学业水平测试-数学试卷1及参考答案

机密★启用前2022年1月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题（考试时间：90分钟；满分：100分）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至3页，第II 卷4至6页．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的考生号､姓名填写在试题卷､答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号､姓名”与考生本人考生号､姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：第I 卷（选择题45分）一､选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}2,0,1,0,1,2A B =-=，则A B = （）A ．{}0,1B ．{}2,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}2,0,1,2-2．某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A ．球B ．圆锥C ．圆台D ．圆柱3．直线1y =+的倾斜角是（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π4．函数()2log 32y x =-的定义域是（）A ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．R5．随机投掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为奇数的概率是（）A ．16B ．13C ．12D ．236．等差数列{}n a 中，若14a =，公差2d =，则5a =（）A ．10B ．12C ．14D ．227．已知函数()22,0,2,0,x x x f x x ⎧-=⎨<⎩则()()1f f =（）A ．4B ．2C ．12D ．1-8．已知3sin 5α=，且α为第一象限角，则cos α=（）A ．45B ．45-C ．34D ．34-9．函数()234xf x x =+-的零点所在的区间是（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,310．函数sin 2y x =的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π11．如图，在长方体体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱111,BB B C 的中点，以下说法正确的是（）A ．1A E 平面11CC D DB ．1A E ⊥平面11BCC B C ．11A ED F ∥D ．11AE DF ⊥12．函数1y x x=+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．13．为了得到函数sin 13y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin y x =的图象（）A ．向右平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3π个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向左平移3π个单位长度，再向下平移1个单位长度14．已知3321log 4,log 2,log 3a b c ===测,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．a c b<<D ．c b a<<15．下列各组向量中，可以用来表示向量()3,5a =的是（）A ．()()120,0,1,2e e ==-B ．()()121,2,1,2e e ==--C ．()12,3e =，()24,6e = D ．()()121,3,2,1e e ==-第II 卷（请考生在答题卡上作答）二､填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．16．数列{}n a 的前几项和为n S ，且111,2n n a a a +==，则，4S =__________．17．ABC 的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，且60,45a A B == ，则b =__________．18．已知向量a 与b 满足5,4a b == ，且10a b ⋅=r r，则a 与b 的夹角等于__________．19．一车间为了规定工时定额，需要确定加工某零件所需的时间，为此进行了多次试验，收集了加工零件个数x 与所用时间y （分钟）的相关数据，并利用最小二乘法求得回归方程0.6755y x =+．据此可预测加工200个零件所用的时间约为__________分钟．20．某工厂要建造一个容积为39m 的长方体形无盖水池．如果该水池池底的一边长为1m ，池底的造价为每平方米200元，池壁的造价为每平方米100元，那么要使水池的总造价最低，水池的高应为__________m ．三､解答题：本题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤21．在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆于P 点34,.55⎛⎫⎪⎝⎭(1)求()sin πα-的值；(2)求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．22．某校高三年级共有学生1000名．该校为调查高三学生的某项体育技能水平，从中随机抽取了100名学生进行测试，记录他们的成绩，并将数据分成6组：[)[)[]40,50,50,60,,90,100 ，整理得到频率分布直方图，如图．(1)若0.002,0.006a b ==，估计该校高三学生这项体育技能的平均成绩；(2)如果所抽取的100名学生中成绩分布在区间[)60,70内的有8人，估计该校高三学生这项体育技能成绩低于60分的人数．23．如图，在三棱锥-P ABC 中，平面PAC ⊥平面,ABC AC BC⊥(1)求证：PA ⊥BC ；(2)若2,30PA PC BC BAC ∠==== ，求三棱锥-P ABC 的体积.24．已知函数()()e e e e ,22x x x xf xg x ---+==．(1)从()(),g f x x 中选择一个函数，判断其奇偶性，并证明你的结论；(2)若函数()()()x x h f g x a =-有零点，求实数a 的取值范围．25．已知圆C 过点()()1,2,2,1A B ，且圆心C 在直线y x =-上．P 是圆C 外的点，过点P 的直线l 交圆C 于,M N 两点．(1)求圆C 的方程；(2)若点P 的坐标为()0,3-，求证：无论l 的位置如何变化PM PN ⋅恒为定值；(3)对于（2）中的定值，使PM PN ⋅恒为该定值的点P 是否唯一？若唯一，请给予证明；若不唯一，写出满足条件的点P 的集合（不必证明）．1．A 【分析】根据集合交集的定义即可求解.【详解】解：因为集合{}{}2,0,1,0,1,2A B =-=，所以{}0,1A B = ，故选：A.2．D 【分析】由几何体的三视图可得该几何体为圆柱，从而即可得答案.【详解】解：由正视图和侧视图可知，该几何体不可能是球、圆锥、圆台，故选项A 、B 、C 错误，因此该几何体为圆柱，即选项D 正确，故选：D.3．B 【分析】根据直线斜率等于倾斜角的正切值，从而求出倾斜角θ【详解】因为：1y +，所以：k由于：k tan θ=，则tan θ，即：θ=3π故选：B.【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系4．B 【分析】根据真数大于零，即可解出．【详解】由320x ->解得：23x >．5．C 【分析】分别求出点数向上的结果数和向上的点数为奇数的结果数，由古典概率可得答案.【详解】随机投掷一枚质地均匀的骰子，点数向上的结果有6种，其中向上的点数为奇数的有3种所以出现向上的点数为奇数的概率是3162=故选：C 6．B 【分析】根据等差数列的性质直接计算即可.【详解】由等差数列的性质可知：51444212a a d =+=+⨯=；故选：B.7．C 【分析】根据分段函数的定义即可求解.【详解】解：因为()22,02,0x x x f x x ⎧-=⎨<⎩，所以2(1)121f =-=-，所以()()()111122f f f -=-==，故选：C.8．A 【分析】根据三角函数值在各象限的符号以及平方关系即可解出．【详解】因为α为第一象限角，3sin 5α=，所以4cos 5α==．故选：A ．9．B根据函数零点存在定理即可判断.【详解】解：因为()234x f x x =+-为R 上的增函数，又()00230430f =+⨯-=-<，()11231410f =+⨯-=>，所以函数()234xf x x =+-的零点所在的区间是()0,1，故选：B.10．B 【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式即可得出答案.【详解】解：由函数sin 2y x =，则最小正周期22T ππ==.故选：B.11．A 【分析】对A ：由平面11ABB A 平面11CC D D ，然后根据面面平行的性质定理即可判断；对B ：若1A E ⊥平面11BCC B ，则1A E ⊥1BB ，这与1A E 和1BB 不垂直相矛盾，从而即可判断；对C 、D ：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，由1 A E 与1D F不是共线向量，且2110A E D F b ⋅=>，从而即可判断.【详解】解：对A ：由长方体的性质有平面11ABB A 平面11CC D D ，又1A E ⊂平面11ABB A ，所以1A E 平面11CC D D ，故选项A 正确；对B ：因为E 为棱1BB 的中点，且111A B BB ⊥，所以1A E 与1BB 不垂直，所以若1A E ⊥平面11BCC B ，则1A E ⊥1BB ，这与1A E 和1BB 不垂直相矛盾，故选项B 错误；对C 、D ：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设1,,DA a DC b DD c ===，则()1,0,A a c =，,,2c E a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,0,D c ，,,2a F b c ⎛⎫⎪⎝⎭，所以10,,2c A E b ⎛⎫=- ⎝⎭ ，1,,02a D F b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为1 A E 与1D F 不是共线向量，且2110A E D F b ⋅=>，所以1A E 与1D F 不平行，且1A E 与1D F 不垂直，故选项C 、D 错误.故选：A.12．A 【分析】根据函数1y x x=+的奇偶性以及值域即可解出．【详解】因为()1y f x x x==+的定义域为{}|0x x ≠，且()()f x f x -=-，所以函数1y x x =+为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除C ；又当0x >时，12y x x=+≥，当且仅当1x =时取等号，所以排除B ，D ．故选：A ．13．C 【分析】由三角函数图象变换求解【详解】要得到函数sin 13y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，需把函数sin y x =的向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度，故选：C 14．D【分析】运用对数的性质直接判断即可.【详解】3log 41a =>，30log 21b <=<，221log log 303c ==-<，a b c ∴>>；故选：D.15．D 【分析】在平面向量中能作为基底的充分必要条件是一组不平行的非零向量，按照这个条件逐项分析即可.【详解】对于A ，()10,0e =是零向量，不可以；对于B ，12e e =-，是平行向量，不可以；对于C ，1212e e = ，是平行向量，不可以；对于D ，不存在实数λ使得12e e λ=成立，是一组不平行的非零向量，可以；故选：D.16．15【分析】按照等比数列写出通项公式和求和公式计算即可.【详解】12n n a a += ，∴{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，4441112115112q S a q --=⨯=⨯=--故答案为15.17【分析】直接运用正弦定理计算即可.【详解】由正弦定理得：sin sin45,sin sin sin sin60a b Bb aA B A︒︒=∴=⨯==；.18．3π##60︒【分析】直接用数量积的定义求夹角即可.【详解】依题意，101cos,542a ba ba b===⨯，∴a与b的夹角为3π；故答案为：3π.19．189【分析】根据回归方程0.6755y x=+即可求解.【详解】解：因为回归方程0.6755y x=+，所以当200x=时，0.6720055189y=⨯+=，所以可预测加工200个零件所用的时间约为189分钟，故答案为：189.20．3【分析】写出底边长和高的关系式，运用基本不等式运算即可.【详解】由题意，设底面另一边长为x，高为y，则有9xy=，总造价为200210021002002001800S x y xy x y=+⨯+⨯=++218003000≥⨯=，当且仅当x=y=3时等号成立，故答案为：3.21．(1)45(2)-7【分析】先求出sin α和tan α，在根据诱导公式和两角和正切公式计算即可.(1)由题意，4445sin ,tan 3535αα===，()4sin sin 5παα∴-==；(2)41tantan 34tan 7441tan tan 143παπαπα++⎛⎫+===- ⎪⎝⎭--；综上，()4sin π,tan 754παα⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭.22．(1)80.4(2)20【分析】（1）根据直方图所给出的数据求平均数即可；（2）根据直方图面积等于1，求出a ，再将频率作为概率计算即可.（1）由直方图可知：平均成绩450.02550.02650.06750.4850.3950.280.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，即平均成绩为80.4；（2）由于在[)60,70内有8人，0.008b ∴=，∴a =0.001，低于60分的人数约为20.00110100020⨯⨯⨯=人；综上，平均成绩约为80.4分，低于60分的人数约为20人.23．(1)证明见解析【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得BC ⊥平面PAC ，从而即可得证PA ⊥BC ；（2）由三棱锥-P ABC 的体积13A C P C P AB S BC V -=⨯ 即可求解.(1)证明：因为平面PAC ⊥平面,ABC AC BC ⊥，平面PAC 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，所以PA ⊥BC ；(2)解：由（1）知BC ⊥平面PAC ，所以BC AC ⊥，又2,30BC BAC ∠== ，所以AC =因为2PA PC ==，所以(222221cos 2222APC +-∠==-⨯⨯，所以sin APC ∠=所以12222APC S =⨯⨯⨯=所以三棱锥-P ABC 的体积113233A AP B C P C V S BC -⨯===.24．(1)若选()f x ，则()f x 为奇函数；若选()g x ，则()g x 为偶函数.(2)()1,1-【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可求解；（2）将原问题等价转化为方程21e 12x a =-+有解，求出21e 12x y =-+的值域即可得答案.(1)解：若选()f x ，则()f x 为奇函数，证明如下：因为()()e e 2x xf x f x ---==-且定义域为R ，所以()f x 为奇函数；若选()g x ，则()g x 为偶函数，证明如下：因为()()e e2x xg x g x -+-==且定义域为R ，所以()g x 为偶函数；(2)解：因为函数()()()x x h f g x a =-有零点，所以方程e e e e 022x x x x a ---+-⨯=，即222e e e 11e e 112e e x x x x x x x a ----===-+++有解，因为2e 0x >，所以2e 11x +>，2101e 1x<<+，所以2111e 21x -<-<+，所以11a -<<，即实数a 的取值范围()1,1-.25．(1)225x y +=(2)4(3)不唯一，()(),,P a b a b R ∈.【分析】（1）联立AB 垂直平分线方程与y =-x ，求得圆心和半径即可；（2）设过P 点的直线方程，与圆C 方程联立，按照两点距离公式计算即可；（3）设点P 的坐标和过点P 的直线方程，与圆C 的方程联立，再用两点距离公式计算即可.(1)B 两点的中点为33,22⎛⎫⎪⎝⎭，斜率为12121AB k -==--，∴AB 垂直平分线的斜率为1，垂直平分线的方程为：y =x ，联立方程y xy x=⎧⎨=-⎩，解得x =0，y =0，∴圆心为（0,0），半径为r ==，圆C 的方程为：225x y +=；(2)如图：若MN 斜率不存在，则3PN =-，3PM =，4PM PN = ；若MN 斜率存在，设为k ，则MN 直线方程为y =kx -3，联立方程：2253x y y kx ⎧+=⎨=-⎩，解得：()221640k x kx +-+=，设()()1122,,,M x y N x y ，则12122264,11k x x x x k k +==++ ，PM PN ==，()21214PM PN k x x =+= ，即不论MN 斜率是否存在4PM PN = ，为定值4；(3)不妨设P （a ,b ），当MN 斜率不存在时，联立方程：225x y x a ⎧+=⎨=⎩，解得：y =，225PM PN b b a b =-=+- ；若MN 斜率存在，设为k ，则直线MN 的方程为()y kx b ak =+-，联立方程：()225x y y kx b ak ⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩，解得：()()()2221250k x k b ak x b ak ++-+--=，()()212122225,11k b ak b ak x x x x k k ---+=-=++ ，()()2212121PM PN k x x a xx a =+-++ 225a b =+-，即不论P 点在何处，MN 的斜率是否存在，225PM PN a b =+- ，为定值；综上，圆C 的方程为225x y +=，4PM PN = ，P 点不唯一，其集合为()(),,P a b a b R ∈.。

机密★本科目考试启用前2023年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数 学 试 卷第一部分（选择题 共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，则U A =ð（ ） A ．{}1,3B ．{}2,3C ．{}1,4D ．{}3,42．不等式20x >的解集是（ ） A ．{}0x x =B ．{}0x x ≠C ．{}0x x >D ．{}0x x <3．函数()1f x x =-的零点是（ ） A ．－2B ．－1C ．1D ．24．在平面直角坐标系xOy 中，角α以O 为顶点，以Ox 为始边，终边经过点()1,1-，则角α可以是（ ） A ．4πB ．2π C ．34πD ．π5．已知三棱柱111ABC A B C -的体积为12，则三棱锥111A A B C -的体积为（ ） A ．3B ．4C ．6D ．86．已知1sin 2α=，则()sinα-=（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．27．lg100=（ ） A ．－100B ．100C ．－2D ．28．如图，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，下列向量中，与OA 相等的是（ ） A ．DOB ．EOC ．FOD ．CO9．下列函数中，在R 上为增函数的是（ ） A ．()f x x =- B ．()2f x x =C ．()2xf x =D ．()cos f x x =10．已知向量()2,1a =，(),2b m =．若a b ∥，则实数m =（ ） A ．0B ．2C ．4D ．611．已知a ，b ∈R ，且2a b +=．当ab 取最大值时，（ ） A ．0a =，2b =B ．2a =，0b =C ．1a =，1b =D ．1a =-，3b =12．将函数2log y x =的图象向上平移1个单位长度，得到函数()y f x =的图象，则()f x =（ ） A ．()2log 1x +B ．21log x +C ．()2log 1x -D ．21log x -+13．四棱锥P ABCD -如图所示，则直线PC （ ） A ．与直线AD 平行 B ．与直线AD 相交 C ．与直线BD 平行D ．与直线BD 是异面直线14．在ABC △中，1a =，1b =，c =C ∠=（ ）A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°15．已知a ，b ∈R ，则“0a b ==”是“0a b +=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则a b -=（ ）A ．2BC ．D ．317．已知函数()f x =()y f x =的图象经过原点，则()f x 的定义域为（ ）A ．[)0,+∞B ．[),0-∞C ．[)1,+∞D ．[),1-∞18．某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成（如“0013”）．用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为（ ） A ．12B ．14C ．18D ．11619．已知函数()21,022,0xx f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，则()f x 的最小值是（ ） A ．2B ．1C ．－2D ．－120．某校学生的体育与健康学科学年成绩s 由三项分数构成，分别是体育与健康知识测试分数a ，体质健康测试分数b 和课堂表现分数c ，计算方式为20%40%40%s a b c =⨯+⨯+⨯．学年成绩s 不低于85时为优秀，若该校4名学生的三项分数如下：则体育与健康学科学年成绩为优秀的学生是（ ） A ．甲和乙B ．乙和丙C ．丙和丁D ．甲和丁第二部分（非选择题 共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分。

