四川省南充高中2020届高三4月月考数学(理)试卷word版

四川省南充高级中学2020届高三数学上学期第四次月考试题文（含解析）一、单选题（每小题5分，总分60分）1．已知集合，则A∩B＝（）A．[1，2] B．[0，2] C．（﹣∞，1] D．[2，+∞）2．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》我国古典小说四大名著若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（）A．B．C．D．3．使复数z为实数的充分而不必要条件为（）A．z2为实数B．z+为实数C．z＝D．|z|＝z4．已知样本数据x1，x2，……，x n的平均数是5，则新的样本数据2x1+5，2x2+5，……，2x n+5的平均数为（）A．5 B．7 C．10 D．155．已知点P是圆C：（x﹣3﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝1上任意一点，则点P到直线x+y ＝1距离的最大值为（）A．B．2C．+1 D．+26．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f （x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]7．函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0，0＜φ＜）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是图象的最高点和最低点，其中M点横坐标为，O为坐标原点，且，则ω，φ的值分别是（）A．，B．π，C．2，D．8．某程序框图如图所示，其中g（n）＝，若输出的S＝，则判断框内可以填入的条件为（）A．n＜2020？B．n≤2020？C．n＞2020？D．n≥2020？9．已知平面向量、为三个单位向量，且．满足（x，y∈R），则x+y的最大值为（）A．1 B．C．D．210．若曲线f（x）＝（ax﹣1）e x﹣2在点（2，f（2））处的切线过点（3，3），则函数f（x）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）11．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB 上的一个动点，过点M作平面α∥平面PAD，截棱锥所得图形面积为y，若平面α与平面PAD之间的距离为x，则函数y＝f（x）的图象是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+m﹣1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）∪（2，+∞）B．（1﹣，+∞）C．（1﹣，1）D．（1，e）二、填空题（每小题5分，共20分）13．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是．14．已知向量，若向量与向量夹角为钝角，则λ的取值集合为．15．若函数，则y＝f（x）图象上关于原点O对称的点共有对．16．设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知c2＝3（a2﹣b2），且tan C＝3，则角B为．三、解答题（共70分.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题（共60分）17．在数列{a n}中，已知．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足c n＝a n+b n，求{c n}的前n项和S n．18．已知函数f（x）＝cos x（a sin x﹣cos x）+cos2（），且f（﹣）＝f（0）．（1）求函数y＝f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在[]上的最大值和最小值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD＝2AB＝2PA＝2，E、F分别为PC、CD的中点．（1）试证：CD⊥平面BEF；（2）求BC与平面BEF所成角的大小；（3）求三棱锥P﹣DBE的体积．20．已知动点M到定点F（1，0）的距离比M到定直线x＝﹣2的距离小1．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N．设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△FPQ面积的最小值．21．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）＝e x﹣x﹣e2+2，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，以极点O为坐标原点，极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系xOy（Ⅰ）求C1和C2的参数方程（Ⅱ）已知射线l1：θ＝α（0），将l1逆时针旋转得到l2；θ＝，且l1与C1交于O，P两点，l2与C2交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|取得最大值时点P的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣4|．（1）解不等式f（x）≤6；（2）若不等式f（x）+|x﹣4|＜a2﹣8a有解，求实数a的取值范围．2019-2020学年四川省南充高中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分，总分60分）1．已知集合，则A∩B＝（）A．[1，2] B．[0，2] C．（﹣∞，1] D．[2，+∞）【解答】解：∵A＝{y|y≥1}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝[1，2]．故选：A．2．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》我国古典小说四大名著若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意，任取2种名著进行阅读，包含的基本事件个数为＝6个，而取到红楼梦包含＝3个基本事件，所以取到《红楼梦》的概率为P＝＝，故选：B．3．使复数z为实数的充分而不必要条件为（）A．z2为实数B．z+为实数C．z＝D．|z|＝z【解答】解：设复数z＝a+bi（i是虚数单位），则复数z为实数的充分必要条件为b＝0由此可看出：对于A，z2为实数，可能z＝i是纯虚数，没有充分性，故不符合题意；对于B，同样若z是纯虚数，则z+＝0为实数，没有充分性，故不符合题意；对于C，若z＝a+bi，＝a﹣bi，z＝等价于b＝0，故是充分必要条件，故不符合题意；对于D，若|z|＝z≥0，说明z是实数，反之若z是负实数，则|z|＝z不成立，符合题意．故选：D．4．已知样本数据x1，x2，……，x n的平均数是5，则新的样本数据2x1+5，2x2+5，……，2x n+5的平均数为（）A．5 B．7 C．10 D．15【解答】解：x1+x2+…+x n＝5n，2x1+5+2x2+5+…+2x n+5＝2•（5n）+5n＝15n，所以新的样本数据2x1+5，2x2+5，2x n+5的平均数为15，故选：D．5．已知点P是圆C：（x﹣3﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝1上任意一点，则点P到直线x+y ＝1距离的最大值为（）A．B．2C．+1 D．+2【解答】解：圆C：（x﹣3﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝1的圆心（3+cosθ，sinθ），半径为1，点P是圆C：（x﹣3﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝1上任意一点，则圆心到直线x+y＝1距离为：＝≤，当且仅当sin（）＝1时点P到直线x+y＝1距离的最大值为：+2．故选：D．6．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f （x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．7．函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0，0＜φ＜）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是图象的最高点和最低点，其中M点横坐标为，O为坐标原点，且，则ω，φ的值分别是（）A．，B．π，C．2，D．【解答】解：根据题意知，，设N（x，﹣1），且，∴，解得x＝2，∴根据图象得，，解得．故选：A．8．某程序框图如图所示，其中g（n）＝，若输出的S＝，则判断框内可以填入的条件为（）A．n＜2020？B．n≤2020？C．n＞2020？D．n≥2020？【解答】解：由题得，则S＝g（1）+g（2）+g（3）+…g（n）＝＝，因为S＝，故n＝2019，由于判断框为否时输出，故n＜2020，故选：A．9．已知平面向量、为三个单位向量，且．满足（x，y∈R），则x+y的最大值为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：∵、为三个单位向量，且，将（x，y∈R）两边平方，得＝2+2+2xy，所以x2+y2＝1，∵（x+y）2＝x2+y2+2xy≤2（x2+y2）＝2，∴x+y≤，所以x+y最大值为．故选：B．10．若曲线f（x）＝（ax﹣1）e x﹣2在点（2，f（2））处的切线过点（3，3），则函数f（x）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）【解答】解：f（2）＝（2a﹣1）e2﹣2＝2a﹣1；f′（x）＝ae x﹣2+（ax﹣1）e x﹣2＝e x﹣2（ax+a﹣1）；则点（2，2a﹣1）处的切线斜率为f′（2）＝3a﹣1；∵切线过点（3，3）；∴，解得a＝1；∴f′（x）＝xe x﹣2；令f′（x）＝0，解得x＝0；∴当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）；故选：A．11．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB 上的一个动点，过点M作平面α∥平面PAD，截棱锥所得图形面积为y，若平面α与平面PAD之间的距离为x，则函数y＝f（x）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：过M作MN⊥平面ABCD，交AB于N，过N作NQ∥AD，交CD于Q，过Q作QH∥PD，交PC于H，连结MH，则平面MNQH是所求的平面α，∵过点M作平面α∥平面PAD，截棱锥所得图形面积为y，平面α与平面PAD之间的距离为x，∴，解得MN＝4﹣2x，＝＝，即，∴MH＝x，NQ＝2，∴函数y＝f（x）＝＝﹣x2+4，（0＜x＜2）．∴函数y＝f（x）的图象如下图．故选：D．12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+m﹣1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）∪（2，+∞）B．（1﹣，+∞）C．（1﹣，1）D．（1，e）【解答】解：由题意f′（x）＝．令f′（x）＝＜0，解得x＞1；令f′（x）＝＞0，解得x＜1；令f′（x）＝＝0，解得x＝1．∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，在x＝1处取极大值．f（x）大致图象如下：假设m＝2，令t＝f（x）．则t2+2t+1＝0．解得t＝﹣1，即f（x）＝﹣1．根据f（x）图象，很明显此时只有一个解，故m＝2不符合题意，由此排除B、D选项；假设m＝3，则t2+3t+2＝0，解得t1＝﹣2，t2＝﹣1．即f（x）＝﹣2，或f（x）＝﹣1．根据f（x）图象，很明显此时方程只有两个解，故m＝3不符合题意，由此排除A选项．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是4cm2．【解答】解：弧度是2的圆心角所对的弧长为4，所以圆的半径为：2，所以扇形的面积为：＝4cm2；故答案为4cm2．14．已知向量，若向量与向量夹角为钝角，则λ的取值集合为（﹣，）∪（，+∞）．【解答】解：∵向量，若向量与向量夹角为钝角，∴＝﹣2λ﹣3＜0，且与不共线，即λ＞﹣且≠，即λ＞﹣且λ≠，故答案为：（﹣，）∪（，+∞）．15．若函数，则y＝f（x）图象上关于原点O对称的点共有4 对．【解答】解：y＝f（x）图象上关于原点O对称的点的个数只需观察f（x）＝|lg（x﹣1）|（x＞1）的图象与f（x）＝sin x关于原点对称的函数的图象交点个数即可，上图可知：两个图象交点个数为4个，故答案为：4．16．设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知c2＝3（a2﹣b2），且tan C＝3，则角B为．【解答】解：△ABC中，c2＝3（a2﹣b2），得a2﹣b2＝，且b＜a，所以B为锐角；因为cos B＝＝＝＝，即3sin A cos B＝2sin C＝2sin（A+B），整理得sin A cos B＝2cos A sin B，则有tan A＝2tan B；又tan C＝3，所以tan[π﹣（A+B）]＝﹣tan（A+B）＝＝＝3，化简得2tan2B﹣tan B﹣1＝0，解得tan B＝1或tan B＝﹣（不合题意，舍去）；又B为锐角，所以角B＝．故答案为：．三、解答题（共70分.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题（共60分）17．在数列{a n}中，已知．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足c n＝a n+b n，求{c n}的前n项和S n．【解答】解：（1），所以数列{a n}是首项为，公比为的等比数列，则．因为﹣2，所以b n＝3n﹣2．（2）由（1）知，，b n＝3n﹣2，所以．所以，＝，＝．18．已知函数f（x）＝cos x（a sin x﹣cos x）+cos2（），且f（﹣）＝f（0）．（1）求函数y＝f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在[]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）f（x）＝cos x（a sin x﹣cos x）+cos2（）＝a sin x cos x﹣．∵f（﹣）＝f（0），∴a＝2．则f（x）＝．则T＝π；（2）∵x∈[]，∴2x﹣∈[]，则sin（2x﹣）∈[﹣]，f（x）∈[﹣1，2]．则当x＝时，f（x）min＝﹣1，当x＝时，f（x）max＝2．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD＝2AB＝2PA＝2，E、F分别为PC、CD的中点．（1）试证：CD⊥平面BEF；（2）求BC与平面BEF所成角的大小；（3）求三棱锥P﹣DBE的体积．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，CD＝2AB，F为CD的中点，∴四边形ABFD为平行四边形，又∠DAB为直角，∴DC⊥BF，又PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，∵DC⊥AD，故DC⊥平面PAD，∴DC⊥PD，在△PCD内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，∴DC⊥EF．由此得DC⊥平面BEF；（2）解：由（1）知，DC⊥平面BEF，则∠CBF为BC与平面BEF所成角，在Rt△BFC中，BF＝AD＝2，CF＝，∴tan，则BC与平面BEF所成角的大小为；（3）解：由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，在Rt△PAD中，设A到PD的距离为h，则PA•AD＝PD•h，得h＝，∴A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC的距离为，，∴V P﹣DBE＝V B﹣PDE＝＝．20．已知动点M到定点F（1，0）的距离比M到定直线x＝﹣2的距离小1．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N．设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△FPQ面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：动点M到定点F（1，0）的距离等于M到定直线x＝﹣1的距离，根据抛物线的定义可知，点M的轨迹C是抛物线．…∵p＝2，∴点M的轨迹C的方程：y2＝4x．…证明：（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点P的坐标为（，）．由题意可设直线l1的方程为y＝k（x﹣1），（k≠0），由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0．△＝（2k2+4）2﹣4k4＝16k2+16＞0．…∵直线l1与曲线C于A，B两点，∴，．∴点P的坐标为（1+，）．…由题知，直线l2的斜率为﹣，同理可得点Q的坐标为（1+2k2，﹣2k）．…当k≠±1时，有1+≠1+2k2，此时直线PQ的斜率k PQ＝＝．…∴直线PQ的方程为y+2k＝（x﹣1﹣2k2），整理得yk2+（x﹣3）k﹣y＝0．于是，直线PQ恒过定点E（3，0），当k＝±1时，直线PQ的方程为x＝3，也过点E（3，0）．综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）．…解：（Ⅲ）由题意得|EF|＝2，∴△FPQ的面积S+≥4．当且仅当k＝±1时，“＝”成立，∴△FPQ面积的最小值为4．