2014年坐标系与参数方程 (1)

2014年高三数学二轮复习第21讲 坐标系与参数方程1．[2011·新课标全国卷改编] 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数) ①，M 是曲线C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，则P 点轨迹的参数方程是________．⇒ 直角坐标系中的伸缩变换关键词：伸缩变换、坐标变换，如①.2．[2012·江西卷] 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程②为________．⇒ 直角坐标、极坐标互化关键词：直角坐标、极坐标、互化公式，如②.3．[2012·上海卷] 如图9－21－1所示，在极坐标系中，过点M (2，0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6，若将l 的极坐标方程写成ρ＝f （θ）的形式③，则f (θ)＝________.图9－21－1 ⇒ 曲线的极坐标方程关键词：极坐标系、直线的极坐标方程、曲线的极坐标方程，如③.4．[2013·湖南卷] 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a(t 为参数) ④过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________． ⇒ 直线的参数方程关键词：直线方程、参数，如④.5．[2013·陕西卷] 如图9－21－2所示，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程⑤为________．⇒ 曲线的参数方程关键词：曲线、参数方程，如⑤.6．[2012·北京卷] 直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点 ⑥个数为________．⇒ 参数方程化为普通方程关键词：参数方程、普通方程、相互转化，如⑥.► 考向一 极坐标系与简单曲线的极坐标方程考向：求点的极坐标、曲线的极坐标方程，把直角坐标化为极坐标、极坐标化为直角坐标．考例：2011年T23、2012年T23、2013年卷ⅠT23，近五年新课标全国卷共考查了3次．例1 已知圆C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3. (1)将圆C 1的参数方程化为普通方程，将圆C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)圆C 1，C 2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．小结：在解决以极坐标的形式给出的直线、曲线的综合问题时，把它们化为直角坐标方程后使用直角坐标方法解决是一种重要解题思路．► 考向二 简单曲线的参数方程考向：求曲线的参数方程，化参数方程为普通方程，参数方程的应用．考例：2009年T23、2010年T23、2013年卷ⅡT23，近五年新课标全国卷共考查了3次．例2 已知直线C 1：⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)当α＝π3时，求直线C 1与曲线C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作直线C 1的垂线，垂足为点A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．小结：求以参数形式给出的两条曲线的交点坐标时，一般把它们化为普通方程．求曲线的参数方程就是使用一个参数表达动点的坐标．注意运用三角函数的知识化曲线参数方程为普通方程．► 考向三 极坐标与参数方程的综合考向：极坐标方程与参数方程交汇考查是坐标系与参数方程试题的基本考查方式． 考例：2011年T23、2012年T23、2013年卷ⅠT23，近五年新课标全国卷共考查了3次．例3在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2 3cos θ－2sin θ，点A 的极坐标为(3，2π)，把极点作为平面直角坐标系的原点，极轴作为x 轴的正半轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．(1)求圆C 在直角坐标系中的标准方程；(2)设P 为圆C 上任意一点，圆心C 为线段AB 的中点，求|P A |＋|PB |的最大值． 小结：曲线的极坐标方程、参数方程在解决一些与距离有关的问题时显得非常的方便．在求曲线上的点到点的距离、点到直线的距离的最值问题中使用参数方程更为有效．变式题 在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P (－1，0)，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋5＝0.(1)若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围；(2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围．[变换与运算]1．数学中绝大多数内容实质就是变换，把问题从一个方面变换为另一个方面，达到便于解决问题的目的，这也是化归与转化思想的体现．2．坐标之间的变换涉及的内容很广泛，其中直角坐标与极坐标互化、参数方程与普通方程互化就是两个重要内容．在解决解析几何问题时，有时直角坐标方程显得方便，有时极坐标方程、参数方程显得方便．在进行运算时能够根据不同的问题选用合理的方程是运算能力的表现．示例 设圆C 的极坐标方程为ρ＝2，以极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，两坐标系长度单位一致，建立平面直角坐标系．过圆C 上的一点M (m ，s )作垂直于x 轴的直线l ：x ＝m ，设l 与x 轴交于点N ，向量OQ→＝OM →＋ON →. (1)求动点Q 的轨迹方程；(2)设点R (1，0)，求|RQ→|的最小值．小结：本题(2)是求椭圆上的点到一个定点的距离的最值问题，使用普通方程的方法也能解决，但使用椭圆的参数方程问题就归结为三角函数的最值问题，解决起来相对方便．踪练 在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)． (1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．[备选理由] 下面两题均是参数方程与极坐标方程的综合，这是高考考查该考点的主要形式，可在本讲结束时选用．例1在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2－3t ，y ＝2－4t ，它与曲线C ：(y －2)2－x 2＝1交于A ，B 两点．(1)求|AB |的长；(2)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2 2，3π4，求点P 到线段AB 中点M 的距离．例2 直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，直线l 与曲线C 的公共点为T .(1)求点T 的极坐标；(2)过点T 作直线l ′，l ′被曲线C 截得的线段长为2，求直线l ′的极坐标方程．。

考点五十四：坐标系与参数方程2014年河北省某重点中学高三补习理科快班知识点讲座内部资料，请勿外传 主讲人：孟老师加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一．考纲目标极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题；直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题． 二．知识梳理 1．极坐标系的概念在平面上取一个定点O 叫做极点；自点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．设M 是平面上的任一点，极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的∠xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标，记作M(ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y)和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx x≠0.3．