北京大学附属朝阳未来学校2020-2021学年第一学期高一年级数学第8周周测(A卷)

第八章 立体几何初步（章节复习专项训练）一、选择题1．如图，在棱长为1正方体ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将ABF ∆沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误．．的是A ．无论旋转到什么位置，A 、C 两点都不可能重合B ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒【答案】D【详解】解：过A 点作AM⊥BF 于M ，过C 作CN⊥DE 于N 点在翻折过程中，AF 是以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的母线，同理，AB ，EC ，DC 也可以看成圆锥的母线；在A 中，A 点轨迹为圆周，C 点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A 正确；在B 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为60°，又AF ，EC 分别可看成是圆锥的母线，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可，故B 正确；在C 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为90°，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故C 正确；在D 中，能否使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒，只需看以B 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故D 不成立；故选D ．2．如图所示，多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，32EF =，EF 到平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积V 为（ ）A ．92B ．5C ．6D ．152【答案】D【详解】解法一：如图，连接EB ，EC ，AC ，则213263E ABCD V -=⨯⨯=.2AB EF =，//EF AB2EAB BEF S S ∆∆∴=.12F EBC C EFB C ABE V V V ---=∴= 11132222E ABC E ABCD V V --==⨯=. E ABCDF EBC V V V --∴=+315622=+=. 解法二：如图，设G ，H 分别为AB ，DC 的中点，连接EG ，EH ，GH ，则//EG FB ，//EH FC ，//GH BC ，得三棱柱EGH FBC -，由题意得123E AGHD AGHD V S -=⨯ 1332332=⨯⨯⨯=， 133933332222GH FBC B EGH E BGH E GBCH E AGHD V V V V V -----===⨯==⨯=⨯， 915322E AGHD EGH FBC V V V --=+=+=∴. 解法三：如图，延长EF 至点M ，使3EM AB ==，连接BM ，CM ，AF ，DF ，则多面体BCM ADE -为斜三棱柱，其直截面面积3S =，则9BCM ADE V S AB -=⋅=.又平面BCM 与平面ADE 平行，F 为EM 的中点，F ADE F BCM V V --∴=，2F BCM F ABCD BCM ADE V V V ---∴+=， 即12933233F BCM V -=-⨯⨯⨯=， 32F BCM V -∴=，152BCM ADE F BCM V V V --=-=∴. 故选：D 3．下列命题中正确的是A ．若a ，b 是两条直线，且a ⊥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a 和平面α满足a ⊥α，那么a 与α内的任何直线平行C ．平行于同一条直线的两个平面平行D ．若直线a ，b 和平面α满足a ⊥b ，a ⊥α，b 不在平面α内，则b ⊥α【答案】D【详解】解：如果a ，b 是两条直线，且//a b ，那么a 平行于经过b 但不经过a 的任何平面，故A 错误； 如果直线a 和平面α满足//a α，那么a 与α内的任何直线平行或异面，故B 错误；如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故C 错误； D 选项：过直线a 作平面β，设⋂=c αβ，又//a α//a c ∴又//a b//b c ∴又b α⊂/且c α⊂//b α∴．因此D 正确．故选：D ．4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误的是( )A ．D 1O⊥平面A 1BC 1B ．MO⊥平面A 1BC 1C ．二面角M －AC －B 等于90°D ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°【答案】C【详解】对于A ，连接11B D ，交11AC 于E ，则四边形1DOBE 为平行四边形 故1D O BE1D O ⊄平面11,A BC BE ⊂平面111,A BC DO ∴平面11A BC ，故正确对于B ，连接1B D ，因为O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，1MO B D ∴,易证1B D ⊥平面11A BC ，则MO ⊥平面11A BC ，故正确；对于C ，因为,BO AC MO AC ⊥⊥，则MOB ∠为二面角M AC B --的平面角，显然不等于90︒，故错误对于D ，1111,AC AC AC B ∴∠为异面直线1BC 与AC 所成的角，11AC B ∆为等边三角形，1160AC B ∴∠=︒，故正确故选C5．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A【详解】 在长方体1111ABCD A BC D -中，11//AA BB ，E 、F 分别为1AA 、1BB 的中点，//AE BF ∴，∴四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB ∴， EF ⊄平面ABCD ，AB 平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH平面ABCD GH =，//EF GH ∴， 又//EF AB ，//GH AB ∴，故选A.6．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是A ．1 BC ．2D ．12【答案】B【详解】取BC 的中点D ，连接ED 与FD⊥E 、F 分别是SC 和AB 的中点，点D 为BC 的中点⊥ED⊥SB ，FD⊥AC,而SB⊥AC ，SB=AC=2则三角形EDF 为等腰直角三角形,则ED=FD=1即故选B.7．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点（不同于A ，B 两点），且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°【答案】C【详解】 解：由条件得,PA BC AC BC ⊥⊥.又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .又因为PC ⊂平面PAC ， 所以BC PC ⊥.所以PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.在Rt PAC ∆中，由PA AC =得45PCA ︒∠=. 故选：C .8．在空间四边形ABCD 中，若AD BC BD AD ⊥⊥，，则有A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC【答案】D【详解】 由题意，知AD BC BD AD ⊥⊥，，又由BC BD B =，可得AD ⊥平面DBC ，又由AD ⊂平面ADC ，根据面面垂直的判定定理，可得平面ADC ⊥平面DBC9．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ⊥A 1B ，⊥EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得⊥AEC 1为正三角形，⊥⊥EC 1B 为60，故选C ．10．已知两个平面相互垂直，下列命题⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线⊥一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面⊥过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【详解】由题意，对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故⊥错误；对于⊥，设平面α∩平面β=m ，n⊥α，l⊥β，⊥平面α⊥平面β， ⊥当l⊥m 时，必有l⊥α，而n⊥α， ⊥l⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即⊥正确；对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；对于⊥，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；故选A ．11．在空间中，给出下列说法：⊥平行于同一个平面的两条直线是平行直线；⊥垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；⊥过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直.其中正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥ 【答案】B【详解】⊥平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知⊥正确；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知⊥正确.故选B.12．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l⊥αD ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．【答案】A【详解】因梯形的上下底边平行，根据公理3的推论可知A 正确．两条直线和第三条直线所成的角相等，这两条直线相交、平行或异面，故B 错．当直线和平面相交时，该直线上有无数个点不在平面内，故C 错．如果两个平面有三个公共点且它们共线，这两个平面可以相交，故D 错．综上，选A ．13．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π 【答案】B【详解】设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．14．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为A ．8π3B ．32π3C ．8πD 【答案】C【详解】设球的半径为R ，则截面圆的半径为，⊥截面圆的面积为S ＝π2＝（R 2－1）π＝π，⊥R 2＝2，⊥球的表面积S ＝4πR 2＝8π．故选C. 15．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是A ．2πB ．1πC ．22πD ．21π【答案】A【详解】由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为1π，所以底面积为1π，所以体积为2π，故选A ． 16．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（ ）A ．原来相交的仍相交B ．原来垂直的仍垂直C ．原来平行的仍平行D ．原来共点的仍共点【答案】B【详解】解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B ．17．如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形为 ( )A ．下底长为1B ．下底长为1+C ．下底长为1D ．下底长为1+【答案】C【详解】45A B C '''∠=，1A B ''= 2cos451B C A B A D ''''''∴=+=∴原平面图形下底长为1由直观图还原平面图形如下图所示：可知原平面图形为下底长为1故选：C18．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）A 3RB 3RC 3RD 3R 【答案】C【详解】设底面半径为r ，则2r R ππ=，所以2R r =.所以圆锥的高2h R ==.所以体积22311332R V r h R ππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭.故选：C .19．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．20．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+> 【答案】A【详解】如图，过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，过A '作A G EF '⊥，垂足为G ，设,,A G d A H h A EG γ'''==∠=，因为A H '⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，故A H EF '⊥，而A G A H A '''⋂=，故EF ⊥平面A GH '，而GH ⊂平面A GH '，所以EF GH ⊥，故A GH θ'∠=，又A EH α'∠=，A FH β'∠=.在直角三角形A GE '中，sin d A E γ'=，同理cos d A F γ'=， 故sin sin sin sin sin h h d dαγθγγ===，同理sin sin cos βθγ=， 故222sin sin sin αβθ+=，故2cos 2cos 21sin 22αβθ--=， 整理得到2cos 2cos 2cos 22αβθ+=， 故()()2cos cos cos 22αβαβαβαβθ+--⎡⎤++-⎣⎦+=， 整理得到()()2cos cos cos αβαβθ+-=即()()cos cos cos cos αβθθαβ+=-， 若αβθ+≤，由04πθ<< 可得()cos cos αβθ+≥即()cos 1cos αβθ+≥， 但αβαβθ-<+≤，故cos cos αβθ->，即()cos 1cos θαβ<-，矛盾， 故αβθ+>.故A 正确，B 错误. 由222sin sin sin αβθ+=可得sin sin ,sin sin αθβθ<<，而,,αβθ均为锐角，故,αθβθ<<，22παβθ+<<，故CD 错误.故选：D.二、填空题 21．如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ，则下列结论正确的是_____．（填序号）⊥PB ⊥AD ；⊥平面P AB ⊥平面PBC ；⊥直线BC ⊥平面P AE ；⊥sin⊥PDA =．【答案】⊥【详解】⊥P A ⊥平面ABC ，如果PB ⊥AD ，可得AD ⊥AB ，但是AD 与AB 成60°，⊥⊥不成立，过A 作AG ⊥PB 于G ，如果平面P AB ⊥平面PBC ，可得AG ⊥BC ，⊥P A ⊥BC ，⊥BC ⊥平面P AB ，⊥BC ⊥AB ，矛盾，所以⊥不正确；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，所以⊥不正确；在R t⊥P AD 中，由于AD ＝2AB ＝2P A ，⊥sin⊥PDA =，所以⊥正确；故答案为: ⊥22．如图，已知边长为4的菱形ABCD 中，,60AC BD O ABC ⋂=∠=︒.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥D ABC -，二面角D AC B --的大小为60°，则直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为______.【详解】⊥四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,,AC OD AC OB OB OD ∴⊥⊥==，DOB ∴∠为二面角D AC B --的平面角，60DOB ∠=︒∴，OBD ∴△是等边三角形.取OB 的中点H ，连接DH ，则,3DH OB DH ⊥=.,,AC OD AC OB OD OB O ⊥⊥⋂=，AC ∴⊥平面,OBD AC DH ∴⊥，又,AC OB O AC ⋂=⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，DH ∴⊥平面ABC ，2114333D ABC ABC V S DH -∴=⋅=⨯=△4,AD AB BD OB ====ABD ∴∆的边BD 上的高h =1122ABD S BD h ∴=⋅=⨯=△设点C 到平面ABD 的距离为d ，则13C ABD ABD V S d -=⋅=△.D ABC C ABD V V --=，d ∴=∴=⊥直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为d BC = 23．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______． 【答案】932或332【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为R ．由立体几何知识可得，连接圆锥的顶点和底面的圆心，必垂直于底面，且球心在连线所成的直线上．分两种情况分析：（1）球心在连线成构成的线段内因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为（2）球心在连线成构成的线段以外因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为24．如图，四棱台''''ABCD A B C D -的底面为菱形，P 、Q 分别为''''B C C D ，的中点．若'AA ⊥平面BPQD ，则此棱台上下底面边长的比值为___________．【答案】2 3【详解】连接AC，A′C′，则AC⊥A′C′，即A，C，A′，C′四点共面，设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点，连接MN，如图所示：若AA′⊥平面BPQD，则AA′⊥MN，则AA'NM为平行四边形，即A'M＝AN，即31''42A C=AC，''23A BAB∴=，即棱台上下底面边长的比值为23．故答案为23．三、解答题25．如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC 1⊥平面PBD ；（2）求证：BD ⊥A 1P ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO =OC ．又因为点P 是侧棱C 1C 的中点，所以CP =PC 1，在⊥ACC 1中，11C P AO OC PC==，所以AC 1⊥OP ， 又因为OP ⊥面PBD ，AC 1⊥面PBD ，所以AC 1⊥平面PBD ．（2）连接A 1C 1．因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以侧棱C 1C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又AC ∩CC 1=C ，AC ⊥面AC 1，CC 1⊥面AC 1，所以BD ⊥面AC 1，又因为P ⊥CC 1，CC 1⊥面ACC 1A 1，所以P ⊥面ACC 1A 1，因为A 1⊥面ACC 1A 1，所以A 1P ⊥面AC 1，所以BD ⊥A 1P ．