《二次函数的应用》(第2课时)示范公开课教学设计【北师大版九年级数学下册】

课题：二次函数的应用教课目的：1．经历研究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获取利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感觉数学模型思想和数学知识的应用价值.2．能够剖析和表示不一样背景下实质问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实质问题中的最大(小)值问题．3．能够对解决问题的根本策略进行反省，形成个人解决问题的风格．进一步领会数学与人类社会的亲密联系.教课要点与难点：要点：经历研究矩形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获取利用数学方法解决实质问题的经验，并进一步感觉数学模型思想和数学的应用价值.难点：能够剖析和表示不一样背景下实质问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实质问题．课前准备：导教案,多媒体课件．教课过程:一、创建情境，导入新课活动内容：〔利用导教案〕研究活动：以小组为单位，用长1米的绳索看哪个小组围成的图形最围成不一样的图形，多，并估量出所围成的这些图形中，哪个图形的面积最大？图形面积办理方式：学生先把答案写在导教案上，而后小组内沟通，班级内比较的到就地合款相等时面积最大.设计企图:增添学生的着手能力和小组合作研究能力，同时也为了复习图形的面积公式，会用估量的方法比较这些图形的面积大小，研究此中的规律，为本节课学习最大面积问题做好铺垫．二、研究学习，感悟新知活动内容：〔多媒体展现〕问题一：研究两边在直角三角形直角边上内接矩形的最大面积如图，在一个直角三角形的内部作一个长方形EABCD ，此中AB 和AD 分别在两直角边上．〔1〕设长方形的一边AB ＝x m ，那么AD 边的30mDC长度如何表示？〔2〕设长方形的面积为2AB y m ，当x 取何值时，40my 的值最大？最大值是多少？解：〔1〕∵BC ∥AD ，∴△EBC ∽△EAF ．∴EBBC ． EAAF又AB ＝x ，BE ＝40－x ，∴40xBC ．∴BC ＝3(40－x )． 4030 4∴ AD ＝BC ＝3(40－x )＝30－3x ． （ 4 42〕y ＝AB ·AD ＝x (30－3x )＝－3x 2＋30x4 432＝－ 〔x －40x ＋400－400〕32＝－ 〔x －40x ＋400〕＋300 ＝－3〔x －20〕2＋300．4当x ＝20时，y 最大＝300．即当x 取20m 时，y 的值最大，最大值是2300m ．办理方式：学生议论沟通，在导教案上达成后，学生之间相互展现结果议论增补 合时评论，并在多媒体上展现正确结果 .F教师设计企图：从矩形的面积公式下手，利用相像三角形的性质表示出此外一条边，才能列出函数表达式，这一过程先由学生独立思虑后，分组合作研究、沟通，帮助个别存在困难的同学解决．本题的思路也是解决矩形最大面积问题最常用的方法．问题二：研究一边在直角三角形斜边上内接矩形的最大面积〔多媒体展现〕如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，此中BC 在斜边上，A,D 在直角边上．假如设矩形的一边AD xm ，那么AB 边的长度如何表示？当x 取何值时，矩形面积y的值最大？最大值是多少？E解：设矩形的一边ADxm ，CN30m DBMFGA40m由GADGFD ，得ADGM ，EFGN即xGM ，5024 ∴GM12x ．252412x ． ∴ABMNGNGM25S 矩形ABCDADABx(24 12x)12x 2 24x ．2525当xb24 25时，y 有最大值，最大值为y最大值24 22a12300122()4()2525办理方式：在有了前面解答问题的经验以后，让学生自主研究，追求变量与不变量之间的关系，模仿第一种状况，再一次体验解决此类问题的步骤和方法，本环节相当于对问题 1的牢固练习，学生在仔细听讲的前提下达成应当没有问题，提示学生计算要仔细．设计企图：在上一道题的根基上，利用相像三角形的性质表示出矩形的另一条边长，列出二次函数表达式，但本题上了难度，难度在于利用的是相像三角形对应高的比等于相像比这一性质，并且还要用到等积法求直角三角形斜边上的高．充足发挥学生的主动研究能力，并由个别程度较好的学生解说，最后再板书进行反省总结．三、例题分析,新知应用活动内容：〔多媒体出比如题〕某建筑物的窗户以下列图，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的资料总长 (图中全部黑线的长度和)为15m ．当x 等于多少时，窗户经过的光芒最多 (结果精准到 0.01m)？此时，窗户的面积是多少？解：∵7 ＋4 y ＋π x＝15，x∴y ＝157x x ．4设窗户的面积是2(m)，那么SS ＝12＋ xy2 πx2＝1πx 2＋2x ·157xx24＝1πx 2＋x(157xx)22＝－3.5x 2＋7.5x215＝－3.5(x － x )＝－3.5(x －15)2＋1575． 14392∴当x ＝15≈1.07时， 141575S 最大＝≈4.02．2即当x ≈1.07m 时，S 最大≈4.02m ，此时，窗户经过的光芒最多．答案：2x时，.mS 最大m办理方式：本题含有两个图形的面积计算， 主假如想进一步提高学生剖析问题和解决问题的能力，牢固训练列二次函数表达式和求最值的方法． 让学生理解经过窗户光芒多少与窗户面积大小相关．本题办理起来比较繁琐，教师要赐予学生实时的指导和帮助， 同时也告诉学生数学根本运算也是培育大家做事谨慎、有耐心的一个很好的门路．设计企图：在学生已有的研究“面积最大值〞经验获取的领会中，让学生连续沿着这条研究路线走下去，既能牢固前面的研究方法，又能让学生再次感觉“数学根源于生活〞.方法提炼：我们已经做了许多用二次函数知识解决实质问题的例子， 此刻大家可否依据前面的例子作一下总结，解决此类问题的根本思路是什么呢？与伙伴进行沟通．〔学生议论，教师多媒体展现〕 理解问题；剖析问题中的变量和常量以及它们之间的关系； 用数学的方式表示它们之间的关系； 做函数求解；查验结果的合理性，拓展等．设计企图：一鼓作气，实时进行小结，总结做题的方法及思路，抓住这类题目的实质， 抵达贯通融会的目的和成效． 四、拓展提高 ,学致使用一养鸡专业户方案用 116m 长的篱笆笆靠墙围成一个长方形鸡舍，如何设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大？最大为多少？2解：设AB 长为x m ，那么BC 长为(116－2x )m ，长方形面积为 S m ．依据题意得 S ＝x (116－2x ) ＝－2x 2＋116x＝－2(x 2－58x ＋292－292)＝－2(x－29)2＋1682．当x＝29时，S有最大值1682，这时116－2x＝58．即设计成长为58m，宽为29m的长方形时，能使围成的长方形鸡舍的面积最大，最大面2积为1682m．办理方式：学生经过思虑并沟通议论，研究出需要利用本节课学的知识解决题目，教师利用多媒体展现答案.活动的设计意在经过问题的变式促进学生灵巧运用知识，在解决实质问题中,重视知识的展开,有利于后续学习兴趣的培育.设计企图：让同学们经过刚才的学习和体验后进行练习，深入浅出地对题目进行剖析和理解并解决问题，固然其实不要求他们在此后都用这样的方法解题，但对于培育他们形成优异的心理素质和培育他们剖析问题、解决问题的能力是很有帮助的．五、回想反省，提炼升华师：同学们，经过这节课的学习，你有哪些收获？那些迷惑？有何感想？学会了哪些方法？先想想，再分享给大家．1〕经过本节课掌握了利用相像三角形的性质表示矩形的另一边，是列矩形面积函数关系式的要点．2〕图形最大面积问题，实质上是二次函数的最值问题．3〕解决此类问题，第一要理解问题，剖析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系是难点，用数学的方式表示它们间的关系是要点，化归为二次函数运用公式求解是易错点，要做对做全需要我们必定根本功扎实，养成优异的数学修养！办理方式：学生畅聊自己的收获，教师增补.设计企图：讲堂总结是知识积淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反省与总结的习惯，进一步培育学生总结概括的能力与合作互帮的意识.六、达标检测，反响提高师：经过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请达成导教案中的达标检测题．〔同时多媒体出示〕如图,△ABC是一等腰三角形铁板余料,此中AB=AC=20cm,BC=24cm假定.在△ABC上截出一矩形部件DEFG,使EF在BC上,点D、G分别在边AB、AC上.A问矩形DEFG的最大面积是多少?D GCB E F C如图,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm点.P从点A开始,沿AB边向点B以每秒1cm的速度挪动;点Q从点B开始,沿着BC边向QA P B点C 以每秒2cm 的速度挪动.假如P,Q 同时出发,问经过几秒钟△PBQ 的面积最大?最大面积是多少?参照答案1.过A 作AM ⊥BC 于M,交DG 于N,那么AM=202122=16cm.设DE=x cm,S 矩形=y cm 2,那么由△ADG ∽△ABC,故AN DG 16xDG 3 AM,即,故DG=(16-x ).BC16242∴y =DG ·DE=3(16-x )x =-223(x-16x)=- 3(x-8)+96,22 2进而当x =8时,y 有最大值96.即矩形DEFG 的最大面积是96cm 2.2.设第t 秒时,△PBQ 的面积为y cm 2.那么∵AP=t cm,∴PB=(6-t )cm;又BQ=2t.∴y =1PB ·BQ=1(6-t )·2t =(6-t )t =-t 2+6t =-(t -3)2+9,22当t =3时,y 有最大值9.2故第3秒钟时△PBQ 的面积最大,最大值是 9cm.办理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校正，并统计学生答题状况．学生依据答案进行纠错．设计企图：学致使用，当堂检测实时获知学生对所学知识掌握状况，并最大限度地调换全体学生学习数学的踊跃性，使每个学生都能有所利润、有所提高，明确哪些学生需要在课后增强指导，抵达全面提高的目的．七、部署作业，讲堂延长必做题：课本47页，习题第1、2、3题． 选做题：课本48页，习题第4题．结束语：师：同学们，本节课的学习你们给我留下了深刻的印象， 同时也给了我太多的感人与惊 喜，感谢你们！就让我把这份感人与欣喜埋在心底“一世一世〞， 相信你们的明日会更美好！祝福同学们：象雄鹰同样飞的更高，飞的更远！〔多媒体播放歌曲“飞的更高〞结束本课〕学习不是一时半刻的事情，需要平常累积，需要平常的好学苦练。

