=2|BD|，且直线031088410:=-++y ax l 经过点P ，求直线的倾斜角。

2021年高二下学期学业水平摸底考试数学试题 Word 版含答案一、选择题（每小题4分，共40分） 1、已知集合,，则( ) .A. B. C. D.2、若运行右图的程序，则输出的结果是（ ）.A. 4B. 13C. 9D. 223、将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（ ）.A . B. C. D.4、已知向量,,若,则实数的值为（ ）.A. B. C. D.5、下列函数中，为偶函数的是（ ）. A. B. C. D.6、若回归直线的方程为，则变量x 增加一个单位时 （ ） Ａ．y 平均减少1．5个单位 Ｂ． y 平均增加2个单位 Ｃ．y 平均增加1．5个单位 Ｄ． y 平均减少2个单位7、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为 （ ） A ． B ． C ．2 D ．48、下列图象表示的函数中，不能用二分法求零点的是（ ）9、不等式的解集为（ ）A 、B 、C 、D 、10、在中，分别是的对边，若，则等于（ ）. A. 1 B. C. D.二、填空题（每小题4分，共40分）11、s in14ºcos16º+cos14ºsin16º的值是A=9A= A+13 C(0,3)B(1,2)O A O x y B O x y C O x y D xy12、已知点在如图所示的阴影部分内运动，则的最大值为.13、圆的圆心的横坐标为1，则= ；14、过点（1，2）且与直线平行的直线方程为．15、设有四个条件：①平面与平面、所成的锐二面角相等；②直线a//b，a⊥平面，b⊥平面；③a、b是异面直线，a，b，且a//，b//；④平面内距离为d的两条直线在平面内的射影仍为两条距离为d的平行线。

其中能推出//的条件有。

（填写所有正确条件的代号）三、解答题：本大题共5小题，共40分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2021—2021学年度第一学期学业程度测试创作单位：*ＸＸＸ创作时间：2022年4月12日创作编者：聂明景高二数学必修②试题一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题3分，一共36分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1. 直线经过点，，那么该直线的斜率是A. B. C. D.【答案】D【解析】根据斜率公式，，选D.2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是A. B. C. D.【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，两点关于平面对称，竖坐标互为相反数，点的坐标是点关于平面对称的点的坐标是，选A.3. 直线的斜率为，在y轴上的截距为b，那么有A. B. C. D.【答案】A【解析】把直线方程化为斜截式：，可知斜率，截距，选A.4. 直线与平面，那么以下结论成立的是A. 假设直线垂直于内的两条直线，那么B. 假设直线垂直于内的无数条直线，那么C. 假设直线平行于内的一条直线，那么D. 假设直线与平面无公一共点，那么【答案】D【解析】根据直线与平面垂直的断定定理，当一条直线与平面内的两条相交直线垂直时，直线与平面垂直，所以A、B错误；根据直线与平面平行的断定定理，平面外的一条直线与平面内的一条直线平行时，直线与平面平行，因此C错误，直线与平面无公一共点，符合直线与平面平行的定义，直线与平面平行，选D.5. 直线和互相平行，那么间的间隔是A. B. C. D.【答案】C【解析】直线和互相平行，有，那么间的间隔是，选C.6. 如图，三棱柱中，底面三角形是正三角形，是的中点，那么以下表达正确的选项是A. 与是异面直线B. 与是一共面直线C. 与是异面直线D. 与是一共面直线【答案】C【解析】由于与均在平面内，不是异面直线；平面，平面，点不在直线上，所以和是异面直线，平面，平面，点不在直线上，那么与是异面直线，选C.【点睛】判断两条直线是否为异面直线，第一两条直线平行或者相交，那么两条直线一共面，第二假设一条直线与一个平面相交于一点，那么这条直线与这个平面内不经过该点的直线是异面直线，这是判断两条直线是异面直线的方法，要根据题目所提供的线线、线面关系准确的做出判断.7. 直线和圆，那么直线和圆的位置关系是A. 相交B. 相切C. 相离D. 都有可能【答案】A【解析】把圆的方程化为，直线方程化为恒过定点，而在圆C的内部，那么直线和圆相交，选A.8. 假设圆锥的高等于底面直径，那么它的底面积与侧面积之比是A. B. C. D.【答案】C.........9. 设、是两个不同的平面，、是两条不同直线，那么以下结论中错误的选项是．．．．．．A. 假设，，那么B. 假设，那么、与所成的角相等C. 假设，，那么D. 假设，，，那么【答案】D【解析】假设，，那么是正确的，假设，那么、与所成的角相等是正确的，假设，，那么是正确的，假设，，，那么平面与平面可能相交，也可能平行，命题错误的选D.10. 在矩形中，，，将沿折起后，三棱锥的外接球外表积为A. B. C. D.【答案】B【解析】矩形中，，，将沿折起后，得到三棱锥，由于三棱锥的外接球的直径为，所以外接球的半径为，三棱锥的外接球外表积为.选B.11. 圆〔〕截直线所得弦长是，那么的值是A. B. C. D.【答案】B【解析】圆M：，圆心为，半径为，圆心到直线的间隔为，半弦长为，根据圆的弦长公式可知，，选B.12. 如图，在正方体中，点在线段上运动，那么以下判断中，正确命题的个数是①三棱锥的体积不变；② ；③；④与所成角的范围是.A. 4个B. 3个C. 2个D. 个【答案】B【解析】在正方体中，三角形的面积为定值，又，可以推出平面，因此点到平面的间隔为定值，①三棱锥的体积不变是正确的；，可以推出平面平面，平面，那么平面，② 是正确的；由于平面，那么③是正确的；当为的中点时，，与所成角的范围是，④错误，选B.【点睛】涉及到三棱锥的体积为定值问题，要考虑到动点〔棱锥的顶点〕在直线上，而直线与平面〔棱锥的底面〕平行，这样不管动点怎样挪动，棱锥的高都不变，底面积为定值，高为定值，体积就是定值；两条异面直线所成的角的范围，首先平移一条直线，找出两条异面直线所成的角，挪动动点观察特殊点时，异面直线所成的角，就会很容易得出你的角的范围，很合适做选填题.二、填空题：每一小题4分，一共20分．请把答案填在答题卡的相应位置．13. 两两相交的三条直线可确定______个平面.【答案】1或者3【解析】当三条直线交于一点时，可以确定3个平面；当三条直线两两相交，有三个交点时，可确定1个平面. 两两相交的三条直线可确定1个或者3个平面.14. 某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为_____．【答案】【解析】根据三视图恢复原几何体为三棱锥，底面为直角三角形，两条直角边长分别为2和1，一条侧棱垂直于底面，高为1，那么该几何体的体积为.15. 圆，那么过点且与圆相切的直线方程为_____．【答案】【解析】由于点在圆上，所以圆的切线只有1条，设切线方程为，即：，利用圆心到切线的间隔等于圆的半径得：得：，，所求切线方程为：.16. 假如实数满足等式,那么的最小值为__________．【答案】【解析】表示圆上一点到原点间隔的平方，由于圆心到原点的间隔为，圆上一点到原点的间隔的最小值为，那么的最小值为.17. 过点的直线交轴正半轴于点，交直线于点，且,那么直线在轴上的截距是______________ .【答案】7【解析】假设直线的斜率不存在，直线，不符合题意要求，可见直线直线的斜率存在，不妨设斜率为，那么直线的方程为，即：，求出，再解出与直线的交点，分别过A、C作轴的垂线，由于，可知，，解得或者〔舍〕，当时，直线在轴上的截距是.【点睛】求直线方程首先要考虑直线的斜率不存在的情形，然后再设点斜式或者斜截式，涉及两条直线交点问题要解方程组求出交点坐标，此题最重要的一点是涉及到线段长度关系时，有时转化为向量关系借助坐标关系解题，有时直接利用比例转化为横坐标或者纵坐标的关系解题，这是很重要的一种方法.三、解答题：本大题一一共5题，一共44分．解答题应写出文字说明、演算步骤或者证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．18. 直线经过直线和直线的交点，且与直线垂直，求直线的方程．【答案】【解析】试题分析：直线经过两条直线的交点，所以先联立方程组，解出两条直线的焦点坐标，直线与直线垂直，根据垂直斜率存在两条直线垂直的条件，只需斜率互为负倒数，求出所求直线的斜率，最后利用直线方程的点斜式写出所求直线的方程，化为一般式给出答案. 试题解析：由得交点坐标为，又直线与直线垂直直线的斜率为3，直线的方程为，即19. 如图，在直三棱柱〔侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱〕中，，．〔1〕求证：平面；〔2〕求直线和平面所成的角的正切值．【答案】〔1〕见解析；〔2〕【解析】试题分析：证明线面垂直，可利用线面垂直的断定定理，证明直线与平面内的两条相交直线垂直，进而说明线面垂直.