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，12BAC BCA ABC ∠=∠=∠，点E 是1A B 与1AB 的交点，D 为AC 的中点.（1）求证：1BC 平面1A BD ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）连结ED ，E 为1A B 与1AB 的交点，E 为1AB 中点，D 为AC 中点，根据三角形中位线定理可得1//ED B C ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等腰三角形的性质可得AB BC ⊥，由菱形的性质可得11AB A B ⊥，1BB ⊥平面ABC ，可得1BC BB ⊥，可证明1BC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可得结果.详解：（1）连结ED ，⊥直棱柱111ABC A B C -中，E 为1A B 与1AB 的交点，⊥E 为1AB 中点，D 为AC 中点，⊥1//ED B C又⊥ED ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD⊥1//B C 平面1A BD .（2）由12BAC BCA ABC ∠=∠=∠知,AB BC AB BC =⊥ ⊥1BB BC =，⊥四边形11ABB A 是菱形，⊥11AB A B ⊥. ⊥1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC⊥1BC BB ⊥⊥1AB BB B ⋂=,1,AB BB ⊂平面11ABB A ，⊥BC ⊥平面11ABB A⊥1AB ⊂平面11ABB A ，⊥1BC AB ⊥⊥1BC A B B ⋂=，1,BC A B ⊂平面1A BC ，⊥1AB ⊥平面1A BC27．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，⊥BCD 4π=，BC ⊥PD ，PE ⊥BC ．（1）求证：PC ＝PD ；（2）若底面ABCD 是边长为2的菱形，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为43，求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2）3． 【详解】 （1）证明：由题意，BC ⊥PD ，BC ⊥PE ，⊥BC ⊥平面PDE ，⊥DE ⊥平面PDE ，⊥BC ⊥DE .⊥⊥BCD 4π=，⊥DEC 2π=，⊥ED ＝EC ，⊥Rt⊥PED ⊥Rt⊥PEC ，⊥PC ＝PD .（2）解：由题意，底面ABCD 是边长为2的菱形，则ED ＝EC =⊥平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，⊥PE ⊥平面ABCD ，即PE 是四棱锥P ﹣ABCD 的高.⊥V P ﹣ABCD 13=⨯2PE 43=，解得PE = ⊥PC ＝PD ＝2.设点B 到平面PCD 的距离为h ，⊥V B ﹣PCD ＝V P ﹣BCD 12=V P ﹣ABCD 23=， ⊥1132⨯⨯2×2×sin60°×h 23=，⊥h 3=.⊥点B 到平面PCD 的距离是3. 28．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，面ABFE 是矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC CD AE a ===，60DAB ∠=.（1）求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（2）若三棱锥B DCF -a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】（1）因为四边形ABFE 是矩形，故EA AB ⊥，又平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE 平面ABCD AB =，AE ⊂平面ABFE ， 所以AE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以AE BD ⊥，在等腰梯形ABCD 中，60DAB ∠=，120ADC BCD ︒∴∠=∠=，因BC CD =，故30BDC ∠=，1203090ADB ∠=-=，即AD BD ⊥， 又AE AD A =，故BD ⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面ADE ；（2）BCD 的面积为2213sin12024BCD S a ==， //AE FB ，AE ⊥平面ABCD ，所以，BF ⊥平面ABCD ，2313D BCF F BCD V V a --∴==⋅==，故1a =.。

2023-2024学年北京市朝阳区高一上册期末数学学情检测模拟试题一、单选题1．设全集R U =，集合{}220A x x x =--≤，{}lg 0B x x =>，则A B = （）A ．{}12x x -≤≤B ．{}12x x <≤C ．{}12x x <<D ．{}1x x ≥-【答案】B【分析】利用一元二次不等式的解法和对数不等式的解法求解.【详解】由220x x --≤解得12x -≤≤，所以{}12A x x =-≤≤，由lg 0x >解得1x >，所以{}1B x x =>，所以{}12A B x x ⋂=<≤，故选:B.2．已知{|02}A x x =，{|12}B y y =，下列图形能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】A.其值域为[0,2]，故不符合题意；B.符合题意；CD 是函数图象，值域为{1,2}，故不符合题意.【详解】解：A 是函数图象，其值域为[0,2]，与已知函数的值域为{|12}B y y =不符，故不符合题意；B 是函数的图象，定义域为[0,2]，值域为[1,2]，故符合题意；C 是函数图象，值域为{1,2}，与已知函数的值域为{|12}B y y =不符，故不符合题意；D 是函数图象，值域为{1,2}，故不符合题意.故选：B3．单位圆上一点P 从()0,1出发，逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（）A ．1,22⎛- ⎝⎭B ．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D ．,221⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由题意得5π6ππ23QOx ∠=+=，从而得到π55cos ,πsin 66Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合诱导公式求出答案.【详解】点P 从()0,1出发，沿单位圆逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，所以5π6ππ23QOx ∠=+=，所以π55cos ,πsin 66Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中25coscos cos 6611π6πππ⎛⎫=-=- ⎭=⎪⎝，25s s 1in sin in 66ππ611ππ⎛⎫=-= ⎭=⎪⎝，即Q 点的坐标为：21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．故选：D ．4．不等式21216x +>的解集为（）A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．53,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．53,,22⎛⎤⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭D ．52⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,【答案】B【分析】根据指数函数单调性解不等式，得到解集.【详解】不等式21216x +>，∴21422x +>，即214x +>．∴214x +<-或214x +>，解得：52x <-或32x >，∴解集是53,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：B ．5．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（）A ．154B ．415C ．158D ．120【答案】A【分析】根据扇形面积公式得到面积为120步，设出扇形圆心角，根据212S R α=求出扇形圆心角.【详解】因为直径16步，故半径为8R =步，3081202S ⨯==（平方步），设扇形的圆心角为α，则212S R α=，即1151206424αα=⨯⇒=．故选：A6．设a =0.80.9b =，0.9log 0.8c =，则（）A ．c a b >>B ．a c b>>C ．a b c>>D ．c b a>>【答案】A【分析】利用幂函数，指数函数以及对数函数的单调性以及中间值法即可比较大小.12a =<=<=，0.800.90.91b =<=，0.90.9log 0.8log 0.812c =>=，所以c a b >>．故选：A7．已知函数212()log (45)f x x x =--，则函数()f x 的减区间是（）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(5,)+∞D ．(,1)-∞-【答案】C【解析】先求得()f x 的定义域，然后根据复合函数同增异减确定()f x 的减区间.【详解】由()()245510x x x x --=-+>解得1x <-或5x >，所以()f x 的定义域为()(),15,-∞-+∞ .函数245y x x =--的开口向上，对称轴为2x =，函数12log y x =在()0,∞+上递减，根据复合函数单调性同增异减可知函数()f x 的减区间是()5,+∞.故选：C8．已知实数0x y >>，且111216x y +=+-，则x y -的最小值是（）A ．21B ．25C ．29D ．33【答案】A【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】∵0x y >>，等式111216x y +=+-恒成立，∴()()111321621x y x y x y ⎛⎫-+=++-+ ⎪+-⎝⎭，由于0x y >>，所以10,20y x ->+>∵()11212122242112x y x y x y y x ⎛⎫+-+++-=++≥+ ⎪+--+⎝⎭，当且仅当21x y +=-时，即10,11x y ==-时取等号．∴()1346x y -+≥，∴21x y -≥，故x y -的最小值为21．故选：A 二、多选题9．下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（）A ．x ∃∈R ，0x ≤B ．存在x ∈R ，使得210x x ++=C ．至少有一个无理数x ，使得3x 是有理数D ．有的有理数没有倒数【答案】ACD【分析】根据存在量词可判断存在量词命题，进而根据数与式的性质即可判断真假.【详解】对于A.命题是存在量词命题，所以0x ∃=，使0x =，所以A 是真命题，故A 正确；对于B ．对应方程210x x ++=，30∆=-<，方程无解，故B 错误；对于C ．命题是存在量词命题，x ∃=33=是有理数，所以C 是真命题；对于D ．有理数0没有倒数，故D 正确；故选:ACD ．10．下列说法正确的是（）A ．若sin cos 0αα⋅>，则α为第一象限角B ．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30-︒C ．终边经过点()(),0a a a ≠的角的集合是ππ,Z 4k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．在一个半径为3cm 的圆上画一个圆心角为30︒的扇形，则该扇形面积为23πcm 2【答案】BC【分析】A 选项，根据sin ,cos αα同号，确定角所在象限；B 选项，顺时针转动了30°，故B 正确；C 选项，根据终边在第一、三象限的角平分线上，确定角的集合；D 选项，由扇形面积公式进行求解.【详解】A 选项，若sin cos 0αα⋅>，则α为第一象限角或第三象限角，故A 错误；B 选项，将表的分针拨快5分钟，顺时针转动30°，故分针转过的角度是30-︒，故B 正确；C 选项，终边经过点()(),0a a a ≠的角的终边在直线y x =上，故角的集合是ππ,Z 4k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，C正确；D 选项，扇形面积为22211π3π3cm 2264S R α==⨯⨯=，故D 错误．故选：BC ．11．已知函数()12f x x =-，则下列结论中正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在(),2-∞-上单调递增C ．()f x 的值域为RD ．当()2,2x ∈-时，()f x 有最大值【答案】ABD【分析】A 选项，根据分母不为0得到定义域，再由奇偶性的定义判断A 正确；B 选项，先求出()12f x x =-在()2,+∞上均单调递减，结合奇偶性得到B 正确；C 选项，由()12f x x =-在()0,2和()2,+∞上的单调性结合奇偶性得到()f x 的值域，C 错误；D 选项，根据()f x 在()2,2x ∈-上的单调性得到最大值.【详解】对于A ，由20x -≠得函数()f x 定义域为{}2x x ≠±，所以()()122f x x x =≠±-．由()()1122f x f x x x -===---，可得函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，故A 正确；对于B ，当0x >且2x ≠时，函数()12f x x =-，该函数图象可由函数1y x=图象向右平移2个单位得到，所以函数()12f x x =-在()0,2和()2,+∞上均单调递减，由偶函数性质，可知()f x 在(),2-∞-上单调递增，故B 正确；对于C ，由B 可得，当0x >且2x ≠时，函数()12f x x =-在()0,2和()2,+∞上均单调递减，所以该函数在()()0,22,+∞U 的值域为()1,0,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；又因为函数()f x 为偶函数，且()102f =-，所以()f x 在其定义域上的值域为()1,0,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ ，故C 错误；对于D ，当()2,2x ∈-时，函数()f x 在()2,0-上单调递增，在()0,2上单调递减，所以()f x 有最大值为()102f =-，故D 正确．故选：ABD ．12．如图所示，边长为2的正方形ABCD 中，O 为AD 的中点，点P 沿着A B C D →→→的方向运动，设AOP ∠为x ，射线OP 扫过的阴影部分的面积为()f x ，则下列说法中正确的是（）A ．()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数B ．π142f ⎛⎫=⎪⎝⎭C ．()()π4f x f x +-=D ．()f x 图象的对称轴是π2x =【答案】BC【分析】当点P 在AB 的中点时，此时π4AOP ∠=，即可判断B ，根据阴影部分的面积变化可知()f x 的单调性，进而可判断A ，根据面积的之和为4，可判断对称性，进而可判断CD.【详解】对于A 选项，取BC 的中点为G ，当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,点P 在GCD 之间运动时，阴影部分的面积增加，所以()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，A 选项错误；对于B 选项，当点P 在AB 的中点时，此时π4AOP ∠=，所以，()11111222f x OA AP =⋅=⨯⨯=，故B正确，对于C 选项，取BC 的中点G ，连接OG ，作点P 关于直线OG 的对称点F ，则FOD x ∠=，所以πAOF x ∠=-，OF 绕O 点按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD 的面积为S ，由对称性可知()S f x =，因为()π4S f x +-=，即()()π4f x f x +-=，C 选项正确；对于D 选项，由C 选项可知，()()π4f x f x +-=，则π3π+=444f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以，3ππ7π44424f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于直线π2x =对称，D 选项错误．故选：BC 三、填空题13．求值：26π17πsin cos()34+-=__________．【分析】利用终边相同的角同名三角函数值相等和诱导公式即可求解【详解】26π2π2πsinsin(8π)sin 3332=+==，17πππcos cos 4πcos cos 44442π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以226π17πsincos()34-=+.14．已知幂函数()()257mf x m m x =-+是R 上的增函数，则m 的值为______．【答案】3【分析】根据幂函数的定义与性质，即可求出m 的值．【详解】由题意()()257mf x m m x =-+是幂函数，2571m m ∴-+=，解得2m =或3m =，又()f x 是R 上的增函数,则3m =.故答案为：3.【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是得出关于m 的方程和不等式，是基础题．15．若“13x <<”的必要不充分条件是“22a x a -<<+”，则实数a 的取值范围是______．【答案】[]1,3【分析】将必要不充分条件转化为集合之间在关系，即可列不等式求解.【详解】由于“13x <<”的必要不充分条件是“22a x a -<<+”，所以{}13x x <<{}22x a x a -<<+则2123a a -≤⎧⎨+≥⎩且两个等号不同时取得，解得13a ≤≤，经检验1a =和3a =均符合要求，故a 的取值范围是[]1,3．故答案为：[]1,316．已知函数()()25,2lg 2,2x x f x x x x ⎧-≤-⎪=⎨+>-⎪⎩，若方程()1f x =的实根在区间()(),1Z k k k +∈上，则k 的所有可能值是______．【答案】－3，－2或1【分析】先由()2512x x -=≤-求出x =3k =-，再变形得到()1lg 2(2)x x x+=>-，画出两函数图象，数形结合得到两个根，结合零点存在性定理得到两根分别在()2,1--与()1,2内，从而确定k 的所有可能值.【详解】①由方程()2512x x -=≤-，解得：x =因为()3,2--，故3k =-；②由于方程()lg 21(2)x x x +=>-即方程()1lg 2(2)x x x+=>-，分别作出左右两边函数的图象，从图象上可得出：方程()1lg 2x x+=在区间()2,1--内有一个实根．故方程()lg 21x x +=在区间()2,1--内有且仅有一个实根．