2022届海南省高三上学期学业水平诊断一数学试题一、单选题 1．13i3i+=-（ ） A ．1 B ．i C ．1i + D ．1i -【答案】B【分析】利用复数的乘除法法则对复数化简即可. 【详解】解：()()()()13i 3i 13i 10ii 3i 3i 3i 10+++===--+． 故选：B ．2．已知集合()()30M x x m x =--=，()()310N x x x =--<，若M N ≠∅，则实数m的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．(),3-∞ C ．()1,3 D ．()(),13,-∞⋃+∞【答案】C【分析】对m 分两种情况讨论，化简集合M ，解一元二次不等式化简集合N ，再根据交集的结果，即可得到答案； 【详解】{|13}N x x =<<，当3m =时，{3}M =，M N ≠∅，∴3m =不成立；当3m ≠时，{,3}M m =，MN ≠∅，∴m N ∈，∴13m <<， 故选：C.3．已知函数()21,0,1,0,4x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若()34f x =-，则x =（ ）A ．7B ．-2C ．2D ．7或-2【答案】D【分析】由函数解析式，分0x ≤时，3214x-=-；0x >时，3144x -=-，分别求解即可得选项.【详解】解：因为()21,0,1,0,4x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，()34f x =-，所以当0x ≤时，3214x-=-，解得2x =-，满足0x ≤，故2x =-时不等式成立；当0x >时，3144x -=-，解得7x =，满足0x>，故7x =时不等式成立； 故选：D.4．在等比数列{}n a 中，3a ，7a 是方程2610x x -+=的两个实根，则5a =（ ） A ．-1 B ．1 C ．-3 D ．3【答案】B【分析】由韦达定理可知371a a ⋅=，结合等比中项的性质可求出5a . 【详解】解：在等比数列{}n a 中，由题意知：376a a +=，371a a ⋅=，所以3>0a ，7>0a ，所以5>0a 且25371a a a =⋅=，即51a =.故选：B.5．已知函数()()2223ln 9f x f x x x '=-+（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =（ ）A ．209-B ．119-C ．79D ．169【答案】D【分析】对函数进行求导，求出(3)2f '=，再令1x =代入解析式，即可得到答案； 【详解】'41()2(3)9f x f x x'∴=-+，∴41(3)2(3)33f f ''=-+(3)1f '⇒=，22()2ln 9f x x x x ∴=-+，216(1)299f ∴=-=，故选：D.6．函数()()41931xx f x x -=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先利用奇偶性排除部分选项，再由()10f <函数值的符号判断排除可得选项.【详解】解：因为函数()f x 的定义域为R ，且()()()()4419913131x x x x f x f x x x -----===-⎡⎤+-+⎣⎦， 所以函数()f x 是奇函数，故排除C 、D ， 又()()4194103311f -==-<+，故排除B 选项.故选：A.7．已知函数()2log 1f x x =-，若0b c <<，12a <<，则（ ） A ．()()()f b f c f a >> B ．()()()f b f a f c >> C ．()()()f a f b f c >> D ．()()()f c f a f b >>【答案】A【分析】由对数型复合函数的单调性判断即可得出结果. 【详解】作出函数()2log 1f x x =-，的图象如图所示：则()2log 1f x x =-的单调递增区间为：()1,+∞，单调递减区间为：(),1-∞.12a <<，011a ∴<-<，∴22log ()log (11)0a f a a -==-<.0b c <<,0,111b c b c ∴->->->->22log (1)log (1)0b c ∴->->.2222()log (1),log 1lo (g )log (1),1b c f b b f c c ==-==---()()().f b f c f a ∴>>故选：A8．某地采用10合1混检的方式对居民进行新冠病毒核酸检测，即将10个人的咽拭子样本放入同一个采集管中进行检测，最后不满10人的，如果人数小于5，就将他们的样本混到前一个采集管中，否则再使用一个新的采集管．则各采样点使用的采集管个数y 与到该采样点采样的人数()10x x >之间的函数关系式为（ ）（[]x 表示不大于x 的最大整数）A ．10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ．410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C ．510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦D ．610x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】由x 能被10整除或x 除以10的余数为1，2，3，4可得5[][]1010x x+=，由x 除以10的余数为5，6，7，8，9可得5[][]11010x x+=+，即可得出结果. 【详解】当x 能被10整除或x 除以10的余数为1，2，3，4时， 5[][]1010x x+=，即不需要再使用新的采集管； 当x 除以10的余数为5，6，7，8，9时， 5[][]11010x x+=+，即需要再使用一个新的采集管； 故选：C 二、多选题9．在菱形ABCD 中，E 是AB 边的中点，F 是AD 边的中点，则（ ） A ．AE CD ∥ B ．AF CD ∥ C ．0EF AC ⋅= D ．0EF BD ⋅=【答案】AC【分析】根据题意和菱形的性质可得//AB CD 、AD ⋂CD D =、AC BD ⊥、//EF BD ，依次判断选项即可.【详解】在菱形ABCD 中//AB CD ，即//AE CD ，所以//AE CD ， 又AD ⋂CD D =，所以AF 与CD 不共线，故A 正确，B 错误； 因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点，所以//EF BD ，又AC BD ⊥，所以EF AC ⊥，所以00EF AC EF BD ⋅=⋅≠，，故C 正确，D 错误.故选：AC10．已知等差数列n a 的前n 项和为n S ，若57112a a S +=，则（ ） A ．110S = B ．60a = C ．65S S = D ．67S S =【答案】ABC【分析】根据题意和等差数列的前n 项和公式、等差中项的应用可得111=0a a +，进而可得1160S a ==，利用1n n n S S a -=+计算即可判断选项C 、D. 【详解】由题意知，57112a a S +=，得5711111()22a a a a ++=， 即111111111()()22a a a a +=+，解得111=0a a +，所以110S =，故A 正确； 5711602a a S a +===，故B 正确； 656550S S a S S =+=+=，故C 正确；767S S a =+，当70a ≠时，67S S =不成立，故D 错误.故选：ABC11．将函数sin y x =图象上各点的横坐标缩小为原来的14，纵坐标不变，再将所得图象向左平移24π个单位长度得到函数()y f x =的图象，则（ ）A ．06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()y f x =的图象相邻两条对称轴间距离为4πC ．()f x 在5,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】BD【分析】由图象的平移和伸缩得出函数()f x 的解析式，对于A ，代入计算可判断；对于B ，求得函数()f x 的最小正周期，可得相邻两条对称轴间距离；对于C ，由已知得11134+666x πππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，根据正弦函数的单调性可判断；对于D ，由已知得74+666x πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，根据正弦函数的性质可判断.【详解】解：由已知得()sin 4+sin 4+246f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 4+6f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 对于A ，51sin 4+sin66662f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 不正确； 对于B ，()sin 4+6f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小正周期242T ππ==，所以()y f x =的图象相邻两条对称轴间距离为4π，故B 正确； 对于C ，当5,122x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，11134+666x πππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，因为sin y x =在3522ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，所以()f x 在5,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 不正确；对于D ，当04x π⎡⎥∈⎤⎢⎣⎦，时，74+666x πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以1sin 4+,162x π⎛⎫⎡⎤∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故D 正确，故选：BD ．12．已知函数()2ln f x x x x =+-，则（ ）A ．()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增B ．()f x 有2个不同的零点C ．若a ，()0,b ∈+∞，则()()22a b f a f b f +⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭D ．若()()f a f b =且a b ，则1a b +>【答案】AD【分析】对函数进行求导，解导数不等式，利用零点存在性定理，利用作差法比较大小，利用极值点偏移，即可得到答案；【详解】对A ，1()12(0)f x x x x'=+->，∴2121(21)(1)()01200x x x x f x x x x x'+--+>⇒+->⇒>⇒>0，12x ∴>，当1()002f x x <⇒<<'，∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故A 正确；对B ，1111()ln 02242f =+->，∴min ()0f x >，故B 错误；对C ，222()()()ln ln 2ln 2222a b a b a b a b f a f b f a a a b b b ⎡⎤++++⎛⎫+-=+-++--+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦222222()2ln ln ln ln 2222a b a b a b a b a b ab ab ++-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222()()2lnln1022a b a b a b ab+⎛⎫⎪--⎝⎭=++≥，故C 错误； 对D ，不妨设102a <<，12b >，要证11a b a b +>⇔-<， 设(1)()(1)()y f a f b f a f a =--=--∴11(1)()12(1)121y f a f a a a a a '''⎡⎤⎡⎤=---=-+---+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1112(1)121a a a a=---+--+-140(1)a a =-+>-⋅， ∴函数y 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，且1110222y f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，0y ∴≤恒成立，(1)()f a f b ∴-<，11,(,)2a b -∈+∞，且()f x 在1(,)2+∞单调递增，∴11a b a b -<⇒+>，故D 正确； 故选：AD 三、填空题13．已知两个单位向量a ，b满足413a b +=，则向量a ，b 的夹角为______． 【答案】23π120 【分析】首先根据平面向量的运算律求出a b ⋅，再根据夹角公式计算可得； 【详解】解：由单位向量a ，b 满足413a b +=，得2413a b +=，所以2216813a a b b +⋅+=，12a b ⋅=-，所以1cos ,2a b a b a b ⋅==-⋅，又[],0,π∈a b ,所以2,3a b π=. 故答案为：23π 14．已知7cos cos sinsin12126x πππ+=x =______． 【答案】π6【分析】根据诱导公式可得7sin sin 66ππ=-，结合两角和的余弦公式即可得出结果. 【详解】由题意知，7cos cos sinsincos cos sin sin 1212612126x x ππππππ+=-=，cos cos()cos cos sin sin 4126126126πππππππ==+=-， 所以x 可以为6π. 故答案为：6π15．已知x ，y ，z 为正实数，且240x y z +-=，则2xyz 的最大值为______． 【答案】2【分析】由已知得24x y z +=，再根据基本不等式求得22xy z ≥，由此可得最大值. 【详解】解：因为240x y z +-=，所以24x yz +=， 又x ，y ，z为正实数，所以2x y +≥2x y =时取等号，所以24x y z +=≥，即22xy z ≥，所以22xy z ≤，当且仅当2x y =时取等号. 所以2xyz 的最大值为2， 故答案为：2.16．在等差数列n a 中，25a =-，6a 与8a 互为相反数，n S 为n a 的前n 项和，n n T nS =，则n T 的最小值是______． 【答案】6【分析】根据条件求出16a =-，1d =，对n 进行分类讨论求出n S ，求出n T 的表达式，再构造函数利用导数研究函数的最值，即可得到答案； 【详解】680a a +=，25a =-，∴1121205a d a d +=⎧⎨+=-⎩，，解得：16a =-，1d =，∴6(1)7n a n n =-+-=-，07n a n ⇒，017n a n ⇒≤≤，∴当17n ≤≤时， n S =12)(n a a a -+++(67)(13)22n n n n ⋅-+--=-=-，当8n ≥时，12n n S a a a =+++()7122n S a a a =++++(13)422n n ⋅-=+， ∴当17n ≤≤时，2(13)2n n n n T nS -==-，考察函数32132x x y -=-，2'3262x x y -=-，当17x ≤≤时，'0y >，∴32132x x y -=-在[1,7]单调递增，∴当17n ≤≤时，16T =为最小值； 当8n ≥时，2(13)422n n n n T nS n ⋅-==+，考察函数3213422x x y x -=+，2'326422x x y -=+，当8x ≥时，'0y >；∴函数在[8,)+∞单调递增，∴当8n =时，8176T =为最小值； 综上所述：n T 的最小值是6； 故答案为：6 四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 2sin sin A C A B =，2c b =． (1)求A ；(2)若ABC 的面积为2a 的值． 【答案】(1)π4A =(2)20-【分析】（1）根据正弦定理与2c b =求出tan 1A =，进而得到π4A =；（2）结合第一问求出的π4A =和2c b =，ABC 的面积，得到2b =，4c =，再用余弦定理求出2a . (1)因为cos sin 2sin sin A C A B =，由正弦定理得：cos 2sin c A b A ⋅=，所以tan 2cA b=，因为2c b =，所以tan 1A =，因为()0,πA ∈，所以π4A =； (2)ABC 的面积为1sin 2bc A =，因为2c b =，ABC 的面积为2=2b =，故24c b ==，所以2222cos 41622420a b c bc A =+-=+-⨯⨯=- 18．奥运会个人射箭比赛中，每名选手一局需要射3箭，某选手前三局的环数统计如下表：(1)求该选手这9箭射中的环数的平均数和方差；(2)若以该选手前9箭射中不同环数的频率代替他每一箭射中相应环数的概率，且每一次射箭互不影响，求他第4局的总环数不低于29的概率． 【答案】(1)平均数为9，方差为109. (2)160.729【分析】（1）根据平均数和方差的公式计算即可；（2）该选手第4局的总环数不低于29，包含"1个9环，2个10环”和"3个10环"两种情况，射中9环的概率为29，射中10环的概率为49，计算即可求得概率.(1)平均数为1(1010789910810)99++++++++=，方差为222222211011(2)(1)001(1)1.99⎡⎤++-+-++++-+=⎣⎦ (2)该选手第4局的总环数不低于29，包含"1个9环，2个10环”和"3个10环"两种情况， 由表中数据可知，该选手每一箭射中9环的概率为29，射中10环的概率为49，所以所求的概率为2313244160.999729P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．已知各项都为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a =，4484S a -=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设2n bn a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若134k k k k S T a b ++=+，求正整数k 的值．【答案】(1)4nn a =.(2)3k =.【分析】（1）设数列{}n a 的公比q ，由等比数列的通项公式和求和公式可求得答案； （2）由（1）得n S ， 2.n b n =，从而求得.n T 代入方程中求解即可. (1)解：设数列{}n a 的公比q ，由4484S a -=得12384,a a a ++=又14a =，所以244484q q ++=，解得5q =-（舍去）或 4.q =所以1444n n n a -=⨯=，所以4nn a =；(2)解：由（1）得4(41)4(41)413n n n S -==--，又2422,n b n nn a ===，所以2.n b n =，所以2(22).2n n n T n n +==+由134k k k k S T a b ++=+得214(41)42(1)k k k k k +-++=++，整理得260k k --=，解得2k =-（舍去）或3k =.所以3k =.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥平面CDP ，PD CD =，DE PE =，且30PCD ∠=︒．(1)求证：平面ADE ⊥平面ABCD ；(2)若3CD =，2AD =，求直线PB 与平面ADP 所成角的正弦值．【答案】(1)证明过程见解析 (2)39362【分析】（1）先证明线线垂直，从而证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求解线面角. (1)因为AD ⊥平面CDP ，DE ⊂平面CDP ，所以AD DE ⊥，因为PD CD =，且30PCD ∠=︒，所以30CPD ∠=︒，120CDP ∠=︒，因为DE PE =，所以30PDE CPD ∠=∠=︒，1203090EDC ∠=︒-︒=︒，所以DE CD ⊥，因为AD CD D =，所以DE ⊥平面ABCD ，因为DE ⊂平面ABCD ，所以平面ADE ⊥平面ABCD (2)因为底面ABCD 是矩形，所以AD ⊥CD ，由第一问可知：DE CD ⊥，DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以DE AD ⊥，所以以D 为坐标原点，DE ，DC ，DA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，因为3CD =，2AD =，所以()0,0,0D ，33,3,022P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,2B ，()0,0,2A ，()0,0,2DA =，333,,022DP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，339,,222BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ADP 的法向量(),,n x y z =，则20333022DA n z DP n x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，解得：0z =，令1x =得：3y =，所以()1,3,0n =，设直线PB 与平面ADP 所成角为α，则()339,,21,3,022393sin cos ,62231BP n n BP BP nα⎛⎫--⋅ ⎪⋅⎝⎭====⋅21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，左、右焦点分别为1F ，2F ，过点()0,3P 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，且当动直线l 与y 轴重合时，四边形12AF BF 的面积为23．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若1ABF 与2ABF 的面积之比为2:1，求直线l 的方程． 【答案】(1)22143x y += (2)30x y +-=或930x y +-=.【分析】（1）根据离心率和直线l 与y 轴重合时四边形12AF BF 的面积列出方程，结合222a b c =+，得到2a =，3b =，进而求出椭圆方程；（2）根据1ABF 与2ABF 的面积之比为2:1，转化为线段的比值，分为两种情况，进而求出直线l 的方程. (1)如图，四边形12AF BF 的面积为12223F F OA c b ⋅=⋅=，又因为12c a =，222a b c =+，解得：2a =，3b =，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；(2)当直线l 的斜率不存在时，此时1ABF 与2ABF 的面积相等，不合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为3y kx =+与x 轴的交点为D ，则3,0D k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为1ABF 与2ABF 的面积之比为2:1，如图1，则122F F F D =，故32c c k --=，即33k -=，解得：1k =-；直线l 的方程为30x y +-=；如图2，则1223F F F D =，即323c c k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得：9k =-，直线l 的方程为930x y +-=；综上：直线l 的方程为30x y +-=或930x y +-=22．已知函数()e ln xx f a x =+，a R ∈．(1)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线在x 轴上的截距为12，求a 的值；(2)若0a <，且()e f x ≥，求a 的值． 【答案】(1)e a =； (2)a e =-.【分析】（1）利用导数求出曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程，将点1,02⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入切线方程，可求得实数a 的值；（2）分析可知()()min 1f x f =，结合函数的极值与最值的关系可知()1f 为函数()f x 的极小值，可得出()10f '=，求得a e =-，再利用导数验证函数()e eln xf x x =-在1x =处取得最小值，即可得解. (1)解：因为()e ln x x f a x =+，则函数()f x 的定义域为()0,∞+，则()e xa f x x'=+， 所以，()1e f =，()1e f a '=+，所以，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()e e 1y a x -=+-，由题意可知，直线()()e e 1y a x -=+-过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，所以，()1e e 2a -+=-，解得e a =.(2)解：因为()1e f =，且对任意的0x >，()()e 1f x f ≥=，故()()min 1f x f =， 又因为函数()f x 为可导函数，则()1f 为函数()f x 的极小值， 因为0a <，由已知可得()1e 0f a '=+=，解得a e =-.检验：当a e =-时，()e eln x f x x =-，其中0x >，则()e e xf x x'=-， 令()e e x g x x =-，其中0x >，则()2e e 0xg x x'=+>，故函数()f x '在()0,∞+上单调递增，且()10f '=，当01x <<时，()()10f x f ''<=，此时函数()f x 单调递减， 当1x >时，()()10f x f ''>=，此时函数()f x 单调递增， 综上所述，()()min 1e f x f ==. 因此，a e =-.。

