最新人教版高中数学必修2第二章《平面与平面垂直的判定》优化训练

第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质A级基础巩固一、选择题1．在空间中，下列命题正确的是()A．垂直于同一条直线的两直线平行B．平行于同一条直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行2．关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是()A．①②B．③④C．①④D．②③3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A．a∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能4．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D D．A1A二、填空题6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF ＝DE，AD＝6，则EF＝________．7．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个说法：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确的个数为________．8．已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，点C为垂足，B∈β，BD⊥l，点D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．三、解答题9.如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB.10.(2015·广东卷)如图所示，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD.B级能力提升1．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①与②B．①与③C．②与③D．③与④2．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．3.如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N 分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.参考答案第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质A级基础巩固一、选择题1．在空间中，下列命题正确的是()A．垂直于同一条直线的两直线平行B．平行于同一条直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析：A项中垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确．答案：D2．关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是()A．①②B．③④C．①④D．②③解析：①m，n可能异面、相交或平行，④m，n可能平行、异面或相交，所以①④错误．答案：D3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A．a∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能解析：两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能．答案：D4．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行解析：由线面垂直的性质可得．答案：B5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D D．A1A解析：如图所示，连接AC，BD，因为BD⊥AC，A1C1∥AC，所以BD⊥A1C1，因为BD⊥A1A，所以BD⊥平面ACC1A1，因为CE ⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE.答案：B二、填空题6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF ＝DE，AD＝6，则EF＝________．解析：因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以四边形AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6.答案：67．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个说法：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确的个数为________．解析：①若a⊥b，a⊥α，可得出b∥α或b⊂α，又b⊄α，可得出b∥α，①正确；②若a∥α，a⊥β，由线面平行的性质定理可以得出在α内存在一条线c⊥β，故可得出α⊥β，②正确；③由a⊥β，α⊥β，可得出a∥α或a⊂α，③正确；④由a⊥b，a⊥α，可得出b∥α或b⊂α，又b⊥β，可得出α⊥β，④正确．答案：48．已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，点C为垂足，B∈β，BD⊥l，点D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．解析：如图，连接BC.因为二面角α-l-β为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，α∩β＝l，所以AC⊥β.又BC⊂β，所以AC⊥BC，所以BC2＝AB2－AC2＝3.又BD⊥CD，所以CD＝BC2－BD2＝ 2.答案：2三、解答题9.如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB.证明：因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE.因为SC⊥平面AGFE，所以SC⊥AE.又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB⊂平面SBC，所以AE⊥SB.10.(2015·广东卷)如图所示，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD.证明：(1)因为在长方形ABCD中，BC∥AD，BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA.(2)取CD的中点H，连接PH.因为PD＝PC，所以PH⊥CD.又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PH ⊂平面PDC.所以PH⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PH⊥BC.因为在长方形ABCD中，BC⊥CD，PH∩CD＝H，所以BC⊥平面PDC.又PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD.B级能力提升1．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①与②B．①与③C．②与③D．③与④解析：由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A.答案：B2．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．解析：如图，连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×32＝23，所以PM的最小值为27.答案：273.如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N 分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE.11因为N 为PC 的中点，E 为PD 的中点，所以NE ∥CD 且NE ＝12CD . 而AM ∥CD ，且AM ＝12AB ＝12CD ， 所以NE ∥AM 且NE ＝AM ，所以四边形AMNE 为平行四边形，所以MN ∥AE .又PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD .又因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ⊥CD .而AD ∩PA ＝A ，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD ⊥AE .又AE ∥MN ，所以MN ⊥CD .(2)由(1)可知CD ⊥AE ，MN ∥AE .又∠PDA ＝45°，所以△PAD 为等腰直角三角形．又E 为PD 的中点，所以AE ⊥PD ，所以AE ⊥平面PCD .又AE ∥MN ，所以MN ⊥平面PCD .。