此时2k =-，下面证明：方程()lg 21x x +=在区间()1,2内有一个实根，⇔函数()()lg 21f x x x =+-，在区间()2,1--和()1,2内各有一个零点，因为()1,2x ∈时，()lg 20x +>，故函数()()lg 21f x x x =+-在区间()1,2是增函数，又()1lg310f =-<，()22lg410f =->，即()()120f f <，由零点存在性定理知，函数()()lg 21f x x x =+-在区间()1,2内仅有一个零点，即方程()lg 21x x +=在区间()1,2内有且仅有一个实根，此时1k =.故答案为：－3，－2或1．四、解答题17．（1）计算240.53064812222716--⎫⎛⎫⎛⎫⨯÷+⨯-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）计算3log 4622713log 832log log 81log 232++⋅．【答案】（1）0；（2）3.【分析】（1）利用分数指数幂运算法则进行计算；（2）利用对数运算法则及性质进行计算.【详解】（1）2040.53648122()()2716--⨯÷+⨯-2323234649499992()2(222032716348164--⎡⎤⎛⎫=÷+⨯=⨯+⨯-=+⨯-=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（2）3log4622713log832log log81log232++-⋅3462311log24log log3log232=++-⨯662323log24log2log3log=++-⨯66log2log234++=-6log6421423=+-=+-=.18．已知集合{}22A x a x a=-≤≤+，{|1B x x=≤或}4x≥．（1）当3a=时，求A B⋂；（2）“x A∈”是“Rx B∈ð”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）{|11A B x x⋂=-≤≤或}45x≤≤；（2）{}|1a a<【分析】（1）先求出集合{}15A x x=-≤≤，再求A B⋂；（2）先求出{}|14RB x x=<<ð，用集合法分类讨论，列不等式，即可求出实数a的取值范围.【详解】（1）当3a=时，{}15A x x=-≤≤.因为{|1B x x=≤或}4x≥，所以{|11A B x x⋂=-≤≤或}45x≤≤；（2）因为{|1B x x=≤或}4x≥，所以{}|14RB x x=<<ð.因为“x A∈”是“Rx B∈ð”的充分不必要条件，所以A B Rð.当A=∅时，符合题意，此时有22a a+<-，解得：a<0.当A≠∅时，要使A B Rð，只需222421a aaa+≥-⎧⎪+<⎨⎪->⎩，解得：01a≤<综上：a<1.即实数a 的取值范围{}|1a a <.19．已知α是第四象限角．(1)若cos α=()()π3πcos sin 222sin πcos 2παααα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++-的值；(2)若25sin 5sin cos 10ααα++=，求tan α的值．【答案】(1)15-(2)12-或13-【分析】（1）先由余弦值求出正切值，再结合诱导公式，化弦为切，代入求值即可；（2）变形得到22222sin sin cos tan tan 1sin cos tan 15αααααααα++==-++，求出tan α的值.【详解】（1）∵α是第四象限角，cos 5α==，所以sin 5α=-，∴sin tan 2cos ααα==-，∴()()π3πcos sin sin cos tan 11222sin πcos 2π2sin cos 2tan 15αααααααααα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭===-++--+-+．（2）∵21sin sin cos 5ααα+=-，∴22222sin sin cos tan tan 1sin cos tan 15αααααααα++==-++，∴1tan 2α=-或1tan 3α=-．20．已知函数()3131-=+x x f x ．(1)证明函数()f x 为奇函数；(2)解关于t 的不等式：()()3120f t f t -+-<．【答案】(1)证明见解析(2)12t t ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据奇偶性的定义即可证明，（2）根据函数的单调性以及奇偶性即可转化成自变量的大小关系，解不等式即可.【详解】（1）因为函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且()()11311331311313xxx xxxf x f x ------====-+++，所以函数()f x 是奇函数；（2）由()3131221313131x x x x xf x -+-===-+++，由于31x y =+为定义域内的单调递增函数且310x y =+>，所以131x y =+单调递减，因此函数()f x 是定义域为R 的增函数，而不等式()()3120f t f t -+-<可化为()()312f t f t -<--，再由()()f x f x -=-可得()()312f t f t -<-，所以312t t -<-，解得21t <-，故不等式的解集为12t t ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭．21．某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk ）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk ，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk ，治愈效果的普姆克系数y （单位：pmk ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型(0,1)=>>x y ka k a 与12(0,0)y px k p k =+>>可供选择．(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；(2)求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4711≈）【答案】(1)选择模型(0,1)=>>xy ka k a 符合要求；该函数模型的解析式为32332xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，112x ≤≤，*N x ∈；(2)六月份.【分析】（1）根据两函数特征选择模型(0,1)=>>x y ka k a ，并用待定系数法求解出解析式；（2）先求出元旦治愈效果的普姆克系数，从而列出不等式，结合*N x ∈，解出6x ≥，得到答案.【详解】（1）函数(0,1)=>>xy ka k a 与12(0,0)y px k p k =+>>在()0,∞+上都是增函数，随着x 的增加，函数(0,1)=>>x y ka k a 的值增加的越来越快，而函数12y px k =+的值增加的越来越慢，由于这批治愈药品发挥的作用越来越大，因此选择模型(0,1)=>>x y ka k a 符合要求．根据题意可知2x =时，24y =；3x =时，36y =，∴232436ka ka ⎧=⎨=⎩，解得32332k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故该函数模型的解析式为323()32xy =⋅，112x ≤≤，*N x ∈；（2）当0x =时，323y =，元旦治愈效果的普姆克系数是32pmk 3，由32332()10323x ⋅>⨯，得3()102x >，∴32lg1011log 10 5.93lg 3lg 20.47110.3010lg 2x >==≈≈--，∵*N x ∈，∴6x ≥，即治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是六月份．22．已知函数()f x 对任意实数m 、n 都满足等式()()()2f m n f m n f m -++=，当0x >时，()0f x <，且()24f =-．(1)判断()f x 的奇偶性；(2)判断()f x 的单调性，求()f x 在区间[]3,5-上的最大值；(3)是否存在实数a ，对于任意的[]1,1x ∈-，[]1,1b ∈-，使得不等式()222f x a ab <-+恒成立．若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)奇函数；(2)()f x 为R 上的减函数；()f x 在[]3,5-上的最大值为6；(3)存在，实数a 的取值范围为()(),22,∞∞--⋃+．【分析】（1）赋值法得到()00f =，()()f x f x -=-，得到函数的奇偶性；（2）先由0x >时，()0f x <利用赋值法得到函数单调递减，再用赋值法和奇偶性得到()36f -=，从而得到()f x 在区间[]3,5-上的最大值；（3）先根据单调性得到()()()112f x f f ≤-=-=，问题转化为220a ab ->，[]1,1b ∀∈-恒成立，令()22g b ab a =-+，为一次函数，得到不等式组，求出实数a 的取值范围.【详解】（1）取0m n ==，则()()020f f =，∴()00f =，取0m =，n x =，则()()()00f x f x f +-==，∴()()f x f x -=-对任意x ∈R 恒成立，∴()f x 为奇函数；（2）任取()12,,x x ∈-∞+∞且21x x <，则120x x ->，因为()()()2f m n f m n f m -++=，故()()()2f m f m n f m n -+=-，令112,22x xm n x ==-，则有()11111222222x x xx f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()()1212f x f x f x x -=-，∵0x >时，()0f x <，故120x x ->时，()120f x x -<，∴()()120f x f x -<，∴()()12f x f x <．故()f x 为R 上的减函数．∴[]3,5x ∈-，()()3f x f ≤-，∵()()()2f m n f m n f m -++=，()24f =-，令1,0==m n ，则()()()1124f f f +==-，故()12f =-，因为令1,2m n ==，则()()()12122f f f -++=，即()()()1324f f f -+==-，由（1）知：()f x 为奇函数，故()()112f f -=-=，故()234f +=-，解得：()36f =-，故()()336f f -=-=，故()f x 在[]3,5-上的最大值为6；（3）∵()f x 在[]1,1-上是减函数，∴()()()112f x f f ≤-=-=，∵()222f x a ab <-+，对所有[]1,1x ∈-，[]1,1b ∈-恒成立．∴2222a ab -+>，[]1,1b ∀∈-恒成立；即220a ab ->，[]1,1b ∀∈-恒成立，令()22g b ab a =-+，则()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩，即222020a a a a ⎧+>⎨-+>⎩，解得：2a >或2a <-．∴实数a 的取值范围为()(),22,∞∞--⋃+．2023-2024学年北京市朝阳区高一上册期末数学学情检测模拟试题一、单选题1．已知集合{1,0,1,2},{0,1,2,3}A B =-=，则A B = （）A ．{0,1,2}B ．{1,2,3}C ．{1,3}-D ．{1,0,1,2,3}-【答案】A【分析】根据交集的定义，即可求解.【详解】因为{1,0,1,2},{0,1,2,3}A B =-=，所以{}0,1,2A B = .故选：A2．不等式220x x -->的解集是（）A ．{2xx <-∣或1}x >-B ．{1xx <-∣或2}x >C ．{12}x x -<<∣D ．{21}xx -<<∣【答案】B【分析】直接解出不等式即可.【详解】220x x -->，解得2x >或1x <-，故解集为{1xx <-∣或2}x >，故选：B.3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（）A ．y =B ．ln y x=C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．3y x =【答案】C【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性即可得到答案.【详解】根据幂函数图像与性质可知，对A 选项y =在(0,)+∞单调递增，故A 错误，对D 选项3y x =在(0,)+∞单调性递增，故D 错误，根据指数函数图像与性质可知12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(0,)+∞单调递减，故C 正确，根据对数函数图像与性质可知ln y x =在(0,)+∞单调性递增.故选：C.4．命题“00,10x x ∃∈->R ”的否定是（）A ．,10x x ∀∈-≤RB ．00,10x x ∃∈-≤R C ．,10x x ∀∈-<R D ．00,10x x ∃∈-<R 【答案】A【分析】根据存在命题的否定即可得到答案.【详解】根据存在命题的否定可知，存在变任意，范围不变，结论相反，故其否定为,10x x ∀∈-≤R .故选：A.5．已知0a >，则41a a++的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】利用基本不等式的性质求解即可.【详解】因为0a >，所以4115a a ++≥+=.当且仅当4a a=，即2a =时等号成立.所以41a a++的最小值为5.6．函数3()f x x x =+的图象关于（）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y x =对称【答案】C【分析】求出()()3f x x x -=-+，可知()()f x f x -=-，可得函数为奇函数，进而得到答案.【详解】函数3()f x x x =+的定义域为R ，()()()33()f x x x x x -=-+-=-+，所以有()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称.故选：C.7．“sin sin A B =”是“A B =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据正弦函数的性质及充分条件、必要条件即可求解.【详解】sin sin A B = 推不出A B =（举例，5sin sin66ππ=），而sin sin A B A B =⇒=,∴“sin sin A B =”是“A B =”的必要不充分条件，故选：B8．已知函数()|lg(1)|f x x =+，对a ，b 满足1a b -<<且()()f a f b =，则下面结论一定正确的是（）A ．0a b +=B ．1ab =C ．0ab a b --=D ．0ab a b ++=【答案】D【分析】由对数函数的运算性质可知()()lg 1lg 1a b -+=+移项化简即可得.【详解】因为函数()|lg(1)|f x x =+，对a ，b 满足1a b -<<且()()f a f b =，所以()()lg 1lg 1a b -+=+，则()()lg 1lg 10a b +++=所以()()lg 110a b ⎡⎤++=⎣⎦，即()()111a b ++=，解得0ab a b ++=9．记地球与太阳的平均距离为R ，地球公转周期为T ，万有引力常量为G ，根据万有引力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量2324π(kg)R M GT =.已知32lg 20.3,lg π0.5,lg 28.7R GT ≈≈≈，由上面的数据可以计算出太阳的质量约为（）A ．30210kg ⨯B ．292g10k ⨯C ．30310kg⨯D ．29310kg⨯【答案】A【分析】利用对数运算性质计算即可.【详解】因为32lg 20.3,lg π0.5,lg 28.7R GT ≈≈≈，所以由2324πR M GT =得：2332224πlg lg lg 4l lg πg R R M GT GT ⎭+⎛⎫==+ ⎪⎝322lg 22lg π20.320.528.730.3lg R GT =≈+⨯+=++⨯，即30.3300.30.330lg 30.310101010M M +≈⇒≈==⨯，又0.3lg 20.3102≈⇒≈，所以30210kg M ≈⨯.故选：A.10．已知实数12101210,,,,,,,a a a b b b 互不相同，对(1,2,,10)i a i ∀= 满足()()()12102023i i i a b a b a b +++= ，则对()()()1210(1,2,,10),i i i i b i a b a b a b ∀=+++= （）A ．2022B ．2022-C ．2023D ．2023-【答案】D【分析】根据代数基本定理进行求解即可..【详解】国为(1,2,,10)i a i ∀= 满足()()()12102023i i i a b a b a b +++= ，所以(1,2,,10)i a i = 可以看成方程()()()121020230x b x b x b +++-= 的10个不等实根，根据代数基本定理可知：对于任意实数x 都有以下恒等式，()()()1210123102023()()()()x b x b x b x a x a x a x a +++-=---- ，令12310,,,,x b b b b =---- ，于是有1112131102023()()()()b a b a b a b a -=-------- ，111213110()()()()2023b a b a b a b a ⇒++++=- ，2122232102023()()()()b a b a b a b a -=-------- ，212223210()()()()2023b a b a b a b a ⇒++++=- 3132333102023()()()()b a b a b a b a -=-------- 313233310()()()()2023b a b a b a b a ⇒++++=- ，L 10110210310102023()()()()b a b a b a b a -=-------- ，1011021031010()()()()2023b a b a b a b a ⇒++++=- ，所以()()()1210(1,2,,10),2023i i i i b i a b a b a b ∀=+++=- ，故选：D【点睛】关键点睛：根据代数基本定理是解题的关键.二、填空题11．函数()()ln 12f x x =-的定义域是__________.【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】根据对数真数大于零可构造不等式求得结果.【详解】由120x ->得：12x <，()f x \的定义域为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.12．221log 42-⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】6【分析】根据给定条件，利用指数运算、对数运算计算作答.【详解】222221()log 42log 24262-+=+=+=.故答案为：613．若1cos 3θ=，()0,πθ∈，则tan θ=______．【答案】【分析】由()0,πθ∈，可知sin 0θ>，再结合22sin 1cos θθ=-，及sin tan cos θθθ=，可求出答案.【详解】因为()0,πθ∈，所以sin 0θ>，所以sin 3θ===，sin 3tan 1cos 3θθθ===故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.