任意角的三角函数教案

1.2.1 任意角的三角函数

教学目标

1．知识与技能

(1)掌握任意角的三角函数的定义．

(2)已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值．

(3)记住三角函数的定义域．

2．过程与方法

(1)通过直角三角形中三角函数定义到单位圆中三角函数定义，最后到直角坐标系中一

般化的三角函数定义，培养学生发现数学规律的思维方法和能力．

(2)树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数．

(3)通过对定义域介绍，提高学生分析、探究、解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观

(1)使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的

一种联系方式．

(2)学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神．

重点、难点

教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号)．

教学难点：利用角的终边上点的坐标刻画三角函数，三角函数的符号以及三角函数的几何意义．

授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学.

新知探究

一、三角函数的定义：

提出问题

问题①:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗?

问题②:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?

学习了弧度制,知道了角的集合与实数集是一一对应的,在此基础上,我们来研究任意角的三角函数.

图1

如图1,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离22b a >0.过P 作x 轴的垂线,垂足为M,则线段OM 的长度为a,线段MP 的长度为b.

根据初中学过的三角函数定义,我们有

sinα=OP MP =r b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OP MP =a

b . 讨论结果:

①锐角三角函数是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数.

②sinα=OP MP =r

b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OM MP =a b . 提出问题

问题①:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么?

问题②:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化?

最后可以发现,由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变.

过图形教师引导学生进行对比,学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化.

此时sinα=OP

MP =b,cosα=OP OM =a,tanα=OM MP =a b . 在引进弧度制时我们看到,在半径为单位长度的圆中,角α的弧度数的绝对值等于圆心角α所对的弧长(符号由角α的终边的旋转方向决定).在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.这样,上述P 点就是α的终边与单位圆的交点.锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示.

同样地,我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.

图2

如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:

(1)y 叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y;

(2)x 叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x;

(3)x y 叫做α的正切,记作tanα,即tanα=x

y (x≠0). 所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.

值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.(2)sinα不是sin 与α的乘积,而是一个比值;三角函数的记号是一个整体,离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的.

二、例题讲解

例1、求35π的正弦、余弦和正切值.

图3 解:在平面直角坐标系中,作∠AOB=35π,如图3. 易知∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为(

21,23-), 所以sin 35π=23-,cos 35π=21,tan 3

5π=3-. 例2、已知角α的终边经过点P 0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值.

解:由已知,可得OP 0=2

2)4()3(-+-=5.

图4

如图4,设角α的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点P 、P 0作x 轴的垂线MP 、M 0P 0, 则|M 0P 0|=4,|MP|=-y,|OM 0|=3，|OM|=-x,△OMP∽△OM 0P 0,

于是sinα=y=1y =||||OP MP -=|

|||000OP P M -=54-; cosα=x=1x =||||OP OM -=|

|||00OP OM -=53-; tanα=x y =a cos sin =3

4. 变式训练1:已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值； 解： r ＝－4a 2＋3a 2＝5|a |.

若a ＞0，则r ＝5a ，α是第二象限角，则

sin α＝y r ＝3a 5a ＝35

，

cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45

， tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34

， 若a ＜0，则r ＝－5a ，α是第四象限角，则

sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34

. 变式训练2: 已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：因为角α的终边在直线y ＝3x 上，

所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点．

则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0)．

若a ＞0，则α为第一象限角，r ＝2a ，所以

sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a 2a ＝12，tan α＝3a a

＝ 3. 若a ＜0，则α为第三象限角，r ＝－2a ，所以sin α＝3a －2a

＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3a a

＝ 3. 三、巩固练习P15第1,2题

四、内容小结

1.本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?

2.任意角的三角函数的定义。

3.会求任意角的三角函数

五、作业布置

作业：P20习题1.2 A 组第2题．

六、板书设计

七、教学反思

1.初中对三角函数的定义，也能很好引入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，同时能够揭示函数的本质。

2.通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在情境中体验数学与自然和社会的联系、新旧知识的内在联系，在体验中领悟数学的价值，使学生在理解数学的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。