二次函数的应用【教学内容】 二次函数的应用（二）【教学目标】知识与技能 正确分析和把握利润最大化问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．过程与方法 学会如何建立数学模型解决最优化问题，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．情感、态度与价值观 通过二次函数解决身边问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。

【教学重难点】重点：本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值难点：正确理解题意，找准数量关系.【导学过程】【情景导入】在实际生产中，我们都常常会考虑如何才能获得最大利润。

这节课，我们利用二次函数，求如何才能获得最大利润。

【新知探究】探究一、服装厂生产某品牌的T 恤衫成本是每件10元。

根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件。

请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？探究二、某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满。

经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间。

不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入会最高？探究三、某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，若每多种一棵，平均每棵树就会少结5个橙子。

（1）利用函数图象描述橙子的总产量y 个与增种橙子树的棵数x 之间的关系。

（2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？解：（1）当10<x 时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当10>x 时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减少。

（2）增种6 ~ 14棵，都可以使橙子总产量在60400个以上。

【知识梳理】本节课我们学习如何利用二次函数解决利润最大化问题。

【随堂练习】1．某商店经营T 恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？4．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？5．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？6．某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后知，成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克（1微克=10－3毫克）随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2＋bx＋c （a≠0）相吻合．并测得服用时（即时间为0时）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2小时每毫升血液中含药量为6微克；服用后3小时，每毫升血液中含药量为7．5微克．（1）试求出含药量y（微克）与服药时间x（小时）的函数表达式，并画出0≤x≤8内的函数图象的示意图．（2）求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少小时？（有效时间为血液中含药量不为0的总时间）7．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间．但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg，据测算，此后1kg活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg．（1）设x天后1kg活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数表达式；（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数表达式；（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？8．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x（1）求y与x的函数表达式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）函数表达式；（3）如果投入的广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？。

