《任意角的三角函数》优质课教学设计

高中数学《任意角的三角函数》公开课优秀教学设计1、任意角的三角函数定义的建构；2、学生对三角函数值在各个象限符号的确定的理解；3、学生理解和掌握三角函数的周期性特点（公式一）.五、教学过程设计1、引入（5分钟）：通过回顾初中锐角三角函数的定义，引出任意角三角函数的定义的必要性和重要性.2、讲解（30分钟）：通过引入直角坐标系和单位圆，建立锐角终边上点的坐标表示锐角的三角函数值的概念，从而引导学生注意到在单位圆中，锐角和单位圆上的点有对应关系，进而形成任意角的三角函数的概念.同时，讲解三角函数值在各个象限内的符号确定方法和三角函数的周期性特点（公式一）.3、例题演练（15分钟）：通过例题演练，加强对概念的理解和应用.4、小组合作探究（20分钟）：将学生分成小组，让他们自主探究任意角正弦函数的定义，并类比得到余弦函数和正切函数的定义，培养学生类比分析的能力和团队合作的意识.5、总结（5分钟）：对本节课的重点难点进行总结，巩固学生的研究成果.六、教学反思本节课通过引入直角坐标系和单位圆，建立锐角终边上点的坐标表示锐角的三角函数值的概念，引导学生形成任意角的三角函数的概念，同时讲解了三角函数值在各个象限内的符号确定方法和三角函数的周期性特点（公式一）.通过例题演练和小组合作探究，加强了学生对概念的理解和应用，培养了学生类比分析和团队合作的能力.但是，本节课还可以在教学过程中加入更多的互动环节，激发学生的研究兴趣和积极性，提高教学效果.问题4我们已经知道了任意角的三角函数是以角的大小为自变量，以边的比值为函数值的函数，那么如何将任意角的三角函数与坐标系联系起来呢？设计意图：通过问题的提出，引导学生思考如何将任意角的三角函数与坐标系联系起来，从而引导学生进入到坐标法的研究中去.问题5我们已经知道了在坐标系中，点的坐标可以表示为有序数对(x,y)，那么如何利用坐标系表示三角形的三个顶点呢？设计意图：通过问题的提出，引导学生思考如何利用坐标系表示三角形的三个顶点，从而引导学生进一步探究三角函数在坐标系中的应用.三）总结归纳，拓展应用在学生通过问题的探究过程中，教师及时进行总结归纳，引导学生将所学知识进行归纳整理，从而加深学生对知识的理解和掌握.同时，教师还可以通过拓展应用，让学生将所学知识运用到实际问题中去，从而提高学生对知识的应用能力.问题4：我们应该先研究锐角还是任意角？我们将以锐角三角函数为本节课的“生长点”，这样的研究符合学生的认知规律，更能够激发学生的求知欲。

§4.2任意角的三角函数一、学习要求：理解任意角的三角函数的定义，熟记三角函数在各个象限内的符号，了解各三角函数线，能作出已知角在单位圆中的三角函数线。

二、学习重点、难点：重点：任意角三角函数的定义；三角函数在各个象限内的符号；求三角函数值。

难点：三角函数线三、学时安排：共2学时第一学时：学习任意角饿三角函数定义，和三角函数在各个象限的符号，并理解和运用。

第二学时：学习三角函数线，通过三角函数线求三角函数值（不编写学案）。

四、学习过程：第一学时（一）课前尝试1、学习方法：认真阅读课本P.165-167内容，注意理解三角函数的定义，符号法则的推出过程及作用。

2、尝试练习：（1）已知P（1,-2）是角α终边上一点，求α的三个三角函数值。

（2）确定下列三角函数值的符号：sin(740)-︒19 tan()6π-（二）课堂探究：1、探究问题在初中，我们学习了锐角的三角函数值，当角的概念推广以后，对于一个任意角的三角函数，应该如何求呢？比如：sin120︒ 7cos()6π tan300︒ 等等 2、知识链接：回忆： （1）Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A α∠=，则sin α= cos α= tan α=（2）把上述Rt ABC ∆放置在直角坐标中，如图所示：sin α= cos α= tan α=（3）任意角的三角函数定义：图4-2-1 图4-2-2 图4-2-3（4）三角函数在各个象限内的符号法则：y y yO x O x O xαsin αcos αtan图4-2-43、拓展练习：（1）P.166例2 P 点的坐标还可怎么取？（2）思考：为什么正弦函数、余弦函数的定义域为R ，正切函数的定义域不是R ？4、当堂训练：书本上P.167.课内练习1。

