植树问题封闭图形的植树问题

《封闭图形植树问题》教案《封闭图形植树问题》教案作为一名教学工作者，很有必要精心设计一份教案，借助教案可以更好地组织教学活动。

那要怎么写好教案呢？以下是作者收集整理的《封闭图形植树问题》教案，仅供参考，欢迎大家阅读。

《封闭图形植树问题》教案1教材分析本册教材的数学广角主要是渗透有关植树问题的方法。

它通过生活中常见实际问题，让学生发现规律，抽取出植树问题的数学模型，再用来解决简单的实际问题。

本课时是本单元的第3课时，探讨封闭图形的植树问题（如果是矩形，每边可看作一端种另一端不种）。

教学目标1、建立“棵数=间隔数”的数学模型，解决简单的实际问题。

2、在解决问题的过程中发现规律，建立模型，应用模型，建立初步的解决植树问题的方法。

3、体会数学模型的'生活意义与作用，体验到学习的喜悦。

学习重点：建立“树的棵数=间隔数”的数学模型学习难点：为什么“树的棵数=间隔数”？预设过程一、复习开放情形……在一条20米路的一侧种树(两端都种)，每2米种一棵，共需种几棵？在一条20数路的一侧种树(两端都不种)，每2米种一棵，共需种几棵？……在一条20米路的一侧种树(一端种)，每2米种一棵，共需种几棵？1、揭题：植树问题。

2、呈现问题，请学生解决。

3、反馈解法，说说什么情况下选择什么方法。

二、研究封闭情形用围棋摆一个正方形，每边摆7个，一共需要多少围棋？1、议：7×4=28对不对？2、根据要求及图形，用自己的方法解决。

3、反馈各种解法，说说自己的方法的怎么避免重复计数的？4、议：(7-1)×4的理由是什么？三、练习1、完成P121做一做-1，3。

2、完成P121做一做-2，并讨论最多的情况。

3、画图完成第3题。

四、《封闭图形植树问题》教案2学习目标：1.探讨封闭曲线中的植树问题。

2.初步培养学生从实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法。

3.在小组合作交流过程中，学会从不同角度思考问题。

学习过程：一、自主探究例3：张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。

植树问题计算公式
植树问题的计算公式可以根据不同的情况进行调整，具体如下：
1. 如果是在非封闭线路的两端都要植树，那么：株数=段数+1=全长÷株距
+1，全长=株距×（株数－1），株距=全长÷（株数－1）。

2. 如果是在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么：株数=段数=全长÷株距，全长=株距×株数，株距=全长÷株数。

3. 如果是在封闭的图形（例如围成一个圆形、椭圆形）：总长÷间距＝间隔数；棵数＝间隔数。

4. 如果是在一端栽一端不栽：间隔数＝总长÷间距；总长＝间距×间隔数；
棵数＝间隔数；间隔数＝棵数。

如果想要了解更多植树问题的公式，建议查阅数学书籍或咨询数学专业人士。

1、48名学生在操场上做游戏。

大家围成一个正方形，每边人数相等。

四个顶点都有人，每边各有几名学生？（48＋4）÷4＝13（人）答：每边各有13名学生。

2、陈庄小学有一个长60米、宽40米的小操场，四个顶点都种有一棵树，长边上每隔10米种一棵，宽边上每隔8米种一棵。

操场四周一共种树多少棵？60÷10×2＋40÷8）×2－4＝18（棵）答：操场四周一共种树18棵。

3、在一个周长为1600米的水库四周，每隔8米种一棵杨树，后来又在两颗杨树中间等距离种了两颗柳树。

问水库四周一共种了多少棵树？1600÷8×2＝400（棵）答：水库四周一共种了400棵树。

4、沿一个长50米、宽30米的长方形鱼塘每隔5米种一棵树，一共能种多少棵树？长方形周长：（50+30）×2=160（米）棵树：160÷5=32（棵）答：一共能种32棵树。

5、王大爷在正方形鱼池边上种树，每边等距种树10棵，（四个角都要种树），每辆棵之间相距4米。

鱼池的周长是多少米？（10×4－4）×4＝144（棵）答：鱼池的周长是144米。

6、圆湖的周长1350米，在湖边相隔9米种柏树一棵，在两棵柏树之间种2棵桃树，两棵桃树之间的距离是多少米？9÷（2＋1）＝3（米）答：两棵桃树之间的距离是3米。

7、在一个湖的周围每隔4米种一棵柳树,一共种了180棵。

在相邻的两棵柳树间每隔2米种一棵柏树，一共种多少棵柏树？180×（4÷2－1）＝180（棵）答：一共种180棵柏树。

8、沿着周长是240米的圆形花坛每隔6米栽一棵丁香树，再在每相邻的两株丁香树之间等距离地栽2株月季，一共能栽多少棵丁香树？一共能栽多少株月季？两棵相邻的丁香树之间的2株月季相距多少米？丁香花（封闭图形）：周长÷间距=240÷6=40（株）月季花（在丁香花的每个间隔中）：40×2=80（株）2 株月季花相距：6÷（2+1）=2（米）。