三、双空题14．如图，单位圆被点1212,,,A A A 分为12等份，其中1(1,0)A .角α的始边与x 轴的非负半轴重合，若α的终边经过点5A ，则cos α=__________；若πsin sin 3αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则角α的终边与单位圆交于点__________.（从1212,,,A A A中选择，写出所有满足要求的点）【答案】12-39,A A 【分析】求出终边经过i A 则对应的角α和i 的关系.【详解】2ππ126=，所以终边经过i A 则()()π1112,Z 6i i iα=-＃角α的始边与x 轴的非负半轴重合，若α的终边经过点5A ，则2π3α=，所以2ππ1cos coscos 332α==-=-πππsin sin sin sin cos cos sin 333ααααα⎛⎫=+∴=⋅+⋅ ⎪⎝⎭，即1πsin sin cos tan 23ααααα=⋅+==或4π3α=即()()ππ1112,Z 336i i i i =-＃蝄=或()()4ππ1112,Z 936i i i i =-＃蝄=经过点39,A A故答案为：12-；39,A A 15．已知函数22,()22,x x x x af x x a ⎧-≥=⎨-<⎩,①当1a =时，()f x 在(0,)+∞上的最小值为__________；②若()f x 有2个零点，则实数a 的取值范围是__________.【答案】1-；0a ≤或12a <≤．【分析】①根据函数式分段确定函数的单调性后可得最小值；②结合函数22y x x =-和22x y =-的图象，根据分段函数的定义可得参数范围．【详解】①1a =，1x ≥时，2()2f x x x =-是增函数，min ()(1)1f x f ==-，01x <<时，()22x f x =-是增函数，因此0()221f x >-=-，所以,()0x ∈+∞时，()f x 的最小值是1-；②作出函数22y x x =-和22x y =-的图象，它们与x 轴共有三个交点(0,0)，(1,0)，(2,0)，由图象知()f x 有2个零点，则0a ≤或12a <≤．故答案为：1-；0a ≤或12a <≤．四、解答题16．已知函数π()sin cos 2f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)当π2π33x -≤≤时，求()f x 的值域.【答案】(2)[]1,2-.【分析】(1)根据诱导公式和特殊角三角函数值求解；(2)利用余弦函数性质及不等式性质求()f x 的值域.【详解】（1）因为π()sin cos 2cos 2f x x x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以ππ2cos 66f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，（2）由(1)()2cos f x x =，又π2π33x -≤≤，所以1cos 12x -≤≤，所以12cos 2x -≤≤，故当π2π,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为[]1,2-.17．已知关于x 的不等式2(1)(2)288a x x x x -->-+的解集为A .(1)当1a =时，求集合A ；(2)若集合(,1)(2,)A =-∞-+∞ ，求a 的值；(3)若3A ∉，直接写出a 的取值范围.【答案】(1)(2,3)A =；(2)3a =；(3)1a ≤．【分析】（1）直接解不等式可得；（2）由题意得1,2-是方程2(1)(2)288a x x x x --=-+的根，代入后可得a 值；（3）3x =代入后不等式不成立可得．【详解】（1）1a =时，不等式为2(1)(2)288x x x x -->-+，即2560x x -+<，23x <<，∴(2,3)A =；（2）原不等式化为2(2)(38)280a x a x a ---+->，由题意(2)(38)2804(2)2(38)280a a a a a a -+-+-=⎧⎨---+-=⎩，解得3a =，3a =时原不等式化为220x x -->，1x <-或2x >，满足题意．所以3a =；（3）3A ∉，则218248a ≤-+，解得1a ≤．18．函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若对任意的,(0,)s t ∈+∞，均有()()()f s t f s f t +>+.(1)若(1)0f >，证明：(2)0f >；(2)若对(0,),()0x f x ∀∈+∞>，证明：()f x 在(0,)+∞上为增函数；(3)若(1)0f =，直接写出一个满足已知条件的()f x 的解析式.【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析(3)()e e xf x =-，()0,x ∈+∞（答案不唯一）【分析】（1）赋值法得到()(2)210f f >>；（2）赋值法，令()2120,,s x t x x =∈+∞=-，且12x x >，从而得到1212()()()0f x f x f x x ->->，证明出函数的单调性；（3）从任意的,(0,)s t ∈+∞，均有()()()f s t f s f t +>+，可得到函数增长速度越来越快，故下凸函数符合要求，构造出符合要求的函数，并进行证明【详解】（1）令1s t ==，则()(2)(1)(1)21f f f f >+=，因为(1)0f >，所以()(2)210f f >>；（2）令()2120,,s x t x x =∈+∞=-，且12x x >，则()120,t x x =-∈+∞，所以212212()()()f x x x f x f x x +->+-，故1212()()()f x f x f x x ->-，因为对(0,),()0x f x ∀∈+∞>，所以()120f x x ->，故1212()()()0f x f x f x x ->->，即12()()f x f x >，()f x 在(0,)+∞上为增函数；（3）构造()e e xf x =-，()0,x ∈+∞，满足()10f =，且满足对任意的,(0,)s t ∈+∞，()()()f s t f s f t +>+，理由如下：()()e e e e e e e e e e e 1e 1e 1()()()s t s t s t s t s t f s t f s f t +++--===--+-+--+--+-，因为,(0,)s t ∈+∞，故e 10,e 10s t ->->，()()0()()()e 1e 1e 1s tf s t f s f t --++--->=，故对任意的,(0,)s t ∈+∞，()()()f s t f s f t +>+.19．已知函数()22(0)x x f x a a -=+⋅≠.(1)若()f x 为偶函数，求a 的值；(2)从以下三个条件中选择两个作为已知条件，记所有满足条件a 的值构成集合A ，若A ≠∅，求A .条件①：()f x 是增函数；条件②：对于,()0x f x ∀∈>R 恒成立；条件③：0[1,1]x ∃∈-，使得()04f x ≤.【答案】(1)1a =；(2)选①②，不存在A ；选①③，(,0)A =-∞；选②③，(0,4]A =．【分析】（1）由偶函数的定义求解；（2）选①②，a<0时，由复合函数单调性得()f x 是增函数，0a >时，由单调性的定义得函数的单调性，然后在a<0时，由()0f x =有解，说明不满足②a 不存在；选①③，同选①②，由单调性得a<0，然后则函数的最大值不大于4得a 的范围，综合后得结论；选②③，先确定()0f x >恒成立时a 的范围，再换元确定新函数的单调性得最大值的可能值，从而可得参数范围．【详解】（1）()f x 是偶函数，则()22()22x x x x f x a f x a --=+⋅==+⋅，(1)(220x x a ---=）恒成立，∴10a -=，即1a =；（2）若选①②，()22x xaf x =+（0a ≠），若a<0，则()f x 是增函数，由202xx a+=得4log ()x a =-，因此()0f x >不恒成立，不合题意，若0a >，设2x t =，则0t >，()()af xg t t t==+0>恒成立，设120t t <<，则121212121212()()()()t t t t a a a g t g t t t t t t t ---=+--=，120t t -<，当120t t <<<120t t a -<，12()()0g t g t ->，12()()g t g t >，()g t是减函数，12t t <<时，120t t a ->，12()()0g t g t -<，12()()g t g t <，()g t 是增函数，又2x t =是增函数，因此()f x 在定义域内不是增函数，不合题意．故不存在a 满足题意；若选①③，若a<0，则()22xxaf x =+是增函数，若0a >，设2x t =，则0t >，()()af xg t t t==+0>恒成立，设120t t <<，则121212121212()()()()t t t t a a a g t g t t t t t t t ---=+--=，120t t -<，当120t t <<<120t t a -<，12()()0g t g t ->，12()()g t g t >，()g t是减函数，12t t <<时，120t t a ->，12()()0g t g t -<，12()()g t g t <，()g t 是增函数，又2x t =是增函数，因此()f x 在定义域内不是增函数，不合题意．故不存在a 满足题意；要满足①，则a<0，所以[1,1]x ∈-时，max ()(1)22af x f ==+，由242a +≤得4a ≤，综上，a<0；所以(,0)A =-∞．若选②③，若a<0，则由4()20log ()2xxaf x x a =+=⇔=-，()0f x >不恒成立，只有0a >时，()202xx af x =+>恒成立，设2x t =，则0t >，又0a >时，[1,1]x ∈-⇒12[,2]2xt =∈，()()a f x g t t t ==+，()()af xg t t t==+0>恒成立，设120t t <<，则121212121212()()()()t t t t a a a g t g t t t t t t t ---=+--=，120t t -<，当120t t <<<120t t a -<，12()()0g t g t ->，12()()g t g t >，()g t是减函数，12t t <<时，120t t a ->，12()()0g t g t -<，12()()g t g t <，()g t 是增函数，a 取任意正数时，()g t 的最大值是1()2g 或(2)g ，要满足③，则11(2422g a =+≤或(2)242a g =+≤，74a ≤或4a ≤，所以04a <≤，所以(0,4]A =．20．对于非空数集A ，若其最大元素为M ，最小元素为m ，则称集合A 的幅值为A T M m =-，若集合A 中只有一个元素，则0A T =.(1)若{2,3,4,5}A =，求A T ；(2)若{}{1,2,3,,9},,,,(,1,2,3,)i i i i i j A A a b c A A A i j i j ==⊆=∅=≠ ，123A A A A = ，求123A A A T T T ++的最大值，并写出取最大值时的一组123,,A A A ；(3)若集合*N 的非空真子集123,,,,n A A A A L 两两元素个数均不相同，且12355n A A A A T T T T ++++= ，求n 的最大值.【答案】(1)3A T =(2)123A A A T T T ++的最大值为18，{}{}{}1231,9,4,2,8,53,7,6,A A A ===(3)n 的最大值为11【分析】（1）根据新定义即可求出；（2）由{},,,(,1,2,3,)i i i i i j A a b c A A A i j i j =⊆=∅=≠ ，123A A A A = 且要使得123A A A T T T ++取到最大，则只需123,,A A A T T T 中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值.（3）要n 的值最大，则集合的幅值最小，且123,,,,n A A A A L 是集合*N 的两两元素个数均不相同的非空真子集，故对集合123,,,,n A A A A L 中元素分析列出方程解出即可.【详解】（1）由集合{2,3,4,5}A =知，5,2M m ==，所以523A T M m =-=-=.（2）因为{}{1,2,3,,9},,,,(,1,2,3,)i i i i i j A A a b c A A A i j i j ==⊆=∅=≠ ，123A A A A = ，由此可知集合123,,A A A 中各有3个元素，且完全不相同，根据定义要让123A A A T T T ++取到最大值，则只需123,,A A A T T T 中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以123A A A T T T ++的最大值为78912318++---=，所以有一组{}{}{}1231,9,4,2,8,53,7,6,A A A ===满足题意，（3）要n 的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为1,2 ，，因为123,,,,n A A A A L 是集合*N 的两两元素个数均不相同的非空真子集，不妨设1A 是集合*N 中只有一个元素的非空真子集，此时10A T =，例如1{1}A =,则2A 是集合*N 中有两个元素的非空真子集，且21A T =，例如2{1,2}A =，同理3A 是集合*N 中有三个元素的非空真子集，且32A T =，例如3{1,2,3}A =，n A 是集合*N 中有n 个元素的非空真子集，且1nA T n =-，例如{1,2,3,,}n A n = ，所以123012(1)n A A A A T T T T n ++++=++++- ()1552n n -==，解得11n =或10n =-（舍去），所以n 的最大值为11.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。

P DA 清华附中高一新生分班考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）题号 一 二 三 总分 得分一、选择题（每题5分，共40分） 1．化简=-2aa （ ）A ．aB ．a -C ．aD ．2a2．分式1||22---x x x 的值为0，则x 的值为 （ ）A ．21或-B ．2C ．1-D ．2-3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点。

若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3， 则tan C 等于 （ ）A ．43 B ．35 C ．34 D ．45 4．如图，P A 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，AC 是直径，∠P = 40°，则∠BAC =（ ）A ．040 B ．080 C ．020 D ．0105．在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是 （ ）A ．21 B ．165 C ．167 D ．436．如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为 ( ) A . 6 B .4 C .5D . 37．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动(4题图) O C B A P (6题图) AB CDF E (3题图)D CB A 路线是A →D →C →B →A ,设P 点经过的路程为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y .则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是 ( )8.若直角坐标系内两点P 、Q 满足条件①P 、Q 都在函数y 的图象上②P 、Q 关于原点对称，则称点对（P ，Q ）是函数y 的一个“友好点对”（点对（P ，Q ）与（Q ，P ）看作同一个“友好点对”）。

已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤++=02101422x xx x x y ，，,则函数y 的“友好点对”有（ ）个A ．0 B.1 C. 2 D.3注意：请将选择题的答案填入表格中。

2023-2024学年北京市北京大学附属中学元培学院高一衔接班（高零）下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合、，其中，且满足以上条件的全部有序数对的个数为A.6B.8C.20D.362.已知、、，则下列选项可能成立的是()A.、、、B.、、、C.、、、D.、、，3.已知关于，，，的方程组，其中则，，，的大小关系为A. B.C. D.4.已知关于x，y的方程组对于方程组的实数解，下列判断中正确的是A.恰有一组实数解B.恰有两组实数解C.没有实数解D.条件不足无法判断5.函数的图象关于作对称，再向平移1个单位，得到函数的图象．()A.x轴、上B.y轴、下C.x轴、左D.y轴、右6.在中，顶点A，B，C的对边分别为a，b，若，则的内角大小可能为①②③④A.①②B.①③C.②③D.②④7.在锐角中，，，则A.2B.C.D.8.已知命题关于x的不等式与的解集相同，命题q：，则p是q成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

