北大附中朝阳未来学校2019-2020学年高二年级第二学期期末考试数学试卷

2019-2020学年北京市清华附中高二（下）期末数学试卷1.（单选题，4分）集合A={x∈Z|-2＜x＜2}的子集个数为（）A.4B.6C.7D.8）2.（单选题，4分）函数f（x）=√x2−2xA.（0，2）B.[0，2]C.（-∞，0）∪（2，+∞）D.（-∞，0]∪[2，+∞）3.（单选题，4分）在复平面内，复数i（1+i）对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.（单选题，4分）已知函数f（x）=ln（1-x）-ln（1+x），则f（x）（）A.是奇函数，且在定义域上是增函数B.是奇函数，且在定义域上是减函数C.是偶函数，且在区间（0，1）上是增函数D.是偶函数，且在区间（0，1）上是减函数−y2 =1（a＞0）的一条渐近线方程为x+2y=0，则其离心5.（单选题，4分）已知双曲线x2a率为（）A. √52B. √174C. √32D. √1546.（单选题，4分）已知圆C：x2+（y-1）2=2，若点P在圆C上，并且点P到直线y=x的距，则满足条件的点P的个数为（）离为√22A.1B.2C.3D.47.（单选题，4分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为（）A. √2B.2C.2 √2D.2 √38.（单选题，4分）已知平面向量a⃗和b⃗⃗，则“| b⃗⃗ |=| a⃗ - b⃗⃗|”是“（b⃗⃗−1a⃗）•a⃗=0”的（）2A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.（单选题，4分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足下列两个条件：＞0；① 对任意的x1，x2∈[4，8]，且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2② ∀x∈R，都有f（x+8）=f（x）．若a=f（-7），b=f（11），c=f（2020），则a，b，c的大小关系正确的是（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.b＜c＜aD.c＜b＜a10.（单选题，4分）某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了最后角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c （a＞b＞c，且a，b，c∈N*）；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（）A.每场比赛的第一名得分a为4B.甲至少有一场比赛获得第二名C.乙在四场比赛中没有获得过第二名D.丙至少有一场比赛获得第三名11.（填空题，5分）（2x+ 1x）4的展开式中的常数项为___ ．12.（填空题，5分）抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为___ ．13.（填空题，5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=___ ；数列{a n}的前n项和的最小值为___ ．14.（填空题，5分）在△ABC中，三边长分别为a=4，b=5，c=6，则△ABC的最大内角的余弦值为___ ，△ABC的面积为___ ．15.（填空题，5分）设函数f（x）= {log2x−a，x≥15(x−a)(x−3a)，x＜1．① 若a=1，则f（x）的最小值为___ ；② 若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是___ ．16.（问答题，14分）已知函数f（x）=asin2x+2cos2x，且满足f（x）的图象过点（- π6，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[- π12，m]上的最大值为3，求实数m的取值范围．17.（问答题，14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，BC⊥AC，AC=BC=CC1=3，AE= 13 AA1，C1F= 13CC1．（Ⅰ）求证：CE || 面A1FB1；（Ⅱ）求直线AC1与面A1FB1所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角A-FB1-A1的余弦值．18.（问答题，14分）某校高二年级学生全部参加了居家线上趣味运动会的个人跳绳项目，现从中随机抽取40名学生的跳绳测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到跳绳成绩的折线图（如图）．（Ⅰ）跳绳成绩大于或等于90分的学生常被称为“跳绳小达人”．已知该校高二年级有1000名学生，试估计高二全年级中“跳绳小达人”的学生人数：（Ⅱ）为了了解学生居家体育锻炼情况，现从跳绳成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，记X表示在抽取的2名学生中体育成绩在[60，70）的学生人数，求X的分布列：（Ⅲ）假设甲、乙、丙三名学生的跳绳成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N．当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值．（结论不要求证明）（注：s2= 1n[（x1−x）2+（x2- x）2+…+（x n−x）2]，其中x为数据x1，x2，…，x n的平均数）19.（问答题，14分）已知椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√22，右焦点为F（1，0），O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：x=ty+1（t≠0）交椭圆C于A、B两点，且点B关于x轴的对称点为D，直线AD与x轴交于点M．求△OFB与△FAM面积之差的绝对值的最大值．20.（问答题，15分）已知函数f（x）=lnx+ax2-（2a+1）x．（Ⅰ）当a=-1时，求证：f（x）恰有1个零点；（Ⅱ）若f（x）存在极大值，且极大值小于0，求a的取值范围．21.（问答题，14分）设有穷数列A：a1，a2，……，a n（n≥3）满足a i∈N*（i=1，2，……，n）且a1＜a2＜……＜a n．将C n2个a i+a j（1≤i＜j≤n）的值从小到大排列，记作数列B．（1）对数列A：1，3，5，7，9，直接写出数列B；（2）若数列A为等差数列，且数列B的所有项之和为100，求所有满足条件的数列A；（3）若存在数列A使得数列B为等差数列，求项数n的所有可能值．。

2019-2020学年北京市清华附中高二下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.若集合则集合B不可能是()A. B.C. D.2.已知f(1+log a x)=√2x−1(a>0且a≠1).若f(4)=3，则a=()A. 12B. √22C. √2D. 23.设复数z1=1−3i，z2=3+2i，则z1z2在复平面内对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.设f(x)是定义在R的偶函数，对任意xÎR，都有f(x−2)=f(x+2)，且当xÎ[−2,0]时，f(x)=.若在区间(−2,6]内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A. (1,2)B. (2,+¥)C. (1,)D. (，2)5.在区间[2,4]和[1,5]上分别随机取一个数，记为a，b，则双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率e∈[√52,√5]的概率为()A. 23B. 532C. 2732D. 786.已知圆C：x2+y2=1，直线l：x=2，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点()A. (12,0) B. (0,2) C. (2,1) D. (12,1)7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的最长棱的长度是()A. 2√5B. 6C. 2√6D. 4√38.角A ，B 是△ABC 的两个内角．下列六个条件中，“A >B ”的充分必要条件的个数是( )①sinA >sinB ； ②cosA <cosB ； ③tanA >tanB ； ④sin 2A >sin 2B ； ⑤cos 2A <cos 2B ； ⑥tan 2A >tan 2B .A. 5B. 6C. 3D. 49.设定义在R 上的奇函数f(x)满足，对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 2−x 1>0，且f(2)=0，则不等式3f(−x)−2f(x)4x≤0的解集为( )A. (−∞,−2]∪(0，2]B. [−2,0]∪[2,+∞)C. (−∞,−2]∪[2,+∞)D. [−2,0)∪(0,2]10. 若三角形的三边均为正整数，其中有一边长为4，另外两边长分别为b 、c ，且满足b ≤4≤c ，则这样的三角形有．( )A. 10个B. 14个C. 15个D. 21个二、单空题（本大题共2小题，共10.0分） 11. 求(x 2−2x )4展开式中x 5的系数为______ ．12. 已知动点P 到定点(2,0)的距离和它到定直线l:x =−2的距离相等，则点P 的轨迹方程为_________．三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．(1)设a i,j (i,j ∈N ∗)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 5,2=11，则a 10,7= (1) ；(2)设T 2n 表示三角形数表中第2n 行的所有数的和，其中n ∈N ∗，则T 2n = (2) ．14. 已知平面向量a 与b 的夹角为π6，|a |=√3，|b |=1，则|a −b |= ；若平行四边形ABCD满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a −b ，则平行四边形ABCD 的面积为 ．15.已知函数f(x)=|x−1|+|x|+|x+1|，且f(a2−3a+2)=f(a−1)，则f(x)的最小值为(1)；满足条件的所有a的值为(2)．四、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.已知．(Ⅰ)求sin x的值；(Ⅱ)求的值．17.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，⊥平面，，点分别为和中点．(1)求证：直线平面；(2)求与平面所成角的正弦值．18.寒假期间，很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动，下表是今年某个档口某种精品的销售数据．日期2月14日2月15日2月16日2月17日2月18日天气小雨小雨阴阴转多云多云转阴销售量(件)白天3933434154晚上4246505161已知摊位租金900元/档，精品进货价为9元/件，售价为12元/件，售余精品可以以进货价退回厂家．(1)画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；(2)从表中可知：2月14、15日这两个下雨天的平均销售量为80件/天，后三个非雨天平均销售量为100件/天，以此数据为依据，除天气外，其它条件不变．假如明年花市5天每天下雨的概率为15，且每天是否下雨相互独立，你准备在迎春花市租赁一个档口销售同样的精品，推测花市期间所租档口大约能售出多少件精品？(3)若所获利润大于500元的概率超过0.6，则称为“值得投资”，那么在(2)条件下，你认为“值得投资”吗？19. 如图，点F为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点，圆A：(x−t)2+y2=163(t<0)与椭圆C的一个公共点为B(0,2)，且直线FB与圆A相切于点B．(Ⅰ)求t的值和椭圆C的标准方程；(Ⅱ)若F′是椭圆C的左焦点，点P是椭圆C上除长轴上两个顶点外的任意一点，且∠F′PF=θ，求θ的最大值．20. 函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为−3(1)求函数f(x)的解析式；(2)过点A(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．21. 已知数列的前项和(1)求数列的通项公式;(2)求的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：试题分析：由意义可知A 是B 的子集，而C 中的集合是全体实数R ，所以选C ． 考点：本小题主要考查集合之间的关系． 点评：考查集合之间关系的时候，不要忘记空集．2.答案：C解析：解：f(1+log a x)=√2x −1(a >0且a ≠1).f(4)=3， 可得：{1+log a x =4√2x −1=3，解得x =2√2，a =√2，故选：C ．利用函数的解析式，转化为方程组，求解即可．本题考查函数的解析式的应用，正确利用函数的定义，列出方程组是解题的关键，考查计算能力．3.答案：C解析：试题分析：由z 1=1−3i ，z 2=3+2i ，利用复数的代数形式的乘除运算，求出Z 1Z 2=1−3i 3+2i =−313−1113i ，由此能得到Z 1Z 2在复平面内对应的点所在象限．∵z 1=1−3i ，z 2=3+2i ， ∴Z 1Z 2=1−3i 3+2i=(1−3i)(3−2i)(3+2i)(3−2i)=3−9i−2i+6i 213=−313−1113i ，∴Z 1Z 2在复平面内对应的点(−313,−1113)在第三象限．故选C ．4.答案：B解析：试题分析：画出当x ∈[−2,0]时，函数f(x)=的图象(如图)．∵f(x)是定义在R 上的偶函数，∴当x ∈[0,2]时的函数f(x)的图象与当x ∈[−2,0]时，函数f(x)图象关于y 轴对称．∵对任意x ∈R ，都有f(x +2)=f(2−x)成立，∴函数f(x)的图象关于直线x =2对称． 根据以上的分析即可画出函数y =f(x)在区间[−2,6]上的图象． 当0<a <1时，可知不满足题意，应舍去； 当a >1时，画出函数y =log a (x +2)的图象．若使函数y =f(x)与y =log a (x +2)=0在区间(−2,6]内有3个实根，而在(−2,0)必有一个实根，只需在区间(0,6]内恰有两个不同的交点(即关于x 的方程f(x)−log a (x +2)=0在区间(0,6]内恰有两个不同的实数根)，则实数a 满足，log a (6+2)>3，∴a 3<8，∴a <2，又1<a ，∴1<a <2.故a 的取值范围为1<a <2.故选B ． 考点：本题主要考查函数的奇偶性、周期性，指数函数、对数函数的性质。

