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第六章流体动力学的积分方程分析

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流体动力学基本方程

流体动力学基本方程
IV.本构方程 数学预备： 记，根据二阶张量定义，将坐标系旋转，从原坐标系到旋转后的坐标 系，二阶张量的张量元满足变换： ， 其中变换矩阵。 逆变换：。 本构方程的导出 1应力张量分解： ——偏应力张量，代表运动流体的应力张量与各向同性应力张量（记 为）的差异。记作；是对称二阶张量。 2线性假设（Newton粘性定律的推广，对于剪切流动，） 偏应力产生于速度场的不均匀性。 线性假设：假设偏应力张量各分量与速度梯度张量的各分量成线性关 系： 。 是四阶张量，满足变换关系。 是由81个系数组成的一组系数，这组系数确定了偏应力张量各张量元与 速度梯度张量各张量元之间的关系，由于偏应力张量和速度梯度张量都 满足二阶张量定义，于是有 可知。数学上定义，由81个元素组成的量，若其元素满足该变换的则称 之为四阶张量。 3各向同性流体及其四阶张量的表达式 3－1各向同性流体：若在原坐标系和旋转后的坐标系中偏应力张量分别 表示为和，若则应当有，于是要求。 ************************************************************************
例题1求流体作用于闸门上的力。（设渠宽） 解：取控制体如图所示，根据假定只需讨论动量方程的方向分量方程。
闸门受合力＝ 代入动量方程方程得 故 注：求时可直接设。 注 微分形式的动量定理也可由积分形式的动量定理导出，推导过程如 下： 其中，因而得到
。 上式表明：流体团总动量的变化率=组成该流体团的流体质点的动量变 化率之和。 另外，， 综上可得，再考虑到系统大小形状的任意性可得。 尽管得到了流动的动量方程，但是不像经典力学有了动量定理就可以求 解质点运动一样，流体运动的动量方程中应力张量等于什么我们还不知 道，并且速度的随体导数同时包含空间导数和时间导数，使得我们不仅 需要初始条件，还需要边界条件才能确定一个具体流动。 3兰姆—葛罗米柯形式的动量方程

流体力学ns方程怎么积分_概述说明以及解释

流体力学ns方程怎么积分_概述说明以及解释

流体力学ns方程怎么积分概述说明以及解释1. 引言1.1 概述流体力学是研究流体运动和力学行为的学科，广泛应用于各个领域，包括航空航天、汽车工程、海洋工程等。

在流体力学中，Navier-Stokes（NS）方程被认为是描述流体的基本方程之一。

NS方程描述了流体在三维空间中的质量守恒、动量守恒以及能量守恒。

由于NS方程的复杂性和非线性特性，解析求解NS方程变得十分困难，因此需要借助数值积分方法进行求解。

1.2 文章结构本文将以“流体力学NS方程怎么积分”为主题，探讨NS方程的积分方法。

文章结构如下：引言：介绍研究背景、文章概述以及目的。

流体力学NS方程概述：详细介绍什么是流体力学NS方程以及其基本形式和含义，阐述其应用范围和重要性。

NS方程积分方法总览：概述基本求解方法和数值模拟技术，并介绍常见的NS 方程数值求解算法和逼近方法。

NS方程积分详解及其实践应用：详细说明将NS方程离散化为有限差分形式的步骤和原理，讨论不同类型流体问题的积分方法，并介绍已有工具包和软件在流体力学中使用NS方程进行模拟研究的案例。

