第八章 静定结构的位移计算

= 0.0044m = 0.44cm()
实际位移状态
虚设力状态
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作业： 第77页 4-1（a）、（b）、4-2
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⑤几种常见图形的情况：
单位荷载弯矩图由若干直线段组成 时，就应该分段图乘。
MMP
EI
dx
=
1 EI
( AP1 y1

AP2 y2

AP3 y3 )
两个梯形相乘时，不必找出梯形的 形心，而将一个梯形分解为两个三角 形，然后分别与另一梯形图乘。
EI
EI
M M P'dx
M M P"dx)
MMP
EI
dx
=
1 EI
( al 2
ya

bl 2
yb )
ya
=
2c1d 33
yb
=
1c 3
2d 3
均布荷载作用区段的弯矩图与直线 段图乘。
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几种常见图形的面积和形心的位置：
a
b
h
h l/2 顶点 l/2
(a+l)/3 (b+l)/3
l
A=hl/2
作业情况
一、桁架的内力标注在图上。
二、隔离体要画出。 用1-1截面将其断开……完了？？？ 应说明取那边为隔离体，并将隔离体 要画出。
三、桁架的内力+、-号代表 拉、压，仍有同学出错。
四、右面隔离体能计算出 FN1、FN2、FN3、FN4吗？
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§4—1 结构位移和虚功的概念 §4—2 变形体系的虚功原理和单位荷载法 §4—3 静定结构由荷载引起的位移 §4—4 图乘法 §4—5 互等定理

（3） 反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
(1) 曲-折组合
例如
∫ Mi MK dx = ω1 y1 + ω2 y2 + ω3 y3 = ∑ω j y j
(2) 梯-梯同侧组合
ω1
ω2
(2c + d ) ⎧ y1 = ⎪ ⎪ 3 ∫ Mi MKdx = ω1 y1 +ω2 y2 ⎨ (c + 2d ) ⎪ y2 = ⎪ ⎩ 3
例 3：求对称桁架D点的竖向位移
−1 2
ΔDy。图中
右半部各括号内数值为杆件的截面积A
(10 m ) ，设 E=210GPa。
FN
解： 构造虚拟状态并求出实际和虚拟状态 中各杆的内力
N
代入公式得：
Δ Dy =
∑
NN P l = 8 mm ( ↓ ) EA
3.制造误差引起的位移
Δλ =
∑ ∫ N dλ = ∑ N λ
虚拟状态
单位荷载内力图为：
N
图
M 图
( −30) + ( −20) t= = −25 0 C 2
, Δt = −20 − ( −30) = 10 0 C
Δ Ay =
∑ α tω
N
+∑
αΔ t
h
ω M = − 0 .005 m ( ↑ )
多种因素下的位移计算一般公式
Δ = − ∑ Ri ci + ∑ ∫ Ndλ + ∑ ∫ Q dη + ∑ ∫ Mdθ
= −∑ Ri ci + ∑ ∫ N [(dλ ) P + (dλ )t ] + ∑ ∫ Q[(dη ) P
等于0

【例4】求图示桁架k点水平位移. (各杆EA相同)
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
1
1 2 2 Ni
Δ= FN FNP l
EA
1
1
解：
kx
1 [(1)(P)a EA
(1)( P )a
2 2P 2a] 2(1 2) Pa () EA
ds
FN FNP EA
ds
1. 梁和刚架
在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产 生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
2. 桁架
Δ=
MMP EI
ds
Δ=
FN FNP ds FN FNP ds FN FNPl
EA
EA
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：
1 (M ds FQ 0 FN )ds
MP
EI
0
kFQ P GA
FNP
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
适用条件：小变形、线弹性
➢ 正负号规则
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
M、FQ、FN、FRK ：单位载荷 FP1 1在结构中产生
的内力和支座反力
➢ 单位荷载法
一次计算一种位移
求绝对位移!
BF
C
D
q
实际状态
（位移状态）
CH求、CV、C

线位移 — 结构上某点沿直线方向移动的距离。 角位移 — 结构上某截面旋转的角度。
绝对位移
相对位移
截面A角位移A ，
A点线位移 A 包含： 水平线位移 AH 竖向线位移 AV
CD两点的水平相对线位移：
(CD )H C D
AB两截面的相对转角：AB A B
以上线位移、角位移及相对位移统称为广义位移
一．局部变形时的位移公式
如图所示，为一悬臂梁在B点附近有微段ds 有局部变形，结构其他部分没有变形，微
段 ds 局部变形包括三部分：
⑴ 轴向应变 ；⑵ 平均剪切应变 0 ；
⑶ 轴线曲率 （ 1 R，R 为轴线变形后
§8-2 结构位移计算的一般公式
—般情况下，结构发生位移在结构内部产生应变，因此，结构的位移计算 属于变形体体系的位移计算问题。计算变形体体系的位移采用的方法以虚 功原理最为普通。推导结构位移（变形体）计算的一般公式有两种途径：
一是根据变形体体系的虚功原理，然后由此导出变形体体系的位移公式， 另一种是先应用刚体体系的虚功原理导出局部变形时的位移公式，然后应 用叠加原理，导出整体变形时的位移公式。
第 六 章 结构位移计算
本章主要内容
➢ 应用虚功原理求刚体体系的位移 ➢ 结构位移计算的一般公式 ➢ 荷载作用下的位移计算 ➢ 图乘法 ➢ 温度作用及支座移动时的位移计算 ➢ 广义位移的计算 ➢ 互等定理
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
一.结构位移计算概述
◆结构位移的种类：结构在外界因素作用下发生变形。因此而使结构各点的 位置发生相应的改变，这种改变称为结构的位移。
在材料力学中，曾学过求梁的位移计算方法(如直接积分法等)。但这
些方法对于结构力学的研究对象，如多跨静定梁、桁架、刚架等结构，是