…21．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）＝e x﹣x﹣e2+2，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）．①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．②当时，，在区间（0，2）和上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是．③当时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．④当时，，在区间和（2，+∞）上，f'（x）＞0；区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是．（Ⅱ）设g'（x）＝e x﹣1，x∈（0，2]，g'（x）＞0，g（x）为增函数，由已知，g（x2）max＝g（2）＝0．f（x）max＜0由（I）可知，①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，故f（x）max＝f（2）＝2a﹣2（2a+1）+2ln2＝﹣2a﹣2+2ln2，所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故．②当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故．由可知，a＞，所以a＞，综上a＞ln2﹣1．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，以极点O为坐标原点，极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系xOy（Ⅰ）求C1和C2的参数方程（Ⅱ）已知射线l1：θ＝α（0），将l1逆时针旋转得到l2；θ＝，且l1与C1交于O，P两点，l2与C2交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|取得最大值时点P的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）在直角坐标系中，曲线C1的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4所以C1参数方程为为参数）．…曲线C2的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4．所以C2参数方程为为参数）…（Ⅱ）设点P极坐标为（ρ1，α），即ρ1＝4cosα，点Q极坐标为，即．…则＝＝…∵，当时|OP|•|OQ|取最大值，此时P点的极坐标为．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣4|．（1）解不等式f（x）≤6；（2）若不等式f（x）+|x﹣4|＜a2﹣8a有解，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由已知得当时，不等式f（x）≤6化为﹣3x+3≤6，解得x≥﹣1，所以取；当时，不等式f（x）≤6化为x+5≤6，解得x≤1，所以取；当x＞4时，不等式f（x）≤6化为3x﹣3≤6，解得x≤3，不合题意，舍去；综上知，不等式f（x）≤6的解集为[﹣1，1]．（2）由题意知，f（x）+|x﹣4|＝|2x+1|+|2x﹣8|≥|（2x+1）﹣（2x﹣8）|＝9，当且仅当﹣≤x≤4时取等号；由不等式f（x）+|x﹣4|＜a2﹣8a有解，则a2﹣8a＞9，即（a﹣9）（a+1）＞0，解得a＜﹣1或a＞9；所以a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．。

四川省南充高级中学2020届高三数学4月检测考试试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，若，则（）A. B. C. D. 不能确定【答案】B【解析】由题意可得：，则：，， .本题选择B选项.2. 已知，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C本题选择C选项.3. 已知公差不为0的等差数列满足、、成等比数列，为数列的前项和，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设等差数列的公差为，首项为，所以，．因为成等比数列，所以，解得：．所以，故选A.考点：等差数列的性质；等比数列的性质.4. 甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则又多少种坐法（）A. 10B. 16C. 20D. 24【答案】C考点：排列组合.5. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为（）A. 1.2B. 1.6C. 1.8D. 2.4【答案】B【解析】由题意可知，该几何体左侧是一个圆柱体，右侧是一个长方体，这两个几何体组成一个组合体，其体积：，解得： .本题选择B选项.6. 过椭圆（）的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题设,则,所以由勾股定理可得,故该椭圆的离心率是,应选D．考点：椭圆的几何性质与运算.7. 如图是求样本，，…，平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（）A. B. C. D.【答案】D8. 函数与的图象关于直线对称，则可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：结合下图可得当时，，故A成立．考点：三角函数的图象与性质．9. 已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则下列结论正确的是（）A. B.C. 是奇函数D. 的单调递增区间是（）【答案】D10. 已知实数，满足若目标函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，依题意可知，目标函数在点取得最大值，在点取得最小值.由图可知，当时，，当时，，故取值范围是.考点：线性规划.11. 过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的最小值为（）A. 10B. 13C. 16D. 19【答案】B考点：双曲线的定义与圆切线的性质.12. 已知函数存在单调递减区间，且的图象在处的切线与曲线相切，符合情况的切线（）A. 有3条B. 有2条C. 有1条D. 不存在【答案】D考点：导数与切线.【思路点晴】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考察直线方程的运用和构造函数法，以及函数方程的转化思想的运用.求出的导数，由题意可知在上有解.讨论可得成立，求得切线方程，再假设切线与曲线相切，设出切点，利用切线的斜率相等构建方程，利用图象判断出切点不存在.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为__________．【答案】【解析】由题意可得：当时，，取可得的最小值为.14. ，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，，则__________．【答案】【解析】椭圆中a=6，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=12，,可得B为AF1的中点，,可得C为AF2的中点，由中位线定理可得|OB|= |AF2|，|OC|= |AF1|，即有= (|AF1|+|AF2|)=a=6.点睛：一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决．椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．15. 过球表面上一点引三条长度相等的弦、、，且两两夹角都为，若球半径为，则弦的长度为__________．【答案】点睛：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．16. 已知动点满足：则的最小值为__________．【答案】点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)利用正弦定理将所给的等式化解为三角函数式，求得，∴．(2)化简三角函数式，又，∴．（Ⅱ），又，∴，∴，即．18. 某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布表中，的值，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在内的人数，求的分布列及数学期望．【答案】（1）见解析（2）（Ⅱ）∵各层之间的比为，且共抽取20人，∴年龄在内抽取的人数为7人．可取0，1,2，，，，故的分布列为：故．点睛：解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的联系．这些数据中，比较明显的有组距、，间接的有频率、小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等量关系：小长方形面积＝组距×＝频率，小长方形面积之和等于1，即频率之和等于1，就可以解决直方图的有关问题．19. 如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，是的中点．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：分别为轴、轴、轴正向，建立空间直角坐标系，则．20. 已知抛物线：（），过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于、两点，且．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）已知动圆的圆心在抛物线上，且过定点，若动圆与轴交于、两点，且，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由抛物线焦点弦公式有，再利用直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理得，即得，（2）先设动圆圆心，则得圆方程，再令，得、两点横坐标：，，代入得，利用基本不等式求最值，可得的最小值.试题解析：解：（Ⅰ）设抛物线的焦点为，则直线：，由得，∴，，∴，∴，∴抛物线的方程为．点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.21. 设函数（，且），（其中为的导函数）.（Ⅰ）当时，求的极大值点；（Ⅱ）讨论的零点个数.【答案】（1）的极大值点为．（2）见解析【解析】试题分析：(1)由题意可得，由导函数讨论函数的单调性可得的极大值点为．(2)分类讨论可得：当或时，有一个零点；当或时，有2个零点；当或时，有3个零点．试题解析：解：（Ⅰ），，解得．当时，；当时，，故的极大值点为．（Ⅱ）（1）先考虑时，的零点个数，当时，为单调减函数，，，由零点存在性定理知有一个零点．当时，由，得，即，即，令，则．由，得，当时，；当时，，故，，且总成立，故的图象如图，由数形结合知，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的参数方程（为参数）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆的极坐标方程；（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线：与圆的交点为、，与直线的交点为，求线段的长．【答案】（1）（2）2考点：考点：参数方程，普通方程，与极坐标方程互化，极坐标方程的应用.23. 选修4-5：不等式选讲已知，，，函数的最大值为10．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小值，并求出此时，，的值．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：(1)由不等式的性质可知：的最大值为，结合题意，则．(2)利用柯西不等式可得当且仅当，即，，时，的最小值为.试题解析：解：（Ⅰ）∵，当且仅当时等号成立，。

四川省南充高级中学2020届高三数学4月检测考试试题 文（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}2,3,4,5,6,7U =，集合{}4,5,7A =，{}4,6B =，则()U A B =I ð（ ） A ．{}5 B ．{}2C ．{}2,5D ．{}5,7【答案】D 【解析】,选D.2.复数z 与复数(2)i i -互为共轭复数（其中为虚数单位），则z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．12i -+ D ．12i --【答案】A 【解析】。

选A 。

3.下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠”B ．命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题为真命题C ．命题“x R ∃∈，使得2210x -<”的否定是“x R ∀∈，均有2210x -<” D ．“若0x y +=，则x ，y 互为相反数”的逆命题为真命题 【答案】D4.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足1a 、3a 、4a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为（ ）A ．2-B ．3-C ．2D ．【答案】C 【解析】所以 ，选C.5.以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为（ ） A ．22B ．C ．2D ．2【答案】B考点：椭圆，双曲线的标准方程及其性质．6.如图是秦九昭算法的一个程序框图，则输出的S 为（ ）A ．1030020(())a x a x a a x +++的值B ．3020100(())a x a x a a x +++的值C ．0010230(())a x a x a a x +++的值D ．2000310(())a x a x a a x +++的值【答案】C【解析】试题分析：第①次执行循环体得；第②次执行循环体得；第③次执行循环体得，由于条件不成立，所在输出.故选C. 考点：1.秦九韶算法；2.程序框图.7.设1F ，2F 是双曲线22124y x -=的焦点，P 是双曲线上的一点，且123||4||PF PF =，12PF F ∆的面积等于（ ） A ．42 B ．83C ．24D ．48【答案】D8.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的侧面积等于（ ）A ．212cm π B ．215cm πC ．224cm πD ．230cm π【答案】C【解析】解：由三视图可得该几何体为圆锥，且底面直径为6，即底面半径为r=3，圆锥的母线长l=5 则圆锥的底面积S 底面=π•r 2=9π 侧面积S 侧面=π•r•l=15π故几何体的表面积S=9π+15π=24πcm2， 故答案为：24πcm29.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的图象的相邻两对称中心的距离为π，且()()2f x f x π+=-，则函数()4y f x π=-是（ ） A ．奇函数且在0x =处取得最小值 B ．偶函数且在0x =处取得最小值 C ．奇函数且在0x =处取得最大值 D ．偶函数且在0x =处取得最大值【答案】D10.已知函数22016()2016log (1)20162x x f x x x -=+++-+，则关于x 的不等式(31)()4f x f x ++>的解集为（ ）A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．1(,)4-+∞D ．1(,)4-∞-【答案】C【解析】因为 ，所以，即函数为奇函数，又 为上增函数，所以为上增函数，因此，选C.点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内；11.已知函数()21xf x x =++，2()log 1g x x x =++，2()log 1h x x =-的零点依次为a ，b ，，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】A 【解析】因为，且 为单调增函数，所以 零点在区间内；因为 ，且 为单调增函数，所以 零点在区间内；而 零点为2，所以，选A.12.已知函数()f x 在定义域R 上的导函数为'()f x ，若方程'()0f x =无解，且()20172017xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，当()sin cosg x x x kx =--在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上与()f x 在R 上的单调性相同时，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞- B ．(,2]-∞C ．1,2⎡⎤-⎣⎦D ．[2,)+∞【答案】A点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知(cos ,sin )22x xm =u r ，(3,1)n =-r ，则||m n -u r r 的最大值是 ．【答案】3 【解析】，所以的最大值是3.14.设函数()f x 的导函数3'()32f x x x =-+，则()f x 的极值点是 ．【答案】【解析】，由于在附近导函数符号不变，所以不是极值点；由于在 附近导函数符号由负变正，所以是极值点.即的极值点是15.过定点(2,1)P -作动圆C ：222220x y ay a +-+-=的一条切线，切点为T ，则线段PT 长的最小值是 ．【答案】【解析】因为圆的圆心坐标和半径分别为，则，切线长，故当时，，应填答案。

