2020版高考数学新设计大一轮复习-第6节对数与对数函数习题理(含解析)新人教A版

2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第二章 函 数第06讲 对数与对数函数---练1．（2019·陕西西安中学高考模拟（理））已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 ∵； ∴；∴．故选：D ．2．（2019·江西高三月考（文））已知,函数与函数的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由于，故,a b 互为倒数，而，，故()(),f x g x 的单调性相同，四个选项中，单调性相同的是C 选项，故选C.3．（2019·西藏林芝一中高三月考（理））当0＜a ＜1时，在同一坐标系中，函数与的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】∵函数y=a ﹣x与可化为 函数y=，其底数大于1，是增函数，又y=log a x ，当0＜a ＜1时是减函数， 两个函数是一增一减，前增后减． 故选：C ．4．（2019·浙江高三会考）函数的定义域是A ．B ．C ．[0，2]D ．（2，2）【答案】A 【解析】 由函数的解析式，可得，解不等式可得，函数的定义域是，故选A .5．（2019·北京高考模拟（文））已知3log a e =，ln3b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a b c >> D ．b a c >>【答案】D 【解析】是增函数，所以，即a c ＞，，，所以b a c ＞＞, 故选：D6．（2019·遵义航天高级中学高考模拟（理））已知2log 6a =，5log 15b =，7log 21c =则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B 【解析】 由于，，，可得b c >，综合可得a b c >>， 故选B.7.（2019·山西省静乐县第一中学高三月考）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x <时，则(7)f =（ ）．A ．3-B ．2log 6C ．3D ．2log 6-【答案】A 【解析】 由题意得，，函数()y f x =为奇函数，所以，，故选：A.8.（2019·河南高考模拟（理））设lg 6a =，lg 20b =，则2log 3=（ ）A ．11a b b +-+B ．11a b b +--C ．11a b b -++D ．11a b b -+-【答案】D 【解析】，，则.故选：D9.（2019·北京高考模拟（理））设,a b R +∈，且1,1a b ≠≠，能说明“若，则b a >”为假命题的一组,a b 的值依次为_____. 【答案】13,3答案不唯一 【解析】a ＞1，0＜b ＜1时，，满足，但b a >不成立，所以，只要举a ＞1，0＜b ＜1的例子即可， 如,a b 的值依次为13,3答案不唯一 10.（2019·江苏高考模拟）已知函数，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．【解析】 ∵∴∵[(0)]2f f = ∴log 22a =， 因为0,a >所以解得a ．1.（2019·福建高三高考模拟（文））已知，则（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】B 【解析】,∴∴而结合选项∴，故选：B2.（2019·山东高考模拟（文））设a ，b 都是不等于1的正数，则“”是“222a b ＞＞”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】 由“”，得，得22log 0log 0a b <⎧⎨>⎩或或，即011a b <<⎧⎨>⎩或1a b ＞＞或01b a ＜＜＜，由222a b ＞＞，得1a b ＞＞，故“22log log a b <”是“222a b ＞＞”的必要不充分条件，3.（2019·安徽高考模拟（理））若函数的最小值为(2)f ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．0a < B ．0a >C ．0a ≤D ．0a ≥【答案】D 【解析】当x 2≤时，f （x ）＝22x 22x --=，单调递减，∴f （x ）的最小值为f(2)=1， 当x ＞2时，f （x ）＝()2log x a +单调递增，若满足题意，只需恒成立，即2x a +≥恒成立， ∴，∴a ≥0，故选：D ．4.（2019·山东济南外国语学校高考模拟（文））若函数在R 上为减函数，则函数的图象可以是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由函数f （x ）＝a x﹣a ﹣x（a ＞0且a ≠1）在R 上为减函数，故0＜a ＜1．函数y ＝log a （|x |﹣1）是偶函数，定义域为x ＞1或x ＜﹣1，函数y ＝log a （|x |﹣1）的图象，x ＞1时是把函数y ＝log a x 的图象向右平移1个单位得到的， 故选：D ．5．（2019·山东高考模拟（文））已知，，则_________．【解析】 由题意可得：，由对数恒等式可知：，则.6．（2019·陕西西安中学高三期中（文））已知函数的定义域为______．【答案】【解析】要是函数有意义，则需，解得，故函数定义域为.1.（2019·浙江高三高考真题）在同一直角坐标系中，函数且0)a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递减，函数过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.2.【2019年高考北京理】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=2152lg E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10−10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足，令，则从而10.11210E E =. 故选A.3.（2019·天津高考真题（理））已知5log 2a =，，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A 【解析】，，，故112c <<， 所以a c b <<. 故选A.4.【2019年高考全国Ⅲ卷理】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，．，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴，即.故选C ．5.【2018年新课标I 卷文】已知函数，若，则________．【答案】-7 【解析】根据题意有，可得，所以，故答案是..6.【2019年高考全国Ⅱ卷理】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．【答案】3-【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =， 所以，两边取以e 为底数的对数，得，所以3a -=，即3a =-．。

[基础题组练]1．若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，则函数y＝log a|x|的图象大致是()解析：选A.函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，则0<a<1，由此可知y＝log a|x|的图象大致是A.2．(2019·河南新乡一模)若log2(log3a)＝log3(log4b)＝log4(log2c)＝1，则a，b，c的大小关系是() A．a>b>c B．b>a>cC．a>c>b D．b>c>a解析：选D.由log2(log3a)＝1，可得log3a＝2，lg a＝2lg 3，故a＝32＝9；由log3(log4b)＝1，可得log4b＝3，lg b＝3lg 4，故b＝43＝64；由log4(log2c)＝1，可得log2c＝4，lg c＝4lg 2，故c＝24＝16.所以b>c>a.故选D.3．设函数f(x)＝log a|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是()A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)<f(2)C．f(a＋1)＝f(2) D．不能确定解析：选A.由已知得0<a<1，所以1<a＋1<2，又易知函数f(x)为偶函数，故可以判断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)>f(2)．4．(2019·河南郑州模拟)设a＝log50.5，b＝log20.3，c＝log0.32，则()A．b<a<c B．b<c<aC．c<b<a D．a<b<c解析：选B.a＝log50.5>log50.2＝－1，b＝log20.3<log20.5＝－1，c＝log0.32>log0.3103＝－1，log0.32＝lg 2lg 0.3，log50.5＝lg 0.5lg 5＝lg 2－lg 5＝lg 2lg 0.2.因为－1<lg 0.2<lg 0.3<0，所以lg 2lg 0.3<lg 2lg 0.2，即c<a，故b<c<a.故选B.5．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为()A．[1，2) B．[1，2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)解析：选A.令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2)．故选A.6．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( ) A ．0<a <1 B ．0<a <2，a ≠1 C ．1<a <2D ．a ≥2解析：选C.当a >1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最小值，故x 2－ax ＋1＝0中Δ<0，即a 2－4<0，所以2>a >1.当0<a <1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C.7．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y ＝2，则A 的值是________．解析：由2x ＝72y ＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A >0，故A ＝98＝7 2. 答案：7 28．(2019·广东湛江模拟)已知log a 34<1，那么a 的取值范围是________．解析：因为log a 34<1＝log a a ，故当0<a <1时，y ＝log a x 为减函数，0<a <34；当a >1时，y ＝log a x 为增函数，a >34，所以a >1.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞)． 答案：⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 9．若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为________． 解析：因为0<a <1，所以函数f (x )是定义域上的减函数，所以f (x )max ＝log a a ＝1，f (x )min ＝log a 2a ，所以1＝3log a 2a ⇒a ＝(2a )3⇒8a 2＝1⇒a ＝24. 答案：2410．已知函数f (x )＝|log 3 x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________．解析：因为f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，所以－log 3m ＝log 3n ，所以mn ＝1.因为f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2，1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，所以－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意．那么n m ＝3÷13＝9.同理．若log 3n ＝2，得n ＝9，则m ＝19，此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得nm＝9.答案：911．已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4，2)． (1)求a 的值；(2)若g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )，求g (x )的解析式及定义域； (3)在(2)的条件下，求g (x )的单调减区间．解：(1)函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4，2)， 可得log a 4＝2，解得a ＝2.(2)g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)， 由1－x ＞0且1＋x ＞0，解得－1＜x ＜1， 可得g (x )的定义域为(－1，1)． (3)g (x )＝log 2(1－x 2)，由t ＝1－x 2在(－1，0)上单调递增，(0，1)上单调递减， 且y ＝log 2t 在(0，＋∞)上单调递增， 可得函数g (x )的单调减区间为(0，1)．12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2. 解：(1)当x <0时，－x >0， 则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以x <0时，f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以0<|x 2－1|<4，解得－5<x <5且x ≠±1， 而x 2－1＝0时，f (0)＝0>－2， 所以－5<x < 5.[综合题组练]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b ＜ab ＜0 B ．ab ＜a ＋b ＜0 C ．a ＋b ＜0＜abD ．ab ＜0＜a ＋b解析：选B.由a ＝log 0.20.3得1a ＝log 0.30.2，由b ＝log 20.3得1b ＝log 0.32，所以1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，所以0＜1a ＋1b ＜1，得0＜a ＋b ab＜1.又a ＞0，b ＜0，所以ab ＜0，所以ab ＜a ＋b ＜0.2．(应用型)(2019·黄石模拟)已知x 1＝log 132，x 2＝2－12，x 3满足⎝⎛⎭⎫13x 3＝log 3x 3，则( ) A ．x 1<x 2<x 3 B ．x 1<x 3<x 2 C ．x 2<x 1<x 3D ．x 3<x 1<x 2解析：选A.由题意可知x 3是函数y 1＝⎝⎛⎭⎫13x与y 2＝log 3x 的图象交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝⎝⎛⎭⎫13x与y 2＝log 3 x 的图象，如图所示，由图象可知x 3>1，而x 1＝log 132<0，0<x 2＝2－12<1，所以x 3>x 2>x 1.故选A.3．(应用型)设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为________．解析：作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图，令|log a x |＝1.得x ＝a 或x ＝1a ，又1－a －⎝⎛⎭⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a ＜0， 故1－a ＜1a－1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝23.答案：234．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2，其中x >0，a >0. (1)求函数f (x )的定义域；(2)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围． 解：(1)由x ＋ax －2>0，得x 2－2x ＋a x >0.因为x >0，所以x 2－2x ＋a >0. 当a >1时，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)；当0<a <1时，定义域为(0，1－1－a )∪(1＋1－a ，＋∞)． (2)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0， 即x ＋ax －2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立，即a >－x 2＋3x 对x ∈[2，＋∞)恒成立，记h (x )＝－x 2＋3x ，x ∈[2，＋∞)，则只需a >h (x )max .而h (x )＝－x 2＋3x ＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，故a >2.。

专题3.6 对数与对数函数（真题测试）一、单选题1．（2020·全国·高考真题（文））设3log 42a =，则4a -=（ ） A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B 【解析】 【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解 【详解】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=， 故选：B.2．（2021·天津·高考真题）若2510a b ==，则11a b+=（ ）A ．1-B ．lg 7C ．1D ．7log 10【答案】C 【解析】 【分析】由已知表示出,a b ，再由换底公式可求. 【详解】2510a b ==，25log 10,log 10a b ∴==，251111lg 2lg 5lg101log 10log 10a b ∴+=+=+==. 故选：C.3.（2020·海南·高考真题）已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞【答案】D 【解析】【分析】首先求出()f x 的定义域，然后求出2()lg(45)f x x x =--的单调递增区间即可.【详解】由2450x x -->得5x >或1x <- 所以()f x 的定义域为(),1(5,)-∞-⋃+∞ 因为245y x x =--在(5,)+∞上单调递增 所以2()lg(45)f x x x =--在(5,)+∞上单调递增 所以5a ≥ 故选：D4．（2011·辽宁·高考真题（理））设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则满足()2f x ≤的x 取值范围是（ ）A ．[-1,2]B ．[0,2]C ．[1,+∞）D ．[0,+∞）【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式，结合指对数函数的单调性，讨论不同区间对应()2f x ≤的x 范围，然后取并. 【详解】由1122x x -≤⎧⎨≤⎩，可得01x ≤≤；或211log 2x x >⎧⎨-≤⎩，可得1x >；综上，()2f x ≤的x 取值范围是[0,)+∞. 故选：D5．（2017·天津·高考真题（文））已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】C 【解析】 【详解】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.6．（2018·全国·高考真题（理））设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则 A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<< D ．0ab a b <<+【答案】B 【解析】 【详解】 分析：求出0.2211log0.3,0.3log a b ==，得到11a b+的范围，进而可得结果． 详解：.0.30.3log0.2,2a b log ==0.2211log0.3,0.3log a b ∴==0.3110.4log a b ∴+=1101a b ∴<+<,即01a bab+<< 又a 0,b 0><ab 0∴<即ab a b 0<+<故选B.7.（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=．又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >，所以8log 989890m b =-<-=．综上，0a b >>． 故选：A.8．（2020·全国·高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果.【详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D. 二、多选题9．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（ ）AB C D【答案】ABC【解析】 【分析】分1a >和01a <<，分别作函数()4x f x =与()log a g x x =的图象，观察在12x =处的函数值关系可解. 【详解】分别记函数()4x f x =，()log a g x x = 由图1知，当1a >时，不满足题意；当01a <<时，如图2，要使102x <≤时，不等式4log xa x ≤恒成立，只需满足11()()22f g ≤，即1214log 2a ≤，即12log 2a ≤，解得212a ≤<.故选：ABC10．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中满足：对定义域中任意1x ，()212x x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭的有（ ）A ．()2x f x =B ．()lg f x x =C ．2()f x x =D ．()f x x =【答案】AC 【解析】作出22,lg ,,x y y x y x y x ====的图象，在图象上任取两点且两点的横坐标为()1212,x x x x <，根据图象分析()()1212,22f x f x x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系.【详解】A ．作出2x y =的图象如下图所示：所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，故满足；B ．