有限元--动力学

6.2结构动力有限元法理论与模型一、基本原理在实际问题的求解中，应用最广的是基于位移的有限元素法。

此法的基本思想是把本来为连续的工程结构分割成在结点上相联的单元组合体。

取这些结点的位移为基本未知量，并假定每个单元中的位移用单元位移函数来描述，这实质上是假定了单元的模态。

在此基础上，利用能量变分原理进行单元分析的全结构分析，得到全结构的振动平衡方程，从而把连续体的动力学问题化为多自由度系统的振动问题。

有限元动力分析的基本过程是首先将工程结构离散化，通过选择合理的单元确定出分析模型，在此基础上选择位移函数，进行单元分析，确定单元的刚度、质量、阻尼、载荷矩阵，再经过坐标变换，通过能量变分原理，进行全结构分析，建立系统的振动平衡方程。

最后运用有限元数值方法进行方程的求解。

结构动力有限元法采用的单元位移函数与静力分析相同，基本原理和求解过程也与静力分析相同，不同之处仅在分析模型的确定与运动方程的建立方面。

二、动态分析模型的确定由于结构动态分析中除考虑弹性力外，还要考虑惯性力和阻尼力，其运动方程是常微分方程组，所以动态分析的复杂程度高，计算工作量大，有限元分析模型要尽量精炼、简单。

1.模型确定的基本原则•分析模型应与分析的目的相适应。

动力分析的目的各不相同，有的是为了提供固有特性计算动态响应或供控制系统用；有的是为了舱内提供振动环境。

不同的目的，通常要求不同的模态数与计算精度。

显然，用于估算基本固有频率的模型应当比计算冲击响应的模型简单。

用于设计计算的模型应当比用于校核计算的模型简单。

•分析模型要与选用的计算工具与计算条件相适应。

计算机软件种类日益丰富，选择分析模型要与所用程序、所用计算机容量相适应。

如对于容量大的计算机，可选用较为复杂的有限元模型，而对于容量小的计算机则在能反映结构动态性能的前提下尽量简化模型，使求解规模尽量小。

对于大模型，可选用子结构模型，采用模态综合方法求解。

应注意, 不一定模型愈精细精度就愈高。

第六章 动力问题的有限元法6.1 概述前面几章所研究的问题都属于静力问题，其特点是施加到结构上的外载荷不会使结构产生加速度，且外载荷的大小和方向不随时间变化，因而结构所产生的位移和应力也不随时间变化。

本章将要研究结构分析中另一类重要问题的有限元解法，即动力问题的有限元解法。

动力学问题的特点是，载荷是随时间变化的，因而结构所产生的位移和应力是时间的函数，结构会产生速度和加速度。

由于结构本身的弹性和惯性，结构在动力载荷的作用下，往往呈现出振动的运动形态。

结构振动是工程中一个很普遍很重要的问题。

有些振动对我们有利，例如，振动打桩，振动选料，有些振动对我们有害，例如，机床的振动，仪器与仪表的振动，桥梁、水坝及高层建筑在地震作用下的振动等。

因此，我们必须对振动体本身的振动特性以及它对外部激振力的响应有一个明确的认识，才能更好地利用它有利的一面，而避免它有害的一面，设计出更好的机械和结构。

振动问题主要解决两方面的问题。

1. 寻求结构的固有频率和主振型，从而了解结构的固有振动特性，以便更好地利用或减少振动。

2. 分析结构的动力响应特性，以计算结构振动时动应力和动位移的大小及其变化规律。

6.2 结构的振动方程结构的振动方程可用多种方法建立，这里我们使用达朗伯原理（动静法），仿照前几章建立静力有限元方程的方法，来建立动力问题的有限元方程。

在静力问题中用有限元法建立的平衡方程是}{}]{[F K =δ在振动问题中，对结构的各节点应用达郎伯原理所建立的振动方程仍然具有与上式相同的形式，只不过节点位移是动位移，节点载荷是动载荷，它们都是时间的函数。

上面的方程成为)}({)}(]{[t Q t K =δ (6.1)上式中{})(t δ为节点的动位移，它是时间的函数，)}(]{[t K δ是t 时刻的节点位移产生的弹性恢复力，它与该时刻的节点外力{})(t Q 构成动态平衡。

在动态情况下，结构承受的载荷（集中载荷 ，分布载荷 ）可随时间而变化，是时间的函数。

动力学-abaqus/explict总结动力学分为: 线性动力学和非线性动力学。

Standard适合模拟与模型的振动频率相比响应周期较长的问题；explicit：适合于模拟高速动力学问题。

线性动力学在abaqus/standard中求解，是基于模态的分析方法。

应用有：模态动力学：在时域内计算结构的线性动力学响应；可以使用直接积分稳态动力学: 计算由谐波激励引起的动态响应，可以使用直接积分。

响应谱分析：计算运动过程中的峰值响应；随即响应分析：计算随即连续激励的响应，如地震波。

非线性动力学：需要对运动方程进行直接积分；abaqus/standard中使用newmark积分方法，是隐式非线性直接积分法（无条件稳定，可以使用任意的时间增量，并且解仍然是有界的）。

Abaqus/explicit使用二阶精度的中心差分法（该方法是条件稳定的，只有在时间增量小于一定的临界值时才能给出有界的解）。

下面对explicit使用过程中的一些细节作简要的总结。

1．Abaqus/explicit：提供两种方案定义接触：1.1 General contact: 通用接触。

一般在模型中存在多个部件或复杂的拓扑结构情况下使用，该功能强大，不需像在abaqus/standard一样定义相互作用的接触对，在abaqus/explicit里会自动搜索相互作用的接触。

