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流体动力学基本方程

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流体动力学基本方程

流体动力学基本方程
IV.本构方程 数学预备： 记，根据二阶张量定义，将坐标系旋转，从原坐标系到旋转后的坐标 系，二阶张量的张量元满足变换： ， 其中变换矩阵。 逆变换：。 本构方程的导出 1应力张量分解： ——偏应力张量，代表运动流体的应力张量与各向同性应力张量（记 为）的差异。记作；是对称二阶张量。 2线性假设（Newton粘性定律的推广，对于剪切流动，） 偏应力产生于速度场的不均匀性。 线性假设：假设偏应力张量各分量与速度梯度张量的各分量成线性关 系： 。 是四阶张量，满足变换关系。 是由81个系数组成的一组系数，这组系数确定了偏应力张量各张量元与 速度梯度张量各张量元之间的关系，由于偏应力张量和速度梯度张量都 满足二阶张量定义，于是有 可知。数学上定义，由81个元素组成的量，若其元素满足该变换的则称 之为四阶张量。 3各向同性流体及其四阶张量的表达式 3－1各向同性流体：若在原坐标系和旋转后的坐标系中偏应力张量分别 表示为和，若则应当有，于是要求。 ************************************************************************
例题1求流体作用于闸门上的力。（设渠宽） 解：取控制体如图所示，根据假定只需讨论动量方程的方向分量方程。
闸门受合力＝ 代入动量方程方程得 故 注：求时可直接设。 注 微分形式的动量定理也可由积分形式的动量定理导出，推导过程如 下： 其中，因而得到
。 上式表明：流体团总动量的变化率=组成该流体团的流体质点的动量变 化率之和。 另外，， 综上可得，再考虑到系统大小形状的任意性可得。 尽管得到了流动的动量方程，但是不像经典力学有了动量定理就可以求 解质点运动一样，流体运动的动量方程中应力张量等于什么我们还不知 道，并且速度的随体导数同时包含空间导数和时间导数，使得我们不仅 需要初始条件，还需要边界条件才能确定一个具体流动。 3兰姆—葛罗米柯形式的动量方程

第3章-流体力学连续性方程微分形式

第3章-流体力学连续性方程微分形式

• 符号说明
物理意义
z 单位重流体的位能（比位能）
p
单位重流体的压能（比压能）
u 2 单位重流体的动能（比动能）
2g
z
p
单位重流体总势能（比势能）
z
p
u2 2g
总比能
第四节 欧拉运动微分方程的积分
几何意义
位置水头 压强水头 流速水头 测压管水头 总水头
( Xdx Ydy
Zdz)
1
(
p x
0
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ，
与流出的流体体积（质量）之差等于零。
适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
第三节 流体动力学基本方程式
6
二、理想流体运动微分方程
理想流体的动水压强特性与静水压强的特性相同：
px py pz p
从理想流体中任取一(x,y,z)为 中心的微元六面体为控制体，边 长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。
u2
( )dx ( )dy ( )dz
z x x 2
y 2
z 2
u2 d( )
2
由以上得：
gdz
d
(
p
)
d
u2 (
)
2
积分得：
z
p
u2 2g
C
第四节 欧拉运动微分方程的积分
• 理想势流伯努里方程
17
z
p
u2 2g
C
或
z1
p 1
u2 1
2g
z2
p2
u22 2g
物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，理想流体各点的总比能 相等即在整个势流场中，伯努里常数C均相等。（应用条件：“——”所示）