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0； (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b.4．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a ：ρ＝2acos_θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2asin_θ.5．参数方程的意义在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft ，y ＝f t ，并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 6．常见曲线的参数方程的一般形式(1)经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y0＋tsin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量．(2)圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θ，y ＝rsin θ(θ为参数)．(3)圆锥曲线的参数方程椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)．双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝asec φ，y ＝tan φ(φ为参数)．抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)．三．考点逐个突破1.极坐标和直角坐标的互化例1.设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，则直线l 的极坐标方程为________________．解析:∵点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，∴点A 的平面直角坐标为(3，1)，又∵直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，∴直线l 的方程为y －1＝(x －3)tan π3，即3x －y －2＝0，∴直线l 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ－2＝0，可整理为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1或ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝1或ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－4π3＝1.答案 ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1或3ρcos θ－ρsin θ－2＝0或ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝1或ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－4π3＝1.2.圆的极坐标方程的应用例2．在极坐标系中，若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A 、B 两点，则|AB|＝________.解析：注意到在极坐标系中，过点(1,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是x ＝1，曲线ρ＝4cos θ的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，圆心(2,0)到直线x ＝1的距离等于1，因此|AB|＝24－1＝2 3. 答案 2 33.极坐标方程的综合应用例3．如图，在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹． [审题视点] 在圆上任取一点P(ρ0，θ0)，建立P 点与P 的中点M 的关系即可．解 设M(ρ，θ)是所求轨迹上任意一点．连接OM 并延长交圆A 于点P(ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ，得ρ0＝8cos θ0.所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ.故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ.它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．4.高考中极坐标问题的求解策略例4.在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为A ．2 B.4＋π29C.1＋π29D. 35.参数方程与普通方程的互化 例5.把下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t.(2)代入消元法消去t.解:(1)由已知⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x －3，sin θ＝2－y ，由三角恒等式cos 2 θ＋sin 2θ＝1,可知(x －3)2＋(y －2)2＝1，这就是它的普通方程． (2)由已知t ＝2x －2，代入y ＝5＋32t 中， 得y ＝5＋32(2x －2)，即3x －y ＋5－3＝0就是它的普通方程． 6.直线与圆的参数方程的应用例6.已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋tcos α，y ＝3＋tsin α(其中t 为参数，α为直线l 的倾斜角)．(1)当α＝2π3时，求圆上的点到直线l 距离的最小值；(2)当直线l 与圆C 有公共点时，求α的取值范围．解：(1)当α＝2π3时，直线l 的直角坐标方程为3x ＋y －33＝0，圆C 的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d ＝232＝3，圆的半径为1，故圆上的点到直线l 距离的最小值为3－1.(2)圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t2＋2(cos α＋3sin α)t ＋3＝0，这个关于t 的一元二次方程有解，故Δ＝4(cos α＋3sin α)2－12≥0，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥34，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥32或sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≤－32.又0≤α＜π，故只能sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥32，即π3≤α＋π6≤2π3，即π6≤α≤π2.7.圆锥曲线的参数方程的应用例7.求经过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截椭圆x 24＋y 2＝1所得的弦长．解由条件可知直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，代入椭圆方程可得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t 24＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋22t 2＝1， 即52t 2＋32t ＋1＝0.设方程的两实根分别为t 1、t 2，则由二次方程的根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－625，t 1t 2＝25，则直线截椭圆的弦长是|t 1－t 2|＝1＋t 22－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6252－4×25＝ 425. 8.极坐标方程与参数方程的综合问题例8.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB|.解 ：(1)设P(x ，y)，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2. 由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(5分)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2 3.(10分)。

