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元时, 可全部租出; 当每辆车的月租金每增加 50 元时, 未租出
的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费 150 元, 未
租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每月每辆车的租金
定为 3600 元时, 能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为
多少元时, 租赁公司的月收益最大? 最大收益是多少?
立目标函数关系式(关键是抓住某些量之间的相等关系列出函 数式), 注意不要忘记考察函数的定义域；
3.求解函数模型 讨论变量及函数模型的有关性质(单调性).
典型例题
例1 某厂今年 1 月, 2 月, 3 月生产某种产品分别为 1 万件, 1.2
万件, 1.3 万件. 为了估测以后每个月的产量, 以这三个月的产量
0.2a x-0.4
)(x-0.3),
依题意
(a+
0.2a x-0.4
)(x-0.3)≥0.5a(1+20%),
整理得: 10x2-11x+3≥0. 解得: x≤0.5 或 x≥0.6.
∵ 0.55≤x≤0.75, ∴ 0.6≤x≤0.75,
∴最低电价应定为 0.6元/kw·h.
例8 某摩托车生产企业, 上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆, 出厂价为 1.2 万元/辆, 年销售量为 1000 辆. 本年度为 适应市场需求, 计划提高产品档次, 适度增加投入成本. 若每 辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1), 则出厂价相应的提高比 例为 0.75x, 同时预计年销售量增加的比例为 0.6x, 已知年利润 =(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利 润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (2)为使本年度的年利 润比上年有所增加, 问投入成本增加的比例 x 应在什么范围内?
∵ f(x) 在 [250, 400] 上是增函数,
∴ 当 x=400 时, f(x) 取得最大值, 最大值为 870. 答: 该摊主每天从报社买进 400 份时, 才能使每月获得的利润 最大, 一个月最多可赚 870 元.
例3 某村计划建造一个室内面积为 800m2 的矩形菜温室, 在 温室内, 沿左右两侧与后侧内墙各保留 1m 宽的通道, 沿前侧内 墙保留 3m 宽的空地. 当矩形温室的边长各为多少时, 蔬菜的种 植面积最大? 最大种植面积是多少?
(解析几何)
5.几何体的形状、面积、体积等；
(立体几何)
6.排列组合、概率.
解答函数应用题的一般步骤
1.阅读理解材料 读懂题目所叙述的实际问题的意义, 接受题目所约定的临
时定义, 理顺题目中的量与量的数量关系、位置关系, 分清变 量与常量；
2.建立函数模型 正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数, 建
出的价格是每份 0.30 元, 卖不掉的报纸还可以以每份 0.08 元的
价格退回报社. 已知在一个月(以30天计算)里, 有 20 天每天可
卖出 400 份, 其余 10 天每天只卖出 250 份, 但每天从报社买进的
份数必须相同. 问该摊主每天从报社买进多少份, 才能使每月获
得的利润最大? 并计算该摊主一个月最多可赚得多少元.
a=-0.8 解得: b=0.5 ∴ g(x)=-0.80.5x+1.4.
c=1.4
∴ g(4)=-0.80.54+1.4 =1.35(万件)
②
而 4 月份的产量为 1.37 万件,
故由 ①, ② 比较可知, 用 y=a∙bx+c 作为模拟函数较好.
例2 一家报刊摊主从报社买进晚报的价格是每份 0.20 元, 卖
数学建模能力与数学实践能力
实际问题数学化
1.熟悉问题提供的背景； 2.能阅读理解对问题进行陈述的材料； 3.能运用数学知识、思想和方法分析题设中各类数量的关 系及联系, 构建数学模型, 将实际问题转化为数学问题；
4.运用已有知识, 选择合理的途径解答问题, 解答后还要 回归实际背景, 判定解的合理性.
解: 设每天从报社买进 x 份(250≤x≤400),
则每月共销售 (20x+10250) 份, 退回报社 10(x-250) 份,
又卖出的报纸每份获利 0.10 元, 退回的每份亏损 0.12 元,
依题意, 每月获得的利润 f(x)=0.10(20x+10∙250)-0.1210(x-250)=0.8x+550.
又当 60<x<150 时, f(x)<g(x); 当 x>150 时, f(x)>g(x).
故上网时间小于 150 小时, 调整前的上网费用高;
上网 150 小时, 调整前后的费用一样高;
上网时间超过 150 小时, 调整后的上网费用高.
