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结构力学 第5章 静定结构位移计算

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龙驭球《结构力学Ⅰ》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(静定结构位移计算虚力法)【圣才出品】

龙驭球《结构力学Ⅰ》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(静定结构位移计算虚力法)【圣才出品】

第5章静定结构位移计算的虚力法
5.1 复习笔记
本章重点介绍了虚力法的原理以及如何运用虚力法对不同结构在各种荷载作用下的指定位移进行求解。

遵循“化整为零、积零为整”的思想，对结构的局部位移公式进行了分项讨论，在虚力法的指导下叠加组成了结构的整体变形公式，随后将虚力法升华到了对广义单位荷载的设定以及对广义位移的求解；通过引入图乘法，结构的弯矩变形公式的求解变得更加快捷且精确；最后介绍了温度影响下结构的位移求解并归纳了线性变形体系的四个互等定理。

一、虚力法求刚体体系的位移（见表5-1-1）
表5-1-1 虚力法求刚体体系的位移
图5-1-1
二、虚力法求静定结构的位移（见表5-1-2）
表5-1-2 虚力法求静定结构的位移
表5-1-3 广义位移分类
三、两个对偶解法——虚力法求位移、虚位移法求内力（见表5-1-4）
表5-1-4 两个对偶解法——虚力法求位移、虚位移法求内力
四、荷载作用时静定结构的弹性位移计算（见表5-1-5）
表5-1-5 荷载作用时静定结构的弹性位移计算
五、图乘法（见表5-1-6）
表5-1-6 图乘法
图5-1-2 六、温度改变时静定结构位移计算（见表5-1-7）。

第5章结构位移计算

第5章结构位移计算
P A B P
1、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷 载为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
第5章
5.2
一、基本概念
虚功原理与位移计算一般公式
1、功：一般来说，力所作的功指力与力方向上位移乘积， 大小与作用点移动路线的形状、路程的长短有关。
i
Pi
i FR K CK
K
( M FQ 0 FN )ds
1）意义：虚功方程的每一项都是广义力与广义位移的 乘积。
2）虚位移原理：研究实际的平衡力系在虚设位移上的 功，以计算结构的未知力（如支座反力等）。 3）虚力原理：研究虚设的平衡力系在实际位移上的功， 以计算结构的未知位移（如挠度、转角等）。
MP EI
0 k
FQ P GA

FN P EA
于是：
FQ FQ P FF MMP cv ds k ds N NP ds EI GA EA
第5章
二、如何施加单位荷载（求线位移、角位移、相对位移） 求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。
B P=1 C P=1 A B C M=1
α
Mk
x
ω dx
x0
Mi
y0

B
A
xMk dx
MK对 y 轴的静矩。
Mi=xtgα
y0=x0tgα x

w y0
EI
说明：
1）条件：AB杆为棱柱形直杆，即EI等于常数； Mi与Mk图形中有一个是直线图形。
2）y0与ω的取值： y0一定取自直线图形， ω则取 自另一个图形，且取ω的图形的形心位置是已知 的，不必另行求解。

结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(荷载位移,图乘法)

结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(荷载位移,图乘法)

局部变形时静定结构的位移计算
⑴ 在要求的位移处，施加相应的单位荷载； ⑵ 利用力平衡条件，求出局部变形处对应的 内力M，FN，FQ； ⑶ 由虚力方程解出拟求位移： dΔ = ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds
Page 7
Δ A 1
B M
θ
14:32
LOGO
结构体位移计算的单位荷载法
真实荷载 弯曲 剪切
A
x
虚设荷载
B
b 截面参数 1 bh3 I=— 12 A =bh，k = 1.2
ql 4 1 2 qx dx 1.5 0 x Ebh3 2
l
变形类型
M P 0.5qx2
M x
FQP qx
F Q 1
MM P 1 ⑴ 弯曲变形引起的位移 M ds EI EI
Page 12
14:32
LOGO
荷载作用下的位移计算及举例
k F Q FQP F N FNP MM P ds ds ds EI EA GA
弯曲变形 拉伸变形 剪切变形
各类结构的位移公式
各类结构中三种变形的影响所占比重各不相同，故可简化； 例5-3 试求图示悬臂梁在A端的竖直 位移 Δ ，并比较弯曲变形和剪切变 形对位移的影响。设梁的截面为矩 形，泊松比1/3。 解：应用单位荷载法 A 1 q A x B
单位荷载法
单位荷载法求刚体体系位移
虚力原理
⑴ 虚力方程，实质为几何方程；
⑵ 虚力与实际位移状态无关，故可设 单位广义力 P = 1；单位荷载法 ⑶ 关键是找出找出虚力状态的静力平
衡关系。
Page 6
14:32