南充高中2020届高三4月月考理科综合能力测试可能用到的相对原子量：H 1 Li 7 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 P 31 Cl 35.5 Fe 56第Ⅰ卷（选择题，共126分）一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在细胞生命历程中，会出现生长、分裂等现象，下列有关说法不正确的是A．细胞生长，细胞体积变大，细胞与外界进行物质交换的效率越低B．细胞通过有丝分裂，可将亲代细胞的DNA复制后平均精确的分配到子细胞C．细胞分化与细胞衰老都可引起细胞内线粒体数量发生变化D．细胞的自然更新、被病原体感染的细胞的清除均是通过细胞凋亡完成的2．下来有关实验的说法正确的是A．孟德尔在豌豆杂交实验中提出显性性状由显性基因控制B．低倍镜观察人体口腔上皮细胞中DNA与RNA分布时，应选择染色均匀、色泽深的区域C．在同一分生组织中可以看到处于不同分裂时期的细胞，是由于各个细胞分裂是独立的D．洋葱根尖分生区细胞分裂过程中，着丝点的分裂和中心体的复制分别发生在后期和间期3．下列有关细胞结构与功能的叙述正确的是A．植物贮藏细胞没有叶绿体，也没有角质层，但有较大的单层膜结构的液泡B．在水稻表皮细胞中，核膜、细胞膜、叶绿体等细胞器膜共同构成该细胞的生物膜系统C．口腔上皮细胞有丝分裂中期时，细胞核与细胞质通过核孔进行频繁的物质交换D．烟草花叶病毒在其核糖体上合成蛋白质时所需氨基酸由烟草细胞提供4．下列与人体生命活动调节有关的叙述中正确的是A．大脑皮层受损的患者，缩手反射不能完成B．当人体出现低血糖症状可通过口服胰高血糖素来有效缓解该症状C．当人看到樱桃时唾液分泌会大量增加，这是樱桃色泽直接刺激神经中枢引起唾液分泌的D．人体内环境渗透压升高可引起垂体释放更多抗利尿激素5．下列有关人体免疫的叙述正确的是A．唾液中的溶菌酶杀死病原菌属于人体免疫防线中第一道防线B．浆细胞产生的抗体可以进入细胞消灭在其中的麻风杆菌C．新冠肺炎康复者比从未感染新冠人群更容易患新冠肺炎D．与人体免疫相关的淋巴细胞包括B细胞、T细胞和吞噬细胞6．下列关于种群、群落、生态系统是叙述正确的是A．只要生态系统中生物数量越多，生态系统的自我调节能力就越强B．枫树林中不同高度的黑嘴喜鹊巢反应了动物群落的垂直结构C．样方法适宜调查草地中某单子叶植物的种群密度D．在光裸的岩石上和弃耕农田里，群落演替到相对稳定的森林阶段所需时间前者比后者长7．化学与生产、生活、社会密切相关。

2020年春四川省棠湖中学高三第四学月考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题★答案★后，用铅笔把答题卡对应题目的★答案★标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它★答案★标号.回答非选择题时，将★答案★写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}11A x x =-<，{}210B x x =-<，则A B =（ ）A. ()1,1-B. ()1,2-C. ()1,2D. ()0,1【★答案★】B 【解析】由2{|11},{|10}A x x B x x =-<=-<得：{}02A x x =<<，{}11B x x =-<<， 则()1,2A B ⋃=-，故选B. 2.若1122aii i+=++，则复数a =（ ） A. 5i -- B. 5i -+C. 5i -D. 5i +【★答案★】D 【解析】解：由题意可知：()()()12125ai i i i +=++= ， 则515i a i i-==+ . 本题选择D 选项.3.已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 1-B. 2C. 7D. 8【★答案★】C【解析】 【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值.【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示：当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.故选：C.【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.4.“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【★答案★】A 【解析】 【分析】设直线30ax y +-=的倾斜角为θ，则tan a θ=-， 由“1a <-”，可得4πθ>，再举特例34πθ=，可得由“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π” 不能得到“1a <-”，即可得解.【详解】解：设直线30ax y +-=的倾斜角为θ，则tan a θ=-，若“1a <-”，则tan 1a θ=->，即4πθ>，即由“1a <-”能推出“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”， 若“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”，不妨令34πθ=，则3tan14a π=-=，则不能得到“1a <-”， 即“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”的充分而不必要条件， 故选A.【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角、充分必要条件，重点考查了逻辑推理能力，属基础题. 5.如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A. 5.45B. 4.55C. 4.2D. 5.8【★答案★】B 【解析】如图，已知10AC AB +=，3BC =，2229AB AC BC -== ∴()()9AB AC AB AC +-=，解得0.9AB AC -= ， ∴100.9AB AC AB AC +=⎧⎨-=⎩，解得 5.454.55AB AC =⎧⎨=⎩ .∴折断后的竹干高为4.55尺 故选B.6.在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有( )A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种【★答案★】C 【解析】 【分析】根据题意，分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数，由分步计数原理计算可得★答案★．【详解】解：根据题意，从6名男干部中选出2名男干部，有2615C =种取法，从5名女干部中选出1名女干部，有155C =种取法，则有15575⨯=种不同的选法； 故选：C ．【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理问题，属于基础题．7.已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若//m α，//n α，则//m n B. 若//m α，n ⊂α，则//m n C .若m n ⊥，m α⊥，则//n α D. 若m α⊥，//n α，则m n ⊥【★答案★】D 【解析】 【分析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断. 【详解】解：选项A 中直线m ，n 还可能相交或异面， 选项B 中m ，n 还可能异面， 选项C ，由条件可得//n α或n ⊂α． 故选：D.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.8.函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（ ）A. ()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()13sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()3sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. ()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【★答案★】B 【解析】 【分析】由图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，通过图象经过点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭，求出ϕ，从而得出函数解析式.【详解】解：由图象知3A =，534422T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，则2142ωπ==π， 图中的点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭应对应正弦曲线中的点(,0)π， 所以1322πϕπ⨯+=，解得4πϕ=，故函数表达式为()13sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题. 9.已知sin()cos()66ππαα+=-，则cos2=α( )A. 1B.12C. 0D. 1-【★答案★】C 【解析】利用两角和的正弦公式与两角差的余弦公式化简等式可得tan 1α=，利用二倍角的余弦公式以及同角三角函数的关系可得结果. 【详解】由sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 可得1331cos cos 2222sin sin αααα+=+ 3131cos tan 12222sin ααα⎛⎫⎛⎫=-=-⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 222222cos sin 1tan cos 20cos sin 1tan ααααααα--===++，故选C. 【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 10.已知2a b ==，2a b ⋅=-．若1c a b --=，则||c 的取值范围是（ ）A. 13[]22，B. 15[]22，C. [23]，D. [13]，【★答案★】D 【解析】 【分析】先由题意，求出2a b +=，再由向量的几何意义，可得11-≤-+≤c a b ，进而可求出结果. 【详解】因为2a b ==，2a b ⋅=-，所以22224444+=++⋅=+-=a b a b a b ， 即2a b +=，当c 与a b +同向时，()-+c a b 最小；当 c 与a b +反向时，--c a b 最大， 又1c a b --=，所以11-≤-+≤c a b ，即13≤≤c【点睛】本题主要考查求向量的模的范围，熟记向量的数量积运算，以及向量的几何意义即可，属于常考题型.11.正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A. 4π B. 16πC.163πD.323π【★答案★】D 【解析】 【分析】由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积． 【详解】如图，正三棱锥A BCD -中，M 是底面BCD ∆的中心，则AM 是正棱锥的高，ABM ∠是侧棱与底面所成的角，即ABM ∠＝60°，由底面边长为3得233332BM =⨯=， ∴tan 60333AM BM =︒=⨯=．正三棱锥A BCD -外接球球心O 必在AM 上，设球半径为R ，则由222BO OM BM =+得222(3)(3)R R =-+，解得2R =， ∴3344322333V R πππ==⨯=． 故选：D ．【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键． 12.若关于x 的不等式ln 10x x kx k -++>在()1,+∞内恒成立，则满足条件的整数k 的最大值为（） A. 0B. 1C. 2D. 3【★答案★】C 【解析】根据题意即可得出函数(1)y xlnx x =>的图象恒在直线(1)1y k x =--的上方，当直线(1)1y k x =--与函数(1)y xlnx x =>相切时，可设切点为0(x ，0)y ，从而可以得出()000000111y x lnx y k x lnx k =⎧⎪=--⎨⎪+=⎩①②③，联立三式即可得出01k x =-，根据01x >即可得出0k >，再根据③即可得出1k >，从而得出整数k 的最大值为2．【详解】关于x 的不等式10xlnx kx k -++>在(1,)+∞内恒成立， 即关于x 的不等式(1)1xlnx k x >--在(1,)+∞内恒成立， 即函数(1)y xlnx x =>的图象恒在直线(1)1y k x =--的上方．当直线(1)1y k x =--与函数(1)y xlnx x =>相切时，设切点为0(x ，0)y ，则()000000111y x lnx y k x lnx k =⎧⎪=--⎨⎪+=⎩①②③，由①②得，000(1)1x lnx k x =--，把③代入得00(1)(1)1x k k x -=--，化简得01x k =+．由01x >得，0k >． 又由③得011k lnx =+>．即相切时整数2k ．因此函数(1)y xlnx x =>的图象恒在直线(1)1y k x =--的上方时，整数k 的最大值为2． 故选C ．【点睛】本题主要考查基本初等函数的求导公式，积的导数的求导公式，考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第II 卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.求值：331log 15log 252-=_________．【★答案★】1 【解析】 【分析】根据对数运算,化简即可得解. 【详解】由对数运算,化简可得331log 15log 252-1233=log 15log 25- 33=log 15log 5-3=log 3=1故★答案★为:1【点睛】本题考查了对数的基本运算,属于基础题.14.若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且37S =，663S =，则9S =____． 【★答案★】511 【解析】由等比数列的性质可得：()()263396S S S S S -=- ，即：()()2697763S S -=⨯- ，解得：9511S = .15.已知多项式54(1)(12)ax x +-的各项系数之和为32，则展开式中含x 项的系数为______．【★答案★】3- 【解析】 【分析】令1x =可得各项系数和为54(1)(12)32a +-=，得出1a =,根据第一个因式展开式的常数项与第二个因式的展开式含x 一次项的积与第一个因式展开式含x 的一次项与第二个因式常数项的积的和即为展开式中含x 项，可得解. 【详解】令1x =，则得54(1)(12)32a +-=， 解得1a =，所以54(1)(12)x x +-展开式中含x 项为：11451(2)()1853C x C x x x x ⨯-+⨯=-+=-，故★答案★为：3-【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数和，二项展开式特定项，赋值法，属于中档题. 16.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且F 到准线l 的距离为2，直线1l ：50x my --=与抛物线C 交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方），与准线l 交于点R ，若||3QF =，则QRF PRFS S ∆∆=________.【★答案★】67【解析】 【分析】由F 到准线l 的距离为2，可求出2p =，抛物线C ：24y x =，(1,0)F ，再利用||3QF =，Q 点的坐标，即可求出直线1l ，联立直线1l 与抛物线则可求出P 点的坐标，再利用=QRF PRFS QR QFS PR PF∆∆=，即可得出★答案★．【详解】因为F 到准线l 的距离为2，所以2p =，抛物线C ：24y x =，(1,0)F .设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，因为||3QF =，即22+1=3=2x x ⇒ 所以222y =-，代入直线1l ：522+225022m m --=⇒=所以直线1l 为：525022x y ---= 由2252502(25)450224x y y y y x ⎧---=⎪⇒---=⎨⎪=⎩所以1245y y =- ，所以124510y y -==，152x = ，所以2167121==5112QRFPRFS QR QF x S PRPFx ∆∆++===++故填：67【点睛】本题考查抛物线的定义及几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力、方程思想，属于中档题．三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.在ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，sin 2sin C B =.（1）求BDCD； （2）若1AD AC ==，求BC 的长． 【★答案★】（1）2；（2）322. 【解析】 【分析】（1）在ABD ∆和ACD ∆中运用正弦定理，进行求解即可．（2）由sin 2sin C B =，利用正弦定理可得22AB AC ==，利用余弦定理求出cos ,cos BAD CAD ∠∠，结合BAD CAD ∠=∠，建立方程进行求解即可．