全国优秀案例任意角的三角函数教学设计案例)

任意角的三角函数教学案例一、我的教学设计教学引入：前面我们学习了任意角，既然能把锐角推广到任意角，那锐角三角函数能否推广到任意角的三角函数呢？（设计意图：回顾旧知引入新知，以问题的形式来引入。

简单的一句话，能激发学生的好奇心和求知欲，也点明了本节课的主题。

）教学过程设计：问题1 本节我们研究三角函数问题。

说起三角函数并不陌生，在初中我们已学过锐角三角函数，请同学们回顾一下，锐角三角函数是怎样规定的？（设计意图: ：回顾已学习的知识，为新知识做好铺垫。

）学生活动：1、指出锐角三角函数是在直角三角形中规定的。

2、说出三个锐角三角函数的定义。

问题2 我们把锐角放到直角坐标系中，你能用终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？（设计意图：将已有知识坐标化,分化难点。

用新的观点再认识学生的已有知识经验，使本课时的学习与学生的已有知识经验紧密联系，使知识有一个熟悉的起点。

）学生活动1：1、过点P做x轴的垂线。

2、用P点的坐标表示的三条边。

3、用P点的坐标表示三个锐角三角函数。

问题3 上述比值与点P在终边上的位置有关吗？学生活动2：利用三角形全等，可发现上述比值与点P在终边上的位置有无关。

问题4 如何将上述定义的形式化简？写出最简单的形式。

（设计意图：用数学的简洁美引导学生进行研究，为定义的拓展奠定基础。

）学生活动3：1、当时，上述定义表示最简单。

2、最简单的形式为问题5 怎样确定点P的位置使它与原点的距离为1？（设计意图：为任意角的定义做好最后的铺垫。

）学生活动4：作一个单位圆，使角的终边与单位圆的交点为P即可。

问题6：上述定义是借助于单位圆，利用角的终边与单位圆的交点的坐标给出的，它可以推广到任意角的三角函数，请写出任意角的三角函数的定义。

分小组分别写出角α的终边位于第二、三、四象限和x轴、y轴上时的三角函数。

（设计意图：具体认识任意角的三角函数，突现本课时的研究重点。

如果问题太一般化，如设计为：上述定义可以推广到任意角的三角函数，请写出任意角的三角函数的定义。

§4.2任意角的三角函数一、学习要求：理解任意角的三角函数的定义，熟记三角函数在各个象限内的符号，了解各三角函数线，能作出已知角在单位圆中的三角函数线。

二、学习重点、难点：重点：任意角三角函数的定义；三角函数在各个象限内的符号；求三角函数值。

难点：三角函数线三、学时安排：共2学时第一学时：学习任意角饿三角函数定义，和三角函数在各个象限的符号，并理解和运用。

第二学时：学习三角函数线，通过三角函数线求三角函数值（不编写学案）。

四、学习过程：第一学时（一）课前尝试1、学习方法：认真阅读课本P.165-167内容，注意理解三角函数的定义，符号法则的推出过程及作用。

2、尝试练习：（1）已知P（1,-2）是角α终边上一点，求α的三个三角函数值。

（2）确定下列三角函数值的符号：sin(740)-︒19 tan()6π-（二）课堂探究：1、探究问题在初中，我们学习了锐角的三角函数值，当角的概念推广以后，对于一个任意角的三角函数，应该如何求呢？比如：sin120︒ 7cos()6π tan300︒ 等等 2、知识链接：回忆： （1）Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A α∠=，则sin α= cos α= tan α=（2）把上述Rt ABC ∆放置在直角坐标中，如图所示：sin α= cos α= tan α=（3）任意角的三角函数定义：图4-2-1 图4-2-2 图4-2-3（4）三角函数在各个象限内的符号法则：y y yO x O x O xαsin αcos αtan图4-2-43、拓展练习：（1）P.166例2 P 点的坐标还可怎么取？（2）思考：为什么正弦函数、余弦函数的定义域为R ，正切函数的定义域不是R ？4、当堂训练：书本上P.167.课内练习1。