2.3.2平面与平面垂直的判定1．在二面角α-l-β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有条件()A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β2．下列说法正确的是()A．二面角的大小范围是大于0°且小于90°B．一个二面角的平面角可以不相等C．二面角的平面角的顶点可以不在棱上D．二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，其中正确的命题是()A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nD．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β4．在三棱锥A-BCD中，如果AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么() A．平面ABD⊥平面ADCB．平面ABD⊥平面ABCC．平面BCD⊥平面ADCD．平面ABC⊥平面BCD5．若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，DC＝AD，点E是AC的中点，则平面BDE与平面ABC的位置关系是__________．7．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是__________．8．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确命题的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图K2-3-4，在△ABC中，∠ABC＝90°，点P为△ABC所在平面外一点，P A＝PB ＝PC，求证：平面P AC⊥平面ABC.图K2-3-410．如图K2-3-5，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．(1)若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；(2)求证：A1B∥平面ADC1.图K2-3-52．3.2平面与平面垂直的判定1．D 2.D 3.B 4.C5．C解析：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β不正确；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β正确；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β正确，所以正确的命题有2个．6．垂直解析：∵AD＝DC，点E是AC的中点，∴DE⊥AC.同理BE⊥AC.又BE∩DE ＝E，∴AC⊥平面BED，又AC⊂平面ABC.∴平面ABC⊥平面BDE.7．60°8．B解析：只有①④是正确命题．9．证明：取AC的中点O，连接PO，OB.∵AO＝OC，P A＝PC，∴PO⊥AO.又∵∠ABC＝90°，∴OB＝OA.又∵PB＝P A，PO＝PO，∴△POB≌△POA，∴PO⊥OB.又∵OA⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，且OA∩OB＝O，∴PO⊥平面ABC.又∵PO⊂平面P AC，∴平面P AC⊥平面ABC.10．证明：(1)因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC.因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1.因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥DC1.(2)如图D57，连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点．因为D为BC的中点，所以OD∥A1B.因为OD⊂平面ADC1，A1B平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.图D57。

课后导练基础达标1Rt△ABC在平面α内的射影是△A1B1C1，设直角边AB∥α，则△A1B1C的形状为（）A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上三种情况都有可能解析：设∠B为直角，由条件知AB∥α,由线面平行的性质知AB∥A1B1，又BC⊥AB，∴BC⊥A1B1，又知BB1⊥α,∴BB1⊥A1B1,∴A1B1⊥面BB1C，∴A1B1⊥B1C，∴△A1B1C为直角三角形.答案：A2设有直线m,n和平面α、β，则下列命题中，正确的是（）A.若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥βB.若m⊥α,m⊥n,n⊂β,则α∥βC.若m∥n,n⊥β,m⊂α,则α⊥βD.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β解析：A错，当α与β相交时，也有可能m∥n且m⊂n,n⊂β;B错，当α∩β=n时，也满足条件；C对，因为m∥n,n⊥β,∴m⊥β,又m⊂α,∴α⊥β;D错，因为m∥n,m⊥α,∴n⊥α,又n⊥β,∴α∥β.答案：C3关于直线a,b,l以及平面α、β，下列命题中正确的是（）A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a∥α,b⊥a,则b⊥αC.若a⊂α,b⊂α,且l⊥a,l⊥b,则l⊥αD.若a⊥α,a∥β,则α⊥β解析：A错.满足条件的a,b可平行，可相交也可异面；B错，例如，正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥面ABCD且A1D1⊥A1B，但A1B与面ABCD不垂直；C错，若a与b相交，则l⊥α,否则l不一定垂直α;D对.答案：D4(2006广东，5)给出以下四个命题，其中真命题的个数是（）①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.A.4B.3C.2D.1解析：①②④正确.①线面平行的性质定理；②线面垂直的判定定理；③这两条直线可能相交或平行；④面面垂直的判定定理.答案：B5空间四边形ABCD中，若AD⊥BC,BD⊥AD，那么有（）A.平面ABC ⊥平面ADCB.平面ABC ⊥平面ADBC.平面ABC ⊥平面DBCD.平面ADC ⊥平面DBC解析：∵AD ⊥BC,BD ⊥AD,BC∩BD=B,∴AD ⊥面BCD.又AB ⊂面ADC ，∴面ADC ⊥面BCD ，故选D.答案：D6如图所示，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，则图中互相垂直的平面共有（ ）A.3对B.4对C.5对D.6对解析：∵PA ⊥面ABCD ，且PA ⊂面PAB ，PA ⊂面PAD ，PA ⊂面PAC ，∴面PAB 和面PAC 和面PAD 都与面ABCD 垂直，又AD ⊥PA ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥面PAB ，又AD ⊂面PAD ，∴面PAB ⊥面PAD ，同理可证面PBC ⊥面PAB ，面PCD ⊥面PAD.答案：D7如图，P 是二面角α-AB-β的棱AB 上一点，分别在α、β上引射线PM 、PN,截PM=PN ，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，则二面角α-AB-β的大小是_________________.解析：过M 在α作MO ⊥AB 于点O ，连NO ，设PM=PN=a,又∠BPM=∠BPN=45°,∴△OPM ≌△OPN ，∴ON ⊥AB ，∴∠MON 为所求二面角的平面角，连MN ，∵∠MPN=60°,∴MN=a ，又MO=NO=22a,∴MO 2+NO 2=MN 2. ∴∠MON=90°.答案：90°8如图，已知∠BSC=90°，∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC ，求证：平面ABC ⊥平面SBC.证法一：利用定义证明：∵∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,∴△ASB 和△ASC 是等边三角形，则有SA=SB=SC=AB=AC ，令其值为a ，则△ABC 和△SBC 为共底边BC 的等腰三角形，取BC 的中点D ，连AD 、SD 则AD ⊥BC ，SD ⊥BD ，所以∠ADS 为二面角A-BC-S 的平面角，在Rt △BSC 中，∵SB=SC=a,∴SD=22a,BD=222=BC a ， 在△ADS 中，AD=22a ， ∵SD 2+AD 2=SA 2,∴∠ADS=90°,即二面角A-BC-S 为直二面角，故平面ABC ⊥平面SBC.证法二：利用判定定理∵SA=AB=AC,∴点A 在平面SBC 上的射影为△SBC 的外心，∵△BSC 为直角三角形，∴A 在△BSC 上的射影D 为斜边BC 的中点，∴AD ⊥平面SBC ，又∵平面ABC 过AD ，∴平面ABC ⊥平面SBC.综合应用9已知：m 、l 为直线,α,β为平面,给出下列命题：①若l 垂直于α内的两条相交直线,则l ⊥α②若l 平行于α,则l 平行于α内的所有直线③若m ⊂α,l ⊂β,且l ⊥m,则α⊥β④若l ⊂β,且l ⊥α,则α⊥β⑤若m ⊂α,l ⊂β,且α∥β,则m ∥l其中正确命题的序号是_________.解析：由直线与平面垂直的判定定理知，①正确；对于②，若l∥α,m⊂α,则l与m可能平行，也可能是异面直线，故②不正确；对于③，满足题设的平面α、β有可能平行或相交（但不垂直），不能推出α⊥β,故③是错误的；由面面垂直的判定定理知，④是正确的；对于⑤，m与l可能平行，也可能是异面直线，故⑤是错误的.故正确的命题是①④.∴应填①④.答案：①④10在正方体ABCD-A1B1C1D1中，找一个平面与平面DA1C1垂直，则该平面是________（写出满足条件的一个平面即可）.解析：连结AD1，在正方形ADD1A1中，AD1⊥A1D，又AB⊥面ADD1A1，A1D⊂面ADD1A1, ∴AB⊥A1D，又AD1∩AB=A,∴A1D⊥面ABD1，又A1D⊂面DA1C1，故平面ABD1⊥平面DA1C1.答案：平面ABD1（注：凡平面内有直线BD1的皆可）11如图，在空间四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD,E、F、G分别是AD、DC、CA的中点，求证：平面BEF⊥平面BDG.证明：连结E，F，∵E,F分别为AD，DC中点，∴EF∥AC，又∵AB=BC，AD=CD，G为中点，∴DG⊥AC，BG⊥AC,∴EF⊥DG，EF⊥BG，又BG∩DG=G,∴EF⊥面BDG，又∵EF⊂面BEF.故平面BEF⊥平面BDG.拓展探究12如图所示，已知P是边长为a的菱形ABCD所在平面外一点，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，PC=a,E为PA的中点.(1)求证：平面EDB ⊥平面ABCD ；(2)求二面角A-EB-D 的正切值.证明：（1）设AC∩BD=O,则O 为AC 中点，又∵E 为PA 中点，∴EO ∥PC,又∵PC ⊥面ABCD ，∴EO ⊥平面ABCD ，又知EO ⊂面EDB ，故平面EDB ⊥平面ABCD（2）由（1）知EO ⊥AO ，又知四边形ABCD 为菱形，∴AO ⊥BD,又BD∩EO=O ，∴AO ⊥面BDE ，过O 作OF ⊥BE 于点F ，又AO ⊥BE ，AO∩OF=O ，∴BE ⊥面AOF ，∴BE ⊥AF ，∴∠AFO 为所求二面角的平面角. 由BC=AB=a,∠ABC=60°知AC=a,BO=2322=-AO AB a,又EO=21PC=21a, ∴BE=22BO EO +=a,∴OF=43=•BE OB OE a, 又AO=a 2a ,在Rt △AOF 中， tanAFO=332=OF AO , 故二面角A-EB-D 的正切值为332.。