【详解】解：（1）由正弦定理可得在ABD ∆中，sin sin AD BDB BAD=∠， 在ACD ∆中，sin sin AD CDC CAD=∠， 又因为BAD CAD ∠=∠，sin 2sin BD CCD B==. （2）sin 2sin C B =，由正弦定理得22AB AC ==， 设DC x =，则2BD x =，则222254cos cos 24AB AD BD x BAD CAD AB AD +--∠==∠⋅，2222222AC AD CD x AC AD +--==⋅. 因为BAD CAD ∠=∠，所以2254242x x --=，解得22x =. 3232BC x ==. 【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理建立方程是解决本题的关键． 18.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下：等级 不合格 合格得分 [20,40][40,60][60,80][80,100]频数 6a24b（1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；（2）其他条件不变在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率； （3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的数学期望()E ξ. 【★答案★】（1）64，65；（2）2335；（3）()12E ξ=. 【解析】 【分析】（1）先求出,,a b c 的值，再利用频率分布直方图平均数和中位数的公式求解；（2）“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件A ，“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件B ，再利用条件概率求解；（3）由题意可得ξ的所有可能取值为0，5，10，15，20，再求出其对应的概率，即得ξ的分布列和数学期望()E ξ.【详解】由题意知，样本容量为6600.00520=⨯，60(0.0120)12b =⨯⨯=，606122418a =---=，180.0156020c ==⨯.（1）平均数为(300.005500.015700.02900.01)2064⨯+⨯+⨯+⨯⨯=， 设中位数为x ，因为0.005200.01520⨯+⨯=0.40.5<，0.005200.015200.02200.80.5⨯+⨯+⨯=>， 所以(60,80)x ∈，则0.005200.01520(60)0.020.5x ⨯+⨯+-⨯=， 解得65x =.（2）由题意可知，分数在[60,80)内的学生有24人，分数在[80,100]内的学生有12人.设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件A ，“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件B ， 则242()363P A ==，242346()3635105P AB ⨯==⨯，所以()23(|)()35P AB P B A P A ==.（3）在评定等级为“合格”和“不合格”的学生中用分层抽样的方法抽取10人，则“不合格”的学生人数为2410460⨯=，“合格”的学生人数为1046-=.由题意可得ξ的所有可能取值为0，5，10，15，20444101(0)210CPCξ===，314641024(5)210C CPCξ===，224641090(10)210C CPCξ===，134641080(15)210C CPCξ===，4641015(20)210CPCξ===.所以ξ的分布列为ξ0 5 10 15 20P12102421090210802101521024908015()0510152012210210210210Eξ=+⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查频率分布直方图计算平均数和中位数，考查条件概率的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.如图，矩形ABCD中，4AB=，2AD=，E在DC边上，且1DE=，将ADE沿AE折到AD E'的位置，使得平面AD E'⊥平面ABCE.（Ⅰ）求证：AE BD'⊥；（Ⅱ）求二面角D AB E'--的余弦值.【★答案★】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）42121.【解析】试题分析：（I）连接BD交AE于点O，根据对应边成比例可证得两个直角三角形,ABD DAE相似，由此证得AE BD⊥，而OD AE'⊥，故AE⊥平面OBD'，所以AE BD⊥'.（II）由（I）知OD'⊥平面ABCE，以O为原点联立空间直角坐标系，利用平面D AB'和平面ABE的方向量，计算两个半平面所成角的余弦值. 试题解析：（Ⅰ）连接BD 交AE 于点O ，依题意得2AB ADDA DE==，所以Rt ABD ~ Rt DAE ， 所以DAE ABD ∠=∠，所以90AOD ∠=︒，所以AE BD ⊥，即OB AE ⊥，OD AE '⊥，又OB OD O ⋂'=，OB ,D '⊂平面OBD '. 所以AE ⊥平面OBD '.又1BD ⊂平面OBD '，所以AE BD ⊥'. （Ⅱ）因为平面AD E '⊥平面ABCE ， 由（Ⅰ）知，OD '⊥平面ABCE ，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示. 在Rt AD E '中，易得25OD '=，45OA =，15OE =， 所以4,0,05A ⎛⎫⎪⎝⎭，80,,05B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,0,5D '⎛⎫ ⎪⎝⎭，则48,,055AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，820,,55BD ⎛⎫=- ⎪⎝'⎭，设平面ABD '的法向量()1,,n x y z =，则110{0n AB n BD ='⋅=⋅，即4855{82055x y y z -+=-+=，解得2{4x y z y ==，令1y =，得()12,1,4n =，显然平面ABE 的一个法向量为()20,0,1n =. 所以121212cos ,n n n n n n ⋅〈〉=442121211==⨯，所以二面角D AB E '--的余弦值为42121.20.已知1,0A ，动点C 在B ：()2218x y ++=上运动.线段AC 的中垂线与BC 交于D .（1）求D 点的轨迹E 的方程；（2）设M 、N 、P 三点均在曲线E 上，且0OM ON OP ++=，（O 为原点），求MN 的范围.【★答案★】（1）2212x y +=；（2）3,6⎡⎤⎣⎦ 【解析】 【分析】（1）根据中垂线性质得到22BD DA BC +==，判断为椭圆，代入数据得到★答案★. （2）考虑斜率存在和不存在两种情况，设:MN y kx m =+，联立方程得到2412p mkx k=+，2212p m y k -=+，2122113112MN k x x k =+-=⋅++计算得到★答案★. 【详解】（1）()2222BD DA BD DC BC AB +=+==>D ∴点轨迹是以A 、B 为焦点椭圆.22a =，21c =，21b ∴=，2212x y ∴+=.（2）当MN 斜率存在时，设:MN y kx m =+2222x y y kx m⎧+=⎨=+⎩ ()222124220k xmkx m +++-=，令两根为1x ，2x .由0OM ON OP ++=.()122412p mk x x x k =-+=+，()()121222212p my y y k x x m k -=-+=-+-=+. 代入2212x y +=，()()222228411212m k m k k +=++，即22412m k =+. 故()()2228126120k mk ∆=+-=+>.2121MN k x x ∴=+-()22261112k k k +=+⋅+，221612k k+=⋅+，213112k=⋅++(3,6⎤∈⎦.当MN x ⊥轴时，易求3MN =，MN ∴范围是3,6⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题考查了轨迹方程，弦长范围，其中忽略掉斜率不存在的情况是容易犯的错误，意在考查学生的应用能力和计算能力. 21.已知函数2()ln 2a f x x ax x x x =-+-+，R a ∈． （1）讨论函数()f x 的导函数()g x 的单调性；（2）若函数()f x 在1x =处取得极大值，求a 的取值范围． 【★答案★】（1）见解析；（2）(1,)+∞ 【解析】 【分析】（1）先求出()11(0)axg x a x x x-'=-=>，再对a 分类讨论求出函数()g x 的单调性；（2）由题得()ln f x x ax a ='-+，再对a 分类讨论，根据函数在x=1处取得极大值，求出a 的取值范围. 【详解】（1）∵()ln f x x ax a ='-+，∴()ln g x x ax a =-+，∴()11(0)axg x a x x x-'=-=>， ①当0a 时，()0g x '>，∴函数()g x 在()0,+∞上单调递增； ②当0a >时，若10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0g x '>；若1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()0g x '<， ∴函数()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．综上所述，当0a 时．函数()g x 在()0,+∞上单调递增， 当0a >时，函数()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（2）∵()10g =，∴()10f '=．①由（1）知，当0a 时，()f x '在()0,+∞上单调递增，若()0,1x ∈，则()0f x '<；若()1,x ∈+∞，则()0f x '>，∴()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，∴()f x 在1x =处取得极小值；不合题意； ②当1a =时，()f x '在()0,1上单调递增，()f x '在()1,+∞上是单调递减，∴()()10f x f ''=， ∴()f x 在()0,+∞上单调递减．∴()f x 无极值，不合题意； ③当01a <<时，11a >，由（1）知，()f x '在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∵()10f '=， ∴若()0,1x ∈，则()0f x '<；若11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0f x '>， ∴()f x 在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1上单调递减，∴()f x 在1x =处取得极小值，不合题意； ④当1a >时，101a <<，由（1）知，()f x '在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，∵()10f '=， ∴若1,1x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则()0f x '>；若()1,x ∈+∞，则()0f x '<． ∴()f x 在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴()f x 在1x =处取得极大值，符合题意． 综上所述，a 的取值范围是()1,+∞．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为2241sin ρθ=+.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设P （0，-1），直线l 与C 的交点为M ，N ，线段MN 的中点为Q ，求OP OQ -.【★答案★】（1）1y x =-，22142x y +=；（2）223【解析】 【分析】（1）直线l 的参数方程为2221.2x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．将22x t =代入212y t =-+消去参数t 可得直线l 的普通方程．利用极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程．（2）将2221.2x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入2224x y +=得：2322202--=t t ，利用根与系数的关系及参数的意义可得-OP OQ ．【详解】（1）直线l 的参数方程为2221.2x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．消去参数t 可得直线l 的普通方程为1y x =-由2241sin ρθ=+，得222sin 4ρρθ+=，则有2224++=x y y ，即2224x y +=， 则曲线C 的直角坐标方程为22142x y +=（2）将l 的参数方程代入2224x y +=，得2322202--=t t ，设两根为1t ，2t 则1t ，2t 为M ，N 对应的参数，且12423+=t t 所以，线段MN 的中点为Q 对应的参数为122223+=t t ， 所以，223-==OP OQ PQ 【点睛】本题考查了直线的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了直线参数的几何意义的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． [选修4-5：不等式选讲]23.已知0a ≥，0b ≥，()2f x x a x b =++-； （1）若0a =，2b =，求()2f x ≤的解集. （2）若()f x 最小值为1，求+a b 最大值.【★答案★】（1）40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）3【解析】 【分析】（1）将函数()f x 化简为分段函数，分别解不等式得到★答案★. （2）将函数()f x 化简为分段函数，根据最小值得到22a b +=，变形()222212a ba b ⎛⎫+=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，利用柯西不等式解得★答案★. 【详解】（1）0a =，2b =时，()32,1222,0132,0x x f x x x x x x x -≥⎧⎪=+-=-≤<⎨⎪-+<⎩，解不等式：322,122,01322,0x x x x x x -≤≥⎧⎪-≤≤<⎨⎪-+≤<⎩解得★答案★为：40,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（2）()3,22,23,b x a b x b f x x a x b x a b a x x b a x a ⎧+-≥⎪⎪⎪=++-=-++-≤<⎨⎪-+-<-⎪⎪⎩当2bx =时，()min 2b f x a =+，22a b ∴+=. ()()22212121322a ba b a b ⎛⎫⎛⎫+=⋅+⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤.∴当22222a bab+=⎧⎪⎨=⎪⎩即1343ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时. +a b 最大值为3.【点睛】本题考查了绝对值不等式，最大值问题，将绝对值函数化简为分段函数时解题的关键.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

