逻辑学 第六讲：命题逻辑的自然演绎系统一二节

命题逻辑的自然演绎系统-1计算机科学M O O C课程群离散数学基础命题逻辑的自然演绎系统(一) 形式语言和变形规则定义：形式语言 L形式语言 L 包括初始符号集和形成规则。

初始符号(1)命题变量符号p1, p2, p3, … ；(2)命题联结词?, ∧, ∨, →, ?；(3)辅助性符号 (, )，用于描述联接词的辖域或运算优先次序。

形成规则(1)单独的命题变量符号是合式公式 (wff，简称公式)；(2)若 A 是 wff，则 ?A 也是 wff；(3)若 A, B 是 wff，则(A∧B), (A∨B), (A→B), (A?B) 也是 wff；(4)当且仅当有限次使用上述规则得到的才是 wff。

规定公式最外层括号可以省略；省略括号情况下，联接词的结合按?, ∧, ∨, →,的次序进行。

一般地定义：(A?B) = (A→B)∧(B→A)说明生成合式公式的过程中，每一步所生成的公式，称为该合式公式的子式。

生成合式公式最后一步使用的联结词称为该公式的主联结词。

比如(A∧B)→(A∨B) 中的→；又如A∨(A∧B) 中的∨。

定义：变形规则变形规则(或推演规则) ?° Γ├ B?± 描述合式公式之间的语法推演关系，它只涉及公式的形式结构，与其真值含义无关。

“Γ├ B”表示在演绎系统 N 中“由Γ 形式推出B”的语法推演关系 (或语法变形)，也称为 N 的定理。

其中Γ 是元语言符号，描述 N 中的一个有限公式集合，称为规则的前提，B 是 N 的公式，称为结论公式。

规定等价规则：(1) 若Γ├ A∧B 则Γ├ B∧A；(2) 若Γ├ A∨B 则Γ├ B∨A。

Γ = {p1, p2, …, p n} 时，Γ├ B 也可以写成p1, p2, …, p n├ B定义：基本变形规则集 R每一条变形规则都指出一种语法推演关系的模式。

设Γ 是 L 中的一个有限公式集，A, B, C 是 L 的公式。

4命題邏輯的自然演譯系統4.1 自然演繹系統的特徵自然演繹系統(system of natural deduction)的產生是針對公理系統(axiom system)而來，公理系統中的證明比較難建立，而且比較冘長。

公理系統除了為數很少的公理之外，它的推論規則也相當少，在證明的建立上，困難相對增加。

還有一個重要的難題，就是選擇什麼句式當作公理，這個問題本身是一個爭論的議題。

公理是自明的(self-evident)，公理本身不需要任何證明。

公理經過語意學的解釋之後必然為真。

自然演繹系統可以說是只由一組推論規則所構成的演繹系統。

這種演繹系統不需要預設任何公理，它只在證明時假定一些句式為真，再利用推論規則去導出所要的句式。

由假定(assumption)而得到證明的這種概念，是自然演繹法的基本概念。

例如先假定φ，再從這個假定推理出ψ。

句式ψ的真假並不是自然演繹法的重點。

它所注重的是，ψ的真是根據φ的真，亦即φ→ψ為真。

在這個推論中，可以結論出φ→ψ為真，而不論φ為真或假。

由於φ的真不保證φ→ψ的真，所以φ不再是φ→ψ的前提。

在這個推論得出φ→ψ時，φ就從φ→ψ的前提中去前提化(discharged)。

這個論證型同時也是一語句連詞的引進規則(introduction rule)：[φ](n):ψ(n)φ→ψ因為φ在第n個步驟的證明中會去前提化，所以用括號[ ] 括起來。

