第二章 流体静力学

一、流体平衡微分方程式 1、表面力：作用在微元平行六面体的表面力只有静压强。
以 x 方向为例：
设微元平行六面体中心点处的静压强为 p ，在垂直于 x 轴的左、右两个平面中心点上的静
压强分别为：
p − 1 ∂p dx 和 p + 1 ∂p dx
2 ∂x
2 ∂x
垂直于 x 轴的左、右两微元面上的总压力分别为：
压强差公式含义：在静止流体中，空间点的坐标增量为 dx，dy，dz 时，相应的流体
静压强增加 dp，压强的增量取决于质量力。
二、流体平衡条件 对于不可压缩均质流体，密度 ρ ＝常数
dp ρ
=
f x dx +
f y dy +
f z dz
=
−⎜⎜⎝⎛
∂π ∂x
dx +
∂π ∂y
dy + ∂π ∂z
dz ⎟⎟⎠⎞ = −dπ
⎜⎛ ⎝
p
−
1 2
∂p ∂x
dx ⎟⎞dydz ⎠
和
⎜⎛ ⎝
p
+
1 2
∂p ∂x
dx ⎟⎞dydz ⎠
2、质量力：
若流体微团的平均密度为 ρ ，则质量力沿三个坐标轴的分量为
f x ρdxdydz , f y ρdxdydz , f z ρdxdydz
根据平衡条件：作用在微元六面体上的外力在三个坐标轴上的分力之和都等与零。例 如 ，
=
z2
+
p2 ρg
为 了 进 一 步 理 解 流 体 静 力 学 基 本 方 程 式 ，现 在 来 讨
论流体静力学基本方程的物理意义和几何意义。 静止液体中任意一点的静压强计算式。如在自由表面上
图 2-11 重力作用下的静止液体
-7-
东北电力大学
《工程流体力学》教案
第2章
任取一点，若有 z = z0 , p = p0 ，引入自由淹深坐标 h = z0 − z ，如图 2-11 所示
当流体处于静止状态时，在流体内部或流体与固体壁面所存在的单位面积上的负的法向表
面力称为流体的静压强，用符号 p 表示，单位为 Pa。
如图 2-1 所示，在均质的静止流体中任取一分离体，将此分离体用一平面 AB 切成Ⅰ、Ⅱ
两部分,并取走Ⅰ部分。去掉后，要保持Ⅱ部分的平衡，在面 AB 上必须加上原来Ⅰ部分流体
4-2 流体平衡微分方程——物理意义（15 分钟）
4-2 流体平衡条件（10 分钟）
5-1 等压面定义、特征、举例分析（20 分钟）
5-1 重力作用下的静力学基本方程——公式推导、适用条件（10 分钟）
教
5-1 静力学基本方程的三种形式（15 分钟）
学
5-2 静力学基本方程的物理意义、几何意义（20 分钟）
1 ρ
∂p ∂y
=
0
fz
−
1 ρ
∂p ∂z
=
0
写成矢量形式
r f
−
1
∇p
=
0
ρ
物理意义：在静止流体中，某点单位质量流体的质量力与静压强的合力相平衡。在推导
这个方程中，除了假设是静止流体以外，其他参数(质量力和密度)均未作任何限制，所以该方
程组的适用范围是：静止或相对静止状态的可压缩和不可压缩流体。它是流体静力学最基本的
-2-
东北电力大学
《工程流体力学》教案
主要教学内容
第2章
2.1 流体静压强及其特征
本节教学目的：
流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性作用，即切向应力都等于零。所以， 流体静力学中所得的结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的。流体静力学的研究目的 在于确定静压强的分布规律。
一、流体静压强
教学重点
1、静压强及其特性。 2、点压强的计算，静压强分布。 3、等压面。 4、作用于平面上液体总压力。 5、作用于曲面上液体总压力，压力体的画法。
教学难点
1、利用等压面计算液面下任意点压强。 2、应用静力学基本定律计算作用在平面、曲面上的总压力。 3、压力体。
流体静力学着重研究流体处于静止状态下的平衡规律及其在工程实际中应 用的问题，例如求解作用于平面和曲面上流体总压力等问题。因此，在本章的学 习中应注意联系工程、生活中的实际，培养学生的学习兴趣，选择合适的作业题， 教学方式、 培养学生分析实际问题，解决实际问题的能力。 方法
等压面微分方程的数学含义：
通过静止流体中的任一点的等压面都垂直于该点处 的质量力。其物理含义为：单位质量流体中的质量力沿等 压面移动微小距离所做的功等于零。
图 2-8 两个矢量的数量积