普通初中学业水平考试调研试卷参考答案数学(一)一㊁选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分)1.A 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.C 8.B 9.D 10.C 二㊁填空题(本题共8小题,每小题4分,共32分)11.3 12.25ʎ 13.2-a 14.93-3π 15.2 16.316 17.6 18.②③④三㊁解答题(本题共8小题,共78分,解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤)19.解:原式=33ˑ32-1+32+14分…………………………………………………………………………=12-1+32+16分………………………………………………………………………………=2.8分………………………………………………………………………………………………20.解:原式=x -1 2x -1-1x -1 ㊃x -1 2x 2-2x 4分……………………………………………………………=x 2-2x x -1㊃x -1 2x 2-2x 6分……………………………………………………………………………=x -1.8分…………………………………………………………………………………………21.证明:ȵøA D B =øA B C ,øA =øA ,2分…………………………………………………………………ʑәA B D ʐәA C B ,4分………………………………………………………………………………ʑA B A C =A D A B ,6分………………………………………………………………………………………ʑA B 2=A D ㊃A C .8分…………………………………………………………………………………22.解:(1)a =100ˑ15=20.本次调查样本的容量是(100+20)ː(1-40%-28%-8%)=500,故答案为20,500.4分…………………………………………………………………………………………(2)因为500ˑ40%=200,所以C 组的人数为200,6分……………补全 捐款人数分组统计图1 如图所示.8分…………………………(3)5000ˑ(40%+28%+8%)=3800(人).即该校5000名学生中大约有3800人捐款在20至50元之间.10分………………………………………………………………………23.(1)证明:ȵA D 是直径,ʑøA B D =øA C D =90ʎ.1分………………在R t әA B D 和R t әA C D 中,A B =A C ,A D =A D , ʑR t әA B D ɸR t әA C D ,ʑøB A D =øC A D .2分…………………ȵA B =A C ,ʑB E =C E .3分……………………………………………(2)解:四边形B F C D 是菱形.理由如下:4分…………………………ȵA B =A C ,B E =C E ,ʑA D ʅB C .ȵC F ʊB D ,ʑøF C E =øD B E .在әB E D 和әC E F 中,øD B E =øF C E ,B E =C E ,øB E D =øC E F =90ʎ,ʑәB E D ɸәC E F ,ʑC F =B D .ʑ四边形B F C D 是平行四边形.5分…………………………………………………………………………又ȵR t әA B D ɸR t әA C D ,ʑB D =C D ,ʑ四边形B F C D 是菱形.6分…………………………………………………………………………………(3)解:ȵA D 是直径,A D ʅB C ,B E =C E ,则øA E C =øC E D ,øC A E =øE C D ,ʑәA E C ʐәC E D ,7分………………………………………………………………………………………ʑA E C E=E C E D,ʑC E2=D E㊃A E.设D E=x,ȵB C=6,A D=10,ʑ32=x(10-x),解得x=1或x=9(舍去).8分………………………………………………………………………………在R tәC E D中,C D=C E2+D E2=32+12=10.10分………………………………………………………………24.解:(1)由题意可得y=60x+100(10-x)+35(6-x)+70(x-2)=-5x+1070(2ɤxɤ6).5分…(2)由(1)的函数可知,k=-5<0,因此函数y的值随x的增大而减小.当x=6,y有最小值1040元.…………………………………………因此当从C县调运6t到A县时,运费最低,为1040元.10分25.解:(1)ȵ点A的坐标为(3,0),ʑO A=3.由旋转的性质可知A B1=A B=5.在R tәA O B1中,由勾股定理可得O B1=A B21-O A2=52-32=4,ʑ点B1的坐标为(0,4).2分…………………………………………………………………………………如图,过点D1作D1Eʅx轴于点E.ȵ四边形A B1C1D1是矩形,ʑøB1A D1=90ʎ,ʑøO A B1+øE A D1=90ʎ.又ȵøO A B1+øO B1A=90ʎ,ʑøE A D1=øO B1A.又ȵøA O B1=øA E D1=90ʎ,ʑR tәA O B1ʐR tәD1E A,ʑO A E D1=O B1E A=A B1D1A.由旋转性质可知A D1=A D=2,ʑ3E D1=4E A=52,ʑE D1=1.2,E A=1.6,ʑO E=O A+A E=3+1.6=4.6,ʑ点D1的坐标为(4.6,1.2).4分………………………………………如图,过点C1作C1Fʅy轴于点F,易得øC1B1F=øB1A O.ȵs i nøB1A O=O B1A B1=45,c o søB1A O=O A A B1=35,ʑs i nøC1B1F=C1F B1C1,而B1C1=B C=A D=2.ʑC1F2=45,解得C1F=1.6.ʑc o søC1B1F=B1F B1C1,则B1F2=35,解得B1F=1.2,ʑO F=O B1+B1F=4+1.2=5.2,ʑ点C1的坐标为(1.6,5.2).6分……………………………………………………………………………(2)如图,连接B2C3,过点B3作B3GʅA2C3于点G.在R tәA2B3C3中,A2B3=A B=5,B3C3=B C=2,ʑA2C3=52+22=29.8分……………………………………又ȵS R tәA2B3C3=12A2B3㊃B3C3=12A2C3㊃B3G,ʑA2B3㊃B3C3=A2C3㊃B3G,即5ˑ2=29㊃B3G,ʑB3G=102929,ʑO A2=B3G=102929.因此矩形A B C D向左平移的距离为3-1029……………29.10分ȵO A 2=102929,A 2C 3=29,ʑ点C 3的坐标为102929,29 .12分……………………………………………………………………26.解:(1)由题意得9a -3b +c =0,a +b +c =0,c =-3, 解得a =1,b =2,c =-3, 2分………………………………………………………ʑ该抛物线的表达式为y =x 2+2x -3.4分………………………………………………………………(2)ȵәP B C 的周长为P B +P C +B C ,又B C 是定值,ʑ当P B +P C 最小时,әP B C 的周长最小.6分……………………………………………………………ȵ点A ,B 关于对称轴l 对称,ʑA P =B P ,ʑ连接A C 交l 于点P ,即点P 为所求点,ʑәP B C 的周长最小值是A C +B C .ȵA (-3,0),B (1,0),C (0,-3),ʑA C =32,B C =10,故әP B C 的周长最小值为32+10.8分…………………………………………………………………(3)①ȵ抛物线的表达式为y =x 2+2x -3=(x +1)2-4,ʑ点D 的坐标为(-1,-4).设直线A D 的表达式为y =k x +n ,把点A (-3,0),D (-1,-4)代入,得-3k +n =0,-k +n =-4, 解得k =-2,n =-6,ʑ直线A D 的表达式为y =-2x -6.ȵ点E 的横坐标为m ,ʑ点E 的坐标为(m ,-2m -6),点F 的坐标为(m ,m 2+2m -3),ʑE F =-2m -6-(m 2+2m -3)=-m 2-4m -3,ʑS =S әE F A +S әE F D =12E F ㊃A G +12E F ㊃G H =12E F ㊃A H =12(-m 2-4m -3)ˑ2=-m 2-4m -3,ʑS 与m 的函数表达式为S =-m 2-4m -3.10分………………………………………………………②存在.ȵS =-m 2-4m -3=-(m +2)2+1,ʑ当m =-2时,S 取最大,最大值为1,此时点E 的坐标为(-2,-2).12分…………………………………………………………………………数学(二)一㊁选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分)1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.C 7.D 8.B 9.B 10.D 二㊁填空题(本题共8小题,每小题4分,共32分)11.1.2ˑ104 12.1<x ɤ2 13.8 14.三 15.n +1n +2=(n +1)1n +2 16.18 17.70ʎ 18.120ʎ三㊁解答题(本题共8小题,共78分,解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤)19.解:原式=a (a +1)(a -1)2㊃a -1a =a +1a -1.6分……………………………………………………………………当a =-2时,原式=-2+1-2-1=13.8分……………………………………………………………………20.证明:ȵD F ʊA B ,ʑøA =øF D C .ȵE G ʊB C ,ʑøA E G =øC .2分……………………………………ȵA D =C E ,ʑA E =D C .4分…………………………………………………………………………………ʑәA E G ɸәD C F ,ʑA G =D F .8分………………………………………………………………………21.解:(1)40-220ˑ0.1=18(L ).2分…………………………………………………………………………(2)S =18a .5分………………………………………………………………………………………………ȵ18>0,当0.08ɤa ɤ0.12时,S 随a 增大而减小,故S 的最小值为分……………………………………………………………22.解:(1)14010%ˑ25%=350(人),补全条形统计图略.3分……………………………………………………(2)50ˑ25%=12.5(万人).6分……………………………………………………………………………(3)甲㊁乙㊁丙㊁丁中的两人被抽取的可能性列表分析如下:9分…………………………………………甲乙丙丁甲(甲,乙)(甲,丙)(甲,丁)乙(乙,甲)(乙,丙)(乙,丁)丙(丙,甲)(丙,乙)(丙,丁)丁(丁,甲)(丁,乙)(丁,丙)由上表可知,抽取的两人恰好是甲和乙的概率是16.树状图略.10分……………………………………23.(1)证明:如图,连接A D .ȵE 是B D ︵的中点,ʑøD A E =øE A B ,即øD A B =2øE A B .又ȵøE A B =12øC ,ʑøD A B =øC .2分………………………………………ȵA B 为☉O 的直径,ʑøA D B =90ʎ.3分…………………………………………又ȵ在әA D C 中,øD A C +øC =90ʎ,ʑøD A C +øD A B =90ʎ,即øB A C =90ʎ,ʑA C ʅA B ,ʑA C 是☉O 的切线.5分……………………………(2)解:在R t әA C D 中,c o s C =C D A C =23,又ȵA C =6,ʑC D =4.7分……………………………………在R t әA B C 中,c o s C =A C B C =23,又ȵA C =6,ʑB C =9.9分……………………………………………ʑB D =B C -C D =5.10分…………………………………………………………………………………24.解:(1)设每箱A 种用品和每箱B 种用品的价格分别为x 元㊁y 元,依题意,得10x +40y =6000,30x +50y =11000, 3分……………………………………………………………………………………解得x =200,y =100. 即每箱A 种用品和每箱B 种用品的价格分别为200元㊁100元.5分……………………………………(2)设再购进的A ,B 种用品数量分别3a 箱㊁4a 箱,依题意,得200ˑ3a +100ˑ4a ɤ40000,8分……解不等式,得a ɤ40,ʑ3a ɤ120.即他最多可购进120箱A 种用品.10分……………………………………………………………………25.解:(1)在函数y =x -4中,当y =0时,x =4;当x =0时,y =-4.故点A ,B 的坐标分别为(4,0),(0,-4).2分………………………………………………………………把上述坐标代入函数y =x 2+b x +c 中,得42+4b +c =0,c =-4, 解得b =-3,c =-4,抛物线对应的函数表达式为y =x 2-3x -4.4分…………………………………………………………(2)若点P 的横坐标为m ,则抛物线上的点P 的纵坐标为m 2-3m -4.因为P D ʊx 轴,则直线y =x -4上的点E 的纵坐标为m 2-3m -4,由此得点E 的横坐标为m 2-3m .5分………………………………………………………………………当点D 与点B 重合时,此时点P 的纵坐标为-4,即m 2-3m -4=-4,答图答图解得m =3,m =0(不合题意,舍去),此时点P 的横坐标为3.7分………………………………………如答图1,当点P 在点B 的上方及P D 经过点B 时,即3ɤm <4时,d =m 2-3m ;如答图2,当点P 在点B 的下方,即0<m <3时,d =-(m 2-3m ).综上,d =|m 2-3m |(0<m <4).9分…………………………………………………………………………(3)由题意得四边形O D E F 是矩形,则E F =O D =-(m 2-3m -4)=-m 2+3m +4,E D =O F .10分………………………………………如答图1,四边形O D E F 的周长为2(O D +D E )=2(-m 2+3m +4+m 2-3m )=8.如答图2,四边形O D E F 的周长为2(O D +D E )=2(-m 2+3m +4-m 2+3m )=-4m 2+12m +8.综上所述,当3<m <4时,四边形O D E F 的周长为常数.12分…………………………………………26.解:(1)四边形C D A E 是正方形.理由如下:1分…………………………………………………………在R t әA B C 中,ȵøB A C =90ʎ,A B =A C ,B D =D C ,ʑA D ʅB C ,A D =B D =D C ,ʑ四边形C D A E 是正方形.3分………………………………………………………………………………(2)在R t әA B C 中,ȵøB A C =90ʎ,A B =A C ,ʑøA C B =øA B C =45ʎ,ʑB C A C =2.ȵC E 是正方形C D E F 的对角线,ʑE C C F =2,ʑB C A C =C E C F ,5分………………………………………………………………………………ȵøB C E +øE C A =øE C A +øA C F =45ʎ,ʑøB C E =øF C A .由此得在图2中әB E C ʐәA F C ,ʑB E A F =B C A C =2.7分…………………………………………………(3)在R t әA B C 中,ȵøB A C =90ʎ,A B =A C =2,ʑB C =A B 2+A C 2=22,B D =D C =2.由四边形C D A E 旋转所得E F =C F =2.9分……………………………………………………………当B ,E ,F 三点共线时,在R t әB F C 中,s i n øF B C =F C B C =12,ʑøF B C =30ʎ.又ȵC D ʊB F ,ʑøB C D =øF B C =30ʎ,即α=30ʎ.10分…………………………………………………在R t әB F C 中,B F =B C 2-C F 2=6,ʑB E =6-2.根据(2)得结论B E A F=2,ʑA F =3-1.12分………………………………………………………………数学(三)一㊁选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分)1.A 2.D 3.C 4.A 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.B 二㊁填空题(本题共8小题,每小题4分,共32分)11.2(x +2)(x -2) 12.34π 13.55ʎ 14.2.8ˑ104 15.23 16.4 17.22.5ʎ 18.2b -a 三㊁解答题(本题共8小题,共78分,解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤)19.解:原式=2+1-4ˑ22ˑ16分……………………………………………………………………………=1-2.8分…………………………………………………………………………………………20.解:原式=x (x +3)x +3-5x x +3㊃x 2+6x +9x 3-4x =x (x -2)x +3㊃(x +3)2x (x +2)(x -2)=x +3x +2.6分…………………当x =2-2时,原式=2+12=2+22.8分…………………………………………………………………21.证明:ȵ四边形A B C D 是平行四边形,ʑA B ʊD C ,ʑøE B D =øB D F ,øD F E =øB E F .又ȵD O =øB O ,ʑәF D O ɸәE B O (A A S ),4分………………………………………………………………………………ʑE O =F O ,ʑ四边形D E B F 是平行四边形.6分…………………………………………………………………………又ȵD B ʅE F ,ʑ平行四边形D E B F 是菱形.8分……………………………………………………………………………22.解:(1)如答图1,过点D '作D 'H ʅB C ,垂足为点H ,交A D 于点F .答图1 答图2由题意得A D '=A D =90c m ,øD A D '=60ʎ.ȵ四边形A B C D 是矩形,ʑA D ʊB C ,ʑøA F D '=øB H D '=90ʎ.D 'F =A D '㊃s i n øD A D '=90ˑs i n 60ʎ=453c m .3分……………………………………………………又ȵC E =40c m ,D E =30c m ,ʑF H =D C =D E +C E =70c m ,ʑD 'H =D 'F +F H =(453+70)c m .5分…………………………………………………………………即点D '到B C 的距离为(453+70)c m .(2)如答图2,连接A E ,A E ',E E '.由题意,得A E '=A E ,øE A E '=60ʎ,ʑәA E E '是等边三角形,ʑE E '=A E .7分…………………………………………………………………ȵ四边形A B C D 是矩形,ʑøA D E =90ʎ.在R t әA D E 中,A D =90c m ,D E =30c m ,ʑA E =A D 2+D E 2=3010c m ,ʑE E '=3010c m .即E ,E '两点的距离是3010c m .10分……………………………………………………………………23.解:(1)学生共有30ː50%=60(人),m =60-4-30-16=10.2分………………………………………(2)圆心角的度数为360ʎˑ1660=96ʎ.4分……………………………………………………………………(3)该学校学生中对疫情防控科普知识达到 非常了解 和 基本了解 程度的总人数为1800ˑ4+3060=1020(人).6分………………………………………………………………………………(4)由题意画树状图如下.由树状图可知,所有等可能的结果有12种,恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种,故恰好抽到1名男生和1名女生的概率为812=23.10分…………………………………………………24.解:(1)设购买1个甲种文具a 元,1个乙种文具b 元,由题意得2a +b =35,a +3b =30, 2分………………………………………………………………………………………………解得a =15,b =5,即购买1个甲种文具15元,1个乙种文具5元.4分………………………………………………………(2)根据题意得15x +5(120-x )ɤ1000,5分………………………………………………………………………………解得x ɤ40.又ȵx ȡ36,且x 是整数,ʑx =36,37,38,39,40,故有5种购买方案.7分………………………………(3)W =15x +5(120-x )=10x +600,8分…………………………………………………………………ȵ10>0,ʑW 随x 的增大而增大.当x =36时,W 最小=10ˑ36+600=960(元).120-36=84(个),即购买甲种文具个,乙种文具个时需要的资金最少,最少资金是元.10分…………………25.解:(1)ȵO B =O C ,ʑ点B 的坐标为(3,0).设抛物线的表达式为y =a (x +1)(x -3),ȵ点C (0,3)在抛物线上,ʑa (0+1)(0-3)=3,解得a =-1,ʑ抛物线的表达式为y =-x 2+2x +3,2分……………………………抛物线的对称轴为x =1.3分……………………………………………(2)如答图1,取点C 关于抛物线的对称轴的对称点C '(2,3),连接C 'D ,则C D =C 'D ,取点A '(-1,1),连接A 'D ,则四边形A EDA '是平行四边形,ʑA 'D =A E ,故C D +A E =A 'D +D C ',ʑ当A ',D ,C '三点共线时,C D +A E =A 'D +D C '最小.5分……………作A 'F ʅC C '于点F ,A 'F =2,F C '=3,ʑA 'C '=13,ʑC D +A E 的最小值为A 'C '=13.7分………………………………(3)如答图2,设直线C P 交x 轴于点E ,C 的纵坐标为y C ,P 的纵坐标为y P ,S әP C B ʒS әP CA =12EB ˑ(yC -y P )ʒ12A E ˑ(y C -y P )=B E ʒA E .8分……………………………………………………………………①若S әP C B ʒS әP C A =3ʒ5,则B E ʒA E =3ʒ5,ʑA E =52,即点E 的坐标为32,0 .设直线E C 的表达式为y =k x +b ,将点E ,C 的坐标代入,得32k +b =0,b =3, 解得k =-2,故直线C P 的表达式为y =-2x +3.解方程组y =-x 2+2x +3,y =-2x +3, 得x 1=4,y 1=-5, x 2=0,y 2=3, 故点P 的坐标为(4,-5);10分………………………………………………②若S әP C B ʒS әP C A =5ʒ3,则A E =32,即点E 的坐标为12,0 .同理可得点P 的坐标(8,-45),ʑ综上所述,点P 的坐标为(4,-5)或(8,-45).12分……………………………………………………26.解:(1)设正方形ADEF 的边长为x .ȵE F ʊA B ,ʑE F A B =C F A C ,2分…………………………………………………………………………………即x 6=3-x 3,解得x =2,所以正方形A D E F 的边长为2.3分……………………………………………(2)设平移后的正方形为A 'D 'E 'F ',分两种情况:①当0ɤx ɤ2时,设D 'E '交B C 于点G ,如答图1.ȵE E 'ʊA B ,ʑøG E E '=øB ,ʑt a n øG E E '=t a n øB =G E 'E E '=36,G E '=12E E '=12x ,ʑS әE G E '=12E E '㊃G E '=14x 2,ʑS =S 正方形A 'D 'E 'F '-S әE G E '=4-14x 2.6分…………………………………………………………………②当2<x ɤ4时,设D 'E ',A 'F '分别交B C 于点G ,K ,如答图2.同①可得G E '=12E E '=12x ,K F '=12E F '=12(x -2).ȵK F 'ʊG E ',øE '=90ʎ,ʑS 四边形K G E 'F '=12(K F '+G E ')㊃E 'F '=x -1,ʑS =S 正方形A 'D 'E 'F '-S 四边形K G E 'F '=4-(x -1)=5-x .综上所述,S 与x 的函数表达式为S =4-14x 2,0ɤx ɤ2,5-x ,2<x ɤ4.8分…………………………………………(3)如答图3,将әA F'N绕点A顺时针旋转90ʎ得到әA D'N',此时M,D',N'三点在同一直线.ȵ四边形A D E F是正方形,ʑøM A N=45ʎ,ʑøD'A M+øF'A N=45ʎ.ȵøN A F'=øN'A D',ʑøM A N'=45ʎ=øM A N,ȵA M=A M,A N=A N',ʑәA MNɸәA MN',ʑMN=MN',11分…………………………………………………………………的周长为MN+M E'+N E'=M D'+D'N'+M E'+N E'=D'E'+E'F'=4.12分…………数学(五)一㊁选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分)1.D 2.B 3.D 4.A 5.C 6.C 7.A 8.B 9.C 10.B 二㊁填空题(本题共8小题,每小题4分,满分32分)11.9.6ˑ106 12.m (x +2y )(x -2y ) 13.14 14.y =-5(x +5)2-3 15.32 16.6 17.2π 18.4n -2三㊁解答题(本题共8小题,共78分,解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤)19.解:原式=3+1-33-2ˑ324分…………………………………………………………………………=4-43.8分………………………………………………………………………………………20.解:原式=x +y x y ㊃x y (x +y )2-1-y x +y 2分………………………………………………………………………=1-1+y x +y =y x +y .5分……………………………………………………………………………当x =-2,y =4时,原式=4-2+4=2.8分…………………………………………………………………21.(1)证明:ȵA B ʊD C ,ʑøA =øC .在әA B E 与әC D F 中,øA =øC ,A B =C D ,øB =øD ,ʑәA B E ɸәC D F (A S A ).4分………………………………………………………………………………(2)解:ȵ点E ,G 分别为线段F C ,F D 的中点,ʑE G =12C D .ȵE G =5,ʑC D =10.ȵәA B E ɸәC D F ,ʑA B =C D =10.8分…………………………………………………………………22.解:(1)120ː60%=200(人),所以调查的家长数为200人.2分…………………………………………(2)C 所对的圆心角的度数=360ʎˑ(1-20%-15%-60%)=18ʎ.4分…………………………………C 类的家长数为200ˑ(1-20%-15%-60%)=10(人).折线补充图如下图所示.6分…………………………………………………………………………………(3)画树状图如所图所示.8分…………………………………共有12种等可能结果,其中2人来自不同班级共有8种,所以2人来自不同班级的概率为812=23.10分…………………………………………………………………………………………………………23.解:如图,作A E ʅB C 于点E .在R t әA B E 中,ȵs i n øA B E =A E A B ,ʑA E =A B s i n øA B E ʈ25ˑ89=2009(m ).3分………ȵc o søA B E =B E A B ,ʑB E =A B c o søA B E ʈ25ˑ12=12.5(m )6分………在R t әA D E 中,t a n D =A E D E ,D E =A E t a n D ʈ100054ʈ18.52(m ).9分……………………………ʑD B =D E -B E ʈ18.52-12.5ʈ6.0(m ).10分…………………………………………………………24.解:(1)设购买一副乒乓球拍x 元,一副羽毛球拍y 元.由题意得2x +y =116,3x +2y =204,3分…………………………………………………………………………………解得x =28,y =60, 即购买一副乒乓球拍28元,一副羽毛球拍60元.5分……………………………………………………(2)设可购买a 副羽毛球拍,则购买乒乓球拍(30-a )副,由题意,得60a +28(30-a )ɤ1480,8分……解得a ɤ20.即这所中学最多可购买20副羽毛球拍.10分………………………………………………………………25.解:(1)①证明:ȵ四边形A B C D 是菱形,ʑA B =A D ,øN A B =øN A D .又ȵA N =A N ,ʑәA B N ɸәA D N (S A S ).2分……………………………………………………………………………②如答图1,作MH ʅD A 交D A 的延长线于点H .由A D ʊB C ,得øM A H =øA B C =60ʎ.在R t әA MH 中,MH =A M ㊃s i n 60ʎ=4ˑs i n 60ʎ=23,ʑ点M 到A D 的距离为23.ʑA H =2,ʑD H =6+2=8.在R t әD MH 中,t a n øM D H =MH D H =238=34,由①知øM D H =øA B N =α,ʑt a n α=34.5分………………………………………………………………………………………………(2)ȵøA B C =90ʎ,ʑ菱形A B C D 是正方形,ʑøC A D =45ʎ.6分……………………………………………………………………下面分三种情形:①若N D =N A ,则øA D N =øN A D =45ʎ,此时,点M 恰好与点B 重合,得x =6.8分…………………………………………②若D N =D A ,则øD N A =øD A N =45ʎ,此时,点M 恰好与点C 重合,得x =12.10分………………………………………③如答图2,若A N =A D =6,则ø1=ø2.ȵA D ʊB C ,ʑø1=ø4.又ø2=ø3,ʑø3=ø4,ʑC M =C N .ȵA C =62,ʑC M =C N =A C -A N =62-6,故x =12-C M =12-(62-6)=18-62.综上所述,当x =6或12或18-62时,әA D N 是等腰三角形.12分……………………………………26.解:(1)在直线y =-3x +23中,令y =0,可得0=-3x +23,解得x =2;令x =0,可得y =23,ʑ点A 的坐标为(20),点B 的坐标为(0,23).2分………………………………………………………(2)由(1)可知O A =2,O B =23,ʑt a n øA B O =O A O B =33,ʑøA B O =30ʎ.ȵ运动时间为t s ,ʑB E =3t .ȵE F ʊx 轴,ʑE F =B E ㊃t a n øA B O =33B E =t .4分……………………………………………………………………ȵB F =2E F =2t ,在R t әA B O 中,O A =2,O B =23,ʑA B =4,ʑA F =4-2t .5分…………………………………………………………………………………(3)相似.理由如下:当四边形A D E F 为菱形时,则有E F =A F即t =4-2t ,解得t =43,ʑA F =4-2t =4-83=43,O E =O B -B E =23-3ˑ43=233.如图,过点G 作G H ʅx 轴,交x 轴于点H ,则四边形O E G H 为矩形,ʑG H =O E =233.又E G ʊx 轴,抛物线的顶点为A ,ʑO A =A H =2.在R t әA G H 中,由勾股定理可得A G 2=G H 2+A H 2=233 2+22=163.又A F ㊃A B =43ˑ4=163,ʑA F ㊃A B =A G 2,即A F A G =A G A B ,且øF A G =øG A B ,ʑәA F G ʐәA G B .8分………………………………………………………………………………………(4)存在.ȵE G ʊx 轴,ʑøG F A =øB A O =60ʎ.又G 点不能在抛物线的对称轴上,ʑøF G A ʂ90ʎ,ʑ当әA G F 为直角三角形时,有øF A G =90ʎ.又øF G A =30ʎ,ʑF G =2A F .ȵE F =t ,E G =4,ʑF G =4-t ,且A F =4-2t ,ʑ4-t =2(4-2t ),解得t =43,即当t 的值为43s 时,әA G F 为直角三角形.此时O E =O B -B E =23-3t =23-3ˑ43=233,ʑE 点坐标为0,233 .10分………………………………………………………………………………ȵ抛物线的顶点为A ,ʑ可设抛物线表达式为y =a (x -2)2.把E 点坐标代入可得233=4a ,解得a =36,ʑ抛物线表达式为y =36(x -2)2,即y =36x 2-233x +233.12分……………………………………………………………………………数学(六)一㊁选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分)1.C 2.D 3.C 4.B 5.C 6.B 7.B 8.B 9.D 10.A 二㊁填空题(本题共8小题,每小题4分,共32分,解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤)11.12 12.2x (y +1)2 13.45 14.k <2且k ʂ1 15.6-24 16.12 17.2 18.①③④三㊁解答题(本题共8小题,共78分,解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤)19.解:原式=2ˑ12+1+2-1+2-15分……………………………………………………………………=2+2.8分…………………………………………………………………………………………20.解:原式=(x -1)2(x +1)(x -1)ːx -1x +1-x 2-1x +1=x -1x +1ː-x 2+x x +13分……………………………………………………………………………=x -1x +1㊃x +1x (x -1)=-1x .5分…………………………………………………………………ȵ-3<x <2,且x +1ʂ0且x -1ʂ0且x ʂ0,ʑ整数x =-2,7分……………………………………………………………………………………………当x =-2时,原式=12.8分…………………………………………………………………………………21.证明:ȵE ,F 分别是A B ,B C 的中点,C E ʅA B ,A F ʅB C ,ʑA B =A C ,A C =B C ,ʑA B =A C =B C ,ʑøB =60ʎ,ʑøB A F =øB C E =30ʎ.2分…………………………………………………………………ȵE ,F 分别是A B ,B C 的中点,ʑA E =C F .4分……………………………………………………………在әC F G 和әA E G 中,øC F G =øA E G =90ʎ,C F =A E ,øF C G =øE A G ,ʑәC F G ɸәA E G (A S A ).8分………………………………………………………………………………22.解:(1)本次调查的学生总数为6ː15%=40(人).2分……………………………………………………(2)B 项活动的人数为40-(6+4+14)=16.4分…………………………………………………………补全的条形统计图如图所示.6分……………………………………………………………………………(3)列表如下:8分……………………………………………………………………………………………男男男女男(男,男)(男,男)(男,女)男(男,男)(男,男)(男,女)男(男,男)(男,男)(男,女)女(女,男)(女,男)(女,男)由表可知总共有12种结果,每种结果出现的可能性相同,其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有6种,所以抽到一名男生和一名女生的概率是612,即12.10分……………………………………………23.(1)证明:如图,连接O D ,ȵA C =B C ,O B =O D ,ʑøA B C =øA ,øA B C =øO D B ,ʑøA =øO D B ,ʑO D ʊA C .ȵD F ʅA C ,ʑD F ʅO D .2分………………………………………………ȵO D 是☉O 的半径,ʑD F 是☉O 的切线.5分…………………………………………………(2)解:ȵA C =B C ,øA =60ʎ,ʑәA B C 是等边三角形,ʑøA B C =60ʎ.ȵO D =O B ,ʑәO B D 是等边三角形,ʑøB O D =60ʎ.ȵD F ʅO D ,ʑøO D G =90ʎ,,ʑD G =3O D =63,8分……………………………………………………………………………………ʑ阴影部分的面积=әO D G 的面积-扇形O B D 的面积为=12ˑ6ˑ63-60πˑ62360=183-6π.10分…………………………………………………………………………………………………………24.解:(1)设本次试点投放的A 型车x 辆㊁B 型车y 辆,根据题意,得x +y =100,400x +320y =36800,解得x =60,y =40, 即本次试点投放的A 型车60辆㊁B 型车40辆.3分………………………………………………………(2)由(1)知A ,B 型车辆的数量比为3ʒ2.设整个城区全面铺开时投放的A 型车3a 辆㊁B 型车2a 辆,根据题意,得3a ˑ400+2a ˑ320ȡ1840000,7分…………………………………………………………解得a ȡ1000,即整个城区全面铺开时投放的A 型车至少3000辆㊁B 型车至少2000辆,则城区10万人口平均每100人至少享有A 型车3000ˑ100100000=3(辆),至少享有B 型车2000ˑ100100000=2(辆).10分……………………………………………………………25.(1)证明:ȵ在әA B C 中,øA =36ʎ,A B =A C ,ʑøA B C =øA C B =72ʎ.又C D 是øA C B 的角平分线,ʑøA C D =øB C D =36ʎ,ʑøA =øD C A ,øB D C =72ʎ,ʑA D =C D =B C .2分…………………………………………………………………………………………在әB C D 和әB A C 中,øB =øB ,øB C D =øA ,ʑәB C D ʐәB A C ,ʑB C A B =B D B C ,ʑB C 2=A B ㊃B D .又B C =A D ,ʑA D 2=A B ㊃B D ,ʑD 是A B 的黄金分割点.4分………………………………………………………………………………(2)解:如图,在底边B C 上截取B D =A B ,连接A D .ȵA B B C =5-12,A B =A C ,ʑB D B C =5-12,ʑA C B C =5-12,ʑC D B D =C D A C =5-12,ʑC D A C =A C B C .又ȵøC =øC ,ʑәA C D ʐәB C A .6分………………………………………………………………………………………ʑ设øC A B =øC D A =x ,ʑøB A D =øB D A =2x ,ʑx +2x +x +x =180ʎ,ʑx =36ʎ,ʑøB A C =108ʎ.8分…………………………………………………………………………………………(3)解:在R t әA B C 中,øA C B =90ʎ,C D 为A B 上的高,ʑәA D C ʐәC D B ʐәA C B ,ʑA D A C =A C A B ,B D B C =B C A B ,ʑA D =b 2c ,B D =a 2c .10分……………………………………………………………………………………ȵ点D 是A B 的黄金分割点,ʑA D 2=B D ㊃A B ,11分………………………………………………………………………………………ʑb 2c 2=a 2c ㊃c ,ʑb 2=a c ,即该直角三角形的三边长a ,b ,c 之间应满足b 2=a c .12分…………………………………………………26.(1)解:设抛物线的表达式为y =a x 2+b x +c ,将A ,B ,C 三点坐标代入,得c =6,4a +2b +c =0,49a +7b +c =52, 解得a =12,b =-4,c =6, 故抛物线的表达式为y =12x 2-4x +6.3分………………………………………………………………(2)证明:设直线A C 的表达式y =m x +n ,将A ,C 两点的坐标代入,得n =6,7m +n =52, 解得m =-12n =6, 故直线A C 的表达式为y =-12x +6.4分…………………………………………………………………ȵy =12x 2-4x +6=12(x -4)2-2,ʑ点D 的坐标为(4,-2),点E 的坐标为(4,4).ȵ点F 与点E 关于D 对称,ʑ点F 的坐标为(4,-8),则直线A F 的表达式为y =-72x +6,直线C F 的表达式为y =72x -22,5分……………………………………………………………………ʑ直线A F ,C F 与x 轴的交点的坐标分别为127,0 ,447,0 .ȵ4-127=447-4,ʑ两个交点关于抛物线对称轴x =4对称,ʑøC F E =øA F E .7分………………………………………………………………………………………(3)解:存在.设P (0,d ),则A P =|6-d |,A F =42+(6+8)2=253,F D =-2-(-8)=6,C F =(7-4)2+52+8 2=3532.9分…………………………………………ȵøP A F =øC F D ,ʑ点P 位于点A 的下方.当әA F P ʐәF D C 时,A P A F =F C F D ,即6-d 253=35326,解得d =-412;10分…………………………………当әA F P ʐәF C D 时,A P A F =F D F C ,即6-d 253=63532,解得d =-2.11分…………………………………故P 点坐标为0,-412或(0,-2).12分…………………………………………………………………。