2020年春四川省泸县第一中学高三第四学月考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题★答案★后，用铅笔把答题卡对应题目的★答案★标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它★答案★标号.回答非选择题时，将★答案★写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|03}A x Z x =∈，{|(1)(2)0}B x x x =+-≤，则A B =（ ）A. {0,1,2}B. {1,2}C. {|02}x xD.{|13}x x -≤≤【★答案★】A 【解析】 【分析】化简集合,A B ，再进行交集运算，即可得★答案★； 【详解】{|03}{0,1,2,3}A x Z x =∈=，{|(1)(2)0}{|12}B x x x x x =+-≤=-≤≤，∴{0,1,2}A B ⋂=，故选：A.【点睛】本题考查集合的交运算和解不等式，考查运算求解能力，属于基础题. 2.若复数cos sin z i αα=+，则当2παπ<<时，复数z 在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【★答案★】B 【解析】 【分析】根据角的范围，结合复数的几何意义，即可判断出点的符号，进而得复数z 在复平面内对应的点所在象限.【详解】复数cos sin z i αα=+，在复平面内对应的点为()cos ,sin αα， 当2παπ<<时，cos 0,sin 0αα<>，所以对应点的坐标位于第二象限， 故选：B.【点睛】本题考查了复数的几何意义，三角函数符号的判断，属于基础题. 3.已知向量(1,2)a =，(4,1)b λ=-，且a b ⊥，则λ=（ ） A.12B.14C. 1D. 2【★答案★】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得λ的值.【详解】由于向量(1,2)a =，(4,1)b λ=-，且a b ⊥，所以()14210λ⨯+⨯-=解得λ=12. 故选：A【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.4.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[]110,120内； ③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A. 4B. 3C. 2D. 1【★答案★】C 【解析】 【分析】利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．【详解】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高130分，平均成绩为低于130分，①错误； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[]110,120内，②正确； ③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确； ④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确． 故选C ．【点睛】本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．5.当0a >时，函数()()2xf x x ax e =-的图象大致是（ ）A. B.C. D.【★答案★】B 【解析】由()0f x =，解得20x ax -=，即0x =或x a =，0,a >∴函数()f x 有两个零点，,A C ∴，不正确，设1a =，则()()()()22,'1xxf x x x e f x x x e =-∴=+-，由()()2'10xf x x x e =+->，解得152x -+>或152x --<，由()()2'10xf x x e =-<，解得：151522x ---+-<<，即1x =-是函数的一个极大值点，D ∴不成立，排除D ，故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.6.已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若m α，m β，n α，n β，则αβ∥ B. 若m n ，m α⊥，n β⊥，则αβ∥ C. 若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D. 若m n ⊥，m α，n β⊥，则αβ⊥ 【★答案★】B 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】A 选项，若m α，m β，n α，n β，则αβ∥或α与β相交；故A 错； B 选项，若m n ，m α⊥，则n α⊥，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβ∥，故B 正确；C 选项，若m n ⊥，m α⊂，则n ⊂α或n α或n 与α相交，又n β⊂，,αβ是两个不重合的平面，则αβ∥或α与β相交；故C 错；D 选项，若m n ⊥，m α，则n ⊂α或n α或n 与α相交，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβ∥或α与β相交；故D 错； 故选B【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ） A. 21 B. 22 C. 11 D. 12【★答案★】A 【解析】 【分析】由题意知24264,,S S S S S --成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6S 的值. 【详解】解：由{}n a 为等差数列，可知24264,,S S S S S --也成等差数列， 所以()422642S S S S S -=+- ，即()62103310S ⨯-=+-，解得621S =. 故选:A.【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.8.已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos2α等于（ ）A.19B. 79-C. 23-D.13【★答案★】B 【解析】 【分析】先由三角函数的定义求出sin α，再由二倍角公式可求cos2α.【详解】解：角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭1cos 3α=，2217cos 22cos 12139αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：B【点睛】考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题.9.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A. 48 B. 72 C. 90 D. 96【★答案★】D 【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有13C •34A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有44A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种故★答案★为96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．10.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >），以点P （,0b ）为圆心，a 为半径作圆P ，圆P与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若90MPN ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A. 2 B. 3C.52D.72【★答案★】A 【解析】 【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点，且90MPN ∠=︒，则可根据圆心到渐近线距离为22a 列出方程，求解离心率． 【详解】不妨设双曲线C 的一条渐近线0bx ay -=与圆P 交于,M N ，因为90MPN ∠=︒，所以圆心P 到0bx ay -=的距离为：222222b b a c a b==+， 即22222c a ac -=，因为1ce a=>，所以解得2e =． 故选A ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于,a c 的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.11.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）A .22B. 21-C. 2D. 1【★答案★】C【分析】连结并延长PO ，交对棱C 1D 1于R ，则R 为对棱的中点，取MN 的中点H ，则OH ⊥MN ，推导出OH ∥RQ ，且OH ＝12RQ ＝22，由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长． 【详解】如图，MN 为该直线被球面截在球内的线段连结并延长PO ，交对棱C 1D 1于R ，则R 为对棱的中点，取MN 的中点H ，则OH ⊥MN ， ∴OH ∥RQ ，且OH ＝12RQ ＝22， ∴MH ＝22OM OH -＝22212⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭＝22， ∴MN ＝22MH =．故选：C ．【点睛】本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，f b ，()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ）A. 11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B. 11,3e e ⎛⎫--⎪⎝⎭C. 11,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D. ()3,e -+∞【★答案★】D 【解析】【利用导数求得()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得h 的取值范围.【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()'111x f x x x-=-+=， 所以()f x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在()1,e 上递增，()f x 在1x =处取得极小值也即是最小值，()1ln111f h h =-++=+，1111ln 1f h h e e e e ⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭，()ln 1f e e e h e h =-++=-+，()1f f e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()1f e e h =-+.要使在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，f b ，()f c 为边长的三角形，则需()()()f a f b f c +>恒成立，且()10f >，也即()()()max min f a f b f c +>⎡⎤⎣⎦，也即当1a b ==、c e =时，()()21e f f >成立， 即()211h e h +>-+，且()10f >，解得3h e >-.所以h 的取值范围是()3,e -+∞.故选：D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数3()(21)3f x x t x =+-+的图象在点(1,(1))f --处的切线平行于x 轴，则t=________.【★答案★】1- 【解析】 【分析】求函数的导数，可得切线斜率，由切线平行x 轴，得到斜率为0，可得t 值. 【详解】()()2321,f x x t =+-' 可得函数在x=-1处的切线斜率为2+2t,由切线平行于x 轴，可得()1220,f t -=+='解得t=-1, 故★答案★为-1【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.14.已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若1cos 4B =-，6a =，ABC 的面积为315，则sin A 的值等于________. 【★答案★】31516【解析】 【分析】根据三角形的面积公式，求得4c =，利用余弦定理求得8b =，再根据正弦定理，即可求解sin A 的值，得到★答案★.【详解】在ABC ∆中，因为1cos 4B =-，所以22115sin 1cos 144B B ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭， 又由ABC ∆的面积为315，且6a =，所以1115sin 6315224S ac B c ==⨯⨯⨯=，解得4c =， 由余弦定理可得2222212cos 64264644b a c ac B ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得8b =， 又由正弦定理得615315,sin sin sin sin 8416a b a A B A B b ==⨯=⨯=. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．15.学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”； 丙说：“A ，D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“C 作品获得一等奖”． 若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______. 【★答案★】B【解析】 【分析】首先根据“学校艺术节对A B C D 、、、四件参赛作品只评一件一等奖”，故假设A B C D 、、、分别为一等奖，然后判断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性，即可得出结果． 【详解】若A 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意； 若B 为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意； 若C 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意； 若D 为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意； 综上所述，故B 获得一等奖．【点睛】本题属于信息题，可根据题目所给信息来找出解题所需要的条件并得出★答案★，在做本题的时候，可以采用依次假设A B C D 、、、为一等奖并通过是否满足题目条件来判断其是否正确． 16.若过点()2,0M 且斜率为3的直线与抛物线()2:0C y ax a =>的准线l 相交于点B ，与C 的一个交点为A ，若BM MA =，则a =____． 【★答案★】8 【解析】 【分析】由直线方程为3(2)y x =-与准线:al x 4=-得出点B 坐标，再由BM MA =可得，点M 为线段AB 的中点，由此求出点A 的坐标，代入抛物线方程得出a 的值. 【详解】解：抛物线()2:0C y ax a =>的准线方程为:a l x 4=-过点()2,0M 且斜率为3的直线方程为3(2)y x =-，联立方程组3(2)4y x a x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得，交点B 坐标为()(,)a 3a 844-+-， 设A 点坐标为00(,)x y ， 因为BM MA =，所以点M 为线段AB 的中点，所以00()4423(8)402a x a y ⎧+-⎪=⎪⎪⎨-+⎪+⎪=⎪⎩，解得()(,)a 3a 8A 444++，将()(,)a 3a 8A 444++代入抛物线方程， 即()()()23a 8aa 444+=+， 因为0a >， 解得8a =.【点睛】本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.等比数列{}n a 中，1752,4a a a ==． (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)记n S 为{}n a 的前n 项和．若126m S =，求m ．【★答案★】(Ⅰ)2nn a =或()2nn a =--(Ⅱ)12【解析】 【分析】（1）先设数列{}n a 的公比为q ，根据题中条件求出公比，即可得出通项公式； （2）根据（1）的结果，由等比数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q ，2754a q a ∴==， 2q ∴=±，2nna∴=或(2)nna=--.（2）2q时，()2122212612nnnS-==-=-，解得6n=；2q=-时，()21(2)21(2)126123nnnS--⎡⎤==--=⎣⎦+，n无正整数解；综上所述6n=.【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型. 18.万众瞩目的第14届全国冬季运动运会（简称“十四冬”）于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如图频数分布直方图：（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分布直方图补全22⨯列联表；并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关；（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为ξ，求的ξ分布列与数学期望.附表及公式：()2P K k≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++ 【★答案★】（1）列联表见解析，有把握；（2）分布列见解析，23. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图补全22⨯列联表，求出2 2.778 2.706k ≈>，从而有90%的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关．（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，则抽中男教工：406460⨯=人，抽中女教工：206260⨯=人，从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望． 【详解】解：（1）由题意得下表： 男 女 合计 冰雪迷 40 20 60 非冰雪迷 20 20 40 合计 60401002k 的观测值为2100(800400)252.706604060409-=>⨯⨯⨯ 所以有90%的把握认为该校教职工是“冰雪迷”与“性别”有关. （2）由题意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男职工，2名女职工， 所以的可能取值为0，1，2.且()2426C C 620155P ξ====，()114226C C C 8115P ξ===，()22261215C P C ξ===， 所以的分布列为ξ0 1 2P25 815 115()28110201251515153E ξ=⨯+⨯+⨯==【点睛】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且116,AB AC AB BC ==⊥．（1）求证：AO ⊥平面11BB C C ；（2）设160B BC ∠=︒，若直线11A B 与平面11BB C C 所成的角为45︒，求二面角111A B C B --的正弦值．