第6 章 刚体的基本运动

齿轮传动
带传动
传动比的定义
1 i12 2
第四节 定轴轮系的传动比
二、齿轮传动的传动比
vA vB
O1 O2
1
r1
vA
2
r2
vB
内啮合齿轮
外啮合齿轮
vA vB
1r1 2 r2
2 πr Z t
r2 2π r2 / t Z 2 r1 2π r1 / t Z1
1 n1 r2 z2 被动齿轮齿数 i12 2 n2 r z1 主动齿轮齿数 1
tan at / an / 2
第三节 定轴转动刚体内各点的速度和加速度
定轴转动刚体上点的加速度分布规律
A
at
aA
B θ
an aB
O

2 a an at2 R 2 4
tan at / an / 2
θ
例题：鼓轮绕轴转动，半径 R 0.2m ，转动方程为 t 4t 不可伸长的绳索缠绕在鼓轮上，绳索的另一端悬挂重物A。试 求当 t 1s 时，轮缘上的点M和重物A的速度和加速度。
3 3
第六章 刚体的基本运动
第三节 定轴转动刚体内各点的速度 和加速度
第三节 定轴转动刚体内各点的速度和加速度
一、定轴转动刚体内各点的速度
M
s
v


R M0
定轴转动刚体上点的运动方程. s R 速度
v
v s R R
定轴转动刚体内任一点速度的大小等于该点 的转动半径与刚体角速度的乘积 定轴转动刚体上点的速度分布规律
2
[解]
vM
（1）求鼓轮的角速度和角加速度

转速：刚体每分钟转过的圈数。单位：r / min。 转速 n 与角速度 2n n 60 30
的关系：
（7-6）
角加速度
d d 2 lim 2 t 0 t dt dt
（7-7）
刚体的角加速度（Angular acceleration）
等于其角速度对时间的一阶导数，也等于其转角对
v r 0.4 50 20 m / s
an r 0.4 50 1000 m /s
2 2
2
例7-4 定轴轮系如图7-9所示，主动轮I通过轮齿
与从动轮II轮齿啮合实现转动传递。主动轮I和从动轮 II的节圆半径分别为r1、r2，齿数分别为z1、z2。设I轮 的角速度为 1 （转数为n1），角加速度为 1 ；II轮的 角速度为 2（转数为n2），角加速度为 2 。试求上
2 a a2 an (r )2 (rω2 )2 r 2 ω4
tan
a an


ω
2
（7-13）
在给定瞬时，刚体的角速度和角加速度有确 定的值，对刚体上任何点都是一样。因而，在同一瞬 时，转动刚体上各点的速度 v 和加速度 a 的大小均与
该点的转动半径 r 成正比；各点速度 v 的方向都垂直
O轴作定轴转动，其转动方程为 t 2 4t （1）当t = 1 s时，试求轮缘上M点速度和加速度；
（2）若轮上绕一不可伸长的绳索，并在绳索下端
悬一物体A，求当t = 1 s时，物体A的速度和加速度。 解：圆轮在任一瞬时的角速 a M 度和角加速度为 d 2t 4 rad / s
当
t 1s，直杆AB上D点的速度和加速度。
解：由于O1A与O2B平行等

d f （t） 角加速度 dt
刚体定轴转动的角加速度等于角速度对时间t的一 阶导数，转角对时间的二阶导数。 若α 与ω 符号相同，则ω 的绝对值随时间而增大， 刚体作加速转动；若相反，则刚体作减速转动。
洛 阳 职 业 技 术 学 院
四、刚体的匀速与匀变 速转动

1、刚体的匀速转动 角速度ω=常量，角加速度α=0
重物的速度及加速度为
vA方向铅锤向下， αA方向铅锤向上，即重物A在t=1s 时作减速运动
洛 阳 职 业 技 术 学 院
六、定轴转动刚体的传 动比
一对外啮合齿轮，已知两个齿轮的节圆半径r1、r2，主动轮Ⅰ的角
速度ω 1、角加速度α 1，从动轮Ⅱ的角速度ω 2，角加速度α 2。
设两轮无相对滑动，则它们的接触点 M1和M2的速度和切向加速度是相同的。
O1 M1 M2
O2
r2
r1
Ⅱ
传动比i12的公式为
φ =φ0+ ωt
2、刚体的匀变速转动 角加速度α=常量
其他方程
例 飞轮以n=120r/min的速度转动，截断电流后，飞 轮作匀速转动，经250s停止。试求轴的角速度和停止 之前所转过的圈数
=4πrad/s
断电后飞轮的角加速度
停止前飞轮转过的角度
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五、定轴转动刚体上各 点的速度与加速度
刚体作定轴转动时，转轴上的速度、 加速度为零，其他个点在垂直于转
R
轴的平面上作圆周运动。
M点到转轴的距离为R，其所走的的弧长s与转角φ 的关系是
β
S=Rφ
解：1）研究M点的速度、加速度
VM
αMτ M θ
αM
O R

(代 数 量)
单位： rad/s 工程中常用转速：
n ： 转/分(r/ min)（rpm)
n与w 的关系为：
w 2n n (rad/s )
60 30
角位移
9
2. 角加速度:
设当 t 时刻角速度为w , t +△t 时刻角速度为w+△w
角 加速 度:a
lim w
t 0 t
dw
dt
d 2
dt 2
aR w2R
a w2
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结论:
① v方向与w 转向一致, R ,与 R 成正比。
②各点的全加速度的大小与半径成正比，方向与各点转 动半径夹角都一致,且小于90o , 方向与角加速度一致。
各点速度分布图
a
各点加速度分布图 14
刚体定轴转动
转动方程
f (t)
角速度
w
d
dt
角加速度
a
dw
dt
d 2
④滑轮边上C点在初瞬时的加速度；
⑤滑轮边上C点在ｔ＝3s时的加速度。
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aA 1m/s 2 v0 1.5m/s
R 0.5m, r 0.3m
解： ① 滑轮3s内的转数； 因为绳子不可以伸长，所以有
aC aA 1m/s2,
a aC 1 2 rad/s 2
R 0.5
vC v0 1.5m/s
aA
5
刚体平动的特点： 平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹、速度、加速度都
一样。 结论：平动刚体的运动可以简化为一个点的运动，研究刚体
的平动可归结为研究点的运动。
6
§6-2 刚体的定轴转动
一、刚体定轴转动的定义 刚体运动时，其上（或扩大部分）有一条直线始终保持不动。 保持不动的直线称为转轴。