第一卷（选择题 共45分）一.选择题（15'×3=45'）1.已知角的终边经过点(3,4-),则tan x 等于( ) A.34 B.34- C.43D.43- 2.已知lg 2,lg3a b ==,则3lg 2等于( )A.a b -B.b a -C.b aD.a b 3.设集合{}(1,2)M =,则下列关系成立的是( )∈M ∈M C.(1,2)∈M D.(2,1)∈M4.直线30x y -+=的倾斜角是( ).450 C5.底面半径为2,高为4的圆柱,它的侧面积是( )π π π π6.若b<0<a(a,b ∈R),则下列不等式中正确的是( )<a 2 B.11b a> C.b a -<- D.a b a b ->+ 7.已知4,0,cos 25x x π⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭,则tan x 等于( ) A.34 B.34- C.43D.43- 8.已知数列{}n a 的前n 项和12n n S n +=+,则3a 等于( ) A.120 B.124 C.128D.132 9.在ΔABC 中,sin sin cos cos 0A B A B -<则这个三角形一定是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形10.若函数1()(2)2f x x x =≠-,则()f x ( ) A.在(2,)-+∞内单调递增 B.在(2,)-+∞内单调递减 C.在(2,)+∞内单调递增 D.在(2,)+∞内单调递减11.在空间中,,,a b c 是两两不重合的三条直线,,,αβγ是两两不重合的三个平面,下列命题正确是( )A.若两直线,a b 分别与平面α平行,则//a b .B.若直线a 与平面β内的一条直线b 平行,则//a β.C.若直线a 与平面β内的两条直线b 、c 都垂直,则a ⊥β.D.若平面β内的一条直线a 垂直平面γ,则γ⊥β.12.不等式(1)(2)0x x ++<的解集是( )A.{}21x x -<<-B.{}21x x x <->-或C.{}12x x <<D.{}12x x x <>或13.正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,A 1 C 1与BD 所在直线所成角的大小是( ) .450 C14.某数学兴趣小组共有张云等10名实力相当的组员,现用简单随机抽样的方法从中抽取3人参加比赛,则张云被选中的概率是( )% % 如图所示的程序框图,如果输入三个实数a,b,c ,要求输出这三个数中最大的数,那么在空白处的判断框中,应该填入下面四个选项中的( )(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”)A.c x >B.x c >C.c b >D.b c >第二卷（非选择题共55分）二.填空题(5'×4=20')16.已知0,0,1a b a b >>+=则ab 的最大值是____.17.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行,则实数a 等于____.18.已知函数2,(4)()(1),(4)x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩,那么(5)f 的值为_____. 19.在[],ππ-内,函数sin()3y x π=-为增函数的区间是______. 20.设12,9,542a b a b ==⋅=-则a 和b 的夹角θ为____.三.解答题（共5小题,共35分）21.已知(2,1),(,2),a b λ==-⑴若a b ⊥求λ的值;⑵若//a b 求λ的值.22.(本题6分)已知一个圆的圆心坐标为(1,2)-,且过点(2,2)P -,求这个圆的标准方程.23.(本题7分)已知{}n a 是各项为正数的等比数列,且1231,6a a a =+=,求该数列前10项的和n S .24.(本题8分)已知函数31()cos ,2f x x x x R =-∈,求()f x 的最大值,并求使()f x 取得最大值时x 的集合. 25.(本题8分)已知函数()f x 满足()(),0,(2)1,xf x b cf x b f =+≠-=-且(1)(1)f x f x -=-+对两边都有意义的任意 x 都成立.⑴求()f x 的解析式及定义域;⑵写出()f x 的单调区间,并用定义证明在各单调区间上是增函数还是减函数参考答案一、二、16、41 17、31 18、8 19、 [6π-,65π] 20、43π 三、21、解：∵a ⊥b ，∴a •b=0，又∵a=（2，1），b =（λ，-2），∴a •b=2λ-2=0，∴λ=1 22、解：依题意可设所求圆的方程为（x+1）2+（y-2）2=r 2。