2014年全国各地高考试题分类汇编（理数）坐标系与参数方程（2014安徽理数）4．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l被圆C 截得的弦长为（ ）A B ． C D ．【解析】由13x t y t =+⎧⎨=-⎩消去t 得40x y --=，2:4cos 4cos C ρθρρθ=⇒=，所以22:4C x y x +=，即()2224x y -+=，所以点C 到直线l 的距离d ====D ．（2014北京理数）3．曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上【解析】曲线1cos ,2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩ （θ为参数）的普通方程为()()22121x y ++-=，该曲线为圆，圆心()1,2-为曲线的对称中心，其在直线2y x =-上，故选B ．（2014福建理数）21．B ．（本小题满分7分）选修4—4：极坐标与参数方程 已知直线l 的参数方程为24x a ty t =-⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 4cos 4y x ，（θ为常数）．（1）求直线l 和圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）直线l 的普通方程为220x y a --=，圆C 的普通方程为2216x y +=．（2）因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离4d =…，解得a-（2014广东理数）14．（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sincos ρθθ=和sin 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为 ．【解析】由2sin cos ρθθ=得22sin cos ρθρθ=，其直角坐标方程为2y x =，sin 1ρθ=直角坐标方程为1y =，由21y xy ⎧=⎨=⎩得1C 和2C 的交点为()1,1．（2014湖北理数）16．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为________．【解析】曲线1C为射线y =()0x …．曲线2C为圆224x y +=．设P 为1C 与2C 的交点，如图，作PQ 垂直x轴于点Q，tan POQ ∠=，30POQ ∠=，又因为2OP=，所以1C 与2C 的交点P的直角坐标为)．（2014湖南理数）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线:C 2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于A ，B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是 ．【解析】曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=，由直线l 与曲线C 相交所得的弦长2AB =知，AB 为圆的直径，故直线l 过圆心()2,1，注意到直线的倾斜角为π4，即斜率为1，从而直线的普通方程为1y x =-，从而其极坐标方程为sin cos 1ρθρθ=-πcos 14θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（2014江苏）21．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 【解析】将直线l的参数方程1,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入抛物线方程24y x =，得2241x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得10t =，2t =-12AB t t =-=（2014江西理数）11（2）（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标方程为（ ）A ．1cos sin ρθθ=+，02θπ剟B ．1cos sin ρθθ=+，04θπ剟C ．cos sin ρθθ=+，02θπ剟D ．cos sin ρθθ=+，04θπ剟【解析】（2）因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以1y x =-化为极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=，即1c o s s i n ρθθ=+．因为01x剟，所以线段在第一象限内（含端点），所以π02θ剟．故选A ． （2014辽宁理数）23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ．（1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．【解析】（1）设()11,x y 为圆C 上的点，在已知变换下变为C 上点(),x y ，依题意，得11,2,x x y y =⎧⎨=⎩由22111x y +=得2212y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即曲线的方程为2214y x +=．故C 的参数方程为cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）． （2）由221,4220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得1,0x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 不妨设()11,0P ，()20,2P ，则线段12P P 的中点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所求直线斜率为12k =，于是所求直线方程为11122y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-．（2014陕西理数）15．C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离是 ．【解析】由πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得ππs i n c o sc o s s i n 166ρθρθ⋅-⋅=，所以直线的直角坐标方程为1102x y +=，又点π2,6⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为)，所以点到直线的距离1d ==．（2014天津理数）13．在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin r q =和直线sin a r q =相交于,A B 两点．若AOB △是等边三角形，则a 的值为___________．【解析】由4sin r q =，224x y y +=，即圆的标准方程为()2224x y +-=，由sin a r q =知，直线y a =，如图所示，设圆与y 轴的另一个交点为D ，直线AB 与y 轴交点为C ，连接BD ，由对称性及AOB △是等边三角形知，30AOC BOC ∠=∠=︒，又90OBD ∠=︒，在R t O B D △中，因为4OD =，则OB =BC =，OC =3a =．（2014新课标1理数）23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值． 【解析】（1）曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．直线l 的普通方程为：260x y +-=．（2）曲线C 上任意一点()2cos ,3sin P θθ，到l的距离为3sin 6d θθ=+-其中α为锐角，且4tan 3α=．当()s i n 1θα+=-时，PA 取最大值，最大值为5．当()s i n 1θα+=时，PA取最小值为5． （2014新课标2理数）23．（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标 【解析】（1）C 普通方程为()()221101x y y-+=剟．可得C 参数方程为1cos ,sin x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数，)0πt剟．（2）设()1cos ,sin D t t +．由（I ）知C 是以C ()1,0为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l的斜率相同，tan t =π3t =．故D 的直角坐标为ππ1cos ,sin 33⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即32⎛ ⎝⎭．（2014重庆理数）15．已知直线l 的参数方程为23x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2sin 4cos 00,0π2πρθθρ-=<厔，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=____．【解析】直线l 的普通方程为1y x =+．曲线C 的直角坐标方程为24y x =，故直线l 与曲线C 的交点坐标为()1,2．故改点的极径ρ==。