作出lg y x =的图象如下图所示：所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，故不满足； C ．作出2y x 的图象如下图所示：所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，故满足；D ．作出y x =的图象如下图所示：所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，故不满足，故选：AC.11．（2022·广东佛山·三模）已知01b a <<<，则下列不等式成立的是（ ） A ．log log a b b a < B ．log 1a b > C ．ln ln a b b a < D ．ln ln a a b b >【答案】BC 【解析】 【分析】作差法判断选项A ；利用对数函数单调性判断选项B ；利用幂函数指数函数对数函数的单调性去判断选项C ；举反例排除选项D. 【详解】选项A ：()()22lg lg lg lg lg lg lg lg log log lg lg lg lg lg lg a b b a b a b a b a b a a b a b a b-+--=-==由01b a <<<，可得lg lg 0b a <<，则lg lg 0b a >，lg lg 0b a -<，lg lg 0b a +< 则()()lg lg lg lg 0lg lg b a b a a b-+>，则log log a b b a >.判断错误；选项B ：由01a <<，可得log a y x =为(0,)+∞上减函数， 又0b a <<，则log log 1a a b a >=.判断正确；选项C ：由01a <<，可知x y a =为R 上减函数，又b a <，则a b a a > 由0a >，可知a y x =为(0,)+∞上增函数，又b a <，则a a b a <，则b a a b >又ln y x =为(0,)+∞上增函数，则ln ln b a a b >，则ln ln a b b a <.判断正确；选项D ：令211e ea b ==，，则01b a <<<，e ln l 111e n e a a =-=，222ln ln 112e e eb b =-=则22122e0e ln eln e a a b b --+==<-，即ln ln a a b b <.判断错误.故选：BC12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()212,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，方程()()220(0)f x f x m m +-=>有四个不同的实数根，从小到大依次是1234,,,,x x x x 则下列说法正确的有（ ） A ．13x <- B ．122x x +<- C ．342x x = D ．m 可以取到3【答案】BD 【解析】 【分析】由分段函数对应区间上指对数函数的性质画出函数图象，根据已知方程知两个零点1()f x 、2()f x 分别在()1f x =-的两侧，结合图象及原方程根的个数确定1()f x 、2()f x 的范围，进而得到1234,,,x x x x 的范围，即可确定答案. 【详解】由题设，2222,0()log ,01log ,1x x f x x x x x -⎧-≤⎪=-<<⎨⎪≥⎩，其函数图象如下：而2()2()y f x f x m =+-的对称轴为()1f x =-且440m ∆=+>，即1m >-，所以0y =必有两个零点1()f x 、2()f x 分别在()1f x =-的两侧，由上图知：10()1f x <≤且23()2f x -≤<-，满足原方程有四个实根，故123()()0f x f x m -≤=-<，则03m <≤，D 正确；所以13222x --≤-<-：21log 52x -≤<-；且210x -<≤； 230log 1x <-≤：3112x ≤<；且240log 1x <≤：412x <≤.； 所以212341log 5210122x x x x -≤<-<-<≤<≤<<≤且341x x =，则122x x +<-，故A 、C 错误，B 正确. 故选：BD 三、填空题13．（2020·北京·高考真题）函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 【答案】(0,)+∞ 【解析】 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【详解】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞14．（2020·山东·高考真题）若212log log 40x -=，则实数x 的值是______.【答案】14【解析】 【分析】根据对数运算化简为2log 2x =-，求解x 的值. 【详解】21222log log 40log log 40x x -=⇔+=，即2log 2x =-，解得：14x =. 故答案为：1415．（2018·全国·高考真题（文））已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则=a ________．【答案】-7 【解析】 【详解】分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-. 16．（2022·全国·高考真题（文））若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a _____，b =______． 【答案】 12-； ln 2．【解析】 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由101a x +≠-可得，()()110x a ax -+-≠，所以11a x a +==-，解得：12a =-，即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211xf x x x +=-++=--，在定义域内满足()()f x f x -=-，符合题意．故答案为：12-；ln 2．四、解答题17．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，2()(23)g x f x mx =-+，若>1a ，且()g x 在(1,)∞-+为增函数，求实数m 的取值范围. 【答案】21m -≤≤- 【解析】 【分析】根据二次函数、对数函数以及复合函数的单调性建立不等式组，求解即可. 【详解】解：因为函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，2()(23)g x f x mx =-+，又>1a ，且()g x 在(1,)∞-+为增函数，所以()()21121+30m m ≤-⎧⎪⎨--⨯-⎪⎩， 解得21m -≤≤-，所以实数m 的取值范围为21m -≤≤-.18．（2011·上海·高考真题（理））已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0ab ≠. （1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性； （2）若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围.【答案】（1）当0,0a b >>时，函数()f x 在R 上是增函数,当0,0a b <<时，函数()f x 在R 上是减函数；（2）当0,0a b <>时，则 1.5log ()2a x b >-；当0,0a b ><时，则 1.5log ()2a x b<-. 【解析】 【详解】（1）当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x xf x f x a b -=-+-∵121222,0(22)0x x x x a a ⇒-<，121233,0(33)0x x x xb b ⇒-<，∵12())0(f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数, 当0,0a b <<时，同理，函数()f x 在R 上是减函数；（2）(1)()2230x x f x f x a b +-=⋅+⋅>当0,0a b <>时，3()22x a b >-，则 1.5log ()2ax b >-；当0,0a b ><时，3()22x a b <-，则 1.5log ()2ax b<-.19．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集． 【答案】(1)(－1，1)； (2)奇函数，证明见解析； (3)(0，1)． 【解析】【分析】（1）结合真数大于零得到关于x 的不等式组即可求得函数的定义域； （2）结合（1）的结果和函数的解析式即可确定函数的奇偶性；（3）结合函数的单调性得到关于x 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果． (1)要使函数有意义，则1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为(1,1)-； (2)函数的定义域关于坐标原点对称，()log (1)log (1)[log (1)log (1)]()a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=-()f x ∴是奇函数．(3)若1a >时，由()0f x >得log (1)log (1)a a x x +>-，则1111x x x -<<⎧⎨+>-⎩，求解关于实数x 的不等式可得01x <<，故不等式的解集为(0,1)．20．（2021·河北省博野中学高三阶段练习）已知函数()()212log f x x mx m =--．(1)若1m =，求函数()f x 的定义域．(2)若函数()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围．(3)若函数()f x在区间(1-∞，上是增函数，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)()-∞⋃+∞； (2)(,4][0,)m ∈-∞-⋃+∞；(3)22(1m ≥≥. 【解析】 【分析】（1）由对数的性质有210x x -->求解集，即可得定义域.（2）由题设(0,)+∞是2y x mx m =--值域的子集，根据二次函数的性质有0∆≥即可求m 的范围.（3）首先根据二次函数、对数函数的性质判断复合函数的单调区间，再由已知区间的单调性有12(10mf ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩，即可求m 的范围. (1)由题设，210x x -->，则xx <所以函数定义域为()-∞⋃+∞. (2)由函数()f x 的值域为R ，则(0,)+∞是2y x mx m =--值域的子集， 所以240m m ∆=+≥，即(,4][0,)m ∈-∞-⋃+∞. (3)由2t x mx m =--在(,)2m -∞上递减，在(,)2m +∞上递增，而12log y t=在定义域上递减，所以()f x 在(,)2m -∞上递增，在(,)2m+∞上递减，又()f x在(,1-∞上是增函数，故12(10mf ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩，可得22(1m ≥≥.21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()|21|x f x -=-，()x R ∈．(1)证明：函数()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，并指出函数()f x 在区间(,1)-∞上的单调性；(2)若函数()f x 的图象与直线y t =有两个不同的交点(,)A m t ，(,)B n t ，其中m n <，求m n +的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；函数()f x 在区间(,1)-∞上为减函数 (2)(,2)-∞ 【解析】 【分析】（1）用单调性的定义取值，做差，判断与零的关系，证明即可；（2）易知(,)A m t ，(,)B n t 分别位于直线1x =的两侧，由m n <，得1m n <<，故1210m --<，1210n -->，易得m n +的表达式，利用对数复合函数求值域即可. (1)证明：任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <()()()()()121212121111111212121212122222x x x x x x x x f x f x -------=---=-----==12x x <，∴1222x x <，∴12220x x -<，12()()f x f x ∴<．所以()f x 在区间(1,)+∞上为增函数． 函数()f x 在区间(,1)-∞上为减函数． (2)（2）作出函数1()|21|x f x -=-的图像，如图所示，由题意函数()f x 的图象与直线y t =有两个不同的交点，故有(0,1)t ∈，易知(,)A m t ，(,)B n t 分别位于直线1x =的两侧，由m n <，得1m n <<， 故1210m --<，1210n -->，又A ，B 两点的坐标满足方程1|21|x t -=-，故得112m t -=-，121n t -=-， 即2log (22)m t =-，2(log 2)2n t =+，故2222log (22)log (22)log (44)m n t t t +=-++=-， 当01t <<时，20444t <-<，22log (44)2t -∞<-<． 因此，m n +的取值范围为(,2)-∞．22．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()0.51log 1axf x x -=-在其定义域上是奇函数，a 为常数． (1)求a 的值．(2)证明：()f x 在()1,+∞上是增函数．(3)若对于[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)1- (2)证明见解析 (3)9(,)8-∞-【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义列出等式，整理化简可得结果； （2）将()f x 看成是由0.52()log ,=1+1f x μμμ=- 复合而成，根据复合函数的单调性的判断方法证明即可； （3）不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立问题转化为()min 1[2]xf x m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭->解决，因此根据函数的单调性求得最值，解不等式可得答案. (1)解：由题意，()0.51log 1axf x x -=-是奇函数， 故()()0f x f x ，即0.50.511log log 011ax axx x +-+=---， 即0.511log 011ax ax x x +-⋅=---，所以11111ax axx x +-⋅=---， 即22211a x x -=- ，则222a x x =， 故1a =± ，当1a =时，()0.50.51log log (1)1xf x x -==--，无意义，不符合题意； 当1a =-时，()0.51log 1xf x x +=-满足()()0f x f x ，故1a =-； (2)证明：由（1）知：()0.51log 1xf x x +=-， 设12111x x x μ+==+-- ，那么()f x 可以看成是由0.52()log ,=1+1f x μμμ=- 复合而成， 因为0.5()log f μμ=在定义域内是减函数，故要证明函数()f x 在()1,+∞上是增函数，只需证明2=1+1x μ-在()1,+∞上是减函数即可；不妨设121x x << ， 则()()211212122-22()()1-1=1111x x x x x x x x μμ-=++----（）（） ， 121x x << ，122110,10,0x x x x ∴->->-> ，故()()21122-011x x x x >--（），即12()()0x x μμ->，即12()()x x μμ>,所以2=1+1x μ-在()1,+∞上是单调减函数，故()f x 在()1,+∞上是增函数． (3)解：对于[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，即()12x f x m ⎛⎫+ ⎪⎭>⎝-恒成立，只需()min 1[2]xf x m ⎛⎫⎪⎝⎭->即可；而由（2）知()f x 在[3,4]上是增函数，在[3,4]上12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是单调减函数，故()1()2xh x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭-在[3,4]上是增函数，故()3min 119](3)()128281[xf x f ⎛⎫⎪⎝-=---=-⎭=，故98m <-，即9(,)8m ∈-∞- .。

[基础达标]1．实数lg 4＋2lg 5的值为( ) A ．2 B ．5 C ．10 D ．20解析：选A.lg 4＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2 ＋lg 5)＝2lg (2×5)＝2lg 10＝2.故选A.2．函数f (x )＝ln （x ＋3）1－2x的定义域是( )A ．(－3，0)B ．(－3，0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3，0)解析：选A.因为f (x )＝ln （x ＋3）1－2x ，所以要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x >0，即－3<x <0. 3．(2019·浙江省名校新高考研究联盟联考)若log 83＝p ，log 35＝q ，则lg 5(用p 、q 表示)等于( )A ．3p ＋q 5B ．1＋3pq p ＋qC ．3pq 1＋3pqD ．p 2＋q 2解析：选C.因为log 83＝p ，所以lg 3＝3p lg 2，又因为log 35＝q ，所以lg 5＝q lg 3，所以lg 5＝3pq lg 2＝3pq (1－lg 5)，所以lg 5＝3pq1＋3pq，故选C.4．若函数f (x )＝a x －1的图象经过点(4，2)，则函数g (x)＝log a 1x ＋1的图象是( )解析：选D.由题意可知f (4)＝2，即a 3＝2，a ＝32.所以g (x )＝log 321x ＋1＝－log 32(x ＋1)．由于g (0)＝0，且g (x )在定义域上是减函数，故排除A ，B ，C. 5．(2019·瑞安四校联考)已知函数f (x )＝log 12|x －1|，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)<f (3) B ．f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (3) C ．f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0) D ．f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12 解析：选C.f ⎝⎛⎭⎫－12＝log 1232，因为－1＝log 122<log 1232<log 121＝0，所以－1<f ⎝⎛⎭⎫－12<0；f (0)＝log 121＝0；f (3)＝log 122＝－1，所以C 正确．6．设函数f (x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2的解集为( ) A ．(0，2] B ．⎣⎡⎦⎤12，2C ．[2，＋∞)D ．⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞)解析：选B.因为f (x )的定义域为R ，f (－x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1＝f (x )，所以f (x )为R 上的偶函数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减， 令t ＝log 2x ，所以log 12x ＝－t ，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2可化为f (t )＋f (－t )≥2，即2f (t )≥2，所以f (t )≥1，又因为f (1)＝log 122＋83＋1＝1，f (x )在[0，＋∞)上单调递减，在R 上为偶函数，所以－1≤t ≤1，即log 2x ∈[－1，1]，所以x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，故选B.7．(2019·瑞安市高三四校联考)若正数a ，b 满足log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b )，则1a ＋1b的值为________．解析：设log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b )＝k ，所以a ＝2k ，b ＝5k ，a ＋b ＝10k ，所以ab ＝10k ，所以a ＋b ＝ab ，则1a ＋1b＝1.答案：18．设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为________．解析：作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图，令|log a x |＝1.得x ＝a 或x ＝1a ，又1－a －⎝⎛⎭⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a＜0， 故1－a ＜1a－1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝23.答案：239．(2019·台州模拟)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解之得1<a <83，当0<a <1时，f (x )在x ∈[1，2]上是增函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1， 且8－2a <0，所以a >4，且a <1，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83. 答案：⎝⎛⎭⎫1，83 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ≤3，2－log 3x ，x ＞3，若a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围为________．解析：由f (a )＝f (b )＝f (c )，可知－log 3a ＝log 3b ＝2－log 3c ，则ab ＝1，bc ＝9，故a ＝1b ，c ＝9b，则a ＋b ＋c ＝b ＋10b ，又b ∈(1，3)，位于函数f (b )＝b ＋10b 的减区间上，所以193＜a ＋b ＋c ＜11.答案：⎝⎛⎭⎫193，11 11．