求线面角首先要寻求平面的垂线，作垂线找垂足，连垂足和斜足得到射影，斜线与射影所成的角为线面角，传统方法是“先作、再证、后求〞，此题也可采用空间向量法去做.试题解析：〔1〕平面，，又，，平面；〔2〕平面，为斜线在平面内的射影，为求直线和平面所成的角，在直角三角形中，，，，直线和平面所成的角的正切值为【点睛】证明线面垂直，第一可利用线面垂直的断定定理，证明直线与平面内的两条相交直线垂直，进而说明线面垂直.第二可建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，借助空间向量解题，利用两个向量数量积为零，说明线线垂直，也是很简单的做法. 求线面角首先要寻求平面的垂线，作垂线找垂足，连垂足和斜足得到射影，斜线与射影所成的角为线面角，传统方法是“先作、再证、后求〞，此题也可建立空间直角坐标系采用空间向量法借助法向量去做.20. 圆心在轴上且通过点的圆与直线相切．〔1〕求圆的方程；〔2〕直线经过点，并且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程．【答案】〔1〕；〔2〕或者【解析】试题分析：求圆的方程采用待定系数法，巧用圆心和半径，由于圆的切线垂直于过切点的半径，因此圆心到切线的间隔就是半径，尽可能的减元，所设的参数越少解方程越简单，有关圆的弦长问题，根本都用弦心距，半弦，半径满足勾股定理去解决，求直线方程要注意斜率不存在的情况.试题解析：〔1〕设圆心的坐标为，那么，解得a＝1，∴，半径，∴圆的方程为.〔2〕①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线被圆截得的弦长为，满足条件；②当直线的斜率存在时，设直线l的方程为，由题意得，解得，∴直线的方程为，综上所述，直线l的方程为或者.【点睛】求圆的方程有两种设法，一是圆的HY方程，一是圆的一般方程，都是采用待定系数法，巧用圆心和半径，由于圆的切线垂直于过切点的半径，因此圆心到切线的间隔就是半径，尽可能的减元，所设的参数越少解方程越简单，有关圆的弦长问题，根本都用弦心距，半弦，半径满足勾股定理去解决.21. 如图，在四棱锥中，底面, ，，，与底面成，是的中点.〔1〕求证：∥平面；〔2〕求三棱锥的体积．【答案】〔1〕见解析；〔2〕【解析】试题分析：证明线面平行有两种思路：第一寻求线线平行，利用线面平行的断定定理.第二寻求面面平行，此题借助平行四边形和三角形中位线定理可以得到线线平行，证明面面平行，进而得出线面平行；求体积问题最主要利用转化思想，包括平行转化、对称转化、比例转化，三棱锥求体积还要注意灵敏使用棱锥的顶点.试题解析：〔1〕证明：取的中点，连接∵∥，面，面，∴∥平面，同理∥平面，又∵，∴平面∥平面，又∵平面，∴∥平面.〔2〕∵与底面成，∴，又∵底面，∥，，∴底面，，∴【点睛】证明线面平行有两种思路：第一寻求线线平行，利用线面平行的断定定理.第二寻求面面平行，求体积问题大多出如今文科考题，一般不是直接求出底面和高，大多需要利用转化思想，包括平行转化、对称转化、比例转化，三棱锥求体积还要注意灵敏使用棱锥的顶点.22. 过点作圆的切线，为坐标原点，切点为，且.〔1〕求的值；〔2〕设是圆上位于第一象限内的任意一点，过点作圆的切线，且交轴于点，交y轴于点，设，求的最小值．【答案】〔1〕4；〔2〕8【解析】试题分析：首先利用圆的弦长公式，求出圆的半径；涉及到直线与两坐标轴的交点问题大多采用线方程的截距式，但必须要检验，设直线方程的截距式，由于直线与圆相切于第一象限，满足相切条件，且截距均为正，利用均值不等式进展“等转不等〞，得出向量OQ 的模的最小值.试题解析：〔1〕圆的圆心为，于是，由题设知，是以为直角顶点的直角三角形，故有.〔2〕设直线的方程为，即，那么，，∴，∴.∵直线与圆相切，∴，∴∴，当且仅当时取到“＝〞，∴获得最小值为8.【点睛】有关圆的弦长问题，一般利用圆的弦长公式，利用勾股定理列方程，求出圆的半径；涉及到直线与两坐标轴的交点问题，特别是直线与两坐标轴围成的三角形的周长和面积问题，大多采用线方程的截距式，但是直线方程的截距式不包括过原点的直线，不包括平行于轴的直线，不包括平行于轴的直线，所以解题时必需检验结果，要多退少补.。

浙江省普通高中学业水平考试数学卷选择题部分一、选择题(共25小题，1-15每小题2分，16-25每小题3分，共60分。

每小题中只有一个选项是符合题意的。

不选、多选、错选均不得分) 1．已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则AB 的元素个数是(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 2．22log 12log 3-=(A)2- (B)0 (C)12(D)2 3．若右图是一个几何体的三视图，则这个几何体是 (A)圆锥 (B)棱柱 (C)圆柱 (D)棱锥 4．函数R))(3π2sin()(∈+=x x x f 的最小正周期为 (A)2π(B) π (C) π2 (D) 4π 5．直线230x y ++=的斜率是 (A)12-(B)12(C)2- (D)2 6．若1x =满足不等式2210ax x ++<，则实数a 的取值范围是 (A)(3,)-+∞ (B)(,3)-∞- (C)(1,)+∞ (D)(,1)-∞ 7．函数3()log (2)f x x =-的定义域是(A)[2,)+∞ (B)(2,)+∞ (C)(,2]-∞ (D)(,2)-∞ 8．圆22(1)3x y -+=的圆心坐标和半径分别是(A)(1,0),3- (B)(1,0),3 (C)(1,0),3- (D)(1,0),3(第3题图)9．各项均为实数的等比数列{}n a 中，11a =，54a =，则3a = (A)2 (B)2- (C)2 (D)2- 10．下列函数中，图象如右图的函数可能是(A)3y x = (B)2xy = (C)y x =(D)2log y x =11．已知a ∈R ，则“2a >”是“22a a >”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件12．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是(A) ()+∞,0 (B)()2,0 (C)()+∞,1 (D) ()1,0 13．设x 为实数，命题p ：x ∀∈R ，20x ≥，则命题p 的否定是（A ）p ⌝：∈∃0x R,020<x （B ）p ⌝：∈∃0x R, 020≤x （C ）p ⌝：x ∀∈R,20x < （D ）p ⌝：x ∀∈R,20x ≤ 14．若函数()(1)()f x x x a =+-是偶函数，则实数a 的值为(A)1 (B)0 (C)1- (D)1± 15．在空间中，已知,a b 是直线，,αβ是平面，且,,//a b αβαβ⊂⊂，则,a b 的位置关系是(A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)平行或异面 16．在△ABC 中，三边长分别为c b a ,,，且︒=30A ，︒=45B ，1=a ，则b 的值是(A)21(B) 22 (C) 2 (D) 2617．若平面向量,a b 的夹角为60，且|2|=|a b |，则 (A)()⊥+a b a (B)()⊥-a b a (C)()⊥+b b a (D)()⊥-b b a(第10题图)18．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1BC 的中点，则DE 与面11B BCC 所成角的正切值为 (A)62 (B) 63(C)2 (D)2219．函数44sin cos y x x =-在]3π,12π[-的最小值是(A)1- (B)32- (C)12(D)1 20．函数1()2x f x x=-的零点所在的区间可能是 (A)(1,)+∞ (B)1(,1)2 (C)11(,)32 (D)11(,)4321．已知数列{}n a 满足121a a ==，2111n n n na a a a +++-=，则65a a -的值为 (A)0 (B)18 (C)96 (D)60022．若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与直线310x y -+=平行，则此双曲线的离心率是(A)3 (B)22 (C)3 (D)10 23．若将一个真命题．．．中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题．．．，则该命题称为“可换命题”．下列四个命题： ①垂直于同一平面的两直线平行； ②垂直于同一平面的两平面平行； ③平行于同一直线的两直线平行； ④平行于同一平面的两直线平行． 其中是“可换命题”的是(A)①② (B)①④ (C)①③ (D)③④CD A 1B 1C 1E（第18题图）24．用餐时客人要求：将温度为10C 、质量为25.0 kg 的同规格的某种袋装饮料加热至C C ～︒︒4030.服务员将x 袋该种饮料同时放入温度为80C 、5.2 kg 质量为的热水中，5分钟后立即取出．设经过5分钟加热后的饮料与水的温度恰好相同，此时，1m kg 该饮料提高的温度1t C ∆与2m kg 水降低的温度2t C ∆满足关系式11220.8m t m t ⨯∆=⨯⨯∆，则符合客人要求的x 可以是(A)4 (B)10 (C)16 (D)2225．