第2课时利用二次函数解决利润问题1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值.2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值,发展解决问题的能力.1.经历销售中最大利润问题的探究过程,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.2.发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.1.体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心.2.认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和人类发展的作用.【重点】1.探索销售中最大利润问题,从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.2.引导学生将简单的实际问题转化为数学问题,并运用二次函数知识求出实际问题的最大(小)值,从而得到解决某些实际生活中最大(小)值问题的思想方法.【难点】能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大(小)值问题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习关于销售的相关量之间的关系及二次函数最值的求法.导入一:【引入】如果你是某企业老总,你最关心的是什么?是的,当然是利润,因为它是企业生存的根本,并且每个企业都想在限定条件内获得更大利润.本节课我们就来探究形如最大利润的问题.[设计意图]开门见山,直入正题,让学生对本节课所要了解的知识一目了然,使他们的学习更有针对性.导入二:请同学们思考下面的问题:某工厂生产一种产品的总利润L(元)是产量x(件)的二次函数L=-x2+2000x-10000,则产量是多少时总利润最大?最大利润是多少?学生分析数量关系:求总利润最大就是求二次函数L=-x2+2000x-10000的最大值是多少.即L=-x2+2000x-10000=-(x2-2000x+10002-10002)-10000=-(x-1000)2+990000.∴当产量为1000件时,总利润最大,最大利润为99万元.【引入】显然我们可以通过求二次函数最大值来确定最大利润,你能利用这种思路求解下面的问题吗?[设计意图]让学生通过对导入问题的解答,进一步强化将实际问题转化为数学模型的意识,使学生感受到“何时获得最大利润”就是在自变量取值范围内,此二次函数何时取得最大值问题.服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5000件,并且表示单价每降价0.1元,愿意多经销500件.请你帮助分析,厂家批发单价是多少时可以获利最多?思路一教师引导学生思考下面的问题:1.此题主要研究哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?生审题后回答:批发价为自变量,所获利润为因变量.2.此题的等量关系是什么?3.若设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元,请完成下面的填空题:(1)销售量可以表示为;(2)每件T恤衫的销售利润可以表示为;(3)所获利润与批发价之间的关系式可以表示为.4.求可以获得的最大利润实质上就是求什么?【师生活动】教师启发学生依次探究问题,根据引导要求学生独立解答后,小组交流,共同解决所发现的问题.解:设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元.由题意得y=(x-10)=(70000-5000x)(x-10)=-5000(x-12)2+20000.∴当x=12时,y=20000.最大∴厂家批发价是12元时可以获利最多.思路二【思考】此题还有其他的解法吗?可以不直接设批发价吗?【师生活动】学生进行小组讨论,师巡视并参与到学生的讨论之中去.组长发言,师生共同订正.解:设降价x元,该服装厂获得的利润为y元.则y=(13-10-x)=(5000+5000x)(3-x)=-5000(x-1)2+20000,=20000.∴当x=1时,y最大13-1=12.∴厂家批发价是12元时可以获利最多.【教师点评】在利用二次函数解决利润的问题时,可以直接设未知数,也可以间接设未知数.[设计意图]让学生回顾列一元二次方程解决“每件商品的销售利润×销售这种商品的数量=总利润”这种类型的应用题,做好知识的迁移,为下一环节的教学做好准备,以便降低学生接受知识的(教材例2)某旅馆有客房120间,每间房的日租金为160元时,每天都客满.经市场调查发现,如果每间客房的日租金增加10元,那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素,旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?〔解析〕此题的等量关系是:客房日租金总收入=提价后每间房的日租金×提价后所租出去的房间数.如果设每间房的日租金提高x个10元,那么提价后每间房的日租金为(160+10x)元,提价后所租出去的房间数为(120-6x)间.解:设每间房的日租金提高10x元,则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为y元,则y=(160+10x)(120-6x),即y=-60(x-2)2+19440.∵x≥0,且120-6x>0,∴0≤x<20.=19440,当x=2时,y最大这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元),因此,每间客房的日租金提高到180元时,客房总收入最高,最高收入为19440元.[设计意图]让学生通过对例题的解答,进一步熟悉和掌握本课所学知识,拓宽知识面,使其解题能力和应用能力得到进一步提升.二、利用二次函数图象解决实际问题课件出示:【议一议】还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000.问题(1):利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.请同学们在课本第49页图2-11中画出二次函数y=-5x2+100x+60000的图象.要求:同伴合作,画出图象.师课件出示函数图象,供学生参考.问题(2):增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?看一看:从图象中你们可以发现什么?增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?请同学们开始小组讨论交流.学生积极思考,合作交流.请代表展示他们的讨论成果:结论1:当x<10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加;当x=10时,橙子的总产量最大;当x>10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而减少.结论2:由图象可知,增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵,都可以使橙子总产量在60400个以上.能力提升:在分析的过程中,用到了什么数学思想方法?学生迅速得出:用到了数形结合的数学思想方法.[设计意图]让学生绘制该二次函数图象,并利用图象进行直观分析,体会数形结合的思想方法,并感受自变量的取值范围.用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.1.某商店经营2014年巴西世界杯吉祥物,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956.则获利最多为()A.3144元B.3100元C.144元D.2956元解析:利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956,∴y=-(x-12)2+3100.∵-1<0,∴当x=12时,y有最大值,为3100.故选B.2.某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,床位可全部租出;若每床每晚收费提高2元,则减少10张床位租出;若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高()A.4元或6元B.4元C.6元D.8元解析:设每床每晚收费应提高x个2元,获得利润为y元,根据题意得y=(10+2x)(100-10x)=-20x2+100x+1000=-20+1125.∵x取整数,∴当x=2或3时,y最大,当x=3时,每床收费提高6元,床位最少,即投资少,∴为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高6元.故选C.3.某产品进货单价为90元,按100元一件出售时,能售500件,如果这种商品每涨1元,其销售量就减少10件,为了获得最大利润,其单价应定为.解析:设应涨价x元,则所获利润为y=(100+x)(500-10x)-90×(500-10x)=-10x2+400x+5000=-10(x2-40x+400)+9000=-10(x-20)2+9000,可见当涨价20元,即单价为100+20=120元时获利最大.故填120元.4.(2014·沈阳中考)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为元.解析:设最大利润为w元,则w=(x-20)(30-x)=-(x-25)2+25.∵20≤x≤30,x为整数,∴当x=25时,w 有最大值,为25.故填25.5.每年六、七月份,南方某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/千克,假设不计其他费用.(1)水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本?(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(千克)与销售单价x(元)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润w最大?解:(1)设购进荔枝k千克,荔枝售价定为y元/千克时,水果商才不会亏本,由题意,得y·k(1-5%)≥(5+0.7)k.∵k>0,∴95%y≥5.7,∴y≥6.∴水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本.(2)由(1)可知,每千克荔枝的平均成本为6元,由题意得w=(x-6)m=(x-6)(-10x+120)=-10(x-9)2+90,∵a=-10<0,∴当x=9时,w有最大值.∴当销售单价定为9元时,每天可获利润w最大.第2课时用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.一、教材作业【必做题】1.教材第49页随堂练习.2.教材第50页习题2.9第1,2题.【选做题】教材第50页习题2.9第3题.二、课后作业【基础巩固】1.学校商店销售一种练习本所获得的总利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=-2(x-2)2+48,则下列叙述正确的是()A.当x=2时,利润有最大值48元B.当x=-2时,利润有最大值48元C.当x=2时,利润有最小值48元D.当x=-2时,利润有最小值48元2.一件工艺品进价为100元,按标价135元售出,每天可售出100件.若每降价1元出售,则每天可多售出4件.要使每天获得的利润最大,每件需降价()A.5元B.10元C.12元D.15元3.某民俗旅游村为接待游客住宿需要,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费100元时,床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元,则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是元.4.(2015·营口中考)某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时,平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为元时,该服装店平均每天的销售利润最大.【能力提升】5.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y (单位:万元)与销售量x (单位:辆)之间分别满足:y 1=-x 2+10x ,y 2=2x ,若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为()A.30万元B.40万元C.45万元D.46万元6.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元,为了减少库存,该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低()A.0.2元或0.3元B.0.4元C.0.3元D.0.2元7.某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系.(1)求出y与x之间的函数关系式;(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式.若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大?最大利润是多少?8.(2015·汕尾中考)九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:售价/(元/100110120130件)…月销量/200180160140件…已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.(1)请用含x的式子表示:①销售该运动服每件的利润;②月销量.(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大?最大利润是多少?【拓展探究】9.(2015·舟山中考)某企业接到一批粽子生产任务,按要求在15天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只6元,为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x 满足下列关系式:y=(1)李明第几天生产的粽子数量为420只?(2)设第x天粽子的成本是p元/只,p与x之间的关系可用如图所示的函数图象来刻画.若李明第x 天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大,最大利润是多少元?(利润=出厂价-成本)(3)设(2)小题中第m天利润达到最大值,若要使第(m+1)天的利润比第m天的利润至少多48元,则第(m+1)天每只粽子至少应提价几元?【答案与解析】1.A(解析:在y=-2(x-2)2+48中,当x=2时,y有最大值,是48.)2.A(解析:设每件降价x元,利润为y元,每件的利润为(135-100-x)元,每天售出的件数为(100+4x)件,=3600.)由题意,得y=(135-100-x)(100+4x)=-4x2+40x+3500=-4(x-5)2+3600,∵a=-4<0,∴当x=5时,y最大3.160(解析:设每张床位提高x个20元,每天收入为y元.则有y=(100+20x)(100-10x)=-200x2+1000x+10000.当x=-==2.5时,可使y有最大值.又x为整数,则当x=2时,y=11200;当x=3时,y=11200.故为使租出的床位少且租金高,每张床收费100+3×20=160(元).)4.22(解析:设定价为x 元,根据题意得平均每天的销售利润y =(x -15)·[8+2(25-x )]=-2x 2+88x -870,∴y =-2x 2+88x -870=-2(x -22)2+98.∵a =-2<0,∴抛物线开口向下,∴当x =22时,y 最大值=98.故填22.)5.D (解析:设在甲地销售x 辆,则在乙地销售(15-x )辆,根据题意得出:W =y 1+y 2=-x 2+10x +2(15-x )=-x 2+8x +30=-(x -4)2+46,∴最大利润为46万元.)6.C (解析:设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元.根据题意,得(3-2-x )-24=200.解这个方程,得x 1=0.2,x 2=0.3.∵要减少库存,且200+>200+,∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元.)7.解:(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b (k ≠0),由所给函数图象可知解得故y 与x 的函数关系式为y =-x +180.(2)∵y =-x +180,∴W =(x -100)y =(x -100)(-x +180)=-x 2+280x -18000=-(x -140)2+1600.∵a =-1<0,∴当x =140时,W 最大=1600,∴售价定为140元/件时,每天获得的利润最大,最大利润为1600元.8.解:(1)①销售该运动服每件的利润是(x -60)元.②设月销量w 与x 的关系式为w =kx +b ,由题意得解得∴w =-2x +400.∴月销量为(-2x +400)件.(2)由题意得y =(x -60)(-2x +400)=-2x 2+520x -24000=-2(x -130)2+9800,∴售价为130元时,当月的利润最大,最大利润是9800元.9.解:(1)设李明第n 天生产的粽子数量为420只,由题意可知30n +120=420,解得n =10.答:第10天生产的粽子数量为420只.(2)由图象得当0≤x ≤9时,p =4.1;当9≤x ≤15时,设p =kx +b ,把点(9,4.1),(15,4.7)代入,得解得∴p =0.1x +3.2.①当0≤x ≤5时,w =(6-4.1)×54x =102.6x ,当x =5时,w 最大=513(元);②当5<x ≤9时,w =(6-4.1)×(30x +120)=57x +228,∵x 是整数,∴当x =9时,w 最大=741(元);③当9<x ≤15时,w =(6-0.1x -3.2)×(30x +120)=-3x 2+72x +336,∵a =-3<0,∴当x =-=12时,w 最大=768元.综上所述,第12天的利润最大,最大利润为768元.(3)由(2)可知m =12,m +1=13,设第13天每只粽子提价a元,由题意得w=[6+a-(0.1×13+3.2)](30×13+120)=510(a+1.5),∴510(a+1.5)-768≥48,解得a≥130.1.答:第13天每只粽子至少应提价0.1元.本节课设计了以生活场景引入问题,通过探索思考解决问题的教学思路.由于本节课较为抽象,学生直接解决比较困难,因此,在导入问题中,让学生初步接触“何时获得最大利润”这一问题,引导学生分析问题,初步掌握数学建模的方法,然后再放手给学生自主解决问题,并充分发挥小组的合作作用,以“兵教兵”的方式突破难点.在教学过程中,重点关注了学生能否将实际问题表示为函数模型,是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释,加强了学生在教师引导下的独立思考和积极讨论的训练,并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励,收到了非常好的教学效果.对学情估计不足.原本认为学生的计算能力不错,但实际在解题过程中却出现了很多问题.今后还要在计算方法和技巧方面对学生多加以指导,加强学生建立函数模型的意识.随堂练习(教材第49页)解:设销售单价为x元(30≤x<50),销售利润为y元,则y=(x-20)[400-20(x-30)]=-20x2+1400x-20000=-20(x-35)2+4500.当x=35时,y=4500.所以当销售单价为35元时,半月内可以获得的利润最大,最大最大利润为4500元.习题2.9(教材第50页)1.解:设旅行团的人数是x人,营业额为y元,则y=[800-10(x-30)]x=-10x2+1100x=-10(x-55)2+30250,当x=55时,y=30250.答:当旅行团的人数为55人时,旅行社可以获得最大的营业额,为30250元.最大值2.解:设销售单价为x(x≥10)元,每天所获销售利润为y元,则y=(x-8)[100-10(x-10)]=-10x2+280x-=360.答:将销售单价定为14元,才能使每天所获销售利润1600=-10(x-14)2+360,所以当x=14时,y最大值最大,最大利润为360元.3.解:y=x2-13x+42.25+x2-11.8x+34.81+x2-12x+36+x2-13.4x+44.89+x2-9x+20.25=5x2-59.2x+178.2=5(x2-11.84x+35.64)=5[(x-5.92)2+0.5936]=5(x-5.92)2+2.968,当x=5.92时,y的值最小,所以大麦穗长的最佳近似长度为5.92cm.利润问题之前已经有所接触,所以学生课前要熟练掌握进价、销售价、利润之间的关系.找出实际问题中的等量关系是前提,会把二次函数的一般式转化为顶点式是保障,而能熟练运用转化的数学思想方法把实际问题转化为数学问题是运用二次函数解决实际应用问题的关键,所以在解题的过程中要及时总结归纳出用二次函数知识解决实际问题的基本思路,并总结出销售利润问题的数学模型,提高解决此类问题的综合能力.某班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:时间x/天1≤x<5050≤x≤90售价/(元/x+4090件)每天销量/200-2x件已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元.(1)求出y与x的函数关系式;(2)销售该商品第几天时,当天销售利润最大?最大利润是多少?(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.〔解析〕(1)根据(售价-进价)×数量=利润,可得答案.(2)根据分段函数的性质,可分别得出最大值,根据有理数的比较,可得答案.(3)根据二次函数值大于或等于4800,一次函数值大于或等于4800,可得不等式组,然后解不等式组,可得答案.解:(1)当1≤x<50时,y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2000.当50≤x≤90时,y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000.综上所述,y=(2)当1≤x<50时,二次函数的图象开口向下,二次函数图象的对称轴为直线x=45,=-2×452+180×45+2000=6050.当x=45时,y最大当50≤x≤90时,y随x的增大而减小,=6000.当x=50时,y最大综上所述,销售该商品第45天时,当天销售利润最大,最大利润是6050元.(3)当20≤x≤60时,即共41天,每天销售利润不低于4800元.。