流体动力学基本方程

流体动力学基本方程

流体动力学基本方程
“流体动力学基本方程”是将质量、动量和能量守恒定律用于流体运动所得到的联系流体速度、压力、密度和温度等物理量的关系式。

对于系统和控制体都可以建立流体动力学基本方程。

系统是确定不变的物质的组合；而控制体是相对于某一坐标系固定不变的空间体积，它的边界面称为控制面。

流体动力学中讨论的基本方程多数是对控制体建立的。

主要有连续方程、动量方程、动量矩方程和能量方程。

1、连续方程：ρ1v1A1=ρ2v2A2，式中ρ1、v1、ρ
2、v2分别为A1和A2截面上的流体平均密度和速度。

2、动量方程：单位时间内，流入控制体的动量与作用于控制面和控制体上的外力之和，等于控制体内动量的增加。

3、动量矩方程：单位时间内，流入控制体的动量与作用于控制体和控制面上的外力对某一参考点的动量矩之和，等于控制体内对同一点的动量矩的增加。

4、能量方程：单位时间内，流入控制体的各种能量与外力所作的功之和，等于控制体内能量的增加。

流体力学的基本方程式

流体力学的基本方程式

流体力学的基本方程式流体力学是研究流体力学原理和现象的一门学科。

它主要研究流体的运动和变形规律，包括速度、压力、密度和温度等参数的分布及其相互关系。

流体力学的基本方程式包括连续性方程、动量方程和能量方程。

这些方程式用来描述流体的性质和运动，对于解决流体力学问题至关重要。

下面将逐一介绍这些方程式及其应用。

1. 连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒规律。

它基于质量守恒原理，即在流体中任意一点的质量净流入/流出率等于该点区域内质量的减少率。

连续性方程的数学表达式是：∂ρ/∂t + ∇•(ρV) = 0。

其中，ρ是流体的密度，t是时间，V是流体的流速矢量，∇•表示散度运算符。

连续性方程的应用范围广泛，例如用于描述气象学中的气流动力学、河流的水量和水质传输等。

2. 动量方程动量方程描述了流体的运动规律。

它基于牛顿第二定律，即流体的运动是由外力和内力共同作用的结果。

动量方程的数学表达式是：ρ(∂V/∂t + V•∇V) = -∇P + ∇•τ + ρg。

其中，P是压力，τ是应力张量，g是重力加速度。

动量方程是解决流体流动问题的关键方程，可以用于模拟气象学中的风场、水力学中的水流、航空航天中的气体流动等。

3. 能量方程能量方程描述了流体的能量转换和传递规律。

它基于能量守恒原理，即在流体中任意一点的能量净流入/流出率等于该点区域内能量的减少率。

能量方程的数学表达式是：ρCv(∂T/∂t + V•∇T) = ∇•(k∇T) + Q - P(∇•V) + ρg•V。

其中，Cv是比热容，T是温度，k是热传导系数，Q是体积热源项。

能量方程可用于模拟热传导、对流和辐射现象，例如地下水温场、燃烧室的工作原理等。

流体力学的基本方程式是解决各种流体流动问题的基础，通过对这些方程式的应用，可以揭示流体的行为和性质，为实际工程和科学研究提供指导。

在实际应用中，还可以结合数值模拟和试验数据，进一步分析和预测流体力学问题的解，为工程决策和科学研究提供依据。

流体动力学积分形式的基本方程

流体动力学积分形式的基本方程
τ0
A0
即：
D ∫∫∫ ρVdτ 0 = ∫∫∫ ρ f dτ 0 + ∫∫ pn dA0 Dt τ 0 A0 τ0
n 作用面法线方向而非 pn 的方向
三、动量矩方程
DM 0 D = ∫∫∫ r × ρVdτ 0 = ∑ r × F Dt Dt τ 0 = ∫∫∫ ρ ( r × f )dτ 0 + ∫∫ ( r × pn )dA0
A
D ∂φ ∫∫∫) φ dτ 0 ( t ) = ∫∫∫ ∂t dτ + Dt τ 0 ( t τ
∫∫ ( V • n )φ dA − − − − − (1)
A
——输运公式，即系统导数的欧拉表达式
∇ • (φ V ) = φ∇ • V + V∇ • φ
由质点导数
Dφ ∂φ = + V∇ • φ Dt ∂t
τ0
A0
M 0 = ∫∫∫ ( r × V ) dτ 0
τ0
四、能量方程
⎛ V2 ⎞ DE D Q +W = = ∫∫∫ ρ ⎜ e + 2 ⎟ dτ 0 Dt Dt τ 0 ⎝ ⎠
●热传导
n qλ = qin q n 方向分量 q = − λ∆T ， 为外法 在
Q
q T ∆T 线方向， 由外向内为负， 外高里低 ， 指向温增 ● 热辐射 总辐射热 ∫∫∫ qR ρdτ 0
1 2 3
间的变化率
• 质点导数强调某一流体质点的物理量对时间 的变化率 • 以直角坐标为例：
已知速度场，t时刻空间点 点 V = V ( x, y, z, t )，经过 ∆t ，
p
p ( x, y , z )
上的流体质
p → p′( x + u ∆t , y + v∆t , z + w∆t , t )

