流体动力学基础与方程讲解
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第三章 流体动力学基础页数:10
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流体力学基础-第三章-一维流体动力学基础页数:67
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4工程流体力学 第四章流体动力学基础
因为 F 沿 y 轴正向，所以 Fy 取正值
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS
p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS
p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
第3章-流体力学连续性方程微分形式
• 符号说明
物理意义
z 单位重流体的位能（比位能）
p
单位重流体的压能（比压能）
u 2 单位重流体的动能（比动能）
2g
z
p
单位重流体总势能（比势能）
z
p
u2 2g
总比能
第四节 欧拉运动微分方程的积分
几何意义
位置水头 压强水头 流速水头 测压管水头 总水头
( Xdx Ydy
Zdz)
1
(
p x
0
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ，
与流出的流体体积（质量）之差等于零。
适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
第三节 流体动力学基本方程式
6
二、理想流体运动微分方程
理想流体的动水压强特性与静水压强的特性相同：
px py pz p
从理想流体中任取一(x,y,z)为 中心的微元六面体为控制体，边 长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。
u2
( )dx ( )dy ( )dz
z x x 2
y 2
z 2
u2 d( )
2
由以上得：
gdz
d
(
p
)
d
u2 (
)
2
积分得：
z
p
u2 2g
C
第四节 欧拉运动微分方程的积分
• 理想势流伯努里方程
17
z
p
u2 2g
C
或
z1
p 1
u2 1
2g
z2
p2
u22 2g
物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，理想流体各点的总比能 相等即在整个势流场中，伯努里常数C均相等。（应用条件：“——”所示）
流体动力学基本原理的内容及成立条件
流体动力学基本原理的内容及成立条件一、流体动力学的基本概念流体动力学是研究流体在运动中所表现出来的各种力学现象的科学。
它是研究流体的物理性质、运动规律和应用的基础。
流体包括气体和液体，其特点是没有固定的形状，在受到外力作用时能够变形。
二、流体动力学基本方程1.连续性方程连续性方程描述了质量守恒原理，即在任意给定时刻，单位时间内通过任意给定截面积内的质量保持不变。
2.动量守恒方程动量守恒方程描述了牛顿第二定律，即物体受到外力作用时会发生加速度变化。
3.能量守恒方程能量守恒方程描述了能量守恒原理，即系统内总能量保持不变。
三、成立条件为了使上述基本方程成立，需要满足以下条件：1.连续性假设：假设流体是连续不断的介质，在微观尺度下不存在空隙或孔隙。
这个假设在实际应用中通常是成立的。
2.牛顿第二定律适用：流体的运动速度相对于光速较慢，所以牛顿第二定律可以适用于流体运动。
3.稳态假设：假设流体的物理状态在空间和时间上是恒定不变的。
这个假设在实际应用中通常是成立的。
4.不可压缩性假设：假设流体密度不随时间和位置而变化。
这个假设在实际应用中通常是成立的。
5.粘性效应：粘性是流体内部分子之间相互作用力导致的，它会影响流体的运动规律。
当流体处于高速运动状态时，粘性效应可以忽略不计；但当流体处于低速运动状态时，粘性效应就会显著影响流体运动规律。
四、结论综上所述，流体动力学基本原理包括连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
为了使这些基本方程成立，需要满足一定条件，如连续性假设、牛顿第二定律适用、稳态假设、不可压缩性假设以及粘性效应等。
这些基本原理和条件对于研究流体的物理性质、运动规律和应用具有重要意义。
流体动力学基础和方程讲解
① 理想 ② 不可压缩均质流体 ③ 在重力作用下 ④ 作恒定流动 ⑤ 并沿同一流线（或微元流束）流动。
第4章 流体动力学基础
§4.2 元流的伯努利方程
4.2.2 元流伯努利方程的物理意义和几何意义
1、物理意义