结论与展望：总结已经阐述过的内容，展望NS方程积分方法的发展趋势，并讨论对NS方程积分的理解以及未来可能的应用前景。

1.3 目的本文旨在概述并解释流体力学中NS方程的积分方法。

通过对基本求解方法、数值模拟技术以及常见数值求解算法和逼近方法等进行总览和详解，希望读者可以全面了解NS方程积分的原理和实践应用。

同时，通过介绍已有工具包和软件在流体力学研究中使用NS方程进行模拟的案例，展示该方法在实际问题中的应用价值。

最后，我们将对NS方程积分方法未来发展趋势进行展望，并总结对于NS方程积分的理解与未来可能的应用前景。

2. 流体力学NS方程概述:2.1 什么是流体力学NS方程流体力学Navier-Stokes（NS）方程是描述流体运动的基本方程之一。

它由欧洲科学家Claude-Louis Navier和George Gabriel Stokes提出，并以他们的名字命名。

船舶流体力学第六章 势流理论

船舶流体力学第六章 势流理论

= Vx
- iVy
= V
\W
(z)=

dW dz
dz
=
V dz
=
V
z
6.5.2 点源
Q向四周流出 +
Q从四周流入 -
Vq =0
Q
Vr = 2pr
pqp qp 公式6.4.6
dw dz
=（Vr
－
iV q
） e-iq
d w = ( Q - i 0 ) · e - i = Q = Q d z 2 r 2 r e i 2 z
=0
\ V 2 +-U = C 2
（关于流线的常数）
条件 3）无旋 柯西 —— 拉格朗日积分
V=(f)=f
t t
t
V t +V22
+ -U+VV=0
\ft +V22+ -U=0
f \
ft +V22
+ -U
6.2 不可压势流的基本方程和边界条件
6.2.1 ．不可压势流的质量守恒方程
V x
+ Vy
+ Vz
=0
x y z
f
Vx = x \
2f 2f 2f
x2 + y 2 + z 2 = 0
2f = 0 （拉普拉斯算子 2 ） 调和函数叠加性
6.2.2 ．拉普拉斯 边界条件 速度场 压力分布 流体对固体的力
在空间中不变，只是时间的函数
V 2 + - U + = C ( t )
2 t
4）定常 则 V 2 +- U = C 在全部空间适用
2
6.2.3 边界条件和解法概述

工程流体力学课件 第06章 流体流动微分方程 - 4

工程流体力学课件 第06章 流体流动微分方程 - 4
② μ和ρ随温度变化不大时，温度对流场(速度和压力)的影响很小，这
时 可以不考虑温度的影响，因此也不需要考虑能量方程。
③ 能量方程的微分形式，其推导过程与连续性方程和动量方程的推导 微分相方似程，方方法程：的结构也相似，数学上并没有太多的特殊性。 流体力学中，微分方法和积分方法都是为了研究流体的质量守恒、动量 守恒和能量守恒。积分法研究系统整体，揭示总体性能；微分法研究空 间任一点和包含该点的流体微元，揭示三维流场的空间分布细节。两种 分析方法相辅相成，都必须要学、必须学好。 微元体分析方法的核心：将雷诺输运定理应用于流体微元控制体。
t
z方向：vz dxdydz
t
6.2.3 以应力表示的运动方程
分别将微元控制体中x-,y-和z-方向的动量各对应项代入雷诺 输运定理，可得三个方向的运动微分方程。
X－：
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
xx
x
yx
y
zx
z
Y－：
vy t
vx
vy x
vy
vy y
、vz z
)和体变形率(
vx x
vy y
vz z
)
正应力包含两部分：
v
①流体静压产生的正应力(压应力-p);
②流体运动变形产生的附加黏性正应力。与三个方向的线变形率
以及体变形率有关。这种关系类似于固体中的虎克定律。
xx
p
2
vx x
2 3
vx x
vy y
vz z
xx p xx
xx 附加黏性正应力(或附加正应力)
连续性方程变为：
t
(vx )

第6章层流的解析解与近似解

第6章层流的解析解与近似解

第6章 层流的解析‎解与近似解‎粘性流动基‎本方程组的‎解析解有着‎它固有的数‎学困难，真正能做解‎析解的流动‎为数不多，而且都是比‎较简单的流‎动。

本章将介绍‎几种粘性流‎动的解析解‎，有助于我们‎开阔思路，认识多种实‎际流动的性‎质。

首先先介绍‎一下粘性流‎研究的意义‎和研究的特‎点以及粘性‎流动的基本‎方程组，接着介绍一‎些解析解。

在介绍解析‎解时先考虑‎常特性不可‎压缩流体，通过基本方‎程，解得流场的‎速度和温度‎分布，最后求出摩‎擦阻力系数‎和热交换系‎数。

为了认识可‎压缩流动的‎特性，介绍两种简‎单的可压缩‎流动的解析‎解。

另外本章只‎限于雷诺数‎不大的流动‎。

6.1 粘性流研究‎的意义一切流体都‎具有粘性，但是人类最‎经常接触的‎流体，如水和空气‎其粘性都很‎小，要考虑粘性‎的影响就会‎使数学问题‎变得非常复‎杂；另外，对于这些粘‎性小的流体‎，忽略其粘性‎所得到的结‎果又能在一‎定程度上符‎合实际情况‎，因此，理想无粘性‎流体理论最‎先得到了发‎展，它比粘性流‎体理论要成‎熟得多。

应当指出，虽然理想流‎体理论取得‎了重大的成‎就，但在某些方‎面却有不可‎逾越的先天‎性缺陷。

例如，它不能预估‎管道流动的‎压力损失，也不能计算‎在流体中运‎动的物体所‎受到的阻力‎。

后一问题与‎著名的达朗‎伯疑题有关‎。

达朗伯对理‎想流体进行‎了严谨的研‎究后得出了‎如下结论：当任意形状‎的固体在静‎止的充满无‎限空间的无‎粘性流体中‎作匀速直线‎运动，它不承受沿‎运动方向的‎作用力，即物体所受‎阻力为零。