流体动力学三大方程

流体动力学三大方程

流体动力学三大方程流体动力学是研究流体运动和流体力学性质的学科，它以三大方程为基础，这三大方程分别是连续性方程、动量方程和能量方程。

在本文中，将对这三大方程进行详细的介绍和解释。

1. 连续性方程连续性方程是描述流体质点的质量守恒的基本方程。

它表明在流体运动中，质量是守恒的，即单位时间内流入某一区域的质量等于单位时间内流出该区域的质量。

连续性方程的数学表达式是通过流体的速度场和流体密度来描述的。

在一维情况下，连续性方程可以表示为流体密度乘以速度的横向梯度等于零。

2. 动量方程动量方程描述了流体力学中质点的动量变化。

根据牛顿第二定律，动量方程可以表达为流体质点的质量乘以加速度等于质点所受到的合力。

在流体动力学中，动量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场和粘性力来描述的。

动量方程是解决流体力学问题的基础方程之一，它可以用来计算和预测流体的速度和压力分布。

3. 能量方程能量方程描述了流体质点的能量变化。

在流体动力学中，能量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场、密度和温度来描述的。

能量方程包括了流体的动能、压力能和内能的变化。

能量方程在研究流体的热力学性质和能量转化过程中起着重要的作用。

通过能量方程，可以计算和预测流体的温度分布和能量转化效率。

这三大方程是流体动力学研究中的核心内容，它们相互联系、相互依赖，共同构成了流体运动的基本规律。

连续性方程保证了质量守恒，动量方程描述了力学平衡，能量方程描述了能量转化。

在实际应用中，这些方程可以用来解决各种流体力学问题，如流体的流动特性、压力分布、速度场、能量转化等。

流体动力学三大方程——连续性方程、动量方程和能量方程是研究流体运动和流体力学性质的基础。

它们通过数学表达式描述了质量守恒、力学平衡和能量转化的规律。

这些方程的应用广泛，能够帮助我们理解和预测流体的运动和性质，对于工程设计、自然灾害和环境保护等领域都具有重要意义。

通过研究和应用这些方程，我们可以更好地掌握和利用流体动力学知识，为社会发展和人类福祉做出贡献。

流体力学三大基本方程公式

流体力学三大基本方程公式

流体力学三大基本方程公式流体力学是研究流体（液体和气体）行为的一门学科，而其中的三大基本方程就像是流体世界里的三位“大神”，每一个都有自己的风格和特点。

今天我们就来轻松聊聊这三大基本方程，看看它们是如何影响我们日常生活的。

1. 连续方程1.1 理论基础连续方程说的就是流体在流动时质量是守恒的，也就是说流体不会凭空消失或者出现。

这就好比你在喝饮料，吸管里的液体不管你怎么吸，它的总量始终不变。

你想，假如你吸得太快，吸管里液体都没了，那饮料可就喝不到了，真是要命！1.2 实际应用在现实生活中，这个方程的应用可广泛了。

比如，水管里流动的水，流量是一定的。

如果管道变窄，水速就会变快，简直就像是高速公路上的汽车，车道窄了，车速得加快才能不堵车。

你可以想象一下，如果这条“水路”被堵了，后果可就不堪设想，真是“水深火热”啊。

2. 纳维斯托克斯方程2.1 理论基础说到纳维斯托克斯方程，这可是流体力学里的“超级英雄”。

它描述了流体的运动，考虑了粘性、压力、速度等多个因素，就像一位全能运动员，无论是短跑、游泳，还是足球，样样精通！这个方程让我们能够预测流体的流动，简直就像是给流体穿上了“预测未来”的眼镜。

2.2 实际应用说到实际应用，纳维斯托克斯方程可是在天气预报、飞机设计等领域大显身手。

在气象学中，气象学家利用这个方程来模拟风暴、降雨等自然现象，真的是“未雨绸缪”，让我们提前做好准备。

想象一下，若是没有它，我们可能在大雨来临时还在悠哉悠哉地喝着茶，结果被“浇”了个透心凉。

3. 伯努利方程3.1 理论基础最后我们得提提伯努利方程，它可是流体动力学的明星。

简单来说，伯努利方程告诉我们，流体的压力和速度之间有着“爱恨交织”的关系。

流速快的地方，压力就低；流速慢的地方，压力就高。

这就像是你在一个热闹的派对上，越往外挤，周围的人越少，反而显得格外“安静”。

3.2 实际应用伯努利方程的应用那可是多得数不胜数，尤其是在飞行器设计上。

第六章流体动力学积分形式基本方程

第六章流体动力学积分形式基本方程

的热量以及外力所作的功的总和等于单位时间内控制体内能量的增加。
其数学表达式为
AqdA
qR d
A pn wdA
F wd
w
A
n e
w2 2
dA
t
e
w2 2
d
（6.8）
（6.8）式称为积分形式的能量方程。
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第四节 能量方程
二、能量方程的简化
知，单位时间内流入控制体的动量与作用于控制面及控制体上外力之和
等于单位时间内控制体内动量的增加。
一、静止控制体的动量方程
作用于控制体上的力为
Fd
作用于控制面上的力为
A pndA
单位时间内控制体内动量的增量为
t
wd
单位时间内通过控制面流入控制体的动量为
A w nwdA
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
1 2 ，A1 A2 ， gd 0 ， p1
F
Ab
pndA
，这里Ab为弯管壁面
w1
面积，代入（6.5）式得
y
p2
w2
Fy
Fx
o
x
图6.2 流体流过等截面弯管
p1A1i p2 A2 i cos jsin F w12 A1i w22 A2 i cos jsin
又由连续性方程（6.3）可知
面的总能量的代数和为零。重力场中U gz 称为单位质量的位能。
对于细小流管，其截面上参数可认为是均匀的，于是由（6.9）式可得到
e w2 p U const
（6.10）
2
（6.10）式可理解为定常绝热理想流体质量力有势条件下，沿流线单 位质量流体的总能量保持不变。这就是伯努利方程。