5、归纳总结：（三）课后拓展：1.已知角α终边经过点(3,4),(0)P t t t <，求sin ,cos ,tan ααα的值。

任意角的三角函数陈正泉一、教学内容解析这是一堂关于任意角的三角函数的概念课．在初中，学生已学过锐角三角函数，知道直角三角形中锐角的三角函数等于相应边长的比值．在此基础上，随着本章将角的概念推广，以及引入弧度制后，这里相应地也要将锐角三角函数推广为任意角的三角函数，但它与解三角形已经没有什么关系了．任意角的三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，认识它需要借助单位圆、角的终边以及二者的交点这些几何图形的直观帮助，这中间体现了数形结合的思想．三角函数是又一种基本初等函数，它作为描述周期变化现象的最常见、最基本的数学模型，不仅在高中数学中有广泛的应用，而且在其他领域中也具有广泛的应用．而任意角三角函数的概念又是整个三角函数内容的基础，所以它不仅是三角函数内容的核心概念，同时在高中数学中还占有重要的地位．本节课将围绕任意角三角函数的概念展开，任意角三角函数的定义是这节课的重点，能够利用单位圆认识该定义是解决教学重点的关键．二、教学目标解析1．借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义：（1）能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示锐角三角函数；（2）能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示任意角的三角函数；（3）知道三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．2．在借助单位圆认识任意角三角函数的定义的过程中，体会数形结合的思想，并利用这一思想解决有关定义应用的问题．三、教学问题诊断分析1．学生在理解用终边上任意一点的坐标来表示锐角三角函数时可能会出现障碍，原因是学生在此之前都是研究直角三角形中锐角的三角函数，并习惯了直观地用有关边长的比值来表示锐角三角函数．要克服这一困难，关键是帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有关边长的比值的联系．2．学生在理解将终边上任意一点取在终边与单位圆的交点这一特殊位置上时，又可能会出现障碍，原因是他们可能会认为这一特殊点不具有任意性．针对这一问题，应引导学生利用相似三角形的知识来认识，明白对于一个确定的角，其三角函数值也就唯一确定了，表示其三角函数的比值不会随终边上所取点的位置的改变而改变．3．学生在将用单位圆定义锐角三角函数推广到定义任意角的三角函数时，还可能会出现障碍，主要原因还是受初中锐角三角函数定义的影响，仍然局限在直角三角形中思考问题．要帮助学生克服这一困难，就要让学生知道，借助单位圆，用终边与单位圆交点的坐标来表示三角函数，就是为了很好地解决在直角三角形中不能定义任意角的三角函数的问题，用单位圆统一定义三角函数，不仅没有改变初中锐角三角函数定义的本质，同时还能定义任意角的三角函数.四、教学支持条件分析为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维.五、教学过程设计（一）教学基本流程（二）教学情景1 •复习锐角三角函数的定义问题1:在初中，我们已经学过锐角三角函数•如图1,在直角△POM中, /M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，/ O的正弦、余弦和正切分别是什么？P图1设计意图：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义.师生活动：教师提出问题，学生回答.2 •认识任意角三角函数的定义问题2:在上节教科书的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，现在所说的角可以是任意大小的正角、负角和零角.那么任意角的三角函数又该怎样定义呢？设计意图：引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数.师生活动：在教学中，可以根据学生的实际情况，利用下列问题引导学生进行思考：（1）能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？以此来引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数.如果学生仍然不能想到借助平面直角坐标系来定义，那么可以进一步提出下列问题来启发学生进行思考：(2)在上节教科书中，将锐角的概念推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？进一步引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数•在此基础上，组织学生讨论：(3)如图2,在平面直角坐标系中，如何定义任意角a的三角函数呢？如果学生仍用直角三角形边长的比值来定义，则可以作下列引导：(4)终边是0P的角一定是锐角吗？如果不是，能利用直角三角形的边长来定义吗？如图3,如果角a的终边不在第I象限又该怎么办？(5)我们知道，借助平面直角坐标系，就可以把几何问题代数化，比如把点用坐标表示，把线段的长用坐标算出来.我们还是回到锐角三角函数的问题上，大家能不能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示定义式中的三条边长呢？渗透数形结合的思想.(6)利用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来定义有什么好处？问题3:大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？设计意图：为引入单位圆进行铺垫.师生活动：教师提出问题后，可组织学生展开讨论.在学生不能正确回答时, 可启发他们思考下列问题：(1)我们在定义1弧度的角的时候，利用了一个什么图形？所用的圆与半径大小有关吗？用半径多大的圆定义起来更简单易懂些？(2)对于一个三角函数，比如y = sin a，它的函数值是由什么决定的？那么当一个角的终边位置确定以后，能不能取终边上任意一点来定义三角函数？取哪一点可以使得我们的定义式变得简单些？怎样取？加强与几何的联系.问题4:大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？设计意图：引导学生在借助单位圆定义锐角三角函数的基础上，进一步给出任意角三角函数的定义.师生活动：由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理.问题5:根据任意角三角函数的定义，要求角a的三个三角函数值其实就是分别是求什么？设计意图：让学生从中体会，用单位圆上点的坐标定义三角函数不仅简化了定义式，还更能突出三角函数概念的本质.师生活动：在学生回答问题的基础上，引导学生利用定义求三角函数值.例1已知角a的终边经过点P （1，—鱼），求角a的正弦、余弦和正切2 2值.设计意图：从最简单的问题入手，通过变式，让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题，进而加深对定义的理解，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合的思想.师生活动：在完成本题的基础上，可通过下列变式引导学生对三角函数的概念作进一步的认识：变式1:求5的正弦、余弦和正切值.3变式2:已知角a的终边经过点P （—3，—4），求角a的正弦、余弦和正切值.3. 进一步理解任意角三角函数的概念问题6:你能否给出正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域？设计意图：研究一个函数，就要研究其三要素，而三要素中最本质的则是对应法则和定义域.三角函数的对应法则已经由定义式给出，所以在给出定义之后就要研究其定义域.通过利用定义求定义域，既完善了三角函数概念的内容，同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念.师生活动：学生求出定义域，教师进行整理.问题7:上述三种函数的值在各象限的符号会怎样？设计意图：通过定义的应用，让学生了解三种函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想.师生活动：学生回答，教师整理.例2:求证：（1）当不等式组Si^ 0,成立时，角B为第三象限角；[ta>0sin°< 0（2）当角B为第三象限角时，不等式组丿口’成立.、tan日>0设计意图：通过问题的解决，熟悉和记忆函数值在各象限的符号的变化规律，并进一步理解三角函数的概念.师生活动：在完成本题的基础上，可视情况改变题目的条件或结论，作变式训练.问题8:既然我们知道了三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的，那 么角的终边每绕原点旋转一周，它的大小将会怎样变化？它所对应的三角函数值 又将怎样变化？设计意图：引出公式一，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想. 师生活动：在教师引导下，由学生讨论完成.例3:先确定下列三角函数值的符号，然后再求出它们的值：9 n f 11(1) sin 一 ;(2) cos 3 n (3) tan ———丨； (4) cos (-672。