在他所做假‎设的前提下‎，这一结论的‎逻辑推理是‎完全正确的‎，但它却与实‎际完全不符‎，因为所有的‎物体在流动‎中运动时都‎受到阻力作‎用。

这从反面说‎明了考虑粘‎性的必要性‎。

例1 圆柱绕流对于理想不‎可压缩流体‎，()22214sin s p p p C U θρ∞∞-==- 其中 p ∞——远前方静压‎，ρ——流体密度。

流体动力学积分形式的基本方程

流体动力学积分形式的基本方程
τ0
A0
即：
D ∫∫∫ ρVdτ 0 = ∫∫∫ ρ f dτ 0 + ∫∫ pn dA0 Dt τ 0 A0 τ0
n 作用面法线方向而非 pn 的方向
三、动量矩方程
DM 0 D = ∫∫∫ r × ρVdτ 0 = ∑ r × F Dt Dt τ 0 = ∫∫∫ ρ ( r × f )dτ 0 + ∫∫ ( r × pn )dA0
A
D ∂φ ∫∫∫) φ dτ 0 ( t ) = ∫∫∫ ∂t dτ + Dt τ 0 ( t τ
∫∫ ( V • n )φ dA − − − − − (1)
A
——输运公式，即系统导数的欧拉表达式
∇ • (φ V ) = φ∇ • V + V∇ • φ
由质点导数
Dφ ∂φ = + V∇ • φ Dt ∂t
τ0
A0
M 0 = ∫∫∫ ( r × V ) dτ 0
τ0
四、能量方程
⎛ V2 ⎞ DE D Q +W = = ∫∫∫ ρ ⎜ e + 2 ⎟ dτ 0 Dt Dt τ 0 ⎝ ⎠
●热传导
n qλ = qin q n 方向分量 q = − λ∆T ， 为外法 在
Q
q T ∆T 线方向， 由外向内为负， 外高里低 ， 指向温增 ● 热辐射 总辐射热 ∫∫∫ qR ρdτ 0
1 2 3
间的变化率
• 质点导数强调某一流体质点的物理量对时间 的变化率 • 以直角坐标为例：
已知速度场，t时刻空间点 点 V = V ( x, y, z, t )，经过 ∆t ，
p
p ( x, y , z )
上的流体质
p → p′( x + u ∆t , y + v∆t , z + w∆t , t )

西安交通大学-2019年-硕士研究生 流体力学考试大纲

西安交通大学-2019年-硕士研究生 流体力学考试大纲

“流体力学”考试大纲
英文名称：Fluid Mechanics
课程编号：ENPO300403
使用教材及参考书：
教材
[1] 张鸣远.流体力学.北京：高等教育出版社，2010.
参考书
[1] 景思睿，张鸣远，流体力学，西安交通大学出版社，2001.
[2] 孔珑，流体力学（ⅠⅡ），高等教育出版社，2003.
一、考试内容及要求
流体及其主要物理性质
1、内容：绪论；流体及连续介质假设；密度及可压缩性；流体粘性；作用在流体上的力。

2、要求:了解流体力学历史，进展，应用领域、研究方法和工程背景；正确理解流体和连续介质假设、流体的粘性及可压缩性等相关概念；掌握牛顿内摩擦定律，密度、体积弹性模量、表面力和质量力等的有关计算。

流体静力学
1、内容：流体静压强及特性；流体平衡微分方程；重力场静止流体压强分布；压强测量；相对静止流体内压强分布；流体静压力。

2、要求：掌握流体静压强特性、静止流体平衡微分方程；掌握重力。

6第六章伯努利方程及其应用

6第六章伯努利方程及其应用
由兰姆方程(引入理想流体假设1)：
0 ，质量力有势(3) f U ，兰姆方程为： 假设流动为定常(2) t
左边是标量场的梯度，标量梯度在某一方向的 投影，等于标量在该方向的方向导数。等式反 映了四个向量的平衡关系，他们投影到某一方 向仍然是平衡的。在流场中做任意曲线L，将上式在曲线的微元弧线 (切线)上投影，有： V2 1 p U ( ) (V )l l 2 l l
第一节 伯努利定理
在流体静力学中，我们曾引入过压力函数的概念，现在在推导伯 努利方程之前，我们先对压力函数的性质在作进一步的分析。
一、压力函数分析
在流体静力学中，对于密度仅是压力 的函数的正压流体，引入了压力函数：
我们考察流场中的任意一条曲线L，规定线上的某点o为原点，因 此曲线L上的任意一点能用该点到o弧长 l 表示,而dl 表示曲线弧的微 元长度。显然，在曲线L上，密度和压力是弧长 l 的函数，并且在不 同的曲线L上，其函数也是不同的，这样速度和压力就可表示为：
第二节
伯努利方程的应用
在应用伯努利方程时，要注意它的应用条件，在确认求解问题符 合方程的应用条件后，关键就是要正确的选取计算点或计算截面，即 公式中的的①、②位置，选取的一般原则：１、包含未知数的截面； ２、包含已知数最多的截面。必要时，伯努利方程可以与连续方程联 立，以求解两个未知数。
一、容器小孔出流问题
常见的正压场有：
1、不可压缩流场：
2、完全气体等温流场：
3、完全气体的绝热等熵流场 ：
在现实问题中最常见的是第一种和第三种流场。比如对于液体，一般 就可以视为不可压缩流场。对于气体，当流速较低时，今后会讨论到， 也可以视为不可压缩流场；而当流速较高时，由于其导热系数小，又 可以视为绝热流场。