2.3.2 平面与平面垂直的判定【选题明细表】1.下列说法中,正确的是( B )(A)垂直于同一直线的两条直线互相平行(B)平行于同一平面的两个平面平行(C)垂直于同一平面的两个平面互相平行(D)平行于同一平面的两条直线互相平行解析:A.垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面.B.正确.C.垂直于同一平面的两个平面可能相交、也可能平行.D.平行于同一平面的两条直线可能相交、平行或异面.只有B正确.2.(2018·江西三市联考)设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则( C )(A)若a∥α,b∥α,则a∥b (B)若a∥α,a∥β,则α∥β(C)若a∥b,a⊥α,则b⊥α(D)若a∥α,α⊥β,则a⊥β解析:选项A.若a∥α,b∥α,则a∥b,或a,b异面或a,b相交,A错;选项B.若a∥α,a∥β,则α∥β,或α∩β=b,B错;选项C.若a∥b,a ⊥α,则b⊥α,C正确;选项D.若a∥α,α⊥β,则a⊂β或a∥β或a⊥β,D错.故选C.3.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A,B)且PA=AC,则二面角P BC A的大小为( C )(A)60°(B)30°(C)45°(D)15°解析:易得BC⊥平面PAC,所以∠PCA是二面角P BC A的平面角,在Rt △PAC中,PA=AC,所以∠PCA=45°.故选C.4.如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,则图中互相垂直的平面有( D )(A)2对(B)3对(C)4对(D)5对解析:由PA⊥矩形ABCD知,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面ABCD;由AB⊥平面PAD知,平面PAB⊥平面PAD;由BC⊥平面PAB知,平面PBC ⊥平面PAB;由DC⊥平面PAD知,平面PDC⊥平面PAD.故题图中互相垂直的平面有5对.选D.5.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成几何体A BCD,则在几何体A BCD中,下列结论正确的是( D )(A)平面ABD⊥平面ABC(B)平面ADC⊥平面BDC(C)平面ABC⊥平面BDC(D)平面ADC⊥平面ABC解析:由已知得BA⊥AD,CD⊥BD,又平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD,从而CD⊥AB,故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC.选D.6.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,△ABD的面积是△ACD的面积的2倍.沿AD将△ABC翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此时二面角B AD C的大小为( C )(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°解析:由已知得,BD=2CD.翻折后,在Rt△BCD中,∠BDC=60°,而AD⊥BD,CD⊥AD,故∠BDC是二面角B AD C的平面角,其大小为60°.故选C.7.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠,使平面ABD⊥平面ACD,则折叠后BC= .解析:因为在原△ABC中,AD⊥BC,所以折叠后有AD⊥BD,AD⊥CD,所以∠BDC是二面角B AD C的平面角.因为平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°.在Rt△BCD中,∠BDC=90°,BD=CD=,所以BC==1.答案:18.如图,三棱柱ABC A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点.(1)证明:平面BDC1⊥平面BDC;(2)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.(1)证明:由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.(2)解:设棱锥B DACC1的体积为V1,AC=1,由题意得V1=××1×1=.又三棱柱ABC A1B1C1的体积V=1,所以(V-V1)∶V1=1∶1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.9.(2018·兰州诊断)在直三棱柱ABC A1B1C1中,AB=AC=BC=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为( B )(A) (B) (C)(D)解析:如图,设D为BC的中点,连接AD,A1D,A1C,A1B,过A作A1D的垂线,垂足为E,则BC⊥A1D,BC⊥AD,所以BC⊥平面A1AD,则BC⊥AE.又AE⊥A1D,所以AE⊥平面A1BC,由条件可得AD=AB=,A1D==2,由面积相等得AE·A1D=AA1·AD,即AE==,故选B.10.正方体ABCD A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1BD A的正切值等于.解析:设AC与BD相交于O点,因为ABCD A1B1C1D1为正方体,所以AO⊥BD,又AA1⊥平面ABCD,所以AA1⊥BD,又AO∩AA1=A,所以BD⊥平面A1AO,所以BD⊥A1O,所以∠A1OA为二面角A1BD A的平面角,设正方体的棱长为a,在直角△A1AO中,AA1=a,AO=a,所以tan∠A1OA==.答案:11.四棱锥P ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=.(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;(2)求二面角A BE P的大小.(1)证明:如图所示,连接BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.又BE⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.(2)解:由(1)知,BE⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以PB⊥BE.又AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A BE P的平面角.在Rt△PAB中,tan∠PBA==,∠PBA=60°,故二面角A BE P的大小是60°.12.如图所示,在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC A1B1C1中,AB=BB1,AC1⊥平面A1BD,D为AC的中点.(1)求证:B1C∥平面A1BD;(2)求证:B1C1⊥平面ABB1A1;(3)设E是CC1上一点,试确定E的位置使平面A1BD⊥平面BDE,并说明理由.(1)证明:连接AB1,与A1B相交于M,则M为A1B的中点,连接MD.又D为AC的中点,所以B1C∥MD.又B1C⊄平面A1BD,MD⊂平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD.(2)证明:因为AB=B1B,所以四边形ABB1A1为正方形.所以A1B⊥AB1.又因为AC1⊥平面A1BD,所以AC1⊥A1B.所以A1B⊥平面AB1C1,所以A1B⊥B1C1.又在棱柱ABC A1B1C1中BB1⊥B1C1,所以B1C1⊥平面ABB1A.(3)解:当点E为C1C的中点时,平面A1BD⊥平面BDE, 因为D,E分别为AC,C1C的中点,所以DE∥AC1.因为AC1⊥平面A1BD,所以DE⊥平面A1BD.又DE⊂平面BDE,所以平面A1BD⊥平面BDE.。

2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.在下列条件下,可判定平面M与平面N平行的是( )A.M、N都垂直于平面QB.M内不共线的三个点到N的距离相等C.l、m是M内两条直线,且l∥N,m∥ND.l、m是异面直线,且l∥M,m∥M,l∥N,m∥N 解析:M内不共线的三个点到N的距离相等，这三点有可能在平面N的两侧,此时平面M与平面N相交.l、m是M内两条直线,且l∥N,m∥N，只有当l、m相交，才能得出平面M与平面N平行. 答案：D2.(2006广东广州一模,4)设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A.若a∥b，a∥α，则b∥αB.若α⊥β，a∥α，则α⊥βC.若α⊥β，a⊥β，则a∥αD.若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β解析:对于A，直线b可能在平面α内；对于B，直线a可能与平面β斜交；对于C，直线a 可能在平面α内.因此，选D.答案：D3.过平面外一点作该平面的垂线有___________条；垂面有___________个；平行线有___________条；平行平面有___________个.解析:借助实物演示，过平面外一点作该平面的垂线只有一条；垂面有无数个；平行线有无数条；平行平面只有一个.答案：一无数无数一10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.(2006天津高考,6)设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是( )A.m⊥α,n⊂β,m⊥n⇒α⊥βB.α∥β,m⊥α,n∥β⇒m⊥nC.α⊥β,m⊥α,n∥β⇒m⊥nD.α⊥β,α∩β=m,n⊥m⇒n⊥β解析:此类题采用排除法解题，通过很好地找出反例，从而准确地判断出直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.如草图，依次排除A、C、D.答案：B2.以下命题正确的个数是( )①aα,b⊂α,l⊥a,l⊥b⇒l⊥α ②α⊥β,α∩β=b,a⊂α⇒a⊥β ③α⊥β,α∩β=b,a⊥b⇒a⊥β④a⊥α,b⊥α⇒a∥bA.0B.1C.2D.3解析:①缺少a,b相交；②缺少a⊥b；③缺少a⊂α.答案：B3.a、b是异面直线，则( )A.存在平面α使a⊥α,b⊥αB.一定存在平面α使a⊂α且b⊥αC.一定存在平面α使a⊂α且b∥αD.一定存在平面α使a∥α,且b⊥α解析:选项A,若a⊥α,b⊥α,则由线面垂直性质定理可得出a∥b,与已知矛盾;选项B,当a与b 不垂直时不成立; D不一定成立.答案：C4.设x、y、z是空间的不同直线或不同平面,且直线不在平面内,下列条件中能保证“若x⊥z 且y⊥z,则x∥y”为真命题的是_________________.