《任意角的三角函数第一课时》教学案例一、教学内容人教版职高数学（必修）下册8.2.1 《任意角的三角函数》第一课时．二、学生分析09工艺美术学生的数学基础比较差，但他们非常的认真，喜欢学习，大部分学生能在老师的启发帮助下，能够接受基本的新知识，完成学习任务．学生在学习本节内容之前已经学习角的概念的推广和锐角的三角函数，已经积累了相关的学习经验，且具备了思考问题的方法，能够就新的内容展开思考，而且在情感上也具备了学习新知识的渴求．但是学生的接受和反应能力比较有限，所以在教学内容的容量上做了非常大的调整，本节只讲六个三角函数中的前三个．三、教学目标1、认知目标:（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；（2）会根据任意角的三角函数的定义求特殊角的三角函数值；（3）会根据任意角的三角函数的定义求任意角的三角函数值.2、能力目标:在学生在原有知识的基础上，通过启发、引导学生发现和得出任意角的三角函数的定义，培养学生观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力．3、情感目标:（1）利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识；（2）让学生明白数学源于生活，生活中处处蕴含数学，学习数学很有用．四、教学重点、难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义；教学难点：直角坐标系下用坐标比值定义的观念转换以及对坐标定义的合理性的理解；五、教学策略以惑激学、以景激情、师生共同探讨．这样既能尊重学生的主体地位，又能充分发挥教师的主导作用，让学生亲历数学发现过程，能调动学生学习的积极性与主动性．同时，通过几何画板的动态演示功能创建情景，从认知冲突入手，引起学生学习兴趣，激发其求知欲，点燃其思维火花，力求让学生的知识和能力与时俱进．六、教学过程与设计意图1、设置情境，激发兴趣．师：同学们坐过摩天轮吗？生：当然啦！师：今天，我们的数学之旅就从摩天轮开始．请看问题1.问题1：如图，摩天轮的半径为20m，中心o离地面为24m，现在小明坐上了摩天轮，并从点p开始以每秒1度的速度逆时针转动，当转动30秒后小明离地面的高度是多少？图1 图2设计意图：（1）通过呈现自然合理的问题，贴近生活，许多学生有亲身的体验，兴趣极高．（2）因为摩天轮的转动与角的终边转动一致，转轮的周期性与角的任意性也一致．所以通过直观的感知，自然引出本节的课题-------任意角的三角函数．2、自主探索，化解难点．师：初中同学们已经学过了锐角的三角函数，请问锐角的余弦，正弦，正切是如何定义的？生：在rt△omp中，设角0为,对边为pm，邻边为om，锐角的正弦，余弦，正切依次为(图2)：师：根据在直角坐标系中研究角的做法，把锐角的顶点与坐标原点重合，锐角的始边与x轴的非负半轴重合．要得到锐角三角函数值，则要构造直角三角形，如图3，在角的终边上取一点p，过点p作x轴的垂线pm，怎样表示锐角的三角函数呢？图3 图4生：没多少人有反应．大多数同学摇头．师：如果设终边上的点p的坐标为（x，y）呢？生（思考片刻）：这样好像可以，得先计算出op的长度．师：那么op的长度是多少呢？生：．师：如果设r＝，那么角的余弦，正弦，正切值呢？生：师：那就是说锐角的三角函数可以用锐角的终边上一点p的坐标来表示哦．师生共同总结：锐角三角函数的坐标定义：把锐角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，在其终边上任取一点p(x,y)，设点p到原点的距离为r（），则师：初中学习的锐角三角函数是用直角三角形的边的比值来定义，受直角三角形的约束，不能类似地定义钝角及任意角的三角函数．但角终边上的点的坐标来定义锐角三角函数，不受直角三角形的约束，那么任意角的三角函数是否可类似地用坐标来定义？师生：（请几位同学上来做演示）几何画板演示，观察任意角的终边分别位于不同位置时，三个比值的变化情况．师：随着的终边在轴上及各象限内变化，三个比值也随着变化；且对于任何一个确定的角，每一个比值都是唯一确定的（终边在y轴上时，y/x除外），根据函数的定义，它们实际上构成了以角为自变量、以比值为函数值的函数．我们把它们分别叫做任意角的余弦、正弦、正切函数．师：实际上数学家欧拉就是用这种方法来定义任意角的三角函数的，这也正是我们本节课要学习的任意角的三角函数的定义：已知以上三种函数统称三角函数．师：至此我们将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数．3、归纳总结，任务延续．（1）小结：本节课主要学习了任意角的三角函数的定义。

《任意角的三角函数（第一课时）》教学设计任意角的三角函数（1）一、教学内容分析:高一年《普通高中课程标准教科书·数学（必修4）》（人教版A版）1。

2.1任意角的三角函数第一课时。

本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。

在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用。

《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切)的定义.在本模块中,学生将通过实例学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。

二、学生学习情况分析我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程,以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣.我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味。

所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准）的教学设计就很值得思考探索。

如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中?《普通高中数学课程标准(实验）解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例,使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律,体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。

第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象（周期振荡现象），解决一些实际问题,这也是《课程标准》在三角函内容处理上的一个突出特点。

根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；其二:借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号。

高中数学必修4《任意角的三角函数》教案高中数学必修4《任意角的三角函数》教案【一】教学准备教学目标1、知识与技能(1)能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系;(2)能正确运用进行三角函数式的求值运算;(3)能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数(式)的值，并从中了解一些三角运算的基本技巧;(4)运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明。

2、过程与方法回忆初中所学的几个三角函数之间的关系，用高中所学的同角三角函数之间的关系试着进行证明;掌握几种同角三角函数关系的应用;掌握在具体应用中的一定技巧和方法;理解并掌握同角三角关系的简单变形;提高学生恒等变形的能力，提高分析问题和解决问题的能力。

3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们加深理解基本关系在本章中的地位;认识事物间存在的内在联系，使学生面对问题养成勤于思考的习惯;培养学生良好的学习方法，进一步树立化归的数学思想方法。

教学重难点重点: 同角三角函数之间的基本关系，化简与证明。

难点: 化简与证明中的符号，同角三角函数关系的灵活运用。

教学工具投影仪教学过程【创设情境，揭示课题】同角三角函数之间的关系我们在初中就已经学过，只不过当时应用不是很多，那么到底有哪些?它们成立的条件是什么?学习实践中，你还发现了哪些关系?今天这节课，我们就来讨论这些问题。