第3章流体力学连续性方程微分形式

第3章流体力学连续性方程微分形式
第三节 流体动力学基本方程式
X方向
( ux ) dxdydz x
同理可得：
在dt时间内因密度变化而减少的 质量为：
3
y方向：
z方向：
( u y ) y dxdydz ( u z ) dxdydz z
dxdydz ( ) dxdydz t t dxdydz
0 t
适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。
（2）不可压缩流体的连续性微分方程
当为不可压缩流时

u x u y u z 0 x y z
Const
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ， 与流出的流体体积（质量）之差等于零。 适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
1
第三章 流体动力学基础
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程 二、理想流体运动微分方程
三、粘性流体的运动微分方程
第四节 欧拉运动微分方程的积分
一、在势流条件下的积分
二、沿流线的积分
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程
2
在流场内取一微元六面体（如图），边长为dx,dy,dz，中心点O流速为 （ ux,uy,uz ） D' z C' ux dx ux dx A' dz u B' u z u x x 2 x x 2 o’ M uy ux N 以x轴方向为例： C D ux dx 1 dx dy u u 左表面流速 M A x 2 x B o u x x 1 右表面流速 u N u x dx 2 x y ∴ 单位时间内x方向流出流进的质量流量差： ( u x ) ( u x ) 1 1 M M [ u x dx]dydz [ u x dx]dydz 右 左 2 x 2 x ( u x ) x dxdydz

流体动力学基本方程

流体动力学基本方程

u
（ 2 p2 p1 )


2 g ( 1 ) h

皮托管测速计
§4.3 实际流体流束的伯努利方程
实际流体具有粘性，在流动过程中有一部分机械能将不可逆地转 化为热能耗散。根据能量守恒原理，实际流体流束的伯努利方程为
整理： 1 p du x fx x dt
1 p du y fy y dt
同理：
1 p du z fZ z dt
1 p fx x 1 p fy y f 1 p Z z
§4.4 理想流体的运动学微分方程的伯努利积分
du x 1 p f x x dt du y 1 p fy y dt 1 p du z fZ z dt
沿流线积分，将流线上的dx、dy、dz分别乘理想流体运动微分方程的三个分式，然后相加得：
1 p 1 p f x dxdydz ( p dx)dydz ( p dx)dydz dxdydz du x 2 x 2 x dt
1 p 1 p f x dxdydz ( p dx)dydz ( p dx)dydz dxdydz du x 2 x 2 x dt
1 1 2 2 2 2 d u x u y uz d ( u ) 2 2


du y 1 p p p du x du z f x dx f y dy f z dz dx dy dz dx dy dz x y z dt dt dt
u x u y u z 0 x y z
② 对不可压缩均质流体，ρ为常数，上式可简化为
u x u y u z 0 x y z

流体力学的运动方程

流体力学的运动方程

流体力学的运动方程流体力学是研究流体的运动以及与周围环境的相互作用的科学领域。

在流体力学中，运动方程是描述流体运动的基本方程。

它们可以基于质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律来推导。

1. 质量守恒方程质量守恒方程也称为连续性方程，它描述了流体质量在空间和时间上的守恒。

质量守恒方程的数学表达式如下：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·是散度操作符。

这个方程说明流体质量在空间和时间上保持不变，即流体在任何给定的区域内的质量是恒定的。

方程右边的项表示流体质量的流入和流出。

2. 动量守恒方程动量守恒方程描述了流体运动的动力学行为，它说明流体受外力作用下的加速度以及在流体中传递的动量。

动量守恒方程的数学表达式如下：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·是散度操作符，p是流体的压力，τ是应力张量，g是重力加速度。

这个方程表示了流体受外力作用下的动力学变化。

方程右边的第一项是压力梯度产生的力，第二项是应力产生的力，第三项是重力产生的力。

方程左边的第一项是流体速度的变化率，第二项是流体动量的传递率。

3. 能量守恒方程能量守恒方程描述了流体能量的守恒情况，它说明了流体在运动过程中能量的变化与能量转化。

能量守恒方程的数学表达式如下：∂(ρe)/∂t + ∇·(ρve) = -p∇·v + ∇·(k∇T) + ρv·g + τ:∇v其中，ρ是流体的密度，t是时间，e是单位质量的内能，v是流体的速度矢量，∇·是散度操作符，p是流体的压力，k是热传导系数，T是温度，g是重力加速度，τ是应力张量。