若满足条件20,20,210x y x y kx y k -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--+≤⎩的点(,)P x y 构成三角形区域，则实数k 的取值范围是(A)(1,)+∞ (B)(0,1) (C)(1,1)- (D)(,1)(1,)-∞-+∞非选择题部分二、填空题(共5小题，每小题2分，共10分)26．已知一个球的表面积为4πcm 3，则它的半径等于 ▲ cm ．27．已知平面向量(2,3)=a ，(1,)m =b ，且//a b ，则实数m 的值为 ▲ ．28．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ▲ ．29．数列{}n a 满足⎩⎨⎧≤≤≤≤=--,1911,2,101,2191n n a n n n 则该数列从第5项到第15项的和为 ▲ ．30．若不存在．．．整数x 满足不等式2(4)(4)0kx k x ---<，则实数k 的取值范围是 ▲ ．三、解答题(共4小题，共30分) 31．(本题7分) 已知,54sin ),π,2π(=∈θθ求θcos 及)3πsin(+θ的值.32．（本题7分，有A 、B 两题，任选其中一题完成，）（A ） 如图,在直三棱柱111ABC A B C -中, 3AC =, 4BC =, 5AB =, 点D 是AB 的中点.(1)求证:1AC BC ⊥; (2)求证:1AC ∥平面1CDB .（B ）如图,在底面为直角梯形的四棱锥,//,BC AD ABCD P 中-,90︒=∠ABC平面⊥PA ABCD ，32,2,3===AB AD PA ,BC =6.(1)求证:;PAC BD 平面⊥ (2)求二面角A BD P --的大小.（第33题B 图）DA B 1CBA C （第33题A 图）33．(本题8分) 如图，由半圆221(0)x y y +=≤和部分抛物线 2(1)y a x =-（0y ≥，0a >）合成的曲线C称为“羽毛球形线”，且曲线C 经过点(2,3).（1）求a 的值；（2）设(1,0)A ,(1,0)B -，过A 且斜率为k 的直线 l 与“羽毛球形线”相交于P ,A ,Q 三点，问是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠？ 若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．34．(本题8分) 已知函数9()||f x x a a x=--+，[1,6]x ∈，a R ∈． (1)若1a =，试判断并证明函数()f x 的单调性；(2)当(1,6)a ∈时，求函数()f x 的最大值的表达式()M a ．yxO A B PQ（第33题图）参考答案一、选择题(共25小题，1-15每小题2分，16-25每小题3分，共60分。

湖南省普通高中学业水平考试数 学 试 卷本试卷涉及选取题、填空题和解答题三某些，共5页。

时量120分钟，满分100分.一、选取题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分. 在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目规定.1．已知集合{1,2}M =，集合{0,1,3}N =，则M N =A.{1}B.{0,1}C.{1,2}D. {1,2,3}2．化简()()001cos301cos30-+得到成果是 A.34 B.14C.0D.1 3．如图，一种几何体三视图都是半径为1圆，则该几何体表面积等于A.πB.2πC.4πD.43π4．直线30x y -+=与直线40x y +-=位置关系为A.垂直B.平行C.重叠D.相交但不垂直5．如图，ABCD 是正方形，E 为CD 边上一点，在该正方形中随机撒一粒豆子，落在阴影某些概率为A.14B.13C.12D.346．已知向量()1,2a =，()3,6b =--，若b a λ=，则实数λ值为A.13B.3C.13- D.3- 7．某班有50名学生，将其编为1，2，3，…，50号，并按编号从小到大平均提成5组，现从该班抽取5名学生进行某项调查，若用系统抽样办法，从第1组抽取学生号码为5，则抽取5名学生号码是A.5，15，25，35，45B.5，10，20，30，40C.5，8，13，23，43D.5，15，26，36，468．已知函数()f x 图象是持续不断，且有如下相应值表： x 1- 0 1 2 3 ()f x 8 4 2- 06 则函数()f x 一定存在零点区间是A.()1,0-B.()0,1C.()1,2D.()2,39．如图，点(),x y 在阴影某些所示平面区域上，则z y x =-最大值为A.2-B.0C.1D.210．一种蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了1个伙伴；第2天，2只蜜蜂飞出去，各自找回了1个伙伴……如果这个找伙伴过程继续下去，第n 天所有蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂只数为A.12n - B.2n C.3n D.4n二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分.11．函数()()lg 3f x x =-定义域为 .12．函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭最小正周期为 . 13．某程序框图如图所示，若输入x 值为4-，则输出成果为 .14．在ABC ∆中，角A B C ，，所对边分别为a b c ，，，已知2c a =，1sin 2A =，则sin C = . 15．已知直线:20l x y -+=，圆()222:0C x y r r +=>，如直线l 与圆C 相切，则圆C半径r =三、解答题：本大题共5小题，满分40分. 解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节 .16．（本小题满分6分）学校举办班级篮球赛，某名运动员每场比赛得分记录茎叶图如下.（1）求该运动员得分中位数和平均数；（2）预计该运动员每场得分超过10分概率.17．（本小题满分8分）已知函数()2()2f x x m =-+.（1）若函数()f x 图象过点()2,2，求函数()y f x =单调递增区间；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 值.18．（本小题满分8分）已知正方体1111ABCD A BC D -.（1）证明：1D A 平面1C BD ；（2）求异面直线1D A 与BD 所成角.19．（本小题满分8分）已知向量()2sin 1a x ，=，()2cos 1b x ，=，x R ∈. （1）当4x π=时，求向量a b +坐标；（2）设函数()f x a b =⋅，将函数()f x 图象上所有点向左平移4π个单位长度得到()g x 图象，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 最小值.20．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a +=+，其中n N *∈. （1）写出2a ，3a 及n a ；（2）记数列{}n a 前n 项和为n S ，设12111n nT S S S =+++，试判断n T 与1大小关系； （3）对于（2）中n S ，不等式()11410n n n n S S S n S λ--⋅+-+≥对于任意不不大于1整数n 恒成立，求实数λ取值范畴.湖南省普通高中学业水平考试数学试卷本试卷涉及选取题、填空题和解答题三某些，共5页。

2021年高二下学期期中学业水平测试数学文试题含答案参考公式：用最小二乘法计算回归直线方程：，其中：,一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合, ,, 则A()=A． B ． C ． D．2．已知函数, 则的值是( )A． B． C． D．3．已知等差数列的前n项和为，若，则的值为( )A．B．C．D．4．函数的单调递增区间是A． B．（0，2） C．（1，3） D．5．函数的零点的个数为( )A．B．C．D．6．如图1，程序结束输出的值是( )A．B．C．D．7．已知实数满足，则目标函数的最大值为( )A．B．C．D．8．已知双曲线的右焦点F(3，0)，则此双曲线的离心率为( )A．6 B． C． D．9．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下父亲身高x（cm）174 176 176 176 178 儿子身高y（cm）175 175 176 177 177A． B． C． D．10．设二次函数的值域为，则的最小值为( )A．B．C．D．二．填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.11．在区间上任意取一个数x，则的概率为 .12、命题“，”的否定是.13．已知向量，都是单位向量，且，则的值为.14．观察下列不等式：①；②；③；…则第个不等式为．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，求的值.16．（本小题满分12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20 5 25女生10 15 25合计30 20 50 （１）用分层抽样的方法在喜欢打篮球的学生中抽６人，其中男生抽多少人？（２）在上述抽取的６人中选２人，求恰有一名女生的概率.（３）为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关，由公式计算出，那么你能否有的把握认为是否喜欢打篮球与性别有关？附临界值表：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82817.（本小题满分14分）在三棱锥中，,.(1)证明:(2)求点A到平面SCB的距离。