【探究新知】在初中我们已经知道，对于同一个锐角α，存在关系式：2.学生课堂练习教材P66练习1和P67练习2五、归纳整理，整体认识(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到主要数学思想方法有那些?(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?六、布置作业教材P68习题中1—6课后小结归纳整理，整体认识(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到主要数学思想方法有那些?(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

32 任意角的三角函数教材分析这节课是在初中学习的锐角三角函数的基础上,进一步学习任意角的三角函数．任意角的三角函数通常是借助直角坐标系来定义的．三角函数的定义是本章教学内容的基本概念和重要概念,也是学习后续内容的基础,更是学好本章内容的关键．因此,要重点地体会、理解和掌握三角函数的定义．在此基础上,这节课又进一步研讨了三角函数的定义域,函数值在各象限的符号,以及诱导公式一,这既是对三角函数的简单应用,也是为学习后续内容做了必要准备．教学目标1. 让学生认识三角函数推广的必要性,经历三角函数的推广的过程,增强对数的理解能力．2. 理解和掌握三角函数的定义,在此基础上探索与研究三角函数定义域、三角函数值的符号和诱导公式一,并能初步应用它们解决一些问题．3. 通过对任意角的三角函数的学习,初步体会数学知识的发生、发展和运用的过程,提高学生的科学思维水平．任务分析在初中,我们只是学习了锐角三角函数,现在学习的是任意角的三角函数．定义的对象从锐角三角函数推广到任意角的三角函数,从四种三角函数增加到六种三角函数．定义的媒介则从直角三角形改为平面直角坐标系．为了便于学生体会和理解,突出定义适用于任意角,通常要把终边出现在四个象限的情况都画出来注意表示角时不用箭头,学习时,必须弄清并强调：这六个比值的大小都与点P在角的终边上的位置无关,只与角的大小有关,即它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数,符合函数的定义,从而归纳和总结出任意角的三角函数的定义．对于三角函数的定义域、函数值在各象限内的符号和诱导公式一,可放手让学生探索、研究、讨论和归纳,用以培养学生的数学思维能力．教学设计一、情景设置初中我们学习过锐角三角函数,知道它们都是以锐角为自变量,由其所在的直角三角形的对应边的比值为函数值,并且定义了角α的正弦、余弦、正切、余切的三角函数．这节课,我们研究当α是一个任意角时的三角函数的定义．在初中,三角函数的定义是借助直角三角形来定义的．如图32-1,在Rt△ABC中,现在,把三角形放到坐标系中．如图32-2,设点B的坐标为x,y,则OC＝b＝x,CB＝a＝y,OB ＝,从而即角α的三角函数可以理解为坐标的比值,在此意义下对任意角α都可以定义其三角函数．二、建立模型一般地,设α是任意角,以α的顶点O为坐标原点,以角α的始边的方向作为ｘ轴的正方向,建立直角坐标系xOy．Px,y为α终边上不同于原点的任一点．如图：那么,OP＝,记作r,r＞0．对于三个量x,y,r,一般地,可以产生六个比值：.当α确定时,根据初中三角形相似的知识,可知这六个比值也随之相应的唯一确定．根据函数的定义可以看出,这六个比值都是以角为自变量的函数,分别把称之为α角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函数,记为对于定义,思考如下问题：1. 当角α确定后,比值与P点的位置有关吗为什么2. 利用坐标法定义三角函数与利用直角三角形定义三角函数有什么关系3. 任意角α的正弦、余弦、正切都有意义吗为什么三、解释应用例题1. 已知角α的终边经过P－2,3,求角α的六个三角函数值．思考：若P－2,3变为－2m,3m呢m≠02. 求下列角的六个三角函数值．注：强化定义．练习1. 已知角α的终边经过下列各点,求角α的六个三角函数值．1P3,－4．2Pm,3．2. 计算．15sin90°＋2sin0°－3sin270°＋10cos180°．四、拓展延伸1. 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系,三角函数可以看成以实数为自变量的函数,如sina＝,不论α取任何实数,恒有意义,所以sina的定义域为｛α｜α∈R｝．类似地,研究cosa,tana,cota的定义域．2. 根据三角函数的定义以及x,y,r在不同象限内的符号,研究sina,cosa,tana,cota的值在各个象限的符号．3. 计算下列各组角的函数值,并归纳和总结出一般性的规律．1sin30°,sin390°．2cos45°,cos－315°．规律：终边相同的角有相同的三角函数值,即sinα＋k360°＝sina,cosα＋k·360°＝cosa,tanα＋k·360°＝tana,k∈Z．五、应用与深化例题1. 确定下列三角函数值的符号．2. 求证：角α为第三象限角的充要条件是sinθ＜0,并且tanθ＞0．证明：充分性：如果sinθ＜0,tanθ＞0都成立,那么θ为第三象限角．∵sinθ＜0成立,所以θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能位于y轴的负半轴上．又∵tanθ＞0成立,∴θ角的终边可能位于第一或第三象限．∵sinθ＜0,tanθ＞0都成立,∴θ角的终边只能位于第三象限．必要性：若θ为第三象限角,由三角函数值在各个象限的符号,知sinθ＜0,tanθ＞0．从而结论成立．练习1. 设α是三角形的一个内角,问：在sina,cosa,tana,tan中,哪些三角函数可能取负值为什么2. 函数的值域是____________ ．点评这节课在设计上特别注意了以下几点：①前后知识的联系,知识的产生、发展过程,如任意角的三角函数的定义,由初中所讲“0°～360°”的情况逐渐过渡到“任意角”的情况,讲清了推广的必要性及意义．②注重了知识的探究,如三角函数值在各象限的符号,及诱导公式一．这里由学生自己去研究,讨论,探索得出一般性结论,培养了学生获取知识、探究知识的能力,强化了自主学习的意识．③注意了跟踪练习的设计．例题典型,练习有层次和变化,巩固知识到位．总体来说,这是一节实用较强,形式又不乏新颖的较好案例．。