z
p
g
u2 2g
c0
位能—— z 压力能—— p
g
势能—— z p
动能—— u 2 2g
§4.2 元流的伯努利方程
4.2.1 无黏性流体运动微分方程的伯努利积分
理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下才能求解。 在下列几个假定条件下：
(1)不可压缩理想流体的恒定流动； (2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分； (3)质量力只有重力。 即可求得理想流体微元流束的伯努利方程
§4.2 元流的伯努利方程
(p1 pdx) 2 x
(p1 pdx) 2 x
§4.1 流体的运动微分方程
受力分析： 1、表面力：
p p dx p p dx
x 2
x 2
(p1 pdx) 2 x
x轴正方向 x轴负方向
PM
(p 1 2
p dx)dydz x
PN
(p
1 2
p x
dx)dydz
2、质量力： FBxXdxdydz
§4.2 元流的伯努利方程
元流能量方程的应用——毕托管测速原理。
pA
u
2 A
pB
+0
g 2g g
uA2 pB pA h
2g g g
机械能—— z p u 2 2g
Bernoulli方程表明，对于理想流体，其位置能、压力能和动能可以互相 转换，但总和不变。Bernoulli方程为能量守恒方程在理想液体中的应用或 表现形式。
第三章 流体动力学基础
1、在水位恒定的情况下： （1）A®A¢不存在时变加速 度和位变加速度。 （2）B®B¢ 不存在时变加速 度，但存在位变加速度。 2、在水位变化的情况下： （1）A®A¢ 存在时变加速度， 但不存在位变加速度。 （2）B®B¢ 既存在时变加速 度，又存在位变加速度。
图3-19
第二节 流体质点运动特点和有旋流
图3-13
非均匀流——流线不是平行直线的流 动， 。 非均匀流中流场中相应点的流速大 小或方向或同时二者沿程改变，即沿流 程方向速度分布不均。例：流体在收缩 管、扩散管或弯管中的流动。（非均匀 流又可分为急变流和渐变流）
4.渐变流与急变流
非均匀流中如流动变化缓 慢，流线的曲率很小接近平行， 过流断面上的压力基本上是静 压分布者为渐变流(gradually varied flow)，否则为急变流。
图3-17
（3）三元流
三元流（threedimensional flow):流动 流体的运动要素是三 个空间坐标函数。例 如水在断面形状与大 小沿程变化的天然河 道中流动，水对船的 绕流等等，这种流动 属于三元流动。（图 3-18）
图3-18
三.描述流体运动的方法
1.拉格朗日法 拉格朗日方法（lagrangian method）是以 流场中每一流体质点作为描述流体运动 的方法，它以流体个别质点随时间的运 动为基础，通过综合足够多的质点（即 质点系）运动求得整个流动。——质点 系法
一、流体质点的运动 特点 刚体的运动是由 平移和绕某瞬时轴 的 转动两部分组成，如 图3-20(a)。
图3-20(a)
流体质点的运动， 一般除了平移、转 动外，还要发生变 形（角变形和线变 形），如图3-20(b)。
图3-20(b)
二、角速度的数学表达式 流体质点的旋转用角速度表征，习 惯上是把原来互相垂直的两邻边的角速 度平均值定义为该转轴的角速度。
流体力学 第三章 流体动力学
按周界性质： ①总流四周全部被固体边界限制——有压流。如 自来水管、矿井排水管、液压管道。 ②总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接 触——无压流。如河流、明渠。 ③总流四周不与固体接触——射流。如孔口、管 嘴出流。
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
流体力学第04章流体动力学基础详解
dt dt dt
均等于零，于是纳维－斯托克斯方程式就变成静水
力学欧拉平衡方程式。所以纳维－斯托克斯方程式
是不可压缩液体的普遍方程式。
6
二、无粘性流体运动微分方程
理想流体， 0 得：欧拉方程
fx
1
p x
dux dt
fy
1
p y
du y dt
fz
1
p z
ux
p
4L
(r02
r2)
上式表明：圆管中层流过水断面上的流速是按 抛物面的规律分布的。
13
第二节 元流的伯怒利方程
一、无粘性流体运动微分方程的伯怒利积分
沿流线积分得
fx
1
p x
dux dt
fxdx f ydy fzdz dp / d(u2 / 2)
以U（x，y，z）表示质量力的势函数 上式变为
fy fz
1
1
p y p z
du y dt duz dt
U p / u2 / 2 C
在重力场中，作用在流体上的质量力只有重力， 即U=-gz，带入得
14
