1求解初值问题欧拉法的局部截断误差是((精)

数值计算方法试题一、填空(共20分，每题2分）1、设，取5位有效数字，则所得的近似值x=_____。

2、设一阶差商，则二阶差商3、数值微分中，已知等距节点的函数值则由三点的求导公式，有4、求方程的近似根，用迭代公式，取初始值，那么5、解初始值问题近似解的梯形公式是6、，则A的谱半径＝,A的＝7、设 ,则＝和=8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯—塞德尔迭代都_____9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_____10、设，当时，必有分解式，其中L为下三角阵，当其对角线元素足条件时,这种分解是唯一的.二、计算题（共60 分，每题15分)1、设（1）试求在上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足H（x）以升幂形式给出.（2）写出余项的表达式2、已知的满足,试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？3、试确定常数A,B,C和,使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。

试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？4、推导常微分方程的初值问题的数值解公式:三、证明题1、设（1）写出解的Newton迭代格式(2)证明此迭代格式是线性收敛的2、设R=I－CA，如果，证明：（1）A、C都是非奇异的矩阵（2）参考答案：一、填空题1、2.31502、3、4、1.55、6、7、8、收敛9、O（h）10、二、计算题1、1、(1）(2)2、由，可得因故故，k=0,1,…收敛。

3、,该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程在区间上积分,得，记步长为h，对积分用Simpson求积公式得所以得数值解公式：三、证明题1、证明：（1）因,故，由Newton迭代公式：n=0,1,…得，n=0，1,…(2）因迭代函数，而，又，则故此迭代格式是线性收敛的。

2、证明:(1）因,所以I–R非奇异，因I–R=CA，所以C，A都是非奇异矩阵（2)故则有（2.1）因CA=I–R，所以C=（I–R)A—1,即A-1=（I–R)—1C又RA-1=A—1–C，故由（这里用到了教材98页引理的结论）移项得 (2.2)结合（2。

中南林业科技大学课程考试卷课程名称：数值分析 编号：A 考试时间：120分钟一、单项选择题(每小题4分，共20分)1. 用3.1415作为π的近似值时具有( B )位有效数字。

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 62. 下列条件中，不是分段线性插值函数 P(x)必须满足的条件为( )。

(A) P(x) 在各节点处可导 (B) P(x) 在 [a ，b] 上连续 (C) P(x) 在各子区间上是线性函数 (D) P(x k )=y k ,(k=0,1, … ,n)3. n 阶差商递推定义为：01102110],,[],,[],,[x x x x x f x x x f x x x f n n n n --=- ，设差商表如下：那么差商f [1，3，4]＝( )。

A. (15－0)/(4－1)＝5B. (13－1)/(4－3)=12C. 4D. －5/44. 分别改写方程042=-+x x 为42+-=xx 和2ln /)4ln(x x -=的形式，对两者相应迭代公式求所给方程在[1,2]内的实根，下列描述正确的是：( )(A) 前者收敛，后者发散 (B) 前者发散，后者收敛 (C) 两者均收敛发散 (D) 两者均发散5. 区间[a ，b]上的三次样条插值函数是( )。

A. 在[a ，b]上2阶可导，节点的函数值已知，子区间上为3次的多项式B. 在区间[a ，b]上连续的函数C. 在区间[a ，b]上每点可微的函数D. 在每个子区间上可微的多项式二、填空题(每小题4分，共20分)1. 欧拉法的局部截断误差的阶为 ；改进欧拉法的局部截断误差的阶为 ；2. 求解非线性方程01=-x xe 的牛顿迭代公式是 ；3. 已知数据对),(k k y x (k ＝1，2，…，n)，用直线y ＝a ＋bx 拟合这n 个点，则参数a 、b 满足的法方程组是 ；4. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20302a a a a A 给出使追赶法数值稳定地求解方程组3,R b b Ax ∈=的a 的取值范围（最大取值区间）是 ； 5. 求积公式)43(32)21(31)41(32)(10f f f dx x f +-≈⎰具有 次代数精度。

