2021年山东省高考数学一模试卷(理科)含解析答案

精品 Word 可修改 欢迎下载 2021年山东省高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1．（5分）（2021•威海一模）已知i是虚数单位，若z（1+3i）=i，则z的虚部为（ ）

A． B． ﹣ C． D． ﹣

【考点】： 复数代数形式的乘除运算．

【专题】： 数系的扩充和复数．

【分析】： 把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解析】： 解：由z（1+3i）=i，得，

∴z的虚部为．

故选：A．

【点评】： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

2．（5分）（2021•威海一模）已知集合A={x|x2≥1}，B={x|y=}，则A∩∁RB=（ ）

A． （2，+∞） B． （﹣∞，﹣1]∪（2，+∞） C． （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D． [﹣1，0]∪[2，+∞）

【考点】： 交、并、补集的混合运算．

【专题】： 集合．

【分析】： 求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B补集的交集即可．

【解析】： 解：由A中不等式解得：x≥1或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），

由B中y=，得到1﹣log2x≥0，即log2x≤1=log22，

解得：0＜x≤2，即B=（0，2]，

∴∁RB=（﹣∞，0]∪（2，+∞），

则A∩∁RB=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），

故选：B．

【点评】： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

3．（5分）（2021•威海一模）设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（ ）

A． x+y=2 B． x+y＞2 C． x2+y2＞2 D． xy＞1

【考点】： 充要条件．

精品 Word 可修改 欢迎下载 【分析】： 先求出的必要不充分条件；利用逆否命题的真假一致，求出命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件．

【解析】： 解：若时有x+y≤2但反之不成立，例如当x=3，y=﹣10满足x+y≤2当不满足

所以是x+y≤2的充分不必要条件．

所以x+y＞2是x、y中至少有一个数大于1成立的充分不必要条件．

故选B

【点评】： 本题考查逆否命题的真假是相同的，注意要说明一个命题不成立，常通过举反例．

4．（5分）（2021•威海一模）如图程序框图中，若输入m=4，n=10，则输出a，i的值分别是（ ）

A． 12，4 B． 16，5 C． 20，5 D． 24，6

【考点】： 程序框图．

【专题】： 图表型；算法和程序框图．

【分析】： 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，a的值，当a=20时，满足条件n整除a，退出循环，输出a的值为20，i的值为5．

【解析】： 解：模拟执行程序，可得

m=4，n=10，i=1

a=4，

不满足条件n整除a，i=2，a=8

不满足条件n整除a，i=3，a=12

不满足条件n整除a，i=4，a=16

不满足条件n整除a，i=5，a=20

精品 Word 可修改 欢迎下载 满足条件n整除a，退出循环，输出a的值为20，i的值为5．

故选：C．

【点评】： 本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的i，a的值是解题的关键，属于基本知识的考查．

5．（5分）（2021•威海一模）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直，则双曲线的离心率等于（ ）

A． B． C． D．

【考点】： 双曲线的简单性质．

【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】： 渐近线与直线x+3y+1=0垂直，得a、b关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．

【解析】： 解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直．

∴双曲线的渐近线方程为y=±x

∴=3，得b2=9a2，c2﹣a2=9a2，

此时，离心率e==．

故选：C．

【点评】： 本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．

6．（5分）（2021•威海一模）定义：|=a1a4﹣a2a3，若函数f（x）=，将其图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）

A． B． π C． D． π

【考点】： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数．

【专题】： 三角函数的图像与性质．

【分析】： 由题意可得解析式f（x）=2sin（x﹣），平移后所得到的图象解析式可求得y=2sin（x+m﹣），由m﹣=kπ+，k∈Z，即可求m的最小值．

精品 Word 可修改 欢迎下载 【解析】： 解：由题意可得：f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），