2.4.1二次函数的应用教学设计小兰家屋后有一块直角三角形的荒地（如图）.爷爷想要挖一个矩形鱼塘养鱼.小兰帮助爷爷设计了方案：在直角三角形内部作了一个矩形ABCD，AB、AD分别在两直角边上.（1）如果设矩形的一边AB = x m，用含x的代数式表示AD.（2）设矩形面积为y㎡，当AB为多少时，鱼塘面积最大，最大面积是多少？例1 某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部分是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x 等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)? 此时,窗户的面积是多少? (结果精确到0.01m 2)1．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是( ) A ．32 m 2B ．36 m 2C ．48 m 2D ．64 m 22.用长为8 m 的铝合金条制成如图所示的“日”字形矩形窗框，使窗户的透光面积最大，最大的透光面积为( )A ．256 m 2B ． 83m 2 C ．2 cm 2 D ．4 cm 23.如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝_________m时，矩形土地ABCD的面积最大．4．如图，小滕要用总长为40 m的铁栅栏及一面墙(墙足够长)围成一个矩形自行车停车场ABCD，并要在AB和BC边上各留一个2 m宽的小门(不用铁栅栏)，则他能围成的矩形自行车停车场ABCD的最大面积为_________ m2．5．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝(如图)，这个菱形的两条对角线的长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(cm2)随其中一条对角线AC的长x(cm)的变化而变化．(1)请直接写出S与x之间的函数关系式；(2)当x为多少时，菱形风筝的面积S最大？最大值是多少？6.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．（1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式;（2）有-条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km时.桥下水位正好在AB处.之后水位每小时上涨0.25m.当水位达到CD处时.将禁止船只通行，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥?。