【★答案★】（1）见解析；（2）255. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的特征和题中条件得到1B C ⊥平面1ABC ，结合线面垂直的定义和判定定理即可证明；(2)建立空间直角坐标系，利用向量知识求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形11BB C C 是菱形，11B C BC ⊥∴，11,,AB B C AB BC B ⊥⋂=1B C ∴⊥平面1ABCAO ⊂平面1ABC ，1B C AO ∴⊥又1,AB AC O =是1BC 的中点，1AO BC ∴⊥，又11B C BC O =AO ∴⊥平面11BB C C（2）11//AB A B∴直线11A B 与平面11BB C C 所成的角等于直线AB 与平面11BB C C 所成的角．AO ⊥平面11BB C C ，∴直线AB 与平面11BB C C 所成的角为ABO ∠，即45ABO ∠=︒． 因为16AB AC ==，则在等腰直角三角形1ABC 中123BC =， 所以13,tan301BO CO BO BO ===⋅︒=． 在Rt ABO 中，由45ABO ∠=︒得3AO BO ==，以O 为原点，分别以1,,OB OB OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．则11(0,0,3),(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0)A B B C - 所以1111(3,0,3),(3,1,0)A B AB BC ==-=-- 设平面111A B C 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则111133030n A B x z n B C x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，可得1(1,3,1)n =-， 取平面11BB C C 的一个法向量为2(0,0,1)n =，则12121215cos ,5||||5n n n n n n ⋅〈〉===，所以二面角111A B C B --的正弦值的大小为255． （注：问题（2）可以转化为求二面角1A BC B --的正弦值，求出3AO BO ==后，在Rt OBC 中，过点O 作BC 的垂线，垂足为H ，连接AH ，则AHO ∠就是所求二面角平面角的补角，先求出32OH =，再求出152AH =，最后在Rt AOH 中求出2sin 55AHO ∠=．） 【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定以及二面角的求解，属于中档题．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为1F ，过点1F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2，且1F 与短轴两端点的连线相互垂直. （1）求椭圆C 的方程；（2）若圆222:O x y a +=上存在两点M ，N ，椭圆C 上存在两个点,P Q 满足：1,,M N F 三点共线，1,,P Q F 三点共线，且0PQ MN ⋅=，求四边形PMQN 面积的取值范围.【★答案★】（1）2212x y +=；（2）[2,22]【解析】 【分析】（1）又题意知，2a b =，2a c =及222a b c =+即可求得a b c 、、，从而得椭圆方程.（2）分三种情况：直线MN 斜率不存在时，MN 的斜率为0时，MN 的斜率存在且不为0时，设出直线方程，联立方程组，用韦达定理和弦长公式以及四边形的面积公式计算即可. 【详解】（1）由焦点与短轴两端点的连线相互垂直及椭圆的对称性可知，b c =，∵过点1F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2.222ba∴=又222a b c =+，解得2,1a b c ===.∴椭圆C 的方程为2212x y +=（2）由（1）可知圆O 的方程为222x y +=，（i ）当直线MN 的斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，此时||2,||22,22PMQN MN PQ S ===四边形（ii ）当直线MN 的斜率为零时，||22,||2,2PMQN MN PQ S ===四边形.（iii ）当直线MN 的斜率存在且不等于零时，设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，联立222x y +=，得2222(1)220(0)k x k x k +-+-=∆>，设,M N 的横坐标分别为,M N x x ，则222222,11M N M N k k x x x x k k-+=⋅=++. 所以22222||11M N k MN kx x k+=+-=+，（注：||MN 的长度也可以用点到直线的距离和勾股定理计算.）由PQ MN ⊥可得直线PQ 的方程为1(1)(0)y x k k=--≠，联立椭圆C 的方程消去y ， 得222(2)4220(0)k x x k +-+-=∆>设,P Q 的横坐标为,P Q x x ，则222422,22p p Q Q kx x x x k k-+=⋅=++. 2222222142222(1)||1422()2k k PQ k k k k -+∴=+-⨯=+++ 222111||||22221222PMQN k S MN PQ k k+===-++四边形 2211210,112222222PMQN S k k <<∴<-<∴<<++四边形. 综上，由（i ）（ii ）（ⅲ）得PMQN S 四边形的取值范围是[2,22].【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题，解答此类题目，通常利用a b c 、、的关系，确定椭圆方程是基础；通过联立直线方程与椭圆方程建立方程组，应用一元二次方程根与系数，得到目标函数解析式，运用函数知识求解；本题是难题. 21.已知函数()21222f x x x mlnx =-++，m R ∈． (Ⅰ)当1m <时，讨论函数()f x 的单调性；(Ⅱ)若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证()12111f x x e-≤<．【★答案★】（1）函数在()11,11m m --+-上单调递减；在()0,11m --和()11,m ∞+-+上单调递增．（2）见证明 【解析】 【分析】()1首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的单调性即可； ()2首先确定1x ，2x 的范围，化简()12f x x 的表达式为()111122x x lnx -+．构造函数()()()12,0,12h t t tlnt t =-+∈，利用导数求得函数的最小值，并由极限证得()1h t <，由此证得不等式成立. 【详解】解：()()21122,(0)2f x x x mlnx x =-++>， ()222m x x mf x x x x-+∴=-='+， 令()22g x x x m =-+，1m <，440m ∴=->，令()’0f x =则11x m =±-， 当110m --≤，即0m ≤时，令()’0f x <则()0,11x m ∈+-；令()’0f x >则()11,x m ∞∈+-+． 此时函数在()0,11m +-上单调递减；在()11,m ∞+-+上单调递增． 当110m -->，即01m <<时，令()’0f x <，则()11,11x m m ∈--+-； 令()’0f x >则()()0,1111,x m m ∞∈--⋃+-+， 此时函数在()11,11m m --+-上单调递减；在()0,11m --和()11,m ∞+-+上单调递增．()2由()1知，若()f x 有两个极值点，则01m <<且()()12110,1,111,2x m x m =--∈=+-∈，又1x ，2x 是220x x m -+=的两个根，则212112,2x x m x x +==-，()()()2211111111121122212222x x x x lnx f x x x lnx x x -++-∴==-+-，令()()()12,0,12h t t tlnt t =-+∈，则()12h t lnt +'=， 令()’0h t <，则10,t e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()’0h t >，则1,1t e ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 所以()h t 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． ()111h t h e e ⎛⎫∴≥=- ⎪⎝⎭， ()()110,12h t h t ；=→→，()1h t ∴<，得证．【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的极值，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为2cos 14πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为 2 acos ρθ=，a 0> （l ）设t 为参数，若212y t =-，求直线l 的参数方程； （2）已知直线l 与曲线C 交于P ，Q 设M(0,1)-，且2|PQ |4|MP ||MQ |=⋅，求实数a 的值.【★答案★】（1）22212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）；（2）1【解析】 【分析】（1）由直线l 的极坐标方程为2cos 14πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求得1x y -=，进而由212y t =-+，代入上式得32x t =，得到直线的参数方程；（2）根据极坐标与直角坐标的互化，求得222x y ax +=，将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，利用根据与系数的关系，列出方程，即可求解. 【详解】（1）直线l 的极坐标方程为2cos 14πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即1x y -=， 因为t 为参数，若212y t =-+，代入上式得22x t =， 所以直线l 的参数方程为22212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）（2）由2(0)acos a ρθ=>，得22cos (0)a a ρρθ=>，由cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得222x y ax += (0)a >将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立， 得()22110t a t -++=.（*）则()22140a ⎡⎤∆=+->⎣⎦且()1221t t a +=+，121t t =，设点P ，Q 分别对应参数1t ，2t 恰为上述方程的根. 则1MP t =，2MQ t =，12PQ t t =-， 由题设得212124t t t t -=.则有()212128t t t t +=，得1a =或3a =-. 因0a >，所以1a =【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及普通方程与参数方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 23.已知函数()212f x x x =++-. （1）求()f x 的最小值m ；（2）若a ，b ，c 均为正实数，且满足a b c m ++=，求证： 2223b c aa b c++≥.【★答案★】（1）3；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意根据1x <-、12x -≤<、2x ≥分类讨论，求出函数()f x 的取值范围，即可得解；（2）由题意结合基本不等式可得()()2222b c a a b c a b c a b c+++++≥++，即可得证. 【详解】（1）当1x <-时， ()()()212f x x x =-+--()33,x =-∈+∞；当12x -≤<时， ()()()212f x x x =+--[)43,6x =+∈；当2x ≥时，()()()212f x x x =++-[]36,x =∈+∞；综上，()f x 的最小值3m =；（2）证明：因为a ，b ，c 均为正实数，且满足3a b c ++=， 所以()222b c a a b c a b c +++++222b c a a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222b c a a b c a b c ⎛⎫≥⋅+⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭()2a b c ++，当且仅当1a b c ===时，等号成立， 所以222b c a a b c a b c ++≥++即2223b c a a b c++≥. 【点睛】本题考查了绝对值函数最值的求解，考查了利用基本不等式及综合法证明不等式，关键是对于条件做合理转化，属于中档题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

绝密★启用前四川省南充高级中学2020届高三毕业班第十三次月考检测数学(文)试题(解析版)2020年4月一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24410U x x x =-+≥，{}20B x x =-≥，则U B =（ ） A. (),2-∞ B. (],2-∞C. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 11,,222⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】A【解析】【分析】先求出集合U 和B ，进而可求出U B . 【详解】由()22441210x x x -+=-≥恒成立，所以U =R .又因为{}{}202B x x x x =-≥=≥，所以{}2U B x x =<.故选：A.【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的补集，属于基础题.2.已知32a i b i i -=+（,a b ∈R ），其中i 为虚数单位，则复数z a bi =-在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算，结合复数相等，求得参数,a b ，写出复数在复平面内对应点的坐标即可判断. 【详解】因为32a i b i i-=+，故可得32a i bi -=-+， 故可得2,3a b =-=-，则复数23a bi i -=-+在复平面内对应的点为()2,3-，其位于第二象限.故选：B.【点睛】本题考查复数的运算，涉及复数相等求参数，以及复数在复平面内对应点的考查，属综合基础题.3.在正项等比数列{}n a 中，若2124a a =，则72a （ ） A. 2-B. 2C. 4D. 16 【答案】C【解析】【分析】结合等比数列的性质可得，27212a a a =，即可求出7a ，从而可求出()72a-.【详解】在正项等比数列{}n a 中，由题意得272124a a a ==，72a ∴=，()()72224a -=-=∴.故选：C.【点睛】本题考查等比中项的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.4.假设有一个专养草鱼的池塘，现要估计池塘内草鱼的数量.第一步，从池塘内打捞一批草鱼，做上标记，然后将其放回池塘，第二步，再次打捞一批草鱼，根据其中做标记的草鱼数量估计整个池塘中草鱼的数量.假设第一次打捞的草鱼有50尾,第二次打捞的草鱼总数为50尾,其中有标记的为7尾,试估计整个池塘中草鱼的数量大约为（ ）。