第5章 静定结构的位移计算

第5章 静定结构的位移计算

例5-2 图示简支梁在Ｂ支座有沉陷b，用虚力原理 求梁Ｃ点的竖向位移DCV。
分析：图示梁由于支座Ｂ的位移而发生如图示满足 约束的实际刚体位移状态。若再有一个恰当的满足 平衡条件的力状态，就可利用虚功原理求位移。
解：１）在结构的拟求位移点Ｃ虚设力FP，由静力 平衡条件求出支座反力 FBy ＝ FP a／l (↑) 显然虚 力系是满足静力平衡条件的力状态。 ２）令虚力系在实际位移上作虚功，由W=0，得虚 功方程：
三、静定桁架的位移计算 位移计算公式：D = ∑FNC FNPl/EA
(6-4-2)
例5-8 求图示桁架Ｄ点的竖向位移DDV和ＣＤ杆的 转角 。
解:１）计算FNP、FNC ３）代入公式求位移 DDV= [(-5/6)(-4.2)×5+(- 5/6)(-29.2)×5 +1×20×3+(2/3)(23.3)×4×2)]/EA = 2.643×10-3 m(↓) = [（-5/24)(-4.2) ×5+(5/24)(-29.2)×5 +23.3×4/6-23.3 ×4/6 ]/EA = -3.052× 10-3 ()
Ａ
０
B
位移与静力荷载
对于线弹性结构，在静力 荷载加载的过程中，结构 的位移和荷在成正比。 当结构的位移有一增量 dD时，静力功有增量： dW=Fp1dD 当静力达到最后值时总的 静力功为： W=∫dW=∫Fp1dD 由上式可看出，静力功是 图中三角型0AB的面积， 即： W=(1/2)FP1△11
说明：本例应用虚功原理求结构支座反力的方法叫 虚位移法。为简单起见，可设虚位移△B ＝1，则本 题求解过程如下 : FBy×1﹣FP dP=0 即， FBy﹣FP d P=0 由 d P= a／l 得， FBy＝ FP a／l (↑) 这样处理后的方法叫虚单位位移法（简称单位位移 法）。

第五章 结构位移计算

第五章 结构位移计算

8
1 虚功原理回顾
1. 功的定义: 功=力×力作用点沿其方向的位移
F A S B F
W F cos S 常力功
F

1 W F 2
变力功
9
其他形式的力或力系所作的功也用两个因子的 乘积表示为：功=广义力×广义位移
1)作功的力系为一个集中力
F
2)作功的力系为一个集中力偶
W F
虚拟状态
24
1
广义力与 广义位移对应
练习:
Fp=1
C Fp=1 B
求C点竖向位移
求B点水平位移
A
Fp=1 B
Fp=1
A
Fp=1
B Fp=1
求A、B两点 相对竖向位移
求A、B两点 相对水平位移
3 静定结构在荷载作用下的位移计算
1. 公式
当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位 移△KP，此时没有支座位移，故一般公式为
注意：１.适用于任何类型的结构，弹性、非弹性、线性、非线性；
２. 外力与虚位移相互独立，两者毫不相干，虚位移 由其它原因引起，外力在此虚位移上做虚功。
实际应用时两种情形：
a) 给定力状态，另设一位移状态，用虚功方程求力状态 的未知力，称为虚位移原理；
b)给定位移状态，另设一力状态，用虚功方程求位移状态的 18 未知位移，称为虚力原理。
第五章 虚功原理与结构位移
1
“位移”是连接静定结构与超静定 结构之间的桥梁和纽带
前面所学五种静定结构(梁,刚架,拱,桁架 ,组合结构) 的内力计算可归结为强度问题, 而结构力学的重要任务之一是解决刚度问 题——结构位移计算. 本章要讨论各种杆件结构的位移计算, 依据虚功原理.先推导出杆件结构位移计算 的一般公式,再讨论具体结构的位移.