2024北师大版数学九年级下册2.4.2《二次函数的应用》教学设计一. 教材分析《二次函数的应用》是北师大版数学九年级下册第2章第4节的内容，本节课主要让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教材通过生活中的实例，引导学生认识二次函数的图像，理解二次函数的性质，并能运用二次函数解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。

但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题与二次函数知识相结合，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.了解二次函数在实际生活中的应用；2.理解二次函数的性质，并能运用二次函数解决实际问题；3.培养学生的数学思维能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际生活中的应用；2.难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，并运用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生认识二次函数的图像，理解二次函数的性质；2.问题驱动法：教师提出实际问题，引导学生运用二次函数知识解决，提高学生的实际应用能力；3.小组合作学习：学生分组讨论，共同解决实际问题，培养学生的团队合作精神。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，如抛物线形的物体运动、最优化问题等；2.准备多媒体教学设备，如投影仪、计算机等；3.准备教材、练习册等教学资料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，如：“某物体从地面上方以一定的初速度抛出，其运动轨迹为抛物线，求物体落地时的速度和位移。

”2.呈现（10分钟）教师利用多媒体教学设备，展示实际问题的图像和相关信息，引导学生认识二次函数的图像，理解二次函数的性质。

3.操练（10分钟）教师提出一系列实际问题，让学生运用二次函数知识解决。

2024北师大版数学九年级下册2.4.2《二次函数的应用》教案一. 教材分析《二次函数的应用》是北师大版数学九年级下册第2章第4节的内容，本节课主要让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教材通过引入生活中的实例，让学生体会二次函数的实际意义，进而掌握二次函数的图象和性质，为解决实际问题打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图象和性质有了初步了解。

但学生在应用二次函数解决实际问题方面还存在一定的困难，因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生运用二次函数解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.了解二次函数在实际生活中的应用，体会二次函数的实际意义。

2.掌握二次函数的图象和性质，提高运用二次函数解决实际问题的能力。

3.培养学生的数学思维能力和创新能力。

四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际生活中的应用，二次函数的图象和性质。

2.难点：如何将实际问题转化为二次函数模型，运用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入生活中的实例，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.启发式教学法：在教学过程中，教师引导学生发现问题、分析问题、解决问题，培养学生的数学思维能力。

3.合作学习法：学生分组讨论，共同完成任务，提高学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助教学。

2.实例素材：准备一些与生活相关的实例，用于引导学生探究。

3.练习题库：准备适量的练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的实际问题，如抛物线形的跳板、足球运动的轨迹等，引导学生关注二次函数在实际生活中的应用。

2.呈现（10分钟）介绍二次函数的图象和性质，通过课件演示，让学生直观地了解二次函数的图象特征。

同时，教师引导学生联系实际问题，理解二次函数的实际意义。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，选取实例进行分析，将实际问题转化为二次函数模型。