(填所有正确条件的代号)①x为直线,y、z为平面②x、y、z为平面③x、y为直线,z为平面④x、y为平面,z为直线⑤x、y、z为直线解析:同垂直于一直线的两面平行,同垂直于一面的两线平行,同垂直于一面的线面也平行(不包含的话).答案：①③④5.如图2-3-7,在三棱锥ABC—A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,且△ABC是等边三角形,在侧面三条对角线AB1、BC1、CA1中,AB1⊥BC1.求证:AB1⊥CA1.图2-3-7证明：延长B1C1到D,使C1D=B1C1,连结CD,A1D.∵BC C1D,∴四边形C1DCB为平行四边形.∴BC1∥CD.∵AB1⊥BC1,∴AB1⊥CD.在△A1B1D中,∵B1C1=A1C1=C1D,∴∠B1A1D=90°,A1D⊥A1B1.∵AA1⊥底面A1B1C1,A1D⊂面A1B1C1,∴AA1⊥A1D.∴A1D⊥面A1B1BA.∴A1D⊥AB1.∵AB1⊥CD,∴AB1⊥平面A1CD.∴AB1⊥CA1.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.(2006天津高考,文7)若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ,β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ,β∥γ⇒α⊥β；③l∥α,l⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有( )A.0个B.1个C.2个D.3个解析:由长方体的一角可证明①是错误的;②③易证明是正确的.答案：C2.(2006广东高考,5)给出以下四个命题:①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.其中正确的命题个数是( )A.4B.3C.2D.1解析:空间几何中的基本性质与判定是学好空间几何的基础，平时应引起关注，本题易错点是未能正确掌握平行与垂直的判定条件.根据空间中线面平行、垂直的有关性质与判定易知③错,①②④正确，故选B.答案：B3.已知三条直线m 、n 、l ，三个平面α、β、γ,下列命题中正确的是( )A.βαγβγα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥B.ββ⊥⇒⎭⎬⎫⊥l m l m // C.n m n m //////⇒⎭⎬⎫γγ D.n m n m //⇒⎭⎬⎫⊥⊥γγ 解析:选项A 中α、β有可能平行，在B 中得不出l ⊥β,在C 中m 、n 有可能相交或异面. 答案：D4.若a 、b 是两条异面直线,则存在唯一确定的平面β,满足( )A.a ∥β且b ∥βB.a ⊂β且b ∥βC.a ⊥β且b ⊥βD.a ⊂β且b ⊥β解析:a ∥β且b ∥β时,β平面有无数多个,且它们互相平行;a ⊥β且b ⊥β不可能;a ⊂β,b ⊥β,当a ⊥b 时,β有无数多个.答案：B5.(2004全国高考卷Ⅳ,7)对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是( )A.如果m ⊂α,n α,m 、n 是异面直线，那么n ∥αB.如果m ⊂α,n α,m 、n 是异面直线，那么n 与α相交C.如果m ⊂α,n ∥α,m 、n 共面，那么m ∥nD.如果m ∥α,n ∥α,m 、n 共面，那么m ∥n解析:如果m ⊂α、n ∥α,m 、n 共面，根据线面平行性质定理，则m ∥n ，在A 中n 与α可能相交,C 中n 与α可能异面,D 中m ∥n 不一定，可能相交或异面.答案：C6.(2006湖北高考,6)关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：①m ∥α,且n ∥β，α∥β,则m ∥n;②m ⊥α,n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n;③m ⊥α,n ∥β且α∥β，则m ⊥n;④m ∥α,n ⊥β且α⊥β，则m ∥n.其中真命题的序号是( )A.①②B.③④C.①④D.②③解析:①若m ∥α,n ∥β且α∥β，则m ∥n 为假命题，可能出现直线相交的情况；④若m ∥α,n ⊥β且α⊥β,则m ∥n 为假命题，可能出现直线相交的情况，在①④的条件下，m 、n 的位置关系不确定.答案：D7.已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α和β外两条不同的直线，给出以下四个论断：①m ⊥n;②α⊥β;③n ⊥β;④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个为结论，写出你认为正确的一个命题_______________. 解析:由线线、线面、面面垂直关系的推断方法，联想到面面垂直的性质和定义，易知当α⊥β， m ⊥α，n ⊥β时，必有m ⊥n ，∴②③④⇒①.这是一道开放题，答案不唯一.答案：②③④⇒①8.如图2-3-8,四棱锥P —ABCD 的底面是矩形,侧面PAD 是正三角形,且侧面PAD ⊥底面ABCD,E 是侧棱PD 的中点.图2-3-8求证:(1)PB ∥平面EAC;(2)AE ⊥平面PCD.证明：(1)连结BD,BD∩AC=O,连结EO,则EO 为△PDB 的中位线,则PB ∥EO.又PB 平面EAC,EO ⊂平面EAC,所以PB ∥平面EAC.(2)∵平面PAD ⊥底面ABCD,CD ⊥AD,∴CD ⊥面PAD.∴CD ⊥AE.又∵△PAD 为正三角形,E 为PD 中点,∴AE ⊥PD.又PD∩DC=D,∴AE ⊥面PCD.9.如图2-3-9所示，在三棱锥S —ABC 中,SA ⊥底面ABC,BC ⊥AB,AE ⊥SB,AF ⊥SC.求证：SC ⊥EF.图2-3-9证明：平面底面⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⊥BC BA BC BC SA ABC SA SBC AE SB AE AE BC SAB 平面⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒ .EF SC AEF EF AEF SC AF SC SC AE ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒平面平面 10.如图2-3-10，在三棱锥P —ABC 中，∠PAB=∠PAC=∠ABC=90°，试判断平面PBA 与平面PBC 的位置关系，并说明理由.图2-3-10解：平面PBA 与平面PBC 垂直，这是由于⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥BC AB BC PA ABC PA AC PA AB PA 平面BC ⊥平面PAB ⇒平面PAB ⊥平面PBC. 快乐时光可笑的高明有个农学院的毕业生回到家乡，见老园丁在移植果树.便说：“你这种移植方法很不科学.照你这种干法，从这棵树上能收获7个苹果就够让我大吃一惊了.”老园丁看着他，慢吞吞地说“不光是你，我也很惊讶.因为这是一棵桃树.”本章测评(用时90分钟,满分100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是( )A.α内所有的直线都与a 异面B.α内不存在与a 平行的直线C.α内所有的直线都与a 相交D.直线a 与平面α有公共点解析:若直线a 不平行于平面α，包括直线a 与平面α相交及直线a 在平面α内，故直线a 与平面α有公共点.答案：D2.已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.其中正确的个数是( )A.3B.2C.1D.0解析:①错，不一定;②对③错，一个平面内的任一条直线不一定垂直于另一个平面;④错，过一个平面内任意一点作交线的垂线，不一定与交线相交.答案：C3.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么( )A.α∥βB.α与β相交C.α与β重合D.α∥β或α与β相交解析:不管α∥β或α与β相交，平面α内都有无数条直线与平面β平行.答案：D4.两等角的一组对应边平行，则( )A.另一组对应边平行B.另一组对应边不平行C.另一组对应边也不可能垂直D.以上都不对解析:两等角的一组对应边平行，则另一组对边可能平行，也可能异面.答案：D5.如图2-1所示，点S 在平面ABC 外，SB ⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是( )图2-1A.1B.2C.22 D.21 解析:取SA 的中点H ，连结EH 、FH.因为SB ⊥AC ，则EH ⊥FH ，在△EFH 中，应用勾股定理得EF=2.答案：B6.直线a 在平面α内，则命题（1）“若平面α平行于平面β，则直线a 平行于平面β”，命题（2）“若直线a 平行于平面β，平面α平行于平面β”，则下列判断正确的是( )A.（1）是真命题，（2）是真命题B.（1）是真命题，（2）是假命题C.（1）是假命题，（2）是真命题D.（1）是假命题，（2）是假命题 解析:直线a 在平面α内，若平面α平行于平面β,则平面α的任何一条直线包括a 平行于平面β.若直线a 平行于平面β，则平面α与平面β有可能相交.答案：B7.长方体中，AB=AD=32，CC 1=2，则二面角C 1-BD-C 的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90° 解析:过C 作CE ⊥BD ，连结C 1E ，则C 1E ⊥BD,∠C 1EC 就是所求的二面角.在Rt △BCD 中，可求得CE=6，tan ∠C 1EC=33, ∴∠C 1EC=30°.答案：A8.已知ABCD 是空间四边形，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，如果对角线AC=4，BD=2，那么EG 2+HF 2的值等于( )A.10B.15C.20D.25解析:ABCD 是空间四边形，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则EFGH 是平行四边形，EG 2+HF 2=2（EF 2+FG 2）=10.答案：A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)9.a 、b 是异面直线，下面四个命题：①过a 至少有一个平面平行于b;②过a 至少有一个平面垂直于b;③至多有一条直线与a 、b 都垂直;④至少有一个平面与a 、b 都平行.其中正确的命题是____________________.(填序号)解析:①④正确;②错，当a 、b 不垂直时，过a 不存在平面垂直于b;③错，有无数条直线与a 、b 都垂直.