p u2 z C
g 2g
对微小流束上任意两个过水断面有： 15
z1
p1
g
d 2ux p
dr2 2 L
dux dr
p
2L
r
C1
利用轴心处的条件 r 0, dux 0 ，得 C1 0 。故
均等于零，于是纳维－斯托克斯方程式就变成静水
力学欧拉平衡方程式。所以纳维－斯托克斯方程式
是不可压缩液体的普遍方程式。
6
二、无粘性流体运动微分方程
理想流体， 0 得：欧拉方程
fx
1
p x
dux dt
fy
1
p y
du y dt
fz
1
p z
ux
p
4L
(r02
r2)
上式表明：圆管中层流过水断面上的流速是按 抛物面的规律分布的。
13
第二节 元流的伯怒利方程
一、无粘性流体运动微分方程的伯怒利积分
沿流线积分得
fx
1
p x
dux dt
fxdx f ydy fzdz dp / d(u2 / 2)
以U（x，y，z）表示质量力的势函数 上式变为
fy fz
1
1
p y p z
du y dt duz dt
U p / u2 / 2 C
在重力场中，作用在流体上的质量力只有重力， 即U=-gz，带入得
14
p u2 z C
g 2g
对微小流束上任意两个过水断面有： 15
z1
p1
g
d 2ux p
dr2 2 L
dux dr
p
2L
r
C1
利用轴心处的条件 r 0, dux 0 ，得 C1 0 。故
第4章流体动力学基础1
2、连续性微分方程有哪几种形式？不可压缩流体的连续性 、连续性微分方程有哪几种形式？ 微分方程说明了什么问题？ 微分方程说明了什么问题？ 质量守恒
第二节 元流的伯努利方程
欧拉运动微分方程组各式分别乘以 ， ， （ 欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距 各式分别乘以 ds的坐标分量）： 的坐标分量）： 的坐标分量
1 ( Xdx +Ydy + Zdz) − ρ ( ∂p dx + ∂p dy + ∂p dz) = dux dx + ∂x ∂y ∂z dt duy dt
dy + duz dz dt
<I> 考虑条件 、 考虑条件 1、恒定流
<II>
<III>
一、在势流条件下的积分
∂p ∂p =0 ∂t
∂ux ∂uy ∂uz = = =0 ∂t ∂t ∂t
∂ux ∂y ∂uy ∂z ∂ux ∂z
= = =
∂uy ∂x ∂uz ∂y ∂uz ∂x
积分得：
z+γ +
p
u2 2g
=c
•
理想势流（无黏性） 理想势流（无黏性）伯努利方程
z+γ +
p
或
u2 2g
=c
p2 u22 2g
z1 + γ +
p1
u12 2g
= z2 + γ +
在同一恒定不可压缩流体重力势流 恒定不可压缩流体重力势流中 物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，各点的总比能值相等 即在整个势流场中，伯努利常数 均相等。（应用条件 均相等。（应用条件： 即在整个势流场中，伯努利常数C均相等。（应用条件：“——”所示） ”所示）
流体动力学三大方程
流体动力学三大方程流体动力学是研究流体运动和流体力学性质的学科，它以三大方程为基础，这三大方程分别是连续性方程、动量方程和能量方程。
在本文中，将对这三大方程进行详细的介绍和解释。
1. 连续性方程连续性方程是描述流体质点的质量守恒的基本方程。
它表明在流体运动中，质量是守恒的，即单位时间内流入某一区域的质量等于单位时间内流出该区域的质量。
连续性方程的数学表达式是通过流体的速度场和流体密度来描述的。
在一维情况下，连续性方程可以表示为流体密度乘以速度的横向梯度等于零。
2. 动量方程动量方程描述了流体力学中质点的动量变化。
根据牛顿第二定律，动量方程可以表达为流体质点的质量乘以加速度等于质点所受到的合力。
在流体动力学中，动量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场和粘性力来描述的。
动量方程是解决流体力学问题的基础方程之一，它可以用来计算和预测流体的速度和压力分布。
3. 能量方程能量方程描述了流体质点的能量变化。
在流体动力学中，能量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场、密度和温度来描述的。
能量方程包括了流体的动能、压力能和内能的变化。
能量方程在研究流体的热力学性质和能量转化过程中起着重要的作用。
通过能量方程，可以计算和预测流体的温度分布和能量转化效率。
这三大方程是流体动力学研究中的核心内容，它们相互联系、相互依赖，共同构成了流体运动的基本规律。
连续性方程保证了质量守恒，动量方程描述了力学平衡，能量方程描述了能量转化。
在实际应用中，这些方程可以用来解决各种流体力学问题，如流体的流动特性、压力分布、速度场、能量转化等。