2020-2021学年北京市高二第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题一、单选题1．已知集合{1,0,2},{0,1,2}A B =-=，则A B ＝（ ） A ．{－1，0，2} B ．{0，1，2} C ．{－1，0，1} D ．{－1，0，1，2} 【答案】D【分析】由集合并集概念求得结果即可. 【详解】由题知，{}1,0,1,2A B ⋃=-. 故选：D.2．已知复数134i z =-，223i z =-+，则12z z +=（ ） A ．1i - B ．5i - C ．17i - D ．5i +【答案】A【分析】根据复数加法运算求得结果.【详解】由题知，()()123243i 1i z z +=-+-+=- 故选：A3．函数2()log f x x =的定义域是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(0,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．(2,)+∞【答案】B【分析】利用真数大于直接求解【详解】由题意0x >，故函数2()log f x x =的定义域是(0,)+∞ 故选：B4．下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（ ）A ．2y x B ．y =C ．2xy =D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性判断可得出结论.【详解】函数2y x 、y x =、2xy =在()0,∞+上均为增函数，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上为减函数. 故选：D.5．下列各点中，在函数()21x f x =-的图象上的点是（ ） A ．（0，0） B ．（0，1） C ．（1，0） D ．（1，2）【答案】A【分析】直接代入计算可得.【详解】解：因为()21xf x =-，所以()00210f =-=，故函数过点()0,0.故选：A.6．某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一、高二这两个年级共500名学生中，采用分层抽样的方法抽取50人进行调査．已知高一年级共有300名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为（ ） A ．10 B ．20C ．30D ．40【答案】C【分析】根据分层抽样的定义求出相应比例，进而得出结果.【详解】解：因为高一年级共有300名学生，占高一、高二这两个年级共500名的30035005=， 则采用分层抽样的方法抽取50人中，应抽取高一年级学生的人数为350305⨯=人.故选：C.7．如图，四边形ABCD 是平行四边形，则AB BC +=（ ）A ．ACB ．CAC ．BD D ．DB【答案】A【分析】根据向量加法的三角形法则计算可得； 【详解】解： AB BC AC故选：A8．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，它的终边经过点()4,3，则cos α=（ ）A ．45-B ．45 C ．34-D ．34【答案】B【分析】由任意角的三角函数的定义即可求得结果. 【详解】解：角α以Ox 为始边，终边经过点()4,3，∴4cos 5α==. 故选：B.9．函数()||1f x x =-的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【分析】令()||10f x x =-=求解. 【详解】令()||10f x x =-=， 解得 1x =±，所以函数()||1f x x =-的零点个数是2， 故选：C10．已知a R ∈，则“1a >”是“0a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两者的推出关系，结合充要条件的概念分析即可． 【详解】若1a >，则0a >成立， 若0a >，无法推出1a >， 故1a >是0a >的充分不必要条件， 故选：A ．【点睛】本题考查了充分条件必要条件的判断，考查逻辑思维能力，属于基础题． 11．sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝（ ）A ．12 B C D ．1【答案】A【分析】逆用两角和的正弦公式求值. 【详解】原式()1sin 2010sin 302=︒+︒=︒=故选：A12．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ＝AD ＝2，13AA =，则四棱锥1D ABCD -的体积为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．9【答案】B【分析】根据长方体的特殊线面关系，结合棱锥体积公式求得结果. 【详解】在长方体中，1DD ⊥底面ABCD ， 则四棱锥1D ABCD -的体积为122343⨯⨯⨯=.故选：B13．已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立．若甲、乙各罚球一次，则两人都命中的概率为（ ） A ．0.08 B ．0.18 C ．0.25 D ．0.72【答案】D【分析】根据独立事件乘法公式求解【详解】由题意，根据独立事件乘法两人都命中的概率为0.90.80.72⨯= 故选：D14．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则b ＝（ ） A ．22B ．23C ．6D ．42【答案】C【分析】利用正弦定理直接求解【详解】由正弦定理34sin 226sin sin sin 2a b a Bb A B A=∴===故选：C15．不等式x （x －1）＜0的解集为（ ） A ．{01}xx <<∣ B ．{10}xx -<<∣C ．{0x x <∣或1}x >D ．{1xx <-∣或0}x > 【答案】A【分析】根据一元二次方程的两个根，解得一元二次不等式的解集. 【详解】方程()10x x -=有两个根0,1， 则不等式()10x x -<的解集为{}01x x << 故选：A16．在△ABC 中，a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则c ＝（ ）A ．2B ．C ．4D ．6【答案】B【分析】直接利用余弦定理求解即可. 【详解】2222cos 416812c a b ab C =+-=+-=∵，c ∴=故选：B17．函数()3sin cos f x x x =的最大值为（ ） A ．1 B ．12C ．2D ．32【答案】D【分析】由二倍角公式可得()3sin 22f x x =，结合正弦函数的值域即可得结果【详解】∵()33sin cos sin 22f x x x x ==，∴函数()3sin cos f x x x =的最大值是32.故选：D.18．已知224a b >>，则（ ） A ．a ＞b ＞2 B ．b ＞a ＞2C ．a ＜b ＜2D ．b ＜a ＜2【答案】A【分析】利用指数函数单调性解不等式即可 【详解】222422a b a b >>=∴>> 故选：A19．已知向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则·a b ＝（ ）A ．3B ．32C ．6D ．12【答案】C【分析】从图中读出向量模长和夹角，按照数量积运算公式求得结果. 【详解】由图知，322a b ==，，两向量的夹角为45°，则2··cos ,3226a b a b a b ==⨯⨯= 故选：C20．在信息论中，设某随机事件发生的概率为p ，称21log p为该随机事件的自信息．若随机抛一枚均匀的硬币1次，则“正面朝上”这一事件的自信息为（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】首先求出“正面朝上”的概率，再代入计算可得；【详解】解：随机抛一枚均匀的硬币1次，则“正面朝上”的概率12p =， 所以22211log log log 2112p===，故“正面朝上”这一事件的自信息为1； 故选：C二、填空题21．