第2课时利用二次函数解决利润问题【知识与技能】能为一些较简单的生活实际问题建立二次函数模型，并在此基础上，根据二次函数关系式和图象特点，确定二次函数的最大（小）值，从而解决实际问题.【过程与方法】经历探究二次函数最大（小）值问题的过程，体会函数的思想方法和数形结合的思想方法.【情感态度】积极参加数学活动，发展解决问题的能力，体会数学的应用价值.从而增强数学学习信心，体验成功的乐趣.【教学重点】探索销售中最大利润问题，从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.【教学难点】从实际问题中抽象出二次函数模型，以利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大（小）值问题一、情景导入，初步认知问题：某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是20元.根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是35元时，销售量是600件，而单价每降低1元，就可以多销售200件.若设销售单价为x(20＜x＜35的整数)元，该商店所获利润为y元.请你帮助分析，销售单价是多少元时，可以获利最多？你能运用二次函数的知识解决这个问题吗？【教学说明】用生活中的事例，更贴近实际生活，帮助学生理解题意，激发学生的学习热情.二、思考探究，获取新知1.教师提问：（1）此题主要研究哪两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？（2）销售量可以表示为；销售额(销售总收入）可以表示为；所获利润与销售单价之间的关系式可以表示为 .（3）当销售单价是元时，可以获得最大利润，最大利润是元.2.在解决第（3）问中，先引导学生观察得出此函数为二次函数，再引导学生探索思考“何时获得最大利润”的数学意义.【教学说明】在本章前面的学习中，学生已初步了解求特殊二次函数最大(小)值的方法.鼓励学生大胆猜想、探索求此二次函数最大值的方法.【归纳结论】求二次函数最大（小）值的方法：（1）配方化为顶点式求最大（小）值；（2）直接带入顶点坐标公式求最大（小）值；（3）利用图象找顶点求最大（小）值.三、运用新知，深化理解1.见教材P48例2.2.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x元(为10的正整数倍). （1）设一天订住的房间数为y，直接写出 y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为W元，求W与 x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？分析：当每天的房价增加x 元时，就会有10x 个房间空闲.∴一天订住的房间数为（50-10x ），每间房可获利（180 + 2-20)，从而可列出函数关系式.答：一天订住34个房间时，宾馆的利润最大，最大利润是10880元.3.某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可售出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0. 1元， 其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？分析：先写出函数关系式，再求出函数的最大值解:设每件商品降价x 元（0＜x ＜2)，该商品每天的利润为y 元.商品每天的利润y 与x 的函数关系式是：y=（10-x-8）（100+100x ）即y=-100x 2+100x+200配方得21-100+2252y x =-（）因为x=1/2时，满足0≤x ≤2.所以当x=1/2时，函数取得最大值，最大值y=225.答：将这种商品的售价降低1/2元时，能使销售利润最大4.某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件.为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告. 根据经验，每年投入的广告费是x(十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y 与x 的函数关系式;（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S(十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10?30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？【教学说明】通过练习，前后呼应，巩固已学知识，并让学生体会二次函数是解决实际问题的一类重要数学模型.四、师生互动，课堂小结求二次函数最大(小)值的方法：（1）配方化为顶点式求最大(小)值；（2）直接带入顶点坐标公式求最大(小)值；（3）利用图象找顶点求最大(小)值.1.布置作业：教材“习题2.9”中第1、2题.2.完成练习册中本课时的练习.在本课教学中，应关注学生能否将实际问题表示为函数模型；是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释;课堂中学生是否在教师引导下进行了独立思考和积极讨论.并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励.。

北师大版九年级数学下册：第二章 2.4.2《二次函数的应用》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章2.4.2《二次函数的应用》主要介绍了二次函数在实际生活中的应用。

通过本节课的学习，学生能够理解二次函数在实际问题中的作用，掌握二次函数解决实际问题的方法，提高解决实际问题的能力。

教材内容主要包括两个方面：一是二次函数在几何中的应用，如抛物线的性质；二是二次函数在实际生活中的应用，如最值问题、利润问题等。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。

但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题，因此在教学过程中，需要引导学生将实际问题抽象成二次函数模型，并运用二次函数的知识解决实际问题。

三. 教学目标1.理解二次函数在实际问题中的作用，提高解决实际问题的能力。

2.掌握二次函数解决实际问题的方法，能够将实际问题转化为二次函数模型。

3.培养学生的抽象思维能力和实际问题解决能力。

四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用。

2.难点：如何将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数的知识解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解二次函数在实际问题中的应用。

2.案例分析法：分析典型例题，让学生掌握二次函数解决实际问题的方法。

3.小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作精神和解决问题的能力。

4.启发式教学法：引导学生主动思考，提高学生的抽象思维能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数在实际问题中的应用。

2.典型例题：挑选具有代表性的例题，让学生进行分析。

3.练习题：准备适量的练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如抛物线形状的物体，引入二次函数在实际问题中的应用。

提问：这些实际问题能否用我们学过的二次函数来解决？2.呈现（10分钟）呈现典型例题，让学生进行分析。

北师大版数学九年级下册2.4《二次函数应用》教案2一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.4《二次函数应用》是学生在学习了二次函数的图象与性质的基础上进行的一节应用性较强的课程。

本节课主要让学生学会如何运用二次函数解决实际问题，进一步巩固二次函数的知识。

教材通过生活中的实例，引导学生运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图象与性质有一定的了解。

但是，学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题。

因此，在本节课中，教师需要引导学生将实际问题与二次函数知识相结合，提高学生的数学应用能力。

三. 教学目标1.让学生掌握二次函数在实际问题中的应用方法。

2.培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。

3.提高学生的数学应用意识，培养学生的数学素养。

四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用方法。

2.难点：如何将实际问题转化为二次函数问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生感受二次函数在实际问题中的应用。

2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考，培养学生解决问题的能力。

3.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关的生活实例，用于引导学生思考。

2.准备多媒体教学设备，用于展示实例和讲解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一个生活中的实例，如抛物线形篮球架的高度与投篮命中率的关系，引导学生思考如何运用二次函数知识解决实际问题。

2.呈现（10分钟）教师给出几个实际问题，如汽车油耗与行驶距离的关系，让学生尝试将实际问题转化为二次函数问题。

学生在小组内讨论，共同解决问题。

3.操练（15分钟）教师给出一些实际问题，让学生独立解决。

学生通过解决问题，进一步巩固二次函数在实际问题中的应用方法。

4.巩固（5分钟）教师针对学生解决问题的过程进行讲评，指出不足之处，并给出正确的解决方法。

2.4 二次函数的应用（2）——抛物线形问题教案一、教学目标1.理解抛物线形问题的概念及其应用背景；2.掌握通过二次函数求解抛物线形问题的方法；3.能够运用二次函数解决实际问题。