流体动力学三大方程——连续性方程、动量方程和能量方程是研究流体运动和流体力学性质的基础。
它们通过数学表达式描述了质量守恒、力学平衡和能量转化的规律。
这些方程的应用广泛，能够帮助我们理解和预测流体的运动和性质，对于工程设计、自然灾害和环境保护等领域都具有重要意义。
通过研究和应用这些方程，我们可以更好地掌握和利用流体动力学知识，为社会发展和人类福祉做出贡献。
液压流体力学第五章流体动力学基础
液压流体力学
南京工程学院
夏庆章
20150720
第五章 流体动力学基础
• • • • • • 流体动力学概述 5.1理想流体的运动微分方程式 5.3理想流体的伯努利方程式 5.4实际流体总流的伯努利方程式 5.7伯努利方程的应用 5.8动量、动量矩定理及其应用
流体动力学概述
流体动力学是研究流体在外力作用下的运
动规律即研究流体动力学物理量和运动学 物理量之间的关系的科学。 流体动力学主要研究内容就是要建立流体 运动的动量平衡定律、动量矩平衡定律和 能量守恒定律（热力学第一定律）。
5.1 理想流体的运动微分方程式
1、选取控制体：在所研究的运动流体中，任取一 微小平行六面体，如图5-1所示。六面体边长分别 为dx、dy、dz，平均密度为 ，顶点A 处的压强 为 p。 2、受力分析 质量力：fxdxdydz , fydxdydz , fzdxdydz 表面力：设A点压强为p时，则与其相邻的ABCD 、 ADEH、ABGH三个面上的压强均为p，而与这三个 面相对应的EFGH、 BCFG、 CDEF 面上的压强可 由泰勒级数展开略去二阶以上无穷小量而得到，分 p p p p dz p dx p dy 别为 z x y
p V p V z1 1 1 z 2 2 2 h w g 2 g g 2 g
2 2
式（5-1）的几何解释如图5-1所示，实际总水头线沿微元流 束下降，而静水头线则随流束的形状上升或下降。
图5-1 伯努利方程的几何解释
二、黏性流体总流的伯努利方程 流体的实际流动都是由无数微元流束所组成的有效截面为 有限值的总流流动，例如流体在管道中和渠道中的流动等。 微元流束的有效截面是微量，因而在同一截面上流体质点 的位置高度 z 、压强 p 和流速 V 都可认为是相同的。而 总流的同一有效截面上，流体质点的位置高度 z 、压强 p 和流速 V 是不同的。总流是由无数微元流束所组成的。 因此，由黏性流体微元流束的伯努利方程来推导总流的伯 努利方程，对总流有效截面进行积分时，将遇到一定的困 难，这就需要对实际流动作某些必要的限制。为了便于积 分，首先考虑在什么条件下总流有效截面上各点的 p z 常数？这只有在有效截面附近处有缓变流动时 g 才能符合这个要求。
南京工程学院
夏庆章
20150720
第五章 流体动力学基础
• • • • • • 流体动力学概述 5.1理想流体的运动微分方程式 5.3理想流体的伯努利方程式 5.4实际流体总流的伯努利方程式 5.7伯努利方程的应用 5.8动量、动量矩定理及其应用
流体动力学概述
流体动力学是研究流体在外力作用下的运
动规律即研究流体动力学物理量和运动学 物理量之间的关系的科学。 流体动力学主要研究内容就是要建立流体 运动的动量平衡定律、动量矩平衡定律和 能量守恒定律（热力学第一定律）。
5.1 理想流体的运动微分方程式
1、选取控制体：在所研究的运动流体中，任取一 微小平行六面体，如图5-1所示。六面体边长分别 为dx、dy、dz，平均密度为 ，顶点A 处的压强 为 p。 2、受力分析 质量力：fxdxdydz , fydxdydz , fzdxdydz 表面力：设A点压强为p时，则与其相邻的ABCD 、 ADEH、ABGH三个面上的压强均为p，而与这三个 面相对应的EFGH、 BCFG、 CDEF 面上的压强可 由泰勒级数展开略去二阶以上无穷小量而得到，分 p p p p dz p dx p dy 别为 z x y
p V p V z1 1 1 z 2 2 2 h w g 2 g g 2 g
2 2
式（5-1）的几何解释如图5-1所示，实际总水头线沿微元流 束下降，而静水头线则随流束的形状上升或下降。
图5-1 伯努利方程的几何解释
二、黏性流体总流的伯努利方程 流体的实际流动都是由无数微元流束所组成的有效截面为 有限值的总流流动，例如流体在管道中和渠道中的流动等。 微元流束的有效截面是微量，因而在同一截面上流体质点 的位置高度 z 、压强 p 和流速 V 都可认为是相同的。而 总流的同一有效截面上，流体质点的位置高度 z 、压强 p 和流速 V 是不同的。总流是由无数微元流束所组成的。 因此，由黏性流体微元流束的伯努利方程来推导总流的伯 努利方程，对总流有效截面进行积分时，将遇到一定的困 难，这就需要对实际流动作某些必要的限制。为了便于积 分，首先考虑在什么条件下总流有效截面上各点的 p z 常数？这只有在有效截面附近处有缓变流动时 g 才能符合这个要求。
