[例 3] (1)已知 fx＋1x＝x3＋x13，求 f(x)； (2)已知 f2x＋1＝lgx，求 f(x)； (3)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17， 求 f(x)； (4)已知 f(x)满足 2f(x)＋f1x＝3x，求 f(x)．
[课堂记录] (1)∵fx＋1x＝x＋1x3－3x＋1x， ∴f(x)＝x3－3x，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (2)令2x＋1＝t，则 x＝t－2 1， ∴f(t)＝lgt－2 1，∴f(x)＝lgx－2 1，x∈(1，＋∞)． (3)设 f(x)＝ax＋b，则
从近两年的高考试题看，表示函数的解析法、图 象法，分段函数以及函数与其他知识的综合问题 是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有 解答题，难度中等偏高；客观题主要考查解析法、 图象法、分段函数的应用及对函数概念的理解．
提醒：定义域必须写成集合或区间的形式．
[例 2] 已知函数 y＝f(x)的定 义域 是 [0,2]，那么 g(x)＝ 1＋lfg(x(x2)＋1)的定义域是________．
[思路探究] (1)x2 与已知 f(x)中 x 的含义相同． (2)分析分式的分母及对数式的真数满足的条件．
[课堂记录]
(3)列表法：用列出 自变量x 与对应的 函数值y 的表格 来表达 两个变量间的对应关系 的方法叫做列表法．
3．映射的定义
一般地，设A、B是两个 非空集合 ，如果按照某一 个确定的对应关系f，使对于集合A中的 任意一 个 元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应， 那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个 映射．
即时训练
已知函数
f(x)＝2－x22＋x 1
x≤0 x>0
，则不等式 f(x)
－x≤2 的解集是________．
解析：当 x≤0 时，f(x)＝2x2＋1， ∴2x2＋1－x≤2，即 2x2－x－1≤0. ∴－12≤x≤1.
又∵x≤0，∴－12≤x≤0. 当 x>0 时，f(x)＝－2x， ∴－2x－x≤2，∴x≥－23. 又∵x>0，∴x>0.综上所述，x≥－12. 答案：－12，＋∞
1．函数 f(x)＝ 31x－2 x＋lg(3x＋1)的定义域是(
)
A．(－13，＋∞)
B．(－13，1)
ห้องสมุดไป่ตู้
C．(－13，13)
D．(－∞，－13)
解析：要使函数有意义，需满足13－ x＋x>1>00 ⇒－13<x<1，故函
数的定义域是(－13，1)． 答案：B
2．下列各组函数中表示同一函数的是( ) A．f(x)＝x 与 g(x)＝( x)2
∵当 x∈[－1,2]时，f(x)的最小值为 1，
∴－b2<－1， f(－1)＝1－b＋3＝1
或3－－1b≤42＝－1b2≤2，
或－b2>2， f(2)＝4＋2b＋3＝1.
解得 b＝3 或 b＝－2 2， ∴f(x)＝x2＋3x＋3 或 f(x)＝x2－2 2x＋3.
热点之四 分段函数及其应用
若函数在定义域的不同子集上的对应关系不同， 则可用几个不同的解析式来表示该函数，这种形 式的函数叫分段函数．分段函数是一个函数，而 不是几个函数，它的连续与间断完全由对应关系 来确定．对于分段函数的求值问题，一定要坚持 定义域优先的原则．
答案：D
热点之二 求函数的定义域 求函数定义域遵循的原则： (1)求具体函数y＝f(x)的定义域时：
(2)求抽象函数的定义域时：
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数 f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的 定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
＝16m2－12m<0，得 0<m<34，综上可知，所求的实数 m 的取值范
围为[0，34)． 答案：[0，34)
热点之一 函数的有关概念
1．函数关系的判断要注意“每一个”、“都 有”、“唯一”等关键词．
2．构成函数的三要素是：定义域、值域和对应 法则，而值域由定义域和对应法则可以确定．分 析判断两函数是否为同一函数时，就从这三个方 面进行分析，只有三者完全相同时才为同一个函 数．
3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b ＝ax＋b＋5a＝2x＋17， ∴a＝2，b＝7，故 f(x)＝2x＋7，x∈R. (4)2f(x)＋f1x＝3x，① 把①中的 x 换成1x，得 2f1x＋f(x)＝3x，② ①×2－②得 3f(x)＝6x－3x，∴f(x)＝2x－1x.(x≠0)．
的一个映射，则集合 A 中的元素个数最多有( )
A．4 个
B．5 个
C．6 个
D．7 个
解析：∵A⊆[0,2π]，由－sinx＝0 得 x＝0，π，2π；由－sinx
＝12得 x＝76π，116π，∴A 中最多有 5 个元素，故选 B. 答案：B
4．如右图，函数 f(x)的图象是曲线 OAB，其中点 O，A，B
B．f(x)＝|x|与 g(x)＝3 x3 C．f(x)＝ln ex 与 g(x)＝elnx D．f(x)＝xx2－－11与 g(t)＝t＋1(t≠1) 解析：由函数的三要素中的定义域和对应关系进行一一判断， 知 D 正确． 答案：D
3．已知 f：x→－sinx 是集合 A(A⊆[0,2π])到集合 B＝{0，12}
(4)同一函数．理由同(3)．
即时训练 下列各对函数中，相同的是( ) A．f(x)＝x，g(x)＝( x)2 B．f(x)＝ 1－x2，g(x)＝1－|x|，x∈[－1,1] C．y＝f(x)，g(x)＝f(x＋1) D．f(x)＝lg(12)x，g(x)＝|x|lg2
解析：A 中，f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为 x≥0，由于 定义域不同，故排除 A；B 中，虽然定义域、值域均相同，但对 应法则不同，例 f(12)≠g(12)，故 B 也排除；C 中，值域相同，但定 义域未必相同，且对应法则不同，g(x)的图象可由 f(x)图象向左平 移一个单位得到，因此 f(x)与 g(x)的图象不重合，故 C 也排除；D 中，将 f(x)恒等变形后恰为 g(x)，且定义域也相同，故选 D.