首都师大附中2019—2020学年第二学期期末考试高二数学考试说明：1.本考试共三大题，18小题，满分120分，考试时间为2020年7月1日14：00-15：30，共90分钟；2.请考生打印试卷，并在规定答题区域内作答：填空题在题末方框内横线处作答，解答题在题末每题对应的方框内作答.若不便打印，请准备空白A 4纸3张，标明题号后作答：将填空题作答在一面，4道解答题各一面，其中立体几何解答题请自行画图；3.考试结束后，考生立即停止作答，之后考生有30分钟的时间将★★★答案★★★拍照上传至慕课平台，上传规则如下：选择题和填空题在“期末考试高二数学选择填空”域内作答，选择题请根据题号和题目勾选选项，填空题请将答题区拍照上传；解答题请将答题区拍照，并上传至对应题目的区域.请务必保证图片清晰没有重影，位置放正，不合要求的图片对应的题目得分一律记零分.第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1. 已知集合{}2|20P x x x =-≥ ，{}|12Q x x =<≤ ，则()RP Q 等于（ ）A. [)0,1B. (]0,2C. ()1,2D. []1,2【★★★答案★★★】C 【解析】 【分析】先解不等式，化简集合P ，求出RP ，再和Q 求交集，即可得出结果.【详解】由220x x -≥得2x ≥或0x ≤，则{2P x x =≥或}0x ≤，因此{}02RP x x =<<；又{}|12Q x x =<≤，则(){}12RP Q x x ⋂=<<.故选：C.【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，熟记概念即可，属于基础题型. 2. 设命题2:0,10p x x x ∀>++>，则p ⌝为（ ） A. 2:0,10p x x x ⌝∃>++≤ B. 2:0,10p x x x ⌝∃≤++≤ C. 2:0,10p x x x ⌝∀>++≤ D. 2:0,10p x x x ⌝∀≤++≤【★★★答案★★★】A 【解析】 【分析】由全称命题的否定规则即可得解.【详解】因为命题2:0,10p x x x ∀>++>为全称命题， 所以p ⌝为20,10x x x ∃>++≤.故选：A.【点睛】本题考查了全称命题的否定，牢记知识点是解题关键，属于基础题. 3. 下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ） A. 21y x =-+B. 11xy x-=+ C. 1y x=-D.y x x =【★★★答案★★★】D 【解析】 【分析】由函数的单调性和奇偶性，逐项判断即可得解.【详解】对于A ，函数21y x =-+为偶函数，故A 错误； 对于B ，函数11xy x-=+的定义域为{}1x x ≠-，所以该函数为非奇非偶函数，故B 错误； 对于C ，函数1y x=-在整个定义域内不单调，故C 错误； 对于D ，函数22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，所以该函数为奇函数且单调递增，故D 正确.故选：D.【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的判断，考查了运算求解能力，属于基础题. 4. “2a >”是“函数()2f x ax =+在区间[]1,2-上有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【★★★答案★★★】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及函数零点的存在性定理求解即可. 【详解】当2a >时，函数()2f x ax =+在[]1,2-上递增，则()()()()122220f f a a -=-++<，所以函数()f x 在[]1,2-有零点.反之，当()2f x ax =+在[]1,2-上有零点时，则只需满足()()()()122220f f a a -=-++≤，解得1a ≤-或2a ≥.故2a >”是“函数()2f x ax =+在区间[]1,2-上有零点”的充分不必要条件. 故选：A .【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查函数零点的存在性定理的运用，较简单.5. 已知函数()f x 的定义域为[)2-+∞，，部分对应值如下表；()f x '为()f x 的导函数，函数()y f x '=的图象如下图所示.若实数a 满足()211f a +≤，则a 的取值范围是（ ） x2-0 4 ()f x11-1A. 33,22⎛⎫-⎪⎝⎭B. 13,22⎛⎫-⎪⎝⎭C. 33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【★★★答案★★★】A 【解析】 【分析】由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到()f x 的单调性，结合函数的单调性即可求得a 的取值范围.【详解】由导函数的图象知：()2,0x ∈-时，()0f x '<，()0,x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()2,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 因为()211f a +≤，()21f -=，()41f =， 所以2214a -<+<， 可得：3322a -<<， 故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导函数的符号判断原函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题.6. 已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若()2f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A. (],0-∞B. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. []1,0-【★★★答案★★★】D 【解析】 【分析】由题意作出()y f x =与2y ax =的图象，由图分析，当0x <时，()()()2222g x f x x x x x ==--+=-，()()00|22|2x x g x x =='=-=-，当10a -≤≤时，()2f x ax ≥.【详解】因为22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，所以()y f x =与2y ax=图象如下：由图可知：当0x <时，()()()2222g x f x x x x x ==--+=-，()()00|22|2x x g x x =='=-=-，当220a -≤≤时，也即10a -≤≤时，()2f x ax ≥.故选：D【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性与特殊点，考查分段函数的作图，以及函数恒成立问题，考查导数的几何意义，属于难题.7. 当0a >时，函数()()2xf x x ax e =-的图象大致是（ ）A. B.C. D.【★★★答案★★★】B 【解析】由()0f x =，解得20x ax -=，即0x =或x a =，0,a >∴函数()f x 有两个零点，,A C ∴，不正确，设1a =，则()()()()22,'1x x f x x x e f x x x e =-∴=+-，由()()2'10x f x x x e =+->，解得x >或x <由()()2'10xf x x e =-<，解得：x <<，即1x =-是函数的一个极大值点，D ∴不成立，排除D ，故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.8. 已知非空集合A ，B 满足以下两个条件： （i ）{}1,2,3,4,5AB =，A B =∅；（ii ）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素， 则有序集合对(),A B 的个数为（ ） A. 7B. 8C. 9D. 10【★★★答案★★★】B 【解析】 【分析】结合题意，按照集合中的元素个数分类，即可得解. 【详解】由题意，符合要求的情况分为以下几类：（1）当集合A 只有一个元素时，集合B 中有四个元素，1A ∉且4B ∉， 故{4}A =，{1,2,3,5}B =，共计1种；（2）当集合A 有两个元素时，集合B 中有三个元素，2A ∉且3B ∉， 故可能结果为：①{1,3}A =，{2,4,5}B =；②{3,4}A =，{}1,2,5B =；③{}3,5A =，{1,2,4}B =，共计3种；（3）当集合A 有三个元素时，集合B 中有两个元素，3A ∉且2∉B ， 故可能结果为：①{2,4,5}A =，3{}1,B；②{}1,2,5A =，{3,4}B =；③{1,2,4}A =，{}3,5B =，共计3种；（4）当集合A 中有4个元素时，集合B 中有1个元素，4A ∉且1B ∉， 故{1,2,3,5}A =，{4}B =，共计1种． 所以有序集合对(),A B 的个数为13318+++=. 故选：B.【点睛】本题考查了根据集合的运算结果及集合中元素的性质确定集合，考查了运算求解能力，属于中档题.第Ⅱ卷（共80分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.函数()f x ______． 【★★★答案★★★】(0,2] 【解析】 【分析】根据定义域的求法：()())0f x g x =≥（n 为偶数）、()()()()log 0a f x g x g x =>．【详解】由题意得200021log 002x x x x x >>⎧⎧⇒⇒<≤⎨⎨-≥<≤⎩⎩【点睛】常见函数定义域的求法：()())0f x g x =≥（n 为偶数）()()()()log 0a f x g x g x =>()()()()0g x f x f x ≠10. 函数()f x x =的值域是__________.【★★★答案★★★】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】由题意令0t t =≥，进而可得21()(1),02f t t t =+≥，由二次函数的性质即可得解.【详解】函数()f x x =，令0t t =≥，则21122x t =+， 则22111()(1),0222f t t t t t =++=+≥， 所以1t =-是抛物线的对称轴，且开口向上，所以在1t ≥-时函数单调递增，最小值在0t =处取得，为11022+=， 因而()f x 的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故★★★答案★★★为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了函数值域的求解，考查了换元法的应用及运算求解能力，属于基础题. 11. 已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0 1x <<时，()2f x x=，则5(0)2f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭__________. 【★★★答案★★★】4- 【解析】 【分析】由函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，可得(0)0f =，551122222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再结已知函数关系可得★★★答案★★★ 【详解】解：因为函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，所以(0)0f =，551122222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为当0 1x <<时，()2f x x=， 所以124122f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以542f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以5(0)4042f f ⎛⎫-+=-+=- ⎪⎝⎭， 故★★★答案★★★为：4-【点睛】此题考查函数的奇偶性和周期性的应用，属于基础题12. 函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，若()()3f a f ≤，则实数a 的取值范围是__________.【★★★答案★★★】(,3][3,)-∞-+∞ 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得()y f x =在[0,)+∞上递减，由()()3f a f ≤可得()()3f a f ≤，从而可得3a ≥，进而可求出a 的取值范围【详解】解：因为函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数， 所以()f x 在[0,)+∞上递减，因为函数()y f x =是R 上的偶函数，()()3f a f ≤， 所以()()3fa f ≤，所以3a ≥解得3a ≤-或3a ≥所以a 的取值范围为(,3][3,)-∞-+∞【点睛】此题考查偶函数的性质的应用，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基础题13. 函数()f x 的定义域为[]1,1-，图象如图1所示；函数()g x 的定义域为[]1,2-，图象如图2所示.若集合()(){}0A x f g x ==∣，()(){}0B xg f x ==，则AB 中有__________个元素.【★★★答案★★★】4 【解析】 【分析】由函数的图象转化条件得{}1,0,1,2A =-，{}1,0,1B =-，再由并集的定义即可得解. 【详解】由图象可得，若()()0f g x =，则()1g x =-或()0g x =或()1g x =， 所以1x =-或0x =或1x =或2x =，所以()(){}{}01,0,1,2A xf g x ===-∣； 若()()0g f x =，则()0f x =或()2f x =， 所以1x =-或0x =或1x =，所以()(){}{}01,0,1B x g f x ===-； 所以{}1,0,1,2A B ⋃=-，共4个元素. 故★★★答案★★★为：4.【点睛】本题考查了函数的表示及集合的并集运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 14. 已知函数()f x 的定义域为R .若存在常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P .给定下列三个函数：①()cos f x x =；②()x f x e =；③3()f x x x =-.其中，具有性质P 的函数的序号是__________. 【★★★答案★★★】②③【解析】 【分析】由新定义，结合三角恒等变换、指数函数的单调性及一元二次不等式的知识，代入计算即可得解.【详解】对于①，若()()f x c f x c +>-，则()()cos cos x c x c +>-， 所以cos cos sin sin cos cos sin sin x c x c x c x c ->+，即sin sin 0x c <，因为sin c 为常数，所以sin sin 0x c <不恒成立，所以()()f x c f x c +>-不恒成立， 故①错误；对于②，因为0c >，函数()xf x e =单调递增，所以x c x c +>-，所以()()f x c f x c +>-恒成立，故②正确；对于③，若()()f x c f x c +>-，则33()()()()x c x c x c x c +-+>---，化简可得2330cx c c +->，当30c c ->即1c >时，2330cx c c +->恒成立，即()()f x c f x c +>-恒成立， 故③正确.故★★★答案★★★为：②③.【点睛】本题以全称命题为依托，综合考查了三角恒等变换、指数函数的单调性及一元二次不等式的知识，属于中档题.三、解答题（本大题共4小题，共50分）15. 已知a ∈R ，函数()2()()xf x x ax e x =+∈R . （1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()1,1-上单调递减，求a 的取值范围.