二、教学重点1.理解抛物线形问题的概念；2.掌握通过二次函数求解抛物线形问题的方法。

三、教学难点1.运用二次函数解决实际问题；2.分析问题中所给条件，建立数学模型。

四、教学过程1. 引入•引导学生思考下面的问题：–什么是二次函数？–二次函数有什么特点？•解答学生的问题，简要介绍二次函数。

2. 了解抛物线形问题•通过实际例子，引入抛物线形问题的概念。

•解释抛物线形问题与二次函数的关系。

3. 运用二次函数求解抛物线形问题•通过示例，详细讲解如何运用二次函数解决抛物线形问题。

•引导学生思考步骤，并进行示范。

4. 实践练习•给学生提供一些实际问题，并要求他们运用二次函数解决。

•分组讨论，学生之间相互交流思路。

•点名让各组发表他们的解题思路和答案。

5. 拓展延伸•引导学生思考更复杂的抛物线形问题，并让他们自己尝试解决。

•鼓励学生进行积极思考和探索，提高问题解决能力。

6. 小结•对本课所学内容进行总结和归纳。

7. 作业布置•布置作业：要求学生完成课本上的相关练习题，并要求写出详细解题思路。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对抛物线形问题有了更深入的了解，并能够熟练运用二次函数解决相关问题。

课堂上进行了实践练习，有利于学生独立思考和解决问题的能力的培养。

在拓展延伸环节，带领学生探索更复杂的问题，提高了学生的解决问题的灵活性。

整体而言，本节课教学效果良好。

北师大版九年级数学下册：第二章 2.4.1《二次函数的应用》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》是学生在学习了二次函数的图象与性质之后，进一步运用二次函数解决实际问题的课程。

本节内容通过现实生活中的实例，让学生了解二次函数在实际问题中的应用，培养学生的数学应用能力。

教材内容主要包括：二次函数在实际问题中的运用，二次函数的综合应用等。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的图象与性质，对二次函数有一定的理解。

但学生在解决实际问题时，往往难以将数学知识与实际问题相结合。

因此，在教学过程中，需要教师引导学生将二次函数知识运用到实际问题中，提高学生的数学应用能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生能够理解二次函数在实际问题中的运用，提高学生的数学应用能力。

2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生将数学知识运用到实际中的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学素养。

四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的运用。

2.难点：如何将二次函数知识灵活运用到实际问题中。

五. 教学方法1.情境教学法：通过现实生活中的实例，引导学生理解二次函数在实际问题中的应用。

2.案例教学法：分析典型实例，让学生学会如何将二次函数知识运用到实际问题中。

3.小组合作学习：培养学生团队合作精神，提高学生的数学应用能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数在实际问题中的运用。

2.实例材料：收集一些实际问题，作为教学案例。

3.练习题：准备一些练习题，巩固学生对二次函数应用的理解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际问题，如：抛物线形的跳板、抛物线形的桥梁等，引导学生思考：这些实际问题与二次函数有什么关系？2.呈现（10分钟）呈现一个实际问题：小明家有一个抛物线形的菜园，菜园的顶点在原点，开口向上，对称轴为y轴。

已知菜园的面积为40平方米，问：菜园的最大宽度是多少？引导学生分析问题，明确需要运用二次函数的知识来解决。

《二次函数的应用（2）》教案2一、学生知识状况分析通过本章前三节的学习，学生已对二次函数的概念、二次函数的图像及其性质、如何确定二次函数的解析式等问题有了明确的认识.二次函数应用的第一课时是“何时面积最大”，学生初步感受到数学模型思想及数学的应用价值.本节课将进一步利用二次函数解决实际问题.二、教学任务分析“何时获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题，但是这个问题的数学模型正是我们研究的二次函数的范畴.二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值.而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题.因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践.即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释.教学目标(一)知识与技能1、经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力.(二)过程与方法经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.(三)情感态度与价值观1、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值.增进对数学的理解和学好数学的信心.2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值三、教学过程分析本节课以探究活动一、探究活动二及议一议这三个环节为主体，展开对二次函数应用的研究与探讨.第一环节 探究活动一活动内容：（有关利润的问题）服装厂生产某品牌的T 恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？回顾:在学习一元二次方程的应用时遇到过有关销售利润的问题，常用相等关系是：销售利润=单件利润×销售量若设批发单价为x 元，则：单件利润为 ； 降价后的销售量为 ； 销售利润用y 元表示，则)14024(5000-2+-=x x20000)12(50002+--=x∵-5000＜0∴抛物线有最高点，函数有最大值.当x ＝12元时，y 最大= 20000元.答：当批发单价是12元时，厂家可以获得最大利润，最大利润是20000元．若设每件T 恤衫降a 元，则：单件利润为 ；降价后的销售量为 ； 销售利润用y 元表示，则)32(5000-2--=a a20000)1(50002+--=a∵-5000＜0∴抛物线有最高点，函数有最大值.当x ＝1元时，即批发单价是12元时，y 最大= 20000元.答：当批发单价是12元时，厂家可以获得最大利润，最大利润是20000元．想一想：解决了上述关于服装销售的问题，请你谈一谈怎样设因变量更好？活动目的：）元（10-x 件)5001.0-135000(⨯+x )5001.0135000)(10(⨯-+-=x x y ）元（1013--a 件)5001.05000(⨯+a ）（5001.05000)(1013⨯+--=a a y通过这个实际问题，让学生感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.在这里帮助学生分析和表示实际问题中变量之间的关系，帮助学生领会有效的思考和解决问题的方法，学会思考、学会分析，是教学的一个重要内容.第二环节 探究活动二活动内容：某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？分 析：相等关系是客房日租金的总收入=每间客房日租金×每天客房出租数解：设每间客房的日租金提高x 个10元，则每天客房出租数会减少6x 间，若客房日租金的总收入为y 元，则：=19440)260-2+-x （∵06-120,0>≥x x 且∴200<≤x当x ＝2时，y 有最大值 19440.这时每间客房的日租金为180210160=⨯+元，客房总收入最高为19440元.随堂练习：课本P49随堂练习某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？解：设销售单价提高x 元，销售利润为y 元，则y=(30-20+x)(400-20x)＝-20x 2+200x+4000＝-20(x-5)2+4500.答：当销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元．第三环节 议一议活动内容：解决本章伊始，提出的“橙子树问题”本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题，我们得到了表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的函数关系是：二次函数表达式y ＝(600-5x)(100+x)＝-5x 2+100x+60000.(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？（要求学生画出二次函数的图象，并根据图象回答问题）)6120)(10160(x x y -+=实际教学效果：学生可以顺利解决这个问题，答案如下(1)当x<10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x>10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小.(2)由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60400个以上.课堂小结:请你结合本节课的内容谈谈你对二次函数应用的认识.。