5、归纳总结：（三）课后拓展：1.已知角α终边经过点(3,4),(0)P t t t <，求sin ,cos ,tan ααα的值。

高中数学苏教版必修4第1章《1.2.1 任意角的三角函数》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
1、知识与技能:
理解并掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;根据任意角的三角函数的定义认识其定义域,能够判断三角函数值的符号.
2、过程与方法:
学生经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角函数定义,体验三角函数概念的形成、发展过程,领悟直角坐标系的工具功能,渗透函数思想和数形结合的思想方法.
3、情感态度价值观:
通过学生积极参与知识的“再创造”过程,从中感悟数学概念的严谨性与科学性.
2学情分析
对于学习任意角三角函数而言,学生的认知困难主要体现在用终边上点的坐标表示三角函数,把锐角三角函数线段比的感性认识上升到坐标化的理性高度,这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说比较困难.
3重点难点
1、教学重点
任意角的正弦、余弦、正切函数的定义.
2、教学难点
用角终边上点的坐标定义任意角的三角函数.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】一、设置情境引入新课
情景1.感受生活中周期性现象:周二的七天一循环、一岁一枯荣的小草、摩天轮等。

【教学设计】任意角的三角函数一、教材分析（一）教材地位和作用本节课是关于任意角的三角函数的概念课．在初中，学生已学过锐角三角函数，随着本章将角的概念推广，以及引入弧度制后，本节课自然地将锐角三角函数推广为任意角的三角函数．紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质.任意角三角函数的定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身.（二）教学目标1、知识与技能了解任意角三角函数定义产生的背景和应用，理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义,经历“单位圆法”定义三角函数的过程；会求特殊角的三角函数值，能够判断三角函数值的符号.让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想、数形结合思想,以及类比的学习方法，培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力.3、情感态度与价值观通过教师指导下的学生交流探索活动，使学生经历数学概念发生、发展、应用的过程，让学生感受从中感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性，感悟数学的本质，培养追求真理的精神.（三）教学重点和难点重点：任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.难点：任意角的三角函数概念的构建过程.二、教学方法（一）教法与学法问题探究式-----教师启发引导、学生合作探究.即采用教师组织引导，学生自主探究、动手实践、小组合作交流的学习方式，力求体现教师的设计者、组织者、引导者、合作者的作用，同时突出学生的主体地位．（二）教学准备多媒体、投影仪、三角板、圆规.三、教学过程四．设计思路1．突出单位圆的作用。

具体表现在三个方面：第一是将锐角三角函数坐标化，引入单位圆；第二是利用单位圆写出任意角的三角函数；第三是利用单位圆探究三角函数的定义域三角函数在各象限的符号和诱导公式一；第四是在练习1的解决过程中建立单位圆与一般定义的关系。

《任意角的三角函数（第一课时）》教学设计任意角的三角函数（1）一、教学内容分析:高一年《普通高中课程标准教科书·数学（必修4）》（人教版A版）1。

2.1任意角的三角函数第一课时。

本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。

在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用。

《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切)的定义.在本模块中,学生将通过实例学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。

二、学生学习情况分析我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程,以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣.我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味。

所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准）的教学设计就很值得思考探索。

如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中?《普通高中数学课程标准(实验）解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例,使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律,体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。

第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象（周期振荡现象），解决一些实际问题,这也是《课程标准》在三角函内容处理上的一个突出特点。

根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；其二:借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号。

任意角的三角函数教学设计
一、教学目标
1.熟练地掌握任意角的三角函数的计算方法；
2.能灵活运用三角函数解决实际问题；
3.通过学习任意角的三角函数，提高解决复杂问题的能力；
二、教学内容
1.回顾和总结二角函数
2.任意角的三角函数定义
3.任意角的三角函数的性质
4.任意角的三角函数的解
三、教学方法
1.情境引入法：本次教学以“实’’为主，由实际出发，以实例引出课题，抓住学生的学习兴趣，和学生一起思考，引导学生掌握该概念；
2.讲授方法：说、写、演示法结合，让学生能够在实践过程中理解概念；
3.讨论交流方法：引导学生独立思考、讨论，指导学生在讨论的过程中逐步总结解题方法；
4.教学游戏法：用上机游戏激发学生的学习热情，活跃课堂气氛；
5.竞赛方法：利用竞赛模式，引导学生互相学习，激发其学习的积极性，提高学习效率，增强学生的团队精神，练习和检验学习效果。