答案：①④10.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,O 是底面ABCD 的中心,E 、F 、G 、H 分别是棱AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点,请写出一个与A 1O 垂直的正方体的截面_____________________.(截面用给定的字母表示,不必写出全部符合条件的截面)解析:根据线面垂直的定义逐一分析,不过本题只需找到一个即可.答案：GDB 或AFC 1H 或ED 1B 111.如图2-2所示，A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，若BD=6，则MN=______________.图2-2解析:连结AM 交BC 于E ，连结AN 交CD 于F ，连结EF ，则MN ∥EF ，EF ∥BD ，MN=.231213232==∙=BD BD EF 答案：212.已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过P 点的两条直线AC,BD 分别交α于A 、B ，交β于C 、D ，且PA=6，AC=9，AB=8，则CD 的长为_________________.解析:若P 在α,β的同侧，由于平面α∥平面β,故AB ∥CD ，则CDAB PC PA =,可求得CD=20;若P 在α,β之间，可求得CD=4.答案：20或413.已知m 、n 是直线,α、β、γ是平面,给出下列命题:①若α⊥β,α∩β=m,n ⊥m,则n ⊥α或n ⊥β;②若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则m ∥n;③若m 不垂直于α,则m 不可能垂直于α内的无数条直线;④若α∩β=m,n ∥m 且n α,n β,则n ∥α且n ∥β.其中正确的命题序号是_______________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)解析:①n 与α相交或n 与β相交，不正确.③m ⊥b,b ∈α,但m 不垂直于α.∴在α内有无数条与b 垂直的直线.∴m 可以垂直α内无数条直线.∴③不正确.答案：②④三、解答题(本大题共5小题,共51分)14.(8分)设P 是△ABC 所在平面外一点，P 到A 、B 、C 的距离相等，∠BAC 为直角. 求证：平面PCB ⊥平面ABC.证明：如图所示，取BC 的中点D ，连结PD 、AD ，∵D 是Rt △ABC 的斜边BC 的中点，∴BD=CD=AD.又PA=PB=PC ，PD 是公共边，∴∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°.∴PD ⊥BC ，PD ⊥DA ，PD ⊥平面ABC.又PD ⊂平面PCB,∴平面PCB ⊥平面ABC.15.(10分)如图2-3所示，三个平面两两相交，有三条交线，求证：这三条交线交于一点或互相平行.图2-3证明：如题图所示，设已知平面α,β,γ，α∩β=l 1，β∩γ=l 2，α∩γ=l 3，如果l 1、l 2、l 3中有任意两条交于一点P ，设l 1∩l 2=P ，即P ∈l 1，P ∈l 2，那么P ∈α，P ∈γ，则点P 在平面α、γ的交线l 3上，即l 1,l 2,l 3交于一点,如题中(a)图；如果l 1,l 2,l 3中任何两条都不相交，那么，因为任意两条都共面，所以l 1∥l 2∥l 3,如题中（b ）图.16.(10分)如图2-4所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 为DD 1上一点，且D 1G ∶GD=1∶2，AC∩BD =O ，求证：平面AGO ∥平面D 1EF.图2-4证明：如题图所示，设EF∩BD=H ，在△DD 1H 中，132DD DG DH DO ==， ∴GO ∥D 1H.又GO 平面D 1EF ，D 1H ⊂平面D 1EF ，∴GO ∥平面D 1EF.在△BAO 中，BE=AE ，BH=HO ，∴EH ∥AO.AO 平面D 1EF ，EH ⊂平面D 1EF ，∴AO ∥平面D 1EF.又AO∩GO=O ，∴平面AGO ∥平面D 1EF.17.(11分)如图2-5所示，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，PA=AD=a.图2-5求证:（1）MN ∥平面PAD ；（2）平面PMC ⊥平面PCD.证明：如图所示，(1)设PD 的中点为E ，连结AE 、NE ，由N 为PC 的中点,知EN 21DC. 又四边形ABCD 是矩形，∴DC AB.∴EN 21AB.又M 是AB 的中点， ∴EN AM.∴AMNE 是平行四边形.∴MN ∥AE.而AE ⊂平面PAD ，NM 平面PAD,∴MN ∥平面PAD.(2)∵PA=AD ，∴AE ⊥PD.又∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥PA ，而CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD.∴CD ⊥AE.∵PD∩CD=D ，∴AE ⊥平面PCD.∵MN ∥AE,∴MN ⊥平面PCD.又MN ⊂平面PMC ，∴平面PMC ⊥平面PCD.18.(12分)如图2-6，棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，图2-6（1）求证：E 、F 、B 、D 四点共面；（2）求四边形EFDB 的面积.(1)证明：如图所示，连结B 1D 1，在△C 1B 1D 1中，C 1E=EB 1，C 1F=FD 1，∴EF ∥B 1D 1，且EF=21B 1D 1.又A 1A B 1B ，A 1A D 1D ，∴B 1B D 1D.∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形.∴B 1D 1∥BD ，EF ∥BD.∴E 、F 、D 、B 四点共面.(2)解：由AB=a ，知BD=B 1D 1=a 2，EF=a 22， DF=BE=a a a E B BB 25)2(222121=+=+，过F 作FH ⊥DB 于H ， 则DH=a EF DB 422=-， ∴FH=a a a a DH DF 42316181624522222==-=-. 四边形的面积为S 四边形EFBD =21(EF+BD)×FH=21(a 22+a 2)×228942322321423a a a =⨯⨯=.。

平面与平面垂直的判定一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．下面不能确定两个平面垂直的是( )．两个平面相交，所成二面角是直二面角．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线．一个平面经过另一个平面的一条垂线．平面α内的直线与平面β内的直线是垂直的．已知直线，与平面α，β，给出下列三个结论：①若∥α，∥α，则∥；②若∥α，⊥α，则⊥；③若⊥α，∥β，则α⊥β.其中正确结论的个数是( )．．．．．设，是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是( )．若∥α，⊥β，⊥，则α⊥β．若∥α，⊥β，⊥，则α∥β．若∥α，⊥β，∥，则α⊥β．若∥α，⊥β，∥，则α∥β图--．如图--所示，在立体图形-中，若＝，＝，是的中点，则下列结论中正确的是( ) ．平面⊥平面．平面⊥平面．平面⊥平面，平面⊥平面．平面⊥平面，平面⊥平面．如图--所示，在△中，⊥，△的面积是△的面积的倍．沿将△翻折，使翻折后⊥平面，此时二面角--的大小为( )图--．°．°．°．°．若一条线段的两个端点分别在一个直二面角的两个面内(都不在棱上)，则这条线段所在的直线与这两个平面所成的角的和( )．等于°．大于°．不大于°．不小于°图--．如图--所示，在三棱锥-中，⊥平面，∠＝°，则图中互相垂直的平面共有( )．对．对．对．对二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．已知正四棱锥的体积为，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于．．下列结论中，所有正确结论的序号是．①两个相交平面形成的图形叫作二面角；②异面直线，分别和一个二面角的两个面垂直，则，组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．．已知两条不同的直线，，两个不同的平面α，β，给出下列命题：①若垂直于α内的两条相交直线，则⊥α；②若∥α，则平行于α内的所有直线；③若⊂α，⊂β且α∥β，则∥；④若⊂β，⊥α，则α⊥β.其中真命题的序号是．(把你认为是真命题的序号都填上)图--．如图--，⊥⊙所在的平面，是⊙的直径，是⊙上一点，⊥于，⊥于，给出下列结论：①⊥；②⊥；③⊥；④平面⊥平面；⑤△是直角三角形．其中所有正确的命题的序号是．三、解答题(本大题共小题，共分)．(分)如图--所示，在正三棱柱-中，为的中点，求证：截面⊥侧面.。

数学·必修2(人教A版)2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2 平面与平面垂直的判定基础达标1．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是()A．相等B．互补C．互余D．无法确定解析：如图，BD，CD为AB，AC所在平面与α，β的交线，则∠BDC为二面角αlβ的平面角．且∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠A＋∠BDC＝180°.答案：B2．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面()A．有一个B．有两个C．有无数个D．不存在解析：经过l的任一平面都和α垂直．答案：C3．PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有()A．8对B．7对C．6对D．5对解析：如图，平面PAD，平面PBD，平面PCD都垂直于平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBD.答案：B4．如图，在边长为a 的正三角形ABC 中，AD ⊥BC ，沿AD 将△ABD 折起，若折起后B ，C 间距离为12a ，则二面角BADC 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：由题意知∠BDC 即为二面角BADC 的平面角． ∴在△BCD 中，BC ＝CD ＝DB ＝12a ，∴∠BDC ＝60°，即二面角BADC 的大小为60°.故选C. 答案：C5．