已知a ，b 是实数，且a ＞b ，则－a ________－b （填“＞”或“＜”）． 【答案】＜【分析】根据不等式的性质计算可得； 【详解】解：因为a b >，所以a b -<- 故答案为：<22．已知向量a ＝（1，m ），b ＝（2，4）．若//a b ，则实数m ＝________． 【答案】2【分析】根据向量平行关系求得参数.【详解】由//a b 知，124m=，解得m =2. 故答案为：223．设m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面．给出下列三个命题： ①如果m ∥n ，m ⊥α，那么n ⊥α； ②如果m ⊥α，m ⊥β，那么α//β； ③如果α⊥β，m ∥β，那么m ⊥α． 其中所有真命题的序号是________． 【答案】①②【分析】由线面垂直的判定定理可判断①；由线面垂直的性质可判断②；由面面垂直的性质可判断③【详解】解：对于①，由m ∥n ，m ⊥α，可得n ⊥α，所以①正确； 对于②，由m ⊥α，m ⊥β，可得α//β，所以②正确；对于③，由α⊥β，m ∥β，可得直线m 与平面α可平行，可能相交但不垂直，可能垂直，还有可能直线m 在平面α内，所以③错误， 故答案为：①②三、双空题24．已知函数1()f x x x=+，则f (x )是________函数（填“奇”或“偶”）；f (x )在区间（0，＋∞）上的最小值是________． 【答案】奇 2【分析】根据奇函数定义判断函数奇偶性；利用基本不等关系求得最小值.【详解】由题知，1()()f x x f x x-=--=-，故()f x 是奇函数；(0,)x ∈+∞时，1()2f x x x =+≥=，当且仅当1x =时，等号成立， 则()f x 的最小值为2. 故答案为：奇；2.四、解答题25．已知函数()sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）写出f (x )的最小正周期；（2）求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值．【答案】（1）2π ；（2）最小值为．【分析】（1）根据函数解析式写出最小正周期；（2）根据正弦函数单调性判断函数在区间上的单调性，从而求得最值.【详解】解：（1）f (x )的最小正周期为2π． （2）因为02x π， 所以444x πππ--．所以函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当44x ππ-=-，即x ＝0时，f (x )取得最小值2-；当44x ππ-=，即2x π=时，f (x )所以f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为26．阅读下面题目及其解答过程．已知函数23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩，（1）求f （－2）与f （2）的值； （2）求f (x )的最大值．解：（1）因为－2＜0，所以f （－2）＝ ① ． 因为2＞0，所以f （2）＝ ② ． （2）因为x ≤0时，有f (x )＝x ＋3≤3，而且f （0）＝3，所以f (x )在(,0]-∞上的最大值为 ③ ． 又因为x ＞0时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+， 而且 ④ ，所以f (x )在（0，＋∞）上的最大值为1． 综上，f (x )的最大值为 ⑤ ．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”）．④ A ．f （1）＝1 B ．f （1）＝0 ⑤ A ．1 B ．3【答案】（1）①A ； ②B ；（2）③A ； ④A ； ⑤B ． 【分析】依题意按照步骤写出完整的解答步骤，即可得解；【详解】解：因为23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩，（1）因为20-<，所以()2231f -=-+=，因为20>，所以()222220f =-+⨯=（2）因为0x ≤时，有()33f x x =+≤，而且()03f =，所以()f x 在(,0]-∞上的最大值为3． 又因为0x >时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+， 而且()11f =，所以()f x 在()0,∞+上的最大值为1． 综上，()f x 的最大值为3．27．如图，在三棱锥O －ABC 中，OA ，OB ，OC 两两互相垂直，OA ＝OB ，且D ，E ，F 分别为AC ，BC ，AB 的中点．（1）求证：DE ∕∕平面AOB ； （2）求证：AB ⊥平面OCF ． 【答案】（1）见解析 ；（2）见解析．【分析】（1）D ，E 分别为AC ，BC 的中点，得DE AB ∕∕，从而证明DE ∕∕平面AOB ； （2）OA ，OB ，OC 两两互相垂直，得：OC ⊥平面AOB ，从而得出OC AB ⊥，由题易知AB OF ⊥从而证明AB ⊥平面OCF ．【详解】解：（1）在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 的中点， 所以DE ∥AB ．又因为DE⊄平面AOB，所以DE∥平面AOB．（2）因为OA＝OB，F为AB的中点，所以AB⊥OF．因为OC⊥OA，OC⊥OB，所以OC⊥平面AOB．所以AB⊥OC．所以AB⊥平面OCF．28．为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是2m（m为正整数）．将这2m个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，每组12m-个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者．例如，当待检测的总人数为8，且标记为“x”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用下图表示．从图中可以看出，需要经过4轮共n次检测后，才能确定标记为“x”的人是唯一感染者．（1）写出n的值；（2）若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值；（3）若待检测的总人数为102，且其中不超过2人感染，写出采用“二分检测方案”所需总检测次数的最大值．【答案】（1）7n =；（2）感染者人数可能的取值为2，3，4；（3）39．【分析】（1）由图可计算得到n 的取值；（2）当经过4轮共9次检测后确定所有感染者，只需第3轮对两组都进行检查，由此所有可能的结果；（3）当所需检测次数最大时，需有2名感染者，并在第2轮检测时分居两组当中，从而将问题转化为待检测人数为92的组，每组1个感染者，共需的检测次数，由此可计算求得结果.【详解】（1）由题意知：第1轮需检测1次；第2轮需检测2次；第3轮需检测2次；第4轮需检测2次；12227n ∴=+++=；（2）由（1）可知：若只有1个感染者，则只需7次检测即可；经过4轮共9次检测查出所有感染者，比只有1个感染者多2次检测，则只需第3轮时，对两组都都进行检查，即对最后4个人进行检查，可能结果如下图所示：∴感染者人数可能的取值为2，3，4.（3）若没有感染者，则只需1次检测即可；若只有1个感染者，则只需121021+⨯=次检测即可；若有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组中； 此时相当于两个待检测人数均为92的组，每组1个感染者，此时每组需要12919+⨯=次检测；∴此时两组共需21938⨯=次检测；∴若有2个感染者，且检测次数最多，共需38139+=次检测. 综上所述：所需总检测次数的最大值为39.。