植树问题最全应用题（专项讲义）六年级数学小升初总复习（五大类型+方法+练习+答案）植树问题是小数数学应用题的重难点问题，主要分为不封闭路线、封闭路线两种情况，可细分为五大考点。

【考点一】非封闭路线的两端都要植树【方法总结】若题目中要求在非封闭路线的两端都要植树，则植树棵数就比分成段数多1，可得到：植树棵数＝间隔个数＋1；植树棵数＝植树全长÷间隔距离＋1；间隔距离＝植树全长÷（植树棵数－1）；植树全长＝间隔距离×（植树棵数－1）。

【典型例题】兴华学校为了建设美丽校园，决定在校园里一条长200米的路的两边从头到尾都种树，且每隔5米种一棵树，一共需要种几棵树？【解题分析】这道题是属于非封闭路线的两端都要植树的问题，那么植树棵数就比分成段数多1。

可直接采用公式：植树棵数＝植树全长÷间隔距离＋1；代入数据即可求出。

本题需要注意的是“路的两边都种树”，最后的棵数要“×2”。

【解答】300÷5＋1＝60÷1＝61（棵）61×2＝122（棵）答：一共需要种122棵树。

【跟踪练习】1、绿茵公园里有一条全长1000米的主干道路，现在打算在这条道路的一侧从头到尾等距离地放置6张长木凳供游人休息，每两张长木凳之间相距是多少米？2、宜安居小区为了打造最美绿化小区，计划在小区里的一条主干道进行绿化升级。

主干道长420米，在主干道的两边从头到尾都植树。

为了对称性美观，路的两边所种的树间隔和棵数一样，都是每隔6米种一棵树，则一共需要种多少棵树？3、在公路的一边立着等距离的电线杆，李华从第1根路灯下走到第9根路灯下用了4分钟。

如果李华走了10分钟，此时他走到了第几根路灯下？ 5米 1棵 2棵 3棵0 5米 10米 15米 20米 4棵 5棵 …………4、校园里的林荫小道边上摆着一排花，每隔0.6米摆一盆，加上两端一共摆了82盆花。

现在改成每隔0.9米摆一盆花，那么剩下多少盆花？5、会议大楼从一楼走到四楼一共要走63级台阶。

封闭植树问题公式
封闭图形的植树问题的公式是棵数=间隔数、棵树=周长÷间距、棵树=长度÷间距+1(两端都栽)、棵树=长度÷间距-1(两端都不栽)、棵树=长度÷间距(一端栽、一端不栽)。

在封闭图形上进行植树，段数等于株数，满足的公式和直线型仅在路的一端植树是一样的：株数=段数=全长÷株距，全长=株距×株数，株距=全长÷株数。

解植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。

将封闭图形“化曲为直”后，发现封闭图形和在不封闭图形“一头种”中棵数和间隔数的关系是一样的，都是棵数等于间隔数。

请注意，在解答具体问题时，应结合题目的实际情况选择合适的公式进行计算。

5-1-3.植树问题（二）教学目标1．封闭与非封闭植树路线的讲解及生活运用。

2．掌握空心方阵和实心方阵的变化规律．3．几何图形的设计与构造知识点拨一、植树问题分两种情况：（一）不封闭的植树路线.①若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1+=全长÷株距1+全长=株距⨯(棵数1-)株距=全长÷(棵数1-)②如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=株距⨯棵数；棵数=段数=全长÷株距；株距=全长÷棵数.③如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1-=全长÷株距1-.株距=全长÷(棵数1+).全长=株距⨯(棵数+1)（二）封闭的植树路线.在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数=周长÷株距.二、解植树问题的三要素（1）总路线长（2）间距（棵距）长（3）棵数，只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．三、方阵问题（1）明确空心方阵和实心方阵的概念及区别.（2）每边的个数＝总数÷41+”；（3）每向里一层每边棋子数减少2；（4）掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。

例题精讲模块一、封闭图形的植树问题【例1】小强家附近的公园里有一个圆形池塘，它的周长1500是米，每隔3米栽种一棵树．问：共需树苗多少株？【巩固】周叔叔家有一个长40米，宽30米的长方形鱼塘，他想沿塘每隔5米栽一棵柳树，需要栽多少棵柳树？【例2】在一个长345米、宽240米的长方形草坪四周等距离地栽一些松树，要求四个顶点和每边中点都正好栽一棵松树，则最少要买松树苗棵。