四、教学步骤
第一步：情境引入
情境介绍：在建筑施工中，需要运用到三角函数来计算建筑物的高度和宽度，因此，我们需要掌握任意角的三角函数的基本概念及计算方法，使用以解决实际问题。

第二步：任意角的三角函数的定义。

任意角的三角函数教学设计方案教学目标：1.理解任意角的概念并能够在坐标系中进行几何表示；2.掌握任意角的正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质；3.能够利用三角函数求解任意角的相关问题。

教学重点：1.任意角的几何表示；2.任意角的三角函数的定义和性质；3.利用三角函数求解任意角的相关问题。

教学难点：利用三角函数求解任意角的相关问题。

教学准备：1. PowerPoint 简介任意角的概念及其几何表示；2.板书或投影仪展示任意角的三角函数的定义和性质；3.齐全的教学用具和实验器材。

教学过程：一、导入（10分钟）1.师生互动，回顾直角三角函数的概念及其性质。

2.提问引导学生思考，是否只有直角才能使用三角函数。

二、任意角的概念（15分钟）1.展示幻灯片，介绍任意角的概念及其几何表示。

2.给出一些实际生活中的例子，引导学生理解任意角的概念。

三、任意角三角函数的定义及性质（30分钟）1.利用板书或投影仪，讲解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义和性质。