结构力学5-6静定结构在非荷载因素作用下的位移计算

结构力学5-6静定结构在非荷载因素作用下的位移计算
F
N
图
⑵作单位荷载作用下的轴力图和弯矩图。 ⑶求D点竖向位移。

yD
10
2
2
20
2a 10
1 2 a a 2
1 2
a
20 0 .1 5 a

0 .1 5 a



1 2
a
2
M 图
2 5 a ( )
Kt

t0 A
F

N

பைடு நூலகம்
t
§5-6 静定结构在非荷载因素作用下的位移计算
5-6-1 由于温度变化、制造误差等引起的位移
中 性 轴 处 温 度 变 化 ： t0 h1 t 2 h 2 t 1 h
截 面 对 称 于 中 性 轴 时 ： t0
t1 t 2 2
杆 件 上 下 侧 温 度 变 化 之 差 ： t t 2 t1
F P i ii
§5-7 线性弹性体的互等定理 5-7-1 功的互等定理 5-7-2 位移互等定理
F Pi
ij
F Pj
ji
ji
ij
1
ij
1
ji
5-7-3 反力互等定理
r ji r ij
rii 0 r ji 1 rij 1 r jj 0
§5-7 线性弹性体的互等定理 5-7-1 功的互等定理 5-7-2 位移互等定理
F Pi
ij
F Pj
ji
ji
ij
5-7-3 反力互等定理 5-7-4 反力与位移互等定理
r ji r ij r ji ij
r ji 1 1 ij 0

05.静定结构的位移计算

3
A
计
例3:求图示桁架(各杆EA相同)k点 水平位移. 解：构造虚设的力状态
kx N P Nil EA
P
P
0
NP
0
P
a
2P
k
a
1

1 [( P )(1)a ( P )(1)a EA
Pa 2 P 2 2a ] 2(1 2 ) ( ) EA
1
2 2
2m
2m
2m
FB
0.67
1
0.33
0.25
1 .5
0 .5
1
二、变形体系的虚功原理和单位荷载法
（一）虚应变能
力状态的内力因位移状态的 相对变形而作虚功，这种虚 功称为虚应变能。
力状态
位移状态
V FN 1du2 FQ1dv2 M 1d2
V FN 1 2 dx FQ1 2 dx M1 2 dx
MP QP
q
[
q(l x)k q(l x) ]dx 0 GA 2 EI qkl2 ql 4 () 2GA 8EI
l 3
Mi
P 1
Qi lx
qkl2 ql 4 ip () 2GA 8EI ql 4 qkl2 设 : M , Q 8EI 2GA Q 4 EIk M GAl2 A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5,
（二）变形体的虚功原理
一个具有理想约束的变形体体系，若发生满足约束允许的 微小位移和变形（可能的），则该变形体体系上任意平衡 外力力系（可能的），在该位移上所作的总外力虚功等于 变形虚功。
W=Ｖ
对于直杆构成的结构