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X d 1 x p xd x u x u x xd x u x u y xd y u x u z xd z
X d 1 p x x d x u x ( u x xd x u y xd y u z xd) z u x dxu
§4.2 元流的伯努利方程
X d 1 p x x d x u x ( u x xd x u y xd y u z xd) z u x dxu
Xdx1pxdxuxdux
1 p
Ydy y dy u ydu y
Zdz
1
p z
dz
uzduz
XdxYdyZdz1(pxdxpydypzd)zuxduxuyduyuzduz
dU 1 dpd(u2)
2
§4.2 元流的伯努利方程
dU 1 dpd(u2) 积分 U p u2 c
2
2
质量力只有重力 XY0,Zg
(p1 pdx) 2 x
(p1 pdx) 2 x
(p1 pdx) 2 x
§4.1 流体的运动微分方程
受力分析： 1、表面力：
p p dx p p dx
x 2
x 2
(p1 pdx) 2 x
x轴正方向 x轴负方向
PM
(p 1 2
p dx)dydz x
PN
(p
1 2
p x
dx)dydz
2、质量力： FBxXdxdydz
恒定流动 u 0 t
X
1
p x
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
Y
1
p y
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
Z
1
p z
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
X 1 p xux u xxuy u yxuz u zx
乘以dx 乘以dy 乘以dz
§4.2 元流的伯努利方程
4.2.1 无黏性流体运动微分方程的伯努利积分
理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下才能求解。 在下列几个假定条件下：
(1)不可压缩理想流体的恒定流动； (2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分； (3)质量力只有重力。 即可求得理想流体微元流束的伯努利方程
§4.2 元流的伯努利方程
流体动力学基础和方 程讲解
第4章 流体动力学基础
流体动力学研究的主要问题是流速和压强在空间的分布。流速 又更加重要。流体流动时，在破坏压力和质量力平衡的同时，出 现了和流速密切相关的惯性力和粘性力。这样，流体由静到动所 产生的两种力，是由流速在空间的分布和随时间的变化所决定的。 因此，流体动力学的基本问题是流速的问题。
Ugdzg zc1
z
p
g
u2 2g
c0
对于同流线上的任意两点1和2，则上式写成
z1pg1 2u1g2 z2pg2 2ug22
理想流体 流线上的 伯努利方
程
uo 若
，上式为静力学基本方程
z
p
g
c0
§4.2 元流的伯努利方程
理想的流体运动方程的积分－Bernoulli方程
适用范围：
z
p
g
u2 2g
c0
(p1 pdx) 2 x
§4.1 流体的运动微分方程
根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程
X d x d y d z p p d x d y d z p p d x d y d z d x d y d zD x
x2 x2
D
X 1 p Dux
x Dt
① 理想 ② 不可压缩均质流体 ③ 在重力作用下 ④ 作恒定流动 ⑤ 并沿同一流线（或微元流束）流动。
第4章 流体动力学基础
§4.2 元流的伯努利方程
4.2.2 元流伯努利方程的物理意义和几何意义
1、物理意义
z
p
g
u2 2g
c0
位能—— z 压力能—— p
g
势能—— z p
动能—— u 2 2g
0
§4.2 元流的伯努利方程
Z1pg 1 2 u1 g 2 Z2pg 2 2 ug 2 2
位 压 流单 单 单 置 强 速位 位 位 水 水 水位 压 动 头 头 头能 能 能
测 压总 管水 水头 头
单 位单 势位 能总
机 械 能
1
Z1
0
2
Z2
0
表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，微小流束内不同过水断 面上，单位重量液体所具有的机械能保持相等（守恒）。
机械能—— z p u 2 2g