函数f (x )＝log 12(a x －3)(a >0且a ≠1)．(1)若a ＝2，求函数f (x )在(2，＋∞)上的值域；(2)若函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，求a 的取值范围．解：(1)令t ＝a x －3＝2x －3，则它在(2，＋∞)上是增函数，所以t >22－3＝1， 由复合函数的单调性原则可知，f (x )＝log 12(2x －3)在(2，＋∞)上单调递减，所以f (x )<f (2)＝log 121＝0，即函数f (x )在(2，＋∞)上的值域为(－∞，0)．(2)因为函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，根据复合函数的单调性法则，所以t ＝a x－3在(－∞，－2)上单调递减且恒为正数，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，t min >a －2－3≥0，解得0<a ≤33. 12．(2019·浙江高考调研(一))已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2，其中x >0，a >0. (1)求函数f (x )的定义域；(2)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解：(1)由x ＋ax －2>0，得x 2－2x ＋a x>0.因为x >0，所以x 2－2x ＋a >0. 当a >1时，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)；当0<a <1时，定义域为(0，1－1－a )∪(1＋1－a ，＋∞)． (2)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋ax－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立，即a >－x 2＋3x 对x ∈[2，＋∞)恒成立， 记h (x )＝－x 2＋3x ，x ∈[2，＋∞)， 则只需a >h (x )max .而h (x )＝－x 2＋3x ＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，故a >2.[能力提升]1．设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z解析：选D.设2x ＝3y ＝5z＝k >1， 所以x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k .因为2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k 98log k 2·log k 3>0，所以2x >3y ；因为3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5＝log k 125243log k 3·log k 5<0，所以3y <5z ；因为2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5＝log k 2532log k 2·log k 5<0，所以5z >2x .所以5z >2x >3y ，故选D.2．(2019·宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，其中“同形”函数是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )解析：选A.f 3(x )＝log 2x 2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与f 3(x )的图象重合，故排除选项B ，D ；f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，将f 2(x )＝log 2(x ＋2)的图象沿着x 轴先向右平移两个单位得到y ＝log 2x 的图象，再沿着y 轴向上平移一个单位可得到f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x 的图象，根据“同形”函数的定义可知选A.3．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知函数f (x )＝ln(e 2x ＋1)－mx 为偶函数，其中e 为自然对数的底数，则m ＝________，若a 2＋ab ＋4b 2≤m ，则ab 的取值范围是________．解析：由题意，f (－x )＝ln(e －2x ＋1)＋mx ＝ln(e 2x ＋1)－mx ，所以2mx ＝ln(e 2x ＋1)－ln(e －2x ＋1)＝2x ，所以m ＝1，因为a 2＋ab ＋4b 2≤m ，所以4|ab |＋ab ≤1，所以－13≤ab ≤15，故答案为1，[－13，15]． 答案：1 [－13，15]4．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递减，若实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则a 的取值范围是________．解析：由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，即有f (x )＝f (|x |)， 由实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则有f (log 3a )＋f (－log 3a )≥2f (1)， 即2f (log 3a )≥2f (1)即f (log 3a )≥f (1)， 即有f (|log 3a |)≥f (1)，由于f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减， 则|log 3a |≤1，即有－1≤log 3a ≤1，解得13≤a ≤3.答案：⎣⎡⎦⎤13，3 5．(2019·金华十校联考)设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a <b . (1)求方程f (x )＝1的解；(2)若a ，b 满足f (a )＝f (b )＝2f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，求证：a ·b ＝1，a ＋b 2>1.解：(1)由f (x )＝1，得lg x ＝±1，所以x ＝10或110.(2)证明：结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0，1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1.又a ＋b 2＝1b ＋b2，令φ(b )＝1b ＋b (b ∈(1，＋∞))，任取1<b 1<b 2，因为φ(b 1)－φ(b 2)＝(b 1－b 2)·⎝⎛⎭⎫1－1b 1b 2<0， 所以φ(b 1)<φ(b 2)，所以φ(b )在(1，＋∞)上为增函数．所以φ(b )>φ(1)＝2.所以a ＋b2>1.6．已知函数f (x )＝log 2(mx 2－2mx ＋1)，m ∈R . (1)若函数f (x )的定义域为R ，求m 的取值范围；(2)设函数g (x )＝f (x )－2log 4x ，若对任意x ∈[0，1]，总有g (2x )－x ≤0，求m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为R ，即mx 2－2mx ＋1>0在R 上恒成立， 当m ＝0时，1>0恒成立，符合题意；当m ≠0时，必有⎩⎨⎧m >0Δ<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >04m 2－4m <0⇒0<m <1. 综上，m 的取值范围是[0，1)．(2)因为g (x )＝f (x )－2log 4x ＝f (x )－log 2x ， 所以g (2x )－x ＝f (2x )－2x ＝log 2(m ·22x －2m 2x ＋1)－2x ， 对任意x ∈[0，1]，总有g (2x )－x ≤0，等价于 log 2(m ·22x －2m ·2x ＋1)≤2x ＝log 222x 在x ∈[0，1]上恒成立 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ·22x －2m ·2x ＋1>0，（*）m ·22x －2m ·2x ＋1≤22x 在x ∈[0，1]上恒成立． 设t ＝2x ，则t ∈[1，2]，t 2－2t ≤0(当且仅当t ＝2时取等号)．(*)⇔⎩⎪⎨⎪⎧m （t 2－2t ）＋1>0，（**）m （t 2－2t ）＋1≤t 2在t ∈[1，2]上恒成立． 当t ＝2时，(**)显然成立．当t ∈[1，2)时，⎩⎪⎨⎪⎧m （t 2－2t ）＋1>0m （t 2－2t ）＋1≤t2⇔⎩⎪⎨⎪⎧m <－1t 2－2t m ≥t 2－1t 2－2t在t ∈[1，2)上恒成立．令u (t )＝－1t 2－2t，t ∈[1，2)，只需m <u (t )min .因为u (t )＝－1t 2－2t ＝－1（t －1）2－1在区间[1，2]上单调递增，所以m <u (t )min ＝u (1)＝1.令h (t )＝t 2－1t 2－2t，t ∈[1，2)，只需m ≥h (t )max .而t 2－1>0，t 2－2t <0，且h (1)＝0，所以t 2－1t 2－2t≤0.故m ≥0.综上，m 的取值范围是[0，1)．。

专题二 函数06 指数函数与对数函数1．若集合()12{|222}{|log 0}x x x x a >=-<，则实数a 的值为A ．12B ．2C ．32D ．1【答案】A【解析】由322222x>=，解得32x >； 由()1122log 0log 1x a -<=，解得1x a >+，因为()12{|222}{|log 0}x x x x a >=-<，所以312a +=，解得12a =． 故选A ．2．设命题21:1log 02xp q x <<()，:，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意知p ：x ＞0，q ：0＜x ＜1，显然，p ⇐q ，且p ⇏q ，故p 是q 的必要不充分条件． 故选B ．3．函数y =a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是【答案】C【解析】当x =1时，y =a 1－a =0，所以y =a x －a 的图象必过定点(1,0)，结合选项可知选C. 4．设 1.53131log e,e ,log 4a b c ===，则 A ．b a c << B ．c a b << C ．c b a << D ．a c b <<【答案】D【解析】因为 1.531331log e (0,1),e 2,log log 4(1,2)4a b c =∈=>==∈，所以b c a >>，选D ． 【名师点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小的问题，属于中档题.多个数比较大小的问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以0,1为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列. 5．函数 的图象如图所示，其中 为常数，则 的取值为A ．等于0B ．恒小于0C ．恒大于0D ．无法判断【答案】B【解析】由图象可知： 且 ， 所以 ，所以 ，则 . 故选B. 6．的单调递增区间是A ．B ． - ，C ． - ，-D ．【答案】D【解析】设，则函数为减函数，根据复合函数的单调性知，要求函数 的单调递增区间， 即求函数 的单调递减区间，的图象的对称轴为 ，单调递减区间为 ， 则函数 的单调递增区间为 . 故选D.【名师点睛】本题主要考查指数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）.7．函数()221x x y x =∈+R 的值域为A ．()0,+∞B ．()0,1C ．()1,+∞D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】221111212121x x x x xy +-===-+++， 20,121x x >∴+>，则11101,10,011212121x x x<<-<-<<-<+++， 即01y <<.故函数()221xx y x =∈+R 的值域为()0,1.故选B .8．设函数()()12(10)x x f x f x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩，， ，则()21log 3f +的值为 A ．124 B ．16C ．43D ．12【答案】C【解析】因为21log 32<<，所以()21log 3f +=()()()2221log 31log 3log 31f f f +-==-=()222433log log log 3442231log 32(log )()2242f f --=====43，故选C ．9．设偶函数()log a f x x b =-在(,0)-∞上是增函数，则()1f a +与()2f b +的大小关系是 A ．()()12f a f b +=+ B ．()()12f a f b +<+ C ．()()12f a f b +>+ D ．无法确定【答案】C【解析】因为函数()log ||a f x x b =-是偶函数，所以b ＝0，又因为函数()log a f x x b =-在(,0)-∞上是增函数，所以0＜a ＜1， 则112a b <+<+，则()1f a +>()2f b +，故选C ．10．若函数()222,2log (),2x x f x x a x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为(2)f ，则实数a 的取值范围为A ．0a <B ．0a >C ．0a ≤D ．0a ≥【答案】D【解析】当2x ≤时，f （x ）＝22x 22x --=，单调递减，∴f （x ）的最小值为f (2)=1；当x ＞2时，f （x ）＝()2l og x a +单调递增，若满足题意，只需()2log 1x a +≥，即2x a +≥，则2a x ≥-，∴a ≥0. 故选D ．11．若函数 ，且 的图象恒过点P ，则点P 的坐标为________．【答案】【解析】令x -1=0,得x =1,再把x =1代入 得y =1-2=-1, 所以图象恒过点P （1，-1）. 故答案为 .【名师点睛】（1）本题主要考查指数函数图象过的定点问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力；（2）指数函数 的图象过定点（0,1）. 12．已知 ， ，则 _________．【答案】45【解析】由题意可得： ，由对数恒等式可知： ， 则 .13．函数 的定义域为_____________.【答案】【解析】由题得 >0，所以 即 则. 所以函数的定义域为.故答案为.14．满足31()164x ->的x 的取值范围是__________.【答案】(,1)-∞ 【解析】31()164x ->即3211()()44x -->，利用指数函数的单调性，可得x －3＜－2，即x ＜1．15．若函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则不等式 的解集为__________．【答案】【解析】作出 的图象如图所示：故不等式 的解集为： ．16．已知函数f (x )的定义域是(1,2)，则函数f (2x )的定义域是A ．(0,1)B ．(2,4)C ．(12，1) D ．(1,2)【答案】A【解析】∵f (x )的定义域是(1,2)，∴1＜2x ＜2，即20＜2x ＜21，∴0＜x ＜1.故选A.17．已知，则A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】∵230.30.30.30.331log 0.3log 0.2log 0.2log 0.32=<=<=，∴13122，ba ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴123log ,02b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则12322,3log 2a b ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，而12122333log log 1,3log 4222-=<∴-<， 结合选项知224a b <-<. 故选B.18．已知函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()()()0.322,2,log 5a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为A ．c b a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B 【解析】00.310.3222,122<<∴<<，22log 5log 42>=，0.3222log 5∴<<，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，()()()0.3222log 5f f f ∴>>，即a b c >>，故选B ．19．已知f （x ）是定义在实数集R 上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则A ．f （20.7）＜f （﹣log 25）＜f （﹣3）B ．f （﹣3）＜f （20.7）＜f （﹣log 25）C ．f （﹣3）＜f （﹣log 25）＜f （20.7）D ．f （20.7）＜f （﹣3）＜f （﹣log 25） 【答案】A【解析】因为 是偶函数，故 ， ， 又 ， 在 上是单调增函数， 故 ，即 ， 故选A ．【名师点睛】一般地，如果 是 上的偶函数，那么 在 与 上的单调性相反；如果 是 上的奇函数，那么 在 与 上的单调性一致．20．已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增.若实数 满足 ，则 的取值范围是 A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】因为 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增， 所以函数f (x )是R 上的增函数， 由题得 ，所以 ， 所以 ， 所以|m -1|＜3， 所以-3＜m -1＜3， 所以-2＜m ＜4， 因为|m -1|>0，所以m ≠1， 故m ∈ . 故选A.21．已知1()e 44x f x x -=+-，若正实数a 满足3(log )14af <，则a 的取值范围为 A ．34a >B ．304a <<或43a >C ．304a <<或1a > D ．1a >【答案】C【解析】因为1e x y -=与44y x =-都是R 上的增函数，所以1()e44x f x x -=+-是R 上的增函数， 又因为11(1)e 441f -=+-=，所以()3(log )114af f <=等价于3log 14a <， 由1log a a =，知3log log 4a a a <，当01a <<时，log a y x =在()0,+∞上单调递减，故34a <，从而304a <<；当1a >时，log a y x =在()0,+∞上单调递增，故34a >，从而1a >， 综上所述， a 的取值范围是304a <<或1a >，故选C ． 22．已知函数()()208log 23f x x ax =-+．在(1,)-+∞上为减函数，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[54,]--【解析】设()223t x x ax =-+，则08log y t =．为减函数．由函数()()208log 23f x x ax =-+．在(1,)-+∞上为减函数，可得()223t x x ax =-+在(1,)-+∞上为增函数，则有()141230a t a ⎧≤-⎪⎨⎪-=++≥⎩，解得54a -≤≤-．故实数a 的取值范围为[54,]--．23．已知函数220|l (o |,0)g x f x x x x =⎧≤⎨>⎩， ，则使()12f x =的x 的集合是__________．【答案】2{1,,2}2- 【解析】当x ≤0时，由122x=，得x ＝－1．当x ＞0时，由21|log |=2x ，得21l o g 2x =或21log 2x =-．由21l o g 2x =，解得2x =；由21log 2x =-，解得1212222x -===．故填2{1,,2}2-．24．若不等式213232a x x --++≤对任意实数x 都成立，则实数a 的最大值为__________.【答案】13-【解析】设2()23,f x x x =-++不等式213232a x x --++≤对任意实数x 都成立，只需满足13max ()2a f x -≤即可，22max ()23(1)4()4,f x x x x f x =-++=--+⇒=所以13142,3aa -≤⇒≤-因此实数a 的最大值为13-.25．已知实数x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为__________．【答案】1【解析】因为x ＋2y ＝4 当且仅当 时取等号）， 所以xy 的最大值为2，所以log 2x ＋log 2y ， 所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1， 故答案为：1.【名师点睛】（1）本题主要考查基本不等式和对数的运算，考查对数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）使用基本不等式求最值时，要注意观察收集题目中的数学信息（正数、定值等），然后变形，配凑出基本不等式的条件.26．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<． 故选B ．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．27．（2019年高考天津理数）已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】因为551log 2log 52a =<=， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=， 10.200.50.50.5c <=<，即112c <<， 所以a c b <<. 故选A.【名师点睛】本题考查比较大小问题，关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较. 28．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取2,1a b ==，满足a b >，但ln()0a b -=，则A 错，排除A ； 由219333=>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，但|1||2|<-，则D 错，排除D ；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，即a 3−b 3>0，C 正确. 