第六章理想流体不可压缩流体的定常流动

第六章理想流体不可压缩流体的定常流动
一、流体运动的基本方程回顾 动量方程： 粘性、不可压缩流体 N-S方程
（粘性系数为常数）
Du 1 p 2u 2u 2u gx Dt x x 2 y 2 z 2
Dv 1 p 2v 2v 2v gy 2 2 2 Dt y x y z
流动条件，截面为A 1、A 2，平均速度为V 1、
V 2，流体密度为ρ. 由一维平均流动伯努利方程
V12 p1 V22 p gz1 gz 2 2 2 2
移项可得
(a)
V22 V12 p p ( gz1 1 ) ( gz 2 2 ) 2
(b)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程 A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U 形管内静止流体一样，可得
讨论： 1、上式为非定常不可压缩理想流体欧拉运动微分方程。 DV 0 上述方程变成流体静力学中的欧拉平衡微分方程。 2、 Dt 1 g p 0 V 0 此时的理想流体欧拉运动微分方程变成定常不可压缩理 3、 t 想流体欧拉运动微分方程。 1 V V g p
基本方程组：
动量方程：
u u u 1 u v fx t x y v v v 1 u v fy t x y
p x p y
V 1 V V g p t
定常
连续性方程：
V 不考虑重力 0 t u v w D 0 Dt x y z u v 0 x y v u 0 x y
ρ,U 形管中液体密度ρm .
求：
用液位差Δh表示流速v
毕托测速管 解： 设流动符合不可压缩无粘性流体 定常流动条件。 AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿

第六章流体动力学积分形式基本方程

第六章流体动力学积分形式基本方程

的热量以及外力所作的功的总和等于单位时间内控制体内能量的增加。
其数学表达式为
AqdA
qR d
A pn wdA
F wd
w
A
n e
w2 2
dA
t
e
w2 2
d
（6.8）
（6.8）式称为积分形式的能量方程。
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第四节 能量方程
二、能量方程的简化
知，单位时间内流入控制体的动量与作用于控制面及控制体上外力之和
等于单位时间内控制体内动量的增加。
一、静止控制体的动量方程
作用于控制体上的力为
Fd
作用于控制面上的力为
A pndA
单位时间内控制体内动量的增量为
t
wd
单位时间内通过控制面流入控制体的动量为
A w nwdA
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
1 2 ，A1 A2 ， gd 0 ， p1
F
Ab
pndA
，这里Ab为弯管壁面
w1
面积，代入（6.5）式得
y
p2
w2
Fy
Fx
o
x
图6.2 流体流过等截面弯管
p1A1i p2 A2 i cos jsin F w12 A1i w22 A2 i cos jsin
又由连续性方程（6.3）可知
面的总能量的代数和为零。重力场中U gz 称为单位质量的位能。
对于细小流管，其截面上参数可认为是均匀的，于是由（6.9）式可得到
e w2 p U const
（6.10）
2
（6.10）式可理解为定常绝热理想流体质量力有势条件下，沿流线单 位质量流体的总能量保持不变。这就是伯努利方程。

流体动力学基本方程

流体动力学基本方程

u
（ 2 p2 p1 )


2 g ( 1 ) h

皮托管测速计
§4.3 实际流体流束的伯努利方程
实际流体具有粘性，在流动过程中有一部分机械能将不可逆地转 化为热能耗散。根据能量守恒原理，实际流体流束的伯努利方程为
整理： 1 p du x fx x dt
1 p du y fy y dt
同理：
1 p du z fZ z dt
1 p fx x 1 p fy y f 1 p Z z
§4.4 理想流体的运动学微分方程的伯努利积分
du x 1 p f x x dt du y 1 p fy y dt 1 p du z fZ z dt
沿流线积分，将流线上的dx、dy、dz分别乘理想流体运动微分方程的三个分式，然后相加得：
1 p 1 p f x dxdydz ( p dx)dydz ( p dx)dydz dxdydz du x 2 x 2 x dt
1 p 1 p f x dxdydz ( p dx)dydz ( p dx)dydz dxdydz du x 2 x 2 x dt
1 1 2 2 2 2 d u x u y uz d ( u ) 2 2


du y 1 p p p du x du z f x dx f y dy f z dz dx dy dz dx dy dz x y z dt dt dt
u x u y u z 0 x y z
② 对不可压缩均质流体，ρ为常数，上式可简化为
u x u y u z 0 x y z