1. 以下误差限公式不正确的是（ ） A ．()()()1212x x x x εεε-=- B. ()()()1212x x x x εεε+=+C ．()()()122112x x x x x x εεε=+ D. ()()22x x x εε=2. 步长为h 的等距节点的插值型求积公式，当2n =时的牛顿－科茨求积公式为（ ） A ．()()()2bahf x dx f a f b ≈+⎡⎤⎣⎦⎰B ．()()()432bah a b f x dx f a f f b ⎡+⎤⎛⎫≈++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰C ．()()()32bah a b f x dx f a f f b ⎡+⎤⎛⎫≈++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰D ．()()34424bah b a a b b a f x dx f a f a f f a ⎡-+-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫≈+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰3. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ．()00l x ＝0，()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =4. 用二分法求方程()0f x =在区间[],a b 上的根，若给定误差限ε，则计算二分次数的公式是n ≥（ ）A ．ln()ln 1ln 2b a ε-++ B. ln()ln 1ln 2b a ε-+-C. ln()ln 1ln 2b a ε--+D. ln()ln 1ln 2b a ε---5. 若用列主元消去法求解下列线性方程组，其主元必定在系数矩阵主对角线上的方程组是（ ）A ．123123123104025261x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩ B.12312312331520261x x x x x x x x x -+=⎧⎪--+=⎨⎪++=-⎩ C. 12312312322051260x x x x x x x x x -+=⎧⎪--+=⎨⎪++=⎩ D.12312312310402501x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩ 6. 已知近似值1x ，2x ，则()12,x x ()=A. ()()2112x x x x + B. ()()12x x +C. ()()1122x x x x + D. ()()12x x7.已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ） A ． 16 B. 13 C. 12 D. 238. 已知2112A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则化为A 为对角阵的平面旋转变换角θ＝（ ）A ．6π B. 4π C. 3π D. 2π9. 设求方程()0f x =的根的切线法收敛，则它具有（ ）敛速。

一、填空（共20分，每题2分）1、设，取5位有效数字，则所得的近似值x=_____.2、设一阶差商，则二阶差商3、数值微分中，已知等距节点的函数值则由三点的求导公式，有4、求方程的近似根，用迭代公式，取初始值，那么5、解初始值问题近似解的梯形公式是6、，则A的谱半径＝，A的＝7、设，则＝和=8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都_____9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_____10、设，当时，必有分解式，其中L为下三角阵，当其对角线元素足条件时，这种分解是唯一的。

二、计算题（共60 分，每题15分）1、设（1）试求在上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足 H（x）以升幂形式给出。

（2）写出余项的表达式2、已知的满足，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？3、试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。

试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？4、推导常微分方程的初值问题的数值解公式：三、证明题1、设（1）写出解的Newton迭代格式（2）证明此迭代格式是线性收敛的2、设R=I－CA，如果，证明：（1）A、C都是非奇异的矩阵（2）参考答案：一、填空题1、2、3、4、5、6、7、8、收敛9、O（h）10、二、计算题1、1、（1）（2）2、由，可得因故故，k=0,1,…收敛。

3、，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程在区间上积分，得，记步长为h,对积分用Simpson求积公式得所以得数值解公式：三、证明题1、证明：（1）因，故，由Newton迭代公式：n=0,1,…得，n=0,1,…（2）因迭代函数，而，又，则故此迭代格式是线性收敛的。

2、证明：（1）因，所以I–R非奇异，因I–R=CA，所以C，A都是非奇异矩阵 (2) 故则有（）因CA=I–R，所以C=（I–R）A-1，即A-1=（I–R）-1C又RA-1=A-1–C，故由（这里用到了教材98页引理的结论）移项得结合（）、两式，得模拟试题一、填空题（每空2分，共20分）1、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有＿＿＿＿＿＿＿收敛2、迭代过程（k=1,2,…）收敛的充要条件是＿＿＿3、已知数 e=...,取近似值 x=,那麽x具有的有效数字是＿＿＿4、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组的迭代格式中求＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足＿＿＿＿＿＿＿，则p(x)是不超过二次的多项式6、对于n+1个节点的插值求积公式至少具有＿＿＿次代数精度.7、插值型求积公式的求积系数之和＿＿＿8、 ,为使A可分解为A=LL T, 其中L为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围＿9、若则矩阵A的谱半径(A)=＿＿＿10、解常微分方程初值问题的梯形格式是＿＿＿阶方法二、计算题（每小题15分，共60分）1、用列主元消去法解线性方程组2、已知y=f（x）的数据如下求二次插值多项式及f（）3、用牛顿法导出计算的公式，并计算，要求迭代误差不超过。