2021-2022学年北京市普通高中高二第二次学业水平合格性考试数学试题一、单选题1．已知集合A 1,4,5，B 1,2,3，则AB （）A ．1,2,3【答案】D【分析】根据集合运算求解即可.【详解】A B 1,4,51,2,31,2,3,4,5.故选：D.2．已知向量a 1,1,b2,1，那么2a b （）A ．0,1【答案】A【分析】利用向量的坐标运算即可求解.【详解】B ．1,0C ．2,2D ．4,4B ．1,2,3,4C ．2,3,4,5D ．1,2,3,4,5a 1,1,b2,1，2a b 21,12,12,22,10,1故选：A3．《北京2022年冬奥会——冰上运动》纪念邮票一套共有5枚，邮票图案名称分别为：短道速滑、花样滑冰、速度滑冰、冰壶、冰球.小冬买了一套该种纪念邮票，准备随机送给小冰等5位同学，每人1枚，则小冰收到邮票的图案名称是短道速滑的概率为（）A ．【答案】C【分析】根据古典概型的概率公式计算可得；12B ．231C ．52D ．51【详解】解：依题意，任何一位同学收到短道速滑图案的邮票概率都为，5故选：C4．已知f x 是定义在R 上的偶函数，若f 11，则f1（）A ．1【答案】C【分析】直接利用偶函数的性质求解即可.B ．0C ．1D ．2【详解】因为f x 是定义在R 上的偶函数且f 11，所以f1f 11，故选：C.5．某田径队有运动员100人，其中男运动员60人，女运动员40人.为了解田径队运动员的睡眠情况，采用分层抽样的方法获得一个容量为20的样本，那么应抽取男运动员的人数为（）A ．10【答案】B【分析】利用分层抽样的公式直接求解.【详解】解：由题得应抽取男运动员的人数为20故选：B6．若复数z 34i ，则z （）A ．3【答案】C【分析】直接根据复数的模的计算公式计算即可的出答案.【详解】因为z 34i ，所以z 9165.故选：C.7．如图，在三棱锥P ABC 中，PC平面ABC ，AC BC ，AC BC 2，PC 3，则三棱锥PABC 的体积为（）B ．4C ．5D ．7B ．12C ．14D ．1660=12.100A ．1【答案】BB ．2C ．6D ．12【分析】直接根据棱锥的体积公式求解即可.【详解】解：因为PC 平面ABC ，所以PC 即为三棱锥P ABC 高，11所以VP ABC2232.32故选：B.8．不等式x 1x 30的解集是（）A ．x 1x 3C ．{x|x 1或x 3}【答案】AB ．x 3x 1D ．{x|x3或x 1}【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得；【详解】解：由x 1x 30，解得1x 3，即原不等式的解集为x 1x 3；故选：A9．在复平面内，复数z 1i 对应的点位于（）A ．第一象限C ．第三象限【答案】B【分析】直接利用复数的几何意义求解.【详解】解：在复平面内，复数z 1i 对应的点为(1,1)，在第二象限.故选：B 10．92-log 9（）3A ．-1【答案】C【分析】直接利用指数幂和对数运算化简求值.【详解】解：9log 393log 332321.故选：C11．函数y e x 与y e x 的图象（）A ．关于x 轴对称C ．关于原点对称【答案】B【分析】设点P (x 0,y 0)在函数y e x 图象上，证明P (x 0,y 0)关于y 轴对称的点(x 0,y 0)在函数y e x 的图象上.x 【详解】解：设点P (x 0,y 0)在函数y e x 图象上，则y 0e 0，B ．第二象限D ．第四象限1B ．0C ．1D ．312B ．关于y 轴对称D ．关于直线yx 对称(x )x 则P (x 0,y 0)关于y 轴对称的点(x 0,y 0)满足y 0e0e 0，所以点(x 0,y 0)在函数y e x 的图象上.故选：B+上单调递增的是（）12．下列函数中，在区间0，A ．yC ．y -x 1【答案】D3xB ．y log 1x3D ．y x 3【分析】分别判断每一个选项的函数的单调性得解.+上单调递减，+【详解】解：选项ABC 中的函数在区间0，选项D 中的函数在区间0，上单调递增.故选：D13．已知x R且x 0，则4x A ．1【答案】D【分析】利用基本不等式即得.1124x 4，x x111当且仅当4x ，即x 时等号成立，即4x 的最小值是4；x x21的最小值是（）xB ．2C ．3D ．4【详解】根据题意，x R且x 0，则4x 故选：D.14．掷一枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数.记事件A “点数为奇数”，事件B“点数大于4”，则事件A B（）A ．“点数为3”C ．“点数为5”【答案】C【分析】根据题意分别列举事件A,B ，再利用交事件即可得解.B ．“点数为4”D ．“点数为6”,，B 5,6，AB 5【详解】由题意，可知A 13,5即事件A B“点数为5”故选：C15．如图，在ABC 中，D 为BC 的中点，下列结论中正确的是（）A ．ABACB ．BDCDC．AB AC AD【答案】DD．AB BD AD【分析】利用相等向量的定义判断选项AB，利用平面向量的三角形法则判断CD．【详解】对于A，AB,AC大小不相等，分向不相同，故不是相等向量，故A错误；对于B，BD,CD大小不相等，分向相反，是相反向量，故B错误；对于C，利用三角形法则知AB AC2AD，故C错误；对于D，利用三角形法则知AB BD AD，故D正确；故选：D16．已知函数f x x2,x0x2,x0，则f2（）A．1B．2C．3【答案】D【分析】根据分段函数解析式计算可得；x2【详解】解：因为f x ,x02,x0，所以f2224x故选：D17．在ABC中，A60，b5，c8，那么a（）A．7B．8C．9【答案】A【分析】直接利用余弦定理求解.【详解】解：由余弦定理得a225642581249,a7.故选：A18．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，那么AC·AB（A．-12B．1C．32【答案】B【分析】根据数量积的坐标运算进行求解.D．4 D．10）D．2【详解】解：建立如图所示的直角坐标系由题意可知A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)AB(1,0)，AC(1,1)AC·AB11011故选：B19．设a R，则“a1”是“a21”的（）A．充分而不必要条件C．充分必要条件【答案】A【分析】利用定义法判断即可.【详解】当a1时，a21，充分性成立；反过来，当a21时，则a1，不一定有a1，故必要性不成立，所以“a1”是“a21”的充分而不必要条件.故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，本题采用的是定义法，考查学生逻辑推理能力，是一道容易题.20．某停车场的停车收费标准如下表所示：停车收费标准首小时内白天（7:00-19:00）首小时后夜间（19:00（不含）-次日7:00）3.75元/15分钟1元/2小时7.5元/15分钟2元/2小时小型车2.5元/15分钟大型车5元/15分钟B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件注：白天停车收费以15分钟为1个计时单位，夜间停车收费以2小时为1个计时单位，满1个计时单位后方可收取停车费，不足1个计时单位的不收取费用.李明驾驶家用小轿车于17:30进入该停车场，并于当天21:10驶出该停车场，则李明应缴纳的停车费为（）A．13.5元元【答案】B【分析】根据题意得：17:3019:00为白天，19:0021:10为夜间，由表格列出算式，计算即可得到结果．【详解】解：根据题意得：6015 2.53015 3.751B．18.5元C．20元D．27.54 2.52 3.751107.5118.5（元)，则李明应缴纳的停车费为18.5元．故选：B．二、填空题21．已知函数f x x，则f x的定义域是____________.【答案】[0,)x x0【分析】根据偶数次方根号里的数大于等于零即可得出答案.【详解】解：由函数f x x，得x0，所以f x的定义域是[0,).故答案为：[0,).22．计算sin13cos32cos13sin32____________.【答案】21222【分析】逆用正弦的和角公式进行计算.【详解】sin13cos32cos13sin32sin1332sin45故答案为：222223．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC1的中点.给出下列三个结论：①BC 1//平面ADD 1A 1；②BC1DE ；③线段BC 1的长度大于线段DE 的长度.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①②③【分析】连接AD ，可判断①；连接BD 、DC 1可判断②，通过计算可判断③.【详解】连接AD 、BD 、DC 1，并设正方体的棱长为a .对于①，由于BC 1//AD 1，可知BC 1//平面ADD 1A 1，①正确；对于②，由于BDDC 1，又E 是BC 1的中点，易知BC1DE ，②正确；对于③，BD 、DC 1、BC 1是正方体的面对角线，可知BDDC1BC 1，因此BDC 1是等边三角形，而DE 是等边三角形边上的高线，因此|BC 1||DE |，③正确.故答案为：①②③24．阅读下面题目及其解答过程.已知关于x 的一元二次方程x 2bx 40有两个不相等的实数根x 1，x 2.（1）求实数b 的取值范围；11（2）用含有b 的代数式表示.x1x2解：（1）因为关于x 的一元二次方程x 2bx 40有两个不相等的实数根，所以①0.解得②.所以b 的取值范围是,44,.22bb 16bb 16（2）不妨设x 1x 2，则x1，x2，22所以x 1x2③，x 1x 2④.11x 1x2⑤所以x1x2x 1x2以上题目的解答过程中，设置了五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）.空格序号①选项22A ．b 4 B ．b 16②A ．b2或b 2 B ．b 4或b4A ．b B ．b A ．4 B ．4b bA ．4B ．4③④⑤【答案】答案见解析【分析】根据二次方程的判别式及根与系数关系分别判断.【详解】由二次方程的判别式公式直接可得b414b 216，即①选B ；解不等式b 2160即可解得b4或b4，即②B ；由二次方程根与系数关系关系可知x 1x211x 1x 2b，即⑤选B ；进而可得x1x2x 1x2424bb ，x 1x24，即③选A ，④选A ；11故答案为：B ，B ，A ，A ，B.