故选C ．【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．29．（2019年高考北京理数）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=2152lg E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10−10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=， 令211.45,26.7m m =-=-， 则()121222lg( 1.4526.7)10.1,55E m m E =-=⨯-+= 从而10.11210E E =. 故选A.【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算.30．（2019年高考浙江）在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是【答案】D【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合； 当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.31．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．32．（2018年高考天津卷理科）已知2log e a =，ln2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】D【解析】由题意结合对数函数的性质可知：2log e 1a =>，()21ln20,1log eb ==∈，12221log log 3log e 3c ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.【名师点睛】由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.对于对数的大小的比较，我们通常都是运用对数函数的单调性，但很多时候，因对数的底数或真数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较，这就必须掌握一些特殊方法．在进行对数的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据对数函数的单调性进行判断．对于不同底而同真数的对数的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．33．（2018年高考新课标Ⅲ卷理科）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+【答案】B 【解析】0.22log 0.3,log 0.3a b ==，0.30.311log 0.2,log 2a b ∴==，0.311log 0.4a b∴+=，1101a b ∴<+<,即01a bab+<<， 又0,0a b ><，0ab ∴<，∴0ab a b <+<. 故选B ．34．（2017年高考北京卷理科）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3xy =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数.故选A.【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数.35．（2017北京理）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080．则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据： 3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093【答案】D【解析】设36180310M x N ==，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310，故选D ． 【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =． 36．（2017天津理）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(l o g 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以当0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式． 37．（2017新课标全国I 理）设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k =，∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >，22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D ． 【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小．对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示．38．（2018年高考江苏卷）函数()2log 1f x x =-的定义域为________．【答案】[2，+∞）【解析】要使函数()f x 有意义，则需2log 10x -≥， 解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[)2,+∞.【名师点睛】求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.求解本题时，根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.39．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________． 【答案】3-【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =， 所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=， 所以3a -=，即3a =-．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．40．（2017年高考新课标Ⅲ卷理科）设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是 . 【答案】1(,)4-+∞【解析】由题意得：当12x >时，12221x x -+>恒成立，即12x >；当102x <≤时，12112xx +-+>恒成立，即102x <≤；当0x ≤时，1111124x x x ++-+>⇒>-，即104x -<≤.综上，x 的取值范围是1(,)4-+∞.。

第6讲 对数与对数函数[基础达标]1．实数lg 4＋2lg 5的值为( ) A ．2 B ．5 C ．10D ．20解析：选A.lg 4＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2 ＋lg 5)＝2lg (2×5)＝2lg 10＝2.故选A.2．函数f (x )＝ln （x ＋3）1－2x的定义域是( ) A ．(－3，0)B ．(－3，0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3，0)解析：选A.因为f (x )＝ln （x ＋3）1－2x，所以要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x >0，即－3<x <0.3．(2019·浙江省名校新高考研究联盟联考)若log 83＝p ，log 35＝q ，则lg 5(用p 、q 表示)等于( )A ．3p ＋q5B ．1＋3pq p ＋qC ．3pq 1＋3pqD ．p 2＋q 2解析：选C.因为log 83＝p ，所以lg 3＝3p lg 2，又因为log 35＝q ，所以lg 5＝q lg 3，所以lg 5＝3pq lg 2＝3pq (1－lg 5)，所以lg 5＝3pq1＋3pq，故选C.4．若函数f (x )＝ax －1的图象经过点(4，2)，则函数g (x )＝log a1x ＋1的图象是( )解析：选D.由题意可知f (4)＝2，即a 3＝2，a ＝32. 所以g (x )＝log 321x ＋1＝－log 32(x ＋1)．由于g (0)＝0，且g (x )在定义域上是减函数，故排除A ，B ，C.5．(2019·瑞安四校联考)已知函数f (x )＝log 12|x －1|，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (0)<f (3)B ．f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (3)C ．f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (0)D ．f (3)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 解析：选C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝log 1232，因为－1＝log 122<log 1232<log 121＝0，所以－1<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0；f (0)＝log 121＝0；f (3)＝log 122＝－1，所以C 正确．6．设函数f (x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2的解集为( )A ．(0，2]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，＋∞)D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 解析：选B.因为f (x )的定义域为R ，f (－x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1＝f (x )，所以f (x )为R 上的偶函数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减， 令t ＝log 2x ，所以log 12x ＝－t ，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2可化为f (t )＋f (－t )≥2，即2f (t )≥2，所以f (t )≥1，又因为f (1)＝log 122＋83＋1＝1，f (x )在[0，＋∞)上单调递减，在R 上为偶函数，所以－1≤t ≤1，即log 2x ∈[－1，1]，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，故选B.7．(2019·瑞安市高三四校联考)若正数a ，b 满足log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b )，则1a ＋1b的值为________．解析：设log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b )＝k ， 所以a ＝2k，b ＝5k，a ＋b ＝10k，所以ab ＝10k， 所以a ＋b ＝ab ，则1a ＋1b＝1.答案：18．设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为________．解析：作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图，令|log a x |＝1.得x ＝a 或x ＝1a，又1－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a＜0，故1－a ＜1a－1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝23.答案：239．(2019·台州模拟)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1， 解之得1<a <83，当0<a <1时，f (x )在x ∈[1，2]上是增函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1， 且8－2a <0，所以a >4，且a <1，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，8310．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ≤3，2－log 3x ，x ＞3，若a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b＋c 的取值范围为________．解析：由f (a )＝f (b )＝f (c )，可知－log 3a ＝log 3b ＝2－log 3c ，则ab ＝1，bc ＝9，故a ＝1b ，c ＝9b ，则a ＋b ＋c ＝b ＋10b ，又b ∈(1，3)，位于函数f (b )＝b ＋10b 的减区间上，所以193＜a ＋b ＋c ＜11.答案：⎝⎛⎭⎪⎫193，1111．函数f (x )＝log 12(a x－3)(a >0且a ≠1)．(1)若a ＝2，求函数f (x )在(2，＋∞)上的值域；(2)若函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，求a 的取值范围．解：(1)令t ＝a x－3＝2x－3，则它在(2，＋∞)上是增函数，所以t >22－3＝1， 由复合函数的单调性原则可知，f (x )＝log 12(2x－3)在(2，＋∞)上单调递减，所以f (x )<f (2)＝log 12 1＝0，即函数f (x )在(2，＋∞)上的值域为(－∞，0)．(2)因为函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，根据复合函数的单调性法则，所以t ＝a x－3在(－∞，－2)上单调递减且恒为正数，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，t min>a －2－3≥0，解得0<a ≤33. 12．(2019·浙江高考调研(一))已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ax－2，其中x >0，a >0.(1)求函数f (x )的定义域；(2)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解：(1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋ax>0.因为x >0，所以x 2－2x ＋a >0. 当a >1时，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)；当0<a <1时，定义域为(0，1－1－a )∪(1＋1－a ，＋∞)． (2)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0， 即x ＋ax－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立， 即a >－x 2＋3x 对x ∈[2，＋∞)恒成立， 记h (x )＝－x 2＋3x ，x ∈[2，＋∞)，则只需a >h (x )max .而h (x )＝－x 2＋3x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，故a >2.[能力提升]1．设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z解析：选D.设2x＝3y＝5z＝k >1， 所以x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k .因为2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k98log k 2·log k 3>0，所以2x >3y ；因为3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5＝log k125243log k 3·log k 5<0，所以3y <5z ；因为2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5＝log k2532log k 2·log k 5<0，所以5z >2x .所以5z >2x >3y ，故选D.2．(2019·宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，其中“同形”函数是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )解析：选A.f 3(x )＝log 2x 2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与f 3(x )的图象重合，故排除选项B ，D ；f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，将f 2(x )＝log 2(x ＋2)的图象沿着x 轴先向右平移两个单位得到y ＝log 2x 的图象，再沿着y 轴向上平移一个单位可得到f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x 的图象，根据“同形”函数的定义可知选A.3．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知函数f (x )＝ln(e 2x＋1)－mx 为偶函数，其中e 为自然对数的底数，则m ＝________，若a 2＋ab ＋4b 2≤m ，则ab 的取值范围是________．解析：由题意，f (－x )＝ln(e－2x＋1)＋mx ＝ln(e 2x ＋1)－mx ，所以2mx ＝ln(e 2x＋1)－ln(e－2x＋1)＝2x ，所以m ＝1，因为a 2＋ab ＋4b 2≤m ，所以4|ab |＋ab ≤1，所以－13≤ab ≤15，故答案为1，[－13，15]．答案：1 [－13，15]4．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递减，若实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则a 的取值范围是________．解析：由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，即有f (x )＝f (|x |)， 由实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则有f (log 3a )＋f (－log 3a )≥2f (1)， 即2f (log 3a )≥2f (1)即f (log 3a )≥f (1)， 即有f (|log 3a |)≥f (1)，由于f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减， 则|log 3a |≤1，即有－1≤log 3a ≤1， 解得13≤a ≤3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 5．(2019·金华十校联考)设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a <b . (1)求方程f (x )＝1的解；(2)若a ，b 满足f (a )＝f (b )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，求证：a ·b ＝1，a ＋b 2>1. 解：(1)由f (x )＝1，得lg x ＝±1， 所以x ＝10或110.(2)证明：结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0，1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1.又a ＋b 2＝1b ＋b2，令φ(b )＝1b ＋b (b ∈(1，＋∞))，任取1<b 1<b 2，因为φ(b 1)－φ(b 2)＝(b 1－b 2)·⎝⎛⎭⎪⎫1－1b 1b 2<0，所以φ(b 1)<φ(b 2)，所以φ(b )在(1，＋∞)上为增函数． 所以φ(b )>φ(1)＝2.所以a ＋b2>1.6．已知函数f (x )＝log 2(mx 2－2mx ＋1)，m ∈R . (1)若函数f (x )的定义域为R ，求m 的取值范围；(2)设函数g (x )＝f (x )－2log 4x ，若对任意x ∈[0，1]，总有g (2x)－x ≤0，求m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为R ，即mx 2－2mx ＋1>0在R 上恒成立， 当m ＝0时，1>0恒成立，符合题意；当m ≠0时，必有⎩⎪⎨⎪⎧m >0Δ<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >04m 2－4m <0⇒0<m <1.综上，m 的取值范围是[0，1)．(2)因为g (x )＝f (x )－2log 4x ＝f (x )－log 2x ，所以g (2x )－x ＝f (2x )－2x ＝log 2(m ·22x －2m 2x＋1)－2x ， 对任意x ∈[0，1]，总有g (2x)－x ≤0，等价于log 2(m ·22x－2m ·2x ＋1)≤2x ＝log 222x在x ∈[0，1]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ·22x－2m ·2x＋1>0，（*）m ·22x －2m ·2x ＋1≤22x在x ∈[0，1]上恒成立． 设t ＝2x ，则t ∈[1，2]，t 2－2t ≤0(当且仅当t ＝2时取等号)．(*)⇔⎩⎪⎨⎪⎧m （t 2－2t ）＋1>0，（**）m （t 2－2t ）＋1≤t 2在t ∈[1，2]上恒成立． 当t ＝2时，(**)显然成立．当t ∈[1，2)时，⎩⎪⎨⎪⎧m （t 2－2t ）＋1>0m （t 2－2t ）＋1≤t 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧m <－1t 2－2t m ≥t 2－1t 2－2t在t ∈[1，2)上恒成立． 令u (t )＝－1t 2－2t，t ∈[1，2)，只需m <u (t )min . 因为u (t )＝－1t 2－2t ＝－1（t －1）2－1在区间[1，2]上单调递增，所以m <u (t )min ＝u (1)＝1.令h (t )＝t 2－1t 2－2t，t ∈[1，2)，只需m ≥h (t )max .而t 2－1>0，t 2－2t <0，且h (1)＝0，所以t 2－1t 2－2t≤0.故m ≥0.综上，m 的取值范围是[0，1)．。