任意角的三角函数(教案)一、教学内容本节课的教学内容来自于高中数学必修一的第四章第一节，主要内容包括任意角的三角函数的定义、正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质。

二、教学目标1. 让学生理解任意角的三角函数的定义，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质。

2. 培养学生运用三角函数解决实际问题的能力。

3. 培养学生合作学习、探究学习的能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：任意角的三角函数的定义，正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的理解和应用。

2. 教学重点：任意角的三角函数的定义，正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的掌握。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。

2. 学具：笔记本、尺子、圆规、三角板。

五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察教室的布置，找出角的度量单位，引出角的概念。

2. 任意角的三角函数的定义：通过多媒体展示正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，让学生理解并掌握它们的定义。

4. 例题讲解：出示例题，让学生独立解答，然后讲解答案，讲解过程中强调解题思路和方法。

5. 随堂练习：出示随堂练习题，让学生独立完成，然后批改并讲解答案。

8. 布置作业：布置相关的作业题目，让学生巩固所学知识。

六、板书设计1. 任意角的三角函数的定义2. 正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质七、作业设计1. 题目：已知一个角的度数为30°，求它的正弦值、余弦值和正切值。

答案：正弦值：1/2余弦值：√3/2正切值：√3/32. 题目：画出角α的正弦函数、余弦函数和正切函数的图像。

答案：见附图。

八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课的教学过程中，学生对任意角的三角函数的定义掌握较好，但在正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的理解上还有待加强。

2. 拓展延伸：让学生研究任意角的三角函数在实际问题中的应用，如测量大树的高度、计算物体在斜面上的速度等。

重点和难点解析一、任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义是本节课的核心内容，学生需要理解并掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的定义。

课题任意角的三角函数（1）教学目标：知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

能力目标：1.理解并掌握任意角的三角函数的定义；2.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；3.通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。

情感态度与价值观：1.使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；2.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点难点：1．重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。

2．难点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）。

教法与学法：1．教法选择：研究性学习方式——“设置问题情境，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”；2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展。

教学过程：一、设置情境，激发探索二、归纳总结，变式演练三、归纳小结，课堂延展2π间角的三角函数值问题．巩固作业:、已知角α（）5A．－5教学设计说明1．教材地位分析：任意角的三角函数第一课时。