三、双空题25．已知向量a1,1，b2,m，且a//b，则实数m____________；a b____________.【答案】24【分析】（1）解方程1m120得解；（2）利用数量积的公式求解.【详解】解：（1）由题得1m120,m2；（2）a b12124.故答案为：2；4.四、解答题26．已知函数f x sin2x.(1)求f x的最小正周期；(2)求f x在区间[0,【答案】(1)T(2)1，4]上的最大值及相应x的值.4【分析】（1）直接根据正弦函数的周期公式计算可得；（2）由x的取值范围，求出2x的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；(1)解：因为f x sin2x，所以函数的最小正周期T (2)2；2解：因为x0,，所以2x0,，所以sin2x0,1，当且仅当2x，即x时24 42函数取得最大值f xmax1；27．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，PD平面ABCD.(1)求证：BC//平面PAD；(2)求证：AC平面PBD.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证得；（2）利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即可证得.(1)由底面ABCD 是正方形，BC //AD又BC 平面PAD ，AD 平面PAD ，BC //平面PAD(2)PD 平面ABCD ，AC 平面ABCD ，PD AC又底面ABCD 是正方形，BD AC又BD PD D ，BD ,PD 平面PBD ，AC 平面PBD28．已知函数f x x 21与g x x ax 1.(1)若f x 与g x 有相同的零点，求a 的值；(2)若f x g x 0对x 1,恒成立，求a 的最小值.【答案】(1)a 1(2)1【分析】（1）求出函数f x 的零点，将其代入g x 0，即可求出a 的值；（2）令F x f x g x ，由F x 0对x 1,恒成立，令x 1，F 10可解出a 1，再检验a 1时，F x 0对x 1,恒成立.(1)2令f x x 10，即x 310，x 所以f 10，故g 1a 10，解得a 1；(2)12令F x f x g x x ax 1，x 因为F x 0对x 1,恒成立，所以F 11a 0，则a 1，当a 1时，11x 2(x 1)2(x 1)2F x x x 1(x 1)，x x x 2当x 1,时，(x 1)20x 10，所以F x 0，所以实数a的最小值是1.。

2021年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学试题一、单选题1．设集合{}1,2,3,4,5A =，{}2,4,6,8B =，则A B =（ ） A ．∅ B ．{}2C ．{}2,4D ．{}2,4,8【答案】C【分析】利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合{}1,2,3,4,5A =，{}2,4,6,8B =， 所以A B ={}2,4， 故选：C2．复数34i z =+所对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】找出复数34i z =+所对应的点即可求解. 【详解】复数34i z =+所对应的点的坐标为()3,4， 所以位于第一象限， 故选：A.3．已知向量()1,2a =-，()1,1b =，则3a b +=（ ） A ．()2,7 B ．()2,7-C ．()2,5--D ．()2,5-【答案】B【分析】根据平面向量的坐标运算，即可求解.【详解】由向量()1,2a =-，()1,1b =，可得3(1,2)(1,31)(2,7)a b ⨯=-+=-+. 故选：B.4．中国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”．如4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，…，现从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（ ） A ．110 B ．15C ．310 D ．25【答案】B【分析】先求出3，5，7，11，13这5个素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求．【详解】解：从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数共有2510C =钟可能，其和等于16的结果（3，13），（5，11）2种等可能的结果， 所以概率21105P ==. 故选：B.5．已知3sin 5θ=-，且θ为第四象限角，则tan θ=（ ）A ．43 B ．43-C ．34 D ．34-【答案】D【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】解：因为3sin 5θ=-，22sin cos 1θθ+=，所以4cos 5θ=±，因为θ为第四象限角，所以4cos 5θ=，所以sin 3tan cos 4θθθ==- 故选：D6．如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（ ）A ．3y x =B ．2y xC ．y x =D ．y x =【答案】C【分析】根据常见幂函数的图像即可得出答案.【详解】解：由图知：①表示y x =②表示y x =，③表示2y x ，④表示3y x =.故选：C.7．已知0a b >>，0c d <<，下列不等式中成立的是（ ）A ．a c b d +>+B ．a c b d ->-C ．ac bd >D ．a b c d> 【答案】B【分析】利用不等式的基本性质判断.【详解】A. 若2,1a b ==，1c d =-=-2,，则a c b d +=+，故错误；B.因为0c d <<，所以0c d ->->，又因为0a b >>，所以0a c b d ->->，故正确；C.若2,1a b ==，1c d =-=-2,，则ac bd <，故错误；D.若2,1a b ==，1c d =-=-2,，则a bc d=，故错误； 故选：B8．已知:02p x <<，:13q x -<<，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分不必要条件【答案】A【分析】根据充分和必要条件的定义即可求解. 【详解】由:02p x <<，可得出:13q x -<<， 由:13q x -<<，得不出:02p x <<， 所以p 是q 的充分而不必要条件， 故选：A.9．现对某类文物进行某种物性指标检测，从1000件中随机抽取了200件，测得了它的物性指标值，得到如下频率分布直方图，据此估计这1000件文物中物性指标值不小于95的件数为（ ）A ．34B ．67C ．340D ．670【答案】D【分析】由频率分布直方图得文物中物性指标值不小于95的频率即可. 【详解】由频率分布直方图得文物中物性指标值不小于95的频率为：()0.0330.0240.0080.002100.67+++⨯=，所以这1000件文物中物性指标值不小于95的件数为10000.67670⨯=. 故选：D10．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．2yxB ．3y x =C ．2x y =D ．lg y x =【答案】B【分析】逐一分析四个选项的奇偶性和单调性即可得出答案. 【详解】A 选项，因为2yx 是偶函数，且在(),0-∞上递减，故A 错误；B 选项，因为3y x =是奇函数，在R 上是增函数，故B 正确；C 选项，因为2x y =是非奇非偶函数，故C 错误；D 选项，因为函数lg y x =的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，所以函数lg y x =不具有奇偶性，故D 错误. 故选：B.11．已知函数()()sin 2f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，为了得到函数sin y x =的图象，只要把()y f x =的图象上所有的点（ ）A ．向左平行移动6π个单位长度 B ．向右平行移动6π个单位长度C ．向左平行移动3π个单位长度 D ．向右平行移动3π个单位长度【答案】D【分析】由()max 6f x f π⎛⎫= ⎪⎝⎭结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，利用三角函数图象变换可得出结论.【详解】由图可知，()max sin 66f x f ππϕ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，()262k k Z ππϕπ+=+∈，故()23k k Z πϕπ=+∈，2πϕ<，故3πϕ=，所以，()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以，为了得到函数sin y x =的图象，只要把()y f x =的图象上所有的点向右平移3π个单位长度. 