结构力学——静定结构位移计算

结构力学——静定结构位移计算在工程和建筑领域中，结构力学作为一门重要的学科，主要研究了结构的受力、变形、破坏机理等问题。

其中，静定结构位移计算是结构力学中的一个重要内容。

静定结构所谓静定结构，是指能够通过静力学方程求解出所有节点的受力、反力和变形的结构。

这种结构是不需要知道材料的物理性质和荷载的实际情况的。

在静定结构中，结构的支座固定方式和荷载情况是已知的，因此能够通过解决一组静力学方程，求解出结构中节点的受力和变形。

静定结构位移计算静定结构位移计算是静定结构的重要计算方法之一。

在结构分析中，位移是一种常见的形变量，它反映了物体在载荷作用下发生的形变情况。

在静定结构中，位移是结构的重要参数之一。

它可以通过求解一组线性方程组得到。

具体来说，就是通过应变—位移—节点力关系，将结构各节点位移用系数矩阵和加载节点力表示出来，再通过求解一个线性方程组，就可以得到各节点的位移值。

静定结构位移计算的步骤静定结构位移计算中的步骤包括：1.列出节点位移方程节点位移与内力之间有一定的关系，可以通过位移方程和内力方程来表示。

这些方程可以根据物理实际条件进行建立。

2.确定支座反力支座反力是从位移计算中得到的结果之一。

支座反力是指结构上所有支点所承受的力，在位移计算时是必须考虑的。

3.形成节点位移方程组形成节点位移方程组时，需要考虑杆件的个数、受力条件、材料特性、支座情况等因素。

4.解出节点位移通过解一个线性方程组，我们可以根据已知的节点力和位移方程，求出每个节点的位移值。

静定结构位移计算的应用静定结构位移计算在现代工程设计中具有广泛的应用。

它能够在保证结构稳定的前提下，可以对结构进行优化设计，提高结构的安全性、稳定性、经济性等方面的性能。

除此之外，静定结构位移计算还可以应用于建筑设计、桥梁设计、机械设计、工业生产等领域中。

它可以提供结构设计的数据支持，为结构工程的实施提供参考。

静定结构位移计算是结构力学中的一个重要方向，其计算方法基于静力学方程进行，其特点是简单、可靠和实用。

结构力学第五章 位移计算

k FQ P FQ
M ( x ) x l , M P ( x ) q (l x ) 2 / 2
FP 1 x
MP
例 2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知)
FP B FP=1 FP
FQ P M P
A
R
O
θ
R
FN P R
θ
FPF R sin , M k R R R3 M P P , i FP sin, FP R 设 : M Q N
3.变形体的虚功原理 （1）质点系的虚位移原理 具有理想约束的质点系，在某一 位置处于平衡的必要和充分条件 是： 对于任何可能的虚位移，作用 于质点系的主动力所做虚功之 和为零。也即
FP1
FN 1
FP 2
m1 m
2
FN 2
→. → ΣFi δri=0
（2）刚体系的虚位移原理
去掉约束而代以相应 的反力，该反力便可看 成外力。则有：刚体系 处于平衡的必要和充分 条件是：
铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度 (2) 超静定、动力和稳定计算
(3）施工要求
3.本章位移计算的假定 (1)
(2) (3)
线弹性 (Linear Elastic),
小变形 (Small Deformation), 理想联结 (Ideal Constraint)。

[
M PM EI

FN P FN EA
]ds
2.桁架
kp FN P FN EA FN P FN l EA ds
3.组合结构
kp
这些公式的适 用条件是什么?

龙驭球《结构力学Ⅰ》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(中册)-第五章【圣才出品】

第5章静定结构位移计算的虚力法
5.1复习笔记
本章重点介绍了虚力法的原理以及如何运用虚力法对不同结构在各种荷载作用下的指定位移进行求解。

遵循“化整为零、积零为整”的思想，对结构的局部位移公式进行了分项讨论，在虚力法的指导下叠加组成了结构的整体变形公式，随后将虚力法升华到了对广义单位荷载的设定以及对广义位移的求解；通过引入图乘法，结构的弯矩变形公式的求解变得更加快捷且精确；最后介绍了温度影响下结构的位移求解并归纳了线性变形体系的四个互等定理。

一、虚力法求刚体体系的位移（见表5-1-1）
表5-1-1虚力法求刚体体系的位移
二、虚力法求静定结构的位移（见表5-1-2）
表5-1-2虚力法求静定结构的位移
表5-1-3广义位移分类
三、两个对偶解法——虚力法求位移、虚位移法求内力（见表5-1-4）
表5-1-4两个对偶解法——虚力法求位移、虚位移法求内力
四、荷载作用时静定结构的弹性位移计算（见表5-1-5）
表5-1-5荷载作用时静定结构的弹性位移计算。