§ 2.6对数与对数函数教材研读1.对数的概念2.对数的性质与运算法则3.对数函数的图象与性质4.对数函数与指数函数的性质比较考点突破考点一对数的求值与化简考点二对数函数的图象与应用考点三对数函数的性质及应用教材研读对数的概念及运算1.对数的概念一般地,如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作①x =loga N,其中a叫做对数的底数,N叫做对数的真数.2.对数的性质与运算法则(1)对数的基本性质(a >0且a ≠1,N >0)a.log a 1=0;log a a =1;b.=②N ;log a a N=③N .(2)对数的运算法则如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么a.log a (MN )=log a M +log a N ;b.log a =log a M -log a N ;log a N a M Nc.log a M n=n log a M (n ∈R).(3)对数的换底公式及推论a.log a N =(a ,b >0,a ,b ≠1,N >0);b.lo b n =④log a b (a ,b >0且a ≠1,m ,n ∈R 且m ≠0);c.log a b ·log b a =1(a ,b >0且a ,b ≠1);d.log a b ·log b c ·log c d =log a d (a ,b ,c 均大于0且不等于1,d 大于0).log log b b N a g m a n m3.对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性质定义域:⑤(0,+∞)值域:⑥R过定点⑦(1,0),即⑧x=1时,⑨y=0当x>1时,⑩y>0;当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0是(0,+∞)上的增函数是(0,+∞)上的减函数知识拓展1.快速判断log a x符号的方法:给定区间(0,1)和(1,+∞),当a与x位于这两个区间中的同一个时,log a x>0,否则log a x<0.2.对数函数的变化特征在同一平面直角坐标系中,分别作出对数函数y=log a x,y=log b x,y=log c x,y= x(a>1,b>1,0<c<1,0<d<1)的图象,如图所示.logd作出直线y=1,分别与四个图象自左向右交于点A(c,1),B(d,1),C(a,1),D( b,1),得到底数的大小关系是b>a>1>d>c>0.4.对数函数与指数函数的性质比较1.(教材习题改编)函数f(x)=log2x2的大致图象是(D)2.已知1<m<n,令a=(log n m)2,b=log n m2,c=log n(log n m),则(D)A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b3 43 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭3.若log a <1(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是∪(1,+∞).4. 函数f (x )=lg 的定义域是{x |x >3或x <-2} ,函数g (x )=lg(x -3)-lg(x+2)的定义域是{x |x >3} .32x x -+5.函数f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则b-a的最小值为.2 3对数的求值与化简典例1(1)(2016浙江理,12,6分)已知a >b >1.若log a b +log b a =,a b =b a ,则a =4 ,b =2.(2)给出下列等式:①lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2)2=2;②2(+)lo =5;5232(32)g 5考点突破③=-;④(log 23+log 49+log 827+…+lo 3n )log 9=.其中计算正确的序号是①③④.2(lg3)lg91(lg 27lg8lg 1 000)lg0.3lg1.2-++-⨯322g n 32n 52解析(1)令log a b =t ,∵a >b >1,∴0<t <1,由log a b +log b a =得,t +=,解得t =或t =2(舍去),即log a b =,∴b 又a b =b a ,∴a ,即,,解得a =4,∴b =2.(2)①原式=2lg 5+lg 2×(1+lg 5)+(lg 2)2=2lg 5+lg 2×(1+lg 5+lg 2)=2lg 5+2lg 2=2;②)lo +5)lo ;521t 521212a a a a 2a a a 2a 3232g 53232g 3232g +15③原式===-;④原式=()log 932=n log 23·log 932=·=·=.233(lg3)2lg31lg33lg 222(lg31)(lg32lg 21)⎛⎫-++- ⎪⎝⎭-⋅+-3(1lg3)(lg32lg 21)2(lg31)(lg32lg 21)-⨯+--⨯+-322222log 3log 3log 3log 3n +++⋯+　个1n 1nlg3lg 2lg32lg9lg3lg 25lg 22lg352方法指导对数式求值化简的思想方法(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底数对数的积、商、幂再进行运算.易错警示对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数有意义的前提下才成立的,不能出现log212=log2[(-3)×(-4)]=log2(-3)+log2(-4)的错误.1-1(2017浙江台州调研)已知a =2x ,b =,则log 2b =,满足log a b ≤1的实数x 的取值范围是(-∞,0)∪.234434,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭解析log 2b =log 2=.利用换底公式,不等式log a b ≤1变形为≤1,即≤1,解得x <0或x ≥.2344322log log 2x b 43x 431-2给出下列等式:①+log 2=-2;②|1+lg 0.001|++lg 6-lg 0.02=6;③lo (2+)=-2;④=-3.其中计算正确的序号是①②④.222(log 5)4log 54-+1521lg 4lg343⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(23)g -35493257log 2log 811log log 43⋅⋅解析①原式=|log 25-2|+log 25-1=log 25-2-log 25=-2;②原式=|1-3|+|lg 3-2|+lg 300=2+2-lg 3+lg 3+2=6;③原式=lo =lo )-1=-1;④原式==-3.(23)g 23-(23)g 31lg 24lg32lg52lg7lg32lg 22lg53lg7⋅⋅-⋅典例2(1)若函数y=loga x(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( B)对数函数的图象与应用(2)函数f (x )=若a ,b ,c ,d 互不相同,且f (a )=f (b )=f (c )=f (d ),则abcd 的取值范围是(A )A.(24,25)B.[16,25)C.(1,25)D.(0,25]2|5||log |,04,2,4,x x x x -<≤⎧⎨>⎩解析(1)由题图可知y =log a x 的图象过点(3,1),∴log a 3=1,即a =3.A 项,y =在R 上为减函数,错误;B 项,y =x 3符合;C 项,y =(-x )3=-x 3在R 上为减函数,错误;D 项,y =log 3(-x )在(-∞,0)上为减函数,错误.(2)不妨设a <b <c <d ,作出函数f (x )的图象,如下图,13x⎛⎫ ⎪⎝⎭根据函数图象,若存在a <b <c <d 满足f (a )=f (b )=f (c )=f (d ),则<a <,2<b <4<c <5<d <6,14125-c=2d-5,且-log2a=log2b,2所以ab=1,c+d=10,所以abcd=cd=c(10-c)=-c2+10c.由4<c<5,易得adcd∈(24,25).故选A.方法指导(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合法求解.(2)对一些对数型方程、不等式问题的求解,常转化为相应函数图象问题,利用数形结合法求解.2-1(2019嘉兴一中月考)已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( D )A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1解析由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以0<a<1.又当x=0时,y> 0,即log a c>0,所以0<c<1.2-2若不等式x 2-log a x <0对任意x ∈恒成立,则实数a 的取值范围是( B )A.{a |0<a <1}B.C.{a |a >1}D.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1|116a a ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭1|016a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭解析由x 2-log a x <0得x 2<log a x ,设f 1(x )=x 2, f 2(x )=log a x ,x ∈时,要使不等式x 2<log a x 恒成立,只需f 1(x )=x 2在上的图象在f 2(x )=log a x 在上的图象的下方即可.当a >1时,显然不成立;当0<a <1时,如图所示, f 1≤f 2,所以有≤log a ,解得a ≥,∴≤a <1.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12⎛⎫ ⎪⎝⎭12⎛⎫ ⎪⎝⎭212⎛⎫ ⎪⎝⎭12116116典例3(2019河北石家庄模拟)已知函数y =f (x )的图象关于直线x =0对称,当x ∈(0,+∞)时, f (x )=log 2x ,若a =f (-3),b =f ,c =f (2),则a ,b ,c 的大小关系是(D )A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.a >c >b 14⎛⎫ ⎪⎝⎭对数函数的性质及应用命题方向一比较大小解析由函数y =f (x )的图象关于直线x =0对称得,y =f (x )是偶函数,由x ∈(0,+∞)时, f (x )=log 2x 得, f (x )在(0,+∞)上单调递增,又a =f (-3)=f (3),<2<3,所以f <f (2)<f (3),即a >c >b ,故选D.1414⎛⎫ ⎪⎝⎭方法技巧比较对数值的大小的方法(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较.(3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.命题方向二解简单对数不等式典例4(2019广西三市联考)已知在(0,+∞)上函数f (x )=则不等式log 2x -(lo 4x -1)f (log 3x +1)≤5的解集为(C )A. B.[1,4] C. D.[1,+∞)2,01,1,1,x x -<<⎧⎨≥⎩14g 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1,43⎛⎤ ⎥⎝⎦解析由题意知,原不等式等价于或解得1≤x ≤4或<x <1,∴原不等式的解集为.故选C.3214log 11,log (log 41)5x x x +≥⎧⎪⎨--≤⎪⎩32140log 11,log 2(log 41)5,x x x <+<⎧⎪⎨+-≤⎪⎩131,43⎛⎤ ⎥⎝⎦方法技巧解对数不等式的类型及方法(1)形如log a x >log a b 的不等式,借助y =log a x 的单调性求解,若a 的取值不确定,则需分a >1与0<a <1两种情况讨论.(2)形如log a x >b 的不等式,需先将b 化为以a 为底的对数式的形式.命题方向三对数函数性质综合应用典例5(2018浙江温州十校模拟)设函数f(x)=e x+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若实数a,b满足f(a)=g(b)=0,则(A)A.g(a)<0<f(b)B.f(b)<0<g(a)C.0<g(a)<f(b)D.f(b)<g(a )<0解析易知函数f (x )=e x+x -2是R 上的增函数,且f (0)=-1<0, f (1)=e-1>0,故0<a <1,且x >a 时, f (x )>0;x <a 时,f (x )<0.又易知g (x )=ln x +x 2-3在(0,+∞)上是增函数,且g (1)=-2<0,g 故1<b ,且x >b 时,g (x )>0;0<x <b 时,g (x )<0.由0<a <1<b ,得f (b )>0,g (a )<0,故选A.3333方法指导与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤(1)确定定义域;(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的,将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x);(3)分别确定这两个函数的单调区间;(4)若这两个函数同增或同减,则y=f(g(x))为增函数,若一增一减,则y=f( g(x))为减函数,即“同增异减”.3-1已知a =,b =log 2,c =lo ,则(C )A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a132-1312g 13解析由指数函数及对数函数的单调性易知0<<1,log 2<log 21=0,lo >lo =1,故选C.132-1312g 1312g 123-2已知函数f (x )=lg (a ≠1)是奇函数.(1)求a 的值;(2)若g (x )=f (x )+,x ∈(-1,1),求g +g 的值.11x ax++212x +12⎛⎫ ⎪⎝⎭12⎛⎫- ⎪⎝⎭解析(1)因为f (x )为奇函数,所以对定义域内任意x ,都有f (-x )+f (x )=0,即lg +lg =lg =0,所以a =±1,又a ≠1,所以a =-1.(2)因为f (x )为奇函数,所以f +f =0,令h (x )=,11x ax --11x ax ++22211x a x --12⎛⎫- ⎪⎝⎭12⎛⎫ ⎪⎝⎭212x +则h +h +=2,所以g +g =2.12⎛⎫ ⎪⎝⎭12⎛⎫- ⎪⎝⎭12+2112+12⎛⎫- ⎪⎝⎭12⎛⎫ ⎪⎝⎭。

第六节 对数与对数函数[考纲传真] 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，12的对数函数的图像.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．1．对数2.指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称．[常用结论]1．换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a； (2)log am b n ＝nm log a b .其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，m ，n ∈R. 2．对数函数的图像与底数大小的关系如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x ． ( ) (2)当x ＞1时，log a x ＞0．( )(3)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg[(x ＋3)(x －3)]的定义域相同． ( ) (4)对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图像不在第二、三象限．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞bD [∵0＜a ＝2－13＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝log1213＞log1212＝1，∴c ＞a ＞b .]3．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图像如图所示，则下列结论成立的是()A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1D [由图像可知y ＝log a (x ＋c )的图像是由y ＝log a x 的图像向左平移c 个单位得到的，其中0＜c ＜1.再根据单调性可知0＜a ＜1.]4．(教材改编)若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．(1，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1C [当0＜a ＜1时，log a 34＜log a a ＝1，∴0＜a ＜34；当a ＞1时，log a 34＜log a a ＝1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．]5．计算：2log 510＋log 514＝________，2log 43＝________.23 [2log 510＋log 514＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫102×14＝2，因为log 43＝12log 23＝log 23，所以2log 43＝2log 23＝3.]1．(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________.2 [原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋2lg 5＝2.] 2．2log 23＋log 43＝________.33 [原式＝2log 23·2log 43＝3·2log 23＝3 3.]3．log 23·log 38＋(3)log 34＝________.5 [原式＝3log 23·log 32＋3log 32＝3＋2＝5.]4．设2a＝5b＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________. 10 [∵ 2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m ＝10.]【例1】 (1)(2019·大连模拟)函数y ＝lg|x －1|的图像是( )A B C D(2)(2019·厦门模拟)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫0，22B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)(3)函数y ＝log a (x －2)＋2恒过定点P ，则点P 的坐标为________．(1)A (2)B (3)(3,2) [(1)函数y ＝lg|x －1|的图像可由函数y ＝lg|x |的图像向右平移1个单位得到，故选A ．(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，要使0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，只需f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图像在g (x )的图像下方即可．当a ＞1时不满足条件；当0＜a ＜1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图像，可知只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2＜log a 12，则a ＞22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.(3)由x －2＝1得x ＝3，当x ＝3时，y ＝2，则点P 的坐标为(3,2)．]aA B C D(2)函数y ＝log 2(x ＋1)的图像恒过定点P ，则点P 的坐标为________．(3)若不等式(x －1)2＜log a x 在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为________． (1)A (2)(0,0) (3)(1,2] [(1)由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图像关于y 轴对称．设g (x )＝log a |x |，先画出x ＞0时，g (x )的图像，然后根据g (x )的图像关于y 轴对称画出x ＜0时g (x )的图像，最后由函数g (x )的图像向上整体平移一个单位即得f (x )的图像，结合图像知选A ．(2)由x＋1＝1得x＝0，当x＝0时，y＝0，则点P的坐标为(0,0)．(3)设f 1(x)＝(x－1)2，f 2(x)＝log a x，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜log a x恒成立，只需f 1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图像在f 2(x)＝log a x图像的下方即可．当0＜a＜1时，显然不成立；当a＞1时，如图所示，要使x∈(1,2)时，f 1(x)＝(x－1)2的图像在f 2(x)＝log a x的图像下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a2，log a2≥1，所以1＜a≤2，即实数a的取值范围是(1,2]．]►考法1比较对数值的大小【例2】(1)已知a＝log29－log23，b＝1＋log27，c＝12＋log213，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞a＞b D．c＞b＞a(2)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞a＞c D．b＞c＞a(1)B(2)A[(1)a＝log29－log23＝log233，b＝1＋log27＝log227，c＝12＋log213＝log226，因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且27＞33＞26，所以b＞a＞c，故选B．(2)b＝log23＝12log23＞12，c＝log32＝12log32＜12，则b＞c，又a＝log3π＞log33＝1，b＝log23＜log22＝1，因此a＞b＞c，故选A．►考法2解对数不等式【例3】(1)(2018·江苏高考)函数f(x)＝log2x－1的定义域为________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log12(－x )，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________．