流体力学第六章边界层理论(附面层理论)

流体力学第六章边界层理论(附面层理论)
减阻和节能
通过减小边界层的阻力，降低流体机械的能耗，提高运行效率。
流动分离控制
控制边界层的流动分离，防止流体机械中的流动失稳和振动，提 高设备稳定性。
流体动力学中的边界层效应
流动特性的影响
边界层内的流动特性对整体流动行为产生重要影响，如湍流、分离 流等。
流动阻力
边界层内的流动阻力决定了流体动力学的性能，如流体阻力、升力 等。
在推导过程中，需要考虑流体与固体表面之间的相互作用力，如粘性力和压力梯 度等，以及流体内部的动量传递和能量传递过程。
边界层方程的求解方法
边界层方程是一个复杂的偏微分方程，求解难度较大。常用的求解方法包括分离变量法、积分变换法、有限差分法和有限元 法等。
分离变量法是将多维问题简化为多个一维问题，通过求解一维问题得到原问题的解。积分变换法是通过积分变换将偏微分方 程转化为常微分方程，从而简化求解过程。有限差分法和有限元法则是将偏微分方程离散化，通过求解离散化的方程组得到 原问题的近似解。
边界层内的流动可以从层流转变为湍流，或从湍 流转为层流。
边界层内的流动状态
层流边界层
流速在物体表面附近呈现平滑变化的流动状态。
湍流边界层
流速在物体表面附近呈现不规则变化的流动状态。
混合流动状态
边界层内的流动状态可以是层流和湍流的混合状态。
03
边界层方程与求解方法
边界层方程的推导
边界层方程是流体力学中的重要方程，用于描述流体在固体表面附近的流动行为 。其推导基于Navier-Stokes方程，通过引入边界层假设，即认为在靠近固体表 面的薄层内，流体的速度梯度变化剧烈，而远离固体表面的流体则可以视为均匀 流动。
展望
随着科技的不断进步和研究的深入，边界层理论在未来 有望取得以下突破。首先，随着计算能力的提升，更加 精确和可靠的数值模拟方法将得到发展，这有助于更好 地理解和预测复杂流动现象。其次，随着实验技术的进 步，将能够获得更高精度的实验数据，为理论模型的发 展提供有力支持。最后，随着多学科交叉研究的深入， 将能够从不同角度全面揭示流体流动的内在机制，推动 流体力学理论的进一步发展。

流体力学第六章边界层流动5

流体力学第六章边界层流动5
2018/10/31 10
层流与紊流、雷诺数
在不同的初始和边界条件下，粘性流体质点的运动会出现两种不同
的运动状态，一种是所有流体质点作定向有规则的运动，另一种是
作无规则不定向的混杂运动。前者称为层流状态，后者称为湍流状 态（别称紊流状态）。首先是英国物理学家雷诺在1883年用实验证
明了两种流态的存在，确定了流态的判别方法。
u???????????????????????用量纲分析的方程分析法可得一般二维流动无量纲方程组用量纲分析的方程分析法可得一般二维流动无量纲方程组621平板层流边界层微分方程精确解0??????yuxuyxre12222yuxuxpeuyuuxuuxxxyxx???????????????1121?11?11?11???2?2015112924忽略第二方程最后一项第三方程除压强项的其他项
vc d Re c
Re c
vc d

Re 2320时，管中是层 流； Re 2320时，管中是紊 流。
2018/10/31 13
根据实验结果可知，同管流一样，边界层内也存在着层流和紊流两种 流动状态，若全部边界层内部都是层流，称为层流边界层;若全部边界层 内部都是湍流，称为湍流边界层；若在边界层起始部分内是层流，而在 其余部分内是紊流，称为混合边界层。如图所示，在层流变为紊流之间 有一过渡区。在紊流边界层内紧靠壁面处也有一层极薄的层流底层。
dp dU U dx dx
②第二式右边得到简化（x方向二阶偏导数消失），有利于数值计算。 利用该方程就可计算壁切应力和流动阻力，具有里程碑式意义。
2018/10/31 25
布拉修斯利用相似性解法，引入无量纲坐标：
Rex
*
*