植树问题知识结构一、植树问题分两种情况：（一）不封闭的植树路线.①若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1+=全长÷株距1+全长=株距⨯(棵数1-)株距=全长÷(棵数1-)②如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=株距⨯棵数；棵数=段数=全长÷株距；株距=全长÷棵数.③如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1-=全长÷株距1-.株距=全长÷(棵数1+).全长=株距⨯(棵数+1)（二）封闭的植树路线.在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数=周长÷株距.二、解植树问题的三要素（1）总路线长（2）间距（棵距）长（3）棵数，只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．例题精讲一、不封闭植树问题【例 1】大头儿子的学校旁边的一条路长500米，在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树，一共能种几棵树？【考点】直线上的植树问题【难度】1星【题型】解答【解析】从图上可以看出，每隔4米种一棵树，如果20米长的路的一边共种了6棵树，这是因为我们首先要在这条路的一端种上一棵，就是说种树的棵树要比间距的个数多1，所以列式为：500÷4+1=126（棵）.【答案】126棵【巩固】在一条长200米的路上植树，每隔5米植1棵。

两端都植，共植树多少棵？【考点】直线上的植树问题【难度】1星【题型】解答【解析】200÷5+1=41（棵）【答案】41棵【例 2】从小猫家到小鹿家有一条小路，每隔45米种一棵树，加上两端共种53棵；现在改成每隔60米种一棵树．求可余下多少棵树?【考点】直线上的植树问题【难度】2星【题型】解答【解析】该题含植树问题、相差关系两组数量关系.从小熊家到小猪家的距离是：45×(53-1)=2340(米)，间隔距离变化后，两地之间种树：2340÷60+1=40(棵)，所以可余下树：53-40=13(棵) ，综合算式为：53-[45×(53-1)÷60+1]=13(棵).【答案】13棵【巩固】从甲地到乙地每隔30米安装一根电线杆，加上两端共31根；现在改成每隔45米安装一根电线杆．求还余下多少根电线杆?【考点】直线上的植树问题【难度】2星【题型】解答【解析】该题含植树问题、相差关系两组数量关系.解：①从甲地到乙地距离多少米?30×（31-1）=900 (米)②间隔距离变化后，甲乙两地之间安装多少根电线杆?900÷45=20(根)，20+1=21（根）③还需要下多少根电线杆?31-21=10(根)【答案】10根【例 3】小亮上楼，从第一层走到第三层需要走20级台阶．如果从第一层走到第六层需要走多少级台阶?(各层楼之间的台阶数相同)【考点】直线上的植树问题【难度】2星【题型】解答【解析】 题意的实质反映的是一线段上的点数与间隔数之间的关系．线段示意图如下：①每相邻两层楼之间有多少级台阶?20÷（3-1）=10(级)②从第一层走到第六层共多少级台阶?10×（6-1）=50(级)【答案】50级【巩固】 丁丁和爸爸两个人比赛跑楼梯，从一层开始比赛，丁丁到四层时，爸爸到三层，如此算来，丁丁到16层时，爸爸跑到了几层？【考点】直线上的植树问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 丁丁实际跑了三层的距离，爸爸跑了两层的距离，到16层需要跑15层的距离，所以丁丁跑了1535÷=（个）三层的距离，爸爸同时跑了5个两层的距离．所以爸爸跑到了52111⨯+=（层）． 【答案】11层【例 4】 有一个报时钟，每敲响一下，声音可持续2秒．如果敲响6下，那么从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要42秒．现在敲响12下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要多长时间？【考点】直线上的植树问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 每次敲完以后，声音持续2秒，那么从敲完第一下到敲完第6下，一共经历的时间是42-2=40（秒），而这之间只有615-=（个）间隔，所以每个间隔时间是4058÷=（秒），现在要敲响12下，所以一共经历的时间是11个间隔和2秒的持续时间，一共需要时间是：11×8+2=90（秒）．【答案】90秒【例 5】 元宵节到了，实验中学学校大门上挂了红绿两种颜色的彩灯，从头到尾一共挂了21只，每隔30分米挂一只红灯，相邻的2只红灯之间挂了一只绿灯，问实验中学学校的大门有多宽？【考点】直线上的植树问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 一共挂了21只彩灯说明彩灯中间的间距有：21-1=20（个），每隔30分米挂一只红灯，相邻的2只红灯之间挂了一只绿灯，说明每个间距的长是：30÷2=15（分米），所以学而思学校的大门宽度为：15×20=300（分米）【答案】300分米【巩固】 校门口放着一排花，共10盆．从左往右数茉莉花摆在第6，从右往左数，月季花摆在第8， 一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间．算一算，一串红花一共有多少盆？【考点】直线上的植树问题【难度】1星 【题型】解答【解析】 从左往右数茉莉花摆在第6，那么从右往左数茉莉花就是第：10(61)5--=（盆）花，从右往左数，月季花摆在第8，从左往右数月季花就是第：10(81)3--=（盆）花，一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间，一串红花一共有：10532--=（盆）．【答案】2盆【例 6】 裁缝有一段20米长的呢子，每天剪去2米，第几天剪去最后一段？【考点】直线上的植树问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就可以剪去最后一段，4米里有2个2米，只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，还剩4米，第二天就可以剪去最后一段，6米里有3个2米，只用2天；如果呢子有8米，第一天剪去2米，还剩6米，第二天再剪2米，还剩4米，这样第三天即可剪去最后一段，8米里有4个2米，用3天，……我们可以从中发现规律：所用的天数比2米的个数少1．因此，只要看20米里有几个2米，问题就可以解决了．20米中包含2米的个数：20÷2=10（个）剪去最后一段所用的天数：10-1=9（天），所以裁缝第9天剪去最后一段．【答案】9天【巩固】 一根木料在25秒内被锯成了6段，用同样的速度锯成5段，需要多少秒？【考点】直线上的植树问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 锯的次数总比锯的段数少1．因此，在25秒内锯了6段，实际只锯了5次，这样我们就可以求出锯一次所用的时间了，又由于用同样的速度锯成5段；实际上锯了4次，这样锯成5段所用的时间就可以求出来了．所以锯一次所用的时间：25÷（6-1）=5（秒），锯5段所用的时间：5×（5-1）=20（秒）． 【答案】20秒【例 7】 有三根木料，打算把每根锯成3段，每锯开一处需用3分钟，全部锯完需要多少分钟?【考点】直线上的植树问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 求锯的次数属植树问题思路．一根木料锯成了3段，只要锯312-=次，锯3根木料要236⨯=次，问题随之可求．解：①一根木料要锯成3段，共要锯多少次?312-=(次)②锯开三根木料要多少次?236⨯=(次)③锯三根木料要多少时间?3618⨯=(分钟)综合算式：3[(31)3]18⨯-⨯=(分钟)或3(31)318⨯-⨯=(分钟)【答案】18分钟二、封闭植树问题【例 8】在一个长345米、宽240米的长方形草坪四周等距离地栽一些松树，要求四个顶点和每边中点都正好栽一棵松树，则最少要买松树苗棵。