(1)[2，＋∞) (2)(－1,0)∪(1，＋∞) [(1)由题意知，log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22. 解得x ≥2，即函数f (x )的定义域为[2，＋∞)． (2)由题意，得⎩⎨⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12(－a )＞log 2(－a )，即⎩⎨⎧ a ＞0，log 2a ＞0或⎩⎨⎧a ＜0，log 2(－a )＜0，解得a ＞1或－1＜a ＜0.] ►考法3 复合函数的单调性、值域或最值【例4】 函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)的递增区间为_____，值域为________．(2,5) [2log123，＋∞) [由－x 2＋4x ＋5＞0，解得－1＜x ＜5.二次函数y ＝－x 2＋4x ＋5的对称轴为x ＝2.由复合函数单调性可得函数f (x )＝log12(－x 2＋4x ＋5)的递增区间为(2,5)．又－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9≤9，所以f (x )≥log129＝2log123，即函数f (x )的值域为[2log123，＋∞)．](1)(2018·天津高考)已知a ＝log 372，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log1315，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)(3)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)(1)D (2)D (3)A [(1)c ＝log1315＝log 35，则log 35＞log 372＞log 33＝1，又⎝ ⎛⎭⎪⎫1413＜⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝1，因此c ＞a ＞b ，故选D.(2)当x ≤1时，21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x ＞1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x ＞1.综上可知x ≥0.(3)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎨⎧ g (1)＞0，a ≥1，即⎩⎨⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2，即a ∈[1,2)．]1．(2016·全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则( ) A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c b C ．a c ＜b cD ．c a ＞c bB[∵0＜c＜1，∴当a＞b＞1时，log a c＞log b c，A项错误；∵0＜c＜1，∴y＝log c x在(0，＋∞)上是减少的，又a＞b＞0，∴log c a＜log c b，B项正确；∵0＜c＜1，∴函数y＝x c在(0，＋∞)上是增加的，又∵a＞b＞0，∴a c＞b c，C项错误；∵0＜c＜1，∴y＝c x在(0，＋∞)上是减少的，又∵a＞b＞0，∴c a＜c b，D项错误．]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.－7[由f(3)＝1得log 2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.]。

第6讲对数与对数函数[考纲解读] 1.理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，熟悉对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念及对数函数的相关性质，掌握其图象通过的特殊点．(重点、难点)3.通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系，并体会对数函数是一类重要的函数模型．y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点．预测2020年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题方向，此外，与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向，主要以复合函数的单调性、恒成立问题呈现.1．对数2．对数函数的图象与性质续表3．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数□01y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线□02y ＝x 对称．1．概念辨析(1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( )(3)函数y ＝ln 1＋x1－x 与y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )的定义域相同．( )(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．小题热身(1)已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是( )答案 B解析 y ＝log a (－x )的定义域是(－∞，0)，所以排除A ，C ；对于选项D ，由y ＝a x的图象知0<a <1，由y ＝log a (－x )的图象知a >1，矛盾，故排除D.故选B.(2)设a ＝log 213，b ＝e －12 ，c ＝ln π，则( )A ．c <a <bB ．a <c <bC ．a <b <cD ．b <a <c 答案 C解析 a ＝log 213<0，b ＝e － 12 ∈(0,1)，c ＝ln π>1，所以a <b <c .(3)有下列结论：①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若lg x ＝1，则x ＝10；④若log 22＝x ，则x ＝1；⑤若log m n ·log 3m ＝2，则n ＝9.其中正确结论的序号是________．答案 ①②③④⑤解析 lg (lg 10)＝lg 1＝0，故①正确；lg (ln e)＝lg 1＝0，故②正确；③④正确；log m n ·log 3m ＝log 3nlog 3m·log 3m ＝log 3n ＝2，故n ＝9，故⑤正确．(4)若函数y ＝f (x )是函数y ＝2x的反函数，则f (2)＝________. 答案 1解析 由已知得f (x )＝log 2x ，所以f (2)＝log 22＝1.题型 一 对数式的化简与求值1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f [f (1)]＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是________．答案 5解析 因为f (1)＝log 21＝0，所以f [f (1)]＝f (0)＝2. 因为log 312<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312 ＋1 ＝3log 32＋1＝2＋1＝3.所以f [f (1)]＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝2＋3＝5.2．计算下列各式： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)log 34273log 5[4 12 log 210－(33) 23 －7log 72]．解 (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1.＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34log 33－log 33·log 5(10－3－2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1log 55＝－14.3．已知log 189＝a,18b＝5，试用a ，b 表示log 3645. 解 因为log 189＝a,18b＝5，所以log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 189×51＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．如举例说明2(1)．(3)转化：a b＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．如举例说明3中18b＝5的变形．计算下列各式：(1)计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________； (2)若lg x ＋lg y ＝2lg (2x －3y )，则log 32 xy 的值为________；(3)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝________. 答案 (1)2 (2)2 (3)54解析 (1)原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 52＝lg 2×lg 100＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2. (2)由已知得lg (xy )＝lg (2x －3y )2，所以xy ＝(2x －3y )2，整理得4x 2－13xy ＋9y 2＝0，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－13×x y＋9＝0，解得x y ＝1或x y ＝94.由x >0，y >0,2x －3y >0可得xy＝1，不符合题意，舍去，所以log 32 x y ＝log 3294＝2.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54. 题型 二 对数函数的图象及应用1．(2019·某某模拟)函数f (x )＝lg (|x |－1)的大致图象是( )答案 B解析 易知f (x )为偶函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x －1，x >1，lg －x －1，x <－1，当x ＞1时，y ＝lg x 的图象向右平移1个单位，可得y ＝lg (x －1)的图象，结合选项可知，f (x )的大致图象是B.2．当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) 答案 B解析 构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的草图(图略)，可知，若g (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则a ＝22，所以a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 条件探究1 若举例说明2变为：若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，某某数a 的取值X围．解 若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 条件探究2 若举例说明2变为：若不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，某某数a的取值X 围．解 由x 2－log a x <0得x 2<log a x ，设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1.即实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.条件探究3 若举例说明2变为：当0<x ≤14时，x <log a x ，某某数a 的取值X 围．解 若x <log a x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时成立，则0<a <1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，如图所示，由图象知14<log a 14， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a12 >14，解得116<a <1.即实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1.1．对数函数图象的特征(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a >1时，图象上升；0<a <1时，图象下降．(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0<c <d <1<a <b .在x 轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大； 在x 轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大． (无论在x 轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大) 2．利用对数函数的图象可求解的三类问题(1)对数型函数图象的识别．解此类问题应从对数函数y ＝log a x 的图象入手，抓住图象上的三个关键点(a,1)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，特别地要注意a >1和0<a <1的两种不同情况．(2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．如举例说明2.1．已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )答案 B解析 因为lg a ＋lg b ＝0，所以lg (ab )＝0，所以ab ＝1，即b ＝1a，故g (x )＝－log b x＝－log 1ax ＝log a x ，则f (x )与g (x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，结合图象知，B 正确．2．设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值X 围是________．答案 (0,1)解析 由图象可知0<a <1<b <10，又因为|lg a |＝|lg b |＝c ，所以lg a ＝－c ，lg b ＝c ， 即lg a ＝－lg b ，lg a ＋lg b ＝0， 所以ab ＝1，于是abc ＝c ，而0<c <1. 故abc 的取值X 围是(0,1)． 题型 三 对数函数的性质及应用角度1 比较对数值的大小1．(2018·某某高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 D解析 因为e ＝2.71828…>2，所以a ＝log 2e>log 22＝1；b ＝ln 2<ln e ＝1；又因为c ＝log 1213＝log 23>log 22＝1，又因为a ＝log 2e<log 23＝c ，所以c >a >b .角度2 解对数不等式2．(2018·某某模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12 －x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1,0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 C解析 若a >0，则log 2a >log 12 a ，即2log 2a >0，所以a >1.若a <0，则log 12 (－a )>log 2(－a )，即2log 2(－a )<0，所以0<－a <1，－1<a <0.综上知，实数a 的取值X 围是(－1,0)∪(1，＋∞)． 角度3 与对数函数有关的综合问题 3．已知函数f (x －3)＝log ax6－x(a >0，且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)当0<a <1时，求函数f (x )的单调区间．解 令x －3＝u ，则x ＝u ＋3，于是f (u )＝log a 3＋u3－u (a >0，且a ≠1，－3<u <3)，所以f (x )＝log a 3＋x 3－x(a >0，且a ≠1，－3<x <3)．(1)因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x3－x ＝log a 1＝0，所以f (－x )＝－f (x )．又定义域(－3,3)关于原点对称．所以f (x )是奇函数．(2)令t ＝3＋x 3－x ＝－1－6x －3，则t 在(－3,3)上是增函数，当0<a <1时，函数y ＝log a t是减函数，所以f (x )＝log a3＋x3－x(0<a <1)在(－3,3)上是减函数， 即函数f (x )的单调递减区间是(－3,3)．1．比较对数值大小的方法若底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论若底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 若底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较，如举例说明12．求解对数不等式的两种类型及方法 类型 方法形如 log a x >log a b 借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论形如 log a x >b 需先将b 化为以a 为底的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解3．解决与对数函数有关的综合问题单调性的步骤 一求求出函数的定义域二判判断对数函数的底数与1的关系，分a >1与0<a <1两种情况判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”的原则判断函数的单调性，如举例说明3(2)1．(2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a c<b cB ．ab c<ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c 答案 C解析 解法一：由a >b >1,0<c <1，知a c>b c，A 错误； ∵0<c <1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，∴bc －1>ac －1，又ab >0，∴ab ·bc －1>ab ·ac －1，即ab c >ba c，B 错误；易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b >log c a ，∴log b c <log a c ，D 错误；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，∴－a log b c >－b log a c >0，∴a log b c <b log a c ，故C 正确．解法二：依题意，不妨取a ＝10，b ＝2，c ＝12.易验证A ，B ，D 错误，只有C 正确．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0log 2x ，x >0，若f [f (x )]≥－2，则x 的取值X 围为( )A ．[－2,1]B ．[42，＋∞)C ．[－2,1]∪[42，＋∞) D．[0,1]∪[42，＋∞) 答案 C解析 解法一：①若x ≤0，则f [f (x )]＝log 22x＝x ≥－2，所以－2≤x ≤0.②若x >1，则f [f (x )]＝log 2(log 2x )≥－2，log 2x ≥2－2，x ≥2 14 ＝42，所以x ≥42. ③若0<x ≤1，则f [f (x )]＝2log 2x＝x ≥－2， 所以0<x ≤1.综上知，x 的取值X 围是[－2,1]∪[42，＋∞)． 解法二：作出函数f (x )的图象如下：由图象可知，若f [f (x )]≥－2，则f (x )≥14或f (x )≤0.再次利用图象可知x 的取值X 围是[－2,1]∪[42，＋∞)． 3．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．答案 －14解析 f (x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (log 22＋log 2x ) ＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14， 所以当log 2x ＝－12，即x ＝22时，f (x )取得最小值－14.。