将其图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象解析式为：y=2sin（x+m﹣），

由于所得到的图象关于y轴对称，则有：m﹣=kπ+，k∈Z，

故解得：m（m＞0）的最小值是．

故选：B．

【点评】： 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．

7．（5分）（2021•威海一模）已知函数f（x）=，则y=f（2﹣x）的大致图象是（ ）

A． B． C． D．

【考点】： 函数的图象．

【专题】： 函数的性质及应用．

【分析】： 先由f（x）的函数表达式得出函数f（2﹣x）的函数表达式，由函数表达式易得答案．

【解析】： 解：∵函数f（x）=，

则y=f（2﹣x）=，

故函数f（2﹣x）仍是分段函数，以x=1为界分段，只有A符合，

故选：A．

【点评】： 本题主要考查分段函数的性质，对于分段函数求表达式，要在每一段上考虑．

8．（5分）（2021•威海一模）如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）

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A． 2 B． 3 C． 5 D． 5

【考点】： 由三视图求面积、体积．

【专题】： 计算题；空间位置关系与距离．

【分析】： 根据几何体的三视图，得出该几何体是正三棱柱与一球体的组合体，结合数据求出它的体积．

【解析】： 解：根据几何体的三视图，得；

该几何体是底部为正三棱柱，上部为一球体的组合体；

且正三棱柱的底面三角形的边长为2，高为5，

球的半径为×=；

∴该组合体的体积为

V=V三棱柱+V球=×2××5+π×=5+π．

故选：D．

【点评】： 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．

9．（5分）（2021•威海一模）若实数x，y满足的约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a，b，则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为（ ）

A． B． C． D．

【考点】： 几何概型；简单线性规划．

【专题】： 应用题；概率与统计．

【分析】： 利用古典概型概率计算公式，先计算总的基本事件数N，再计算事件函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值时包含的基本事件数n，最后即可求出事件发生的概率．

精品 Word 可修改 欢迎下载 【解析】： 解：画出不等式组表示的平面区域，

∵函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值，

∴直线z=2ax+by的斜率k=≤﹣1，即2a≥b．

∵一颗骰子投掷两次分别得到点数为（a，b），则这样的有序整数对共有6×6=36个

其中2a≤b的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）共30个

则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为 =．

故选：D．

【点评】： 本题考查了古典概型概率的计算方法，乘法计数原理，分类计数原理，属于基础题

10．（5分）（2021•威海一模）已知M是△ABC内的一点（不含边界），且•=2，∠BAC=30°若△MBC，△MAB，△MCA的面积分别为x，y，z，记f（x，y，z）=++，则f（x，y，z）的最小值为（ ）

A． 26 B． 32 C． 36 D． 48

【考点】： 函数的最值及其几何意义．

【专题】： 综合题；不等式的解法及应用．

【分析】： 先由条件求得AB•AC=4，再由S△ABC=AB•AC•sin30°=1，可得x+y+z=1． 再由f（x，y，z）=++=（++）（x+y+z），利用基本不等式求得它的最小值．

【解析】： 解：∵•=2，∠BAC=30°，

精品 Word 可修改 欢迎下载 ∴AB•AC•cos30°=2，∴AB•AC=4．

∵S△ABC=AB•AC•sin30°=1=x+y+z．

∴f（x，y，z）=++=（++）（x+y+z）

=1+4+9++++++≥14+4+6+12=36，

即f（x，y，z）=++的最小值为36，

故选：C．

【点评】： 本题主要考查两个向量的数量积的定义，基本不等式的应用，属于中档题．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．

11．（5分）（2021•威海一模）已知α∈（π，2π），cosα=﹣，tan2α= ﹣．

【考点】： 二倍角的正切．

【专题】： 三角函数的求值．

【分析】： 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．

【解析】： 解：∵α∈（π，2π），cosα=﹣，

∴sinα=﹣=﹣，tanα==2，

∴tan2α===﹣，

故答案为：．

【点评】： 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题．

12．（5分）（2021•威海一模）采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001，002，…，600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001，300]的人做问卷A，编号落入区间[301，495]的人做问卷B，编号落入区间[496，600]的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为

8 ．

【考点】： 系统抽样方法．

【专题】： 概率与统计．

【分析】： 由题意可得抽到的号码构成以3为首项、以12为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an=12n﹣9，由496≤12n﹣9≤600，求得正整数n的个数，即为所求．

【解析】： 解：∵600÷50=12，

∴由题意可得抽到的号码构成以3为首项、以12为公差的等差数列，