流体动力学中的质量守恒定律解析

流体动力学中的质量守恒定律解析

流体动力学中的质量守恒定律解析质量守恒定律是流体动力学中的基本原理之一，它描述了在流体运动过程中质量的守恒。

从一个宏观角度来看，质量守恒定律可以通过对流体流动的控制方程进行推导得到。

本文将对流体动力学中的质量守恒定律进行解析，探讨其物理背景和数学表达。

1. 质量守恒定律的物理背景质量守恒定律是基于质量守恒原理而得出的。

质量守恒原理指出，任何封闭系统中的质量不能产生或消失，只能在系统内部进行转移和转化。

在流体动力学中，流体是指气体或液体这样的可以流动的物质。

当流体在空间中发生运动时，质量守恒定律描述了流体在运动过程中质量的变化情况。

2. 质量守恒定律的数学表达质量守恒定律可以通过对流体流动进行控制方程的推导得到。

在流体动力学中，常用的控制方程是连续性方程，它描述了流体的质量守恒。

对于一个定常流动的不可压缩流体，连续性方程可以表示为：∇·v = 0其中，∇·v表示速度矢量v的散度，等于速度场在空间中的发散。

这个方程表达了流体质量在空间中的守恒，即流体的流入和流出必须平衡。

3. 质量守恒定律的解析方法质量守恒定律的解析方法主要包括利用控制方程的积分形式进行求解和应用质量守恒定律进行实际问题的分析。

a. 利用控制方程的积分形式进行求解控制方程的积分形式可以用来求解流体在空间中不同位置的质量变化情况。

通过对控制方程进行积分操作，可以得到质量守恒定律在不同条件下的数值解。

b. 应用质量守恒定律进行实际问题的分析质量守恒定律可以应用于实际问题的分析，例如在工程领域中，可以用质量守恒定律来研究流体在管道中的流动和混合过程，分析流体的流速、浓度等变化情况。

在天气预报和气象学中，质量守恒定律也被用来分析大气中的空气质量的变化，探讨大气运动和污染扩散等问题。

4. 质量守恒定律的应用质量守恒定律在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。

它是流体力学研究的基本原理之一，也是建立各种流体动力学模型和计算方法的基础。

流体动力学动量方程及伯努利方程一流体力学

流体动力学动量方程及伯努利方程一流体力学

R
2
d2
p1
R
1
2
R Q(v3x v2x ) Q(0 v2x )
1000( 25 )( 4 25 / 3600 ) 3600 3.14 0.022 4
180N
3 v3 3 R′
v2
3
3
v3
对平板冲击力 F R 180N
总流伯努利方程
z1
p1
1V12
2g
z2
p2
2V2 2
2g
hl
总流伯努利方程意义与微小流束方程相 同，式中以均速替代实际流速，用系数修正
§5.6 动量方程
讨论运动的流体与固体边界的相互作用力。
质点系动量定理
dM dt
d ( mu)
dt
F
概念：
控制体
控制面
流体系统
一、定常不可压缩流体动量方程
p1
d12
4
0
Q(v2 x
v1x) )
Q2
d 2 2
[1 ( d2 )2 ]
4
d1
R
1000( 25 )2 3600
4 0.02 2
[1
( 0.02 ) 2 0.05
]
2.38
105
0.052 4
338N 喷嘴接头处拉力 F R 338N
取2-2,3-3面及射流表面 为控制面
d1
1
v1
2g
z p — 测压管水头；
单位重量流体 具有的比势能
z p u2 H
2g
H—总水头；
单位重量流体的总机械能，总比能
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g

流体动量方程

流体动量方程

流体动量方程流体动量方程是流体力学中一个重要的方程，它描述了流体的动量。

而言之，流体动量方程是一个描述物理系统的微分方程，它表示了任意一点的流体属性（如流速、密度或压力）是如何随着时间而变化的。

体动量方程可以用来研究多种类的流体从气体到液体，以及更加复杂的物质。

它可以用来模拟复杂的气体行为，探究不同流体类型之间的不同物理现象。

流体动量方程的公式表达式可以写作：ρU/t+/xj (ρUjUi)+/x(p+ρV2/2)=ρgj其中，ρ表示流体的密度，Ui表示流体的流速，p表示流体的压力，V表示流体的阻力，g表示重力加速度，t表示时间。

流体动量方程的核心思想是结合流体力学基本定律，即“流体总动量守恒定律”、“流体压力守恒定律”、“流体动量守恒定律”和“流体密度守恒定律”来推导出关于流体动量变化的微分方程。

也就是说，流体动量方程可以用来分析流体中流体动量单位时间的变化，从而解决流体动力学问题。

流体动量方程的应用非常广泛，它可以用来模拟流体的流速，从而推出其它的物理量，比如压力、密度和温度变化。

例如，它可以用来研究气体流动的特点，如气体传存量积分方程，以及时变气体紊流方程；它还可以用来计算液体流速的变化，比如计算水力学中流体的流速、压力和能量；它也可以用来模拟风力奇变的变化，比如计算风力的大小、方向和速度。