专题3.6 对数与对数函数（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.对数的运算性质与对数的换底公式相结合考查对数的运算，凸显数学运算的核心素养．2．与不等式等问题相结合考查对数函数的图象及其应用，凸显直观想象、数学运算的核心素养．3．与不等式等问题相结合考查对数函数的单调性、值域等性质，凸显直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．【知识点展示】1．对数2.对数函数：函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)叫做对数函数 3.对数函数的图象与性质定义域为(0，＋∞)4.常用结论（1）换底公式的三个重要结论 ①log a b ＝1log b a ；②log am b n＝n mlog a b ；③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .（2）底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0<c <d <1<a <b .在x 轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；在x 轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．(无论在x 轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大) 5．反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．【常考题型剖析】题型一 对数的概念与性质例1.（2022·浙江·高考真题）已知825,log 3ab ==，则34a b -=（ ）A ．25B ．5C ．259 D ．53例2．（2021·天津·高考真题）若2510a b ==，则11a b+=（ ）A ．1-B ．lg 7C ．1D ．7log 10【总结提升】1. 对数式log a N ＝b 是由指数式a b ＝N 变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值，而对数值b 是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a ＞0且a ≠1，N ＞0时，才有a x ＝N ⇔x ＝log a N . 2. 对数性质在计算中的应用(1)对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质． 3. 运用对数恒等式时注意事项(1)对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用． 题型二： 对数的化简与求值例3．（2014·四川·高考真题（文））已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d =，则下列等式一定成立的是 A ．d ac = B ．a cd = C ．c ad = D ．d a c =+例4.（2014·安徽·高考真题（文））34331654+log log 8145-⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 【规律方法】 1.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．2.应用换底公式应注意的事项(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用． 3．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化． 4．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数． 思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值． 题型三：对数函数的概念例5．（2010·浙江·高考真题（文））已知函数2()log (1)=+f x x ，若()1f α=，则α=（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3例6．（2010·山东·高考真题（文））函数2()log 31()x f x =+的值域为（ ）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞例7．（2020·北京·高考真题）函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 题型四：对数函数的图象及应用例8.（2007·湖南·高考真题（文））函数244 1(){431x x f x x x x -≤=-+>，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是 A ．1B ．2C ．3D ．4例9．（2008·山东·高考真题（文））已知函数()log (21)(01)xa f xb a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ）A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101b a -<<<D ．1101a b --<<<例10．（2012·湖南·高考真题（理））已知两条直线1l ：y =m 和2l ： y=821m +(m ＞0)，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C,D .记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，ba的最小值为A ．B ．C ．D ．例11.（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0)1)a f x x a a =>≠且，作出|()|y f x =的大致图像并写出它的单调性； 【总结提升】log a y x =的底数变化，其图象具有如下变化规律：（1）上下比较：在直线1x =的右侧，1a >时，底大图低（靠近x 轴）；01a <<时，底大图高（靠近x 轴）．（2）左右比较（比较图象与1y =的交点）：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.【特别提醒】对于对数概念要注意以下两点： (1)在函数的定义中，a >0且a ≠1.(2)在解析式y ＝log a x 中，log a x 的系数必须为1，真数必须为x ，底数a 必须是大于0且不等于1的常数．题型五：对数函数的性质及应用 例12.（2007·山西·高考真题（理））设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则a =( )A ．B ．2C ．2D ．4例13.（2020·海南·高考真题）已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞例14.（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b例15.（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>例16．（2011·辽宁·高考真题（理））设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则满足()2f x ≤的x 取值范围是（ ）A ．[-1,2]B ．[0,2]C ．[1,+∞）D ．[0,+∞）【总结提升】1.对数值log a x 的符号(x >0，a >0且a ≠1)规律：“同正异负”．(1)当0<x <1,0<a <1或x >1，a >1时，log a x >0，即当真数x 和底数a 同大于(或小于)1时，对数log a x >0，即对数值为正数，简称为“同正”；(2)当0<x <1，a >1或x >1,0<a <1时，log a x <0，即当真数x 和底数a 中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x 和底数a 的取值范围“相异”时，对数log a x <0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”．2.比较对数式大小的类型及相应的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． (3)若底数与真数都不同，则常借助1,0,-1等中间量进行比较． 3. 解对数不等式的类型及方法（1）形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．（2）形如log a x ＞b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．题型六：对数函数、指数函数图象和性质的综合运用例17.（2013·天津·高考真题（理））0.5()21xf x log x =-的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4例18．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+例19．（2020·全国·高考真题（理））若2233x y x y ---<-，则（ ） A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<例20．（2015·山东·高考真题）已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在区间[]2,4-上的最大值是16，（1）求实数a 的值；（2）假设函数()()22log 32g x x x a =-+的定义域是R ，求不等式()log 121a t -≤的实数t 的取值范围．【总结提升】1.复合函数y ＝f [g (x )]及其里层函数μ＝g (x )与外层函数y ＝f (μ)的单调性之间的关系(见下表).2.①由f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )直接列关于参数的方程(组)，解之得结果．②由f (－a )＝f (a )或f (－a )＝－f (a )(其中a 是某具体数)得关于参数的方程(组)，解之得结果，但此时需检验． 3.用定义证明形如y ＝log a f (x )函数的单调性时，应先比较与x 1，x 2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系．专题3.6 对数与对数函数（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.对数的运算性质与对数的换底公式相结合考查对数的运算，凸显数学运算的核心素养．2．与不等式等问题相结合考查对数函数的图象及其应用，凸显直观想象、数学运算的核心素养．3．与不等式等问题相结合考查对数函数的单调性、值域等性质，凸显直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．【知识点展示】1．对数2.对数函数：函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)叫做对数函数 3.对数函数的图象与性质定义域为(0，＋∞)4.常用结论（1）换底公式的三个重要结论 ①log a b ＝1log b a ；②log am b n＝n mlog a b ；③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .（2）底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0<c <d <1<a <b .在x 轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；在x 轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．(无论在x 轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大) 5．反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．【常考题型剖析】题型一 对数的概念与性质例1.（2022·浙江·高考真题）已知825,log 3ab ==，则34a b -=（ ）A ．25B ．5C ．259 D ．53【答案】C 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】 因为25a=，821log 3log 33b ==，即323b =，所以()()22323232452544392a aa b b b -====． 故选：C.例2．（2021·天津·高考真题）若2510a b ==，则11a b+=（ ）A ．1-B ．lg 7C ．1D ．7log 10【答案】C 【解析】 【分析】由已知表示出,a b ，再由换底公式可求. 【详解】2510a b ==，25log 10,log 10a b ∴==，251111lg 2lg 5lg101log 10log 10a b ∴+=+=+==. 故选：C.【总结提升】1. 对数式log a N ＝b 是由指数式a b ＝N 变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值，而对数值b 是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a ＞0且a ≠1，N ＞0时，才有a x ＝N ⇔x ＝log a N . 2. 对数性质在计算中的应用(1)对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质． 3. 运用对数恒等式时注意事项(1)对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用． 题型二： 对数的化简与求值例3．（2014·四川·高考真题（文））已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d =，则下列等式一定成立的是 A ．d ac = B ．a cd = C ．c ad = D ．d a c =+【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：5log ,lg b a b c ==相除得55log ,log 10lg b a a b c c ==，又5510,log 10d d =∴=，所以ad cd a c=⇒=.选B.例4. （2014·安徽·高考真题（文））34331654+log log 8145-⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 【答案】278【解析】 【详解】试题分析：原式=344332542727log log 134588-⎡⎤⎛⎫+⨯=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【规律方法】1.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．2.应用换底公式应注意的事项(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用． 3．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化． 4．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数． 思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值． 题型三：对数函数的概念例5．（2010·浙江·高考真题（文））已知函数2()log (1)=+f x x ，若()1f α=，则α=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【解析】 【分析】代入函数式，由对数的定义求解． 【详解】由题意2()log (1)1f αα=+=，12α+=，1α=． 故选：B ．例6．（2010·山东·高考真题（文））函数2()log 31()x f x =+的值域为（ ）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数的性质求得311x +>，再由对数函数的性质可得结果.【详解】 30x >， 311x ∴+>，()2log 310x ∴+>，∴函数()f x 的值域为(0,)+∞. 故选：A例7．（2020·北京·高考真题）函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞ 【解析】 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【详解】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞题型四：对数函数的图象及应用例8.（2007·湖南·高考真题（文））函数244 1(){431x x f x x x x -≤=-+>，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：解：在同一坐标系中画出函数的图象和函数g （x ）=log 2x 的图象，如下图所示：由函数图象得，两个函数图象共有3个交点，故选C.例9．（2008·山东·高考真题（文））已知函数()log (21)(01)xa f xb a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ）A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101b a -<<<D ．1101a b --<<<【答案】A 【解析】 【详解】本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小．由图易得1a >，101a -∴<<；取特殊点01log 0a x y b =⇒-<=<， 11log log log 10aa ab a⇒-=<<=，101a b -∴<<<．选A ． 例10．（2012·湖南·高考真题（理））已知两条直线1l ：y =m 和2l ： y=821m +(m ＞0)，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C,D .记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，ba的最小值为A．B．C．D．【答案】B 【解析】 【详解】 【分析】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)， 2log y x =图像如下图， 由2log x = m ，得122,2mmx x -==， 2log x = 821m +，得 821821342,2m m x x +-+==.依照题意得8218218218212222,22,22m m mmm m m m b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==.8141114312122222m m m m +=++-≥-=++， min ()b a∴=【点评】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)，2log y x =图像，结合图像可解得.例11.（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0)1)a f x x a a =>≠且，作出|()|y f x =的大致图像并写出它的单调性； 【答案】详见解析. 【解析】 【分析】分1a >和01a <<，先作出函数()log a f x x =的图象，再得到|()|y f x =的图象求解.【详解】 当1a >时，函数()log a f x x =的图象，如图所示：则|()|y f x =的图象，如图所示：由图象知：|()|y f x =在()0,1上递减，在()1,+∞上递增；当01a <<时，函数()log a f x x =的图象，如图所示：则|()|y f x =的图象，如图所示：由图象知：|()|y f x =在()0,1上递减，在()1,+∞上递增；【总结提升】log a y x =的底数变化，其图象具有如下变化规律：（1）上下比较：在直线1x =的右侧，1a >时，底大图低（靠近x 轴）；01a <<时，底大图高（靠近x 轴）．（2）左右比较（比较图象与1y =的交点）：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.【特别提醒】对于对数概念要注意以下两点： (1)在函数的定义中，a >0且a ≠1.(2)在解析式y ＝log a x 中，log a x 的系数必须为1，真数必须为x ，底数a 必须是大于0且不等于1的常数． 题型五：对数函数的性质及应用 例12.（2007·山西·高考真题（理））设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则a =( )A ．B ．2C ．2D ．4【答案】D 【解析】 【详解】 试题分析：设，函数为上的增函数，则在区间上的最小值为，最大值为，则，即为，解得，故选D ．例13.（2020·海南·高考真题）已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】首先求出()f x 的定义域，然后求出2()lg(45)f x x x =--的单调递增区间即可.【详解】由2450x x -->得5x >或1x <- 所以()f x 的定义域为(),1(5,)-∞-⋃+∞ 因为245y x x =--在(5,)+∞上单调递增 所以2()lg(45)f x x x =--在(5,)+∞上单调递增 所以5a ≥ 故选：D例14.（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．c <a <b【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<. 故选：A.例15.（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>【答案】A 【解析】【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=．又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >， 所以8log 989890m b =-<-=．综上，0a b >>． 故选：A.例16．（2011·辽宁·高考真题（理））设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则满足()2f x ≤的x 取值范围是（ ）A ．[-1,2]B ．[0,2]C ．[1,+∞）D ．[0,+∞）【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式，结合指对数函数的单调性，讨论不同区间对应()2f x ≤的x 范围，然后取并. 【详解】由1122x x -≤⎧⎨≤⎩，可得01x ≤≤；或211log 2x x >⎧⎨-≤⎩，可得1x >；综上，()2f x ≤的x 取值范围是[0,)+∞. 故选：D 【总结提升】1.对数值log a x 的符号(x >0，a >0且a ≠1)规律：“同正异负”．(1)当0<x <1,0<a <1或x >1，a >1时，log a x >0，即当真数x 和底数a 同大于(或小于)1时，对数log a x >0，即对数值为正数，简称为“同正”；(2)当0<x <1，a >1或x >1,0<a <1时，log a x <0，即当真数x 和底数a 中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x 和底数a 的取值范围“相异”时，对数log a x <0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”．2.比较对数式大小的类型及相应的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0,-1等中间量进行比较． 3. 解对数不等式的类型及方法（1）形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．（2）形如log a x ＞b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式． 题型六：对数函数、指数函数图象和性质的综合运用例17.（2013·天津·高考真题（理））0.5()21xf x log x =-的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】由题得0.50.5x log x =，在同一坐标系下，作出函数0,5|log |,0.5xy x y ==的图象，即得解.