2.通过具体的例子，帮助学生理解三角函数的概念和性质。

3.引导学生探索正割、余割和余切的定义和性质。

四、三角函数的计算（30分钟）1.利用板书或投影仪，讲解如何计算任意角的三角函数值。

2.引导学生掌握计算任意角三角函数值的方法，并进行大量的练习。

五、应用题训练与解答（20分钟）1.给出一些应用题，如几何问题、物理问题等，要求学生运用所学的三角函数概念和性质解决问题。

2.学生独立或小组讨论解决问题，并逐一讲解解题思路和方法。

六、拓展（15分钟）1.引导学生思考其他三角函数的性质，如幅角、周期性等。

2.介绍其他与三角函数相关的数学概念，如向量、复数等，拓展学生的数学视野。

七、总结与反思（10分钟）1.打开幻灯片，总结本节课的主要内容。

2.学生回答检查问题，回顾本节课所学内容。

3.学生展示对本节课的理解和反思，提出问题并交流思考。

教学扩展：1.利用动画或实验演示来展示任意角的几何表示和三角函数的性质。

任意角的三角函数教学设计福建师大附中 张春晓一、教学内容解析三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在其它学科领域也有着广泛的应用.任意角的三角函数是函数的下位概念，它建立在《数学1》中函数概念的基础上，是对锐角三角函数概念的扩张.引入锐角三角函数的概念，目的是为了研究三角形中的边角关系，定义侧重于从几何的角度，在直角三角形中得到角与边的比值之间的确定关系.而引入任意角三角函数的概念，是为了研究周期变化现象，定义侧重于从代数的角度，以单位圆为工具，得到角和其终边与单位圆交点坐标的确定关系.在弧度制下，是数集到数集的映射.本节课是在学习完“任意角和弧度制”后的第一节新授课，教材中对任意角的三角函数的定义有两种——单位圆定义法和终边定义法.从研究任意角的三角函数作用看，单位圆定义法显得更为简单直观，为后续研究三角函数性质埋下伏笔；从数学史发展看，单位圆定义法对描述周期性变化规律模型起到推动作用.因此，本教学设计从学生已有的反映周期现象变化的日常经验出发，以数学实际应用为线索，完成任意角的三角函数的建构过程.二、教学目标知识与技能：理解任意角三角函数的定义，树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 过程与方法：经历单位圆定义法，培养合情猜测的能力，体会函数模型的作用.情感、态度与价值观：通过学生积极参与知识“发现”与“形成”的过程，加深对数学概念本质的理解，感悟数学概念的严谨性与科学性. 重点: 任意角三角函数的定义.难点：任意角三角函数概念的建构过程.三、教学流程1．复习通过对任意角的概念的学习，你认为它与初中角的概念有什么区别？ 设计意图 对任意角概念的理解是学习本节课的基础. 2．创设情境、引出主题问题：已知摩天轮的中心离地面的高度为0h ,它的直径为2r ，逆时针方向做匀速转动，转动一周需要360 秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置点A 出发，求相对于地面的高度h 与时间t 的函数关系式. 师：让我们一起分析一下，在整个运动过程中，高度h 师生：开始高度h 设计意图 的“周期性”特点.师：我们该用怎样的函数模型来刻画这种运动呢？让我们先从特殊情形入手.例如，过了20s 生：00sin 20h h r =+.师：你能对这个式子做一解释吗？生：0h 表示水平位置OA 距离地面的高度，0sin 20r 表示P 距离水平位置OA 的高度，即0|MP|h h =+.师：如果过了40s 呢？对上面式子做怎样修改？师生：将020换成040，即：00sin 40h h r =+.一般地，过了t 秒呢？猜想: 0sin h h r t =+师：这样猜想合情，但合理吗？随着摩天轮的转动，POA ∠从最初的锐角被推广到了任意角.对任意角α，sin α该如何定义呢？这就是这节课我们要学习的内容，任意角的三角函数.设计意图 为引出任意角的三角函数做准备，按照从特殊到一般地策略来探究，让学生感受到接下来学习 新知识的必要性. 3．概念生成师：当P 在水平但位置OA 上方时，0|MP|h h =+；当P 在水平位置OA 下方时，0-|MP|h h =，即：0|MP|h h =±与0sin h h r t =+相比较，要想两者和谐统一，必须有：sin |MP|r t =±，即：MPsin rt =±. 师生小结：当点P 在圆周上运动时，POA ∠随之变化，任一个POA ∠，对应着唯一点P ，进而有唯一||MP ，得到：MPsin rt =±. 师：不过这样表述|MP|±时，还是不够简洁,MP 何时取正值，何时取负值？能否用一个量去代替MP ±， 使上述表示形式更简单？它的绝对值与MP 的长度相等，符号在OA 上方表示正的，OA 下方表示负的. 生:引入直角坐标系，用点P 的纵坐标y 来替代||MP 或-||MP .设计意图 让学生感受到任意角三角函数定义中，坐标系的引入是自然的，有必要的.师：接下来，我们把角α放在平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为r 做圆，与角α的终边交于点P ， 假设点P 坐标为(,)x y ，利用我们刚才对上述问题的分析，这里，sin =y rα. 师：当α是锐角时，此规定与初中规定是否吻合？ 生：吻合，利用初中对锐角三角函数定义，|MP|sin =|OP|α，|MP|即y ，|OP|即r . 师：三角函数只有这一个吗？ 生：还有余弦，正切.师：你能仿照正弦给出它们的类似定义吗？ 生：cos x r α=，tan y xα= 师：从高中函数定义来看，他们是真正意义上的函数吗？生：是的，任意给定角α，其终边唯一确定，终边与圆的交点P 就唯一确定，比值随之唯一确定.师：比值会随着点P 在终边上的变化而变化吗？生：不会，由相似三角形知识，比值是唯一确定的. 师：很好，任意给定α→唯一确定比值.那如果α是任意角呢，我们不妨假设此时α终边落在第二象限，终边与圆的交点仍然是P ，坐标为(,)x y显然，我们已经不能把α放在一个锐角三角形内，但是我们同样可以发现，当α给定后，终边唯一确定， 其与圆的交点P 唯一确定，仍然符合函数的定义. 师：这种比值形式能进一步简化吗？生：另=1r ，则sin =y α，cos x α=，tan yxα= 师：此时点P 具有什么特点？ 生：点P 即是角终边与单位圆的交点. 师：它们是函数吗？生：是的，当α给定时，点P 即定，函数值唯一确定. 师：既然是函数，则有三要素，它们的定义域是什么？生：sin y α=，cos y α=的定义域均为R ，tan y α=的定义域是{|k +,k Z}2πααπ≠∈师：很好，我们就把上面这三个函数称为任意角的三角函数.其实，我们可以发现，任意角的三角函数是 以角作为自变量，以坐标或者坐标的比值为函数值的函数，即从角的集合到实数集的一种对应关系. 设计意图 这里采用概念同化的学习方式，让学生理解定义的合理性，理解概念的背景和生成过程. 4．概念运用例1.（口算）求下列三角函数值：(1)0sin 270; (2)cos3π; (3)3tan()4π-. 变式：若已知cos 1θ=-,你能写出θ的一个角吗？例2.角α的终边经过点1(,2P ，求它的三角函数值. 设计意图 让学生熟悉定义，从中概括出用定义解题的步骤.. 例3.设sin 0θ<且tan 0θ>,确定θ是第几象限的角.设计意图 通过定义的应用，让学生了解三种定义域及函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想. 例4.不求值，判断下列三角函数值的符号. (1) 0sin(1060)-; (2) 16cos()5π; (3)0tan556. 设计意图 引出公式一sin(2)sin k απα+⋅=，cos(2)cos k απα+⋅=，tan(2)tan k απα+⋅=，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想. 5．探究发现在如图所示的单位圆中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边为OP ，则有向线段,,,,,MP OM AT BS OT OS 分别称为角 的正弦线，余弦线，正切线，余切线，正割线和余割线.图中的正弦线MP ，余弦线OM 均为圆O 上的弦的一段.如MP 是圆O 的弦上'PP 的一段，OM 是圆O 的弦'AA 上的一段.图中正切线AT ,余切线BS 均为圆O 上的切线段.图中正割线OT ,余割线OS 均为圆O 上的割 线段.你能否据此给出三角函数名称的一种几何解释，并说明理由？设计意图 也为即将介绍“三角函数线”埋下伏笔. 6．小结反思通过本节课的学习，谈谈你对三角函数有哪些新的认识？在认知过程中有哪些体会？设计意图 让学生回顾所学内容，体会任意角三角函数是刻画圆周运动的重要数学模型，它实质上就是以 角为自变量，以角的终边与单位圆交点坐标或坐标比为函数值的函数.体会数形结合、化归等思想方法的 应用.。