此外，流体动量方程在现代航空航天领域也有广泛的应用。

从信息传输到宇宙探测，流体动力学的关键概念及方程都发挥着重要的作用，可以帮助我们更好地研究太空物理现象，模拟航天器的飞行运动和研究宇宙中各种流体行为。

总之，流体动量方程是流体力学中一个重要的方程，它揭示了流体在时空变化中的动量变化规律，可以用来研究多种类的流体，而且在现代航空航天、气体动力学和宇宙探测等领域也有广泛的应用。

流体的平衡微分方程及其积分

流体的平衡微分方程及其积分

流体的平衡微分方程及其积分一、流体平衡微分方程——欧拉平衡方程如图所示，在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为d x ，d y ，d z ，设中心点的压强为p (x,y,z )=p ，对其进行受力分析：根据平衡条件，在x 方向有0F x＝∑，即： 0zX y z y xp 21z y ）21＝＋）＋－（（d dxd d d dx p d d dx x p p ρ∂∂∂∂- 01X ＝－xp ∂∂ρ 式中：X ——单位质量力在x 轴的投影流体平衡微分方程（即欧拉平衡微分方程）： ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂-=∂∂-=∂∂-010101z p Z y p Y x p X ρρρ 物理意义：处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与质量力分量彼此相等。

压强沿轴向的变化率（zp y p x p ∂∂∂∂∂∂，，）等于轴向单位体积上的质量力的分量（ρX ，ρY ，ρZ ）。

二、平衡微分方程的积分将欧拉平衡微分方程中各式，分别乘以dx 、dy 、dz ，整理： Zdz)Y dy (Xdx dz zp dy y p x ++=∂∂+∂∂+∂∂ρdx p 因为p = p (x,y,z )∴ Zdz)Ydy (Xdx dp ++=ρ ρ为常量；Xdx ＋Ydy ＋Zdz 应为某函数W ＝F （x ，y ，z ）的全微分： dz zW dy y W dx x W dz dy dx d ∂∂+∂∂+∂∂=++=)Z Y (X W dW dp ＝ρ 平衡流体中压强p 的全微分方程 积分得：p=ρW ＋c假定平衡液体自由面上某点（x 0，y 0，z 0）处的压强p 0及W 0为已知，则： c ＝p 0-ρW 0∴ p=p 0+ρ（W-W 0） 欧拉平衡微分方程的积分三、帕斯卡定律处于平衡状态下的不可压缩流体中，任意点M 处的压强变化值△p 0，将等值地传递到此平衡流体的其它各点上去。