习题11. 填空题(1) 为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为 _________ 的 _______ 运算; (2) 在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个 _________ 数作减法运算；为避免误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值 ______________ 分子的绝对值；(3) 误差有四大来源，数值分析主要处理其中的 __________ 和 ___________ ; (4) 有效数字越多•相对误差越_________ ;2. 用例1.4的算法计算価•迭代3次•计算结果保留4位有效数字.3. 推导开平方运算的误差限公式，并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差.4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数，指出它们的有效数位、误差限和相对误差限.斗=0.3040, x 2 =5.1x10% 兀=400,些=°・°°3346, x 5 = 0.875x 1Q-55. 证明1.2.3之定理1. 1.6. 若钢珠的的直径d 的相对误差为1.0%,则它的体积卩的相对误差将为多少。

(假定钢珠为 标准的球形)7. 若跑道长的测量有0.欣的误差，对400m 成绩为60s 的运动员的成绩将会带来多大的误差和相对误差.8. 为使J 亦的近似数相对误差小于0. 05%,试问该保留几位有效数字.9. 一个园柱体的工件•直径d 为10・25±0・25mm.高力为40. 00± 1.00mm •则它的体枳卩的近 似值、误差和相对误差为多少.10证明对一元函数运算有并求出/(x) = tanx,x = 1.57时的k 值，从而说明/(x) = tanx 在人任彳时是病态问题.11. 定义多元函数运算s =》g,其中工q =1，£(舌)“,r-l求出w(S)的表达式，并说明q 全为正数时，计算是稳定的，q 有正有负时，误差难以控制.12. 下列各式应如何改进•使计算更准确：其中"(4) y = ^p'+q 2 - P, (p>O,q>O,p»q)习题21. 填空题(1) Gauss 消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 _______________ 主元素的绝对值太小会发生 ___________ ;(2) Gauss 消元法求解线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 ___________ .平方根法求解对称正定线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 __________ ;(3) 直接£〃分解法解线性方程组时的计算量以乘除法计为 __________ ,追赶法解对角占优的三对角方程组肘的计算量以乘除法计为 _____________ ；⑷ ；)阀二——•114= ------- ・——；t 0(5) A =yt > 1 p{A) _________ , cond 2(A) = _________I"丿(6) A = b 9c > b > a > 0 p{A) _______________ , cond ?(A) = ________4. 用Gauss —Jordan 消元法求:(卜l 《l)f 1 1 -1)T(1)八1 2 -2 ,b =1一2 1 1 丿丄2 6、3(1)心10 -7 0 ,b = 7< 5 -1 5丿r4 3 2 r3 4 3 21(2) A =•—2 3 4 3 -1<1 2 3 4;r0 2 0 1、2 232-2 (2) A =b =4-3 01-76 1 -6-56 ,(i) y =⑵y =1l — x(心1)2・用Gauss 消元法求解下列方程组Ax = b3.用列主元消元法解下列方程组Ax = b.2 1 0 J -1 o>5. 用直接厶U 分解方法求1题中两个矩阵的厶（/分解，并求解此二方程组.6. 用平方根法解方程组Ax = b<3 2 1、‘4、2 2 1 ,b = 3J 1 1丿O7.用追赶法解三对角方程组Ax = b2 -1一1 2 0-I0 0 0T0 A = 0 一1 2 -1 0 ,b = 00 0 -1 2 -1<0 0 0 -1 2丿©8. 证明:（1） 单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵. （2） 两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵. 9. 由厶=却冴・・£［「（见（2. 18）式），证明：10 •证明向量范数有下列等价性质: （1）14^14^14⑶|HL<H 2<^Kii. 求下列矩阵的||州删2，lkt“（q ）.81 3、(2) A= 1 10 2、3 26,12. 求 cond 2 (A)1 A = 1-13)2丿'13. 证明:⑴若A 是正交矩阵，即A rA = /f 则cond 2(A) = l ； (2)若A 是对称正定阵，心是A 的最大特征值，人是最小特征值，则cond 2(A )=习题31. 填空题：(1) 当A 具有严格对角线优势或具有对角优势且 ____________ 时，线性方程组Ax=b 用Jacobi 迭代法和Gauss —Seidel 迭代法均收敛； (2) 当线性方程组的系数矩阵力对称正定时, ___________ 迭代法收敛. (3) 线性方程组迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的 _________ 小于1; S0R 法收敛的必要条件是 ______________ ;(4) 用迭代法求解线性方程组，若⑷，q _______________ 时不收敛，g 接近 _______ 时收 敛较快，g 接近 _______ 时收敛较慢；(5)(1 \\A= ?，$= _________ : Bs = _______ ； Q(坊)= _______ ； °(块)= ___ ・2. 