这个方程描述了流体能量随时间的变化。

方程右边的第一项是压力和速度梯度之积产生的功，第二项是热传导产生的能量变化，第三项是重力势能的转化，第四项是应力张量和速度梯度之积产生的功。

流体主要计算公式

流体主要计算公式

流体主要计算公式流体是液体和气体的统称，具有流动性和变形性。

流体力学是研究流体静力学和动力学的学科，其中主要涉及到流体的力学性质、运动规律和力学方程等内容。

在流体力学的研究中，有一些重要的计算公式被广泛应用。

下面将介绍一些常见的流体力学计算公式。

1.流体静力学公式：(1)压力计算公式：P=F/A-P表示压力-F表示作用力-A表示受力面积(2)液体静力学公式：P=hρg-P表示液体压力-h表示液体高度-ρ表示液体密度-g表示重力加速度2.流体动力学公式：(1)流体流速公式：v=Q/A-v表示流速-Q表示流体流量-A表示流体截面积(2)流体流量公式：Q=Av-Q表示流体流量-A表示流体截面积-v表示流速(3)连续方程：A1v1=A2v2-A1和A2表示流体截面积-v1和v2表示流速(4) 流体动能公式：E = (1/2)mv^2-E表示流体动能-m表示流体质量-v表示流速(5)流体的浮力公式：Fb=ρVg-Fb表示浮力-ρ表示液体密度-V表示浸泡液体的体积-g表示重力加速度3.流体阻力公式：(1)层流阻力公式：F=μAv/L-F表示阻力-μ表示粘度系数-A表示流体截面积-v表示流速-L表示流动长度(2)湍流阻力公式：F=0.5ρACdV^2-F表示阻力-ρ表示流体密度-A表示物体的受力面积-Cd表示阻力系数-V表示物体相对于流体的速度4.比力计算公式：(1)应力计算公式：τ=F/A-τ表示应力-F表示力-A表示受力面积(2)压力梯度计算公式：ΔP/Δx=ρg-ΔP/Δx表示压力梯度-ρ表示流体密度-g表示重力加速度(3) 万斯压力计算公式：P = P0 + ρgh-P表示压力-P0表示参考压力-ρ表示流体密度-g表示重力加速度-h表示液体的高度以上是一些流体力学中常见的计算公式，涉及到压力、流速、阻力、浮力以及比力等方面的运算。

这些公式在解决流体力学问题时非常有用，可以帮助我们理解和分析流体的运动和力学性质。

流体力学中的流体动力学方程

流体力学中的流体动力学方程

流体力学中的流体动力学方程流体力学是研究流体运动规律和性质的学科，它在能源、环境、航空航天等领域有着广泛的应用。

流体动力学方程是流体力学的基础，它描述了流体在运动过程中的物理现象和力学特性。

本文将介绍流体动力学方程的基本原理和常见的流体动力学方程。

一、连续性方程连续性方程是描述流体质点质量守恒的基本方程。

它表明流体在运动过程中，质量的流入等于流出。

连续性方程可以用数学形式表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·表示散度运算符。

二、动量守恒方程动量守恒方程描述了流体质点在运动过程中动量的变化。

根据牛顿第二定律，动量守恒方程可以表示为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，p是流体的压力，τ是动态粘性应力张量，g是重力加速度。

三、能量守恒方程能量守恒方程是描述流体内能和外界能量转化的方程。

根据热力学第一定律，能量守恒方程可以表示为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(k∇T) + q其中，E是单位质量的总能量，v是流体的速度矢量，k是热传导率，T是温度，q是单位质量的内部热源。

四、状态方程流体力学中的状态方程描述了流体在热力学过程中的状态特性。

流体的状态方程通常表示为：p = ρRT其中，p是流体的压力，ρ是流体的密度，R是特定流体的气体常数，T是温度。

综上所述，流体动力学方程包括连续性方程、动量守恒方程、能量守恒方程和状态方程。

这些方程是建立在质点假设和牛顿力学基础上的，可以描述流体在运动过程中的物理现象和运动规律。

通过求解这些方程，可以得到流体的运动速度、压力分布等信息，为解决实际问题提供了重要的理论基础。

在实际应用中，为了解决流体动力学方程的复杂性，常常采用数值模拟等方法进行求解。

数值模拟可以通过离散化方程、引入数值格式和数值算法，得到流体在离散网格上的解。

第4章流体动力学微分形式的基本方程

第4章流体动力学微分形式的基本方程

x方向质量的变化 流入的质量 流出的质量
dmx




x

dx 2


u
x

ux x

dx 2

dtdydz




x

dx 2


u
x

ux x

dx 2

dtdydz



ux


ux x

dx 2

ux
x
（2）方程的推导 依据牛顿第二定律。 六面体流体元中心点M的坐标为 x，y，z， 应力状态为σ，可求出各面中心点的应力。
以x方向为例 ：
Fx max
外力的 x 向分量 Fx ：
质量力的x向分量：Xxyz
表面力的 x 向分量：
(
xx
x) y z
x
(
yx
y、z 向质量净通率分别为： (uy ) yzx
y
和 (uz)zxy
z
体积内的质量减少率 ：
则有：
xyz
t
( x u x) ( y u y) ( z u z) x y z t x y z
yx