2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷一、本大题共20小题，每小题3分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合A ＝{1, 3, 5}，B ＝{2, 3}，则A ∪B ＝（ ） A.{3} B.{1, 5}C.(1, 2, 5)∩{1, 2, 5}D.{1, 2, 3, 5}2. 函数f(x)=cos(12x +π6)的最小正周期为（ ） A.π2B.πC.2πD.4π3. 函数f(x)=√x −1+ln(4−x)的定义域是( ) A.(1, +∞) B.[1, 4) C.(1, 4] D.(4, +∞)4. 下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)上是减函数的是（ ）A.y ＝−x 3B.y =1C.y ＝|x|D.y =1x5. 已知直线l 过点P(2, −1)，且与直线2x +y −l ＝0互相垂直，则直线l 的方程为（ ） A.x −2y ＝0 B.x −2y −4＝0 C.2x +y −3＝0 D.2x −y −5＝06. 已知函数f(x)={2x ,x ≤0x 32,x >0，则f(−1)+f(1)＝（ ）A.0B.1C.32 D.27. 已知向量a →与b →的夹角为π3，且|a →|＝3，|b →|＝4，则a →⋅b →=( )A.6√3B.6√2C.4√3D.68. 某工厂抽取100件产品测其重量（单位：kg ）．其中每件产品的重量范围是[40, 42]．数据的分组依据依次为[40, 40, 5)，[40, 5, 41)，[41, 41, 5)，[41, 5, 42)，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40, 41)内的产品件数为（ ）A.30B.40C.60D.80sin 110∘ cos40∘−cos70∘sin40∘=()A.1 2B.√32C.−12D.−√3210. 在平行四边形ABCD中，AB→+BD→−AC→=()A.DC→B.BA→C.BC→D.BD→11. 某产品的销售额y（单位：万元）与月份x的统计数据如表．用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程为y^=7x+a^，则实数a^=()12. 下列结论正确的是（）A.若a<b，则a3<b3B.若a>b，则2a<2bC.若a<b，则a2<b2D.若a>b，则lna>lnb13. 圆心为M(1, 3)，且与直线3x−4y−6＝0相切的圆的方程是（）A.(x−1)2+(y−3)2＝9B.(x−1)2+(y−3)2＝3C.(x+1)2+(y+3)2＝9D.(x+1)2+(y+3)2＝314. 已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（）A.事件“都是红色卡片”是随机事件B.事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C.事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件15. 若直线(a−1)x−2y+1＝0与直线x−ay+1＝0垂直，则实数a＝（）A.−1或2B.−1C.13D.316. 将函数y＝sinx的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移π12个单位，得到的图象对应的函数解析式为（）A.y＝sin(3x−π)B.y＝sin(3x−π)17. 3名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A.1 4B.23C.12D.3418. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列判断正确的是（）A.A1D⊥C1CB.BD1⊥ADC.A1D⊥ACD.BD1 ⊥AC19. 已知向量a→，b→不共线，若AB→=a→+2b→，BC→=−3a→+7b→，CD→=4a→−5b→，则（）A.A，B，C三点共线B.A，B，D三点共线C.A，C，D三点共线D.B，C，D三点共线20. 在三棱锥P−ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝PC＝2，则该三棱锥的外接球体的体积为（）A.9π2B.27π2C.9πD.36π二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人．若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽取18人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为________．已知α为第二象限角，若sinα=35，则tanα的值为________．已知圆锥底面半径为1，高为√3，则该圆锥的侧面积为________．已知函数f(x)＝x2+x+a在区间(0, 1)内有零点，则实数a的取值范围为________．若P是圆C1：(x−4)2+(y−5)2＝9上一动点，Q是圆C2：(x+2)2+(y+3)2＝4上一动点，则|PQ|的最小值是________．三、解答题：本题共3小题，共25分．如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AB、PC中点，求证：EF // 面PAD．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＝6，cosB=1．3（1）若sinA=3，求b的值；5（2）若c＝2，求b的值及△ABC的面积S．已知函数f(x)＝ax+log3(9x+1)(a∈R)为偶函数．（1）求a的值；（2）当x∈[0, +∞)时，不等式f(x)−b≥0恒成立，求实数b的取值范围．参考答案与试题解析2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷一、本大题共20小题，每小题3分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【考点】并集及其运算【解析】进行并集的运算即可．【解答】∵A＝{1, 3, 5}，B＝{2, 3}，∴A∪B＝{1, 2, 3, 5}．2.【答案】D【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】根据三角函数的周期公式直接进行计算即可．【解答】由三角函数的周期公式得T=2π12=4π，3.【答案】B【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：∵函数f(x)=√x−1+ln(4−x)，∴{x−1≥0,4−x>0.解得1≤x<4.∴函数f(x)的定义域是[1, 4)．故选B．4.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】由幂函数的性质可知，y＝−x3，y=1x为奇函数，不符合题意，y＝|x|为偶函数且在(0, +∞)上单调递增，不符号题意，y=1x2为偶函数且在(0, +∞)上单调递减，符合题意．5.【答案】B【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】根据题意设出直线l的方程，把点P(2, −1)代入方程求出直线l的方程．【解答】根据直线l与直线2x+y−l＝0互相垂直，设直线l为x−2y+m＝0，又l过点P(2, −1)，∴2−2×(−1)+m＝0，解得m＝−4，∴直线l的方程为x−2y−4＝0．6.【答案】C【考点】求函数的值函数的求值【解析】推导出f(−1)＝2−1=12，f(1)=132=1，由此能求出f(−1)+f(1)的值．【解答】∵函数f(x)={2x,x≤0x32,x>0，∴f(−1)＝2−1=12，f(1)=132=1，∴f(−1)+f(1)=12+1=32．故选：C．7.【答案】D【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】进行数量积的运算即可．【解答】∴ a →⋅b →=|a →||b →|cos π3=3×4×12=6．8.【答案】 B【考点】频率分布直方图 【解析】由频率分布直方图得重量在[40, 41)内的频率为0.4．由此能求出重量在[40, 41)内的产品件数． 【解答】由频率分布直方图得：重量在[40, 41)内的频率为：(0.1+0.7)×0.5＝0.4． ∴ 重量在[40, 41)内的产品件数为0.4×100＝40． 9.【答案】 A【考点】求两角和与差的正弦 【解析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可． 【解答】解：sin 110∘ cos40∘−cos70∘sin40∘ =sin 70∘ cos40∘−cos70∘sin40∘ =sin (70∘−40∘) =sin30∘=12． 故选A ． 10.【答案】 B【考点】向量加减法的应用 【解析】利用平面向量加法法则直接求解． 【解答】在平行四边形ABCD 中，AB →+BD →−AC →=AB →+BD →+CA →=CD →=BA →． 11.【答案】 B【考点】求解线性回归方程由已知求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程即可求得实数a^．【解答】x=3+4+5+64=4.5，y=25+30+40+454=35，∴样本点的中心坐标为(4.5, 35)，代入y^=7x+a^，得35＝7×4.5+a^，即a^=3.5．12.【答案】A【考点】不等式的基本性质【解析】利用函数的单调性、不等式的性质即可判断出正误．【解答】A．a<b，可得a3<b3，正确；B．a>b，可得2a>2b，因此B不正确；C．a<b，a2与b2大小关系不确定，因此不正确；D．由a>b，无法得出lna>lnb，因此不正确．13.【答案】A【考点】圆的切线方程圆的标准方程【解析】由题意可知，圆的半径即为圆心M到直线的距离，根据点到直线的距离公式即可求解．【解答】由题意可知，圆的半径r=|3−12−6|5=3，故所求的圆的方程为(x−1)2+(y−3)2＝9．14.【答案】C【考点】随机事件【解析】利用随机事件的定义直接求解．【解答】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误；在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确．15.C【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系 【解析】根据题意，分析可得(a −1)+2a ＝0，解可得a 的值，即可得答案． 【解答】根据题意，若直线(a −1)x −2y +1＝0与直线x −ay +1＝0垂直， 必有(a −1)+2a ＝0，解可得a =13；16.【答案】 A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】由题意利用函数y ＝Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 【解答】将函数y ＝sinx 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），可得y ＝sin3x 的图象；再将得到的图象向右平移π12个单位，得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin3(x −π12)＝sin(3x −π4)， 17.【答案】 D【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】求得3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可． 【解答】3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有23＝8种情况， 周六、周日都有同学参加公益活动，共有23−2＝8−2＝6种情况， ∴ 所求概率为68=34． 18.【答案】 D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】直接可以看出A ，B ，C 均不成立，用线线垂直来推线面垂直进而得到线线垂直． 【解答】因为AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1；BD ∩DD 1＝D ；∴ AC ⊥平面DD 1B 1B ； BD 1⊆平面DD 1B 1B ； ∴ AC ⊥BD 1； 即D 对． 19.【答案】 B【考点】平行向量（共线） 【解析】BD →=BC →+CD →=(−3a →+7b →)+(4a →−5b →)=a →+2b →=AB →，从而BD →∥AB →，进而A ，B ，D 三点共线． 【解答】向量a →，b →不共线，AB →=a →+2b →，BC →=−3a →+7b →，CD →=4a →−5b →，∴ BD →=BC →+CD →=(−3a →+7b →)+(4a →−5b →)=a →+2b →=AB →，∴ BD →∥AB →，∴ A ，B ，D 三点共线． 20.【答案】 A【考点】球的体积和表面积 【解析】由题意将此三棱锥放在长方体中，可得长方体的长宽高，再由长方体的对角线等于外接球的直径求出外接球的体积． 【解答】由三棱锥中PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝1，PB ＝2，PC ＝2将此三棱锥放在长方体中，由题意知长方体的长宽高分别是：1，2，2．设外接球的半径为R ，则2R =√12+22+22=3所以R =32， 439二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．【答案】8【考点】分层抽样方法【解析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率值，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数目，得到女运动员要抽取得人数．【解答】∵ 某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人，∴ 这支田径队共有45+36＝81人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为18的样本，∴ 每个个体被抽到的概率是1881=29，∵ 女运动员36人，∴ 女运动员要抽取36×29=8人，【答案】−34【考点】同角三角函数间的基本关系【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα 的值，从而求得tanα的值．【解答】∵ α为第二象限角sinα=35，∴ cosα=−45，则tanα=sinαcosα=−34， 【答案】2π【考点】柱体、锥体、台体的侧面积和表面积【解析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解．【解答】由已知可得r ＝1，ℎ=√3，则圆锥的母线长l =√12+(√3)2=2．∴ 圆锥的侧面积S ＝πrl ＝2π．【答案】(−2, 0)【考点】函数零点的判定定理【解析】由零点存在性定理得f(0)f(1)＝a(a +2)<0，求出即可．【解答】函数f(x)＝x 2+x +a 在区间(0, 1)内有零点，f(0)＝a，f(1)＝2+a，由零点存在性定理得f(0)f(1)＝a(a+2)<0，得−2<a<0，经验证a＝−2，a＝0均不成立，故答案为：(−2, 0)【答案】5【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】分别找出两圆的圆心坐标，以及半径r和R，利用两点间的距离公式求出圆心间的距离d，根据大于两半径之和，得到两圆的位置是外离，又P在圆C1上，Q在圆C2上，则|PQ|的最小值为d−(r+R)，即可求出答案．【解答】圆C1：(x−4)2+(y−5)2＝9的圆心C1(4, 5)，半径r＝3，圆C2：(x+2)2+(y+3)2＝4的圆心C2(−2, −3)，半径r＝2，d＝|C1C2|=√(4+2)2+(5+3)2=10>2+3＝r+R，所以两圆的位置关系是外离，又P在圆C1上，Q在圆C2上，则|PQ|的最小值为d−(r+R)＝10−(2+3)＝5，三、解答题：本题共3小题，共25分．【答案】证明：取PD的中点G，连接FG、AG．因为PF＝CF，PG＝DG，CD．所以FG // CD，且FG=12又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点．CD．所以AE // CD，且AE=12所以FG // AE，且FG＝AE，所以四边形EFGA是平行四边形，所以EF // AG．又因为EF平面PAD，AG⊂平面PAD，所以EF // 平面PAD．【考点】直线与平面平行【解析】取PD的中点G，连接FG、AG，由PF＝CF，PG＝DG，所以FG // CD，且FG=1CD．又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点．所以AE // CD，且AE= 21CD．证得四边形EFGA是平行四边形，所以EF // AG，由线面平行的判定定理即可得2证．【解答】证明：取PD的中点G，连接FG、AG．因为PF＝CF，PG＝DG，所以FG // CD，且FG=12CD．又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点．所以AE // CD，且AE=12CD．所以FG // AE，且FG＝AE，所以四边形EFGA是平行四边形，所以EF // AG．又因为EF平面PAD，AG⊂平面PAD，所以EF // 平面PAD．【答案】由cosB=13可得sinB=2√23，由正弦定理可得，asinA =bsinB，所以b=asinBsinA =6×2√2335=20√23，由余弦定理可得，cosB=13=a2+c2−b22ac=36+4−b22×2×6，解可得，b＝4√2，S=12acsinB=12×6×2×2√23=4√2．【考点】正弦定理余弦定理【解析】（1）先根据同角平方关系求出sinB，然后结合正弦定理即可求解，（2）结合余弦定理及三角形的面积公式即可求解．【解答】由cosB=13可得sinB=2√23，由正弦定理可得，asinA =bsinB，所以b=asinBsinA =6×2√2335=20√23，由余弦定理可得，cosB=13=a2+c2−b22ac=36+4−b22×2×6，解可得，b＝4√2，S=12acsinB=12×6×2×2√23=4√2．【答案】根据题意可知f(x)＝f(−x)，即ax+log3(9x+1)＝−ax+log3(9−x+1)，整理得log39x+19+1=−2ax，即−2ax=log39x=2x，解得a＝1；由（1）可得f(x)＝x+log3(9x+1)，因为f(x)−b≥0对x∈[0, +∞)恒成立，即x+log3(9x+1)≥b对x∈[0, +∞)恒成立，因为函数g(x)＝x+log3(9x+1)在[0, +∞)上是增函数，所以g(x)min＝g(0)＝log32，则b≤log32．【考点】函数奇偶性的性质与判断函数恒成立问题【解析】（1）根据偶函数性质f(x)＝f(−x)，化简整理可求得a的取值；（2）根据条件可知x+log3(9x+1)≥b对x∈[0, +∞)恒成立，求出函数g(x)＝x+ log3(9x+1)在[0, +∞)上的最小值即可【解答】根据题意可知f(x)＝f(−x)，即ax+log3(9x+1)＝−ax+log3(9−x+1)，整理得log39x+19−x+1=−2ax，即−2ax=log39x=2x，解得a＝1；由（1）可得f(x)＝x+log3(9x+1)，因为f(x)−b≥0对x∈[0, +∞)恒成立，即x+log3(9x+1)≥b对x∈[0, +∞)恒成立，因为函数g(x)＝x+log3(9x+1)在[0, +∞)上是增函数，所以g(x)min＝g(0)＝log32，则b≤log32．。

试卷类型：A2024年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试模拟卷（一）数学本试卷共4页，22小题，满分150分。

考试用时90分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

─、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}0,1,2A =，{}1,2,3B =，则A ∩B ＝（）A ．{}3B ．C ．{}1,2D ．∅2．已知幂函数()f x x α=的图象经过点（3，），则α=（）A ．－2B ．－3C ．2D ．33．若正数x ，y 满足x ＋y ＝18，则xy 的最大值为（）A ．9B ．18C ．36D ．814．不等式2452-+x x ＜0的解集是（）A ．{x |x ＜－8或x ＞3}B ．{x |x ＜－3或x ＞8}C ．{x |－3＜x ＜8}D ．{x |－8＜x ＜3}5．已知平面向量a ＝（2，－1），b ＝（m ，4），且a ⊥b ，则m ＝（）{}3,2,1,091A.－1B ．2C ．1D ．06．函数()lg(1)2f x x =-的定义域为（）A ．()1,2B ．()1,11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．（2，＋∞）7．下列函数中既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（）A.3y x =B.1y x=C.29y x =- D.y x=8．明明同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A ．三次均未中靶B ．只要两次中靶C ．只有一次中靶D ．三次都中靶9．要得到函数1()cos ,R 3f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()cos ,R g x x x =∈的图象（）A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向右平移13个单位长度D ．向左平移13个单位长度10．若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11．已知函数21,2()(3),2x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩，则(1)f =（）A.17 B.12C.7D.212．中国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”．如4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，……，现从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。

可编辑修改精选全文完整版2020年12月河北省普通高中学业水平考试数学试卷(含答案)参考公式：柱体的体积公式：V=Sh(其中S 为柱体的底面面积，h 为高)锥体的体积公式：V=31Sh(其中S 为锥体的底面面积，h 为高) 台体的体积公式：V=)(31''S S S S ++h(其中S ′、S 分别为台体的上、下底面面积，h 为高)球的体积公式：V=π34R 3(其中R 为球的半径) 球的表面积公式：S=4πR 2(其中R 为球的半径)一、选择题 (本题共30道小题，1-10题，每题2分，11-30题，每题3分，共80分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求) 1．若集合A=N ，B={x ||x |≤1}，则A ∩B=A ．{0，1}B ．{-1，0，1}C ．{x|-1≤x ≤1}D ．{x|0≤x ≤1} 2．tan120°=A ．33-B ．33C ．3-D ．3 3．等差数列{a n}的通项公式为a n =3n-1，则它的公差是A ．1B ．2C ．3D ．4 4．已知向量a =(1，-1)，b =(-1，2)，则|2a +b |=A ．1B ．2C ．3D ．4 5．若a>b ，则下列不等式成立的是A ． a 2>b 2B ．b a>1 C ．b a 2121< D ． lg(a-b)>0 6．在等差数列{a n }中，a 3=2，a 6+a 10=17，则a 13A ．31B ．64C ．15D ．30 7．对任意实数x ，不等式x 2-2x -a ≥0恒成立，则实数a 取值范围是A ．a ≥-1B ．a ≤-1C ．a <-1D ．a >-1 8．已知点A(2，-1)，B(0，3)，则线段AB 的垂直平分线的方程是A ．2x 十y -3=0B ．2x -y -1=0C ．x -2y +1=0D ．x +2y -3=0 9．函数f (x )=2x +3x 的一个零点所在的区间是A ．(-2，-1)B ．(-1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)10．假设某车站每隔5分钟发一班车，若某乘客随机到达该车站，则其等车时间不超过3分钟概率是A ．51 B ．52 C ． 53 D ．54 11．已知平面α⊥平面β，α∩B=l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则A ．m ∥lB ．m ∥nC ．m ⊥nD ．n ⊥l12．若实数x ，y 满足 则z=x-3y 的最小值是 A ．34-B ．-10C ．-8D ．4 13．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是A ．21B ．33C ．36D ．45 14．若53cos -=α，παπ<<2，则sin α= A ．2512 B ．2512- C ． 2524 D ．2524-15．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是A ．23B ．3C ．0D ．21 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 a tanC= c sinA ，则△ABC 一定是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形17．函数f (x )=sin(ϕω+x )(ω>0，0<ϕ<π)的图象如图所示，则ω，ϕ的值分别是A ．1，8πB ．1，85πC ．2，4πD ．2，43π18．在直角三角形ABC 中，A=90°，AB=2，则AB ·BC =A ．-4B ．4x+2≥0y ≥x x+2y-2y ≤0C ．-8D ．819．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =2-a n ，则S 5=A ．31B ．63C ．1631 D ．3263 20．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B=60°，a =1，b =3，则c ＝A ．1B ．2C ．2D ．3 21．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA=CB=CC 1，CA ⊥CB ，CC 1⊥底面ABC ，则异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值是A ．33 B ．36 C ．22 D ．32 22．右面茎叶图表示是甲、乙两人在5次综合测评成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩概率是A ．54B ．53C ．52D ．5123．已知函数y =f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )=x 2+ax ，且f (1)=2，则a ＝A ．-1B ．1C ．-3D ．3 24．若直线x+y+1=0与圆x2+y2-6y+m=0相切，则m=A ．1B ．17C ．9-22D ．9+22 25．已知函数f (x )=x 2-2ax -3在区间[2，+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．[1，+∞)B ．[2，+∞)C ．(－∞ ，1 ]D ．(－∞ ，2 ] 26．若正数a ，b 满足a +4b =ab ，则a +b 的最小值是A ．10B ．9C ．8D ．627．如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱侧面积之比是A ．3：2B ．2：3C ．1：2D ．1：128．三角形三条中线的交点称之为三角形的重心，已知G 为△ABC 的 重心，AB =a ，AC =b ，则BG =A ．32-a +31b B ．31-a －31bC ．32-a －31bD ．31-a +32b29．过坐标原点O 的直线l 与圆C ：4)32(22=+-y x 交于A ，B 两点，若OA OB 2=，A ．63±B ．33± C ．±1 D ．3±30．若对函数y =f (x )图象上任意一点A ，在其图象上均存在点B ，使得OA ⊥OB(O 为坐标原点)则称该函数为“好函数”，给出下列4个函数：①f(x)=x1; ②f (x )=x +1; ③f(x)=-x 2+2x +3; ④f (x )=2x 其中“好函数”的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3二、解答題(本题共3道小题，31题6分，32题7分，33题7分，共20分，解答应写出文字说明、演算步驟或证明过程)31．已知数列{a n }为等比数列，且a 1=1，8a 2-a 5=0(I)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)求数列{a n +1}的前n 项和S n 。