本节课是初中锐角三角函数的继承和延伸。

本节课主要学习任意角的三角函数的定义以及应用定义判断三角函数值的符号。

三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在数学和其他领域中都具有重要的作用。

任意角的三角函数的概念是三角函数的一个核心内容，它为后续更加深入地学习三角函数奠定了坚实的基础。

2．学生现实分析：学生已经学习过了任意角和弧度制，已经具备了学习本节课的知识基础，并且他们在初中已经学习了锐角三角函数，这也为本节课的学习奠定了方法与经验基础。

所以在锐角三角函数的基础上，推广到任意角的三角函数，便于学生理解。

4.3 任意角的三角函数教学目标（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（2）了解余切、正割、余割的定义；掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号；（3）掌握公式一，会运用它们把求任意角的正弦、余弦、正切函数值分别转化为求0°到360°的这三种三角函数值；（4）通过树立映射的观点，建立正确理解三角函数是以实数为自变量的函数的能力；（5）体会同一角的三角函数值，不因在其终边上取点的变化而变化，从而启示在研究问题时，要能在千变万化中，抓住事物的本质属性，不被表面现象所迷惑．教学建议一、知识结构先通过平面直角坐标系定义了任意角的正弦、余弦、正切函数，并利用与单位圆有关的线段，将这些函数值分别用它们的几何形式表示出来；然后定义了任意角的正切、正割、余割函数．接着着重研究正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各个象限的符号；并根据三角函数的定义，得出“终边相同的角的同一三角函数的值相等”的结论及把此结论表示成第一组诱导公式（公式一）．二、重点、难点分析重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义及在各象限内的符号和定义域，诱导公式一；难点是用单位圆中的有向线段表示角的正弦、余弦、正切值．（1）定义中的六个比值等，与点在终边上的位置无关，只与角的大小有关；它们都可以看作以角为自变量，以比值为函数值的函数，分别称为正弦函数，余弦函数等．（2）三角函数在各象限内的符号，是根据三角函数的定义，终边上的点坐标符号来确定的，十分重要，在今后的学习中经常用到．（3）定义域也是根据三角函数的定义，要求其有意义，即分母不为0而得到角的取值范围．（4）诱导公式（一）也是利用任意三角函数的定义，结合终边相同的角定义得出，即终边相同的角的同名三角函数值相等：．（5）三角函数线是表示一个角三角函数值的几何方法，它们的大小即长度等于的三角函数值的符号．特别注意的是它们均有方向，即起点和终点，记法：当两个端点都在轴上时，以原点为起点（余弦线），当两个端点有一个在轴上时，以轴上的点为起点（正弦线、余弦线），特别是正弦线和正切线在后面三角函数的图象中，用来作出正弦曲线和正切曲线，所必须清楚其意义．三、关于任意角的三角函数的教法建议（1）由三角函数的定义可知，若已知角终边上一点，便可求出其各三角函数值，或通过三角函数定义，可知其二求其一．三角函数的符号与角所在象限有关，采用上图来记忆．（2）必须讲清并强调这六个比值的大小都与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．（3）教学中应注意，语言要准确严密．首先“六种函数统称为三角函数”这句话，说明不是这六种函数的函数，都不能说是三角函数．（4）教学中，应当引导学生深刻认识三角函数符号的含义．如，这个符号，它表示，即角的正弦，不能把看成与的乘积，犹如不能看成与的乘积一样，离开了自变量，符号就没有意义了．同时也应注意，每个函数记号的第一个字母“”或“”或“”都不能大写，不能让学生养成写“”、“”等习惯．教学设计示例（一）任意角的三角函数教学目标：1．通过对初中锐角三角函数定义的回忆，掌握任意角三角函数的定义法，并掌握用单位圆中的有向线段表示三角函数值．2．掌握已知角终边上一点坐标，求四个三角函数值．（即给角求值问题）教学重点：任意角的三角函数的定义．教学难点：任意角的三角函数的定义，正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示．教学用具：直尺、圆规、投影仪．教学步骤：1．设置情境角的范围已经推广，那么对任一角是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢？本节课就来讨论这一问题．2．探索研究（1）复习回忆锐角三角函数我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值，定义了角的正弦、余弦、正切、余切的三角函数，本节课我们研究当角是一个任意角时，其三角函数的定义及其几何表示．（2）任意角的三角函数定义如图1，设是任意角，的终边上任意一点的坐标是，当角在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距离为，则．定义：①比值叫做的正弦，记作，即．②比值叫做的余弦，记作，即．图1③比值叫做的正切，记作，即．同时提供显示任意角的三角函数所在象限的课件提问：对于确定的角，这三个比值的大小和点在角的终边上的位置是否有关呢？利用三角形相似的知识，可以得出对于角，这三个比值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关．请同学们观察当时，的终边在轴上，此时终边上任一点的横坐标都等于0，所以无意义，除此之外，对于确定的角，上面三个比值都是惟一确定的．把上面定义中三个比的前项、后项交换，那么得到另外三个定义．④比值叫做的余切，记作，则．⑤比值叫做的正割，记作，则．⑥比值叫做的余割，记作，则．可以看出：当时，的终边在轴上，这时的纵坐标都等于0，所以与的值不存在，当时，的值不存在，除此之外，对于确定的角，比值，，分别是一个确定的实数，所以我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种函数统称三角函数．（3）三角函数是以实数为自变量的函数对于确定的角，如图2所示，，，分别对应的比值各是一个确定的实数，因此，正弦，余弦，正切分别可看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，当采用弧度制来度量角时，每一个确定的角有惟一确定的弧度数，这是一个实数，所以这几种三角函数也都可以看成是以实数为自变量，以比值为函数值的函数．即：实数→角（其弧度数等于这个实数）→三角函数值（实数）（4）三角函数的一种几何表示利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线，如下图3．图3设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，这条切线必然平行于轴，设它与角的终边（当为第一、四象限时）或其反向延长线（当为第二、三象限时）相交于，当角的终边不在坐标轴上时，我们把，都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．由正弦、余弦、正切函数的定义有：这几条与单位圆有关的有向线段叫做角的正弦线、余弦线、正切线．当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．（5）例题讲评【例1】已知角的终边经过，求的六个三角函数值（如图4）．解：∵∴提问：若将改为，如何求的六个三角函数值呢？（分，两种情形讨论）【例2】求下列各角的六个三角函数值（1）；（2）；（3）．解：（1）∵当时，，∴，，不存在，，不存在（2）∵当时，，∴，不存在不存在（3）当时，，∴不存在不存在【例3】作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．（1）；（2）．解：，的正弦线，余弦线，正切线分别为．【例4】求证：当为锐角时，．证明：如右图，作单位圆，当时作出正弦线和正切线，连∵∴∴利用三角函数线还可以得出如下结论的充要条件是为第一象限角．的充要条件是为第三象限角．练习（学生板演，利用投影仪）（1）角的终边在直线上，求的六个三角函数值．（2）角的终边经过点，求，，，的值．（3）说明的理由．．解答：（1）先确定终边位置①如在第一象限，在其上任取一点，，则，②如在第三象限，在终边上任取一点，则，（2）若，不妨令，则在第二角限∴（3）在终边上任取一点，因为与终边相同，故也为角终边上一点，所以成立．说明：以后会知道，求三角函数值的方法有多种途径．用定义求角的三角函数值，是基本方法之一．当角终边不确定时，要首先确定终边位置，然后再在终边上取一个点来计算函数值．3．反馈训练（1）若角终边上有一点，则下列函数值不存在的是（）．A．B．C．D．（2）函数的定义域是（）．A．B．C．D．（3）若，都有意义，则．（4）若角的终边过点，且，则．参考答案：（1）D；（2）B；（3）或8，说明点在半径为的圆上；（4）－6．4．本课小结利用定义求三角函数值，首先要建立直角坐标系，角顶点和始边要按既定的位置设置．角的三角函数定义式，其实是比例的化身，它的背后是相似形在支称着，不过这个定义具有一般性，如轴上角的三角函数，如果没有定义作为论据，欲求其函数性就不是很容易．分类讨论（角位置）是三角函数求值过程中，使用频率非常高的一个数学思想，而分类标准往往是四个象限及四个坐标半轴．课时作业：1．已知角的终边经过下列各点，求角的六个三角函数值．（1）（2）2．计算（1）（2）（3）（4）3．化简（1）（2）（3）（4）参考答案：1．（1），，，，，（2），，，，，2．（1）－2；（2）8；（3）－1；（4）3．（1）0；（2）；（3）；（4）教学设计示例（二）任意角的三角函数第二课时教学目标：1．根据任意角三角函数定义，归纳出三角函数在各象限的符号，并能根据角的某种函数值符号，反馈出可能存在的象限．2．掌握诱导公式一，并能运用诱导公式把角的三角函数值转化为中角的三角函数值．教学重点：终边相同的角的同一三角函数值相等．教学难点：运用诱导公式把角的三角函数值转化为中角的三角函数值．教学用具：直尺、圆规、投影仪．教学过程1．设置情境设角均是第二象限角，依三角函数定义，为了求的四个三角函数值，只要分别在终边上取点、，由比值，，，，及，，，可知，这两组比值虽然不一定相等，但由于均在第二象限，故同号，同号，因而可见，的正弦、余弦、正切、余切值，符号是对应相同时。

任意角的三角函数一、教学内容分析三角函数是重要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。

任意角的三角函数是学习诱导公式、三角函数的图象与性质的前提。

它不仅是本节的核心概念，也是三角函数内容的核心概念。

由于角的概念的推广，锐角三角函数的概念也必然要扩充，任意角的三角函数的概念的出现是角的概念推广的必然结果。

二、教学目标分析（一）知识与技能1.能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示锐角三角函数、任意角的三角函数。