ExamplesThe following input specifies that the contact domain is based on self-contact of an all-inclusive, automatically generated surface but that contact (including self-contact in any overlap regions) should be ignored between the all-inclusive, automatically generated surface and surface_2:*CONTACT*CONTACT INCLUSIONS, ALL EXTERIOR 或ALL ELEMENT BASED*CONTACT PROPERTY ASSIGNMENT,,prop_1 (以全局的方式重新制定属性)*alum_surf,steel_surf,prop_2 （局部修改）*alum_surf,alum_surf,prop_3 （局部修改）*CONTACT EXCLUSIONS (不包括surface_2), surface_2Either of the following methods can be used to exclude self-contact for surface_1 fromthe contact domain:*CONTACT EXCLUSIONSsurface_1,or*CONTACT EXCLUSIONSsurface_1, surface_11.2．接触问题中调整初始节点位置Abaqus/explicit不允许接触表面的初始过盈。

基于有限元方法的振动系统动力学分析振动是物体在外部作用下发生周期性的自由运动，广泛存在于自然界和人工工程中。

对于工程领域来说，振动是一种常见而且重要的现象，需要进行充分研究和掌握。

因为工业领域中的精密机械设备、航空航天器、桥梁、建筑等都要受到振动的影响，因此了解和掌握振动分析成为了一项必要的工作。

在振动分析中，有限元方法是一种重要的数值计算技术，能够用来计算系统在特定工况下的自由振动、强迫振动和动态特性等。

有限元方法的基本思想是将物体整体离散成若干元，然后针对每个元的受力状态对其进行计算。

因为在物理学和工程领域中，大部分振动问题都可以抽象成弹性振动问题，因此有限元方法也用得较为广泛。

下面我们将从振动系统模型建立，有限元方法的原理和实现以及动力学分析等方面进行阐述，以期为工程领域的借鉴提供一定的帮助。

一、振动系统模型建立首先，我们需要理解振动系统的原理和发展规律，然后再将其抽象成一种数学模型。

在工程领域常见的振动系统有机械弹簧阻尼振动系统、电路RLC振动系统等，这里我们以机械弹簧阻尼振动系统为例。

1.1 建立振动系统模型机械弹簧阻尼振动系统的简化模型由三个主要元素组成：质点、弹簧和阻尼器。

其中，质点质量为m，其自由度为x，弹簧的刚度为k，弹簧自由度为u，阻尼器的阻尼系数为c。

将质点与弹簧、阻尼器建立作用关系如下：1. 质点的受力情况：F = m*x''(t) (1)其中，x''(t)表示自由度x对时间t的二阶微分。

2. 弹簧的变形条件：u = x1 - x2 (2)其中，x1、x2为弹簧两端对应的自由度，利用胡克定律可以得到：F = k*u (3)3. 阻尼器的作用：F = -c*x'(t) (4)其中，x'(t)表示自由度x对时间t的一阶微分。

此时，质点、弹簧、阻尼器三者之间的作用力平衡，即有F = m*x''(t) = -k*x(t) - c*x'(t) (5)使用微分方程的方法可以得到质点加速度x''(t)关于时间t的方程，即：m*x''(t) + c*x'(t) + k*x(t) = f(t) (6)其中，f(t)为外界作用力。

动力学有限元问题的龙格库塔法知乎动力学有限元问题的龙格库塔法1. 介绍动力学有限元问题是一类涉及结构物或系统在时间变化下的运动和响应的问题。

为了解决这类问题，我们可以使用数值方法，其中最常用的之一是龙格库塔法（Runge-Kutta method）。

本文将探讨龙格库塔法在解决动力学有限元问题中的应用，并对其进行深入思考和全面分析。

2. 龙格库塔法的基本原理和应用龙格库塔法是一种数值求解常微分方程的方法，通过迭代逼近来计算方程的数值解。

它的优点在于能够准确地模拟系统的动态行为，并且对于非线性问题也有较好的适用性。

在动力学有限元问题中，我们通常需要求解结构物或系统在时间上的响应，而龙格库塔法可以提供相对精确的数值计算结果。

3. 动力学有限元问题在动力学有限元问题中，我们需要考虑结构物或系统在外部作用下的运动和响应。

这通常涉及到求解质点、刚体或弹性体的运动方程。

通过建立合适的模型和边界条件，我们可以得到动力学方程。

通过数值方法求解这些方程，我们可以得到系统在一段时间内的响应。

4. 龙格库塔法的步骤和计算过程龙格库塔法的基本步骤包括选择适当的时间步长和计算时间步数，以及计算中间步骤的函数值。

具体来说，龙格库塔法将时间区间划分为若干个小时间步，并通过迭代逼近的方式计算每个时间步的系统响应。

这个过程可以通过多种不同的方法进行，其中最常用的是四阶龙格库塔法。

5. 龙格库塔法的优点和缺点龙格库塔法作为数值求解常微分方程的方法，具有一定的优点和缺点。

其优点在于能够准确地模拟系统的动态行为，对于非线性问题也有较好的适用性。

而缺点在于需要选择合适的时间步长和计算步数，以及计算量较大。

在处理某些特殊问题时，龙格库塔法可能会出现数值不稳定或数值误差较大的情况。

6. 对龙格库塔法的个人观点和理解在我个人看来，龙格库塔法是一种非常有效的数值求解方法。

它可以帮助我们更好地理解和分析动力学有限元问题，提供精确的数值计算结果。

通过选择适当的参数和方法，我们可以获得准确的结果，并在实际工程和科学研究中得到有效的应用。