9.已知若，则__________.10.已知圆内接四边形的四个顶点将圆周分为长是，，，的四段圆弧．则这个四边形的面积为__________.11.已知集合、若是的必要不充分条件，则a的取值范围为__________.12.已知集合、若，则__________.13.函数在上的最大值为__________.14.已知函数、的图象恰有三个交点，交点坐标分别为则下列判断：①②③④其中正确的是__________.三、解答题：本题共4小题，共48分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.本小题12分求下列关于x的不等式的解集：16.本小题12分观察：、、、、……叙述其中的一般规律，并加以证明．求证：对于任何、，存在m，，使得17.本小题12分已知一个等腰直角三角形的三个顶点分别在另一个等腰直角三角形的三条不同的边上．如图，若的直角顶点在的斜边上，求，的面积之比的最小值．如图，若的直角顶点在的直角边上．求，的面积之比的最小值．18.本小题12分一个与自然数n有关的命题，如果：①当时，命题成立；②在假设“当时，命题成立”的前提下，能够推出“当时，合题成立”．那么，命题对于任何不小于的自然数n成立．上述方法，称为“数学归纳法”．例如，利用“数学归纳法”证明：平面内的n个圆将平面至多分为个区域，其中注意1个圆将平面分为2个区域．当时，所以，当时，命题成立．假设当时，命题成立，即平面内的k个圆将平面至多分为个区域．在此基础上，增加1个圆．为使区域最多，应使增加的圆与前k个圆均相交，于是增加了2k个交点，2k个交点将增加的圆分为2k段弧，2k段弧分别将其经过的区域分为2个区域，于是增加了2k个区域．从而，平面内的个圆将平面至多分为个区域．当时，所以，当时，合题成立．综上，命题对于任何成立．利用“数学归纳法”证明：，其中，其中，答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】根据集合中元素的互异性以及集合之间的包含关系进行分类讨论求解.【详解】依题意，当时，，有序数对有4个；当时，，有序数对有4个；全部有序数对的个数为8个.故A，C，D错误.故选：2.【答案】C【解析】【分析】先判断出，排除BD，再根据和判断即可.【详解】因为、，故，排除BD；因为，所以，，又，所以，故A错误，C正确.故选：C3.【答案】D【解析】【分析】根据题设得到，令，从而解出，，，，再根据条件，即可求解出结果.【详解】由，得到，即，令，则，又，所以，故选：4.【答案】D【解析】【分析】解方程组可得答案.【详解】由得，当时，解得，方程组有一组实数解，当时，，方程组有两组实数解，综上，条件不足无法判断.故选：5.【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的对称轴与顶点性质判断即可.【详解】函数，对称轴轴为，顶点为，函数，对称轴为，顶点为，故函数的图象关于y轴作对称，得到，再向下平移1个单位，得到函数的图象．故选：B6.【答案】A【解析】【分析】根据各选项的角度得出三边的大小关系，进而代入等式验证是否满足即可.【详解】则，即①当的内角大小为时，不妨设，满足，故①正确；②当的内角大小为时，不妨设，满足，故②正确；③当的内角大小为时，三边长度分别为，均不满足，故③错误；④当的内角大小为时，三边长度分别为，均不满足，故④错误；综上有①②满足题意.故选：A7.【答案】B【解析】【分析】由正弦定理和二倍角公式化简得结果.【详解】在锐角中，正弦定理可得故选：8.【答案】D【解析】【分析】假设q为真，验证能否得到p，再假设p为真，验证能否得到q即可得.【详解】若，则可化为，则与的解集不同，故p不是q的必要条件；若、的解集都为空集，如、，此时两不等式解集都为空集，不满足，故p不是q的充分条件；综上所述，p是q成立的既不充分又不必要条件.故选：9.【答案】或【解析】【分析】根据已知，利用差角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，建立方程组求解.【详解】因为，所以，两边平方有：，所以，所以，所以，当，又，所以，此时；当，又，所以，此时故答案为：或10.【答案】【解析】【分析】根据圆的周长公式计算圆的半径，结合三角形面积公式求得四边形的面积；【详解】已知圆内接四边形的四个顶点将圆周分为长是，，，的四段圆弧，设圆的半径为r，可知，所以四边形的面积由四个三角形面积组成，四边形的面积为故答案为：11.【答案】【解析】【分析】因为是的必要不充分条件，所以B是A的真子集，再根据集合之间的真包含关系求解.【详解】因为是的必要不充分条件，所以B是A的真子集，所以故答案为：12.【答案】【解析】【分析】根据、集合的性质可得答案.【详解】由，解得，或，或，或，当时，、，满足，则；当时，，构不成集合，舍去；当时，，构不成集合，舍去；当时，、，满足，则；由，解得，或，或，或，当时，，构不成集合，舍去；当时，，构不成集合，舍去；当时，、，满足，则；当时，、，满足，则，综上，，故答案为：13.【答案】1【解析】【分析】合理换元，后讨论参数范围，利用基本不等式和对钩函数性质求解即可.【详解】令，所以，则可化为，当时，，当时，，当时，，当且仅当时取等，此时解得负根舍去，故此时，则此时最大值为1，当时，因为函数在上单调递减，得到，所以故，即，综上函数在上的最大值为故答案为：114.【答案】①②④【解析】【分析】首先根据对称性得到两个函数图象的三个交点关于对称，且应为其中一个交点，不妨设，根据判断①的正误；根据是方程的两个根借助韦达定理判断②的正误；根据立方和公式和②中韦达定理得到的结论判断③的正误；根据对称性得判断④的正误即可.【详解】因为，又，所以的对称中心为，因为函数、的图象恰有三个交点，且也是中心对称图形，所以两个函数图象的三个交点也关于对称，不妨设，则应为其中一个交点，故，对于①，因为关于对称，则，所以，故①正确；对于②，将代入直线方程得，即，联立得：，因为是方程的根且，所以是方程的两个根，由韦达定理得，所以，故②正确；对于③，因为，所以，又，所以，故③错误；对于④，，因为两个函数图象的三个交点也关于对称，所以，则，即，故④正确.故答案为：①②④.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，分析得关于对称，从而得解.15.【答案】当时，恒成立；当时，即，则，即，无解；当时，，即，即，解得综上有解集为或当时，，故，故无解，故两边平方有，即，，解得或又，故解集为【解析】【分析】分情况讨论x与0，1的大小关系，结合分式与二次不等式求解即可；先求得，再两边平方求解即可.16.【答案】规律：左右两边分子都是1，等式左边的分母是从1开始的连续整数，等号右边的分母是等式左边分母加1和左边分母加1与左边分母的积，即证明：，得证.由于则，即故对于任何、，存在m，，使得【解析】【分析】发现规律，归纳出，证明即可;运用第一问的结论，结合裂项可证明.17.【答案】当等腰直角三角形的直角顶点D在等腰直角三角形的斜边BC上时，如图所示，则有四点共圆，则，所以，在和中，分别应用正弦定理得，又，，所以，即D为BC的中点.过点D作于点H，则，所以，即E为AC中点时的最小值为等腰直角三角形的直角顶点E在等腰直角三角形的直角边上时，不妨设直角顶点E在直角边AC上，如图所示，设，，，则，在中，，在中，，，，在中，由正弦定理有，即，得，解得，，当且仅当时取等号，此时的最小值为【解析】【分析】由四点共圆，在和中，应用正弦定理得，过点D作于点H，有，则；设，，，则，由正弦定理，得，所以18.【答案】①当时，左边，右边，等式成立；②假设当时等式成立，即那么，即当时等式也成立.由①②知，等式对任何都成立.①当时，左边，右边，不等式成立；②假设当时不等式成立，即，由于，当时，单调递增，则，所以，那么，，即当时不等式也成立.由①②知，不等式对任何都成立.【解析】【分析】根据数学归纳法证明的步骤进行证明；根据数学归纳法证明的步骤进行证明.。

2020-2021 北京市高一数学上期末一模试卷(含答案)一、选择题1． 已知会合 A ｛2， 1, 0，1, 2｝， B x | ( x 1)(x2) 0 ,则 AI B（ ）A ．1,0B ． 0,1C ．1,0,1D ． 0,1,2． 已知奇函数 y f (x) 的图像对于点 ( ,0) 对称，当x [0, ) 时， f ( x)1 cos x，222则当 x5,3 ] 时， f (x) 的分析式为（）(2A ． f ( x) 1 sin xB ． f (x)1 sin xC ． f (x) 1 cosxD ． f ( x)1 cos x3． 设会合 A x |2x 1 1 ， By | ylog 3 x, x A ，则 e B A（） A ． 0,1B ． 0,1C ．0,1D ．0,14． 已知 alog 1 15b11， ， c 6 3 ，则（）3 44A ． a b cB ． a c bC ． c a bD ． b c a5． 已知函数f ( x ) ln x ，若 af (2) ， bf (3) ， cf (5) ，则 a ， b ， c 的大小关x系是（ ）A ． b c aB ． b a cC ． a c bD ． c a b6． 函数fxlog 1 x 2 2x 的单一递加区间为（）2． ,1． 2,． ,0．1,ABCD7． 已知函数 fxlog 2 x 1 xff x 3 的零点个数为（ ）x 4x ，则 yAB C D ． 3． 4． 5 ． 68． 已知函数 f(x)＝log 1 x, x 1,则 f ( f (1)) ) 等于 (2)2 4 x , x 1,2A ． 4B ．－ 2C ． 2D ． 19． 已知 a log 3 2 ， b 20.1 ， c sin 789o ，则 a ， b ， c 的大小关系是A ． a b cB ． a c bC ． c a bD ． b c axxa=m ，若函数 f 10． 已知函数 f （ x ）=x （ e +ae ﹣）（ x ∈ R ），若函数 f （ x ）是偶函数，记 （x ）为奇函数，记 a=n ，则 m+2n 的值为（ ） A ．0B ． 1C ． 2D ．﹣ 1x1, x1,011．若函数f x{4，则 f(log 43) ＝()4x , x0,11B．1C． 3D．4A．4312．函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，在 ( －∞， 0] 上是减函数且f（ 2） =0 ，则使 f（ x）<0 的 x 的取值范围（）A．（－∞， 2）B．（ 2， +∞）∞ - 2 2 +∞D．（－22C．（－，）∪（，），）二、填空题213．已知函数f x x 2 , x0，则对于 x 的方程f2x af x0 a0,3x 3 , x 0的全部实数根的和为_______.14．己知函数f x x22ax1 a 在区间 01，上的最大值是2, 则实数a______. 15．若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，在 (－∞， 0]上是减函数，且f(2)＝ 0，则使得 f(x)<0的 x 的取值范围是 ________．16．已知 f (x) ? g( x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且 f ( x)g( x)2x x ，则f (1)g(1)__________ .17．a 1.10.1， b log 12， c ln 2 ，则a，b，c从小到大的关系是________.2218．已知y f ( x)x2是奇函数，且 f （1） 1，若 g( x) f ( x) 2，则 g( 1)___．19．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）知足函数关系（为自然对数的底数，k、 b 为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计 192 小时，在 22的保鲜时间是48 小时，则该食品在33的保鲜时间是小时 .20．已知函数f ( x)2x ,0x1,则对于 x 的方程4x f ( x)k 0 的全部根的和1f ( x1),1x 3,2的最大值是 _______.三、解答题21．定义在,00,上的函数 y f x知足 f xy f x f 1，且函数yf x在,0 上是减函数.（1）求f 1 ，并证明函数y f x是偶函数；（2）若f 2 1 ，解不等式 f 24f1 1 .x x22． 已知函数 f ( x) ln( x 2 ax 3) .(1) 若 f (x) 在 (,1] 上单一递减，务实数a 的取值范围；(2) 当 a 3 时，解不等式f (e x ) x .23． 已知函数 f ( x)ax 2 (b 8) xa ab 的零点是 -3 和 2(1) 求函数 f ( x) 的分析式 .(2) 当函数 f ( x) 的定义域是[0,1] 时求函数 f ( x) 的值域 .24． 已知函数 f ( x)2 x , x, m, 此中 0 , m 1.lg x1, xm,（Ⅰ）当 m 0 时，求函数 yf ( x) 2 的零点个数；（Ⅱ）当函数 y f 2( x)3 f ( x) 的零点恰有 3 个时，务实数 m 的取值范围 .25． 已知函数 f ( x)2 x k 2 x ， g ( x) log a f (x)2x （ a 0 且 a 1 ），且f (0) 4 .（1）求 k 的值；（2）求对于 x 的不等式 g ( x) 0 的解集；（3）若 f ( x)t 8 对 x R 恒建立，求 t 的取值范围 .2x26． 设函数 f ( x)3x ，且 f (a 2)18 ，函数 g( x)3ax4x ( x R) ．（1）求 g( x) 的分析式；（2）若方程 g( x) － b=0 在 [－ 2，2] 上有两个不一样的解，务实数b 的取值范围．【参照答案】 *** 试卷办理标志，请不要删除一、选择题1．A 分析： A【分析】【剖析】【详解】由已知得 Bx | 2 x 1 ，因为 A ｛2， 1, 0，1, 2｝，所以 AB 1,0 ，应选 A ．2．C分析： C【分析】【剖析】当 x5,3时， 3x0,2, 联合奇偶性与对称性即可获得结果.2【详解】因为奇函数 y f x 的图像对于点,0对称，所以f x f x0 ，2且 f x f x，所以 f x f x，故 f x 是以为周期的函数 .当 x 5,3时， 3x0,，故 f3x 1 cos 3x1cosx 22因为 f x是周期为的奇函数，所以f3x f x f x故 f x1cosx ，即 f x1cosx ，x5,32应选 C【点睛】此题考察求函数的表达式，考察函数的图象与性质，波及对称性与周期性，属于中档题. 3．B分析： B【分析】【剖析】先化简会合A,B, 再求e B A得解 .【详解】由题得 A x |2x 1 20{ x | x 1} ，B y | y 0 .所以 e B A { x | 0 x1} .应选 B【点睛】此题主要考察会合的化简和补集运算，考察指数函数的单一性和对数函数的值域的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握水平.4．C分析： C【分析】【剖析】第一将 b 表示为对数的形式，判断出b 0，而后利用中间值以及对数、指数函数的单一性比较3与 a, c 的大小，即可获得a, b, c的大小关系.2【详解】因为 5b1 ，所以 b log 5 1 log 5 1 0 ，4 4又因为 alog 1 1 log 3 3,log 3 3 3 ，所以 a 1,3log 3 4 ，3 423113 313,2 ，又因为 c63,83 ，所以 c22所以 ca b .应选： C. 【点睛】此题考察利用指、对数函数的单一性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单一性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或许负的状况可利用中间值进行比较.5．D分析： D【分析】【剖析】能够得出 a1 ln 32, c 1 ln 25 ，从而得出 ＜ ，相同的方法得出 ＜ ，从而得出 ，10 10c a a b ab ，c 的大小关系． 【详解】af 2ln 2ln 32 , c f 51ln 5 ln 25,依据对数函数的单一性获得a>c,2 105 10bf 3ln 3 ,又因为 a f 2ln 2 ln8， bln 3ln 932 6 f 3，再由对数函数36的单一性获得 a<b,∴ c ＜a ，且 a ＜ b ；∴ c ＜ a ＜ b ．应选 D ． 【点睛】考察对数的运算性质，对数函数的单一性．比较两数的大小常有方法有：做差和 0 比较，做商和 1 比较，或许结构函数利用函数的单一性获得结果.6．C分析： C 【分析】【剖析】求出函数fxlog 1 x 2 2x 的定义域，而后利用复合函数法可求出函数y f x 的2单一递加区间 . 【详解】解不等式 x 2 2x0 ，解得 x 0 或 x 2 ，函数 y f x 的定义域为 ,0 U 2,.内层函数 u x 2 2x 在区间 ,0 上为减函数，在区间2,上为增函数，外层函数ylog 1u在 0,上为减函数，2由复合函数同增异减法可知，函数f x log 1 x 22x 的单一递加区间为 ,0 .2应选： C.【点睛】此题考察对数型复合函数单一区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考察计算能力，属于中等题 .7．C分析： C【分析】【剖析】由题意，函数y f f x3 的零点个数，即方程 f f x 3 的实数根个数，设t f x ，则 f t 3 ，作出 f x 的图象，联合图象可知，方程f t 3 有三个实根，从而可得答案 .【详解】由题意，函数 y f f x 3 的零点个数，即方程 f f x3 的实数根个数，设 tf x ，则 ft3 ，作出 f x 的图象，f t3 有三个实根 t 11 ， t 21 4 ，以下图，联合图象可知，方程， t 34则 fx1 有一个解， f x1 有一个解， f x4 有三个解，4故方程 f fx 3 有 5个解.【点睛】此题主要考察了函数与方程的综合应用，此中解答中合理利用换元法，联合图象，求得方程 ft 3 的根，从而求得方程的零点个数是解答的重点，侧重考察了剖析问题和解答问题的能力，以及数形联合思想的应用.8．B分析： B【分析】1112 4 22 2 4，则 f f4log 1 4 2 ，应选B.f f2229．B分析： B【分析】【剖析】【详解】33 3 ，由对数函数的性质可知a log 3 2log 33442由指数函数的性质b20.11，由三角函数的性质c sin 7890sin(23600690 )sin 690sin 600，所以c (3,1)，2所以 a c b ，应选 B.10．B分析： B【分析】试题剖析：利用函数f（ x） =x（ e x+ae﹣x）是偶函数，获得g（x） =e x+ae﹣x为奇函数，而后利x x x x﹣﹣为偶函用 g（0） =0，能够解得 m．函数 f（ x） =x（ e +ae ）是奇函数，所以g（ x） =e +ae数，可得 n，即可得出结论．x x x x x x解：设 g（ x） =e﹣﹣g（ x） =e﹣为奇函+ae，因为函数f（ x） =x（ e +ae ）是偶函数，所以+ae数．又因为函数 f （ x）的定义域为R，所以 g（ 0） =0，即 g（0） =1+a=0，解得 a=﹣ 1，所以 m=﹣ 1．因为函数x x xxf（ x） =x（ e+ae﹣）是奇函数，所以g（ x） =e +ae﹣为偶函数所以（ e﹣x+ae x） =e x+ae﹣x即（ 1﹣ a）（ e﹣x﹣e x）=0 对随意的x 都建立所以 a=1，所以 n=1，所以 m+2n=1应选 B．考点：函数奇偶性的性质．11．C分析： C【分析】【剖析】依据自变量范围代入对应分析式，化简得结果.【详解】f(log43) ＝4log43 =3,选 C.【点睛】此题考察分段函数求值，考察基本求解能力，属基础题.12．D分析： D【分析】【剖析】依据偶函数的性质,求出函数f x 0在 ( －∞， 0] 上的解集 , 再依据对称性即可得出答案 .【详解】由函数 f,2 f 20,∞ 0]是减函数 ,所x 为偶函数所以 f又因为函数 f x 在(－，以函数 f x0 在(－∞，0]上的解集为2,0, 由偶函数的性质图像对于y 轴对称,可得在(0,+∞x0 的解集为(0,2),综上可得 , f x0 的解集为(-2,2). ) 上f应选 :D.【点睛】此题考察了偶函数的性质的应用,借助于偶函数的性质解不等式,属于基础题 .二、填空题13．【分析】【剖析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的全部根之和从而可求出原方程全部实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象分析： 3【分析】【剖析】由2f x af x可得出f x 0和 f x a a0,3，作出函数y f x的图0象，由图象可得出方程 f x0 的根，将方程 f x a a0,3 的根视为直线y a 与函数 y f x 图象交点的横坐标，利用对称性可得出方程根之和，从而可求出原方程全部实根之和.f x a a0,3的全部【详解】Q f 2 x af x 0 0 a 3 ， f x 0 或 f x a 0 a 3 .方程 f x a 0 a 3 的根可视为直线y a 与函数 y f x 图象交点的横坐标，作出函数 y f x 和直线 y a 的图象以下列图：由图象可知，对于x 的方程 f x0 的实数根为2、3.因为函数 y x22x 2 对称，函数 y x 3 的图象对于直线 x 3的图象对于直线对称，对于 x 的方程f x a 0a 3 存在四个实数根x1、 x2、 x3、 x4以下图，且 x1 x22， x3x4 3 ，x1x2x3 x4462，22所以，所求方程的实数根的和为2 3 2 3 .故答案为： 3 .【点睛】此题考察方程的根之和，实质上就是求函数的零点之和，利用图象的对称性求解是解答的重点，考察数形联合思想的应用，属于中等题.14．或【分析】【剖析】由函数对称轴与区间关系分类议论求出最大值且等于2解对于的方程即可求解【详解】函数对称轴方程为为；当时；立即（舍去）或（舍去）；当时综上或故答案为:或【点睛】此题考察二次函数的图像与分析：1或 2.【分析】【剖析】由函数对称轴与区间关系，分类议论求出最大值且等于2，解对于a的方程，即可求解 .【详解】函数 f x x22ax1 a( x a)2a2a1，对称轴方程为为 x a；当 a0 时，f ( x)max f(0)1a2, a1；当 0a1, f ( x) max f(a)a2a12，即a2a 1 0, a15（舍去），或 a =1-5（舍去）；22当 a 1 时， f (x)max f(1)a 2 ，综上 a 1 或 a2.