u (
y

u x )

x
y
yz
zy

(u z y

u y ) z


zx
xz


u (
x

u z )
z

第4章流体动力学基本方程

第4章流体动力学基本方程

h ——单位重量粘性流体沿流线从1点到2点的 机械能损失，称为元流的水头损失，m。
' w
1 2
1 2
注意： 1. 无粘性流体流动的总水头线为水平线； 2. 粘性流体流动的总水头线恒为下降曲线； 3. 测压管水头线可升、可降、可水平。 4. 总水头线和测压管水头线之间的距离为速度水头。
五、粘性总流的伯努利方程
p1 v1 p2 v 2 ' ( z1 )gdQ ( z 2 hw )gdQ g 2 g g 2 g
2 2
Байду номын сангаас
表示单位时间通过元流过流断面的能量守恒。
由连续性方程 dQ v 1dA1 v 2 dA2 ，上式可写作
p1 v1 p2 v 2 ' ( z1 )gv 1 dA1 ( z 2 hw )gv 2 dA2 g 2 g g 2 g
p Hp z g
—测压管水头
p u2 H z —总水头 g 2 g
理想流体伯努利方程的意义
p v2 z C g 2 g
伯努利方程式表明在重力作用下不可压缩的理 想流体作定常流动时，位置水头，压强水头，速 度水头之和即总水头为一常数。 对于有旋流动，同 一流线上各点的总水 头相同，见左图。
p z g
——单位重量流体的势能 ——单位重量流体具有的机械能
p v2 z g 2 g
理想流体伯努利方程的意义
p v2 z C g 2 g
伯努利方程式表明在重力作用下不可压缩的理想 流体作定常流动时，单位重量流体的位能、压能、 动能在流动过程中可以相互转化，但它们的总和 不变，即单位重量流体的机械能守恒。 因此，伯努利方程又称为能量方程。
2019/3/6

流体动力学微分形式的基本方程

流体动力学微分形式的基本方程
r r q ( r , t0 ) = f ( r )
二、边界条件： 1、固体壁面：渗透、介质交换 无分离条件：理想流体，不可以渗透时法向速度为零。 r r (v 若物面静止不动： b ) ⋅ n = 0 设物面方程为 F ( x, y, z, t ) = 0 ，则物面上组成光滑流体面， DF =0 则 Dt 无滑移条件：粘性流体，沿壁面切向、法向速度均为零。
Dp ∂p r = + v ⋅∇p Dt ∂t
1 Dρ r ∇⋅v = − ρ Dt
Dp ∂p r v ⋅∇p = − Dt ∂t
§4-7 理想流体动力学的基本方程
D p ∂p r 所以： ∇ ⋅ ( Pv ) = − ρ + Dt ρ ∂t 代入能量方程中得：
r r D p v2 ∂p ρ e + + = ρ f ⋅ v + ρ qR + ρ 2 Dt ∂t r ρv ： 将动量方程两边乘以 r r r r D v2 r Dv ρv = ρ f ⋅ v − v ⋅∇p = ρ Dt Dt 2 因此有： Di 1 Dp = qR + Dt ρ Dt
§4-9 理想流体动力学的定解条件
3、自由面：流体质点的光滑面
r v∞ 2、无穷远或管道进口处的边界条件：一般给定管道进口及
p = const
τ τ τ τ
§4-7 理想流体动力学的基本方程
若积分号内均为连续函数，又因为积分区域的随意性： r r D v2 r ρ e + = ρ f ⋅ v + ∇ ( Pv ) + ρ qR + ∇ ⋅ ( λ∇T ) Dt 2 由于是理想流体： µ = 0 , λ = 0 . 因此 ∇ ⋅ ( λ∇T ) = 0 又在理想流体中： P = − pδ r r r r r ∇ ⋅ ( Pv ) = ∇ ⋅ ( − pδ v ) = ∇ ⋅ ( − pv ) = − p∇ ⋅ v − v ⋅∇p 因为： 1 Dρ r + ∇⋅v = 0 ρ Dt
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Chapter 3 流体动力学基本方程例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题：流场和桥墩表面受力由（边界条件+控制方程组）决定。

本章任务建立控制方程组，确定边界条件的近似描述和数学表达。

I 质量连续性方程（质量守恒方程） I-1方程的导出物质体（或系统）的质量恒定不变——质量守恒假设。

质量守恒假设对于很多流动问题是良好近似，分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计。

在此假设下，对物质体τ有0dd dtτρτ=⎰。

根据输运定理，设t 时刻该系统所占控制体为CV ，对应控制面CS ，则有0v vÒCVCSd v ds t ρτρ∂+⋅=∂⎰⎰⎰——质量守恒方程积分形式。

上式亦表明，CV 内单位时间内的质量减少=CS 上的质量通量。

由奥高公式得()v vvÒCSCVv ds v d ρρτ⋅=∇⋅⎰⎰⎰，于是有()0v CV v d t ρρτ∂⎡⎤+∇⋅=⎢⎥∂⎣⎦⎰。

考虑到τ的任意性，故有()0vv t ρρ∂+∇⋅=∂，即 0vd v dtρρ+∇⋅= ——质量守恒方程微分形式 I-2各项意义分析： 1）dt d ρ——流体微团密度随时间的变化率；定常流动0=∂∂t ρ；不可压缩流动0=dt d ρ；均质流体的不可压缩流动.const ρ=。