用Jacobi 迭代法和Gauss —Seidel 迭代法求解方程组V 1 0、'3 ''-81 1 丫和‘1、 (1)1 2 1= -5 ; (2)1-5 1 x 2 = 16W 1 2,宀< 1 1 -仏丿6各分量第三位稳定即可停止.3•庄SOR 法解方程组，取60 = 0.9 ,与取CO = 1 (即Gauss-Seidel 法)作比较.(32 1]/ \<-5> -5 7 3 £ = 13 2 \ -5 7 /<X 3>4・下面是一些方程组的系数阵，试判断它们对Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法的收 敛性"5 2 1(\ 2) 1 3 2 ; ⑵…13 21 1 2\ / (1)flOO 99、99 9J(2) COS0A --sin& COS0 y6•设‘1 a 宀A= a 1 a ,d 为实数;⑴a 1；(1) 若q 正定，a 的取值范围；(2) 若Jacobi 迭代法收敛，a 的取值范围.习题41. 填空题：(1) 毎法主要用于求一般矩阵的 __________________ 特征值，Jacobi 旅转法用于求对称矩阵的 ______ 待征值；(2) 古典的Jacobi 法是选择 ______________ 的一对 _____________ 元素将其消为零； (3) Q?方法用于求 ___________ 矩阵的全部特征值，庾黑法加上原点平移用于一个近似特征值的 _________ 和求出对应的 ______________ ■2. 用嫁法求矩阵•〔6 2 1'-4 14 0、⑴ 2 3 1, (2)-5 13 0,1 1 1、-1 0 2 丿按模最大的特征值和对应的特征向量，精确到小数三位.-11 11 1 '3.已知： A= 11 9 -2< 1—2 13>"-2 1 0 0'21 2、1 -2 10 1 2 1 ;(4)1 -2 1-2 1 2\、01 -2；10 -1 I —1 -1 _i -r -1 -15 -1 -1 10；5.方程组a\\ 如、 / 、 丙=*<U2\ “22丿 1兀丿如证明用Jacobi 迭代法收敛的充要条件是:5 -1取t =15,作原点平移的幕法，求按模最大特征值.‘4 1 4、4.A= I 10 1、4 1 10,用反無法加原点平移求最接近12的特征值与相应的特征向量，迭代三次.5.若A的特征值为人，易，…，九,r是一实数，证明：人―『是〃的特征值，且特征向量不变.6.已知x =(3,2,l)7求平面反射阵H使y = Hx=(0,*,0)‘，即使x的1, 3两个分量化零.5 3 2、7.A= 3 3 1<2 1 6丿试用Jacobi 转法求作一次症转，消去最大的非对角元，写出旋转矩阵，求出〃角和结果./ r 0(3x2)、8.设已知2是人的特征值，相应的特征向量为(4卫2,6)丁，证明几也是丁的特征值，相应的特征向量为(坷,《2，偽,0,0『.9.证明定理4. 5.10.证明(4. 21)中的A,.和£+1相似.习题51.填空題(1)用二分法求方程x3+x-l = 0在［0,1］内的根，迭代一次后，根的存在区间为___________ ,迭代两次后根的存在区间为_____________ ；(2)设/(x)可微，则求方程x = /(%)根的Newton迭代格式为______________________ ;(3)(p(x) = x + C(x2-5),若要使迭代格式x k+} =(p(x k)局部收敛到a = >/5 ,则C取值范围为_____________ ;(4)用迭代格式x k+l=x k-AJ\x k )求解方程f(x) = x3-x2-x-\ = 0的根，要使迭代序列｛忑｝是二阶收敛，则心二;2 1(5)迭代格式兀+|=二忑+斗收敛于根a二_______________ ,此迭代格式是__________ 阶收3 x k敛的.2.证明Newton迭代格式(5. 10)满足3.方程/一9十+ 18尢一6 = 0, xe［0,+oo)的根全正实根，试用逐次扫描法(出1),找出它的全部实根的存在区间，并用二分法求出最大实根，精确到0.01.4.用二分法求下列方程的根，精度£ = 0・001・仃)x-x+4=0(2) b+10x — 2 = 0 xe[0J]5.用迭代法求X3-2X-5= 0的正根，简略判断以下三种迭代格式:在x() = 2附近的收敛情况，并选择收敛的方法求此根.精度£ = 10_.6.方程= e~x(1)证明它在(0,1)区间有且只有一个实根；(2)证明x k+i = e~Xt,k = 0,1,---,在(0,1)区间内收敛;(3)用Newton迭代法求出此根,精确到5位有效数字.7.对方程X3-3X-1=0,分别用(1)Newton法(州=2)； (2)割线法(观=2,召=1.9)求其根.精度f = 10~4.8.用迭代法求下列方程的最小正根(1) x5 -4x-2 = 0: (2) 2tanx—x = 0 ；(3) x = 2sinx9.设有方程3x2-e x=0(1)以力=1,找出根的全部存在区间；(2)验证在区间［0,1］上Newton法的区间收敛定理条件不成立；⑶ 验证取x() = 0.21 ,用Newton法不收敛;(4)用Newton下山法，取x()=0.21求出根的近似值，精度£ = 10_・10.分别用Jacobi法,Gauss—Seidel法求解非线性方程组\+2y-3=0<2x2 + y2-5 = 0在(1.5,0. 7)附近的根,精确到IO-4.11.分别用Newton法,简化Newton法求解非线性方程组sin x + cos y = 0<x+y = l在(0,1)附近的根,精确到10*.习题61.填空題(1)设J\x) = x5+x3+x + \ ,则 /[0,1]______________ , /[0,1,2]= _________________ /[0,1,2,3,4,习= ___________ : /[0,1,2,3,4,5,6] = ________________ .(2)设?o(x)，/i(x),…,/”(%)是以节点0,1,2, •••,/?