應用上述規則後被去前提化的假設φ以自然數n加以標示，表示在第n個步驟時會應用這個規則，同時將φ去前提化。

在自然演繹系統中，又稱之為條件句的引進規則(簡稱→I)。

除了引進規則之外，還有所謂的語句連詞的消去規則(elimination rule)。

例如條件句的消去規則：φφ→ψψ建立自然演繹系統的目標是將這類的推理有系統的普遍化，也就是針對語句連詞找出成對的引進規則與消去規則。

在公理系統中，導出都是由公理開始的，經由公理從推論規則導出的是定理，定理是由公理導出的句式，所以‘├φ’是公理系統中導出的基本概念。

在命题逻辑中，自然演绎系统推理技巧是一项重要的认知工具，它帮助我们理性地推导和论证命题之间的关系。

通过自然演绎系统推理技巧，我们可以更加深入地理解命题之间的逻辑联系，从而加强我们的批判性思维和逻辑推理能力。

接下来，我将从浅入深地探讨命题逻辑的自然演绎系统推理技巧。

我们需要了解命题逻辑的基本概念。

在命题逻辑中，命题是陈述句或命题句，可以是真或假。

通过对命题的组合和关联，我们可以得到更加复杂的命题，从而进行自然演绎系统推理。

在自然演绎系统推理中，我们需要牢记几项基本原则：排中律、矛盾律和第三种排中律。

我们可以探讨如何运用自然演绎系统推理技巧来进行逻辑推理。

我们需要通过演绎推理的方式，从已知的真命题出发，推导出需要证明的命题。

在进行演绎推理时，我们需要特别注意使用命题逻辑的各种推理规则，如假言推理、拒斥推理和构造性二难推理等。

这些推理规则可以帮助我们更加清晰地展示命题之间的逻辑关系，从而得出正确的结论。

在实际应用中，我们可以通过举例或实际情景来说明自然演绎系统推理技巧的有效性。

我们可以通过分析一个实际的论证过程，来展示使用自然演绎系统推理技巧能够帮助我们更加准确地分析问题、推导结论。

我们需要总结和回顾命题逻辑的自然演绎系统推理技巧。

通过总结和回顾，我们可以进一步加深对这一主题的理解，并将其运用到实际生活中。

总结和回顾还可以帮助我们发现命题逻辑的自然演绎系统推理技巧在实际应用中的局限性，从而促进我们对逻辑推理方法的不断完善和改进。

个人观点上，自然演绎系统推理技巧对于我们的思维和认知能力至关重要。

通过掌握这些技巧，我们可以更加准确地分析问题、推导结论，并在日常生活中做出更好的决策。

我认为对于命题逻辑的自然演绎系统推理技巧，我们应该深入研究和运用，并不断完善和拓展其应用范围。

通过深入的文章内容探讨，我相信你对命题逻辑的自然演绎系统推理技巧有了更加全面、深刻和灵活的理解。

希望这篇文章能够帮助你在未来的学习和工作中更好地运用自然演绎系统推理技巧，提高逻辑思维能力，取得更好的成果。

教学大纲课程的教学目的逻辑学的教学目的是使学生初步掌握逻辑学的基本概念、思维规律和一般推理方法，通过训练具备基本的逻辑思维能力，培养和提高思维素质，为学习各专业课程奠定良好的基础；了解逻辑学的学科结构和简要发展史，为逻辑学本身的学习和提高奠定基础。

教学任务通过本课程的学习，要求学生掌握逻辑学的基础知识、基础理论，提高学生的思维能力。

加强逻辑思维的训练，提高学生分析问题与解决问题的能力，为学习其他知识打下坚实的基础。

（1）在教学内容方面，引入多学科交叉融合的视角，将各个学科领域涉及的逻辑思维问题纳入教学素材范围。

（2）围绕素质教育开展教学方法改革，注意把逻辑教学从技术层面上升到方法论层面。

注重培养学生运用逻辑方法的能力，着力提升学生的批判思维能力。

（3）在授课方式上，注重多媒体技术的运用。

我们鼓励制作精美的幻灯片，结合实际生动的推理实例，引导学生发现学习和生活中的逻辑推理形式，使课堂教学生动有趣。

（4）在教学组织形式上，将课堂教学、课外小组协作研究、个别指导有机结合。

着力培养学生的自主学习能力，鼓励学生在学习过程中充分发挥批判性思维，增强学生的创新能力。

教学内容的结构、模块或单元教学目标与任务由于逻辑学自身发展的特点，结合国内逻辑学现状，课程体系设计兼顾传统逻辑与现代逻辑，大致有以下几个部分：第一讲绪论教学目的：了解普通逻辑的研究对象，掌握思维的逻辑形式的构成。

教学过程设计教学过程课时教学内容教学方法第1节逻辑学的对象1基本内容：逻辑学的一些基本概念、思维的内容与形式，逻辑学的对象与性质、学习逻辑学的作用，逻辑学的研究方法以及学习方法，逻辑学的发展简史；重难点：思维的内容与形式，有效(形式正确)的推理，形式化、公理化。

课堂教学信息化教学启发式讲授讲授法案例引导第2节逻辑学的性质及作用、逻辑学的发展1第3节逻辑学研究与学习方法1第二讲传统词项逻辑教学目的：熟练掌握概念、语词和词项的联系与区别，明确词项的种类，词项的内涵和外延及词项外延间的关系、确定它的意义；熟练掌握直言命题的定义、结构、种类，直言命题主、谓项的周延性问题，直言命题间的对当关系以及对当关系的推理，直言命题的变形推理并熟练使用对当关系判断命题真假；要求学生熟练掌握三段论的定义、格和式，三段论的基本规则及有效形式，学会判断三段论的格与式，了解三段论规则及应用。