初中学业水平考试数学试卷-带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________注意事项：1. 本试卷共6页. 全卷满分 120分. 考试时间为120分钟. 考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效.2. 请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上. 3. 答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑. 如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效.4. 作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.一、选择题(本大题共6小题，每小题2 分，共 12分. 在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上) 1.全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色, 去年完成造林约 3 830 000 公顷. 用科学记数法表示3830000 是 A. 3.83×10⁶ B. 0.383×10⁶ C. 3.83×10⁷ D.0.383×10⁷ 2. 整数a 满足 √19<a <√29,则a 的值为A. 3B. 4C. 5D. 6 3. 若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是A. 5B. 10C. 15D. 204.甲、乙两地相距100km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t(单位：h)与行驶速度 v(单位：km/h) 之间的函数图像是5. 我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里， 大斜一十五里. 里法三百步， 欲知为田几何? ”问题大意： 如图, 在△ABC 中, AB=13里, BC=14里, AC=15里, 则 △ABC 的面积是 A. 80 平方里 B. 82平方里 C. 84平方里 D. 86平方里6.如图，不等臂跷跷板 AB 的一端A 碰到地面时，另一端B 到地面的高度为60cm ； 当AB 的一端B 碰到地面时，另一端A 到地面的高度为 90cm ，则跷跷板 AB 的支撑点 O 到地面的高度 OH 是A. 36cmB. 40cmC. 42cmD. 45cm 二、填空题(本大题共 10 小题，每小题2 分，共20分. 请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上)7. 计算: |−2|=¯;√(−2)2=¯.8. 若式子 1x−2在实数范围内有意义， 则x 的取值范围是 ▲ . 9. 计算 √12×√6−√18的结果是 ▲ . 10. 分解因式 3a²−6a +3的结果是 ▲ . 11. 计算 23×44×(18)5的结果是 ▲ .12. 某校九年级有8个班级, 人数分别为37, a, 32, 36, 37, 32, 38, 34. 若这组数据的众数为32， 则这组数据的中位数为 ▲ .13. 甲车从 A 地出发匀速行驶，它行驶的路程y(单位：km) 与行驶的时间x(单位：min)之间的函数关系如图所示. 甲车出发20 min 后，乙车从A 地出发沿同一路线匀速行驶. 若乙车经过 20min~30min 追上甲车,则乙车的速度 v(单位:km/min)的取值范围是 ▲ .14. 在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 在第一象限，且OA=3. 若反比例函数 y =kx的图像经过点A ，则k 的取值范围是 ▲ .15. 如图, ⊙O 与正六边形ABCDEF 的边CD, EF 分别相切于点C, F. 若AB=2, 则⊙O 的半径长为 ▲ .16. 如图, 在菱形纸片ABCD 中, 点E 在边 AB 上,将纸片沿CE 折叠, 点 B 落在 B'处,CB'⊥AD, 垂足为F 若 CF=4cm, FB'=1cm, 则BE= ▲ cm三、解答题(本大题共11 小题，共88分. 请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(7分) 计算 (1−9x 2)÷x−3x.18.(8分) 解不等式组 {2x −1<0,x−14<x 3, 并写出它的整数解.19.(7分) 如图,在▱．ABCD 中, 点 M, N 分别在边 BC, AD 上, 且AM∥CN, 对角线BD 分别交 AM,CN 于点E, F. 求证BE=DF.20.(8分) 社会运转和日常生活离不开物流行业的发展，阅读以下统计图并回答问题.2011~2022年中国社会物流总费用及占GDP 比重统计图(1) 下列结论中，所有正确结论的序号是 ▲ .①2011~2022年社会物流总费用占 GDP 比重总体呈先下降后稳定的趋势： ②2011~2016年社会物流总费用的波动比2017~2022年社会物流总费用的波动大； ③2012~2022 年社会物流总费用逐年增加，其中增加的幅度最大的一年是 2021年 (2) 请结合上图提供的信息，从不同角度写出两个与我国GDP 相关的结论.21.(8分) 某旅游团从甲、乙、丙、丁4个景点中随机选取景点游览.(1) 选取2个景点，求恰好是甲、乙的概率；(2) 选取3个景点，则甲、乙在其中的概率为▲ .22.(8分) 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口. 温水的温度为30℃,流速为20ml/s; 开水的温度为100℃,流速为 15ml/s. 某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280ml温度为60℃的水(不计热损失)，求该学生分别接温水和开水的时间.物理常识开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积X开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度.23.(8分) 如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B. 无人机悬停在C处，此时在A 处测得 C的仰角为36°52′;：无人机垂直上升5m悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为(63°26′.AB=10m,点A, B, C, D在同一平面内, A, B两点在 CD的同侧. 求无人机在 C 处时离地面的高度.(参考数据：tan36°52′≈0.75,tan63°26′≈2.00.)24.(8分) 如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确定的平面垂直于桌面. 在灯光照射下，AB 在地面上形成的影子为 CD(不计折射)，AB∥CD.(1) 在桌面上沿着 AB 方向平移铅笔，试说明CD的长度不变.(2) 桌面上一点P恰在点O的正下方，且(OP=36cm,PA=18cm,AB=18cm,桌面的高度为 60cm.在点O 与AB 所确定的平面内，将AB绕点A 旋转，使得CD的长度最大.①画出此时AB所在位置的示意图；②CD的长度的最大值为▲ cm.25.(8分) 已知二次函数y=ax²−2ax+3(a为常数, a≠0).(1) 若a<0，求证：该函数的图像与x轴有两个公共点.(2) 若a=-1, 求证: 当-1<x<0时, y>0.(3) 若该函数的图像与x轴有两个公共点(x₁, 0), (x₂, 0), 且-−1<x₁<x₂<4,则a的取值范围是▲ .26.(9分) 如图, 在△ABC中, AB=AC, ⊙O 是△ABC的外接圆, 过点 O作 AC的垂线,垂足为 D，分别交直线BC, AC于点E, F, 射线AF 交直线 BC 于点G.(1) 求证AC=CG.(2) 若点 E 在 CB 的延长线上, 且EB=CG, 求∠BAC的度数.(3) 当BC=6时，随着CG 的长度的增大，EB 的长度如何变化? 请描述变化过程，并说明理由.27.(9分) 在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点 A 旋转一个角度(θ(0°<θ<180°),再将旋转后的多边形以点 A 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为 k ，称这种变换为自旋转位似变换. 若顺时针旋转，记作 T(A ，顺θ，k)； 若逆时针旋转, 记作T(A, 逆θ, k).例如：如图①，先将 △ABC 绕点B 逆时针旋转. 50°,得到 △A₁BC₁,再将 △A₁BC₁以点 B 为位似中心缩小到原来的 12,得到 △A₂BC₂,这个变换记作T(B ，逆 50∘,12).(1) 如图②, △ABC 经过 T(C, 顺60°, 2) 得到 △A ′B ′C,用尺规作出 △A ′B ′C.(保留作图痕迹)(2) 如图③, △ABC 经过 T(B, 逆α, k ₁) 得到 △EBD,△ABC 经过 T(C, 顺β, k ₂) 得到 △FDC,连接AE,AF. 求证: 四边形AFDE 是平行四边形.(3) 如图④, 在 △ABC 中 ∠A =150°,AB =2,AC =1.若 △ABC 经过(2) 中的变换得到的四边形AFDE 是正方形.Ⅰ. 用尺规作出点D(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)； Ⅱ. 直接写出AE 的长.参考答案题号 1 2 3 4 5 6 答案ACBDCA1.【解析】科学记数法的表示为a×10" (1≤a<10, n为整数), 故3830 000可表示为33.83×10°..故选 A.2.【解析】:√19<√25<√29,∴a=5.故选 C.3.【解析】根据三边关系可得0<x<6，则周长的取值范围为6<C<12.故选 B.4.【解析】根据路程=速度×时间，可得t=100v(v⟩0,t>0),所以t与v成反比例. 故选 D.5.【解析】本题考察双勾股定理，过点 A 作AD⊥BC交BC于点D.在Rt△ABD中,AD²=AB²−BD²,在Rt△ACD中,AD²=AC²−CD².∴AB²−BD²=AC²−CD².设BD=x, 则可列方程: 13²−x²=15²−(14−x)²,求得x=5.则AD=12, 所以三角形ABC的面积为14×12×12=84.故选 C.6.【解析】设长边OA=a, 短边(OB=b,， O离地面的距离为h，根据相似得：{ℎ90=ba+b,ℎ60=ba+b解得h=36二、解答题题号 7 8 9 10 11 12 答案 2; 2 x≠2 3 3(a-1)² 1135题号 13 14 1516答案1.5≤v≤1.80<k≤4.57. 【解答】解: 2; 2.8. 【解答】解: x≠2.9.【解答】解:√12×√6−√18 =√72−√18 =6√2−3√2 =3√2故答案为 3√210.【解答】解:3a²−6a +3=3(a²−2a +1) =3(a −1)²故答案为 3(a −1)²11.【解答】解: 23×44×|18)5=23×28×(12)15=211×(12)15=211×(12)11×(12)4=(2×12)11×(12)4=(12)4=116故答案为： 116.12. 【解答】解: 由题可知a=32将这组数从小到大排列，由中位数概念可知，中位数为中间两个数34和36 的平均数 35. 故答案为：35.13.【解答】解:由函数图像可知甲的速度为18÷20=0.9 (km/min) 追及的路程为0.9×20=18(km)x=20min 时, 甲乙两车速度差为18÷20=0.9(km/min), 此时乙车速度为0.9+0.9=1.8(km/min)x=30min 时, 甲乙两车速度差为18÷30=0.6(km/min), 此时乙车速度为0.9+0.6=1.5(km/min)所以乙车的速度v 的取值范围是1.5≤．v ≤．1.814. 【解答】解:反比例函数如图所示，因为函数经过第一象限，所以k>0，因为反比例函数关于直线y=x 对称所以直线 y=x 与反比例函数的交点是到原点的距离最小值点，k 的值最小，由k 的几何意义可知，k 为图像上的点 与坐标轴围成的正方形的面积，此时k=3×3÷2=4.5 所以k 的取值范围是0<k≤4.5.15.【解答】解：如图由正六边形的内角和和对称性可知 CF=4且CF 平分∠BCD 和∠AFE 每个内角都为120° ∴∠QCD=60°过点O 作OQ⊥CF, ∴CQ=2 ∵OC 与圆O 相切∴∠OCD=90°, ∴∠OCQ=30°∴．在直角三角形OCQ 中，由三边比例关系可知 CO =2÷√3×2=43√3∴半径OC 的长为 43√316.【解析】 由翻折得: BC=CD=B'C=5, ∠BCE=∠B'CE=45°,∵CD=5, CF=4, ∠CFD=90°∴FD=3, 过点E 作EG⊥BC, 设 CG=x, 则EG=x,BC=5-x, ∵△EGB∽△CFD,∴．EG=GB解得 x =207,∴BE =257.三、解答题17. 解: x 2−9x 2÷x−3x=x 2−9x 2⋅xx−3=(x+3)(x−3)x 2.x x−3=x+3x18. 解: {2x −1<0circle1x−14<x 3circle2解不等式①得： x <12解不等式②得:x>-3∴−3<x <12∵x 取整数 ∴x 取-2,-1,0.19.【解析】连接AC 交BD 于点O ∵□ABCD 为平行四边形 ∴AO=CO, BO=DO ∵AM ∥CN ∴∠EAC=∠FCA在△AEO 和△CFO 中{∠EAC =∠FCAAO =CO∠AOE =∠COF∴△AOE≌．△COF∴BE=DF20.【解析】(1) 比重总体呈先下降后稳定的趋势，故①正确；2011 ~2016 年社会物流总费用的波动范围为2.7,2017 ~2022年社会物流总费用的波动范围为5.7,故2011 ~2016 年社会物流总费用的波动比2017 ~2022年社会物流总费用的波动小，故②错误；2012~2022年社会物流总费用逐年增加，其中增加的幅度最大的一年是 2021年，故③正确. 故答案为: ①③. (2) 根据统计图可得①从2012年到2017年社会物流总费用平稳增长，占GDP 的比重却逐年递减；说明我国GDP 总量在逐年增长; ②从2017年到2022年社会物流总费用逐年增加，占GDP 的比重却趋于稳定，变化不大。

河北省2020年12月普通高中学业水平合格性考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{1,2,3},{2,3,4}M N ==，则M N ⋂=（）A ．{2}B ．{3}C ．{2,3}D ．{1,2,3,4}20y m -+=经过点)，则m =（）A ．1-B ．1C ．-2D ．23．在等差数列{}n a 中，若213a a =，则31a a =（）A ．2B ．3C ．4D ．54．已知α是第二象限角，若sin α=tan α=（）AB．C．2D．2-5．已知向量()2,1a =-r ，(),4b m = ，若a b ∥，则m =（）A ．8B ．8-C ．2D ．2-6．函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（）A ．12B ．1C．2D ．27．在等比数列{}n a 中，若1412,4a a ==，则1234a a a a =（）A ．18B ．14C ．12D ．18．已知圆222(3)(2)(0)x y r r -++=>与x 轴相切，则r =（）ABC ．2D ．39．下列函数中，在区间()0,∞+上是增函数的是（）A．y =B ．1lny x=C ．1y x=D ．2y x x=-10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*2sin ,2n n a n π=∈N ，则10S =（）A ．0B ．-2C ．4D ．211．已知向量,a b满足1,3,a b a b ==-= a b += （）12．已知4log log log πa b c ===，则（）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c<<D ．a b c<<13．已知函数()()1,0cos π,0f x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩则13f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．12B ．12-C D ．14．函数()221xf x x =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．15．若某圆柱的底面直径和高都等于一个球的直径，则该圆柱的体积与这个球的体积之比是（）A ．65B ．43C ．32D ．5316．函数()243xf x x =+-的零点所在的区间是（）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭17．某个容量为80的样本的频率分布直方图如图所示，样本数据分组为[)[)[)10,12,12,14,14,16，[)[]16,18,18,20，则该样本在区间[)12,16上的频数是（）A ．8B ．16C ．20D ．4018．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则（）A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l19．在ABC 中，点P 是边BC 上一点，若14AP AB AC λ=+，则实数λ=（）A ．13B ．12C ．23D ．3420．已知三棱锥-P ABC 的底面ABC 是边长为1的正三角形，侧棱,,PA PB PC 两两垂直，若此三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（）A ．3πB ．πC ．3π4D ．3π221．从集合{}2,3中随机取一个数a ，从集合{}0,1,2--中随机取一个数b ，则函数x y a b =+的图象经过第一､三､四象限的概率是（）A ．16B ．14C ．13D ．2322．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面,2,ABCD PD AD E =为PB 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值是（）A B C ．23D ．13231cos80=（）A ．4-B ．-2C ．1D ．424．已知函数()e e x xf x -=-，则不等式()()110f x f -+>的解集是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,0-D ．()0,225．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．若()()4a c b b c a +-+-=，60C = ，则ABC 的面积是（）A ．4B ．2C D ．26．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（）A ．AB 与平面1ACB B ．1AA 与平面1ACB 所成角的正弦值是13C ．四棱锥111B AAC C -的体积是2D ．三棱锥1B AB C -的体积是1327．关于函数()()2sin 22sin cos f x x x x =-+-有以下四个结论：①()f x 是周期函数．②()f x 的最小值是0．③()f x 的最大值是4．④()f x 的零点是ππ[1(1),Z ]4k x k k =+--∈．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．428．为了进一步提升员工素质，某公司人力部门从本公司2600名一线员工中随机抽取100人，进行理论知识和实践技能两项测试（每项测试结果均分为A B C ､､三等），取得各等级的人数如下表：实践技能等级理论知识等级A B CA m124B 20202Cn65B ．24，7C ．23，8D ．22，929．为了进一步提升员工素质，某公司人力部门从本公司2600名一线员工中随机抽取100人，进行理论知识和实践技能两项测试（每项测试结果均分为A B C ､､三等），取得各等级的人数如下表：实践技能等级理论知识等级A B CA m124B 20202Cn65已知理论知识测试结果为A 的共40人．该公司一线员工中实践技能为A 等的人数的估计值是（）A ．1066B ．1166C ．1226D ．132630．为了进一步提升员工素质，某公司人力部门从本公司2600名一线员工中随机抽取100人，进行理论知识和实践技能两项测试（每项测试结果均分为A B C ､､三等），取得各等级的人数如下表：实践技能等级理论知识等级A B CA m124B 20202Cn65已知理论知识测试结果为A 的共40人．在参加测试的100人中，从理论知识测试结果为A 或B ，且实践技能测试结果均为C 的人中随机抽取2人，则这2人理论知识测试结果均为A 的概率是（）A ．35B ．25C ．12D ．34二、解答题31．已知函数()()221f x ax a x a =+--在区间3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数．(1)求实数a 的取值范围；(2)设12x x ≠，试比较()()122f x f x +与122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭的大小．参考答案：1．C【分析】利用交集的运算求解即可.【详解】解：∵集合{1,2,3},{2,3,4}M N ==，{}23M N ∴⋂=,，故选：C.2．A【分析】将点的坐标直接代入直线方程求解即可.0y m -+=经过点)20m -+=，解得1m =-.故选：A 3．D【分析】由题知12a d =，进而根据通项公式得315a a =即可得答案.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为等差数列{}n a 中，213a a =，所以2113a a a d ==+，即12a d =，所以31125a a d a =+=，即315a a =.故选：D 4．B【分析】根据α所在象限，利用同角平方和关系求出cos α，再利用商数关系即可求出tan α的值.【详解】αQ是第二象限角，cos 3α∴=-，故sin 3tan cos ααα==故选：B.5．B【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；【详解】解：因为()2,1a =-r ，(),4b m = 且//a b r r ，所以240m -⨯-=，解得8m =-．故选：B 6．B【分析】求出πππ2336x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，利用三角函数单调性即可求得其最大值.【详解】在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，πππ2,336x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，根据复合函数单调性可知：函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故当ππ236x -=时，即π4x =时，函数取得最大值为π2sin 16=.故选：B.7．B【分析】根据等比数列的性质即可求解.【详解】在等比数列{}n a 中，231411242a a a a ==⨯=，所以1234111224a a a a =⨯=.故选：B 8．C【分析】求得圆的圆心，再根据题意求解即可.【详解】解：由题知圆222(3)(2)(0)x y r r -++=>的圆心为()3,2-因为圆222(3)(2)(0)x y r r -++=>与x 轴相切所以2r =.故选：C 9．A【分析】根据二次函数，对数函数，幂函数的性质判断求解即可.【详解】解：对于A 选项，y =在()0,∞+上是增函数，正确；对于B 选项，1lnln y x x==-在区间()0,∞+上是减函数，错误；对于C 选项，1y x=在区间()0,∞+上是减函数，错误；对于D 选项，2y x x =-在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，错误.故选：A 10．D【分析】计算πsin2n n a =的周期，然后计算即可.【详解】π2sin 2n y =的最小正周期为242ππ=，1π2sin22a ==，220a sin π==，33π2sin 22a ==-，42sin 2π0a ==，故12340a a a a +++=，由10242=⨯+，所以()1012341222S a a a a a a =⨯+++++=.故选：D.11．B【分析】通过平方的方法，结合向量数量积运算求得正确答案.【详解】因为a b -=两边平方得22321027,2a ab b a b a b -⋅+=-⋅=⋅= ，所以a b +=故选：B 12．C【分析】由题知4log πlog c==21log log 2b ===，进而根据对数函数单调性比较大小即可.【详解】解：因为224221log πlog πlog πlog 2c ====1log 2b==所以42231log πlog log log log 2c a b ==>=，即b a c <<.故选：C 13．B【分析】根据函数的解析式直接求解即可.【详解】解：由题知212π1cos 3332f f ⎛⎫⎛⎫-===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选：B.14．A【分析】先求出函数的定义域和奇偶性排除选项B 和C ，再利用导数研究单调性即可排除D 得答案.【详解】由题意可知：函数22()1xf x x =+的定义域为R ，又因为2222()()11x xf x f x x x --==-=-++，所以函数()f x 为R 上的奇函数，故排除选项B,C ；()()22221(1)x f x x --'=+，令()0f x '=得1x =±，∴当1x <-或1x >时，()0f x '<，当01x <<时，()0f x ¢>，∴()f x 在(),1-∞-上是减函数，在()1,1-上是增函数，在()1,+∞上是减函数，排除D ，故选：A.15．C【分析】根据圆柱与球的体积公式计算即可.【详解】解：圆柱的底面直径和高都等于一个球的直径，故设一个球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，所以，圆柱的体积为231π22πV Sh R R R ==⨯=，球的体积为324π3V R =，所以，该圆柱的体积与这个球的体积之比是332π342π3R R =.故选：C 16．C【分析】根据函数的连续性和单调性，计算104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，102f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，利用零点存在定理即可得到答案.【详解】 函数()243x f x x =+-的图象是连续不间断的，根据增函数加增函数为增函数的结论知()f x 在定义域R 上为增函数,1204f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，1102f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故函数()243x f x x =+-的零点所在区间是11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C.17．D【分析】由频率分布直方图先求得该样本在区间[)12,16上的频率，再求得频数.【详解】由频率分布直方图可知：该样本在区间[)12,16上的频率为()0.1000.15020.5+⨯=.所以该样本在区间[)12,16上的频数800.540⨯=.故选：D18．D【详解】试题分析：由m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以//l α，又n ⊥平面β，,l n l β⊥⊄，所以l //β，由直线,m n 为异面直线，且m ⊥平面,n α⊥平面β，则α与β相交，否则，若//αβ则推出//m n ，与,m n 异面矛盾，所以,αβ相交，且交线平行于l ，故选D ．考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．19．D【分析】利用向量共线定理设BP BC μ= ，0μ>，通过线性运算得()1AP AB AC μμ=-+ ，结合题目条件得到方程组，解出即可.【详解】作出如图所示图形：,,B P C 三点共线，故可设BP BC μ= ，0μ>，则()()1AP AB BP AB BC AB AC AB AB AC μμμμ=+=+=+-=-+ ，14AP AB AC λ=+ ，114μμλ⎧-=⎪∴⎨⎪=⎩，解得34λ=.故选：D.20．D【分析】由题知三棱锥-P ABC 的外接球即为侧棱,,PA PB PC 为邻边的正方体的外接球，再求正方体的体对角线即可得半径计算表面积.【详解】解：由题知三棱锥-P ABC 的外接球即为侧棱,,PA PB PC 为邻边的正方体的外接球，因为三棱锥-P ABC 的底面ABC 是边长为1的正三角形，所以2PA PB PC ===，以,,PA PB PC 为邻边的正方体的体对角线长为2，所以，其外接球的直径22R =，表面积为234ππ2R =.故选：D21．C【分析】根据古典概型公式，结合指数型函数性质求解即可.【详解】解：由题知，(),a b 的可能情况有()()()()()()2,0,2,1,2,2,3,0,3,1,3,2----共6种；其中函数x y a b =+的图象经过第一､三､四象限的情况有()()2,2,3,2--，共2种；所以，所求的概率为2163P ==.故选：C22．A【分析】根据//AD BC 得DAE ∠是异面直线AE 与BC 所成角或其补角，再根据几何关系求解即可.【详解】解：如图，连接DE ，设1AD =因为底面ABCD 为正方形，所以//AD BC ，所以DAE ∠是异面直线AE 与BC 所成角或其补角.因为PD ⊥平面ABCD ，,AB BD ⊂平面ABCD所以PD AB ⊥，PD BD⊥因为AD AB ⊥，,,PD AD D PD AD =⊂ 平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，因为PA ⊂平面PAD ，所以AB AP⊥因为2,PD AD E =为PB 的中点，+PA PB ==所以12DE AE BP ===，所以，在ADE V中，1DE AE AD ===，12cos 6DAE ∠=，所以异面直线AE 与BC所成角的余弦值是6故选：A 23．A【分析】直接通分利用辅助角公式、二倍角的正弦公式以及诱导公式即可得到答案.【详解】1sin 80sin 80cos80sin 80cos80--=()()()12802sin 60cos80cos 60sin 802112sin 80cos802sin 80cos8022⎫-⎪-⎝⎭== ()2sin 60802sin 20411sin160sin 2022--===- .故选：A.24．A【分析】结合()f x 的单调性和奇偶性求得正确答案.【详解】因为()()e e x x x f x f --==--，所以()f x 在R 上是奇函数.因为e x y =在R 上是增函数，又e x y -=在R 上是减函数，所以()f x 在R 上是增函数.所以()()()()()110111f x f f x f f -+>⇒->-=-，所以11,2x x ->-<，所以不等式()()110f x f -+>的解集是(),2-∞.故选：A25．C【分析】根据余弦定理公式和面积公式直接求解即可.【详解】解：因为()()4a c b b c a +-+-=，60C = ，所以()224c a b --=，2221cos 22b ac C ab +-==所以，22224c b a ab --+=，222b a c ab +-=，所以4ab =，11sin 422ABC S ab C ==⨯= .故选：C26．A【分析】对于AB ，用向量法求线面角即可判断；对于C ，先证明11B D ⊥平面11AAC C ，再根据体积公式即可判断；对于D ，用等体积法求得体积即可判断.【详解】如图：以D 为原点建立空间直角坐标系，则()()()()()111,0,0,0,1,0,1,1,1,1,1,0,1,0,1A C B B A ，所以()()()()110,0,1,0,1,0,1,1,0,0,1,1AA AB AC AB ===-= ，设平面1ACB 的法向量(),,n x y z = 则100AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00x y y z -+=⎧⎨+=⎩，令1y =，则1,1x z ==-，所以平面1ACB 的法向量()1,1,1n =-.对于A ，AB 与平面1ACB所成角的正弦值为cos ,AB n AB n AB n⋅== A 正确；对于B ，1AA 与平面1ACB所成角的正弦值为111cos ,3AA n AA n AA n ⋅== ，B 错误；对于C ，连接1111B D A C E = ，则1111B D A C ⊥，又111⊥B D AA ，1111AA AC A ⋂=，所以11B D ⊥平面11AAC C ，则四棱锥111B AAC C -的体积为111323⨯=，C 错误；对于D ，三棱锥1B AB C -的体积等于三棱锥1B ABC -的体积等于111111326⨯⨯⨯⨯=，D 错误.故选：A27．C【分析】利用二倍角的正弦及辅助角公式变形函数()f x 的解析式，再逐一分析各个命题即可判断作答.【详解】依题意，222()1sin cos 2sin cos 2(sin cos )(sin cos )2(sin cos )1f x x x x x x x x x x x =++-+-=-+-+22π(sin cos 1)1]4x x x =-+=-+，因为π14y x =-+的最小正周期为2π，因此2π())1]4f x x =-+的最小正周期为2π，①正确；π)104x -+=，即πsin()42x -=-时，min ()0f x =，②正确；当πsin()14x -=时，2max ()1)3f x ==+由()0f x =得：πsin()42x -=-ππ2π44x n -=-或π3π2π,Z 44x n n -=-∈,解得2πx n =或π2π,Z 2x n n =-∈，即2π2π[1(1)]4n x n =+--或21π(21)π[1(1)],Z 4n x n n -=-+--∈，因此ππ[1(1),Z ]4k x k k =+--∈，④正确，所以正确结论的个数是3.故选：C28．B【分析】根据理论知识等级共40人即可求出m 值，根据总人数共100人即可求出n .【详解】因为12440m ++=，解得24m =.因为241242020265100n ++++++++=，解得7n =.故选：B.29．D【分析】由题意求得,m n ，再根据分层抽样即可求解.【详解】因为12440m ++=，解得24m =.因为241242020265100n ++++++++=，解得7n =.根据分层抽样可得该公司一线员工中实践技能为A 等的人数约为：2420726001326100++⨯=.故选：D30．B【分析】由题知理论知识测试结果为A ，且实践技能测试结果为C 的有4人，记为,,,A B C D ，理论知识测试结果为B ，且实践技能测试结果为C 的有2人，记为,a b ，再根据古典概型列举基本事件，求解概率即可.【详解】解：由题知理论知识测试结果为A 的共40人，故12440m ++=，解得24m =，因为参加测试的共有100人，所以404211100n +++=，解得7n =，所以，理论知识测试结果为A ，且实践技能测试结果为C 的有4人，记为,,,A B C D 理论知识测试结果为B ，且实践技能测试结果为C 的有2人，记为,a b ，所以随机抽取2人，可能情况有,,,,,,,,AB AC AD Aa Ab BC BD Ba Bb ，,,,,,CD Ca Cb Da Db ab 共15种情况，其中这2人理论知识测试结果均为A 的情况有,,,,,AB AC AD BC BD CD 共6种，所以，所求概率为62155P ==.故选：B31．(1)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭【分析】（1）分0a =和0a ≠两种情况，结合二次函数的单调性求解即可；（2）作差法比较大小即可.【详解】（1）解：当0a =时，()f x x =-在R 上单调递减，不满足题意；所以，0a ≠，因为函数()()221f x ax a x a =+--在区间3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数，所以201324a a a>⎧⎪⎨--≤⎪⎩，解得12a ≥所以实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）解：由题知()()()()22221122121122ax a x a ax a x a f x f x +--++--+=，()()()22221122122121212221412224ax ax x ax a x x a x x x x x x f a a a +++-+-+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()()222121211221222244f x f x x x ax ax x ax a f x x ++-+⎛⎫-==- ⎪⎝⎭因为12x x ≠，1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭，所以()()()21212120224f x f x x x a f x x ++⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭。