故答案为 :1或2.【点睛】此题考察二次函数的图像与最值，考察分类议论思想，属于中档题.15．(－ 22)【分析】【详解】∵函数 f(x) 是定义在 R 上的偶函数且在 (－∞ 0)上是增函数又 f(2) ＝0∴f(x) 在(0＋∞)上是增函数且 f( － 2)＝f(2) ＝0∴当－２＜ x ＜2 时f(x) ＜ 0 即 f(x) ＜分析：(－ 2,2)【分析】【详解】∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在( －∞， 0) 上是增函数，又f(2)＝0，∴ f(x)在(0 ，＋∞ ) 上是增函数，且f(－2) ＝f(2)＝ 0，∴当－２＜x＜ 2 时， f(x)＜ 0，即f(x)＜ 0的解为 (－ 2,2)，即不等式的解集为(－ 2,2), 故填 (－ 2,2).16．【分析】【剖析】依据函数的奇偶性令即可求解【详解】 ?分别是定义在上的偶函数和奇函数且故答案为：【点睛】此题主要考察了函数的奇偶性属于简单题分析：32【分析】【剖析】依据函数的奇偶性，令x1即可求解.【详解】Q f (x) ?g( x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数, 且f (x) g ( x) 2x xf ( 1) g( 1) f (1)g (1) 2 1 13,2故答案为：32【点睛】此题主要考察了函数的奇偶性，属于简单题.17．【分析】【剖析】依据指数函数和对数函数的图象与性质分别求得实数的取值范围即可求解获得答案【详解】由题意依据指数函数的性质可得由对数函数的运算公式及性质可得且所以 abc 从小到大的关系是故答案为：【点睛分析： b c a【分析】【剖析】依据指数函数和对数函数的图象与性质，分别求得实数a,b, c 的取值范围，即可求解，得到答案 .【详解】由题意，依据指数函数的性质，可得a 1.10.1 1.101，由对数函数的运算公式及性质，可得b log212log21(1)211，2221ln 2ln e 1，c ln 2 ln e，且c2所以 a， b， c 从小到大的关系是b c a .故答案为： b c a .【点睛】此题主要考察了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，此中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，求得实数a, b, c 的取值范围是解答的重点，侧重考察了推理与运算能力，属于基础题.18．-1【分析】试题分析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性分析： -1【分析】试题分析：因为 y f (x) x2是奇函数且 f (1)1，所以，则，所以．考点：函数的奇偶性．19．24【分析】由题意得：所以时考点：函数及其应用分析： 24【分析】由题意得： {e b192e22k48 1 , e11k1，所以 x33 时，e22kb,4819242ye33k b(e11k )3e b119224 .8考点：函数及其应用.20．5【分析】【剖析】将化简为同时设可得的函数分析式可适当k 等于 8 时与的交点的全部根的和的最大可得答案【详解】解：由可得：设由函数的性质与图像可适当 k 等于 8 时与的交点的全部根的和的最大此时根分别为：当时分析： 5【分析】【剖析】2x ,0x 1,2x ,0 x1,12x ,1将 f (x)1 f ( x化简为 f ( x)x2, 同时设1),1 x 3,4212x, 2x3,164x f (x) g( x) ，可得g (x)的函数分析式，可适当k 等于 8 时与g (x)的交点的全部根的和的最大，可得答案 .【详解】2x,0x 1,2x ,0 x1,1 2x,1解：由 f ( x)1f ( x1),1 x可得： f ( x)x 2,3,421 2x ,2 x 3,168x ,0 x 1,设 4x f (x)g (x) ， g( x)18x ,1 x 2,41 8x, 2 x 3,16由 g( x) 函数的性质与图像可得，当 k 等于 8 时与 g( x) 的交点的全部根的和的最大，此时根分别为：当 0 x 1 时， 8x 18 ， x 1 1，当 1 x2时，18x 28 ， x 2 5 ，43 当 2 x3时，18x 38 ， x 37 ，163此时全部根的和的最大值为： x 1 x 2x 3 5 ，故答案为： 5.【点睛】此题主要考察分段函数的图像与性质，注意分段函数需分对分段区间进行议论，属于中档题.三、解答题．（ ）f 1 0，证明看法析；（2） [1,2) (2,3]211【分析】【剖析】（1）依据函数分析式，对自变量进行合理赋值即可求得函数值，同时也能够获得 f x 与fx之间的关系，从而证明；（2）利用函数的奇偶性和单一性，合理转变求解不等式即可【详解】.（1）令 y1 0 ，则 f x1f xf 1 ，xx1x 得 f 1f x f x0 ，再令 x 1， y1 ，可得 f 1 f 1 f1 ，得 2 f 1f 1 0 ，所以 f1 0，令 y1，可得 f xfxf1f x ，又该函数定义域对于原点对称， 所以 fx 是偶函数，即证 .（2）因为f 2 1，又该函数为偶函数，所以f 21.因为函数 f x 在,0 上是减函数，且是偶函数所以函数 fx 在 0,上是增函数 . 又f 24f1 f 2x 4 xf 2x 4 ，xxx所以 f2x 4f 2 ，等价于2x 4 0, 2x 4 0,2x4 或2x42,2,解得 2 x 3 或 1 x 2 .所以不等式f2 4f1 1的解集为 [1,2)(2,3] .xx【点睛】此题考察抽象函数求函数值、证明奇偶性，以及利用函数奇偶性和单一性求解不等式 .22． (1) 2 a 4 ； (2) x x 0 或 x ln3【分析】 【剖析】（1 ）依据复合函数单一性的性质 ,联合二次函数性质即可求得 a 的取值范围 .（2 ）将 a3 代入函数分析式 ,联合不等式可变形为对于e x 的不等式 ,解不等式即可求解 .【详解】（1）Q f ( x) 在 (,1] 上单一递减,依据复合函数单一性的性质可知y x2 ax 3需单一a1递减则21a30解得2a4.（2）将a 3 代入函数分析式可得 f (x) ln( x23x 3)则由f (ex )x,代入可得ln e2 x3e x3x同取对数可得e2x3e x3e x 即 (e x )24e x30 ,所以 (e x1) e x30即 e x1或e x3x0或 x ln 3 ,所以原不等式的解集为x x 0或x ln 3【点睛】此题考察了对数型复合函数单一性与二次函数单一性的综合应用,对数不等式与指数不等式的解法 ,属于中档题 .23．（ 1）f (x)3x23x18 （2）[12,18]【分析】【剖析】【详解】（1）Q 3 2b 8, 3 2 a ab a3, b 5 , f x3x2 3 x 18 a a（ 2）因为 f x3x23x 18 张口向下，对称轴x1, 在0,1 单一递减，2所以当x 0, f max x 18,当x1, f min x12所以函数 f (x) 的值域为[12,18]【点睛】此题将函数的零点、分析式、最大小值等相关知识与性质有机整合在一同，旨在考察函数的表示、零点、最大小值等基础知识及综合运用．求解时先依照函数零点与方程的根之间的关系，求出函数分析式中的参数的值；解答第二问时，借助二次函数的图像和性质，运用数形联合的数学思想求出最大小值从而使得问题获解．24．（Ⅰ）零点3个. （Ⅱ）0,1 100【分析】【剖析】 （I ）当 m0时，由 f (x)2 0 ，联合分段函数分析式，求得函数的零点，由此判断出yf (x) 2的零点的个数 .（II ）令 f 2 ( x) 3 f (x) 0，解得 f (x) 0 （依据分段函数分析式可知 fx 0 ，故舍去.）或 f ( x)3 .联合分段函数分析式，求得f ( x) 3 的根，联合分段函数f x 的分段点，求得 m 的取值范围 .【详解】x,0,（Ⅰ）当 m 0 时， f (x)2 , xlg x 1, x0.令 yf ( x) 20，得 f (x) 2 ，则 | lg x | 1 2 或 2|x|2.解 | lg x | 12 ，得 x 10 或 1，10解 2|x| 2 ，得 x1 或 x 1（舍） .所以当 m0 时，函数 yf (x)2 的零点为 1，1，10，共 3 个.10（Ⅱ）令 f 2 ( x) 3 f (x) 0 ，得 f ( x) 0 或 f ( x) 3 .由题易知 f ( x) 0恒建立 .所以 f (x)3一定有 3 个实根，即 | lg x |13 和 2|x|3共有 3个根.①解 2|x| 3 ，得 xlog 2 3 或 x log 2 3 1（舍），故有 1 个根 .②解 |lg x | 1 3 ，得 x 100 或 x 1 ，100要使得两根都知足题意，则有 m 1.100又 0, m 1 ，所以 0, m 1.100所以实数 m 的取值范围为0,1.100【点睛】本小题主要考察分段函数零点个数的判断，考察依据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题 .25． (1) k3； (2) 当 a 1 时， x ,log 2 3 ；当 0 a 1时， x log 2 3,；(3), 13【分析】【剖析】（1）由函数过点0,4 ，待定系数求参数值；（2）求出g x 的分析式，解对数不等式，对底数进行分类议论即可.（3）换元，将指数型不等式转变为二次不等式，再转变为最值求解即可.【详解】（1）因为f ( x)2x k 2 x且f (0)4，故： 1k 4 ，解得 k 3 .（2）因为g (x)log a f ( x)2x，由（ 1），将f x代入得：g x log a (3n 2 x ?) ，则log a(3n 2x ?) 0 ，等价于：当 a1时，3n 2x 1 ，解得x,log 2 3当 0 a 1时，3 2 x 1 ，解得x log 2 3,.n（3）f ( x)t8在R上恒建立，等价于：2x2x 28n2x t30 恒建立；令 2x m ，则m0,，则上式等价于：m28m t 30 ，在区间0,恒建立 .即：t m28m 3 ，在区间0,恒建立，又m28m3m4213 ，故：( m28m 3) 的最小值为：-13，故：只要 t13即可 .综上所述， t,13.【点睛】此题考察待定系数求参数值、解复杂对数不等式、由恒建立问题求参数范围，属函数综合问题 .26．（ 1）g( x) 2x4x，（2） b 3 , 1164【分析】试题剖析：（ 1）；此题求函数分析式只要利用指数的运算性质求出 a 的值即可，（2）对于同时含有 a x, a2 x的表达式，往常能够令进行换元，但换元的过程中必定要注意新元的取值范围，换元后转变为我们熟习的一元二次的关系，从而解决问题．试题分析：解：（1）∵f ( x)3x，且 f (a 2)18 ∴∵∴（2）法一：方程为令，则1t 4 -4且方程为在有两个不一样的解．设 y t t 2(t 1 )21，y b两函数图象在1, 4 内有两个交点244由图知 b 3 , 1时，方程有两不一样解．164法二：方程为，令，则1t4 4∴方程在1,4上有两个不一样的解．设 f (t )t 2t b,t1, 4 44=1-4b01 b410b 3{ f164f (4)0b12解得 b 3 , 1164考点：求函数的分析式，求参数的取值范围【方法点睛】求函数分析式的主要方法有待定系数法，换元法及赋值消元法等；已知函数的种类（如一次函数，二次函数，指数函数等），便可用待定系数法；已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围；求分段函数的分析式时，必定要明确自变量的所属范围，以便于选择与之对应的对应关系，防止犯错．。

2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷（人教A 版（2019））期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．42.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,45.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．27.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<012.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,)(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．15.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是____________.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(284f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是____________.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.18.（本题满分12分）已知集合，2|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求sin 2α的值．20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2axf x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.21（本题满分12分）【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?22．（本题满分12分）已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．2.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x ∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“0x ∀>，1ln 1x x ≥-”的否定为“0x ∃>，1ln 1x x<-”.故选D ．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D ．4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1D ．(]1,4【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠.所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩,解得01x ≤<.故答案为C ．5.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位【答案】B【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象，故选B6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选：B7.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-【答案】D 【解析】∵3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，∴3sin cos 0θθ--=，即cos 3sin θθ=-，∴sin cos cos 2θθθ2222sin cos sin (3sin )3cos sin (3sin )sin 8θθθθθθθθ⋅-===----．故选：D ．8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.故选：C ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选：B ．10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D ．11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.12.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =k >.综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D ．二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1315.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：2.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是_____.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数【答案】④【解析】函数()1cos 2sin 21244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(0,3π)∈x 时，当6x π=时，23x π=不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，①错；当5,24x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时，52,2x ⎡⎤∈ππ⎢⎥⎣⎦，函数先增后减，②不正确；若()1f x =-，那么cos 2x =不成立，所以③错；当3 2a =π时，()12f x a x +=函数是偶函数，④正确，三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+.（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.18.（本题满分12分）已知集合，|2162x A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.【答案】（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解得34a ≤-或23a ≤<，综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α=.【解析】（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-22sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()26f α=，则sin 2246πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=+⋅=.20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.【答案】(1)1a =-；(2)(),1-∞【解析】(1)因为函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数，所以()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----，所以222414a x x-=-，即21a =，1a =或1-，当1a =时，函数()0.50.52log log 12x f x x -==--，无意义，舍去，当1a =-时，函数()0.52log 2x f x x +=-定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，综上所述，1a =-。