的Lagrange 插值基函数,则£儿(羽= _______________；£旳伙)= _______________ •;-() J-0(3)设/(0) = 0,/⑴=16,/(2) = 46,则/[0,1]= ____________ , /[0,1,2]= ____________ ,/(X)的二次Newton插值多项式为________________________ ・2.3-利用心在“畤能及壬处的值，求S哙的近似值，并估计误差.4.利用数据计算积分［千，当二时的兀的取值.5.试用Newton插值求经过点(一3,-1), (0,2), (3,-2), (6,10)的三次插值多项式.6.求满足Pg) = f(Xo),P(xJ = f(xJ及Pg = f(XQ)的次数不超过2次的插值多项式Pg,并给出其误差表达式.7.设比是互异节点,3 是Lagrange插值基函数(j =0,1,2,,证明(1)£<,(%)三1；(2)$>乂(力三十伙=0,1,2,…丿)；(3)£(◎一x)k/丿(x)三0 仏=0,1,2,•••/).8 •设有如下数据试计算此表中函数的差分表，并分别利用Newton向前，向后插值公式求出它的插值多项式. 9.试构造一个三次Hermite插值多项式使其满足/(0) = 1,广(0) = 0.5, /(1) = 2,广⑴=0.510・已知函数/(X)的数据表分别用Newton向前插值公式和向后插值公式求x=0. 05, x二0. 42, X二0. 75的近似值.11.对函数f(x) = sinx进行分段线性插值，要求误差不超过0.5x10"，问步长力应如何选取.12.设有数据用三转角插值法求满足下述条件的三次样条插值函数(1)570.25) = 1.0000 , 570.53) = 0.6868(2)S"(0.25) = —2 , S"(0.53) = 0.647913.证明定理6.6.习题81 •填空題⑴ “+1个点的插值型数值积分公式f 的代数精度至少是_____ ,最高不超过__________ .(2)梯形公式有______ 次代数精度，Simpson公式有______ 次代数精度.(3)求积公式打⑴川細(0)+ /(/?)]+ 加[八0)_/伽中的参数& =时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为__________ •2.确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度.(1)『/(X)厶a A)/(0) + AJ(//) + A2f(2h)f(f(x)dx q+ 2/(“) + 3/(x2)]⑶£ f(x)dx = A/(-D + AJ (-# + A J(4) jj Mdx a AJ(x{) + A2/(0) + AJ(l)⑸[/⑴厶« f(xj + f(x2)3.分别利用复化梯形公式，复化Simpson公式，复化Cotes公式计算下列积分(1)「一3 二8)Jo4 + x2(2)^yfxdx (n =10)(3)("=io)(4)(弘—抽讼・5二6)(5)P —Jx (/? =8)J() x4.用Romberg公式计算枳分(1) 丄(精度要求£ = 10一‘)⑵佃 + cos4xdx(精度要求£ = 10-5)5.分别取节点数为2, 3, 4利用Gauss—Legendre求积公式计算积分(1) 「一厶，(2) 「八心，(3) f-dxJ T I+ Q血Ji X6.利用Gauss型求积公式，分别取节点数2, 3, 4计算积分(1) £e~x yfxdx , (2) J e~x <1 + x2 dx7.用节点数为4的Gauss —Laguerre求积公式和Gauss—Hermite求积公式计算积分的近似值，并与准确值/=—作比较・28.分别用两点公式与三点公式求f(x)=一在x=l・0,x二1.2的导数值，并估计误差, (l + x)・其中/(x)的数据由下表给出习题91.填空題(1)解初值问题的Euler法是________ 阶方法，梯形方法是 _____ 阶方法，标准R-K方法是_____ 阶方法.(2)解初值问题#(x) = 20(x—y),y(O) = 1时，为保证计算的稳定性，若用经典的四阶R-K方法，步长0V/Y ________ ・采用Euler方法，步长力的取值范围为______ ,若采用Euler 梯形方法，步长力的取值范围为_______ 若采用Adams外推法，步长力的范围为________ ,若采用Adams内插法，步长方的取值范围为__________ .(3) __________________________________________ 求解初值问题Euler方法的局部截断误差为_____________________________________________ Euler梯形方法的局部截断误差为_____________ , Adams外推法的局部截断误差为_______________ Adams内插法的局部截断误差为_____________ .2.对初值问题1 ?/ = ----- -2y~0<x<l1 + JC.y(o)= oX试用Euler法取步长〃二0. 1和“二0.2计算其近似解，并与准确解y =—匚进行比较.1 + JC3.利用Euler预测一校正法和四阶经典R-K方法，取步长h=Q. 1,求解方程y f = x+y 0<x<\y(O) = 1并与准确解y(x) = -x-\ + 2e x进行比较.4.用待定系数法推导二步法公式>\+1 = y> + ~ (5齐+1 + 一Z-i)并证明它是三阶公式，求出它的局部截断误差.5.用Adams预测一校正法求解y = -y20 < X < 1.y(o)= 1并与准确解y(x)=—进行比较.1 + x6.用Euler中点公式计算y f = -y O< x< 2.5y(O) = 1取步长/?=0. 25,与准确解>'=比较，并说明中点公式是不稳定的.7.写出用经典的R-K方法及Adams预测一校正法解初值问题)/ = _8y + 7z< z，=兀2 + yzy(O) = l,z(O) = O的计算公式.8.写出用Euler方法及Euler预测一校正法解二阶常微分方程初值问題),/r + siny = 0y(O) = 1, V(O) = 0的计算公式.9.证明用单步法y1+i = X+呵兀+£, x+,x)解方程= -2ax的初值问题，可以给出准确解.。