【★★★答案★★★】（1）()f x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上递增，在(2,0)-上递减；（2）3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a 的不等式组，解出即可【详解】解：（1）当0a =时，2()x f x x e =，则'()(2)xf x xe x =+，令'()0f x >，得0x >或2x <-，令'()0f x <，得20x -<<， 所以()f x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上递增，在(2,0)-上递减；（2）'2()[(2)]x f x x a x a e =+++，令2()(2)g x x a x a =+++，若函数()f x 在()1,1-上单调递减，则()0g x ≤在()1,1-上恒成立，则(1)1(2)0(1)1(2)0g a a g a a -=-++≤⎧⎨=+++≤⎩，解得32a ≤-，所以a 的取值范围为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，【点睛】此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查由函数的单调性求参数范围，考查二次函数的性质，属于基础题16. 在四棱锥P ABCD -的底面ABCD 中，//BC AD ，CD AD ⊥，PO ⊥平面ABCD ，O 是AD 的中点，且222PO AD BC CD ====．（1）求证：//AB 平面POC ； （2）求二面角O PC B--余弦值．【★★★答案★★★】（1）证明见解析；（210【解析】 【分析】（1）连接OC ，证明//AB OC 即得证；（2）以O 为原点，OB 、OD 和OP 分别为x 、y 和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求二面角O PC B --的余弦值． 【详解】1（）证明：连接OC ，O 是AD 的中点，12AO AD BC ∴==， 又//BC AD ，∴四边形ABCO 为平行四边形，//AB OC ∴，AB ⊄面POC ，OC ⊂面POC ，//AB ∴面POC ．2（）解：O 是AD 的中点，12BO AD BC ∴==， 又//BC AD ，∴四边形OBCD 为平行四边形，CD AD ⊥，∴平行四边形OBCD 为矩形，OB OD ∴⊥，PO ⊥平面ABCD ，OB 、OD ⊂面ABCD ，PO OB ∴⊥，PO OD ⊥．以O 为原点，OB 、OD 和OP 分别为x 、y 和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0O ，0，0)，(0P ，0，2)，(0B ，1，0)，(1C ，1，0)， (0OP ∴=，0，2)，(1OC =，1，0)，()012BP =-，，，(1BC =，0，0)， 设平面OPC 的法向量为(m x =，y ，)z ，则00m OP m OC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200z x y =⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，0z =，()110m ∴=-，，， 同理可得，平面BPC 法向量(0n =，2，1)，cos m ∴<，52m n n m n ⋅>===-⋅⨯，由题可知，二面角O PC B --的平面角为锐角，故二面角O PC B --的余弦值为5． 【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.17. 已知函数32()3(,)f x ax bx x a b =+-∈R ，在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若对于区间[]3,3-上任意两个自变量的值1x ，2x ，有()()12f x f x c -≤，求实数c 最小值；（3）过点()(2,)2M m m ≠，只能作曲线()y f x =的一条切线，求实数m 的取值范围. 【★★★答案★★★】（1）()33f x x x =-；（2）36；（3）6m <-或2m >【解析】 【分析】（1）由题意利用导数的几何意义即切点坐标列方程，即可求解；（2）由题意，对于定义域内任意两个自变量有()()12f x f x c -≤，可转化为求函数在定义域内的最值即可求解；（3）由题意，过点()(2,)2M m m ≠，只能作曲线()y f x =的一条切线，等价于函数在切点处的导函数值等于切线的斜率这一方程由1解.【详解】（1）2()323(,)f x ax bx a b '=+-∈R ，由题意得：()()1010f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即323230a b a b +-=-⎧⎨+-=⎩， 解得：10a b =⎧⎨=⎩， 所以()33f x x x =-.（2）令2()330f x x '=-=，得1x =±，所以()f x 在(),1-∞-和()1,+∞单调递增，在()1,1-单调递减， 所以()f x 在()3,1--单调递增，在()1,1-单调递减，()1,3单调递增，()327918f -=-+=-，()1132f =-=-，()1132f -=-+=，()327918f =-=所以()()max 327918f f x ==-=，()()min 327918f f x =-=-+=-， 对于区间[]3,3-上任意两个自变量的值1x ，2x ，有()()()()12max min 36f x f x f x f x -≤-=，所以36c ≥，c 最小值为36.（3）因为点()(2,)2M m m ≠不在曲线()y f x =上，所以可以设切点为()00,x y ，则30003y x x =-，因为020()33f x x '=-，所以切线的斜率为0233x -，则0003203332x x m x x ---=-，即20036062x x m ++=-，因为过点()(2,)2M m m ≠，只能作曲线()y f x =的一条切线，所以方程20036062x x m ++=-有1个实数解，所以()32266g x x x m =-++有1个零点，则()2612g x x x '=-，由()21260g x x x -'=>，得2x >或0x <，由()21260g x x x -'=<，得02x <<，所以()32266g x x x m =-++在0x =处取得极大值，在2x =处取得极小值，若()32266g x x x m =-++有1个零点，则()060g m =+<或()2162460g m =-++>，解得：6m <-或2m >【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数求单调区间、极值和最值，考查了等价转化的思想，考查了函数与方程的相关知识，属于中档题,18. 已知M 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意()f x M ∈，①方程()0f x x -=有实数根；②函数()f x 的导数()f x '满足()0 1f x '<<. （1）判断函数cos ()24x x f x =-是集合M 中的元素，并说明理由； （2）集合M 中的元素()f x 具有下面的性质：若()f x 的定义域为D ，则对于任意[],m n D ⊆，都存在0(,)x m n ∈，使得等式()0()()()f n f m n m f x '-=-成立.试用这一性质证明：方程()0f x x -=有且只有一个实数根；（3）对任意()f x M ∈，且(,)x a b ∈，求证：对于()f x 定义域中任意的1x ，2x ，3x ，当211x x -<，且311x x -<时，()()322f x f x -<.【★★★答案★★★】（1）是，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）判断函数cos ()24x x f x =-是否满足条件①②； （2）利用反证法进行证明，假设方程()0f x x -=有存在两个实数根，然后寻找矛盾，从而肯定结论；（3）构造()f x x -函数，研究函数()f x x -的单调性，从而得到()()3232||f x f x x x -<-，再利用绝对值不等式即可得证.【详解】（1）函数cos ()24x xf x =-是集合M 中的元素，理由如下， ①，cos cos ()2424x x x xf x x x -=--=--， 令1()2x f x =-，2cos ()4x f x =，图象如图，1()2x f x =-与2cos ()4x f x =的图象在,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有一个交点，所以方程()0f x x -=有实数根； ②，1sin ()24xf x '=+，所以1sin 13(),2444x f x ⎡⎤'=+∈⎢⎥⎣⎦，满足条件()01f x '<<， 所以函数cos ()24x xf x =-是集合M 中的元素. （2）假设方程()0f x x -=存在两个实数根,αβ，且αβ≠， 则()0fαα-=，()0f ββ-=，不妨设αβ<，根据题意存在(,)c αβ∈， 满足()()()()ff f c βαβα'-=-，因为()f αα=，()f ββ=，αβ≠，所以()1f c '=，与已知()01f x '<<矛盾，又方程()0f x x -=有实数根， 所以方程()0f x x -=有且只有一个实数根. （3）当23x x =时，结论显然成立；当23x x ≠时，不妨设32b a x x <<<，因为(),x a b ∈，且()0f x '>，所以()f x 是增函数，那么32(())f f x x <，又因为()10f x '-<，所以()f x x -为减函数，所以2233(())f f x x x x ->-，所以32320(())x f x x x f -<-<，即2332())|||(|x f x x x f -<-，因为211x x -<，所以1211x x -<-<①，又因为311x x -<，所以3111x x -<-<②， ①+②得，3222x x -<-<，即32||2x x -<，所以()()2233||2f x f x x x -<-<， 综上所述，对于任意符合条件的1x ，2x ，3x ，总有()()322f x f x -<成立.【点睛】本题考查了导数的运算，反证法，以及不等式的证明，函数的性质和不等式的证明是本题的主要考查点，考查学生的理解能力和分析能力，读懂题意是解本题的前提.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

2019-2020学年北京市首都师大附中高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{}2|20P x x x =-≥ ，{}|12Q x x =<≤ ，则()RP Q 等于（ ）A ．[)0,1B ．(]0,2C ．()1,2D ．[]1,2【答案】C【分析】先解不等式，化简集合P ，求出RP ，再和Q 求交集，即可得出结果.【详解】由220x x -≥得2x ≥或0x ≤，则{2P x x =≥或}0x ≤，因此{}02RP x x =<<；又{}|12Q x x =<≤，则(){}12RP Q x x ⋂=<<.故选：C.【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，熟记概念即可，属于基础题型. 2．设命题2:0,10p x x x ∀>++>，则p ⌝为（ ） A ．2:0,10p x x x ⌝∃>++≤ B ．2:0,10p x x x ⌝∃≤++≤ C ．2:0,10p x x x ⌝∀>++≤ D ．2:0,10p x x x ⌝∀≤++≤【答案】A【分析】由全称命题的否定规则即可得解.【详解】因为命题2:0,10p x x x ∀>++>为全称命题， 所以p ⌝为20,10x x x ∃>++≤.故选：A.【点睛】本题考查了全称命题的否定，牢记知识点是解题关键，属于基础题. 3．下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．21y x =-+ B ．11xy x-=+ C ．1y x=-D ．y x x =【答案】D【分析】由函数的单调性和奇偶性，逐项判断即可得解.【详解】对于A ，函数21y x =-+为偶函数，故A 错误； 对于B ，函数11xy x-=+的定义域为{}1x x ≠-，所以该函数为非奇非偶函数，故B 错误；对于C ，函数1y x=-在整个定义域内不单调，故C 错误； 对于D ，函数22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，所以该函数为奇函数且单调递增，故D 正确.故选：D.【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的判断，考查了运算求解能力，属于基础题. 4．“2a >”是“函数()2f x ax =+在区间[]1,2-上有零点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的概念及函数零点的存在性定理求解即可. 【详解】当2a >时，函数()2f x ax =+在[]1,2-上递增，则()()()()122220f f a a -=-++<，所以函数()f x 在[]1,2-有零点.反之，当()2f x ax =+在[]1,2-上有零点时，则只需满足()()()()122220f f a a -=-++≤，解得1a ≤-或2a ≥.故2a >”是“函数()2f x ax =+在区间[]1,2-上有零点”的充分不必要条件. 故选：A .【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查函数零点的存在性定理的运用，较简单.5．已知函数()f x 的定义域为[)2-+∞，，部分对应值如下表；()f x '为()f x 的导函数，函数()y f x '=的图象如下图所示.若实数a 满足()211f a +≤，则a 的取值范围是（ ）A ．33,22⎛⎫-⎪⎝⎭B ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭C ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到()f x 的单调性，结合函数的单调性即可求得a 的取值范围.【详解】由导函数的图象知：()2,0x ∈-时，()0f x '<，()0,x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()2,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 因为()211f a +≤，()21f -=，()41f =， 所以2214a -<+<， 可得：3322a -<<， 故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导函数的符号判断原函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题.6．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若()2f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]1,0-【答案】D【分析】由题意作出()y f x =与2y ax =的图象，由图分析，当0x <时，()()()2222g x f x x x x x ==--+=-，()()00|22|2x x g x x =='=-=-，当10a -≤≤时，()2f x ax ≥.