3、等压面特征： （1）等压面与质量力互相垂直。如图 2-9（a）所示。 当流体处于相对静止状态时，质量立除了重力外，还有惯性力，这两个力的合力必定垂 直等压面，此时等压面是倾斜的平面，如图 2-9（b）所示。 （2）处于平衡状态下，两种互不相混的流体的分界面为等压面如图 2-9（c）所示。 （3）等压面也是等势面。 （4）对不同的等压面，其压强常数值是不同的，流体中任意一点只能有一个等压面通过。
p = p0 + ρgh
(1)在 重 力 作 用 下 的 静 止 液 体 中 ，静 压 强 随 深 度 按 线 性 规 律 变 化 ，即 随 深 度 的 增 加 ， 静压强值成正比增大。
(2)在 静 止 液 体 中 ，任 意 一 点 的 静 压 强 由 两 部 分 组 成 ：一 部 分 是 自 由 液 面 上 的 压 强 p0 ；另一部分是该点到自由液面的单位面积上的液柱重量 ρgh 。
(3)在静止液体中，位于同一深度( h ＝常数)的各点的静压强相等，即任一水平面 都是等压面。
物理意义
位势能和压强势能之和称为单位重量流体的总势能。所以式(2-8)表示在重力作用下静止 流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的。这就是静止液体中的能量守恒定律。
几何意义
单位重量流体所具有的能量也可以用液柱高度来表示，并称为水头。位置水头和压强水头 之和称为静水头。所以式(2-8)也表示在重力作用下静止流体中各点的静水头都相等。
在质量力只有重力作用的静止液体中，按照如图２-10 所示的坐标系，这时作用在静止液
体上的单位质量力在各坐标轴上的分量为
得 写成
fx = 0， fy = 0 ， fz = −g dp = −ρgdz dz + dp = 0 ρg
对于均质不可压缩流体，密度 ρ 为常数。积分
上式，得
z+ p =c ρg
图 2-10 推导静力学基本方程式用图
1、教学方式：课堂讲授 2、教学方法：公式推导+举例+习题演练，理论联系实际 3、教学手段：多媒体
-1-
东北电力大学
《工程流体力学》教案
第2章
4-1 静止的含义，流体静力学内容（10 分钟）
4-1 流体静压强的定义（15 分钟）
4-1 静压强的特征——反证法、直接公式推导（20 分钟）
4-2 流体平衡微分方程——推导（20 分钟）
-6-
东北电力大学
举例说明：
《工程流体力学》教案
第2章
图 2-9 质量力与等压面
2.3 重力作用下的流体平衡
本节教学目的：
在自然界和工程实际中，最常见的处于平衡状态下的流体，是仅受重力一种质量力作用， 相对于地球处于绝对静止状态的液体，即日常所见的静止液体。本节将讨论这种情况下的液体 平衡问题。
一、重力作用下的静力学基本方程式
对于 x 轴，则为
⎜⎛ ⎝
p
−
1 2
∂p ∂x
dx ⎟⎞dydz ⎠
− ⎜⎛ ⎝
p
+
1 2
∂p ∂x
dx ⎟⎞dydz ⎠
+
f x ρdxdydz
=
0
整理上式，并把各项都除以微元平行六面体的质量 ρdxdydz 则得
-4-
东北电力大学
《工程流体力学》教案
第2章
同理得
fx
−
1 ρ
∂p ∂x
=
0
fy
−
方程组，流体静力学的其他计算公式都是从此方程组推导出来的。
图 2-6 微元平行六面体 x 方向的受力分析
压强差公式：
把式（2-3）两边分别乘以 dx，dy，dz，然后相加，得
ρ( f xdx +
f ydy
+
f z dz)
=
∂p ∂x
dx
+
∂p ∂y
dy
+
∂p ∂z
dz
得
dp = ρ( f x dx + f y dy + f z dz)
流体平衡的条件：
只有在有势的质量力作用下，不可压缩均质流体才能处于平衡状态。
-5-
东北电力大学
《工程流体力学》教案
第2章
三、等压面 1、等压面定义： 在静止流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面。在等压面上，dp=0。
注意：等压面条件必须是静止、连通的同种流体。
举例：如图 2-7 所示。
图 2-7 等压面
流 体 静 力 学 基 本 方 程 的 适用范围:重 力 作 用 下 的 平 衡 状 态 均 质 不 可 压 缩 流 体 。
若在静止液体中任取两点 l 和 2，点 1 和点 2 压强
各 为 p1 和 p2 ， 位 置 坐 标 各 为 z1 和 z2 ， 则 可 写成 另 一 表
达式，即：
z1
+
p1 ρg
7-1 相对平衡——匀加速直线运动（45 分钟）
7-2 相对平衡——旋转平衡（45 分钟）
8-1 平面上静水总压力大小、作用点公式推导（45 分钟）
8-2 曲面上静水总压力大小、方向、作用点公式推导（30 分钟）