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2
虚设的力状态
B
B
结构力学
A
Structural Mechanics 第17页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
利用虚功方程有：
1 CH ( 2) (2)
得：
CH 2 2cm
【例题4】图示悬臂梁C点由于制造误差有一转角 ，求由 此引起的B点竖向位移 BY 。
α A 啊 C a b a B A 啊 a M C= b FP = 1 B b a
C
解：虚设一力状态：在B点加一竖向单位力，求出C点的 弯矩，并把C点的抗弯连系去掉，用弯矩MC表示。
AX BX AB相对水平位移：
CD相对转角：A B
第3页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
1、概述
除了荷载以外，温度改变、支座移动、制造误差和材料 收缩等因素，都能使结构产生位移。 计算结构位移的目的：
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
2、支座移动产生的位移计算
支座移动产生的位移应采用刚体的虚力原理来计算。 图示简支梁B支座往下位移了 ，求由此产生的A点转角 A 。 虚设一个力状态，即在结构 A B 的A点作用一单位力矩。运用刚 A Δ L 体的虚功原理：虚设力状态上的 真实的位移状态 所有外力在真实的位移状态上所 做的虚功应该等于零，有： M=1 1 1 A 0 L 1/L 1/L 虚设的力状态 得： A L
【例题1】图示三铰刚架A支座往下位移了b，B支座往右位移 了a，求C点的竖向位移 CY ， C 和C点的相对转角 C 。 解：（1）求C点的竖向位移 CY
b A L/2 L/2 B a L
真实的位移状态
结构力学 Structural Mechanics 第9页
第一章位移计算 绪 论 第五章
其中： T FP1 12
●
——虚功
虚功原理
刚体虚功原理 变形体虚功原理
结构力学 Structural Mechanics 第5页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
结构力学 St 位移法
Chapter Displacement Method Chapter 1 7 Preface to Steel Structure
第六章
Chapter6
静定结构位移计算
Displacement Calculation
真实的位移状态
D
CY （ 2 0.01 0 0.01 ） 0.02m
2
结构力学 Structural Mechanics 第12页
A
虚设的力状态
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
虚设的力状态
CY
1 1 b a ( b a ) 2 4 2 4
Structural Mechanics 第10页
结构力学
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
第一章 论 第七章 绪 位移法
Chapter Displacement Method Chapter 1 7 Preface to Steel Structure
第五章
Chapter5
静定结构位移计算
Displacement Calculation
1、概述
2、支座移动产生的位移计算
3、力的虚设方法
4、制造误差产生的位移计算
结构力学 Structural Mechanics 第13页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
3、力的虚设法
力的大小—— 一般虚设单位力。 力的位置—— 作用在需要求位移的点及方向上。 力的方向—— 随意假设，若求出的位移是正的，说 明位移与假设的方向一致。若是负的， 说明与假设的方向相反 。 力的性质—— 求线位移加单位集中力；求转角加单位 力矩；求二点的相对水平或竖向位移加 一对相反的单位集中力；求二点相对转 角加一对单位力矩。
支座移动产生的位移——刚体位移 荷载作用产生的位移——变形体位移 制造误差产生的位移——刚体位移 温度改变产生的位移——变形体位移
显然支座移动产生的位移、制造误差产生的位移应该用刚 体的虚力原理计算。荷载作用产生的位移、温度改变产生的位 移应该用变形体的虚力原理计算。
结构力学 Structural Mechanics 第7页
由制造误差引起的位移计算公式如下：
FN M FQ
其中：
FN M FQ
——虚设单位力作用下产生的轴力、 剪力和弯矩。 ——由制造产生的轴向变形、弯曲 变形和剪切变形。

结构力学
正负号规定：虚内力与变形方向一致为正，方向相反为负。
Structural Mechanics 第19页
1、概述
结构位移——结构上的任意点由于各种原因产生的移动。 例如：工程结构在荷载作用下就会产生变形，由于变形，结 构上各点的位置就会发生移动。
q
AX
AX
BX
B
A A A A,
AY
A q C
B
C
C
D
D
A点位移：
A
A ——角位移
结构力学
AY AX ——线位移
Structural Mechanics
结构力学 Structural Mechanics 第14页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
FP=1 B C
FP=1 B C B
M=1 C
A
A
A
求C点竖向位移
（2）求铰C两侧截面的相对转角 C
在C点的两侧截面上加一对单位力矩，求出虚设力状态的 支座反力，如图所示，则：
D C B 0.01m 4m
D
M= 1 C
B
1/2
A
0.01rad 2m 2m 1m
A 2
真实的位移状态
虚设的力状态
1 C = （2 0.01 0.01 ） = 0.015 （rad） 2
结构力学 Structural Mechanics 第8页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
可以得出由支座移动引起的位移计算公式如下：
R c
其中： R —由虚设力产生的在有支座位移处的支座反力 c —真实的支座位移
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
1、概述
计算所采用的理论——虚功原理 1）复习一下相关概念
●
虚功——力在由其它原因产生的位移上所做的功。
1 A △11 △ 12 △22 Fp1 2 Fp2 B
5、温度作用时的计算
6、荷载作用下的位移计算
7、图乘法
8、线性变形体系的互等定理
结构力学 Structural Mechanics 第2页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
为了校核结构的刚度，保证它在使用过程中不致于发生 过大的变形。
●
在计算超静定结构时，除利用静力平衡条件外，还必须 考虑结构的位移条件，也就是说位移计算是超静定结构计算 的基础。
●
结构在制作、施工、架设和养护等过程中采取技术措施 时，也需要知道结构的位移。
●
结构力学 Structural Mechanics 第4页
刚体虚功原理：
所有外力所做的虚功等于零，即： W外 变形体虚功原理： 所有外力做的虚功=所有内力做的虚功，即：W外 W内 虚功原理： 虚力原理 虚位移原理
0
虚力原理——位移是真的，力是虚设的。用虚设力的 办法来求真实的位移。 虚位移原理——力是真的，位移是虚设的。用虚设位 移的办法来求真实的力。
FP=1 A FP=1
求B点水平位移
B A FP=1
求C点转角位移
B
FP=1
求A、B两点相对竖向位移
结构力学
求A、B两点相对水平位移