【详解】因为22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，所以()y f x =与2y ax =的图象如下：由图可知：当0x <时，()()()2222g x f x x x x x ==--+=-，()()00|22|2x x g x x =='=-=-，当220a -≤≤时，也即10a -≤≤时，()2f x ax ≥.故选：D【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性与特殊点，考查分段函数的作图，以及函数恒成立问题，考查导数的几何意义，属于难题.7．当0a >时，函数()()2xf x x ax e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由()0f x =，解得20x ax -=，即0x =或x a =，0,a >∴函数()f x 有两个零点，,A C ∴，不正确，设1a =，则()()()()22,'1xxf x x x e f x x x e =-∴=+-，由()()2'10xf x x x e =+->，解得x >x <()()2'10x f x x e =-<，解得：x <<1x =-是函数的一个极大值点，D ∴不成立，排除D ，故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.8．已知非空集合A ，B 满足以下两个条件： （i ）{}1,2,3,4,5AB =，A B =∅；（ii ）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素， 则有序集合对(),A B 的个数为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】B【分析】结合题意，按照集合中的元素个数分类，即可得解. 【详解】由题意，符合要求的情况分为以下几类：（1）当集合A 只有一个元素时，集合B 中有四个元素，1A ∉且4B ∉， 故{4}A =，{1,2,3,5}B =，共计1种；（2）当集合A 有两个元素时，集合B 中有三个元素，2A ∉且3B ∉， 故可能结果为：①{1,3}A =，{2,4,5}B =；②{3,4}A =，{}1,2,5B =； ③{}3,5A =，{1,2,4}B =，共计3种；（3）当集合A 有三个元素时，集合B 中有两个元素，3A ∉且2∉B ， 故可能结果为：①{2,4,5}A =，3{}1,B；②{}1,2,5A =，{3,4}B =；③{1,2,4}A =，{}3,5B =，共计3种；（4）当集合A 中有4个元素时，集合B 中有1个元素，4A ∉且1B ∉， 故{1,2,3,5}A =，{4}B =，共计1种．所以有序集合对(),A B 的个数为13318+++=. 故选：B.【点睛】本题考查了根据集合的运算结果及集合中元素的性质确定集合，考查了运算求解能力，属于中档题.二、填空题9．函数()f x ______． 【答案】(0,2]【分析】根据定义域的求法：()())0f x g x =≥（n 为偶数）、()()()()log 0a f x g x g x =>．【详解】由题意得200021log 002x x x x x >>⎧⎧⇒⇒<≤⎨⎨-≥<≤⎩⎩【点睛】常见函数定义域的求法：()())0f x g x =≥（n 为偶数）()()()()log 0a f x g x g x =>()()()()0g x f x f x ≠10．函数()f x x =的值域是__________.【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由题意令0t t =≥，进而可得21()(1),02f t t t =+≥，由二次函数的性质即可得解. 【详解】函数()f x x =，令0t t =≥，则21122x t =+， 则22111()(1),0222f t t t t t =++=+≥， 所以1t =-是抛物线的对称轴，且开口向上，所以在1t ≥-时函数单调递增，最小值在0t =处取得，为11022+=， 因而()f x 的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了函数值域的求解，考查了换元法的应用及运算求解能力，属于基础题.11．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0 1x <<时，()2f x x=，则5(0)2f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭__________. 【答案】4-【分析】由函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，可得(0)0f =，551122222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再结已知函数关系可得答案 【详解】解：因为函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数， 所以(0)0f =，551122222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为当0 1x <<时，()2f x x=， 所以124122f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以542f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以5(0)4042f f ⎛⎫-+=-+=- ⎪⎝⎭， 故答案为：4-【点睛】此题考查函数的奇偶性和周期性的应用，属于基础题12．函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，若()()3f a f ≤，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】(,3][3,)-∞-+∞【分析】由偶函数的性质可得()y f x =在[0,)+∞上递减，由()()3f a f ≤可得()()3f a f ≤，从而可得3a ≥，进而可求出a 的取值范围【详解】解：因为函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数， 所以()f x 在[0,)+∞上递减，因为函数()y f x =是R 上的偶函数，()()3f a f ≤， 所以()()3fa f ≤，所以3a ≥解得3a ≤-或3a ≥所以a 的取值范围为(,3][3,)-∞-+∞【点睛】此题考查偶函数的性质的应用，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基础题13．函数()f x 的定义域为[]1,1-，图象如图1所示；函数()g x 的定义域为[]1,2-，图象如图2所示.若集合()(){}0A x f g x ==∣，()(){}0B x g f x ==，则AB 中有__________个元素.【答案】4【分析】由函数的图象转化条件得{}1,0,1,2A =-，{}1,0,1B =-，再由并集的定义即可得解.【详解】由图象可得，若()()0f g x =，则()1g x =-或()0g x =或()1g x =， 所以1x =-或0x =或1x =或2x =，所以()(){}{}01,0,1,2A xf g x ===-∣； 若()()0g f x =，则()0f x =或()2f x =， 所以1x =-或0x =或1x =，所以()(){}{}01,0,1B x g f x ===-；所以{}1,0,1,2A B ⋃=-，共4个元素. 故答案为：4.【点睛】本题考查了函数的表示及集合的并集运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 14．已知函数()f x 的定义域为R .若存在常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P .给定下列三个函数：①()cos f x x =；②()x f x e =；③3()f x x x =-.其中，具有性质P 的函数的序号是__________. 【答案】②③【分析】由新定义，结合三角恒等变换、指数函数的单调性及一元二次不等式的知识，代入计算即可得解.【详解】对于①，若()()f x c f x c +>-，则()()cos cos x c x c +>-， 所以cos cos sin sin cos cos sin sin x c x c x c x c ->+，即sin sin 0x c <，因为sin c 为常数，所以sin sin 0x c <不恒成立，所以()()f x c f x c +>-不恒成立， 故①错误；对于②，因为0c >，函数()xf x e =单调递增，所以x c x c +>-，所以()()f x c f x c +>-恒成立，故②正确；对于③，若()()f x c f x c +>-，则33()()()()x c x c x c x c +-+>---，化简可得2330cx c c +->，当30c c ->即1c >时，2330cx c c +->恒成立，即()()f x c f x c +>-恒成立， 故③正确. 故答案为：②③.【点睛】本题以全称命题为依托，综合考查了三角恒等变换、指数函数的单调性及一元二次不等式的知识，属于中档题.三、解答题15．已知a ∈R ，函数()2()()xf x x ax e x =+∈R . （1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()1,1-上单调递减，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上递增，在(2,0)-上递减；（2）3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a 的不等式组，解出即可【详解】解：（1）当0a =时，2()x f x x e =，则'()(2)x f x xe x =+，令'()0f x >，得0x >或2x <-，令'()0f x <，得20x -<<， 所以()f x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上递增，在(2,0)-上递减；（2）'2()[(2)]x f x x a x a e =+++，令2()(2)g x x a x a =+++，若函数()f x 在()1,1-上单调递减，则()0g x ≤在()1,1-上恒成立，则(1)1(2)0(1)1(2)0g a a g a a -=-++≤⎧⎨=+++≤⎩，解得32a ≤-，所以a 的取值范围为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，【点睛】此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查由函数的单调性求参数范围，考查二次函数的性质，属于基础题16．在四棱锥P ABCD -的底面ABCD 中，//BC AD ，CD AD ⊥，PO ⊥平面ABCD ，O 是AD 的中点，且222PO AD BC CD ====．（1）求证：//AB 平面POC ； （2）求二面角O PC B --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）105． 【分析】（1）连接OC ，证明//AB OC 即得证；（2）以O 为原点，OB 、OD 和OP 分别为x 、y 和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求二面角O PC B --的余弦值． 【详解】1（）证明：连接OC ，O 是AD 的中点，12AO AD BC ∴==， 又//BC AD ，∴四边形ABCO 为平行四边形，//AB OC ∴，AB ⊄面POC ，OC ⊂面POC ，//AB ∴面POC ．2（）解：O 是AD 的中点，12BO AD BC ∴==， 又//BC AD ，∴四边形OBCD 为平行四边形，CD AD ⊥，∴平行四边形OBCD 为矩形，OB OD ∴⊥，PO ⊥平面ABCD ，OB 、OD ⊂面ABCD ，PO OB ∴⊥，PO OD ⊥．以O 为原点，OB 、OD 和OP 分别为x 、y 和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0O ，0，0)，(0P ，0，2)，(0B ，1，0)，(1C ，1，0)， (0OP ∴=，0，2)，(1OC =，1，0)，()012BP =-，，，(1BC =，0，0)， 设平面OPC 的法向量为(m x =，y ，)z ，则00m OP m OC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200z x y =⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，0z =，()110m ∴=-，，， 同理可得，平面BPC 的法向量(0n =，2，1)， cos m ∴<，10525m n n m n ⋅>===-⋅⨯，由题可知，二面角O PC B --的平面角为锐角，故二面角O PC B --的余弦值为5． 【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.17．已知函数32()3(,)f x ax bx x a b =+-∈R ，在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若对于区间[]3,3-上任意两个自变量的值1x ，2x ，有()()12f x f x c -≤，求实数c 最小值；（3）过点()(2,)2M m m ≠，只能作曲线()y f x =的一条切线，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()33f x x x =-；（2）36；（3）6m <-或2m >【分析】（1）由题意利用导数的几何意义即切点坐标列方程，即可求解；（2）由题意，对于定义域内任意两个自变量有()()12f x f x c -≤，可转化为求函数在定义域内的最值即可求解；（3）由题意，过点()(2,)2M m m ≠，只能作曲线()y f x =的一条切线，等价于函数在切点处的导函数值等于切线的斜率这一方程由1解.【详解】（1）2()323(,)f x ax bx a b '=+-∈R ，由题意得：()()1010f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即323230a b a b +-=-⎧⎨+-=⎩， 解得：1a b =⎧⎨=⎩，所以()33f x x x =-.（2）令2()330f x x '=-=，得1x =±，所以()f x 在(),1-∞-和()1,+∞单调递增，在()1,1-单调递减， 所以()f x 在()3,1--单调递增，在()1,1-单调递减，()1,3单调递增，()327918f -=-+=-，()1132f =-=-，()1132f -=-+=，()327918f =-=所以()()max 327918f f x ==-=，()()min 327918f f x =-=-+=-， 对于区间[]3,3-上任意两个自变量的值1x ，2x ，有()()()()12max min 36f x f x f x f x -≤-=，所以36c ≥，c 最小值为36.（3）因为点()(2,)2M m m ≠不在曲线()y f x =上，所以可以设切点为()00,x y ，则30003y x x =-，因为020()33f x x '=-，所以切线的斜率为0233x -，则0003203332x x m x x ---=-，即20036062x x m ++=-，因为过点()(2,)2M m m ≠，只能作曲线()y f x =的一条切线，所以方程20036062x x m ++=-有1个实数解，所以()32266g x x x m =-++有1个零点，则()2612g x x x '=-，由()21260g x x x -'=>，得2x >或0x <，由()21260g x x x -'=<，得02x <<，所以()32266g x x x m =-++在0x =处取得极大值，在2x =处取得极小值，若()32266g x x x m =-++有1个零点，则()060g m =+<或()2162460g m =-++>，解得：6m <-或2m >【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数求单调区间、极值和最值，考查了等价转化的思想，考查了函数与方程的相关知识，属于中档题,18．