2）由0=dtm d δ（m δ为微团的质量）知11d d dt dt ρδτρδτ=-（δτ为该微团t 时刻体积），从而知v ∇⋅r=流体微团体积随时间的相对变化率，即体膨胀率。

3）不可压缩流体0d dt ρ=，故有 0v ∇⋅=v。

由奥高公式有v v v ÒCVCSv ds vd τ⋅=∇⋅⎰⎰⎰，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有0v vÒCSv ds ⋅=⎰⎰。

不可压缩流动满足的0v ∇⋅=v或0v vÒCSv ds ⋅=⎰⎰是对速度场的一个约束。

例1、1）定常流场中取一段流管，则由0v vÒCSv ds ⋅=⎰⎰易知：222111S V S V ρρ=；如为均质不可压缩流动，则1122V S V S =。

2）对于不可压缩球对称流动（如三维空间中的点源产生的流动）则有24(,)()r V r t m t π=，即2()V r r -∝，其中()m t 代表点源强度（单位时间发出的流体体积）。

例2、均质不可压缩流体（密度为ρ）从圆管（半径为R ）入口端以速度0V 流入管内，经过一定距离后，圆管内流体的速度发展为抛物型剖面，即21m r V V R ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦。

通常称这种流动为圆管的入口流。

试求当管内流动发展为抛物型剖面时的最大速度m V 。

解：如图，将整个入口段取为控制体，对不可压缩流体有：0vv ÒV dS ⋅=⎰⎰界面， 由于管壁无渗透故上式可写为：2002RV R V rdr ππ=⎰，可得02V V m =。

II 动量方程流体团所受合外力 = 该流体团的质量 ⨯ 其加速度II-1方程的导出1直角坐标系下推导微分形式的动量定理t 时刻，考虑一个正六面体形状的流体微团，如图所示，该流体微团t 时刻所占控制体CV ，其边界CS 。

受力分析：体力合力=vFd ρτ面力合力vÒn CSp dS =⎰⎰,,,,22,,,,22,,,,,,,,22,,222v v v v v v v v v x x x xy x y yz x z zx x x x y x x p x y z s p x y z s y y p x y z x x p x y z s p x y z s p x y z s x z p x y z s y p x y s p x y z z s s δδδδδδδδδδδδδδδδδδ---⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+⎝⎭⎛⎫⎛⎫+++- + ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭,,2,,,,22v v v v v v x y yz x y x zz zy p x y z s x z p x y z s p p p p x z x y z s y δδδδδττδδτδδ⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++-∂∂∂=++- ⎪ ⎪⎝∂⎭∂∂⎭⎝于是有v v v v v y x z p p p dV F dt x y zρδτρδτδτδτδτ∂∂∂=+++∂∂∂， 即v v v v v y x z p p p dV F dt x y zρρ∂∂∂=+++∂∂∂。

2x '分量形式：yx x xx zxx yxy yy zy y yx xx zx z z p dv p p F dt x y z dv p p p F dtx y z p pp dv F dt x y z ρρρρρρ∂⎧∂∂=+++⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+++⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂=+++⎪∂∂∂⎪⎩或写成ji ii jp dv F dt x ρρ∂=+∂， 或vv dVF P dtρρ=+∇⋅。

P ⋅∇意义：单位体积流体团所受面力的合力。

2积分形式的动量定理的导出考虑体系τ，该流体团t 时刻所占控制体CV ，其边界CS 。

由动量定理有n CV CS d Vd Fd p dS dt τρτρτ=+⎰⎰⎰⎰v v v Ò 利用输运定理可得()v v v v v CV CS d V V V V S dt tτρδτρδτρδ∂=+⋅∂⎰⎰⎰。

于是得到积分形式动量定理：()v v v v v vÒn CVCS CV CS V V V S Fd p dS t ρδτρδρτ∂+⋅=+∂⎰⎰⎰⎰⎰ 该定理的应用：经常应用于求流体与边界的相互作用力。

例题1求流体作用于闸门上的力。

（设渠宽w ）解：取控制体如图所示，根据假定只需讨论动量方程的x 方向分量方程。

222121wD V wD V x ρρ+-=方向动量通量[][]121220()()()D D a a a x R w P g D y dy w P g D y dy h D P ρρ=-++--+---⎰⎰方向合外力闸门受合力＝R h D P R a '=--)(1 代入动量方程方程得)(21)(2221121222D D gw R D V D V w -+'-=-ρρ故)()(212211222221D V D V w D D gw R -+-='ρρ 注：求R '时可直接设0=a P 。