省中等职业学校学业水平考试《数学》试卷（一）本试卷分第Ⅰ卷（必考题）和第Ⅱ卷（选考题）两部分．两卷满分100分，考试时间75分钟．第Ⅰ卷（必考题，共84分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．每个小题列出的四个选项中，只有一项符合要求．）1．数集{}Z x x x ∈<≤-,32，用列举法可表示为 （ ）A ．}3,2,1,0,1,2{--B ．}2,1,,1,2{--C ．{1,0,1,2,3}-D ．}2,1,0,1,2{--2．若()=21f x x -，则()2f 等于 （ ）A ．－1B ．1C ．3D ．5 3．若等比数列{}n a 中，14a =-，12q =，则4a 等于 （ ） A ．21 B ．41- C ．21- D ．2- 4．已知(2,5)A -，(2,7)B -，则线段AB 的中点M 的坐标为 （ ）A ．（－2，25） B ．（－2，27） C ．（－2，－1） D ．（－2，6） 5．某小组有3名女生，2名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是 （ ）A ．15B ．13C ．16D ．56 6．球的直径为6，则其体积为 （ ）A ．36πB ．72πC ．144πD ．288π7．已知直线l 经过两个点(1,2)A ，(4,5)B ，则直线l 的斜率为 （ ）A ．33 B ．1 C ．3 D ．－1 8．8名学生在一次数学测试中的成绩为80,82,79,69,74,78,x,81，这组成绩的平均数是77，则x 的值为 （ ）A ．73B ．74C ．75D ．769．若等差数列{}n a 中，38a =，414a =，则13a 等于 （ ）A ．68B ．74C ．80D ．8610． 函数21-=x y 的定义域是 （ ）A ．),(+∞-∞B ．()+∞,0C ．[)∞+，0 D ．(]0,∞- 11．设集合{}4≤=x x P ，集合{}a x x Q >=，若φ=Q P ，则实数a 的取值围是 （ ）A ．4<aB ．4≤aC ．4>aD ．4≥a12．已知偶函数()x f 的图象经过()3,2，则函数的图象必经过另一点 （ ） A ．()32， B ．()-23， C ．()3-2-，D ．()3-2， 二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）13．求值 0.3log 4.3= .（精确到0.0001）14．圆柱的母线长和底面直径均为2，其表面积为 ．三、解答题（本大题共3小题，共计28分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（满分8分）已知角α的终边经过点(5,12)P -，求sin α，cos α和tan α的值．16．（满分10分）比较下列各组中两个数（式）的大小：(1)222)(x - 与 4254x x --； (2)2log 10 与2log 5．17.（满分10分）已知向量(1,2)a =-，(3,1)b =-，求：(1)2a b +，2(3)a b -；(2)a b ⋅；(3)向量a 与向量b 夹角.第Ⅱ卷（选考题，共16分）说明：在每组题中选一题解答；若都解答，只按其中的一题给分．一、选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分．每题所给的四个选项中，只有一个选项符合要求．)1．[选做题]在1－1和1－2两题中选答一题．1—1．下列给出的赋值语句中正确的是 （ ）A ．16x -=B ．16x =-C ．1x y +=D ．a b c ==1—2.做“紫菜鸡蛋汤”有以下几道工序：A ．破蛋(1分钟)；B ．洗紫菜(2分钟)；C ．水中放入紫菜加热至沸腾(3分钟)；D ．沸腾后倒入鸡蛋加热(1分钟)；E ．搅蛋(1分钟)．需要的最短时间是 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．82．[选做题]在2－1和2－2两题中选答一题．2—1．cos()cos sin()sin =αββαββ--- （ ）A ．αcosB ．βcosC ．α2cosD ．β2cos2—2．若112a bi =-，则实数a ，b 的值分别为 （ ） A ．2，B ．2-C ．2-，D ．23．[选做题]在3－1和3－2两题中选答一题．3—1．参数方程为参数）(t 221⎩⎨⎧+-=+=t y t x 表示的曲线是 （ ） A ．圆 B ．直线 C ．抛物线 D ．双曲线3—2．如图，三角形所围成的阴影部分为可行域，使得目标函数2z x y =+取得最小值的点是 （ ） A ．点()5,3A B ．点()1,1B C ．点22(1,)5C D ．点(0,0)O 二、填空题(本大题共1小题，共4分．)4．[选做题]在4－1和4－2两题中选答一题． 4—1．补充完成“按权展开式”：388448108=⨯+⨯ 10410410+⨯+⨯4—2. 某班从甲、乙、丙三名候选人中选举一名学生代表，每选票上只能选一人或不选．全班50名同学都参加了投票，得票情况如图，则学生乙的得票数是 ．省中等职业学校学业水平考试《数学》试卷（一）参考答案及评分标准本试卷分第Ⅰ卷（必考题）和第Ⅱ卷（选考题）两部分．两卷满分100分，考试时间75分钟．第Ⅰ卷（必考题，共84分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．）二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）13． 1.2115-；6π三、解答题（本大题共3小题，共计28分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．解：因为5,12x y ==-，所以13r ==， ---------2分所以 1212sin 1313y r α-===- ----------4分 5cos 13x r α==， ----------6分 1212tan 55y x α-===-． ---------8分 16．解：(1)因为 224242422)(54)(44)(54)(x x x x x x x ----=-+--- ………1分42424454x x x x =-+-++ …………2分280x =+> ………4分所以 22422)(54)(x x x ->-- ……………5分(2)解法一：22210log 10log 5log 5-= ……………2分 2log 210=>= ……………4分所以 22log 10log 5> ……………5分解法二：考察函数2log y x = ……………1分21a =>，2log y x =在(0,)+∞上是增函数 ……………3分105>，22log 10log 5> ……………5分17. 解：(1)2=2+=a b +---（1,2）（3,1）（5,5） …………2分2(3)=2 6a b ----（1,2）（3,1）=218,6=2----(,4)()(16，) …………4分 (2)a b ⋅=(1)(3)215-⨯-+⨯= …………2分(3)2||(1)=-+a ； …………1分 2||(3)110=-+=b ； …………2分由cos 2||||10θ⋅===⨯a ba b ， …………3分 得45θ=︒. …………4分第Ⅱ卷（选考题，共16分）说明：在每组题中选一题解答；若都解答，只按其中的一题给分．一、选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分．每题所给的四个选项中，只有一个选项符合要求．)二、填空题(本大题共1小题，共4分．)4—1．2104—2．27。

湖南省普通高中学业水平考试数 学 试 卷本试卷涉及选取题、填空题和解答题三某些，共5页。

时量120分钟，满分100分.一、选取题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分. 在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目规定.1．已知集合{1,2}M =，集合{0,1,3}N =，则M N =A.{1}B.{0,1}C.{1,2}D. {1,2,3}2．化简()()001cos301cos30-+得到成果是 A.34 B.14C.0D.1 3．如图，一种几何体三视图都是半径为1圆，则该几何体表面积等于A.πB.2πC.4πD.43π4．直线30x y -+=与直线40x y +-=位置关系为A.垂直B.平行C.重叠D.相交但不垂直5．如图，ABCD 是正方形，E 为CD 边上一点，在该正方形中随机撒一粒豆子，落在阴影某些概率为A.14B.13C.12D.346．已知向量()1,2a =，()3,6b =--，若b a λ=，则实数λ值为A.13B.3C.13- D.3- 7．某班有50名学生，将其编为1，2，3，…，50号，并按编号从小到大平均提成5组，现从该班抽取5名学生进行某项调查，若用系统抽样办法，从第1组抽取学生号码为5，则抽取5名学生号码是A.5，15，25，35，45B.5，10，20，30，40C.5，8，13，23，43D.5，15，26，36，468．已知函数()f x 图象是持续不断，且有如下相应值表： x 1- 0 1 2 3 ()f x 8 4 2- 06 则函数()f x 一定存在零点区间是A.()1,0-B.()0,1C.()1,2D.()2,39．如图，点(),x y 在阴影某些所示平面区域上，则z y x =-最大值为A.2-B.0C.1D.210．一种蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了1个伙伴；第2天，2只蜜蜂飞出去，各自找回了1个伙伴……如果这个找伙伴过程继续下去，第n 天所有蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂只数为A.12n - B.2n C.3n D.4n二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分.11．函数()()lg 3f x x =-定义域为 .12．函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭最小正周期为 . 13．某程序框图如图所示，若输入x 值为4-，则输出成果为 .14．在ABC ∆中，角A B C ，，所对边分别为a b c ，，，已知2c a =，1sin 2A =，则sin C = . 15．已知直线:20l x y -+=，圆()222:0C x y r r +=>，如直线l 与圆C 相切，则圆C半径r =三、解答题：本大题共5小题，满分40分. 解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节 .16．（本小题满分6分）学校举办班级篮球赛，某名运动员每场比赛得分记录茎叶图如下.（1）求该运动员得分中位数和平均数；（2）预计该运动员每场得分超过10分概率.17．（本小题满分8分）已知函数()2()2f x x m =-+.（1）若函数()f x 图象过点()2,2，求函数()y f x =单调递增区间；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 值.18．（本小题满分8分）已知正方体1111ABCD A BC D -.（1）证明：1D A 平面1C BD ；（2）求异面直线1D A 与BD 所成角.19．（本小题满分8分）已知向量()2sin 1a x ，=，()2cos 1b x ，=，x R ∈. （1）当4x π=时，求向量a b +坐标；（2）设函数()f x a b =⋅，将函数()f x 图象上所有点向左平移4π个单位长度得到()g x 图象，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 最小值.20．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a +=+，其中n N *∈. （1）写出2a ，3a 及n a ；（2）记数列{}n a 前n 项和为n S ，设12111n nT S S S =+++，试判断n T 与1大小关系； （3）对于（2）中n S ，不等式()11410n n n n S S S n S λ--⋅+-+≥对于任意不不大于1整数n 恒成立，求实数λ取值范畴.湖南省普通高中学业水平考试数学试卷本试卷涉及选取题、填空题和解答题三某些，共5页。

江苏省中等职业学校学业水平考试 《数学》试卷 参考答案及评分标准本试卷分第Ⅰ卷（必考题）和第Ⅱ卷（选考题）两部分．两卷满分100分，考试时间75分钟．第Ⅰ卷（必考题，共84分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．）二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分） 13． 1.2115-；6π三、解答题（本大题共3小题，共计28分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．解：因为5,12x y ==-，所以13r ==， ---------2分 所以 1212sin 1313y r α-===- ----------4分 5cos 13x r α==， ----------6分 1212tan 55y x α-===-． ---------8分16．解：(1)因为 224242422)(54)(44)(54)(x x x x x x x ----=-+--- ………1分 42424454x x x x =-+-++ …………2分 280x =+> ………4分 所以 22422)(54)(x x x ->-- ……………5分 (2)解法一：22210log 10log 5log 5-= ……………2分 2log 210=>= ……………4分 所以 22log 10log 5> ……………5分解法二：考察函数2log y x = ……………1分 21a =>，2log y x =在(0,)+∞上是增函数 ……………3分105>，22log 10log 5> ……………5分 17. 解：(1)2=2+=a b +---r r（1,2）（3,1）（5,5） …………2分2(3)=2 6a b ----r r（1,2）（3,1）=218,6=2----(,4)()(16，) …………4分 (2)a b ⋅r r=(1)(3)215-⨯-+⨯= …………2分(3)||=ra ； …………1分||==rb …………2分由cos 2||||θ⋅===r r a b a b ， …………3分得45θ=︒. …………4分第Ⅱ卷（选考题，共16分）说明：在每组题中选一题解答；若都解答，只按其中的一题给分．一、选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分．每题所给的四个选项中，只有一个选项符合要求．)二、填空题(本大题共1小题，共4分．) 4—1．210 4—2．27。