已知M 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意()f x M ∈，①方程()0f x x -=有实数根；②函数()f x 的导数()f x '满足()0 1f x '<<.（1）判断函数cos ()24x x f x =-是集合M 中的元素，并说明理由； （2）集合M 中的元素()f x 具有下面的性质：若()f x 的定义域为D ，则对于任意[],m n D ⊆，都存在0(,)x m n ∈，使得等式()0()()()f n f m n m f x '-=-成立.试用这一性质证明：方程()0f x x -=有且只有一个实数根；（3）对任意()f x M ∈，且(,)x a b ∈，求证：对于()f x 定义域中任意的1x ，2x ，3x ，当211x x -<，且311x x -<时，()()322f x f x -<.【答案】（1）是，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）判断函数cos ()24x xf x =-是否满足条件①②； （2）利用反证法进行证明，假设方程()0f x x -=有存在两个实数根，然后寻找矛盾，从而肯定结论；（3）构造()f x x -函数，研究函数()f x x -的单调性，从而得到()()3232||f x f x x x -<-，再利用绝对值不等式即可得证.【详解】（1）函数cos ()24x x f x =-是集合M 中的元素，理由如下， ①，cos cos ()2424x x x xf x x x -=--=--， 令1()2x f x =-，2cos ()4x f x =，图象如图，1()2x f x =-与2cos ()4x f x =的图象在,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有一个交点，所以方程()0f x x -=有实数根；②，1sin ()24xf x '=+，所以1sin 13(),2444x f x ⎡⎤'=+∈⎢⎥⎣⎦，满足条件()01f x '<<， 所以函数cos ()24x xf x =-是集合M 中的元素. （2）假设方程()0f x x -=存在两个实数根,αβ，且αβ≠， 则()0fαα-=，()0f ββ-=，不妨设αβ<，根据题意存在(,)c αβ∈，满足()()()()ff f c βαβα'-=-，因为()f αα=，()f ββ=，αβ≠，所以()1f c '=，与已知()01f x '<<矛盾，又方程()0f x x -=有实数根， 所以方程()0f x x -=有且只有一个实数根. （3）当23x x =时，结论显然成立；当23x x ≠时，不妨设32b a x x <<<，因为(),x a b ∈，且()0f x '>，所以()f x 是增函数，那么32(())f f x x <，又因为()10f x '-<，所以()f x x -为减函数，所以2233(())f f x x x x ->-，所以32320(())x f x x x f -<-<，即2332())|||(|x f x x x f -<-，因为211x x -<，所以1211x x -<-<①，又因为311x x -<，所以3111x x -<-<②，①+②得，3222x x -<-<，即32||2x x -<，所以()()2233||2f x f x x x -<-<， 综上所述，对于任意符合条件的1x ，2x ，3x ，总有()()322f x f x -<成立. 【点睛】本题考查了导数的运算，反证法，以及不等式的证明，函数的性质和不等式的证明是本题的主要考查点，考查学生的理解能力和分析能力，读懂题意是解本题的前提.。

2019-2020学年北京市朝阳区高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分） 1.交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险的基准保费为a 元，在下一年续保时，实行费率浮动机制，保费与车辆发生道路交通事故出险的情况相联系，最终保费=基准保费×(1+与道路交通事故相联系的浮动比率)，具体情况如表： 交强险浮动因素和浮动费率比率表 类别 浮动因素浮动比率 A 1 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10% A 2 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20% A 3 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%A 4 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A 5 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮10% A 6 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如表： 类型 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 数量 20 10 10 38 20 2若以这100辆该品牌的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，则随机抽取一辆该品牌车在第四年续保时的费用的期望为( )A. a 元B. 0.958a 元C. 0.957a 元D. 0.956a 元2. 已知点P 在曲线y =上，为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则的取值范围是( )A. [0,)B.C.D.3. 曲线y =sinxsinx+cosx 在点M(π4,0)处的切线斜率为( )A. 12B. −12C. −√22 D. √224. 已知(2x −3)4=a 0+a 1(x −2)+a 2(x −2)2+a 3(x −2)3+a 4(x −2)4，则a 2=( )A. 24B. 56C. 80D. 2165. 将大小形状相同的3个黄球和5个黑球放入如图所示的2×5的十宫格中，每格至多放一个，要求相邻方格的小球不同色(有公共边的两个方格为相邻)，如果同色球不加以区分，则所有不同的放法种数为( )A. 40B. 36C. 24D. 206. 一个袋中有3个黑球，2个白球，第一次摸出球，然后再放进去，再摸第二次，则两次摸球都是白球的概率为( )A. 25B. 45C. 225D. 4257. 曲线上切点为的切线方程是( )A.B. C.D.或8. 如图，一只蚂蚁在A 处觅食(蚂蚁只能走黑色实线)，B 处有一块巧克力，蚂蚁找到巧克力的最短路径爬法有( )A. 210种B. 72种C. 35种D. 12种9. 函数f(x)=x −2x 的大致图象是( )A.B.C.D.10. 已知函数f(x)=x 3(e x −e −x )，若f(a −1)≥f(−a)，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,12]B. [12,+∞)C. [0,12]D. [12,1]二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）)=______ ．11. (文)设f(x)=sinx−2cosx+1的导函数为f′(x)，则f′(3π4，则E(X)=______．12. 随机变量X～B(3,p)，P(X≤2)=262713. 某调查机构就某单位一千多名职工的月收入进行调查，现从中随机抽出100名，已知抽到的职工的月收入都在[1500,4500)元之间，根据调查结果得出职工的月收入情况残缺的频率分布直方图如图所示，则该单位职工的月收入的平均数大约是______ 元．14. 已知甲盒内有外形和质地相同的1个红球和2个黑球，乙盒内有外形和质地相同的2个红球和2个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取1个球．则取出的2个球中恰有1个红球的概率等于______ ．15. 下列有关命题中，正确命题的序号是______．①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”；②命题“∃x∈R，x2+x−1<0”的否定是“∀x∈R，x2+x−1>0”；③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是假命题．④若“p或q为真命题，则p，q至少有一个为真命题．”三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）)6展开式中，各二项式系数的最大值是(1)，常数项是(2)．16. (x−√x四、解答题（本大题共4小题，共70.0分）17. 某学校举行了一次安全教育知识竞赛，竞赛的原始成绩采用百分制，已知高三学生的原始成绩均分布在[50,100]内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表．原始成绩85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级优秀良好及格不及格为了解该校高三年级学生安全教育学习情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示，其中等级为不及格的有5人，优秀的有3人．(1)求n和频率分布直方图中的x的值；(2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高三学生中任选3人，求至少有1人成绩是及格以上等级的概率；(3)在选取的样本中，从原始成绩在80分以上的学生中随机抽取3名学生进行学习经验介绍，记ξ表示抽取的3名学生中优秀等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．18. 已知函数f(x)=x3−ax2−3x，g(x)=−6x(a∈R)．(1)若x=3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1,a]上的最小值和最大值；(2)若ℎ(x)=f(x)−g(x)在x∈(0,+∞)时是增函数，求实数a的取值范围．19. 已知函数f(x)=axe x−(a−1)(x+1)2(其中a∈R，e为自然对数的底数，e=2.718128…)．(1)当a=−1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)仅有一个极值点，求a的取值范围．20. 2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇、蓄势待发的一年．突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金t(t≤2500)万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n万元．(1)判断{a n−2t}是否为等比数列？并说明理由；(2)若企业每年年底上缴资金t=1500，第m(m∈N∗)年年底企业的剩余资金超过21000万元，求m的最小值．(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算，属于中档题．设一辆该品牌车在第四年续保时的费用为X，求出X的分布列，计算X的数学期望得出答案．解：设一辆该品牌车在第四年续保时的费用为X，由题意可知：X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a，由统计数据可知：P(X=0.9a)=0.2，P(X=0.8a)=0.1，P(X=0.7a)=0.1，P(X=a)=0.38，P(X=1.1a)=0.2，P(X=1.3a)=0.02，∴X的分布列为：X0.9a0.8a0.7a a 1.1a1.3aP0.20.10.10.380.20.02∴E(X)=0.9a×0.2+0.8a×0.1+0.7a×0.1+a×0.38+1.1a×0.2+1.3a×0.02=0.956a，故选：D．2.答案：D解析：解析：试题分析：因为，y=，所以，，即，由，所以，的取值范围是，故选D。

2019-2020学年北京市朝阳区数学高二(下)期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．函数()1log 1a x f x x x +=+（01a <<）的图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】C【解析】【分析】对x 分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.【详解】()()()log 11log log 101log 0.a a a ax x x f x x x x x x x ⎧--<-+⎪==--<<⎨+⎪>⎩，，，，， 故选C ．【点睛】识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 2．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．10101010i --B ．10111010i --C ．10111012i --D ．10111010i -【答案】B【解析】【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-， 可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-， 可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.3．函数sin ()ln x f x x=的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用特征值的符号是否一致进行排除即可．【详解】解：f （﹣x ）()sin x sinx ln x ln x-==-=--f （x ），则函数f （x ）是奇函数，图象关于原点对称， 排除B ，D ，函数的定义域为{x|x ≠0且x ≠±1}，由f （x ）＝0得 sinx ＝0，得距离原点最近的零点为π，则f （6π）16266sinln ln ＜πππ==0，排除C ， 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用对称性以及特殊值进行排除是解决本题的关键．4．已知复数z 满足2z zi i +=-（i 为虚数单位），则z =（ ） AB ．2 C．2 D ．1 【答案】C【解析】【分析】 整理得到21i z i-=+，根据模长的运算可求得结果. 【详解】 由2z zi i +=-得：21i z i -=+212i z i -∴===+ 本题正确选项：C【点睛】本题考查向量模长的求解，属于基础题.5．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说:“罪犯在 乙、丙、丁三人之中”；乙说:“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话， 且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解析】∵乙、丁两人的观点一致，∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假；若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾；∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯．6．只用1,2,3,4四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（ ）A ．96B ．144C ．240D ．288【答案】B【解析】【分析】 以重复使用的数字为数字1为例，采用插空法可确定符合题意的五位数的个数；重复使用每个数字的五位数个数一样多，通过倍数关系求得结果.【详解】当重复使用的数字为数字1时，符合题意的五位数共有：323436A C =个当重复使用的数字为2,3,4时，与重复使用的数字为1情况相同∴满足题意的五位数共有：364144⨯=个本题正确选项：B【点睛】本题考查排列组合知识的综合应用，关键是能够明确不相邻的问题采用插空法的方式来进行求解；易错点是在插空时，忽略数字相同时无顺序问题，从而错误的选择排列来进行求解.7．在ABC V 中，90CAB ∠=︒，1AC =，3AB =.将ABC V 绕BC 旋转至另一位置P （点A 转到点P ），如图，D 为BC 的中点，E 为PC 的中点.若3AE =，则AB 与平面ADE 所成角的正弦值是（ ）A ．38B 3C ．34D 3【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，证明PC ⊥平面ADE ，然后找出AB 与平面ADE 所成角，求解三角形得出答案.【详解】解：如图，由题意可知，111222CE PC AC ===，又3AE =，1AC =， ∴222CE AE AC +=，即AE PC ⊥，Q D ，E 分别为BC ，PC 的中点，∴//DE PB .Q BP PC ⊥，∴PC DE ⊥，而AE DE E =I ，∴PC ⊥平面ADE .延长ED 至F ，使=ED DF ，连接BF ，则CED V 与BFD △全等，可得BF ⊥平面ADE .∴BAF ∠为AB 与平面ADE 所成角，在V Rt AFB 中，由12BF CE ==,3AB =, 可得132sin 63BF BAF AB ∠===.故选：B.【点睛】本题考查直线与平面所成角，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题.8．已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 的的对边，若cos c A b <，则ABC ∆的形状为（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形 【答案】A【解析】【分析】由已知结合正弦定理可得sin sin cos A C B <利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin()sin cos A B B A +<整理可得sin cos sin cos sin cos A B B A B A +<从而有sin cos 0A B <结合三角形的性质可求【详解】解：A Q 是ABC ∆的一个内角，0A π<<，sin 0cos A c A b∴><Q 由正弦定理可得，sin sin cos C B A <sin()sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 0A B B AA B B A B A A B ∴+<∴+<∴<又sin 0A >，cos 0B ∴<，即B 为钝角，故选A ．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和及诱导公式，两角和的正弦公式，属于基础试题．9．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．1【答案】B【解析】试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，把直线l 向上平移，z 增加，当l 过点(3,2)B 时，3227z =+⨯=为最大值．故选B ．考点：简单的线性规划问题．10．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表: 20()P K k ≥ 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828得到正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”【答案】B【解析】【分析】通过27.218K ≈与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.【详解】解:27.218 6.635K ≈>，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.11．已知命题“x R ∀∈，使得212(1)02x a x +-+>”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(.1)-∞-B ．(3,)-+∞C ．(13)-，D ．()3.1- 【答案】C【解析】【分析】利用二次函数与二次不等式的关系，可得函数的判别式∆<0，从而得到13a -<<.【详解】由题意知，二次函数的图象恒在x 轴上方，所以21(1)4202a ∆=--⋅⋅<， 解得：13a -<<，故选C.【点睛】本题考查利用全称命题为真命题，求参数的取值范围，注意利用函数思想求解不等式.12．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20B ．24C ．28D ．32 【答案】A【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出.详解：,x y Q 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++- 116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++226(2)46(242022y x x y ++=++-≥+-=++ 当且仅当10x y ==时取等号. x y ∴+的最小值为20.故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l 的参数方程为：21x at y a t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为：1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，若它们总有公共点 ，则a 取值范围是___________． 【答案】3[,0)(0,)2-+∞U 【解析】【分析】把参数方程化为普通方程，若直线与椭圆有公共点， 对判别式0∆≥进行计算即可.【详解】直线l 的参数方程为21x at y a t =⎧⎨=-⎩（t 为参数）， 消去t 化为普通方程为ax ﹣y ﹣1＝0，且a 0≠,椭圆C 的参数方程为：12x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），消去参数化为()22114y x -+=． 联立直线与椭圆()2210114ax y y x --=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消y 整理得()()224+8210a x a x -++=， 若它们总有公共点，则()()22=8+24416(23)0a aa ∆-+=+≥，解得32a ≥-且a 0≠, 故答案为()3,00,2⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程之间的互化，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题． 14．在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，12AA =，则直线1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为__________．【解析】分析：过1C 作111C H B D ⊥，垂足为H ，则1C H ⊥平面11BB D D ，则1C BH ∠即为所求平面角，从而可得结果.详解：依题意，画出图形，如图，过1C 作111C H B D ⊥，垂足为H ，由1BB ⊥平面11A C ，可得11C H BB ⊥，所以1C H ⊥平面11BB D D ，则1C BH ∠即为所求平面角，因为4AB BC ==，12AA =， 所以111221025C H sin C BH BC ∠===10点睛：本题考查长方体的性质，以及直线与平面所成的角，属于中档题.求直线与平面所成的角由两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.15．某技术学院为了让本校学生毕业时能有更好的就业基础，增设了平面设计、工程造价和心理咨询三门课程.现在有6名学生需从这三门课程中选择一门进修，且每门课程都有人选，则不同的选择方法共有______种（用数学作答）.【答案】540【解析】【分析】根据题意可知有3种不同的分组方法，依次求出每种的个数再相加即得．【详解】由题可知6名学生不同的分组方法有三类：①4，1，1；②3，2，1；③2，2，2.所以不同的选择方法共有411332132226213631364222540C C C A C C C A C C C A ++=种. 【点睛】本题考查计数原理，章节知识点涵盖全面．16．函数()()2ln 2f x x =-的定义域为______.【答案】(【解析】【分析】根据()f x 有意义，需满足220x ->，解出x 的范围即可．【详解】要使()f x 有意义，则：220x ->；x <()f x ∴的定义域为(．故答案为：(．【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，以及对数函数的定义域，一元二次不等式的解法，属于容易题．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．在同一直角坐标系中，经过伸缩变换12x x y y⎧'='=⎪⎨⎪⎩后，曲线C 的方程变为221x y ''+=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为3sinπρθ=（-）. （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）过点(1,0)P 作l 的垂线l 0交C 于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，求11||||PA PB -的值. 【答案】（1）2214x y +=0y -+=（2）11||||PA PB -= 【解析】【分析】（1）将变换公式代入221x y ''+=得，即可曲线C 的方程，利用极坐标与直角的互化公式，即可求解直线的直角坐标方程；（2）将直线l 0的参数方程代入曲线C的方程整理得27120t --=，利用根与系数的关系和直线的参数方程中参数的几何意义，即可求解11||||PA PB -的值. 【详解】。

2019-2020学年北京市人大附中高二（下）期末数学试卷1.（单选题，4分）i为虚数单位，则（1+i）（1-i）=（）A.2 iB.-2 iC.2D.-22.（单选题，4分）下列求导运算不正确的是（）A.（1x ）′=- 1x2B.（1+lnx）′=1+1xC.（2x）′=2x ln2D.（cosx）′=-sinx3.（单选题，4分）（文）一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s（t）=4t2-3（s（t）的单位：m，t的单位：s），则t=5时的瞬时速度为（）A.37B.38C.40D.394.（单选题，4分）曲线y=x4+ax2+1在点（-1，a+2）处的切线斜率为8，则实数a的值为（）A.-6B.6C.12D.-125.（单选题，4分）若函数f（x）=x3+ax2+x（x∈R）不存在极值点，则a的取值范围是（）A.a＜- √3或a＞√3B.a≤- √3或a≥ √3C.- √3＜a＜√3D.- √3≤a≤√36.（单选题，4分）在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，同学丙、丁阅读量之和大于甲、乙阅读量之和，乙的阅读量大于甲、丁阅读量之和．那么这四名同学中阅读量最大的是（）A.甲B.乙C.丙D.丁7.（单选题，4分）下列区间是函数y=xsinx+cosx的单调递减区间的是（）A.（0，π）B.（π2，3π2）C.（π，2π）D.（3π2，5π2）8.（单选题，4分）设点P是曲线y=x3- √3 x+1上的任意一点，P点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为（）A.[0，π2）∪[ 23π，π）B.[0，π2）∪[ 56π，π）C.[ 23π，π）D.（π2，56π]9.（单选题，4分）对于R上可导的任意函数f（x），若当x≠2时满足f′(x)x−2≤0，则必有（）A.f（1）+f（3）＜2f（2）B.f（1）+f（3）≤2f（2）C.f（1）+f（3）≥2f（2）D.f（1）+f（3）＞2f（2）10.（单选题，4分）甲乙两人进行乒乓球友谊赛，每局甲胜出概率是p（0＜p＜1），三局两胜制，甲获胜概率是q，则当q-p取得最大值时，p的取值为（）A. 12B. 12−√36C. 12+√36D. 2311.（填空题，5分）函数f（x）=（x-3）e x的单调递减区间是___ ．12.（填空题，5分）在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是0、1+2i、-2+i，则该正方形的第四个顶点对应的复数是___ ．13.（填空题，5分）已知f（x）=x3+x2f′（1）+3xf′（-1），则f′（1）+f′（-1）的值为___ ．14.（填空题，5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），能说明“若f′（x）＜0对任意的x∈（0，+∞）都成立且f（0）＞0，则f（x）在（0，+∞）上必有零点”为假命题的一个函数是___15.（填空题，5分）已知函数f（x）= lnx−1，下列命题中：x① f（x）在其定义域内有且仅有1个零点；② f（x）在其定义域内有且仅有1个极值点；③ ∃x1，x2∈（0，+∞），使得f（x1）=f（x2）；④∀x1∈（0，+∞），∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）＜f（x2）；⑤ 当x＞1时，函数y=f（x）的图象总在函数y=1- 2的图象的下方．x其中真命题有___ ．（写出所有真命题的序号）16.（问答题，11分）已知函数f（x）=3x3-9x+5．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．17.（问答题，12分）如图，广场上有一盏路灯距离地面10米，记灯杆的底部为A．把路灯看作一个点光源，身高1.5米的女孩站在离A点5米的点B处，回答下面的问题：（Ⅰ）设女孩站在B处看路灯的仰角为θ，则与θ最接近的角度为___ ．A、30°B、45°C、60°D、75°（Ⅱ）若女孩以A为圆心、以5m为半径绕着灯杆走一圈，则人影扫过的图形是什么？求这个图形的面积；（结果保留1位小数）（Ⅲ）以点B为原点，直线AB为x轴（点A在x轴的正半轴上），过点B且与AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系．设女孩绕灯杆行走的轨迹为M，且M上任意一点P（x，y）均满足|PA|-|AB|=x，记点A关于点B的对称点为点C，若直线PC与曲线M相切，求|PA|的长．18.（问答题，12分）如图，等腰梯形ABCD中，AD || BC，AB=CD，BC中点为O，连接DO，），梯形ABCD的面积为f（θ）．已知DO=2，BC=2a（a＞0），设∠DOC=θ，θ∈（0，π2（Ⅰ）求函数y=f（θ）的表达式；（Ⅱ）当a=2时，求y=f（θ）的极值；（Ⅲ）若f（θ）＞2θ对定义域内的一切θ都成立，求a的取值范围．。