2.了解三角函数是以角为自量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。

3.知道三角函数是研究一个实数集到另一个实数集的对应关系。

（二）过程与方法1.经历从锐角三角函数定义过渡到任意角的三角函数定义的学习过程，体验三角函数概念的产生、发展过程。

2.在定义任意角的三角函数过程中，领悟直角坐标系的工具功能，体会数形结合的魅力。

（三）情感态度与价值观1.引导学生积极探索、深入思考，在任意角三角函数定义建构的过程中，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，培养学生敢于探索、勇于创新的学习品质。

2.在任意角的三角函数概念同化和精致的过程中发展学生研究问题的能力。

三、学情分析在概念教学过程中要注意学生已有知识经验的作用，发挥其正迁移，防止其负迁移。

本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。

以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。

具体而言要做到：明确研究范围的变化，开阔学生的视野，并揭示由此带来的新问题，激发学生的学习兴趣；借助单位圆在坐标系中进行研究，要先将锐角的三角函数问题置于坐标系中，帮助学生利用坐标系借助单位圆重新认识锐角三角函数，这样做激活了学生的已有知识经验，并且用新的视角认识已有知识经验，复习了旧知识，同时为新的研究内容做好铺垫；第三，由于研究范围的改变，更加突出了任意角的三角函数是为研究客观世界中大量存在的周期性现象服务的。

(完整word版)《任意角的三角函数》教案完美版《任意角的三角函数》教案邓赞武第 1 章（单元) 第 2 节第 2 课时一、教学内容：1.2.2任意角的三角函数（二）二、教学目标:知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；2。

利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值;3。

利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。

能力目标:掌握用单位圆中的线段表示三角函数值,从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。

德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神;三、教学重点与难点：重点：正弦、余弦、正切线的概念.难点：正弦、余弦、正切线的利用。

四、教学程序：（目标导航、自主学习、合作探究、精讲点拨、演练反馈、总结提高、当堂检测）五、教学过程：4．精讲点拨时量:8分钟左右例1．已知42ππα<<，试比较,tan,sin,cosαααα的大小.以合作互动方式一起完成体会三角函数线的用处和实质5．演练反馈时量：8分钟左右练习19P第1,2,3，4题当堂练习，巩固知识检验对知识、方法的掌握程度6．总结提高时量：4分钟左右学习小结（1)了解有向线段的概念。

（2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用.1．作业：比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1）sin15︒、tan15︒（2）'cos15018︒、cos121︒（3）5π、tan5π2．练习三角函数线的作图。

再次总结回忆本节课的重点内容概括、整合、拓展，体验收获,反思提高；课后预习与作业任务布置）六、提纲：风,没有衣裳；时间,没有居所;它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且,还有诗和远方的田野。

你赤手空拳来到人世间,为了心中的那片海不顾一切. 运动太多和太少，同样的损伤体力；饮食过多与过少，同样的损伤健康；唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康. 秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少年路岁月极美,在于它必然的流逝。

数学必修4《任意角的三角函数》成功教学案例高一数学组 吴俊威【教学目标】1.掌握任意角的三角函数的定义.2.理解终边相同的角的三角函数值相等.3.理解初中三角函数的定义与高中三角函数的定义的联系与区别。

【教学重点】任意角的三角函数的定义.【教学难点】任意角的三角函数的定义及其求值【教学过程】(一) 复习提问1.角的概念.2.终边相同的角.（︒⋅+=360k αβ)(Z k ∈）3.锐角三角函数的定义（初中时）： ABBC A ==斜边对边sin ， AB AC A ==斜边邻边cos ， AC BC A ==邻边对边tan . （二）讲授新课1.任意角的三角函数的定义问题（1）：如何将上述的三角形放入直角坐标系中？学生回答：将A ∠的顶点即点A 与坐标原点重合，将其始边AC 与坐标系中 轴的非负半轴重合.问题（2）：原有的线段AC 、BC 、AB 将如何改写？要求并引导学生将这三个距离用坐标x 和y 表示.此时可根据学生的情况采用分小组讨论的方法进行.学生根据现有的图形，将刚才的定义进行改写：x AC =，y BC =，r y x AB =+=22(勾股定理).把这三个式子带入原始的定义中去可以得到：sin y r α= , cos x r α= , tan y x α= .给学生两分钟时间记忆公式并由教师提问以加深记忆效果.问题（3）：若角的终边落在其他象限，如何求呢？当角的终边在第二、第三、第四象限的时候，其三个三角函数值的计算公式与上述的完全相同，但符号发生了变化：第一象限：0>x ，0>y ，0>r ；第二象限：0<x ，0>y ，0>r ；第三象限：0<x ，0<y ，0>r ；第四象限：0>x ，0<y ，0>r .可以看出：x 与y 是随着象限的变化而不同，但r 永远为正.问题（4）：若角的终边落坐标轴上，如何求呢？落在x 轴的正半轴上：x>0,y=0,r=x;落在y 轴的正半轴上：x=0,y>0,r=y;落在x 轴的负半轴上：x<0,y=0,r=-x;落在y 轴的负半轴上：x=0,y<0,r=-y;问题（5）：三角函数的定义sin α,cos α中定义域为R ；tan α中定义域为{α≠k π+2π,k ∈Z}。

第一课时任意角的三角函数的定义知识与技能：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

过程与方法：1理解并掌握任意角的三角函数的定义；2树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；3通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。