(2013·广州调研)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是()A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若m⊥α，n∥α，则m⊥n答案：D6．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交，但不垂直D．以上都有可能答案：D巩固提升7．以下命题正确的个数是()①一个二面角的平面角只有一个；②二面角的棱必垂直于这个二面角的平面角所在的平面；③分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的直线所成的角等于二面角的大小．A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B8．如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，过BD1的平面分别交棱AA1和CC1于E，F两点．(1)求证：A1E＝CF；证明：由题知，平面EBFD1与平面BCC1B1交于BF，与平面ADD1A1交于ED1，又平面BCC1B1∥平面ADD1A1，∴D1E∥BF，同理BE∥D1F，∴四边形EBFD1为平行四边形，∴D1E＝BF，∵A1D1＝CB，D1E＝BF，∠D1A1E＝∠BCF＝90°，∴Rt△A1D1E≌Rt△CBF，∴A1E＝CF.(2)若E，F分别是棱AA1和棱CC1的中点，求证：平面EBFD1⊥平面BB1D1.证明：∵四边形EBFD1是平行四边形．AE＝A1E，FC＝FC1，∴Rt△EAB≌Rt△FCB，∴BE＝BF，故四边形EBFD1为菱形．连接EF，BD1，A1C1∵四边形EBFD1为菱形，∴EF⊥BD1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，有B1D1⊥A1C1，B1D1⊥A1A，∴B1D1⊥平面A1ACC1，又EF⊂平面A1ACC1，∴EF⊥B1D1，又B1D1∩BD1＝D1，∴EF⊥平面BB1D1，又EF⊂平面EBFD1，故平面EBFD1⊥平面BB1D1.9．如图甲，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2a，E为DC的中点，现将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如图乙．(1)求二面角ABCD的正切值；解析：取AE中点O，BC中点F，连接DO，OF，DF(如图)．由题知：AB＝2AD，DE＝EC，∴AD＝DE，∴DO⊥AE，又∵平面ADE⊥平面ABCE，∴DO⊥平面ABCE，又∵AB⊥BC，OF∥AB，∴OF⊥BC，由三垂线定理得DF⊥BC，∴∠DFO为二面角ABCD的平面角．在Rt△DOF中，DO＝22a，OF＝a＋2a2＝32a，∴tan∠DFO＝22a32a＝23.即二面角ABCD的正切值是23.(2)求证：AD⊥平面BDE.证明：连接BE，则BE＝a2＋a2＝2a，又AE＝2a，AB＝2a，∴AB2＝AE2＋EB2，∴AE⊥EB.由(1)知DO⊥平面ABCE，∴DO⊥BE，又∵DO∩AE＝O，∴BE⊥平面ADE，∴BE⊥AD，又∵AD⊥DE，BE∩DE＝E，∴AD⊥平面BDE.。

第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2 平面与平面垂直的判定A级基础巩固一、选择题1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角()A．相等B．互补C．不确定D．相等或互补2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是() A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β3．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-PA-C的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD ＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC5．已知m，n为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列命题中正确的是()A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α⊥γ，β⊥γ⇒α∥βC．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nD．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β二、填空题6.如图所示，检查工作的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是________．7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP ＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．8.如图所示，在三棱锥S-ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝1，SA＝32，则二面角S-BC-A的大小为________．三、解答题9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：面A1CD1⊥面C1BD.10．如图所示，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC的中点．(1)证明SO⊥平面ABC；(2)求二面角A-SC-B的余弦值．B级能力提升1．在空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有() A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC2．矩形ABCD的两边AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝435，则二面角A-BD-P的度数为________．3．(2015·课标全国Ⅰ卷节选)如图所示，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.证明：平面AEC⊥平面AFC.参考答案第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2 平面与平面垂直的判定A级基础巩固一、选择题1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角()A．相等B．互补C．不确定D．相等或互补答案：C2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是() A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β.又m⊂α，所以α⊥β.答案：C3．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-PA-C的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：因为PA⊥平面ABC，BA⊂平面ABC，CA⊂平面ABC，所以BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC为二面角B­PA­C的平面角，又∠BAC＝90°.答案：A4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD ＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析：由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC.答案：D5．已知m，n为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列命题中正确的是()A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α⊥γ，β⊥γ⇒α∥βC．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nD．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β解析：α∥β，m⊥α⇒m⊥β，n∥β⇒m⊥n.答案：C二、填空题6.如图所示，检查工作的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是________．解析：如图，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β且OB∩OC ＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA⊂α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.答案：面面垂直的判定定理7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP ＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．解析：可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°.答案：45°8.如图所示，在三棱锥S-ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝1，SA＝32，则二面角S-BC-A的大小为________．解析：如图所示，取BC的中点O，连接SO，AO.因为AB＝AC，O是BC的中点，所以AO⊥BC，同理可证SO⊥BC，所以∠SOA是二面角S-BC-A的平面角．在△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，AB＝1，所以AO＝1·sin 60°＝32.同理可求SO＝3 2.又SA＝32，所以△SOA是等边三角形，所以∠SOA＝60°，所以二面角S-BC-A的大小为60°.答案：60°三、解答题9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：面A1CD1⊥面C1BD.证明：因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以AC⊥BD，因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥BD.又因为AA1∩AC＝A，所以BD⊥平面ACA1，又因为A1C⊂平面ACA1，所以BD⊥A1C，同理BC1⊥A1C，因为BD∩BC1＝B，所以A1C⊥平面C1BD，因为A1C⊂平面A1CD1，所以面A1CD1⊥面C1BD.10．如图所示，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC的中点．(1)证明SO⊥平面ABC；(2)求二面角A-SC-B的余弦值．(1)证明：如图所示，由题设AB＝AC＝SB＝SC＝SA.连接OA，△ABC为等腰直角三角形，所以OA＝OB＝OC＝22SA，且AO⊥BC.又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，且SO＝22SA.从而OA 2＋SO 2＝SA 2，所以△SOA 为直角三边形，SO ⊥AO .又AO ∩BC ＝O ，所以SO ⊥平面ABC .(2)解：取SC 的中点M ，连接AM ，OM .由(1)知SO ＝OC ，SA ＝AC ，得OM ⊥SC ，AM ⊥SC . 所以∠OMA 为二面角A -SC -B 的平面角．由AO ⊥BC ，AO ⊥SO ，SO ∩BC ＝O ，得AO ⊥平面SBC .所以AO ⊥OM .又AM ＝32SA ，AO ＝22SA ，故sin ∠AMO ＝AO AM ＝23＝63.所以二面角A -SC -B 的余弦值为33.B 级 能力提升1．在空间四边形ABCD 中，若AD ⊥BC ，AD ⊥BD ，那么有()A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC解析：因为AD ⊥BC ，AD ⊥BD ，BC ∩BD ＝B ，所以AD ⊥平面DBC .又因为AD ⊂平面ADC ，所以平面ADC ⊥平面DBC .答案：D2．矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝435，则二面角A -BD -P 的度数为________． 解析：过点A 作AE ⊥BD ，连接PE ，则∠AEP 为所求角．因为由AB ＝3，AD ＝4知BD ＝5，又AB ·AD ＝BD ·AE ，所以AE ＝125.所以tan ∠AEP ＝435125＝33.所以∠AEP ＝30°. 答案：30°3．(2015·课标全国Ⅰ卷节选)如图所示，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .证明：平面AEC ⊥平面AFC .证明：连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝ 3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝22.在Rt△FDG中，可得FG＝62.，可得EF 在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝22＝322.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.。

2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是( )A.平行B.相交C.平行或相交D.无法确定解析:当两个平面相交时，在这两个平面内存在直线，使得这两条直线互相平行.故这两个平面有可能相交或平行.答案：C2.过平面外一点，可以作________________________________条直线与已知平面平行；过平面外一点，可以作__________________________________个平面与已知平面平行.解析:过平面外一点，可以作无数条直线与已知平面平行，但过平面外一点，只可以作一个平面与已知平面平行.答案：无数一3.判断下列命题的真假.（1）若直线lα，则l不可能与平面α内无数条直线都相交.（）（2）若直线l与平面α不平行，则l与α内任何一条直线都不平行.（）（3）过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行.（）解析:（1）中l可能与平面α相交;（2）直线l可能在平面α内;（3）过平面外一点能引无数条直线与这个平面平行.答案：（1）×（2）×（3）×10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.命题（1）“若平面α内有无穷多条直线都和直线l平行，则l∥α”；命题（2）“若l∥α，则平面α内有无穷多条直线都和直线l平行”.下列判断正确的是( )A.（1）是真命题，（2）是假命题B.（1）是真命题，（2）是真命题C.（1）是假命题，（2）是假命题D.（1）是假命题，（2）是真命题解析:平面α内有无穷多条直线都和直线l平行,则得不出l∥α，因为l有可能在平面α内，若l∥α,则平面α内有无穷多条直线都和直线l平行.答案：D2.已知a、b、c是直线，β是平面，给出下列命题：①若a⊥b,b⊥c,则a∥c；②若a∥b,b⊥c,则a⊥c；③若a∥β,b∥β,则a∥b；④若a与b异面，且a∥β,则b与β相交;⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a、b都垂直.其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析:在①中a与c可能相交或异面;③a与b可能异面;④中b与β有可能平行或b在β内;⑤错，可以有无数条直线与a，b都垂直，只有②正确.答案：①②③④3.以下命题（其中a，b表示直线，α表示平面）①若a∥b，b⊂α，则a∥α;②若a∥α，b∥α，则a∥b;③若a∥b，b∥α，则a∥α;④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中错误命题是_________________.(填序号)解析:①中a有可能在平面α内，②中a与b有可能相交或异面，③中a有可能在平面α内,④中a 与b 可能异面.答案：A4.如图2-2-1，在三棱锥P －ABC 中，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，图2-2-1求证：OD ∥平面PAB.证明：∵点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，∴OD ∥AP.∵OD 平面PAB ，AP ⊂平面PAB,∴OD ∥平面PAB.5.如图2-2-2,P 是△ABC 所在平面外的一点,A′、B′、C′分别是△PBC 、△PCA 、△PAB 的重心.(1)求证：平面A′B′C′∥平面ABC;(2)求△A′B′C′与△ABC 的面积之比.图2-2-2(1)证明:连结PA′、PC′,并分别延长交BC 、AB 于M 、N,连结MN.∵A′、C′分别是△PBC 、△PAB 的重心,∴PA′=32 PM,PC′=32PN. ∴A′C′∥MN.∵A′C′平面ABC,MN ⊂平面ABC,∴A′C′∥平面ABC.同理,A′B′∥平面ABC.又A′C′∩A′B′=A′,A′C′、A′B′ 平面A′B′C′,∴平面A′B′C′∥平面ABC.(2)解：由(1)知A′C′32MN.又MN 21AC. ∴A′C′31AC. 同理,A′B′31AB,B′C′31BC.∴△A′B′C′∽△ABC.∴91'''=∆∆ABC C B A S S . 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下列图形能正确表示语句“平面α∩β=l ,a ⊂α,b ⊂β,a ∥β ”的是( )图2-2-3解析:因a ∥β，故直线a 与交线l 平行.答案：B2.当α∥β时，必须满足的条件( )A.平面α内有无数条直线平行于平面βB.平面α与平面β同平行于一条直线C.平面α内有两条直线平行于平面βD.平面α内有两条相交直线与平面β平行 解析:平面α∥平面β，若直线a 、b 共面，则a 、b 平行，否则直线a 、b 异面，因此a 、b 不相交.答案：D3.A 、B 是直线l 外的两点，过A 、B 且和l 平行的平面的个数有( )A.0个B.1个C.无数个D.以上都有可能 解析:若A 、B 在直线l 的两侧且共面，则过A 、B 且和l 平行的平面不存在，若A 、B 的连线与直线l 平行，则这样的平面有无数个，若A 、B 的连线与l 异面，则这样的平面只有一个.答案：D4.若a α，b α，a ∥α，命题（1）“若a ∥b ，则b ∥α”，命题（2）“若b ∥α，则a ∥b”.则下列判断正确的是( )A.（1）是真命题,（2）是真命题B.（1）是真命题,（2）是假命题C.（1）是假命题,（2）是真命题D.（1）是假命题,（2）是假命题解析:若a α，b α，a ∥α，则由a ∥b 可推出b ∥α，但由b ∥α不一定能推出a ∥b ，a 与b 有可能相交或异面.答案：B5.直线a ∥平面α，点A ∈α，则过点A 且平行于直线a 的直线 ( )A.只有一条，但不一定在平面α内B.只有一条，且在平面α内C.有无数条，但都不在平面α内D.有无数条，且都在平面α内解析:直线a ∥平面α，点A ∈α，则过点A 且平行于直线a 的直线是过直线a 与点A 的平面与平面α的交线.答案：B6.若平面α∥平面β，直线a ⊂α，直线b ⊂β，那么直线a ，b 的位置关系是_____________. 解析:平面α内有两条相交直线平行于平面β，根据判定定理,则α∥β.答案：不相交7.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,棱长为a,M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点,A 1M=AN.(1)求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；(2)求MN 的长的最小值.(1)证明：作NE ∥AB 交BC 于E,作MF ∥AB 交B 1B 于F,连结EF,则NE ∥MF.∵NE ∥AB,∴CACN AB NE =.又MF ∥AB ∥A 1B 1, ∴111BA BM B A MF =. ∵CA=BA 1,AN=A 1M,∴CN=BM. ∴11B A MF AB NE =.又AB=A 1B 1,∴NE=MF. 从而四边形MNEF 是平行四边形,MN EF.又MN 平面B 1BCC 1,EF ⊂平面B 1BCC 1,∴MN ∥平面B 1BCC 1.(2)解：设BE=x,∵NE ∥AB,∴AC AN BC BE =. 又MF ∥A 1B 1,∴11BA BM BB BF =. ∵AN=A 1M,AC=A 1B=a 2,BC=BB 1=a, ∴1111==+=+=+ACB A AC MB M A BA BM AC AH a BF a x . 从而MN=EF=2)2(2)(222222a a x x a x BF BE +-=-+=+. 