四川省南充高级中学2020-2021学年高三上学期第二次月考理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设{}2|log (2)A x y x ==-,{}2|9=≥B x x ，则R A C B =（ ）A ．()2,+∞B ．[)2,3C ．()3,+∞D ．()2,3 2．若复数z 满足23z z i +=-，其中i 为虚数单位，则||z =（ ）A ．2BCD ．33．设、a b 均为单位向量，则“22-=+a b a b ”是“⊥a b ”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若01a b <<<，b x a =，a y b =，b z b =，则x ，y ，z 的大小关系为（ ） A ．x z y << B ．y x z << C ．y z x << D ．z y x << 5．我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积公式”为S =若2sin 24sin a C A =，()()()2sin sin 27sin a C B c b a A -+=-，则用“三斜求积公式”求得的S =( )A ．4B ．4C ．4D ．46．一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为球的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．81πD ．100π7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若632a a =，则115S S =( ) A ．115 B ．522 C ．1110 D ．2258．已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><，其部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．1()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．1()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．15()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．1()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭或15()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 9．函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩，若数列{}n a 满足()n a f n =，*n N ∈，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()1,3 D ．()2,310．已知321()(4)(0,0)3f x x ax b x a b =++->>在1x =处取得极值，则11a b +的最小值是（ ）A ．2B ．2CD ．13+ 11．已知函数()1f x -，x ∈R 是偶函数，且函数()f x 满足()()2f x f x =--，当[]1,1x ∈-时，()1f x x ，则()2020f =（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．112．已知函数(),0,ln ,0x e x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩(e 为自然对数的底数)，则函数21()(())()1F x f f x f x e =--的零点个数为（ ） A ．6B ．5C ．4D ．3二、填空题 13．已知1sin cos 5θθ+=，(0,)θπ∈，则tan θ=________. 14．函数43()2f x x x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为________.15．给出下列命题：①函数5sin 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是偶函数； ②方程8x π=是函数5sin(2)4y x π=+的图象的一条对称轴方程； ③在锐角ABC 中，sin sin cos cos A B A B >； ④函数1()sin 33f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为π； ⑤函数()tan 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的对称中心是,126k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈， 其中正确命题的序号是________.16．已知函数()()(0)xf x e aln ax a a a =--+>，若关于x 的不等式()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围为______三、解答题17．一块成凸四边形ABCD 的麦田，如图所示.为了分割麦田，将BD 连接，经测量已知2AB BC CD ===，AD =（1cos A C -的值；（2）记ABD △与BCD 的面积分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你求出2212S S +的最大值.18．如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）（1）证明：AE PB ⊥；（2）若线段PC 的长为2，求二面角A PE C --的余弦值. 19．有一名高二学生盼望2021年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2021年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2021年10月省数学竞赛一等奖中选拔）：②2021年3月自主招生考试通过并且达到2021年6月高考重点分数线，③2021年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取）（Ⅰ）求该学生参加自主招生考试的概率；（Ⅱ）求该学生参加考试的次数X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）求该学生被该校录取的概率.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b+=0a b >>的右焦点为F ，上顶点为B ，30OBF ∠=︒，点2A ⎛⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，与x 轴相交于点M ，与y 轴的正半轴相交于点N ，T 为线段PQ 的中点，若744OP OQ OT OM OT ON ⋅-⋅-⋅为定值n ，请判断直线l 是否过定点，求实数n 的值，并说明理由.21．已知函数()()22ln f x x x ax a R =+-∈有两个极值点1x ，2x ，其中12x x <. （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当a ≥()()12f x f x -的最小值. 22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为π,0,π22sin 6π1,π.2θθρθ⎧≤<⎪⎛⎫⎪+⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎪≤≤⎪⎩ （1）求曲线C 与极轴所在直线围成图形的面积；（2）设曲线C 与曲线1sin 2ρθ=交于A ，B 两点，求AB . 23．已知a ，b 为正数，且满足1a b +=．(1)求证：11(1)(1)9a b++； (2)求证：1125()()4a b a b ++．参考答案1．D【分析】求对数函数的定义域求得集合A ，解一元二次不等式求得集合B ，求得集合B 的补集后与集合A 求交集，由此得出正确选项.【详解】对于集合A ，20,2x x ->>，对于集合B ，()()29330x x x -=+-≥，解得3x ≤-或3x ≥，故()3,3R C B =-，所以()()2,3R A C B ⋂=，故选D.【点睛】本小题主要考查对数函数定义域、一元二次不等式的解法，集合补集、交集运算，属于基础题.2．C【分析】设复数(,)z x yi x y R =+∈，利用相等，求得1,1x y ==-，进而可求复数的模.【详解】设复数(,)z x yi x y R =+∈， 则22233z z x yi x yi x yi i +=++-=+=-，则1,1x y ==-，所以1z i =-，所以z =， 故选：C.【点睛】本题考查了复数相等的概念和复数模的求解，着重考查了学生的推理与运算能力. 3．C【分析】根据22||=a a ，可化简22-=+a b a b 为22224444+-=++a b ab a b ab ，又、a b 均为单位向量，可得0=ab ，即可分析出结果.【详解】因为、a b 均为单位向量，所以221,1==a b ，由22-=+a b a b 可得：()()2222-=+a b a b ，即22224444+-=++a b ab a b ab ，所以5454-=+ab ab ，即0=ab ，所以⊥a b ，因此“22-=+a b a b ”是“⊥a b ”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的性质，以及单位向量的概念，属于中档题.4．A【分析】根据指数函数xy b =以及幂函数b y x =的单调性比较出,,x y z 之间的大小关系. 【详解】因为x y b =在0,上单调递减，所以a b b b >，即y z >， 又因为b y x =在0,上单调递增，所以b b a b <，即x z <，所以x z y <<，故选：A.【点睛】本题考查根据指数函数、幂函数的单调性比较数值大小，难度一般.注意幂函数y x α=当0α>时在()0+∞，上单调递增. 5．D【分析】根据正弦定理：由a 2sinC=4sinA 得ac=24，则由a （sinC ﹣sinB ）（c+b ）=（27﹣a 2）sinA 得a 2+c 2﹣b 2=27，利用公式可得结论．【详解】由224a sinC sinA = 可得224,24a c a ac =∴=，由()()()227a sinC sinB c b asinA -+=- 可得()()()227a c b c b a a -+=-， 整理计算有：22227a c b +-=，结合三角形面积公式可得：S =4==. 故选D .【点睛】 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 6．C【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出四棱锥体的外接球的半径，最后求出球的表面积．【详解】解：根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体，如图所示：该四棱锥的底面是长方形，长为6，宽为5，四棱锥的高即为PD所以1563V h =⨯⨯⨯=解得h =设四棱锥的外接球的半径为r ，所以()(2222256r =++， 解得92r =， 所以294812S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭球， 故选：C【点睛】本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题.7．D【解析】 等差数列中，1116611111155153311()11211()11222=.5()5()52552a a a a S a a a a S a a a a +⨯+===⨯=++⨯ 本题选择D 选项.8．B【分析】根据图象可得A ，T ，根据T 求出ω，根据最高点求出ϕ，即可得解.【详解】由图可知2A =，13433T πππ=-=，所以22142T ππωπ===， 又当43433T x ππππ=+=+=时，()f x 取得最大值，所以14sin()123πϕ⨯+=， 所以232ππϕπ+=+k ，k Z ∈，所以6k ϕπ=π-，k Z ∈， 因为||2ϕπ<，所以6πϕ=-. 所以1()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查了根据三角函数的图象求函数解析式，属于基础题.9．D【分析】根据题意可知分段函数为增函数，且()()87f f >，列出不等式组()86301373a a a a -⎧->⎪>⎨⎪>-⨯-⎩，解不等式组即可求解.【详解】由题意可知分段函数为增函数，且()()87f f >，即()86301373a a a a -⎧->⎪>⎨⎪>-⨯-⎩，解得23a <<， 故实数a 的取值范围是()2,3. 故选：D 【点睛】本题考查了分段函数的单调性、数列的单调性，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 10．D 【分析】求导()2'24f x x ax b =++-，根据极值点得到23a b +=，()1111123a b ab a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开利用均值不等式计算得到答案. 【详解】()()32143f x x ax b x =++-，故()2'24f x x ax b =++-，根据题意()'11240f a b =++-=，即23a b +=， 经检验()f x 在1x =处取得极值.()()111111212331333b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2b a a b ==3a b ==时，等号成立. 故选：D . 【点睛】本题考查了根据极值点求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 11．D 【分析】根据函数()1f x -，x ∈R 是偶函数，以及()()2f x f x =--求出函数周期，再由已知区间的解析式，即可求出结果. 【详解】因为函数()1f x -，x ∈R 是偶函数，所以()()11f x f x --=-，则()()2f x f x --=， 又()()2f x f x =--，所以()()22f x f x --=--，则()()22f x f x -=-+，因此()()4f x f x =-+，所以()()()84f x f x f x +=-+=， 即函数()f x 是以8为周期的周期函数，因此()()()()20204+252840f f f f =⨯==-， 又当[]1,1x ∈-时，()1f x x ，所以()01f =-，因此()()202001f f =-=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性与周期性的应用，属于基础题型. 12．A 【分析】利用换元法将原问题转化为两个函数交点个数的问题，然后结合函数的性质确定交点的范围，最后利用交点的范围即可确定原函数零点的个数． 【详解】解：()f x t =，则由()0F x =得21()1f t t e =+． 作出()y f x =的函数图象如图所示：设直线11y k x =+与曲线xy e =相切，切点为0(x ，0)y ，则010101x x e k e k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得00x =，11k =． 设直线21y k x =+与曲线ln y x =相切，切点为1(x ，1)y ，则2121117k x k x ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得21221,x e k e ==．故直线211y t e =+与()f t 的图象有4个交点， 不妨设4个交点横坐标为12t t ，，3t ，4t ，且1234t t t t <<<， 由图象可知212340,0,01,t t t t e <=<<=，由()f x 的函数图象可知1()f x t =无解，2()f x t =有一个解，3()f x t =有三个解，4()f x t =有两个解，()F x ∴有6个零点．故选：A ． 【点睛】本题主要考查分段函数及其应用，导数研究函数的切线，数形结合的数学思想，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题． 13．43-【分析】把已知等式两边平方，求出sin cos θθ的值，再利用完全平方公式求出sin cos θθ-的值，联立求解再结合同角三角函数间的基本关系可求得tan θ的值． 【详解】已知1sin cos 5θθ+=，平方得()2221sin cos sin cos 2sin cos 25θθθθθθ+=++=，得12sin cos 25θθ=-， ∴()222sin cos sin cos 2sin cos 125252449θθθθθθ-=+-=+=，(0,)θπ∈，sin 0,cos 0θθ><，7sin cos 5θθ∴-=，7ta sin cos 1sin cos n 571t n 51a θθθθθθ=-=-+=+，解得4tan 3θ=-. 故答案为：43-【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系，齐次方程的求解，属于中档题． 14．210x y +-= 【分析】利用导数求出切线的斜率，求出切点，即得解. 【详解】由题得32()46f x x x '=-，所以切线的斜率为(1)462k f '==-=-， 因为(1)1f =-，所以切点为(1.1)-，所以切线方程为12(1)y x +=--，即210x y +-=. 故答案为：210x y +-= 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．①②③ 【分析】由诱导公式化简得函数cos 2y x =，判断①正确；求出函数5sin(2)4y x π=+的图象的对称轴328k x ππ=-（k Z ∈），当1k =时，8x π=，判断②正确；在锐角ABC 中，由cos 0C -<化简得到sin sin cos cos A B A B >，判断③正确；直接求出函数1()sin 33f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，判断④错误；直接求出函数()tan 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的对称中心是,164k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，判断⑤错误. 【详解】①因为函数5sin 2cos(2)2y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以函数5sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数，故①正确；②因为函数5sin(2)4y x π=+，所以函数图象的对称轴5242x k πππ+=+（k Z ∈），即328k x ππ=-（k Z ∈），当1k =时，8x π=，故②正确；③在锐角ABC 中，cos()cos()cos 0A B C C π+=-=-<，即cos cos sin sin 0A B A B -<，所以sin sin cos cos A B A B >，故③正确；④函数1()sin 33f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，故④错误； ⑤令232k x ππ+=，解得46k x ππ=-，所以函数()tan 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的对称中心是,164k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，故⑤错误. 