函数值，函数值的集合
叫{做f(x)函|x∈数A}的
值域．
2．函数的表示法
函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
(1)解析法：如果在函数y＝f(x)(x∈A)中f(x)是用 自变量x的代数来式表达的，则这种表达 的函方数法 叫
做解析法．
(2)图象法：对于函数y＝f(x)(x∈A)，定义域内每 一个x的值都有唯一的y值与它对应，把这两个对 应的数构成的有序实数对(x，y)作为点P的坐标， 记作P(x，y)，则所有这些点的 ， 集合构成一条曲线 把这 种用点的集合表示 函数 的方法叫做图象法．
[思路探究] (3)中分别用解析法和列表法表示函 数，(4)中分别用解析法和图象法．
[ 课 堂 记 录 ] (1) 不 同 函 数 ． f1(x) 的 定 义 域 为 {x∈R|x≠0}，f2(x)的定义域为R. (2)不同函数．f1(x)的定义域为R，f2(x)的定义域为 {x∈R|x≠0}．
(3)同一函数．x与y的对应关系完全相同且定义域 相同，它们是同一函数的不同表示方式．
[例 4] 函数 f(x)＝seixn－(1πx2()x≥(0－) 1<x<0) ，若 f(1)＋f(a)＝2，
则 a 的所有可能值为( )
A．1
B．1，－
2 2
C．－
2 2
D．1，
2 2
[课堂记录] f(1)＝1， 当 a≥0 时，f(a)＝ea－1， ∴1＋ea－1＝2，∴a＝1， 当－1<a<0 时，f(a)＝sin(πa2)， ∴1＋sin(πa2)＝2， ∴πa2＝π2＋2kπ(k∈Z)， ∵－1<a<0，∴a＝－ 22，故选 B.
[例 1] 以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什 么？
(1)f1：y＝xx；f2：y＝1.
(2)f1：y＝|x|；f2：y＝x－xx>0x<，0.
1 (3)f1：y＝2
3
x≤1， 1<x<2， x≥2；
f2： x x≤1 1<x<2 x≥2
y1
2
3
(4)f1：y＝2x；f2：如下图所示．
热点之三 求函数的解析式
求函数解析式的常用方法有：(1)代入法，用g(x) 代替f(x)中的x，即得到f[g(x)]的解析式；(2)拼凑 法，对f[g(x)]的解析式进行拼凑变形，使它能用 g(x)表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即 可；(3)换元法，设t＝g(x)，解出x，代入f[g(x)]， 得f(t)的解析式即可；(4)待定系数法，若已知f(x) 的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊 值，确定相关的系数即可；(5)赋值法，给变量赋 予某些特殊值，从而求出其解析式．
函数、导数及其应用
内容分析
1.函数、导数及其应用是高中数学的重要内容，本章主要包括函 数的概念、表示及性质，基本初等函数(二次函数、指数函数、 对数函数、幂函数)的图象与性质，导数的概念、运算及其几何 意义，导数在研究函数的单调性、极值与最值及解决生活中的优
化问题中的应用．
2．本章内容集中体现了三大数学思想：函数与方程、数形结合、 分类讨论思想，且常与方程、不等式等知识交汇命题，具有较强 的综合性．各省市的高考中与本章考点有关题目的分值约占到总 分的五分之一．
1．函数的定义
一般地，设A、B是两个 非空的数集 ， 如 果 按 照
某种确定的对应关系f，使对于集合A中的
任意一个数x，在集合B中都有 唯的一数确定f(x)和它对应，