因此,当x=2a 时,MN 的长取得最小值a 22. 8.如图2-2-4，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：C 1O ∥面AB 1D 1图2-2-4证明：连结A 1C 1，设A 1C 1∩B 1D 1=O 1，连结AO 1，∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体， ∴A 1ACC 1是平行四边形.∴A 1C 1∥AC 且A 1C 1=AC.又O 1,O 分别是A 1C 1,AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且O 1C 1=AO.∴AOC 1O 1是平行四边形.∴C 1O ∥AO 1.AO1⊂面AB1D1，C1O面AB1D1,∴C1O∥面AB1D1.9.如图2-2-5，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相交，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点.求证：AM∥平面BDE.图2-2-5证明：记AC与BD的交点为O，连结OE，∵O、M分别是AC、EF的中点，四边形ACEF 是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形.∴AM∥OE.∵OE⊂平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.快乐时光地球仪局长到某校视察，看见教室里有个地球仪，便问学童甲：“你说说看，这地球仪为何倾斜二十三度半？”学童甲非常惊恐，答道：“不是我弄的.”此时，教室走进另一名学童乙.局长再问，学童乙答道：“你知道的，我也是刚进来，什么也不知道.”局长疑惑地问教师这是怎么一回事.教师满怀歉意地说：“这不能怪他们，地球仪买来时，就已经是这样子了.”校长见局长脸色越来越难看，连忙趋前解释：“说来惭愧，”校长陪笑道：“因为学校经费有限，我们买的是地摊货.”。

最新人教版高中数学必修二第二章《直线与平面垂直的判定》精选习题（含答案解析）一、选择题(每小题5分，共40分)1.m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，下面有四种说法：①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.其中正确说法的个数为( )A.1B.2C.3D.42.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是( )A.平行B.垂直相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直3.(2021·南昌高二检测)如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，∠BAC=90°，且BC1⊥AC，过点C1作C1H⊥底面ABC，垂足为点H，则点H在( )A.直线AC上B.直线AB上C.直线BC上D.△ABC内部4.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定5.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥平面ABCD，且底面ABCD为正方形，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A. B. C. D.6.如图，在三棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB，AD=BD，则下列结论中不一定成立的是( )A.AC=BCB.VC⊥VDC.AB⊥VCD.S△VCD·AB=S△ABC·VO7.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角D.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角8.(2021·温州高二检测)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.AE与B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E二、填空题(每小题5分，共10分)9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)10.(2021·青岛高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，面对角线A1B与对角面BB1D1D 所成的角为________.三、解答题(每小题10分，共20分)11在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.(1)已知AB=BC,AE=EC.求证:AC⊥FB.(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH∥平面ABC.12.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点.求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ.(2)直线AC1⊥平面PQMN.参考答案与解析1【解析】选B.①正确，因为n∥β，α∥β，所以在α内有与n平行的直线，又m⊥α，则m⊥n；②错误，α∥β，m⊥α⇒m⊥β，因为m⊥n，则可能n⊂β；③错误，因为m⊥n，α∥β，m∥α，则可能n⊂β且m⊂β；④正确，m⊥α，α∥β，得m⊥β，因为m∥n，则n⊥β.2【解析】选C.因为ABCD为菱形，所以DB⊥AC，又MC⊥平面ABCD，所以MC⊥BD.又AC∩MC=C，所以BD⊥平面ACM.又AM⊂平面AMC，所以BD⊥AM，又BD与AM不共面，所以MA与BD垂直但不相交.3【解析】选B.作C1H⊥AB，因为∠BAC=90°，且BC1⊥AC，所以AC⊥平面ABC1，所以AC⊥C1H，因为AB∩AC=A，所以C1H⊥平面ABC，即点H在底面的垂足在AB边上. 4【解析】选B.因为PB⊥α，AC⊂α，所以PB⊥AC，又AC⊥PC，PB∩PC=P，所以AC⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC.故△ABC为直角三角形.5【解析】选A.如图，设AB=a，则AA1=2a，三棱锥C-BDC1的高为h，CD与平面BDC1所成的角为α.因为=，即××a×ah=×a2×2a，解得h=a.所以sinα==.6【解析】选B.因为VA=VB，AD=BD，所以VD⊥AB.因为VO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以VO⊥AB.又VO∩VD=V，VO⊂平面VCD，VD⊂平面VCD，所以AB ⊥平面VCD ，又CD ⊂平面VCD ，VC ⊂平面VCD ， 所以AB ⊥VC ，AB ⊥CD.又AD=BD ，所以AC=BC(线段垂直平分线的性质)，因为VO ⊥平面ABC ， 所以V V-ABC =S △ABC ·VO. 因为AB ⊥平面VCD ， 所以V V-ABC =V B-VCD +V A-VCD =S △VCD ·BD+S △VCD ·AD =S △VCD ·(BD+AD) =S △VCD ·AB ，所以S △ABC ·VO=S △VCD ·AB ，即S △VCD ·AB=S △ABC ·VO.综上知，A ，C ，D 正确.7【解析】选C.因为SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，所以连接BD ，则BD ⊥AC ，又AC ⊥SD ，可得AC ⊥SB ，故A 正确；因为AB ∥CD ，AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，所以AB ∥平面SCD ，故B 正确；因为AB ∥CD ，所以∠SCD 为AB 与SC 所成角，∠SAB 为SA 与DC 所成角，显然∠SCD ≠∠SAB ，故C 不正确.由AC ⊥平面SBD ，记AC 与BD 交于O ，连接SO ，则∠ASO 为SA 与平面SBD 所成角，∠CSO 为SC 与平面SBD 所成角，显然∠ASO=∠CSO.8【解析】选C.A 选项，ABC-A 1B 1C 1是三棱柱，则CE ∥B 1C 1，所以，CEB 1C 1是一个平面，CC 1与B 1E 共面；B 选项，因为AC 与AB 的夹角是60°，所以AC 和平面ABB 1A 1不垂直；C 选项，E 是BC 的中点，则AE ⊥BC ，又因为BB 1⊥平面ABC ，所以AE ⊥BB 1，又BC ∩BB 1=B ，所以AE ⊥平面BCC 1B 1，所以AE ⊥B 1C 1；D 选项，A 1C 1∥AC ，AC 和平面AB 1E 相交，所以A 1C 1与平面AB 1E 不平行. 9【解析】如图所示，连接B 1C ，由BC=CC 1，可得BC 1⊥B 1C ，因此，要证AB 1⊥BC 1，则只要证明BC 1⊥平面AB 1C ，即只要证AC ⊥BC 1即可，由直三棱柱可知，只要证AC ⊥BC 即可.因为A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC ，故只要证A 1C 1⊥B 1C 1即可.(或者能推出A 1C 1⊥B 1C 1的条件，如∠A 1C 1B 1=90°等) 答案：∠A 1C 1B 1=90°(答案不唯一)10【解析】连接A 1C 1交B 1D 1于点O ，连接BO ， 因为A 1C 1⊥B 1D 1， A 1C 1⊥BB 1，故A1C1⊥平面BB1D1D，所以A1B在平面BB1D1D内射影为OB，所以∠A1BO即为A1B与平面BB1D1D所成角.设正方体棱长为a，则A1B=a，A 1O=A1C1=a，所以sin∠A1BO===，所以∠A1BO=30°.答案：30°11【解析】(1)连接ED,因为AB=BC,AE=EC,D为AC中点,所以AC⊥DE,AC⊥DB,DE∩DB=D,又EF∥DB,所以E,F,B,D四点共面,所以AC⊥平面EFBD, 所以AC⊥FB.(2)取FC中点I,连接GI,HI,则有GI∥EF,HI∥BC,又EF∥DB,所以GI∥BD,又GI∩HI=I,BD∩BC=B,所以,平面GHI∥平面ABC,因为GH⊂平面GHI,所以GH∥平面ABC.12【证明】(1)连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)连接AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1=C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN=N，所以直线AC1⊥平面PQMN.。