【详解】令0.50.5()210,0.5x xf x log x log x ==∴=-，在同一坐标系下，作出函数0,5|log |,(0.5)xy x y ==的图象，如图所示，由于0,5|log |,(0.5)xy x y ==的图象有两个交点，所以0.5()21xf x log x =-的零点个数为2,故选：B 例18．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x =+≥，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x x x y -=+=+≥，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于D ，4ln ln y x x =+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．例19．（2020·全国·高考真题（理））若2233x y x y ---<-，则（ ）A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【答案】A【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ---<-，根据()23t t f t -=-的单调性知x y <，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23t t f t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误； x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.例20．（2015·山东·高考真题）已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在区间[]2,4-上的最大值是16，（1）求实数a 的值；（2）假设函数()()22log 32g x x x a =-+的定义域是R ，求不等式()log 121a t -≤的实数t 的取值范围． 【答案】（1）2a =或14；（2）11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． 【解析】【分析】（1）当01a <<时，由函数()f x 在区间[]2,4-上是减函数求解；，当1a >时，函数()f x 在区间[]2,4-上是增函数求解；（2）根据()()22log 32g x x x a =-+的定义域是R ，由2320x x a -+>恒成立求解． 【详解】（1）当01a <<时，函数()f x 在区间[]2,4-上是减函数，因此当2x =-时，函数()f x 取得最大值16，即216a -=， 因此14a =． 当1a >时，函数()f x 在区间[]2,4-上是增函数，当4x =时，函数()f x 取得最大值16，即416a =，因此2a =．（2）因为()()22log 32g x x x a =-+的定义域是R ，即2320x x a -+>恒成立． 则方程2320x x a -+=的判别式∆<0，即()23420a --⨯<， 解得98a >， 又因为14a =或2a =，因此2a =． 代入不等式得()2log 121t -≤，即0122t <-≤，解得11 22t-≤<，因此实数t的取值范围是11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．【总结提升】1.复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单调性之间的关系(见下表).2.①由f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)直接列关于参数的方程(组)，解之得结果．②由f(－a)＝f(a)或f(－a)＝－f(a)(其中a是某具体数)得关于参数的方程(组)，解之得结果，但此时需检验．3.用定义证明形如y＝log a f(x)函数的单调性时，应先比较与x1，x2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系．。

2020年高考数学一轮复习《对数与对数函数》考纲解读1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念和单调性，掌握对数函数的图像经过的特殊点.3.认识到对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数(01)a a >≠且.命题趋势研究对数与对数函数是高中数学重要的内容之一，也是高考必考的知识点.试题的命制常以对数函数为载体考查函数的图像和性质、研究问题方法以及数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化的数学思想，同时也考查了考生分析与解决问题的能力，是高考考查的重点与难点，可以出现在各种题型中. 知识点精讲 一、对数概念(0)log (01)x a a N N n N a a =>⇔=>≠且，叫做以a 为底N 的对数.注：①0N >，负数和零没有对数；②log 10,log 1a a a ==； ③10lg log ,ln log e N N N N ==. 二、对数的运算性质(1)log ()log log (,);(2)log log log (,);(3)log log ();log (4)log (01,0,01)log a a a a a a n a a c a c MN M N M N R M M N M N R N M n M M R bb a a bc c a+++=+∈⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭=∈=>≠>>≠且且（换底公式）特殊地1log (,01,1)log a b b a b a b a=>≠≠且；log (5)log log (,0,0,1,)(6)(0,01)(6)log (,01).m a n a a NN a nb b a b m a n R ma N N a a a N N R a a =>≠≠∈=>>≠=∈>≠；且；且 化常数为指数、对数值常用这两个恒等式.三、对数函数（1）一般地，形如log (01)a y x a a =>≠且的函数叫对数函数.（2）对数函数log (01)a y x a a =>≠且的图像和性质，如表2-7所示.题型26 对数运算及对数方程、对数不等式 思路提示对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正. 一、对数运算例2.56552log 10log 0.25+=（ ）.0A.1B.2C.4D分析log log log log log ().n m n m a a a a a n x m y x y x y +=+=解析225555552log 10log 0.25log 10log 0.25log (1000.25)log 52+=+=⨯== 故选C .评注熟记对数的各种运算性质是求解本类问题的前提. 变式1 已知,x y 为正实数，则（ ）lg lg lg lg .222x y x y A +=+lg()lg lg .222x y x y B +=⋅ lg lg lg lg .222x y x y C ⋅=+lg()lg lg .222xy x y D =⋅解析 由y x y x xy lg lg lg lg )lg(2222==+故选D变式2 22(lg2)lg4lg5(lg5)+⋅+= ________..解析 22222)5(lg 5lg 2lg )2(lg )5(lg 5lg 4lg )2(lg +∙+=+∙+ 1)10(lg )5lg 2(lg )5(lg 5lg 2lg 2)2(lg 2222==+=+∙+=变式3 222lg 5lg8lg 5lg 20(lg 2)3++⋅+= ________.. 解析 2322)2(lg )4lg 5(lg 5lg 2lg 325lg 2)2(lg 20lg 5lg 8lg 325lg ++∙++=+∙++22)2(lg 4lg 5lg 2lg 25lg 2)5(lg +∙+++= )2lg 5(lg 2)2(lg 2lg 5lg 2)5(lg 22+++∙+= 32)2lg 5(lg 2=++=例2.57274log 81log 8+=________. .解析324327342324433log 81log 3log 3,log 8log 2log 2.3322====== 所以原式4317.326=+= 变式1= ________..解析 2222)22(246,)22()2(2222246-=-+=+∙+=+所以4)22()22()22()22(24624622=-++=-++=-++例2.58 lg30lg0.515()3⨯= ________.. 分析(,0)log log .c c a b a b a b =>⇒= 解析lg30lg 0.515(),3x ⨯= 则()lg0.5lg30lg0.5lg30111lg lg 5()lg 5lg lg30lg5lg0.5lg 333x ⎡⎤⎛⎫=⨯=+=⋅+⋅ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭(lg30lg3)lg5(lg5lg10)(lg1lg3)lg5lg3lg5lg3lg5lg3=+⋅+--=+⋅-⋅+ lg15=所以15x = 二、对数方程例2.59解下列方程：22111(1)(lg lg3)lg5lg(10);22(2)log (231) 1.x x x x x --=---+= 分析利用对数的运算性质化简后求解.解析（1）11(lg lg 3)lg 5lg(10)22x x -=--，首先方程中的x 应满足10x >，原方程可变形为lg lg32lg5lg(10)x x -=--，即25lg lg 310x x =-，得25310x x =-，从而15x =或5x =-（舍），经检验，15x =是原方程的解.（2）221log (231)1x x x --+=，222210112311x x x x x ⎧->-≠⎪⇔⎨-+=-⎪⎩且，解得2x =. 经检验2x =是方程的解.评注解对数方程一定要注意对数方程成立条件下x 的取值范围，是检验求出的解是否为增根的主要依据.变式1 函数2()l o g (41).x f x a x=+- （1）若函数()f x 是R 上的偶函数，求实数a 的值； （2）若4a =，求函数()f x 的零点.解析 （1）若)(x f 是偶函数，则)1()1(f f =-，得a ++-)41(log 12 a -+=)41(log 2，得24log 45log 5log 2222==-=a ，故1=a 。

2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第二章 函 数第06讲 对数与对数函数 ---讲1. 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式. 2．理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用. 3.了解对数函数的变化特征. 4. 高考预测： （1）对数运算；（2）对数函数的图象和性质及其应用；（3）除单独考查外，在大题中考查对数运算、对数函数的图象和性质的应用是热点. 5.备考重点： （1）对数运算（2）对数函数单调性的应用，如比较函数值的大小； （3）图象过定点； （4）底数分类讨论问题.知识点1．对数及其运算1.对数的概念（1）如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.（2）对数的性质：①负数和零没对数；②10a log =；③1a log a =； （3）对数恒等式a log a N ＝N 2.对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log a m M n ＝nmlog a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).(3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . ③log a a b ＝b (a >0，且a ≠1)【典例1】（2019·山东高考模拟（文））设函数，则（ ）A ．9B ．11C ．13D ．15【答案】B 【解析】 ∵函数，∴=2+9=11．故选：B ． 【规律方法】 对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．【变式1】【2018届安徽省宿州市第三次检测】已知，，，则（ ）A. -2B. 2C.D.【答案】C 【解析】 由题意，设，则，，，据此有：，则：，即，据此可得：或，其中：，据此可得：，则.本题选择C 选项.知识点2．对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质【典例2】（2019·北京高考模拟（理））若函数则函数()f x 的值域是（ ）A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．[0,)+∞D ．【答案】A 【解析】画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为(),2-∞，故选A.【重点总结】应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【变式2】（2019·江西高三高考模拟（文））已知函数，若，则实数m 的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由函数的解析式可得函数为奇函数，绘制函数图像如图所示，f m>，则不等式即，即()0观察函数图像可得实数m的取值范围是.故选：A.考点1 对数的化简、求值【典例3】（2019·北京高考真题（文））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为m k的星的亮度为E k（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A．1010.1B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选：A.【易错提醒】(1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误．(2)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．【变式3】则a ＝ ，b ＝ .【答案】4，2. 【解析】设，因为，因此考点2 对数函数的图象及应用【典例4】（2019·四川省眉山第一中学高三月考（文））函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 对于A 、B 两图， ，而ax 2+bx=0的两根为0和，且两根之和为，由图知0＜＜1得-1＜＜0，矛盾，对于C 、D 两图，0＜＜1，在C 图中两根之和＜-1，即＞1矛盾，C 错，D 正确．故选：D ． 【总结提升】log a y x =的底数变化，其图象具有如下变化规律：（1）上下比较：在直线1x =的右侧，1a >时，底大图低（靠近x 轴）；01a <<时，底大图高（靠近x 轴）．（2）左右比较（比较图象与1y =的交点）：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.【变式4】【2018届四川省南充市三诊】在同一坐标系中，函数与的图象都正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，.所以函数单调递减，排除B，D.与的图象关于轴对称.排除A.故选A.考点3 对数函数的性质及应用【典例5】【2018年天津卷理】已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意结合对数函数的性质可知：，，，据此可得：.本题选择D选项.【总结提升】比较对数式大小的类型及相应的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． (3)若底数与真数都不同，则常借助1,0,-1等中间量进行比较．【变式5】【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， 从而是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，，0.822<，又4 5.18<<，则，所以即，，所以b a c <<，故选C ．【典例6】（2019·山东高考模拟（文））已知，若正实数a 满足，则a 的取值范围为（ ） A ．34a >B ．304a <<或43a > C ．304a <<或1a > D ．1a >【答案】C 【解析】 因为1x y e -=与44y x =-都是R 上的增函数，所以是R 上的增函数， 又因为所以等价于3log 14a<，由1log a a =，知,当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上单调递减，故34a <，从而304a <<；当1a >时，log a y x =在()0,∞+上单调递增，故34a >，从而1a >， 综上所述， a 的取值范围是304a <<或1a >，故选C. 【技巧点拨】解对数不等式的类型及方法（1）形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．（2）形如log a x ＞b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．【变式6】（2019·山东高考模拟（文））已知定义在R 上的函数()f x 在区间)[0+∞，上单调递增，且的图象关于1x =对称，若实数a 满足，则a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞【答案】C 【解析】 根据题意，的图象关于1x =对称，则函数()f x 的图象关于y 轴对称，即函数()f x 为偶函数，又由函数()f x 在区间)[0+∞，上单调递增， 则，即，解得：144a <<， 即a 的取值范围为1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭； 故选：C ．考点4 对数函数的综合应用【典例7】(2019·宜春中学、新余四中联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4－2a ，x ＜1，1＋log 2x ，x ≥1，若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(－∞，2]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)【答案】B【解析】当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x ≥1， 当x ＜1时，f (x )＝(a －1)x ＋4－2a 必须是增函数，且最大值大于或等于1，才能满足f (x )的值域为R ，可得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＞0，a －1＋4－2a ≥1，解得a ∈(1,2]．【总结提升】应用对数函数的图象和性质，解答与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性等问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．【变式7】【2018届河南省南阳市第一中学第十四次考】函数，则使得成立的取值范围是（ ） A. B.C.D.【答案】B 【解析】由题意知函数的定义域为，当时，，∴在上单调递减，∵是偶函数， ∴在上单调递增． ∵， ∴，两边平方后化简得且，解得或，故使不等式成立的取值范围是． 故选B ．。

2020年新高考数学一轮专题复习分项汇编：专题12 对数与对数函数（含解析）1．若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )A．log2x B．12xC．log 12x D．2x－2【答案】A[由题意知f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)，∵f(2)＝1，∴log a2＝1，∴a＝2.∴f(x)＝log2x.]2．(2019·山东烟台月考)函数f(x)＝x a满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|log a(x＋1)|的图象大致为( )A． B．C． D．【答案】C[方法一函数g(x)＝|log a(x＋1)|的定义域为：{x|x＞－1}，从而排除D；由g(x)＝|log a(x＋1)| ≥0，排除B；x＝0时，g(x)＝0，排除A．方法二由f(2)＝4，即2a＝4，得a＝2.先作出y＝log2x的图象，再将此函数图象向左平移1个单位，得函数y＝log2(x＋1)的图象，最后将此函数图象x轴上方部分不变，下方部分关于x轴对称进行翻折，即得g(x)＝|loga(x＋1)|的图象．]3．(2019·山西晋中月考)已知a＝2-13，b＝log213，c＝log13，则( )A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b【答案】D [∵0＜2－13＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝log 1213＝log 23＞log 22＝1，∴c ＞a＞B ．]4．(2019·福建龙岩月考)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3x ，直线y ＝a (a ＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( ) A ．x 2＜x 3＜x 1 B ．x 1＜x 3＜x 2 C ．x 1＜x 2＜x 3D ．x 3＜x 2＜x 1【答案】A [分别作出三个函数的大致图象，如图所示，由图可知，x 2＜x 3＜x 1.]5．(2019·山东济南月考)已知log 23＝a ，log 35＝b ，则lg 6＝( ) A ．11＋abB ．a 1＋abC ．b1＋abD ．a ＋11＋ab【答案】D [∵log 23＝a ，log 35＝b ，∴lg 3lg 2＝a ，lg 5lg 3＝1－lg 2lg 3＝b ，解得lg 2＝11＋ab，lg 3＝a1＋ab.∴lg 6＝lg 2＋lg 3＝11＋ab ＋a 1＋ab ＝1＋a 1＋ab.] 6．若函数f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1，2) B ．[1，2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)【答案】A [令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎨⎧g，a ≥1，即⎩⎨⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2)．]7．(2019·山东青岛月考)已知函数y ＝log a (x －1)(a >0，a ≠1)的图象过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝2x ＋b 的图象上，则f (log 23)＝________.【答案】－1 [由题意得A (2，0)，因此f (2)＝4＋b ＝0，b ＝－4，从而f (log 23)＝3－4＝－。