辽宁省朝阳市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．二维空间中圆的一维测度（周长）2lr π=，二维测度（面积）2S r π=，观察发现S l '=；三维空间中球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=，观察发现V S '=.则由四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ） A ．42r π B ．4r πC ．44r πD ．24r π【答案】A 【解析】 【分析】因为S l '=，V S '=，由此类比可得，W V '=，从而可得到结果. 【详解】因为二维空间中圆的一维测度（周长）2lr π=，二维测度（面积）2S r π=，观察发现S l '=；三维空间中球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=，观察发现V S '=.所以由四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四为测度W ，应满足 W V '=，又因为43(2)8r r ππ'=，所以42W r π=，故选A. 【点睛】本题主要考查类比推理以及导数的计算. 2．现有下面三个命题1:p 常数数列既是等差数列也是等比数列；()22020:,log 10p x R x ∃∈+≤；3:p 直线y x =与曲线ln y x =相切.下列命题中为假命题的是（ ） A ．12p p ∨ B ．()()12p p ⌝∨⌝ C ．()13p p ⌝∧ D ．()()23p p ⌝∨⌝【答案】C 【解析】分析：首先确定,,p p p 123的真假，然后确定符合命题的真假即可. 详解：考查所给命题的真假：对于1p ，当常数列为0,0,0,0时，该数列不是等比数列，命题1p 是假命题；对于2p ，当01x =时，()22010log x +≤，该命题为真命题；对于3p ，由ln y x =可得1'y x=，令11x =可得1x =，则函数ln y x =斜率为1k =的切线的切点坐标为()1,ln1，即()1,0， 切线方程为()01y x -=-，即1y x =-，据此可知，直线y x =与曲线y lnx =不相切，该命题为假命题. 考查所给的命题： A.12p p ∨为真命题； B.()()12p p ⌝∨⌝为真命题； C.()13p p ⌝∧为假命题； D.()()23p p ⌝∨⌝为真命题； 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查命题真假的判断，符合问题问题，且或非的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．椭圆22145x y +=的焦点坐标是（ ）A ．()1,0±B ．()3,0±C ．()0,1±D ．()0,3±【答案】C 【解析】 【分析】从椭圆方程确定焦点所在坐标轴，然后根据222c a b =-求c 的值. 【详解】由椭圆方程得：225,4a b ==，所以21c =，又椭圆的焦点在y 上，所以焦点坐标是()0,1±. 【点睛】求椭圆的焦点坐标时，要先确定椭圆是x 轴型还是y 轴型，防止坐标写错.4． 设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足111y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：画圆：(x –1)2+(y –1)2=2，如图所示，则(x –1)2+(y –1)2≤2表示圆及其内部，设该区域为M.画出1,{1,1y x y x y ≥-≥-≤表示的可行域，如图中阴影部分所示，设该区域为N.可知N 在M 内，则p 是q 的必要不充分条件.故选A.【考点】充要条件的判断，线性规划【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识相结合．本题的条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．5．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是 （ ）A ．-1B ．2C ．-1或2D ．1或-2【答案】C 【解析】【分析】根据条件结构，分0x ≥，0x <两类情况讨论求解. 【详解】当0x ≥时，因为输出的是1， 所以2log 1x =， 解得2x =.当0x <时，因为输出的是1， 所以21x -+=， 解得1x =-.综上：2x =或1x =-. 故选：C 【点睛】本题主要考查程序框图中的条件结构，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于基础题. 6．已知某批零件的长度误差ξ(单位:毫米)服从正态分布2(1)3N ，，从中随机取一件.其长度误差落在区间(4)7，内的概率为（ ）(附:若随机变量ξ服从正态分布N 2(,)μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+≈，(22)95.44%P μσξμσ-<<+≈)A ．4. 56%B ．13.59%C ．27. 18%D ．31. 74%【答案】B 【解析】 【分析】利用3σ原则，分别求出(24),(57)P P ξξ-<<-<<的值，再利用对称性求出(47)13.59%P ξ<<=. 【详解】正态分布2(1)3N ，中，1,3μσ==， 所以(24)(1313)68.26%P P ξξ-<<=-<<+≈，(57)(123123)95.44%P P ξξ-<<=-⨯<<+⨯≈，所以(57)(24)(47)13.59%2P P P ξξξ-<<--<<<<=≈，故选B.【点睛】本题考查正态分布知识，考查利用正态分布曲线的对称性求随机变量在给定区间的概率.7．已知()1,0a =，(),1b x =，若3a b ⋅=，则x 的值为（） AB ．C 1D 【答案】D 【解析】此题考查向量的数量积解：因为(1,0),(,1),3a b x a b==⋅=，所以101x x ⨯+⨯==选D. 答案：D8．已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 AB ．C ．3D ．5【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】因为抛物线的焦点是3,0F （），所以双曲线的半焦距3c =，224+3b ∴=， 4b a ∴==，所以一条渐近线方程为2y x =， 20y -=，d ∴== A.【点考点定位】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程、几何性质、点和直线的位置关系，考查推理论证能力、逻辑思维能力、计算求解能力、数形结合思想、转化化归思想 9．甲、乙、丙三位同学站成一排照相，则甲、丙相邻的概率为（ ） A ．16B ．15C ．23D ．13【答案】C 【解析】分析：通过枚举法写出三个人站成一排的所有情况，再找出其中甲、丙相邻的情况，由此能求出甲、丙相邻的概率.详解：三人站成一排，所有站法有：（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共6种，其中甲、丙相邻有4种， 所以，甲、丙相邻的概率为4263P ==. 故选C.点睛：本题考查古典概型的概率的求法，解题时要注意枚举法的合理运用.10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点，以F 为圆心、OF 为半径的圆与x 轴交于,O A 两点，与双曲线C 的一条渐近线交于点B ，若4AB a =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．y x =± B ．2y x =±C ．3y x =±D ．4y x =±【答案】B 【解析】 【分析】取OB 的中点H ，利用点到直线距离公式可求得FH b =，根据2AB FH =可得2a b ，从而可求得渐近线方程. 【详解】如图，取OB 的中点H ，则FH 为点(,0)F c 到渐近线0bx ay -=的距离 则22bcFH b ca b bc ===+ 又F 为OA 的中点 2AB FH ∴= 42a b ∴=，即：2a b故渐近线方程为：2y x =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查双曲线几何性质的应用，关键是能够利用点到直线距离公式和中位线得到,a b 之间的关系. 11．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩 甲：我不能及格. 乙：丁肯定能及格.丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】A【解析】分析：若甲预测正确，显然导出矛盾．详解：若甲预测正确，则乙，丙，丁都正确，乙：丁肯定能及格.丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格显然矛盾，故甲预测错误.故选A.点睛：本题考查推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键．12．已知，则的大小关系是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】将、进行分子有理化，分子均化为，然后利用分式的基本性质可得出三个数的大小关系。

2019-2020学年北京市朝阳区数学高二下期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若不等式()()2210a a x x -++≤对一切()0,2x ∈恒成立,则a 的取值范围是 ( )A．⎛-∞ ⎝⎦ B．⎫+∞⎪⎪⎣⎭C．⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭D．⎣⎦ 【答案】C【解析】【分析】本题是通过x 的取值范围推导出a 的取值范围，可先将a 与x 分别放于等式的两边，在通过x 的取值范围的出a 的取值范围。

【详解】()()2210a a x x -++≤221x a a x --≤+ 221x a a x -+≥+，211x a a x，-+≥+ 因为()0,2x ∈ 所以111x 212x x x+≥≤+， 所以212a a -+≥，解得11,,22x ⎛⎡⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭ 【点睛】本题主要考察未知字母的转化，可以先将需要求解的未知数和题目已给出未知数区分开来，再进行求解。

2．设集合{}2|log (1)1M x x =-<，{|2}N x x =≥|，则M N ⋃=（）A ．{|23}x x ≤<B ．{|2}x x ≥C ．{|1}x x >D ．3|}1{x x ≤<【答案】C【解析】【分析】解出集合M 中的不等式即可【详解】因为{}{}2|log (1)1|13M x x x x =-<=<<，{|2}N x x =≥所以M N ⋃={|1}x x >故选：C【点睛】本题考查的是解对数不等式及集合的运算，属于基本题.3．已知随机变量满足，，若，则（ ） A ．， B ．， C ．， D ．，【答案】C【解析】【分析】 根据题目已知条件写出的分布列，取特殊值计算出两者的期望和方差，由此得出正确选项. 【详解】依题意可知： 0 10 1由于，不妨设.故,，故选C.【点睛】本小题主要考查随机变量分布列期望和方差的计算，考查分析与阅读理解能力，属于中档题.4．对33000分解质因数得333300023511=⨯⨯⨯，则33000的正偶数因数的个数是（ ）A ．48B ．72C ．64D ．96【答案】A【解析】分析：分33000的因数由若干个2、若干个3、若干个5、若干个11相乘得到，利用分步计数乘法原理可得所有因数个数，减去不含2的因数个数即可得结果.详解：33000的因数由若干个2（共有32102,2,2,2四种情况），若干个3（共有03,3两种情况），若干个5（共有32105,5,5,5四种情况），若干个11（共有1011,11两种情况），由分步计数乘法原理可得33000的因数共有424264⨯⨯⨯=，不含2的共有24216⨯⨯=， ∴正偶数因数的个数有641648-=个，即33000的正偶数因数的个数是48，故选A.点睛：本题主要考查分步计数原理合的应用，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.5．已知向量{},,a b c 是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（ ）A ．a b +，a ，a b -B ．a b +，b ，a b -C ．a b +，c ，a b -D ．a b +，2a b -，a b - 【答案】C【解析】【分析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A 、B 、D 三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C 中的向量不共面【详解】解：()()2a b a b a ++-=，∴a ，a b +，a b -共面，不能构成基底，排除A ；()()2a b a b b +--=，∴b ，a b +，a b -共面，不能构成基底，排除B ；()()31222a b a b a b -=-++，∴a b +，a b -，2a b -共面，不能构成基底，排除D ； 若c 、a b +，a b -共面，则()()()()c a b m a b m a m b λλλ=++-=++-，则a 、b 、c 为共面向量，此与{},,a b c 为空间的一组基底矛盾，故c 、a b +，a b -可构成空间向量的一组基底．故选：C ．【点睛】本题主要考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决本题的关键，属于中档题.6．如图，,E F 分别为棱长为1的正方体的棱1111,A B B C 的中点，点,G H 分别为面对角线AC 和棱1AA 上的动点，则下列关于四面体E FGH -的体积正确的是（ ）A ．该四面体体积有最大值，也有最小值B ．该四面体体积为定值C ．该四面体体积只有最小值D ．该四面体体积只有最大值 【答案】D【解析】【分析】易证EF AC ，从而可推出EFG ∆面积为定值，则只需研究点H 到平面EFG 的距离的取值范围即可得到四面体体积的取值范围【详解】,E F 分别为棱长为1的正方体的棱1111,A B B C 的中点，所以11EF AC ，又11AC AC ∥，故点G 到EF 的距离为定值，则EFG ∆面积为定值，当点H 与点A 重合时，为平面构不成四面体，故只能无限接近点A ，当点H 与点1A 重合时，h 有最大值，体积有最值，所以四面体体积有最大值，无最小值故选D【点睛】本题主要考查了四面体体积的判断，运动中的定量与变量的分析，空间想象与转化能力，属于中档题 7．甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（ ）A ．25B ．12C ．35D ．45【答案】C【解析】【分析】首先求得甲的平均数，然后结合题意确定污损的数字可能的取值，最后利用古典概型计算公式求解其概率值即可.【详解】 由题意可得：x =甲888785929395906+++++=， 设被污损的数字为x ，则：x =乙8586868890998966x x ++++++=+， 满足题意时，x x >甲乙，即：908966x x >+⇒<， 即x 可能的取值为0,1,2,3,4,5x =, 结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值：63105p ==. 