北大附中2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知变量a b 、已被赋值，要交换a b 、的值，采用的算法是（ ）A ．a b =，b a =B ．a c =，b a =，c b =C ．a c =，b a = ，c a =D ．c a =，a b =，b c =2.从某年纪1000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ）A ．1000名学生是总体B ．每个被抽查的学生是个体C ．抽查的125名学生的体重是一个样本D ．抽取的125名学生的体重是样本容量3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ． 34.一个年级有12个班,每个班有50名同学,随机编号1,2，…，50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是（ ）A.抽签法B.有放回抽样C.随机抽样D.系统抽样5.下列抽样实验中,最适宜用系统抽样的是（ ）A.某市的4个区共有2000名学生,且4个区的学生人数之比为3: 2 :8 :2,从中抽取200人入样B 从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C.从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D.从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样6.某学院A B C 、、三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方祛抽取一个容量为120的样本,已知该学院的A 专业有380名学生,B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取的学生人数为（ ）A ．30B ．40 C. 50 D ．607.当5x =，20y =-时，下边程序运行后输出的结果为（ ）A ．22，-22B ．22,22 C. 12，-12 D ．-12,128.现要完成下列3项抽样调查:①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查;②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈;③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名,行政人员16名,后勤人员24名,为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本。

2020-2021学年北京师大附中高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共30.0分） 1.设集合M ={x|x 2−2x ≤0}，N ={x|x <1}，则M ∩N =( )A. {x|x <1}B. {x|−2≤x <1}C. {x|0≤x <1}D. {x|−2≤x ≤0}2.已知向量 a ⃗ =(−2,1)，b ⃗ =(x,2)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则x 的值等于( )A. 1B. −1C. −4D. 43.在△ABC 中，“sinA <cosB ”是“△ABC 为钝角三角形”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.为了得到函数y =√2sin(2x +π4)的图象，可以将函数y =√2sin2x 的图象( )A. 向右平移π4个单位 B. 向左平移π4个单位 C. 向右平移π8个单位D. 向左平移π8个单位5.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 5B. 4C. 3D. 26.已知函数f(x)=sin2x ，要得到函数g(x)=sin(2x −π4)的图象，只需将y =f(x)的图象( )A. 向左平移π8个单位长度 B. 向右平移π8个单位长度 C. 向左平移π4个单位长度D. 向右平移π4个单位长度7.已知向量a ⃗ =(x −3,2)，b ⃗ =(1,1)，则“x >1”是“a ⃗ 与b ⃗ 夹角为锐角”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.在△ABC 中，已知2ccosC =√3bcosA +√3acosB ，则C 的值为( )A. 30︒B. 60︒C. 60︒或120︒D. 30︒或150︒9. 已知函数，若对任意 2，都有<0成立，则的取值范围是( )A. (0, ]B. (，1)C. (1,2)D. (−1,2)10. 已知函数y ={x 2+1−2x (x >0)(x <0)，使函数值为5的x 的值是( )A. −2B. 2或−52C. 2或−2D. 2或−2或−52二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 已知正方形ABCD 的边长为2，若在该正方形内任取一点P ，则使得AP ≤1的概率为______ ． 12. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A 在第二象限，cosα=−35，则点A 的坐标为______．13. 已知sin(α+45°)=√55，则sin2α= ______ ．14. 已知△ABC 为边长3的正三角形，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．15. 设M 是△ABC 内一点,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3,∠BAC =30∘，定义f(M)=(m,n,p)，其中m 、n 、p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积，若f(M)=(12,x,y),则1x +4y 的最小值是____________． 16. 在△ABC 中，AB =2，AC =1，BC =√7，D 是边BC 上一点，且DC =2DB ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 17. 化简： ①cos(α−π2)sin(5π2+α)⋅sin(α−2π)⋅cos(2π−α)②cos 2(−α)−tan(360°+α)sin(−α)．18. 已知α，β均为锐角，且sinα=35，sin(α−β)=−√1010．(1)求tan(α−β)的值； (2)求cosβ的值．19. 在△ABC 中，BC =√6，| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2． (1)求证：△ABC 三边的平方和为定值；(2)当△ABC的面积最大时，求cosB的值．20.向量a⃗=(cos23°，cos67°)，向量b⃗ =(cos68°，cos22°)．(1)求a⃗⋅b⃗ ；(2)若向量b⃗ 与向量m⃗⃗⃗ 共线，u⃗=a⃗+m⃗⃗⃗ ，求u⃗的模的最小值．21.已知f(x)的值域为[38,49]，求y=√1−2f(x)的值域．22.已知二次函数f(x)=−x2+ax−a2+1(a∈R)(1)求函数f(x)在区间[−1,1]上的最大值f(x)max；(2)在(1)的条件下，记f(x)max=g(a)，求g(a)的最小值．参考答案及解析1.答案：C解析：解：由一元二次不等式的解法得：因为x2−2x≤0，解得0≤x≤2，即M={x|0≤x≤2}，又N={x|x<1}，所以M∩N={x|0≤x<1}，故选：C．由一元二次不等式的解法得：M={x|0≤x≤2}，由集合的交集的运算得：M∩N={x|0≤x<1}，得解．本题考查了一元二次不等式的解法及集合的交集的运算，属简单题．2.答案：A解析：解：向量a⃗=(−2,1)，b⃗ =(x,2)，若a⃗⊥b⃗ ，可得−2x+2=0，解得x=1．故选：A．利用向量的垂直关系，列出方程求解即可．本题考查向量的垂直的充要条件的应用，考查计算能力．3.答案：A解析：解：①若sinA<cosB，∴cos(π2−A)<cosB，在△ABC中，A，B，C∈(0,π)，∴π2−A>B，∴A+B<π2，∴C>π2，△ABC中，π2<C<π，∴△ABC为钝角三角形．②若△ABC为钝角三角形，当角B为钝角，则cosB<0，sinA>0，∴“sinA<cosB”不成立．∴在△ABC中，“sinA<cosB”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件．故选：A．在△ABC 中，若sinA <cosB 时，根据诱导公式和三角函数的单调性，可知A +B <π2，C >π2，所以△ABC 为钝角三角形；反之不一定成立．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，以及三角函数单调性的综合应用，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．4.答案：D解析：解：将函数y =√2sin2x 的图象向左平移π8个单位，可得函数y =√2sin(2x +π4)的图象， 故选：D ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．5.答案：A解析：本题主要考查了向量加法的平行四边形法则及向量数量积的坐标表示，属于基础试题．由向量加法的平行四边形法则可求AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，然后代入向量数量积的坐标表示可求AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 解：由向量加法的平行四边形法则可得，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−1)． ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×2+(−1)×1=5． 故选：A ．6.答案：B解析：解：把函数f(x)=sin2x 的图象向右平移π8个单位长度，即可得到函数g(x)=sin(2x −π4)的图象， 故选：B ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．7.答案：A解析：解：a ⃗ ⋅b ⃗ =x −3+2=x −1，若a ⃗ 与b ⃗ 同向共线， 则b ⃗ =λa ⃗ ，λ>0， 则{x −3=λ2=λ，得x =5，当x=5时，满足x>1，但此时两个向量关系，夹角为0°，则a⃗与b⃗ 夹角为锐角不成立，若a⃗与b⃗ 夹角为锐角，则a⃗⋅b⃗ =x−1>0，则x>1，成立，即“x>1”是“a⃗与b⃗ 夹角为锐角”的必要不充分条件，故选：A．根据向量夹角与向量数量积的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量夹角与数量积的关系是解决本题的关键．8.答案：A解析：解：由2ccosC=√3bcosA+√3acosB，得2sinCcosC=√3sinBcosA+√3sinAcosB，即2sinCcosC=√3sin(A+B)=√3sinC，则cosC=√3，2∵0°<C<180°，∴C=30°．故选：A．，再由C的范围得答案．利用正弦定理化边为角，再由两角和的正弦化简，可得cosC=√32本题考查两角和与差得正弦，考查三角形的解法，是基础题．9.答案：A<0可知函数单调递减，解析：解：由f(x1)−f(x2)x1−x2则满足，即，∴，故选A．10.答案：B解析：解：当x>0时，x2+1=5，解得x=2．当x<0时，−2x=5，解得x=−52．故选：B．利用已知条件列出方程求解即可．本题考查函数的零点的应用，考查计算能力．11.答案：π16解析：解：当点P满足|PA|≤1时，P在以A为圆心、半径为1的圆内其面积为S′=14π×12=π4∵正方形ABCD边长为2，得正方形的面积为S=22=4∴所求概率为P=S′S =π16．故答案为：π16．由扇形面积公式，结合题意算出满足条件的点P对应的图形的面积，求出正方体ABCD的面积并利用几何概型计算公式，即可算出所求概率．本题在正方形中求点P满足条件的概率，着重考查了扇形面积、正方形面积计算公式和几何概型计算公式等知识，属于基础题．12.答案：(−35,4 5 )解析：解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A在第二象限，cosα=−35，则点A的纵坐标为sinα=√1−cos2α=45，故点A的坐标为(−35,45 )，故答案为：(−35,4 5 ).由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得点A的坐标．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．13.答案：−35解析：解：sin(α+45°)=√55，可得√22(sinα+cosα)=√55，可得12(1+2sinαcosα)=15． ∴sin2α=−35．故答案为：−35．利用两角和的正弦函数化简已知条件，利用平方即可求出所求结果． 本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，考查计算能力．14.答案：−92解析：本题考查平面向量的数量积的定义，考查向量夹角的概念，属于基础题． 运用向量的数量积的定义，注意夹角为π−B ，运用公式计算即可得到． 解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos(π−B)．故答案为：−92．15.答案：18解析：解：由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3,∠BAC =30∘， 得|AB⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4， 所以S △=12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinA =1， ∴x +y =12，则1x +4y =2(x+y x +4x+4y y)=2(5+y x +4xy )≥18，当且仅当{x =16y =13时，1x +4y的最小值为18． 故答案为：1816.答案：−83解析：解：因为在△ABC 中，AB =2，AC =1，BC =√7， 所以cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB×BC=2×2×√7=2√7，所以AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2×√7×2√7)+73=−83； 故答案为：−83．首先利用余弦定理求出∠B 的度数，然后将所求利用三角形的边表示，利用数量积公式解答． 本题考查了余弦定理解三角形、向量的三角形法则以及平面向量的数量积的计算；关键是求出B 的余弦值，注意向量的夹角与三角形内角的关系．17.答案：解：①cos(α−π2)sin(5π2+α)⋅sin(α−2π)⋅cos(2π−α)=sinαcosα⋅sinα⋅cosα =sin 2α. ②cos 2(−α)−tan(360°+α)sin(−α)=cos 2α−tanα−sinα=cos 2α+1cosα．解析：本题考查利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系式化简求值，是基础题． ①直接利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系式化简求值即可． ②利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系式化简求值即可．18.答案：解：(1)∵α,β∈(0,π2)，∴−π2<α−β<π2.…(2分)又sin(α−β)=−√1010，∴−π2<α−β<0…(4分)∴cos(α−β)=3√1010，∴tan(α−β)=−13…(7分)(2)∵α为锐角，sinα=35，∴cosα=45. …(8分)∴cosβ=cos[α−(α−β)]=cosαcos(α−β)+sinαsin(α−β)…(12分) =45×3√1010+35×(−√1010)=9√1050. …(14分)解析：(1)确定−π2<α−β<0，求出cos(α−β)=3√1010，即可求tan(α−β)的值；(2)利用cosβ=cos[α−(α−β)]=cosαcos(α−β)+sinαsin(α−β)，即可求cosβ的值． 本题考查两角和与差的三角函数，考查角的变换，正确运用公式是关键． 19.答案：(1)证明：∵| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，∴AB ⋅AC ⋅cosA =2， 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cosA ， 代入数据可得(√6)2=AB 2+AC 2−4，整理可得AB 2+AC 2=10， ∴△ABC 三边的平方和AB 2+BC 2+AC 2=10+6=16为定值； (2)由(1)知AB 2+AC 2=10，∴AB ⋅AC ≤ AB 2+AC 22=5，当且仅当AB=AC时取“=”号，∵AB⋅AC⋅cosA=2，∴cosA=2AB⋅AC，∴sinA=√1−cos2A=√ 1−4AB2⋅AC2，∴△ABC的面积S=12AB⋅AC⋅sinA=12AB⋅AC⋅√ 1−4AB2⋅AC2=12√AB2AC2−4 ≤ 12√25−4=√212，当且仅当AB=AC时取“=”号．∵AB2+AC2=10，∴当AB=AC时，AB=AC=√5，∴cosB= BC2 AB=√62√5=√3010解析：(1)由数量积定义和余弦定理整体可得AB2+AC2=10，代值可得答案；(2)由(1)知AB2+AC2=10，由基本不等式和三角形的面积公式可得S的最小值，以及取最小值时的条件，由三角函数的定义可得．本题考查正余弦定理解三角形，涉及基本不等式求最值和三角函数定义，属中档题．20.答案：解(1)a⃗⋅b⃗ =cos23°⋅cos68°+cos67°⋅cos22°=cos23°⋅sin22°+sin23°⋅cos22°=sin45°=√22．(2)由向量b⃗ 与向量m⃗⃗⃗ 共线，得m⃗⃗⃗ =λb⃗ (λ∈R)，u⃗=a⃗+m⃗⃗⃗ =a⃗+λb⃗=(cos23°+λcos68°,cos67°+λcos22°)=(cos23°+λsin22°,sin23°+λcos22°)，|u⃗|2=(cos23°+λsin22°)2+(sin23°+λcos22°)2=λ2+√2λ+1=(λ+√22)2+12，∴当λ=−√22时，|u|有最小值为√22．解析：(1)利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积，利用三角函数的诱导公式及两角差的余弦公式化简数量积．(2)利用向量共线的充要条件将m⃗⃗⃗ 用b⃗ 表示，利用向量模的平方等于向量的平方求出u⃗的模的平方，利用二次函数最值的求法求出最小值．本题考查向量的数量积公式、向量共线的充要条件、三角函数的诱导公式、两角和差的正弦余弦公式、二次函数的最值的求法．21.答案：解：∵38≤f(x)≤49，∴−89≤−2f(x)≤−34，∴19≤1−2f(x)≤14， ∴13≤y ≤12∴y 的值域为：[13,12]解析：根据f(x)的值域，应用不等式的性质先求出被开方数的取值范围，进而求得y 的值域． 本题考查不等式的性质，函数的值域，属于基础题． 22.答案：解：(1)f(x)=−x 2+ax −a 2+1的对称轴为x =a 2，当a 2≥1即a ≥2时，f(x)在[−1,1]递增，可得f(1)=a 2，当a 2≤−1即a ≤−2时，f(x)在[−1,1]递减，可得f(−1)=−32a ，当−1<a 2<1，即−2<a <2时，f(x)的最大值为f(a 2)=a 24−a 2+1， 综上可得 f(x)max ={ a 2,a ≥2a 24−a 2+1,−2<a <2−32a,a ≤−2． (2)a ≥2时，g(a)=a 2单调递增，∴g(a)的最小值为g(2)=1；−2<a <2时，g(a)=a 24−a 2+1=14(a −1)2+34，且a =1∈(−2,2)，∴g(a)的最小值为g(1)=34；a ≤−2时，g(x)=−32a 单调递减，∴g(a)的最小值为g(−2)=3．综上，g(a)的最小值为34．解析：(1)求出二次函数的对称轴，通过对称轴是否在区间内，结合函数的单调性求解函数的最值．(2)利用(1)得到函数的最值的分段函数，然后求解分段函数的最小值即可．本题考查函数与方程的应用，二次函数的性质以及分类讨论思想的应用，考查转化思想以及计算能力．。