2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷（答案在最后）考生须知：1.考生要认真填写考场号和座位序号.2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，则A B = （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,0,1,2-2.复数2i =（）A.iB.i- C.1D.1-3.函数()()21f x x x =+的零点为（）A.1-B.0C.1D.24.已知向量()()0,1,2,1a b == ，则a b -=（）A.()0,2- B.()2,0 C.()2,0- D.()2,25.不等式21x >的解集为（）A.{}10x x -<< B.{}01x x << C.{}11x x -<< D.{1x x <-或}1x >6.在空间中，若两条直线a 与b 没有公共点，则a 与b （）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线7.在同一坐标系中，函数()y f x =与()y f x =-的图象（）A.关于原点对称B.关于x 轴对称C .关于y 轴对称D.关于直线y x =对称8.已知,a b 挝R R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（）A.12B.13C.14D.1610.已知函数(),01,0x x f x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =，则0x =（）A.12B.12-C.2D.2-11.在ABC 中，7,3,5a b c ===，则A ∠=（）A.30︒ B.60︒C.90︒D.120︒12.下列函数中，存在最小值的是（）A.()1f x x =-+ B.()22f x x x =- C.()exf x = D.()ln f x x=13.贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：年份2013201420152016201720182019202020212022占比()%39.240.338.938.639.640.642.441.442.245.4则这10年占比数据的中位数为（）A.40.3%B.40.45%C.40.6%D.41.4%14.若tan 1α=-，则角α可以为（）A.π4B.π6C.3π4D.5π615.66log 2log 3+=（）A.0B.1C.2D.316.函数()f x =的定义域为（）A.[)3,∞-+ B.[)2,-+∞ C.[)2,+∞ D.[)4,+∞17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为BC 的中点.若1AB =，则三棱锥1D ADP -的体积为（）A.2B.1C.12D.1618.()2sin15cos15︒+︒=（）A.12B.1C.32D.219.已知0,0a b ≥≥，且1a b +=，则a b -的取值范围是（）A.[]1,0- B.[]0,1 C.[]1,1- D.[]22-,20.某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（）A.最多有1651名学生B.最多有1649名学生C.最少有618名学生D.最少有617名学生第二部分（非选择题共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21.已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则α=_______．22.已知,a b 挝R R ，且a b >，则2a -________3b -（填“>”或“<”）.23.已知向量,,a b c ，其中()1,0a = .命题p ：若a b a c ⋅=⋅r r r r，则b c = ，能说明p 为假命题的一组b 和c 的坐标为b = ________，c =________.24.已知的()11f x x =+，给出下列三个结论：①()f x 的定义域为R ；②()(),0x f x f ∀∈≤R ；③k ∃∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点.其中所有正确结论的序号是________.三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25.已知函数()2cos2f x x =.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.26.阅读下面题目及其解答过程.已知函数()22xxf x -=+.（1）证明：()f x 是偶函数；（2）证明：()f x 在区间()0,∞+上单调递增.解：（1）()f x 的定义域为D =①________.因为对任意x D ∈，都有x D -∈，且()22xx f x --=+=②________，所以()f x 是偶函数.（2）③________()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+1212112222x x x x =-+-21121222222x x x x x x +-=-+()()12121222212x x x x x x ++--=因为120x x <<，所以1222x x -④________0，1221x x +-⑤________0，1221x x +>.所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增.以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”），空格序号选项① A.R B.()(),00,∞-+∞U ② A.()fx - B.()f x ③ A.任取 B.存在④ A.> B.<⑤A.>B.<27.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求证：//PB 平面AEC .28.已知()00000,,,a b c d α=和数表111122223333a b c d A a b c d a b c d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中()*,,,N 0,1,2,3i i i i a b c d i ∈=.若数表A 满足如下两个性质，则称数表A 由0α生成.①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；②存在{}1,2,3k ∈，使,,,k k k k a b c d 中恰有三个数相等.（1）判断数表566645593848A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否由()06,7,7,3α=生成；（结论无需证明）（2）是否存在数表A 由()06,7,7,4α=生成？说明理由；（3）若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，写出0d 所有可能的值.2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷考生须知：1.考生要认真填写考场号和座位序号.2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，则A B = （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,0,1,2-【答案】A 【解析】【分析】根据集合交集的概念与运算，即可求解.【详解】集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，根据集合交集的运算，可得{}1A B ⋂=.故选：A.2.复数2i =（）A.iB.i- C.1D.1-【答案】D 【解析】【分析】直接根据复数的运算得答案.【详解】2i 1=-.故选：D.3.函数()()21f x x x =+的零点为（）A.1-B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】解方程求得方程的根，即可得相应函数的零点.【详解】令()()210f x x x =+=，则0x =，即函数()()21f x x x =+的零点为0，故选：B4.已知向量()()0,1,2,1a b == ，则a b -=（）A.()0,2- B.()2,0 C.()2,0- D.()2,2【答案】C 【解析】【分析】直接利用向量的坐标运算计算即可.【详解】()()0,1,2,1a b ==,()2,0a b ∴-=-.故选：C.5.不等式21x >的解集为（）A.{}10x x -<< B.{}01x x << C.{}11x x -<< D.{1x x <-或}1x >【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由题意知，211x x >⇒<-或1x >，所以原不等式的解集为{1x x <-或1}x >.故选：D6.在空间中，若两条直线a 与b 没有公共点，则a 与b （）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线【答案】D 【解析】【分析】根据空间直线的位置关系判断，即可得答案.【详解】由题意知在空间中，两条直线a 与b 没有公共点，即a 与b 不相交，则a 与b 可能平行，也可能是异面直线，故选：D7.在同一坐标系中，函数()y f x =与()y f x =-的图象（）A.关于原点对称B.关于x 轴对称C.关于y 轴对称D.关于直线y x =对称【答案】B 【解析】【分析】根据函数上点的关系即可得函数图象的关系.【详解】当x a =时，()y f a =与()y f a =-互为相反数，即函数()y f x =与()y f x =-的图象关于x 轴对称.故选：B.8.已知,a b 挝R R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】直接根据充分性和必要的定义判断求解.【详解】当a b =时，22a b =，当22a b =时，a b =±，则“a b =”是“22a b =”的充分而不必要条件.故选：A .9.故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（）A.12B.13C.14D.16【答案】A 【解析】【分析】直接根据古典概型的计算公式求解即可.【详解】由已知得随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲有4种赠法，其中游客甲得到“春”或“冬”款书签的有2种赠法，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为2142=.故选：A.10.已知函数(),01,0x x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =，则0x =（）A.12B.12-C.2D.2-【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案.【详解】当0x ≤时，()0f x x =≤，当0x >时，1()0f x x=>，故由()02f x =，得001122,x x =∴=，故选：A11.在ABC 中，7,3,5a b c ===，则A ∠=（）A.30︒ B.60︒C.90︒D.120︒【答案】D 【解析】【分析】根据余弦定理求角，即可得答案.【详解】在ABC 中，7,3,5a b c ===，由余弦定理得222925491cos 22352b c a A bc +-+-===-⨯⨯,而A 为三角形内角，故120A =︒，故选：D12.下列函数中，存在最小值的是（）A.()1f x x =-+B.()22f x x x =- C.()exf x = D.()ln f x x=【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性及值域分别判断最小值即可.【详解】()1f x x =-+单调递减值域为R ,无最小值，A 选项错误；()22f x x x =-在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增，当1x =取得最小值，B 选项正确；()e x f x =单调递增，值域为()0,+∞，无最小值，C 选项错误；()ln f x x =单调递增，值域为R ,无最小值，D 选项错误.故选:B.13.贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：年份2013201420152016201720182019202020212022占比()%39.240.338.938.639.640.642.441.442.245.4则这10年占比数据的中位数为（）A.40.3%B.40.45%C.40.6%D.41.4%【答案】B 【解析】【分析】将数据从小到大排列，然后求中位数即可.【详解】把这10年占比数据从小到大排列得38.6%,38.9%,39.2%,39.6%,40.3%,40.6%,41.4%,42.2%,42.4%,45.4%，中位数为40.3%40.6%40.45%2+=.故选：B14.若tan 1α=-，则角α可以为（）A.π4B.π6 C.3π4D.5π6【答案】C 【解析】【分析】直接根据正切值求角即可.【详解】tan 1α=- ,3ππ,4k k α∴=+∈Z ，观察选项可得角α可以为3π4.故选：C.15.66log 2log 3+=（）A.0B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】直接利用对数的运算性质计算即可.【详解】()66661l o 2og 2log 3l g l g 36o ==+⨯=.故选：B.16.函数()f x =的定义域为（）A.[)3,∞-+ B.[)2,-+∞ C.[)2,+∞ D.[)4,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据函数()f x 的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由函数()f x =有意义，则满足390x -≥，即2393x ≥=，解得2x ≥，所以函数()f x 的定义域为[)2,+∞.故选：C.17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为BC 的中点.若1AB =，则三棱锥1D ADP -的体积为（）A.2B.1C.12D.16【答案】D 【解析】【分析】直接利用棱锥的体积公式计算.【详解】因为1DD ⊥面ADP 所以1111111113326D ADP ADP V DD S -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= .故选：D.18.()2sin15cos15︒+︒=（）A.12B.1C.32D.2【答案】C 【解析】【分析】按完全平方公式展开后，结合同角的三角函数关系以及二倍角正弦公式，即可求得答案.【详解】()2223sin15cos15sin 152sin15cos15cos 151sin 302︒+︒=︒+︒︒+︒=+︒=，故选：C19.已知0,0a b ≥≥，且1a b +=，则a b -的取值范围是（）A.[]1,0- B.[]0,1 C.[]1,1- D.[]22-,【答案】C 【解析】【分析】先通过条件求出a 的范围，再消去b 求范围即可.【详解】由1a b +=得1b a =-，所以10a -≥，得01a ≤≤，所以()[]1211,1a b a a a -=--=-∈-.故选：C.20.某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（）A.最多有1651名学生B.最多有1649名学生C.最少有618名学生D.最少有617名学生【答案】D 【解析】【分析】根据题意求出最多和最少的人数即可.【详解】185036162÷= ,6161617+=，即研学人数最多的地点最少有617名学生，18501001001650--=，即研学人数最多的地点最多有1650名学生.故选：D第二部分（非选择题共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21.已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则α=_______．【答案】2【解析】【分析】由幂函数所过的点可得24α=，即可求α.【详解】由题设，(2)24f α==，可得2α=.故答案为：222.已知,a b 挝R R ，且a b >，则2a -________3b -（填“>”或“<”）.【答案】<【解析】【分析】根据不等式的基本性质即可求解.【详解】由题意知，a b >，则a b -<-，所以23a b -+<-+，即23a b -<-.故答案为：<23.已知向量,,a b c ，其中()1,0a = .命题p ：若a b a c ⋅=⋅r r r r，则b c = ，能说明p 为假命题的一组b 和c 的坐标为b = ________，c =________.【答案】①.()0,1（答案不唯一）②.()0,2（答案不唯一）【解析】【分析】直接根据0a b a c ⋅=⋅=r r r r可得答案.【详解】让0a b a c ⋅=⋅=r r r r即可，如()()0,1,0,2b c ==r r ，此时b c≠r r 故答案为：()()0,1,0,2（答案不唯一）.24.已知的()11f x x =+，给出下列三个结论：①()f x 的定义域为R ；②()(),0x f x f ∀∈≤R ；③k ∃∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点.其中所有正确结论的序号是________.【答案】①②【解析】【分析】①直接观察函数可得答案；②通过0x ≥求出()f x 的最值即可；③将问题转化为1y k=与()()1y g x x x ==+的交点个数即可.【详解】对于①：由10x +≠恒成立得()f x 的定义域为R ，①正确；对于②：()1011101x x f x ≥⇒+≥⇒≤=+，②正确；对于③：令11kx x =+，变形得()11x x k+=，作出函数()()22,01,0x x x g x x x x x x ⎧+≥=+=⎨-+<⎩的图象如下图：根据图象可得()g x 在R 上单调递增，故1y k=与()y g x =只有一个交点，即不存在k ∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点，③错误.故答案为：①②.三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25.已知函数()2cos2f x x =.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】25.π26.最大值为2，最小值为-2【解析】【分析】（1）结合公式2πT ω=计算直接得出结果；（2）由题意求得02πx ≤≤，根据余弦函数的单调性即可求解.【小问1详解】由2π2ππ2T ω===，知函数()f x 的最小正周期为π；【小问2详解】由π02x ≤≤，得02πx ≤≤，令2x θ=，则0πθ≤≤，函数cos y θ=在[0,π]上单调递减，所以1cos θ1-＃，所以2()2f x -≤≤，即函数()f x 在π[0,2上的最大值为2，最小值为-2.26.阅读下面题目及其解答过程.已知函数()22xxf x -=+.（1）证明：()f x 是偶函数；（2）证明：()f x 在区间()0,∞+上单调递增.解：（1）()f x 的定义域为D =①________.因为对任意x D ∈，都有x D -∈，且()22xx f x --=+=②________，所以()f x 是偶函数.（2）③________()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+1212112222x x x x =-+-21121222222x x x x x x +-=-+()()12121222212x x x x x x ++--=因为120x x <<，所以1222x x -④________0，1221x x +-⑤________0，1221x x +>.所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增.以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”），空格序号选项①A.RB.()(),00,∞-+∞U ② A.()f x - B.()f x ③ A.任取 B.存在④ A.> B.<⑤A.>B.<【答案】ABABA 【解析】【分析】根据()f x 的定义域以及函数奇偶性的定义可解答①②；根据函数单调性的定义，结合用单调性定义证明函数单调性的步骤方法，可解答③④⑤.【详解】①由于()22xxf x -=+的定义域为R ，故A 正确；②由于()2()2xx x x f f --=+=，故B 正确；③根据函数单调性定义可知任取()12,0,x x ∈+∞，故A 正确；④因为120x x <<，所以1222x x <，故12220x x -<，故B 正确；⑤因为120x x <<，故120x x +>，故121221,210x x x x ++>∴->，故A 正确.27.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求证：//PB 平面AEC .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可得BD PA ⊥，结合线面垂直判定定理即可证明；（2）设AC 与BD 交于点O ，连接OE ，则//OE PB ，结合线面平行的判定定理即可证明.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PA ⊥，又平面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又,PA AC A PA AC 、=Ì平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ；【小问2详解】E 为PD 的中点，设AC 与BD 交于点O ，连接OE，则//OE PB ，又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .28.已知()00000,,,a b c d α=和数表111122223333a b c d A a b c d a b c d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中()*,,,N 0,1,2,3i i i i a b c d i ∈=.若数表A满足如下两个性质，则称数表A 由0α生成.①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；②存在{}1,2,3k ∈，使,,,k k k k a b c d 中恰有三个数相等.（1）判断数表566645593848A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否由()06,7,7,3α=生成；（结论无需证明）（2）是否存在数表A 由()06,7,7,4α=生成？说明理由；（3）若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，写出0d 所有可能的值.【答案】（1）是（2）不存在，理由见解析（3）3，7，11.【解析】【分析】（1）根据数表A 满足的两个性质进行检验，即可得结论；（2）采用反证的方法，即若存在这样的数表A ，由性质①推出对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，则推出不满足性质②，即得结论；（3）判断出0d 的所有可能的值为3，7，11，一方面说明0d 取这些值时可以由()007,12,3,d α=生成数表A ，另一方面，分类证明0d 的取值只能为3，7，11，由此可得0d 所有可能的值.【小问1详解】数表566645593848A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是由()06,7,7,3α=生成；检验性质①：当0i =时，561,671,671,633-=--=--=--=，共三个1-，一个3；当1i =时，451,561,561,963-=--=--=--=，共三个1-，一个3；当2i =时，341,853,451,891-=--=-=--=-，共三个1-，一个3；任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；检验性质②：当1k =时，11115,6,6,6a b c d ====，恰有3个数相等.【小问2详解】不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成,理由如下:若存在这样的数表A ，由性质①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3，则13i i a a +-=或-1，总有1i a +与i a 的奇偶性相反，类似的，1i b +与i b 的奇偶性相反，1i c +与i c 的奇偶性相反，1i d +与i d 的奇偶性相反；因为00006,7,7,4a b c d ====中恰有2个奇数，2个偶数，所以对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，此时,,,k k k k a b c d 中至多有2个数相等，不满足性质②；综上，不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成；【小问3详解】0d 的所有可能的值为3，7，11.一方面，当03d =时，(71233),,,可以生成数表611265105541344A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当07d =时，(71237),,,可以生成数表611665145541744A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当011d =时，(712311),,,可以生成数表611610510998988A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；另一方面，若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，首先证明：0d 除以4余3；证明：对任意的0,1,2,3i =，令i i i a b ∆=-，则()()()()11111ΔΔi i t i i i i i i i a b a b a a b b +++++-=---=---，分三种情况：（i ）若11i i a a +-=-，且11i i b b +-=-，则10i i +∆∆=-；（ii ）若11i i a a +-=-，且13i i b b +=-，则14i i +∆-=-∆；（iii ）若13i i a a +-=，且11i i b b +-=-，则14i i +∆∆=-；均有1i +∆与i ∆除以4的余数相同.特别的，“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a b =”的一个必要不充分条件为“00,a b 除以4的余数相同”；类似的，“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a c =”的一个必要不充分条件为“00,a c 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a d =”的一个必要不充分条件为“00,a d 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k b c =”的一个必要不充分条件为“00,b c 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k b d =”的一个必要不充分条件为“00,b d 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k c d =”的一个必要不充分条件为“00,c d 除以4的余数相同”；所以，存在{}1,2,3k ∈，使得,,,k k k k a b c d 中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是,,,k k k k a b c d 中至少有3个数除以4的余数相同.注意到07a =与03c =除以4余3，012b =除以4余0，故0d 除以4余3.其次证明：0{3,7,11,15}d ∈；证明：只需证明015d ≤；由上述证明知若()007,12,3,d α=可以生成数表A ，则必存在{}1,2,3k ∈，使得k k k a c d ==；若015d >，则0015312d c ->-=，()()1100221148,44d c d c d c d c -≥-->-≥-->，()332240d c d c -≥-->，所以，对任意{}1,2,3k ∈，均有0k k d c ->，矛盾；最后证明：015d ≠；证明：由上述证明可得若()007,12,3,d α=可以生成数表A ，则必存在{}1,2,3k ∈，使得k k k a c d ==，0015312d c =--=，()()1100221148,44d c d c d c d c -≥--=-≥--≥，()332240d c d c -≥--≥，欲使上述等号成立，对任意的{}1,2,3k ∈，113,1k k k k c c d d ++-=-=-，则111,1k k k k a a b b ++-=--=-，611614510913491212A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，经检验，不符合题意；综上，0d 所有可能的取值为3，7，11.【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第3问中确定0d 所有可能的取值，解答时要根据数表A 满足的性质分类讨论求解，并进行证明，证明过程比较复杂，需要有清晰的思路.。