例7 某地区上年度电价为 0.8 元/kw∙h, 年用电量为 a kw∙h, 本 年度计划将电价降到 0.55 元/kw∙h 至 0.75 元/kw∙h 之间, 而用户 期望电价为 0.4 元/kw∙h. 经测算, 下调电价后新增的用电量与实 际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k), 该地区电力 的成本价为 0.3 元/kw∙h. (1)写出本年度电价下调后, 电力部门 的收益 y 与实际电价 x 的函数关系式; (2)设 k=0.2a, 当电价最低 定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%? (注: 收益=实际用电量(实际电价-成本价)).
为依据, 用一个函数模拟该产品的产量与月份 x 的关系, 模拟函
数可选用二次函数或函数 y=a∙bx+c(其中a, b, c为常数). 已知 4
月份该产品的产量为 1.37 万件, 请问, 用以上哪个函数作为模
拟函数较好? 并说明理由.
解: 设 f(x)=px2+qx+r(p0)
则由
f(1)=1 f(2)=1.2 即
解得:
0<x<
1 3
.
故投入成本增加的比例
x
应满足
0<x<
1 3
.
例9 甲、乙两地相距 s 千米, 汽车从甲地匀速行驶到乙地, 速
度不得超过 c 千米/时, 已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)
由可变部分和固定部分组成: 可变部分与速度 v(千米/时)的平
方成正比, 比例系数为 b, 固定部分为 a 元. (1)把全程运输成本
例4 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长 分别为 x, y(单位: m)的矩形, 上部是等腰直角三角形, 要求框架围成的总面积为 8m2. 问 x, y 分别为多少 (精确到 0.001 m)时 用料最省?
解:
依题意得:
xy+
1 2
·x·x2
=8,
∴
y=
8 x
-
x 4
(0<x<4
2 ).
于是框架用料长度
y x
L=2x+2y+2(
2 2
x)
=(
3 2
+
2
)x+
16 x
≥4
6+4
2.
仅当
(
3 2
+
2
)x=
16 x
即
x=8-4
2 时, 取等号.
此时 x2.343, y=2 2 2.828.
故当 x 约为 2.343m, y 约为 2.828m 时, 用料最省.
例5 某租赁公司拥有汽车 100 辆, 当每辆车的月租金为 3000
x-350000×50 (x-4050)2+307050.
∴当 x=4050 时, f(x) 取最大值 307050.
即当每辆车的月租金定为 4050 元 时, 租赁公司的月收益最
大, 最大月收益是 307050 元.
例6 上因特网的费用由两部分组成: 电话费和上网费, 以前某 “热线”上因特网的费用为电话费 0.12 元/3 分钟, 上网费 0.12 元/分钟. 根据信息产业部调整因特网资费的要求, 自 1999 年 3 月1日起, 该地区上因特网的费用调整为电话费 0.16 元/3 分钟, 上网费每月不超过 60 小时, 以 4 元/小时计算, 超过 60 小时部 分, 以 8 元/小时计算. (1)根据调整后的规定, 将每月上因特网的 费用表示为上网时间(小时)的函数(每月按30天计算); (2)若某 网民在其家庭经济预算中一直有一笔上网 60 小时的费用开支, 因特网资费调整后, 若要不超过其家庭经济预算中上网费的支 出, 该网民现在每月可上网多少小时? 从涨价和降价的角度分 析该地区调整前后上因特网的费用情况.
解: 设矩形温室的左侧边长为 a m, 后侧边长为 b m,
则 ab=800, 蔬菜的种植面积 S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8 =808-2(a+2b).
∴S≤808-4 2ab =648.仅当 a=2b, 即 a=40, b=20 时取等号.
故当 a=40(m), b=20(m) 时, ymax=648(m2). 答: 当矩形温室的左侧边长为 40m, 后侧边长为 20m 时, 蔬菜 的种植面积最大, 最大种植面积为 648 m2.
解: 设调整后上网 x 小时的费用为 f(x) 元, (1)当 0<x≤60 时, f(x)=0.1620x+4x=7.2x;
当 x>60 时, f(x)=460+0.1620x+(x-60)8 =11.2x-240.
∴f(x)=
7.2x (0<x≤60) 11.2x-240 (x>60).
(2)设调整前上网 x 小时的费用为 g(x) 元,
则 g(x)=0.1220x+0.1260x=9.6x,
原上网 60 小时的费用为 9.660=576 元,