《植树问题》（封闭图形）张楼乡孙渠小学梅红霞《植树问题》（封闭图形）教学内容人教2011课标版课本第108页例3相关内容。

教学目标1．运用转化的方法，使学生理解在一条首尾封闭的曲线上植树所需棵数与间隔数“一一对应”的数学模型。

2．进一步培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，以及抽取数学模型的能力。

教学重点理解在一条首尾相接的封闭曲线上植树的基本数学模型。

教学难点培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。

教学准备有关的课件。

教学过程一、谈话引入。

同学们，我们前面已经研究了植树问题，还会运用植树问题解决许多生活中的实际问题，那么关于植树问题你掌握了那些知识? 谁来说一说？（在一条线段上植树可以分成三种情况：两端都栽时，棵数比间隔数多1；两端都不栽时，棵数比间隔数少1；一端栽一端不栽时，棵数和间隔数相等。

）教师：在解决复杂问题时，我们是怎么做的？（可以从简单的事例中发现规律，再应用找到的规律来解决原来的问题。

）二、探究新知。

1．出示例题，展开探究例3：张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。

池塘的周长是120 m，如果每隔10 m栽一棵，一共要栽多少棵树？教师：这道题与前面学习的植树问题相比，有什么不同的地方？【不同之处在于前面学习的是在线段上植树的问题，这道题是在一个圆形周围植树。

（教师追问1：线段是怎样的？圆形又是怎样的？）线段是直的，圆形是一条曲线。

（教师追问2：一条什么样的曲线？）】得出：一条首尾相接的封闭曲线。

（封闭图形）揭示课题：这节课我们就来学习封闭图形上的植树问题。

2．概括归纳，得出模型（1）探索交流师：一共要栽多少棵树？封闭的图形上植树的棵数和间隔数有怎样的关系呢?想不想研究一下?你打算利用什么方法进行研究呢?(画图)师: 这道题目里的120米的数据较大,我们可以截取较小的数来研究,这样就把复杂的问题转化为简单的问题。

数学上叫化繁为简。

如果把120米长的小路改为40米长的小路，其它条件不变，一共要栽多少棵树？（2）学生自己先画图然后小组交流。