北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第2.4节《二次函数的应用》主要介绍了二次函数在实际生活中的应用，包括二次函数图像的识别和利用二次函数解决实际问题。

这部分内容是学生在学习了二次函数的性质和图像后，对二次函数知识的进一步拓展，使学生能够将所学知识应用到实际生活中，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识和图像，对二次函数有一定的理解。

但学生在解决实际问题时，可能会对将理论知识和实际问题相结合感到困难。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将所学知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。

三. 教学目标1.理解二次函数在实际生活中的应用；2.学会利用二次函数解决实际问题；3.提高学生的数学应用能力。

四. 教学重难点1.二次函数在实际生活中的应用；2.利用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过设置问题，引导学生思考；通过案例分析，使学生理解二次函数在实际生活中的应用；通过小组合作，让学生在讨论中解决问题，提高学生的合作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的案例和问题；2.准备多媒体教学设备。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出二次函数的应用，例如：一个农场计划种植两种作物，种植面积为固定的10亩。

如果种植苹果树，每亩收益为2000元；如果种植梨树，每亩收益为3000元。

请问如何分配种植苹果树和梨树的面积，才能使总收益最大？2.呈现（10分钟）呈现教材中的案例，让学生了解二次函数在实际生活中的应用。

例如，教材中有一个关于抛物线形跳板的问题，通过二次函数来求解跳板的长度。

3.操练（10分钟）让学生根据教材中的案例，尝试解决实际问题。

例如，教材中有一个关于二次函数图像的问题，让学生根据图像信息，求解相关参数。

4.巩固（10分钟）通过小组合作，让学生解决一些实际问题。

二次函数的应用(2)教学目标：1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。

2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。

3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。

教学重点和难点：重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。

难点：例2将现实问题数学化，情景比较复杂。

教学过程：一、复习：1、利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：(1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。

(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。

2、上节课我们讨论了用二次函数的性质求面积的最值问题。

出示上节课的引例的动态图形（在周长为8米的矩形中）（多媒体动态显示）设问：（1）对角线（L ）与边长（x ）有什何关系？222)4(x x l -+= )40(9622 x x x l +-=（2）对角线（L ）是否也有最值？如果有怎样求？L 与x 并不是二次函数关系，而被开方数却可看成是关于x 的二次函数，并且有最小值。

引导学生回忆算术平方根的性质：被开方数越大（小）则它的算术平方根也越大（小）。

指出：当被开方数9622+-x x 取最小值时，对角线也为最小值。

二、例题讲解例题2：B 船位于A 船正东26km 处，现在A 、B 两船同时出发，A 船发每小时12km 的速度朝正北方向行驶，B 船发每小时5km 的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？多媒体动态演示，提出思考问题：（1）两船的距离随着什么的变化而变化？(2)经过t 小时后，两船的行程是多少？ 两船的距离如何用t 来表示？设经过t 小时后AB 两船分别到达A ’，B ’，两船之间距离为A ’B ’=AB'2+AA'2 =(26-5t)2+(12t)2 =169t 2-260t+676 。

《二次函数的应用》教学设计二次函数的应用是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》九年级下册第二章第四节内容，本章主要研究二次函数的性质及二次函数的应用；本节要求学生能够利用二次函数与一元二次方程的关系求解；能够利用二次函数图象解决实际问题，从而熟练运用数形结合的方法解决问题。

因此本节的重点是把二次函数转化为方程的数学思想。

二次函数的应用是九年级下册数学中的重要教学内容，它从具体问题入手，以实际问题为背景，通过实例巩固学生所学的知识。

让学生通过现实生活中的一些问题，充分感受到应用性问题的的重要性。

【知识与能力目】利用二次函数与一元二次方程的关系求解；能够利用二次函数图象解决实际问题，从而学生能够而熟练运用数形结合的方法解决问题。

【过程与方法目标】培养学生根据实际情况把二次函数转化为方程进行而解决问题的能力，引导学生把实际问题数学化，即建立数学模型解决实际问题。

【情感态度价值观目标】经历“问题情境——自主探究——交流与讨论——猜想结论——得出结论”的数学思维、活动过程，体验成功的喜悦，感受数学与实际生活的紧密联系，增加学习数学的兴趣。

【教学重点】把二次函数转化为方程的数学思想。

【教学难点】把实际问题转化为与二次函数有关的数学问题。

多媒体课件一、引入练习：何时面积最大如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上.(1) 设矩形的一边AB =x m ,那么AD 边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为y m 2,当x 取何值时,y 的值最大?最大值是多少?解：（1） 设AD bm =，易得：3304b x =-+ （2） 233(30)3044y xb x x x x ==-+=-+ 23(20)3004x =--+ 或用公式：当202b x a=-=时，2max 43004ac b y a -== 变一变，议一议如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中点A 和点D 分别在两直角边上,BC 在斜边上.(1)设矩形的一边BC =x m ,那么AB 边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为y m 2,当x 取何值时,y 的值最大?最大值是多少?解：（1）有勾股定理得：50MN m =，24PH m =设AB bm =，易得122425b x =-+ （2）21212(24)242525y xb x x x x ==-+=-+ 212(25)30025x =--+ 或用公式：当252b x a=-=时，2max 43004ac b y a -== 做一做何时窗户通过的光线最多某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m .当x 等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m )?此时,窗户的面积是多少?解：由4715y x x π++=，得2157715422x x y x x π--==-+ 2715225()21456x =--+题后反思，归纳小结“二次函数应用” 的思路回顾上一节“最大利润”和本节“最大面积”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.1.理解问题;2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;3.用数学的方式表示出它们之间的关系;4.运用数学知识求解;5.检验结果的合理性, 给出问题的解答.拓展提高用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?正方形ABCD边长5cm,等腰三角形PQR中,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点D、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向左方向开始匀速运动，t s后正方形与等腰三角形重合部分面积为S cm2，解答下列问题：(1)当t=3s时，求S的值；(2)当t=3s时，求S的值；(3)当5s≤t≤8s时，求S与t的函数关系式，并求S的最大值。