注 微分形式的动量定理也可由积分形式的动量定理导出，推导过程如下：()()v vvv d V d d dVV Vdt dtdt dtττττρδτρδτρδτρδτ==+⎰⎰⎰⎰其中()0d d mdt dtρδτδ==，因而得到 v vv CV d dV dV V dt dt dtττρδτρδτρδτ==⎰⎰⎰。

上式表明：流体团总动量的变化率=组成该流体团的流体质点的动量变化率之和。

另外，n CSCSCVp dS n PdS Pd τ=⋅=∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰vv乙，综上可得0vv CV dV F P dt ρρδτ⎛⎫--∇⋅= ⎪⎝⎭⎰，再考虑到系统大小形状的任意性可得dVF P dt ρρ=+∇⋅v v 。

尽管得到了流动的动量方程，但是不像经典力学有了动量定理就可以求解质点运动一样，流体运动的动量方程中应力张量等于什么我们还不知道，并且速度的随体导数同时包含空间导数和时间导数，使得我们不仅需要初始条件，还需要边界条件才能确定一个具体流动。

3兰姆—葛罗米柯形式的动量方程2rot 2V V V V F P t ρρ⎛⎫∂+∇+⨯=+∇⋅ ⎪∂⎝⎭vv v vII-2地转参照系下的动量方程就很多空间和时间尺度都较小的流动而言，地球参照系通常课近似看作惯性系。

但是对于大尺度的流体运动问题，必须考虑地球自转的影响。

在海洋和大气的大尺度运动问题中，通常把地心看成惯性参照系，地球相对于地心有自转运动。

我们在此介绍地转参照系下的动量方程，为将来学习物理海洋学、地球流体动力学等打基础。

地球上运动质点的绝对速度a r e V V V =+v v v ，其中r V v代表质点相对于地球表面的运动速度，牵连速度e V r ω=⨯v v v （牵连速度=地球表面上该质点所在位置绕地心的自转速度），ωv 为地球自转角速度。

绝对加速度：a r e c w w w w =++v v v v，其中r w v 代表相对加速度，牵连加速度()e d w r r dtωωω=⨯+⨯⨯vv v v v v ，科氏加速度()2c r w V ω=⨯v v v 。

动量方程：1r e c d V F P w w dt ρ'=+∇⋅--vv v v 其中r r r r d V V V V dt t '∂'=+⋅∇∂r vv v ，ii x ∂'∇='∂ 。

因为真实力与参照系无关，故P P ''∇⋅=∇⋅一般情况下可以忽略地球自转角速度的变化，认为0d dtω=v，于是有 ()12r r r r V V V F P r V t ωωωρ∂'+⋅∇=+∇⋅-⨯⨯-⨯∂vv v v v v v v v 。

III.能量方程III －1能量方程的推导：t 时刻流体团τ所占控制体CV ，其边界CS ，能量平衡关系式：t 时刻()1系统能量增加率()()()234=++外力的功率单位时间内通过边界流入的热量单位时间内从外界吸收的其他能量其中2(1)()2d V U dt τρδτ=+⎰，U 代表单位质量流体的内能（分子热运动动能+分子间相互作用势能）(2)n CSCVF V p V s ρδτδ=⋅+⋅⎰⎰⎰v v vv Ò=)3(CSf s δ-⋅⎰⎰v v ÒCSk T s δ=∇⋅⎰⎰vÒ，f v 为热流强度，根据付利叶热传导定律对各向同性流体f k T =-∇v)4(设单位时间内单位质量流体从外界吸收的辐射能为q ，则(4)CVqd ρτ=⎰故能量方程积分形式为：2()2n CV CS CSCVd V U F V p V s k T s q dt τρδτρδτδδρδτ+=⋅+⋅+∇⋅+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰v v vv v乙因为()2222222222d V d V U U dt dt d d V V d V U U U dt dt dt τττττρδτρδτρδτρδτρδτ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰＝＋＝()()()()n CSCSCSCSCSp V s n P V s n P V s P V s P V δδδδδτ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=∇⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰vv v v v v v vv乙乙?＝()CSCSk T s k T δδτ∇⋅=∇⋅∇⎰⎰⎰⎰v乙所以得到能量方程微分形式：2()()2d V U F V P V k T q dt ρρρ⎛⎫+=⋅+∇⋅⋅+∇⋅∇+ ⎪⎝⎭v v v ， 其中()()ji ji i ji i i ji i ji ji ji ji j j j jp p V P V p V V p V p s p a x x x x ∂∂∂∂∇⋅⋅==+=++∂∂∂∂v 。