故选：D.12．犇犇同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ） A ．三次都中靶 B ．只有两次中靶 C ．只有一次中靶 D ．三次均未中靶【答案】D【分析】利用互斥事件的定义判断.【详解】因为连续射击三次的结果有四种：三次都中靶，只有两次中靶，只有一次中靶，三次均未中靶，而打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”是三次都中靶，只有两次中靶或只有一次中靶，所以打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是三次均未中靶， 故选：D13．已知两个单位向量a ，b 满足12a b ⋅=，则a b +=（ ）A B C D【答案】A【分析】根据()2a b a b+=+，利用向量的数量积的运算律即可得出答案.【详解】解：()222211a b a b a a b b +=+=+⋅+=+故选：A.14．在高铁建设中需要确定隧道的长度和隧道两端的施工方向，为解决这个问题，某校综合实践活动小组提供了如下方案：先测量出隧道 两端的两点A ，B 到某一点C 的距离，再测出ACB ∠的大小．现已测得AC 约为2km ，BC 约为3km ，且60ACB ∠=︒（如图所示），则A ，B 两点之间的距离约为（ ）A ．1.414kmB ．1.732kmC ．2.646kmD ．3.162km【答案】C【分析】结合余弦定理计算即可. 【详解】在ABC 中，由余弦定理，得2222cos 7AB AC BC AC BC C =+-⨯=， 所以7 2.646AB km ≈， 故答案为：C15．已知函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+⎩＜，则不等式()()1f x f ＞的解集是（ ）A ．()()3,13,-+∞B ．()(),12,3-∞-C ．()()1,13,-+∞D ．()(),31,3-∞-【答案】A【分析】利用分段函数，将不等式化为具体不等式，即可得出结论． 【详解】解：()11463f =-+=，当0x 时，2463x x -+>，所以01x ≤<或3x >； 当0x <时，63x +>，所以30x -<<，所以不等式()(1)f x f >的解集是(3-，)(13⋃，)+∞， 故选：A ．二、多选题16．已知向量()1,3a =，(1,3b =--，则（ ） A ．a b ＞B ．a b <C ．a b =D ．//a b【答案】CD【分析】求出a 与b 即可判断A ，B ，C 正误，根据向量共线的坐标表示即可判断D 的对错.【详解】解：132a =+=，132b =+=，所以a b =，因为(()110⨯-=，所以//a b . 故选：CD.17．已知l ，m 是平面α外的两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//l α，//m α，则//l m B ．若l α⊥，//m α，则l m ⊥ C ．若l α⊥，l m ⊥，则//m α D ．若l m ⊥，//m α，则l α⊥【答案】BC【分析】利用线线、线面的平行关系，以及线线、线面的垂直关系，即可求解. 【详解】解：对于A ，直线l 和m 可以相交或者异面，故A 错，对于B, //m α，假设//m n ，n ⊂α，又l α⊥，故l n ⊥，则l m ⊥，故B 对, 对于C, 因为l α⊥，l m ⊥，又m α⊄，则//m α，故C 对, 对于D, 直线l 可以与平面α平行，故D 错. 故选：BC .18．下列函数中最大值为1的是（ ） A ．sin y x = B ．cos y x =C ．tan y x =D ．sin y x =【答案】ABD【分析】根据基本初等函数的性质判断可得；【详解】解：对于A ：函数sin y x =值域为[]1,1-，故A 正确； 对于B ：函数cos y x =的值域为[]1,1-，故B 正确； 对于C ：函数tan y x =的值域为R ，故C 错误； 对于D ：函数sin y x =的值域为[]0,1，故D 正确； 故选：ABD三、填空题19．已知两个非零向量a ，b 满足0a b ⋅=，则a 与b 的夹角为_______. 【答案】2π 【分析】根据向量的数量积即可求得a 与b 的夹角.【详解】解：因为cos ,0a b a b a b ⋅==， 所以cos ,0a b =，即a 与b 的夹角为2π. 故答案为：2π. 20．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则球的体积为_______.【答案】36π【分析】根据图形可以得出球的半径；代入球的体积公式即可得到结论． 【详解】解：设球半径为r ， 根据题意可得：3r =，所以球的体积34363V r ππ==.故答案为：36π.四、双空题21．某校足球俱乐部有男运动员60人，女运动员40人，为了了解运动员的身体素质，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为30的样本，则应抽取的（1）男运动员人数为_______；（2）女运动员人数为_______. 【答案】18 12【分析】先由已知计算出抽样比，进而可得答案．【详解】解：足球俱乐部有男运动员60人，女运动员40人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为30的样本，则抽样比为303604010=+， 故抽取的男运动员人数3601810⨯=人，抽取的女运动员人数3401210⨯=人，故答案为：18；1222．设a ，b 为正整数，若81b a =，则（1）a 的一个可能的值为_______；（2）与（1）中a 的值相对应的b 的值为_______. 【答案】3(或9) 4(或2)【分析】根据指数幂，即可求解.【详解】因为a ，b 为正整数，又81b a =，当3a =时，4b =，当9a =时，2b =， 故答案为：3(或9)，4(或2)五、解答题23．已知函数()cos 23sin 21f x x x m =+++． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若()f x 的最小值为0，求常数m 的值． 【答案】（1）π； （2）1m =.【分析】（1）化简函数为()2cos(2)13f x x m π=-++，结合最小正周期的公式，即可求解；（2）由（1）得到当cos(2)13x π-=-时取得最小值，列出方程，即可求解.【详解】（1）由函数()cos23sin 212cos(2)13f x x x m x m π=+++=-++，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）由（1）知函数()2cos(2)13f x x m π=-++，因为()f x 的最小值为0，可得当cos(2)13x π-=-时，取得最小值，即2(1)10m ⨯-++=，解得1m =.24．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点．求证：（1）1//BD 平面ACE ；（2）求三棱锥B ACE -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）23.【分析】（1）连接BD 与AC 交于点O ，连接OE ，易得1//BD OE ，再利用线面平行的判定定理证明；（2）利用等体积法由B ACE E ABC V V --=求解. 【详解】（1）如图所示：，连接BD 与AC 交于点O ，连接OE ， 因为E ，O 为中点， 所以1//BD OE ，又1BD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ， 所以1//BD 平面ACE ； （2）13B ACE E ABC ABCV V SED --==⨯⨯，1132AB BC ED =⨯⨯⨯⨯， 112221323=⨯⨯⨯⨯=. 25．关于函数()()ln 1f x x x =+有以下三个结论: （1）()f x 是偶函数；（2）()f x 在[)0,+∞上是增函数；（3）()f x 有两个零点．试分别判断这三个结论是否正确，并说明理由． 【答案】（1）错误；（2）正确；（3）错误；理由解析. 【分析】（1）由函数的奇偶性定义判断； （2）利用导数法判断；（3）令()()ln 10f x x x =+=求解判断. 【详解】（1）由10x +>，解得1x >-，所以函数的定义域为{}|1x x >-，不关于原点对称， 所以()f x 不是偶函数；第 11 页 共 11 页 （2）因为()()ln 101x f x x x'=++≥+，在[)0,+∞上成立， 所以()f x 在[)0,+∞上是增函数，故正确；（3）令()()ln 10f x x x =+=，则0x =或()ln 10x +=，解得0x =， 所以()f x 有一个零点，故错误．。