Bernoulli方程表明，对于理想流体，其位置能、压力能和动能可以互相 转换，但总和不变。Bernoulli方程为能量守恒方程在理想液体中的应用或 表现形式。
§4.2 元流的伯努利方程
2、几何意义
u2 gzp常数 H
2
速位压
总
度置强
水
水水水
头
头头头
1
Z1
0
2 Z2
Y 1 p Duy
y Dt
Z1 p Duz
z Dt
X
1
p x
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
Y
1
p y
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
Z
1
p z
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
理想流体的运动微分方程 欧拉运动微分方程
第4章 流体动力学基础
流体从静止到运动，质点获得流速，由于粘滞力的作用，改 变了压强的静力特性。但粘滞力对压强随方向变化的影响很小， 在工程中可忽略不计。
以后，流体流动时的压强和流体静压强，一般在概念的命名 上不予区别，一律称为压强。
第4章 流体动力学基础
§4.1 流体的运动微分方程
4.1.1 无黏性流体运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基础。可以用
乘以dx
§4.2 元流的伯努利方程
X 1 p xux u xxuy u yxuz u zx
乘以dx
X d 1 x p xd x u x u x xd x u y u y xd x u z u z xd x
恒定流动
流线和迹线重合，则
u y d x u x d y ,u zd x u x d,u z z d y u y dz
§4.2 元流的伯努利方程 元流能量方程的应用——毕托管测速原理。
pA
u
2 A
pB
+0
g 2g g
uA2 pB pA h
2g g g
牛顿第二定律加以推导。
f( x ) f( x 0 ) f'( x 0 ) x ( x 0 ) 2 1 ! f''( x 0 ) x ( x 0 ) 2 ..x . x 0
中心点为A (x,y,z)，
A处的压强ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱp(x,y,z,t)
(p1 pdx) 2 x
则x向受压面形心点的压强分别为
X d 1 p x x d x u x ( u x xd x u y xd y u z xd) z u x dxu
§4.2 元流的伯努利方程
X d 1 p x x d x u x ( u x xd x u y xd y u z xd) z u x dxu
Xdx1pxdxuxdux
1 p
Ydy y dy u ydu y
Zdz
1
p z
dz
uzduz
XdxYdyZdz1(pxdxpydypzd)zuxduxuyduyuzduz
dU 1 dpd(u2)
2
§4.2 元流的伯努利方程
dU 1 dpd(u2) 积分 U p u2 c
2
2
质量力只有重力 XY0,Zg
(p1 pdx) 2 x
(p1 pdx) 2 x
(p1 pdx) 2 x
§4.1 流体的运动微分方程
受力分析： 1、表面力：
p p dx p p dx
x 2
x 2
(p1 pdx) 2 x
x轴正方向 x轴负方向
PM
(p 1 2
p dx)dydz x
PN
(p
1 2
p x
dx)dydz
2、质量力： FBxXdxdydz
恒定流动 u 0 t
X
1
p x
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
Y
1
p y
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
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Z
1
p z
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
X 1 p xux u xxuy u yxuz u zx
乘以dx 乘以dy 乘以dz
§4.2 元流的伯努利方程
4.2.1 无黏性流体运动微分方程的伯努利积分
理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下才能求解。 在下列几个假定条件下：
(1)不可压缩理想流体的恒定流动； (2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分； (3)质量力只有重力。 即可求得理想流体微元流束的伯努利方程
§4.2 元流的伯努利方程
流体动力学基础和方 程讲解
第4章 流体动力学基础