“任意角的三角函数”教学设计一、教学目标1．理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义,经历“单位圆法”定义三角函数的过程；2．会用定义求特殊角的三角函数值,会求已知终边位置的角的三角函数值；3．会从函数三要素的角度认识三角函数的对应法则、自变量、函数值；4．体会定义三角函数过程中的数形结合、化归、数学模型等思想方法．二、教学重难点重点：理解任意角三角函数的定义。

难点：引导学生将任意角的三角函数的定义强化，帮助学生真正理解定义。

三、教学过程设计（一）教学情境复习锐角三角函数的定义问题1 对于三角函数我们并不陌生，初中学过锐角三角函数，你能说说它的自变量和对应关系各是什么吗？任意画一个锐角α，你能借助三角板，根据锐角三角函数的定义找出sinα的值吗？（设计意图：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义。

）(二) 认识任意角三角函数的定义问题2 你能借助象限角的概念，用直角坐标系中点的坐标表示锐角三角函数吗？即将三角函数值用终边上点的坐标表示出来。

，对于这些比值 ，我们以前称之为锐角α的正弦、余弦和正切，统称为锐角α的三角函数。

当角α确定后，比值xy r x r y ,,也是唯一确定的，而与P 点在角终边上的位置无关。

当α是锐角时，x y r x r y ,,（设计意图：比值“坐标化”，与点在终边上的位置无关。

）问题3 既然当角确定后，三角函数值与点P 在终边上的位置无关，那么你能否在终边上取适当的点，使三角函数的形式更简单？（设计意图：在求简意识的指引下，自然地引出单位圆，同时在对圆周运动寻求函数关系的求解的过程中体会它与锐角三角函数之间的内在联系。

）当α是锐角时，设P (x ,y )是α的终边与单位圆的交点，那么当r=1,则y 就称为锐角α的正弦，x 就称为锐角α的余弦， 就称为锐角α的正切. 记为：类似地，我们可以将锐角三角函数的定义推广到任意角的三角函数： 设α是一个任意角，它的终边与单位圆的交点为P (x ,y ),则y 叫做α的正弦,记作sin α = y .x 叫做α的余弦,记作c o s α =x ; 叫做α的正切,记作t a n α= 任意角α的正弦、余弦和正切,统称为任意角α的三角函数.x y xy x y ===αααtan ,cos ,sin xy问题4 你能说明上述定义符合函数定义的要求吗？ （设计意图：让学生用函数的三要素说明定义的合理性，以此进一步明确三角函数的对应法则、定义域和值域。