数值计算方法期末考试题集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 和分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x =B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。

A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =????? ???????????????3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C =???????????? 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足??????????????? ?，所以()0f x =在区间内有根。

5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式????????????????????? .填空题答案1.?????? 9和292.??????()()0101f x f x x x --?3.?????? 18 4.??????()()120f f <5.?????? ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩三、计算题（每题15分，共1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案1.?????? 解[]0,1x ∈，()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---??????????[]1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1）?????? 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）?????? 对于初始值()()0,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解 原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩?(0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根，精确到.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分101dx x +⎰.计算题4.答案确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度证明题答案证明：求积公式中含有三个待定系数，即101,,A A A -，将()21,,f x x x =分别代入求积公式，并令其左右相等，得得1113A A h -==，043hA =。

《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。

答案：2.367，0.253、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。

答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( )],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。

1. 和分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。

A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。

5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211yy yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式 .填空题答案1. 9和292.()()0101f x f x x x --3. 18 4. ()()120f f < 5. ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩得 分 评卷人三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案()101x L x -=-()12x L x -=-()10.8L x ⎧-⎪=⎨⎪⎩()1.50.8L =2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()00,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解 原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根，精确到.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1011dx x +⎰.计算题4.答案四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明题答案证明：求积公式中含有三个待定系数，即101,,A A A -，将()21,,f x x x =分别代入求积公式，并令其左右相等，得一、 填空（共20分，每题2分）1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。