流体动力学研究的主要问题是流速和压强在空间的分布。流速 又更加重要。流体流动时，在破坏压力和质量力平衡的同时，出 现了和流速密切相关的惯性力和粘性力。这样，流体由静到动所 产生的两种力，是由流速在空间的分布和随时间的变化所决定的。 因此，流体动力学的基本问题是流速的问题。
Ugdzg zc1
z
p
g
u2 2g
c0
对于同流线上的任意两点1和2，则上式写成
z1pg1 2u1g2 z2pg2 2ug22
理想流体 流线上的 伯努利方
程
uo 若
，上式为静力学基本方程
z
p
g
c0
§4.2 元流的伯努利方程
理想的流体运动方程的积分－Bernoulli方程
适用范围：
z
p
g
u2 2g
c0
(p1 pdx) 2 x
§4.1 流体的运动微分方程
根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程
X d x d y d z p p d x d y d z p p d x d y d z d x d y d zD x
x2 x2
D
X 1 p Dux
x Dt
① 理想 ② 不可压缩均质流体 ③ 在重力作用下 ④ 作恒定流动 ⑤ 并沿同一流线（或微元流束）流动。
第4章 流体动力学基础
§4.2 元流的伯努利方程
4.2.2 元流伯努利方程的物理意义和几何意义
1、物理意义
z
p
g
u2 2g
c0
位能—— z 压力能—— p
g
势能—— z p
动能—— u 2 2g
0
§4.2 元流的伯努利方程
Z1pg 1 2 u1 g 2 Z2pg 2 2 ug 2 2
位 压 流单 单 单 置 强 速位 位 位 水 水 水位 压 动 头 头 头能 能 能
测 压总 管水 水头 头
单 位单 势位 能总
机 械 能
1
Z1
0
2
Z2
0
表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，微小流束内不同过水断 面上，单位重量液体所具有的机械能保持相等（守恒）。
机械能—— z p u 2 2g
Bernoulli方程表明，对于理想流体，其位置能、压力能和动能可以互相 转换，但总和不变。Bernoulli方程为能量守恒方程在理想液体中的应用或 表现形式。
§4.2 元流的伯努利方程
2、几何意义
u2 gzp常数 H
2
速位压
总
度置强
水
水水水
头
头头头
1
Z1
0
2 Z2
Y 1 p Duy
y Dt
Z1 p Duz
z Dt
X
1
p x
ux t
ux
ux x
uy
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uz
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Y
1
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1
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uz y
uz
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理想流体的运动微分方程 欧拉运动微分方程
第4章 流体动力学基础
流体从静止到运动，质点获得流速，由于粘滞力的作用，改 变了压强的静力特性。但粘滞力对压强随方向变化的影响很小， 在工程中可忽略不计。
以后，流体流动时的压强和流体静压强，一般在概念的命名 上不予区别，一律称为压强。
第4章 流体动力学基础
§4.1 流体的运动微分方程
4.1.1 无黏性流体运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基础。可以用
乘以dx
§4.2 元流的伯努利方程
X 1 p xux u xxuy u yxuz u zx
乘以dx
X d 1 x p xd x u x u x xd x u y u y xd x u z u z xd x
恒定流动
流线和迹线重合，则
u y d x u x d y ,u zd x u x d,u z z d y u y dz
§4.2 元流的伯努利方程 元流能量方程的应用——毕托管测速原理。
pA
u
2 A
pB
+0
g 2g g
uA2 pB pA h
2g g g
牛顿第二定律加以推导。
f( x ) f( x 0 ) f'( x 0 ) x ( x 0 ) 2 1 ! f''( x 0 ) x ( x 0 ) 2 ..x . x 0
中心点为A (x,y,z)，
A处的压强ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱp(x,y,z,t)
(p1 pdx) 2 x
则x向受压面形心点的压强分别为