故选C.【点睛】 本题主要考查茎叶图的识别与阅读，平均数的计算方法，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．若不等式()()121311133x x a gx g ++-≥-对任意的(],1x ∈-∞恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(],0-∞B ．(],1-∞C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞ 【答案】B【解析】【分析】 不等式可整理为1212()()333x x x x a +≤=+，然后转化为求函数y 12()()33x x =+在（﹣∞，1）上的最小值即可，利用单调性可求最值．【详解】不等式()()121311133x xa g x g ++-≥-，即不等式lg ()12133x xa ++-≥lg3x ﹣1， ∴()1121333x xx a -++-⋅≥，整理可得1212()()333x x x x a +≤=+， ∵y 12()()33x x =+在（﹣∞，1）上单调递减，∴x ∈（﹣∞，1），y 1212()()3333x x =++=＞1， ∴要使原不等式恒成立，只需a ≤1，即a 的取值范围是（﹣∞，1]．故选：B.【点睛】本题考查不等式恒成立问题、函数单调性，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力． 9．设函数 ()'f x 是奇函数()f x 的导函数，当0x >时，()ln ()0f x x x f x '⋅+<，则使得2(1)()0x f x -<成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(1,0)(0,1)- D ．(1,0)(1,) 【答案】D【解析】分析：根据题意，设()()()ln 0g x x f x x =⋅>，对()g x 求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得()g x 在()0,∞+上为减函数，分析()g x 的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间()0,1和()1,+∞上都有()0f x <，结合函数的奇偶性可得在区间()1,0-和(),1-∞-上都有()0f x >，进而将不等式变形转化可得()2100x f x -><或()2100x f x -<>，解可得x 的取值范围，即可得答案. 详解：根据题意，设()()()ln 0g x x f x x =⋅>，其导数()()()()()ln 1ln f x x x f x g x f x x f x x x+⋅=⋅+='⋅''， 又当0x >时，()()ln 0f x x x f x '⋅+<，则有()()()ln 0f x x x f x g x x '+⋅'=<，即函数()g x 在()0,∞+上为减函数，又()()1ln110g f =⋅=，则在区间()0,1上，()()ln 0g x x f x =⋅>，又由ln 0x <，则()0f x <，在区间()1,+∞上，()()ln 0g x x f x =⋅<，又由ln 0x >，则()0f x <，则()f x 在区间()0,1和()1,+∞上都有()0f x <，又由()f x 为奇函数，则在区间()1,0-和(),1-∞-上都有()0f x >，()()210x f x -<⇒()2100x f x -><或()2100x f x -<>，解可得：10x -<<或1x >.则x 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞.故选：D.点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，以及不等式的解法，关键是分析()0f x <与()0f x >的解集.10．若函数()()212log 35f x x ax =-+ 在区间()1,-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()8,-+∞B ．[)6-+∞,C ．(],6-∞-D ．[]8,6-- 【答案】D【解析】【分析】 根据复合函数的单调性，同增异减，则235t x ax =-+，在区间()1,-+∞上是增函数，再根据定义域则2350t x ax =-+>在区间()1,-+∞上恒成立求解.【详解】因为函数()()212log 35f x x ax =-+ 在区间()1,-+∞上是减函数， 所以235t x ax =-+，在区间()1,-+∞上是增函数，且2350t x ax =-+>在区间()1,-+∞上恒成立. 所以16a ≤-且350a ++≥， 解得86a -≤≤-.故选：D【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于中档题.11．已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ） A ．它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C ．它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等【答案】D【解析】由题知222:12x C y -=．则两双曲线的焦距相等且2c =223x y +=的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为2y x =±，由于实轴长度不同故离心率c e a =不同．故本题答案选D ， 12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos b c A =⋅，则ABC 的形状为A ．正三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 【答案】C【解析】【分析】根据题目,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos b c A =⋅可知，利用边化角的方法，将式子化为sin sin cos B C A =，利用三角形的性质将sin B 化为sin()A C +，化简得cos 0C =，推出90C ∠=︒，从而得出ABC 的形状为直角三角形．【详解】由题意知，cos b c A =⋅∴由正弦定理得sin sin cos B C A =又()B A C∴sin()sin cos A C C A +=展开得，sin cos sin cos sin cos A C C A C A +=∴sin cos 0A C = 又角A ，B ，C 是三角形的内角sin 0cos 0A C ∴>∴=又0<C<π2C π∴=综上所述，ABC 的形状为直角三角形，故答案选C ．【点睛】本题主要考查了解三角形的相关问题，主要根据正余弦定理，利用边化角或角化边，若转化成角时，要注意A B C π++=的应用．二、填空题：本题共4小题13．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是 ． 【答案】12【解析】试题分析：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表共有246C =种基本事件，甲被选中包含133C =种，基本事件，因此甲被选中的概率是31=.62考点：古典概型概率 14．某产品发传单的费用x 与销售额y 的统计数据如表所示：根据表可得回归方程ˆ9ˆyx a =+，根据此模型预报若要使销售额不少于75万元，则发传单的费用至少为_________万元．【答案】1．【解析】【分析】计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到ˆa，进而构造不等式，可得答案．【详解】由已知可得：3x =，30y =，代入ˆ9ˆyx a =+，得ˆ3a =， 令7ˆ935yx =+≥ 解得：8x ≥，故答案为：1．【点睛】本题考查的知识点是线性回归方程，难度不大，属于基础题．在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.15．已知函数()()2log 41x f x mx =++，当0m =时，关于x 的不等式()3log 1f x <的解集为__________． 【答案】()0,1【解析】【分析】首先应用条件将函数解析式化简，通过解析式的形式确定函数的单调性，解出函数值1所对应的自变量，从而将不等式转化为()()3log 0f x f <，进一步转化为3log 0x <，求解即可，要注意对数式中真数的条件即可得结果.【详解】当0m =时，()()2log 41x f x =+是R 上的增函数，且()()20log 111f =+=，所以()3log 1f x <可以转化为()()3log 0f x f <，结合函数的单调性，可以将不等式转化为3log 0x <，解得01x <<，从而得答案为()0,1.故答案为()0,1【点睛】解决该题的关键是将不等式转化，得到x 所满足的不等式，从而求得结果，挖掘题中的条件就显得尤为重要.16．已知随机变量X 的分布列为P(X=i)=i 2a (i =1,2,3),则P(X=2)=_____. 【答案】13【解析】分析：根据所给的随机变量的分布列，写出各个变量对应的概率，根据分布列中各个概率之和是1，把所有的概率表示出来相加等于1，得到关于a 的方程，解方程求得a 的值，最后求出P （X=2）． 详解：∵P （X=i ）=i 2a(i =1,2,3)， 1231222a a a∴++= 612a∴= ∴a=3，∴P （X=2）=2163=.故答案选：C ．点睛：（1）本题主要考查分布列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 分布列的两个性质： ①P i ≥0，i ＝1，2，...；②P 1+P 2+ (1)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019-2020学年北京市名校数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．45°D ．120°2．已知A(2，－5, 1)，B(2，－4，2)，C(1，－4, 1)，则AB u u u r与AC u u u r 的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．45°D ．90°3．已知集合{}2|30A x x x =-<，5|13A x x ⎧⎫=+<⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A ．(,2)-∞B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(0,)+∞D ．2,23⎛⎫⎪⎝⎭4．函数2()()41x x x e e f x x --=-的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．5．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）．A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式6．从1，2，3，4，5中不放回地依次选取2个数，记事件A =“第一次取到的是奇数”，事件B =“第二次取到的是奇数”，则(|)P B A =（ ）A ．12B ．25C ．310D ．157．设集合A={x|x 2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A ∩B= A ．(-∞，1) B ．(-2，1) C ．(-3，-1)D ．(3，+∞)8．已知函数()3sin cos (0)f x wx wx w =+>在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围是（ ）A ．8,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．8,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,73⎛⎫⎪⎝⎭9．4名学生报名参加语、数、英兴趣小组，每人选报1种，则不同方法有（ ） A ．34种B ．43种C ．34A 种D ．34C 种10．若)1(x +8822107)21(x a x a x a a x ++++=-Λ，则721a a a +++Λ的值是（）A ．-2B ．-3C ．125D ．-13111．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A ．r 2<r 4<0<r 3<r 1B ．r 4<r 2<0<r 1<r 3C ．r 4<r 2<0<r 3<r 1D ．r 2<r 4<0<r 1<r 312．以下四个命题中是真命题的是 ( )A ．对分类变量x 与y 的随机变量2k 观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大B ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0C ．若数据123,,,...n x x x x 的方差为1，则1232,2,2,...2n x x x x 的方差为2D ．在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．若随机变量()2~3,X N σ，且(03)0.35P X <<=，则(6)P X >=_______．14．某产品发传单的费用x 与销售额y 的统计数据如表所示： 发传单的费用x 万元 1 2 4 5 销售额y 万元10263549根据表可得回归方程ˆ9ˆyx a =+，根据此模型预报若要使销售额不少于75万元，则发传单的费用至少为_________万元．15．已知P 为抛物线24y x =上一个动点，定点(0,3)Q ，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值是__________．16．已知函数22()ln(1)1,0f x a x ax a =+-+≠且(2)4f =，则(2)f -=____． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．现有男选手3名，女选手5名，其中男女队长各1名.选派4人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（结果用数字表示） （1）男选手2名，女选手2名； （2）至少有1名男选手； （3）既要有队长，又要有男选手.18．某高科技公司研究开发了一种新产品，生产这种新产品的每天固定成本为30000元，每生产x 件，需另投入成本为t 元，22002000,0903200000010200310000,90x x x t x x x ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩每件产品售价为10000元（该新产品在市场上供不应求可全部卖完）．（1）写出每天利润y 关于每天产量x 的函数解析式；（2）当每天产量为多少件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大． 19．（6分）已知函数()21f x x a x =+--. （1）当1a =时，解不等式()2f x >；（2）当0a =时，不等式2()7f x t t >--对任意x ∈R 恒成立，求实数t 的取值范围. 20．（6分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()212n n n S a a =-+，且()*0n a n N >∈。