说明：只适用于不可压缩的平衡流体；盛装液体的容器是密封的、开口的均可。

流体动力学微分形式的基本方程

流体动力学微分形式的基本方程
r r q ( r , t0 ) = f ( r )
二、边界条件： 1、固体壁面：渗透、介质交换 无分离条件：理想流体，不可以渗透时法向速度为零。 r r (v 若物面静止不动： b ) ⋅ n = 0 设物面方程为 F ( x, y, z, t ) = 0 ，则物面上组成光滑流体面， DF =0 则 Dt 无滑移条件：粘性流体，沿壁面切向、法向速度均为零。
Dp ∂p r = + v ⋅∇p Dt ∂t
1 Dρ r ∇⋅v = − ρ Dt
Dp ∂p r v ⋅∇p = − Dt ∂t
§4-7 理想流体动力学的基本方程
D p ∂p r 所以： ∇ ⋅ ( Pv ) = − ρ + Dt ρ ∂t 代入能量方程中得：
r r D p v2 ∂p ρ e + + = ρ f ⋅ v + ρ qR + ρ 2 Dt ∂t r ρv ： 将动量方程两边乘以 r r r r D v2 r Dv ρv = ρ f ⋅ v − v ⋅∇p = ρ Dt Dt 2 因此有： Di 1 Dp = qR + Dt ρ Dt
§4-9 理想流体动力学的定解条件
3、自由面：流体质点的光滑面
r v∞ 2、无穷远或管道进口处的边界条件：一般给定管道进口及
p = const
τ τ τ τ
§4-7 理想流体动力学的基本方程
若积分号内均为连续函数，又因为积分区域的随意性： r r D v2 r ρ e + = ρ f ⋅ v + ∇ ( Pv ) + ρ qR + ∇ ⋅ ( λ∇T ) Dt 2 由于是理想流体： µ = 0 , λ = 0 . 因此 ∇ ⋅ ( λ∇T ) = 0 又在理想流体中： P = − pδ r r r r r ∇ ⋅ ( Pv ) = ∇ ⋅ ( − pδ v ) = ∇ ⋅ ( − pv ) = − p∇ ⋅ v − v ⋅∇p 因为： 1 Dρ r + ∇⋅v = 0 ρ Dt
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2015/4/20
西安交通大学流体力学课程组
2
6.1 物质积分的随体导数—雷诺输运定理
系统
某一确定流体质点集合的总体
system
与外界无质量交换
随流体质点的运动而运动
边界形状、包围空间大小 随流体质点的运动而变化
拉格朗日方法下的概念
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系统2
物理定律通常应用于系统
第六章 流体动力学的积分方程分析
流体动力学
雷诺输运定理，积分形式控制方程组
基础知识
守恒定律、牛顿第二定律、物质导数、描述流 体运动的两种方法
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第六章 流体动力学的积分方程分析
雷诺输运定理
系统和控制体、雷诺输运定理
积分形式的控制方程
连续方程、能量方程、动量方程
单位体积流体的物理量分布函数
m
动量
k
mV
V
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控制体
控制体
流场中某一确定的空间区域
control volume
与外界有质量交换
空间位置相对于某参照系不变
边界形状、包围空间大小一般是确定的
欧拉方法下的概念
control surface
控制面
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积分方法的优点
积分方法无需了解内部细节，甚至允许物理量在 内部发生间断，只利用 CV 和 CS，花很少时间就 能获得有价值的结果
方法简单，计算量小
适于研究大范围内的流体运动，特别是求解对有 限区域固体边界的总体作用
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质点导数与系统导数
质点导数
D
(V
H
1
A1,V1
w
h
A2,V2 2
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连续方程8－例题2
w
A
dh dt
w
A2V2
w
A1V1
0
dh A1V1 A2V2
dt
A
a
A
H
1
A1,V1
w
h
A2,V2 2
2015/4/20
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6.3 能量方程
能量方程
系统的能量守恒
energy equation
能量为 E，热力学第一定律
DE Q W Dt 初始时刻系统与控制体重合
Q W ed eV ndS
t CV
CS
e：单位质量流体具有的能量，specific energy
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总流伯努利方程1
沿流线的伯努利方程应用到总流
Dt
t 0
t
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雷诺输运公式2
Dsys d V ndS
Dt t CV
CS
Dsys Dt
系统的物理量 N 对时间的变化率
d
t CV
控制体物理量 N 对时间的变化 率，反应流场的非定常性
V ndS CS 物理量 N 流出控制体的净流率，反应流场 不均匀性，系统位置、体积随时间的改变
Vr V VCV
relative velocity
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连续方程7－例题
如图所示一水箱，水均匀垂直流入流出，求水的 深度随时间的变化率dh/dt。
解：第一项
t
d
CV
w
A
dh dt
第二项：净流出率
V ndS CS
w A2V2 w A1V1
Aa
质量守恒方程
msys const
或
dm 0 dt
conservation of mass
动量方程
F
ma
m
dV
d
mV
dt dt
linear momentum
动量矩方程
equation
T
dH
dt
H
r
V
m
angular momentum equation
能量守恒方程
dE dt Q W
系统体积为，质量为 m，质量守恒
Dm 0 Dt
m ,
初始时刻系统与控制体重合
பைடு நூலகம்m d V ndS 0
Dt t CV
CS
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连续方程2
d V ndS 0
t CV
CS
一切流动都应 满足连续方程
d
t CV
V ndS CS
CV中流体质量对时间的变化率 流出CV的流体质量的净流率
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6
雷诺输运公式1 Reynolds transport theorem
欧拉方法描述系统物理量对时间的变化率，即 采用与控制体相关的物理量描述系统的物质导数
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CSIII
CSI
II III
I
dS1
V
dS3
n V
t
n
t t
Dsys lim sys t t sys t
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雷诺输运公式3
定常流动
steady flow
Dsys V ndS
Dt
CS
系统物理量 N 的变化只取决于控制面上的流动， 与控制体内的流动无关
运动控制体
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Dsys Dt t
d
CV
CSVr ndS
Vr V VCV
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energy equation or first law of thermodynamics
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系统的物质导数
系统的物质导数
substantial derivative of system
dτ
Dsys D d Dt Dt sys
质量
系统体积内包含的总物理量
m in m out
Qin Qout
m VA
Q VA
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连续方程6
运动控制体 用相对速度替换绝对速度
t
d
CV
CS Vr ndS 0
流体仅在控制面的有限个区域流入流出且 ，V
在进出口截面均布，定常流动
Vr A in Vr A out
控制体的质量守恒：单位时间CV内流体质量 的增加与净流出CV的流体质量流量之和为零
2015/4/20
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连续方程3
定常流动
V ndS 0 CS
= const 均质不可压缩
V
ndS
0
无需定常假设
CS
流体仅在控制面的有限个区域流入流出且 ，V
在进出口截面均布，定常流动
单位时间通过微小流束断面 的不可压流体重量
)
Dt t
流体质点某物理量随时间的变化率同空间点 上物理量之间的关系
系统导数
Dsys d V ndS
Dt t CV
CS
系统某物理量随时间的变化率和控制体上物 理量变化之间的关系
2015/4/20
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6.2 连续方程
连续方程
系统的质量守恒
continuity equation