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质、诱导公式与三角恒等变换，是中档题. 16．()20,e【分析】将不等式()0f x >恒成立转化为()1xe ln ax a a +>-在(1,)+∞上恒成立,进一步转化为1xe x a+>恒成立，即1x e a x <-恒成立.再构造函数,利用导数求最值可解决. 【详解】易求得函数()f x 的定义域为(1,)+∞ ，由()()0xf x e aln ax a a =--+>，得()1x e ln ax a a+>-， 因为函数1xe y a=+与函数()y ln ax a =-互为反函数，其图象关于直线y x =对称，所以要使得()0f x >恒成立，只需1xe x a +>恒成立，即1x e a x <-恒成立， 设()1xe g x x =-，则()()()221xe x g x x '-=-，()g x 在()1,2上递减，在()2，∞+递增，可知当2x =时，()g x 取得最小值2e ，所以2a e <，又因为0a >，所以a 的取值范围是()20,e .【点睛】本题考查了等价转化思想,不等式恒成立问题.属中档题.17．（1）1；（2）14. 【分析】（1）根据题中条件，在ABD △中，由余弦定理，得到BD =BCD中，由余弦定理得到BD =（2）根据三角形面积公式，由题中条件，得到2211212cos S A =-，22244cos S C =-，得出2221218cos 142S S C ⎛⎫+=-++ ⎪⎝⎭，进而可得出结果.【详解】（1）在ABD △中，因为2AB =，AD =由余弦定理，可得2222cos 16BD AB AD AB AD A A =+-⋅=-，所以BD = 在BCD 中，2BC CD ==，由余弦定理，可得2222cos 88cos BD AC CD AC CD C C =+-⋅=-，所以BD ==cos 1A C -=，cos A C -为一个定值1.（2）依题意，可得22211sin 1212cos 2S AB AD A A ⎛⎫=⋅⋅=- ⎪⎝⎭，22221sin 44cos 2S BC CD C C ⎛⎫=⋅⋅=- ⎪⎝⎭，cos 1A C =+，所以()222222121212cos 44cos 164cos 14cos S S A C C C +=-+-=-+-2218cos 8cos 128cos 142C C C ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，由三角形的性质可得，AD AB BD BC CD -<<+，即24BD <<，即()2,4BD =，解得1cos 1C -<<，所以221214S S +≤， 当1cos 2C =-时取等号，即2212S S +的最大值为14. 【点睛】本题主要考查余弦定理边角互化的应用，考查三角形面积公式，以及含余弦函数的二次式的最值问题，属于常考题型.18．（1）证明见解析；（2）【分析】（1）先证明OP AE ⊥，OB AE ⊥，再证明AE ⊥平面POB ，最后证明AE PB ⊥； （2）先证明PO OC ⊥，再证明PO ⊥平面ABCE ，建立直角坐标系，标记各点坐标，求平面PCE 的一个法向量1(3,1,1)n =-，平面P AE 的一个法向量2(0,1,0)n =，最后求二面角A PE C --的余弦值.【详解】解：（1）在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ，如图 ∵ABCE ，AB CE =，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE BC AD DE ===，∴ADE 为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=，23DAB ABC π∠=∠=，∴在等腰ADB △中，6ADB ABD π∠=∠= ∴2362DBC πππ∠=-=，即BD BC ⊥，∴BD AE ⊥， 翻折后可得：OP AE ⊥，OB AE ⊥，又∵OP ⊂平面OB ，OB ⊂平面POB ，OP OB O =，∴AE ⊥平面POB ，∵PB ⊂平面POB ，∴AE PB ⊥；（2）由（1）知DO PO ==，连接OC 在OEC △中，由余弦定理可得OC =. 在POC △中有222PC PO OC =+，可知PO OC ⊥，又PO AE ⊥，OC AE O PO =⇒⊥平面ABCE ，则以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为乙轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，0,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，1,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴1,0,22PE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1,22EC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则1100PE n EC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴102102x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩.设x =1y =，1z =，∴1(3,1,1)n =-， 由题意得平面P AE 的一个法向量2(0,1,0)n =，设二面角A EP C --为α，1212|cos |55n n n n α⋅===. 易知二面角A EP C --为钝角，所以cos α=.（射影面积法也可）【点睛】本题考查通过线面垂直证明线线垂直，根据题意建立空间直角坐标系，求平面法向量，求二面角，是偏难题.19．（Ⅰ）0.9.（Ⅱ）分布列见解析；数学期望3.3；（Ⅲ）0.838 【分析】（Ⅰ）设该生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队时间分别为A ，B 则1()()P P A P AB =+，然后利用互斥事件的概率公式进行求解；（Ⅱ）X 的可能取值为2，3，4，然后分别求出相应的概率，列出分布列，根据数学期望公式进行求解即可；（Ⅲ）设自主招生通过并且高考达重点线录取、自主招生未通过且高考达该校线录取的事件分别为C 、D ，该学生被该校录取的事件分为三种事件，AB 、C 、D ，分别求出对应的概率，最后相加即可． 【详解】解：（Ⅰ）设该学生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为A ，B ， 则()0.5P A =，()0.2P B =，1()()P P A P AB =+10.50.5(10.2)0.9=-+⨯-=. 即该学生参加自主招生考试的概率为0.9.（Ⅱ）该该学生参加考试的次数X 的可能取值为2，3，4(2)()()0.50.20.1P X P A P B ===⨯=； (3)()10.50.5P X P A ===-=； (4)()()0.50.80.4P X P A P B ===⨯=.所以X 的分布列为()20.130.540.4 3.3E X =⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）设该学生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的事件分别为C ，D .()0.1P AB =，()0.90.60.90.486P C =⨯⨯=，()0.90.40.70.252P D =⨯⨯=，所以该学生被该校录取的概率为2()()()0.838P P AB P C P D =++=. 【点睛】本题考查离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量的期望与方差．20．（1）22143x y +=；（2）直线l 过定点()0,1，21n =-，理由见解析. 【分析】（1）设点F 的坐标为(),0c .由30OBF ∠=︒，可得2a c =，b =，故椭圆C 的标准方程为2222143x y c c +=，把点2A ⎛ ⎝⎭代入，求出c ，即得椭圆C 的标准方程； （2）由题意可设直线l 的方程为y kx m =+()0m >，()()1122,,,P x y Q x y ，则(),00,,m k N m M ⎛⎫- ⎪⎝⎭.由22143x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，韦达定理可得12121212,,,x x x x y y y y ++.由()21212278427434OP OQ OT OM OT m x x y y ON k ⋅-⋅-⋅=+-+，可得()222214443k m n k ⎡⎤-+-⎣⎦=+为定值，故243m -=，即求,m n ，即得直线l 过定点.【详解】（1）设点F 的坐标为(),0c . 由OF c =，OB b =，BF a =，30OBF ∠=︒，可得2a c =，b =.∴椭圆C 的标准方程为2222143x y c c +=，点A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上， 2211122c c∴+=，1c ∴=， 故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y kx m =+()0m >， 设()()1122,,,P x y Q x y ，则(),00,,m k N m M ⎛⎫- ⎪⎝⎭.由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，整理可得()2224384120k x kmx m +++-=， 则122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+. 由()()()222222644434121612390k m k m k m ∆=-+-=-+>， 可得22430k m -+>.()()()21212122286224343k m my y kx m kx m k x x m m k k ∴+=+++=++=-+=++， ()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++ ()22222222224128312434343k m k m m k m k k k --=-+=+++， 22121227121243m k x x y y k --∴+=+，2243,4343km m T k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. ,m OM ON m k ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，()222222437434343m m m OT OM ON k k k ⋅+=+=+++， ()74474OP OQ OT OM OT ON OP OQ OT OM ON ∴⋅-⋅-⋅=⋅-⋅+()21212228743m x x y y k =+-=+()()2222222277121273121228434343m k m k m k k k -----=+++ ()()22222271231221444343k m k m k k ⎡⎤⎡⎤-+--+-⎣⎦⎣⎦==++，若744OP OQ OT OM OT ON ⋅-⋅-⋅为定值，则必有243m -=， 解得1m =±，0m >，1m ∴=，21n ∴=-.故直线l 过定点()0,1，21n =-. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于难题. 21．（Ⅰ）()4,+∞；（Ⅱ）12e e-- 【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数()22'2x xf x ax -+=，由题意可得程2220x ax -+=有两个不相等的正根1x ，2x ，利用根与系数的关系即可求解. （2）结合（Ⅰ）可得()()12f x f x -2111222ln x x x x x x =-+，令()1201xt t x =<<，不妨设()12ln t h t t t=-+，求出函数()h t 的单调性，结合a ≥，求出()h t 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）依题意得()f x 的定义域为()0,∞+，()22'2x xf x ax -+=，因为函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，12x x <，所以方程2220x ax -+=有两个不相等的正根1x ，2x ，12x x <，所以21212160021a a x x x x ⎧∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⋅=⎪⎩，解得4a >，此时()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减， 所以实数a 的取值范围是()4,+∞.（Ⅱ）因为1x ，2x 是方程2220x ax -+=的两个根， 所以122ax x +=，121=x x ， 因为211220x ax -+=，222220x ax -+=， 所以21122ax x =+，22222ax x =+，所以()()()()22121112222ln 2ln f x f x x x ax x x ax -=+--+-()()22221112222ln 222ln 22x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+-+-+-+⎣⎦⎣⎦ 2221122ln 2ln x x x x =-+-222111222ln x x x x x x -=+2111222ln x x x x x x =-+. 令()1201x t t x =<<，()12ln t h t t t=-+，则()()22222112210'1t t t t t h t t t---+-=--+==<， 即()h t 在()0,1上单调递减.因为a ≥122a x x +=≥，所以()221212x x x x +≥，即22121212212x x x x e x x e ++≥++， 所以12211x x e x x e +≥+，即11t e t e+≥+，所以()10t e t e ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，01t <<， 所以10t e<≤. 因为()h t 在10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()h t 的最小值为112h e e e⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 即()()12f x f x -的最小值为12e e--. 【点睛】本题考查了函数的极值点应用，导数在研究函数最值中的应用，综合性比较强，要求有较高的逻辑推理和计算能力，属于难题. 22．（1）1π4+；（2【分析】（1）利用互化公式，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，得出曲线C 与极轴所在直线围成的图形是一个半径为1的14圆周及一个两直角边分别为1即可求出面积；（2）联立方程组，分别求出A 和B 的坐标，即可求出AB .【详解】解：（1）由于C的极坐标方程为π,0,π22sin 6π1,π.2θθρθ⎧≤<⎪⎛⎫⎪+⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎪≤≤⎪⎩， 根据互化公式得，曲线C 的直角坐标方程为：当0x <≤0x +-=，当10x -≤≤时，221x y +=， 则曲线C 与极轴所在直线围成的图形， 是一个半径为1的14圆周及一个两直角边分别为1∴围成图形的面积1π4S =+.（2）由11sin 2ρρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩得5π1,6A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其直角坐标为21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 1sin 2ρθ=化直角坐标方程为12y =，π2sin 6ρθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭化直角坐标方程为x =∴12B ⎫⎪⎝⎭，∴AB ==【点睛】本题考查利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，以及联立方程组求交点坐标，考查计算能力.23．（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）把a+b＝1代入，用柯西不等式证明；（2）根据基本不等式求出ab的范围，再化简所求结论，根据对勾函数的最值，求出即可．【详解】已知a，b为正数，且满足a+b＝1，（1）（11a+）（11b+）＝111a ba b ab++++=122a b++，（22a b+）（a+b）≥2＝8，故11119a b⎛⎫⎛⎫++≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）∵a+b＝1，a＞0，b＞0，∴根据基本不等式1＝a+b0＜ab14≤，（a1a+）（b1b+）222222111a b a b a ba b ab+++++=⋅=≥ab12ab++，令t＝ab∈（0，14]，y＝t1t+递减，所以117444miny=+=，故（a1a+）（b1b+）≥2172544+=．【点睛】考查基本不等式、柯西不等式的应用，构造函数法证明不等式，属于中档题．。