情感态度与价值观：1使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式2学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一教学难点：任意角三角函数的定义．一．复习引入思考：我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？——————————————第 1 页（共6页）————————————————————————————第 2 页 （共 6页）——————————————结论：在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦，余弦，正切依次为：,,a b asinA cosA tanA c c b ===锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数思考1:角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义. 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .则sin MP bOP rα==; cos OM aOP rα==; tan MP bOM aα==.思考2：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么?根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点P 的位置的改变而改变大小.我们可以将点P 取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP bOM aα==.单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,圆.上述P 点就是α的终边与单位圆的交点, 锐角α的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示.二新课讲授1.任意角的三角函数的定义结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.x 如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y,那么:(1)y叫做α的正弦(sine),记做sinα,即sin yα=；（2）x叫做α的余弦(cossine),记做cosα,即cos xα=；（3）yx叫做α的正切(tangent),记做tanα,即tan(0)yxxα=≠.思考3:在上述三角函数定义中,自变量是什么?对应关系有什么特点,函数值是什么?说明:(1)当()2k k Zπαπ=+∈时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tanyxα=无意义,除此情况外，对于确定的值α，上述三各值都是唯一确定的实数.(2)当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y，从而就必然能够最终算出三角函数值.(3)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.2.利用定义求角的三角函数值例1.求53π的正弦,余弦和正切值.解：在直角坐标系中，作53AOBπ∠=,AOB∠的终边与单位圆的交点坐标为1(,25515sin,tan32323πππ=-==思考：如果将53π变为76π呢？例2．已知角α的终边过点0(3,4)P--，求角α的正弦,余弦和正切值.思考：如何根据例题1解答——————————————第 3 页（共6页）————————————————————————————第 4 页 （共 6页）——————————————思考：一般的，设角a 终边上任意一点的坐标为（x,y ）,它与原点的距离为r,则sin ,cos ,tan y x ya a a r r x===，你能自己给出证明吗？ 思考 如果将题目中的坐标改为（-3a ，-4a ）,题目又应该怎么做？ 3．三角函数的定义域和函数值符号 探究：请根据上述任意角的三角函数定义，先将正弦，余弦和正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再将这三种函数的值再各象限的符号填入下表函 数定 义 域sin y α= R cos y α=Rtan y α={|,}2k k Z πααπ≠+∈例3, 求证：当下列不等式组成立时，角a 为第三象限角，反之也对 sin 0tan 0a a <⎧⎨>⎩证明：如果sin 0a <成立，那么角a 的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的非负半轴重合;如果tan 0a >，所以角a 的终边可能位于第一或第三象限 所以，角a 的终边只能位于第三象限，时第三象限角 反过来，请同学们自己证明——————————————第 5 页 （共 6页）——————————————变式训练（一）判断下列各式的符号 1. 00sin340cos 265⋅ 2. 23sin 4tan()4π⋅-（二）求函数tan y a =的定义域 4.诱导公式一由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式 sin(2)sin a k a π+⋅= cos(2)cos a k a π+⋅= tan(2)tan a k a π+⋅=利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为求0到2π的三角函数值 例4.确定下列三角函数值的符号： （1）0cos 250 （2）sin()4π-（3）0tan(672)- （4）tan3π变式训练（一）求下列各式的值 1. 2515costan()34ππ+- 2. 0sin 420cos 750sin(690)cos(660)+--三.归纳小结：1. 任意角的三角函数的定义2. 三角函数的定义域及三角函数值的符号3. 诱导公式四 布置作业课本习题1.2A 组第3,7,9题五 课后反思 六 板书设计——————————————第 6 页（共6页）——————————————。

任意角的三角函数教学设计案例
一、教学背景
1、教学内容：任意角的三角函数
2、教学对象：初中学生
3、知识背景：学生已经掌握了直角三角形的三角函数，余弦定理，余弦和正弦值的计算，化简三角函数，正弦定理，余切和正切值的计算等基础知识。

二、教学目标
本节课旨在让学生掌握任意角的三角函数，能
1、给定任意角的正弦值或余弦值，求该角的余弦值或正弦值。

2、给定任意角的余切值或正切值，求该角的正切值或余切值。

3、应用三角函数求解不同问题
三、教学重难点
1、重点：
(1)理解任意角的三角函数的概念；
(2)掌握任意角的三角函数的公式；
(3)学会任意角的三角函数的应用；
2、难点：
(1)对任意角的正弦值或余弦值的求解
(2)对任意角的余切值或正切值的求解
四、教学步骤
1、引入：
1）用图片让学生熟悉任意角三角函数的概念；
2）学生熟悉任意角三角函数的基本关系：
2、认识正弦函数函数：
1）学生间接求解任意角的正弦值和余弦值；
2）用中位线将任意角三角函数的求解过程分解成熟悉的数学问题；
3）指出角30°，45°，60°时正弦函数可以将其表示为定值；。

任意角的三角函数教学设计案例白涛)
一、教学内容
本次教学的内容为任意角的三角函数教学。

二、教学目标
1.学生能够认识任意角的三角函数，了解它们的定义及性质；
2.掌握任意角的三角函数的图形，理解三角函数的基本性质；
3.掌握任意角的三角函数的求值方法及其应用；
4.学会运用任意角的三角函数解决实际问题。

三、教学方法
1.提问讨论法：通过提出问题，引导学生思考，引出相关概念和性质，从而形成知识体系；
2.讲授法：介绍任意角的三角函数的定义及性质，引出任意角的三角
函数的图形，介绍任意角的三角函数的求值方法及其应用，最后讨论任意
角的三角函数解决实际问题；
3.练习法：根据讲解的知识，让学生独立完成相关习题，以检验学生
对任意角三角函数的理解程度；
4.教学反馈：教师可以收集学生课堂习题完成的情况和学生运用任意
角三角函数的能力，从而对学生的学习效果进行反馈。

四、教学步骤
1.引导学生了解任意角的三角函数
①教师提问：相信同学们在学习过的正弦、余弦、正切的基础上，大家都知道三角函数和什么有关系？
②学生讨论：让学生就三角函数和什么有关系进行讨论，然后引出任意角的三角函数及其定义。

2.介绍任意角的三角函数的定。