2020-2021学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：（共10道小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知α为第三象限角，则π﹣α为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．（4分）已知集合{x|x≥a}与{1，2}的交集为∅，则a的值可以为（）A．0B．1C．2D．33．（4分）已知a＞b＞c，a，b，c∈R，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．c﹣a＜c﹣bC．a﹣b＞a﹣c D．c（b﹣a）＜a（b﹣c）4．（4分）已知点P（3，﹣4）是角α终边上一点，则＝（）A．B．C．D．5．（4分）“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）若0.3x＞0.3y＞1，则（）A．x＞y＞0B．y＞x＞0C．x＜y＜0D．y＜x＜07．（4分）函数的图像关于直线x＝t对称，则t的值可以为（）A．B．C．D．8．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，则实数m的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，4]C．（0，4]D．[2，+∞）9．（4分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时10．（4分）已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）在[﹣2，0）∪（0，2]上有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，1]C．（﹣2，1）D．（﹣1，2]二、填空题（共5道小题，每小题5分，共25分）11．（5分）函数f（x）＝cos（2x﹣）最小正周期为．12．（5分）已知函数f（x）＝a sin x+bx+1，若f（﹣1）＝2，则f（1）＝．13．（5分）函数f（x）＝2sin（2x+）在上单调递增，则实数m的最大值为．14．（5分）某种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效的治疗作用，已知服用m（1≤m≤4，m∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y＝m•f（x），其中f（x）＝．（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，则m的最小值为．15．（5分）如果函数f（x）的图像可以通过g（x）的图像平移得到，称函数f（x）为函数g（x）的“同形函数”．在①y＝cos2x；②y＝2sin x cos x；③y＝sin4x﹣cos4x；④y＝sin2x•tan x中，为函数y＝cos2x的“同形函数”的有.（填上正确选项序号即可）三、解答题（共6道小题，第16～20题每题14分，第21题15分）16．（14分）（Ⅰ）计算求值：（1）log93＝；（2）＝；（Ⅱ）解关于x的不等式：（1）x2﹣3x﹣4≤0；（2）x2≥ax（a∈R）．17．（14分）已知α为第二象限角，且sinα＝﹣2cosα．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．18．（14分）已知函数f（x）＝log a（x+a），a＞0且a≠1．（Ⅰ）若f（2）＝2，求a的值．（Ⅱ）若f（x）在[1，3]上的最大值与最小值的差为1，求a的值．19．（14分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值及最小值．20．（14分）已知函数，a，b∈R，且该函数的图像经过点（﹣1，0），．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）已知直线y＝kx+m（k≠1）与x轴交于点T，且与函数f（x）的图像只有一个公共点．求|OT|的最大值．（其中O为坐标原点）21．（15分）已知n为不小于3的正整数，记Ωn＝{（x1，x2，⋯，x n）|0≤x1≤x2≤⋯≤x n≤1}，对于Ωn中的两个元素X＝（x1，x2，⋯，x n），Y＝（y1，y2，⋯，y n），定义d（X，Y）为|x1﹣y1|，|x2﹣y2|，…，|x n﹣y n|中的最小值．（Ⅰ）当n＝3时，，，，求d（X，Y）+d（Y，Z）的值；（Ⅱ）若，为Ω3中的两个元素，且，求实数b的所有可能取值构成的集合．（Ⅲ）若，且对于任意的X∈Ωn，均有d（A，X）≤L，求L的最小值．2020-2021学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试卷解析一、选择题：（共10道小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知α为第三象限角，则π﹣α为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【分析】由α的范围求出π﹣α的范围，进而看可确定π﹣α的范围．【解答】解：因为×3，k∈Z，所以﹣＜π﹣α＜﹣2kπ，k∈Z，所以π﹣α为第四象限．故选：D．2．（4分）已知集合{x|x≥a}与{1，2}的交集为∅，则a的值可以为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】根据题意可得a＞2，即可判断正确的选项．【解答】解：∵集合{x|x≥a}与{1，2}的交集为∅，∴a＞2，∴a的值可以为3．故选：D．3．（4分）已知a＞b＞c，a，b，c∈R，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．c﹣a＜c﹣bC．a﹣b＞a﹣c D．c（b﹣a）＜a（b﹣c）【答案】B【分析】根据不等式的性质判断即可．【解答】解：由a＞b＞c，当c＝0时，故A不成立；∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴c﹣a＜c﹣b，故B成立；∵b＞c，∴﹣b＜﹣c，∴a﹣b＜a﹣c，故C不成立；例如a＝1，b＝0，c＝﹣1，则c（b﹣a）＝1，a（b﹣c）＝1，故D不成立．故选：B．4．（4分）已知点P（3，﹣4）是角α终边上一点，则＝（）A．B．C．D．【答案】B【分析】直接利用任意角的三角函数的定义可求sinα，cosα的值，进而根据两角和的余弦公式即可得到结论．【解答】解：因为点P（3，﹣4）是角α终边上一点，所以sinα＝＝﹣，cosα＝＝，所以＝cosαcos﹣sinαsin＝（cosα﹣sinα）＝（+）＝．故选：B．5．（4分）“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先利用特殊角的三角函数值，求出sinα＝，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：sinα＝等价于或，所以“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的充分不必要条件．故选：A．6．（4分）若0.3x＞0.3y＞1，则（）A．x＞y＞0B．y＞x＞0C．x＜y＜0D．y＜x＜0【答案】C【分析】结合指数函数为y＝0.3x的单调性即可比较x，y的大小．【解答】解：因为y＝0.3x在R上单调递减，且0.3x＞0.3y＞0.30，所以x＜y＜0．故选：C．7．（4分）函数的图像关于直线x＝t对称，则t的值可以为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由正弦函数的对称性可令2t﹣＝kπ+，k∈Z，解得t，再通过k的取值可得结论．【解答】解：由正弦函数的对称性可得2t﹣＝kπ+，k∈Z，解得t＝+，k∈Z，当k＝0时，t＝，故选：B．8．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，则实数m的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，4]C．（0，4]D．[2，+∞）【答案】B【分析】先求函数的对称轴，然后结合函数取得最大于最小值的位置即可求解．【解答】解：∵f（x）＝x2﹣4x的开口向上，对称轴x＝2，且f（0）＝f（4）＝0，f（2）＝﹣4，∵函数f（x）在[0，m]内的值域为[﹣4，0]，则实数2≤m≤4故选：B．9．（4分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时【答案】C【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．【解答】解：y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．当x＝0时，e b＝192，当x＝22时e22k+b＝48，∴e22k＝＝e11k＝e b＝192当x＝33时，e33k+b＝（e11k）3•（e b）＝（）3×192＝24故选：C．10．（4分）已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）在[﹣2，0）∪（0，2]上有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，1]C．（﹣2，1）D．（﹣1，2]【答案】A【分析】根据该分段函数的性质，由函数零点问题转化为函数图像交点问题，由F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）的奇函数的性质，转化为x∈（0，2]时有两解，结合函数图像即可得解．【解答】解：由F（﹣x）＝f（﹣x）﹣f（x）＝﹣[f（x）﹣f（﹣x）]＝﹣F（x），所以F（x）为奇函数，根据对称性可得x∈（0，2]时有两个零点即可，令F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝0，可得f（x）＝f（﹣x），若x∈（0，2]则﹣x∈[﹣2，0），即有两解，结合对称性可得：如图所示可得：，所以0＜a＜2．故选：A．二、填空题（共5道小题，每小题5分，共25分）11．（5分）函数f（x）＝cos（2x﹣）最小正周期为π．【答案】见试卷解答内容【分析】根据三角函数的周期公式即可得到结论．【解答】解：根据三角函数的周期公式可得函数的周期T＝，故答案为：π12．（5分）已知函数f（x）＝a sin x+bx+1，若f（﹣1）＝2，则f（1）＝0．【答案】0．【分析】首先计算f（x）+f（﹣x）的和为常数，再由已知条件可得所求值．【解答】解：函数f（x）＝a sin x+bx+1，则f（﹣x）+f（x）＝a sin（﹣x）+b（﹣x）+1+a sin x+bx+1＝（﹣a sin x+a sin x）+（﹣bx+bx）+2＝2，所以f（1）+f（﹣1）＝f（1）+2＝2，解得f（1）＝0．故答案为：0．13．（5分）函数f（x）＝2sin（2x+）在上单调递增，则实数m的最大值为．【答案】．【分析】由正弦函数的单调性，求得f（x）的增区间，再由集合的包含关系，解不等式可得所求最大值．【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x+），可令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，由题意可得[﹣，m]⊆[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，即有kπ﹣≤﹣且m≤kπ+，k∈Z，即k≤，可得k＝0时，m取得最大值，故答案为：．14．（5分）某种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效的治疗作用，已知服用m（1≤m≤4，m∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y＝m•f（x），其中f（x）＝．（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，则m的最小值为．【答案】；【分析】（1）由题意可得m＝3，则可得y＝3f（x）的解析式，求解3f（x）≥2，即可得答案．（2）先分析有效治疗末端时间点，由此列出满足再服用m个单位药剂后，接下来2个小时能㫃持续有效的不等式，利用恒成立求得m的范围，即可得答案．【解答】解：（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则m＝3，所以当0≤x＜6时，，当6≤x≤8时，令，解得，当6≤x≤8时，令，解得，所以若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，则m＝2，所以，此时，所以治疗时间末端为第6小时结束，因为在治疗时间末端再服用m个单位药剂，所以6≤x≤8，所以，所以对于任意x∈[6，8]恒成立，所以对于任意x∈[6，8]恒成立，设，为开口向上，对称轴为x＝4的抛物线，所以g（x）在[6，8]上单调递增，所以，故，所以m的最小值为．15．（5分）如果函数f（x）的图像可以通过g（x）的图像平移得到，称函数f（x）为函数g（x）的“同形函数”．在①y＝cos2x；②y＝2sin x cos x；③y＝sin4x﹣cos4x；④y＝sin2x•tan x中，为函数y＝cos2x的“同形函数”的有②③.（填上正确选项序号即可）【答案】②③．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，根据三角函数图像和图像的变换即可求解．【解答】解：①y＝cos2x＝cos2x+，其可由y＝cos2x先纵坐标缩小一半，再向上平移得到，二者不是同形函数，故①错误；②y＝2sin x cos x＝sin2x＝cos（2x﹣），可由y＝cos2x向右平移个单位得到，故②正确；③y＝sin4x﹣cos4x＝（sin2x2）（sin2x﹣cos2x）＝sin2x+cos2x＝﹣cos2x＝cos（2x+π），可由y＝cos2x向左平移个单位得到，故③正确；④y＝sin2x•tan x＝2sin x cos x•＝2sin2x＝1﹣cos2x＝cos（2x+π）+1，因为y＝sin2x•tan x的定义域不是R，而cos2x的定义域是R，所以不可能平移得到．故④错误；综上所述，②③正确．故答案为：②③．三、解答题（共6道小题，第16～20题每题14分，第21题15分）16．（14分）（Ⅰ）计算求值：（1）log93＝；（2）＝﹣；（Ⅱ）解关于x的不等式：（1）x2﹣3x﹣4≤0；（2）x2≥ax（a∈R）．【答案】（Ⅰ）（1）；（2）﹣；（Ⅱ）（1）[﹣1，4]；（2）当a＝0时，原不等式解集为R；a＞0时，原不等式解集为（﹣∞，0]∪[a，+∞）；当a＜0时，原不等式解集为（﹣∞，a∪[0，+∞）．【分析】（Ⅰ）（1）根据对数定义计算即可；（2）根据诱导公式计算即可；（∐）（1）根据一元二次不等式运算即可；（2）根据一元二次不等式解法对a进行讨论运算即可．【解答】解：（Ⅰ）（1）log93＝；（2）＝﹣cos＝﹣；（Ⅱ）（1）一元二次方程x2﹣3x﹣4的解为﹣1，4，结合二次函数y＝x2﹣3x﹣4的图像可得一元二次不等式x2﹣3x﹣4≤0的解集为[﹣1，4]；（2）关于x的不等式x2≥ax即为x（x﹣a）≥0，当a＝0时，原不等式解集为R；a＞0时，原不等式解集为（﹣∞，0]∪[a，+∞）；当a＜0时，原不等式解集为（﹣∞，a∪[0，+∞）．17．（14分）已知α为第二象限角，且sinα＝﹣2cosα．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）1．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而根据两角和的正切公式即可求解的值．（Ⅱ）由题意利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为α为第二象限角，且sinα＝﹣2cosα，所以tanα＝﹣2，所以＝＝＝﹣．（Ⅱ）因为α为第二象限角，所以∈（kπ+，kπ+），k∈Z，是第一或第三象限角，所以＝﹣＝＝＝＝＝1．18．（14分）已知函数f（x）＝log a（x+a），a＞0且a≠1．（Ⅰ）若f（2）＝2，求a的值．（Ⅱ）若f（x）在[1，3]上的最大值与最小值的差为1，求a的值．【答案】（I）a＝2；（II）a＝或a＝．【分析】（I）由已知f（2）＝2（II）结合对数函数的单调性对a进行分类讨论，结合对数的运算性质可求．【解答】解：（I）因为f（2）＝log a（2+a）＝2，所以a2﹣a﹣2＝0，解得a＝2或a＝﹣1（舍），（II）当a＞1时，f（x）在[1，3]上单调递增，由题意得，，解得，a＝，当0＜a＜1时，f（x）在[1，3]上单调递减，由题意得，，解得，a＝，综上，a＝或a＝．19．（14分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值及最小值．【答案】（Ⅰ）2．（Ⅱ）最大值为2+，最小值为0．【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行转化求解即可．（Ⅱ）求出角的范围，根据三角函数的最值性质进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝4（sin x+cos x）cos x＝2sin x cos x+2cos2x＝sin2x+（1+cos2x）＝sin2x+cos2x+＝2sin（2x+）+，则＝2sin（2×+）+＝2sin+＝2×＝2．（Ⅱ）当x∈时，2x∈[0，π]，2x+∈[，]，则sin（2x+）∈[sin，sin]，即sin（2x+）∈[﹣，1]，则2sin（2x+）∈[﹣，2]，2sin（2x+）+∈[0，2+]，即f（x）的最大值为2+，最小值为0．20．（14分）已知函数，a，b∈R，且该函数的图像经过点（﹣1，0），．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）已知直线y＝kx+m（k≠1）与x轴交于点T，且与函数f（x）的图像只有一个公共点．求|OT|的最大值．（其中O为坐标原点）【答案】（I）a＝1，b＝﹣1；（II）1．【分析】（1）把已知点的坐标直接代入即可求解a，b；（II），由题意可得相应方程只有一个解，然后结合二次方程根的存在条件可得m，k的关系，再结合二次函数的性质可求．【解答】解：（I）由题意得，，解得，a＝1，b＝﹣1；（II）由题意得，T（﹣，0），k≠0，由x﹣＝kx+m只有一个解，即（k﹣1）x2+mx+1＝0只有一个解，因为k≠1，所以Δ＝m2﹣4（k﹣1）＝0，所以|OT|2＝＝＝﹣4（）＝﹣4[（）2﹣，根据二次函数的性质得，当k＝2时，上式取得最大值1，此时|OT|取得最大值1．21．（15分）已知n为不小于3的正整数，记Ωn＝{（x1，x2，⋯，x n）|0≤x1≤x2≤⋯≤x n≤1}，对于Ωn中的两个元素X＝（x1，x2，⋯，x n），Y＝（y1，y2，⋯，y n），定义d（X，Y）为|x1﹣y1|，|x2﹣y2|，…，|x n﹣y n|中的最小值．（Ⅰ）当n＝3时，，，，求d（X，Y）+d（Y，Z）的值；（Ⅱ）若，为Ω3中的两个元素，且，求实数b的所有可能取值构成的集合．（Ⅲ）若，且对于任意的X∈Ωn，均有d（A，X）≤L，求L的最小值．【答案】（I）；（II）；（III）．【分析】（I）（II）根据定义和条件得到不等式组，求解即得；（III）先找一特例，使得，然后证明不可能更大即可．【解答】解：（I），，；（II）若，∴，或，解得或，即实数b的所有可能取值构成的集合；（III）若，且对于任意的X∈Ωn，均有d（A，X）≤L，当时，，所以．若存在X＝{x1，x2，…，x n}∈Ωn，使得，则，∴，∴，∴，矛盾．所以L的最小值．。