知识清单（四） 2014年全国高考试卷极坐标与参数方程部分汇编1. （2014安徽理4）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为 （ ）AB ．CD ．2. （2014北京理3）曲线{1cos 2sin x y =-+=+θθ，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上3. （2014福建理21⑵）已知直线l 的参数方程为24x a t y t =-⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为常数）．①求直线l 和圆C 的普通方程；②若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．4. （2014广东理14）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为____________．5. （2014广东文14）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=与cos ρθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的直角坐标为____________．6. （2014湖北理16）已知曲线1C的参数方程是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，则1C 与2C 交点的直角坐标为________7. （2014湖南理11）在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）交于A ，B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是_____________．8. （2014湖南文12）在平面直角坐标系中，曲线2:12x C y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为___________．9. （2014江苏理21C ）在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l的参数方程12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 是参数)，直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，求线段AB 的长．10. （2014江西理11⑵）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（）A ．1π,0cos sin 2ρθθθ=+≤≤ B ．1π,0cos sin 4ρθθθ=+≤≤C ．πcos sin ,02ρθθθ=+≤≤D ．πcos sin ,04ρθθθ=+≤≤11. （2014辽宁理23文23）将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ．⑴写出C 的参数方程； ⑵设直线220l x y +-=∶与C 的交点为12P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．12. （2014陕西理15C 文15C ）在极坐标系中，点π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，到直线πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离是_______．13. （2014天津理13）在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin ρθ=和直线sin a ρθ=相交于A B ，两点．若AOB △是等边三角形，则a 的值为_______．14. （2014新课标1理23文23）已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． ⑴写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；⑵过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．15. （2014新课标2理23文23）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，π02θ⎡⎤∈,⎢⎥⎣⎦．⑴求C 的参数方程；⑵设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据⑴中你得到的参数方程，确定D 的坐标．16. （2014重庆理15）已知直线l 的参数方程为23x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴线建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=（002πρθ,<≥≤），则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=________．2014年全国高考试卷极坐标与参数方程部分汇编17. （2014安徽理4）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为 （ ）AB ．CD ．【解析】 D由13x t y t =+⎧⎨=-⎩，消去t 得40x y --=，24cos 4cos C ρθρρθ=⇒=：，∴224C x y x +=：，即22(2)4x y -+=，∴(20)2C r =，，．∴点C 到直线l 的距离d =∴所求弦长==D ．18. （2014北京理3）曲线{1cos 2sin x y =-+=+θθ，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上【解析】 参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，即选项B ．19. （2014福建理21⑵）已知直线l 的参数方程为24x a t y t =-⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为常数）．①求直线l 和圆C 的普通方程；②若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．【解析】 本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．⑴直线l的普通方程为220x y a--=，圆C的普通方程为2216x y+=⑵因为直线l与圆C又公共点，故圆C的圆心到直线l的距离4d=，解得a-20.（2014广东理14）在极坐标系中，曲线1C和2C的方程分别为2sin cosρθθ=和sin1ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C和2C的交点的直角坐标为____________．【解析】(1,1)．曲线1C的方程化为22sin cosρθρθ=，化为直角坐标方程即2y x=，2C的直角坐标方程为1y=，显而易见，交点坐标为(1,1)．21.（2014广东文14）在极坐标系中，曲线1C与2C的方程分别为22cos sinρθθ=与cosρθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C与2C的交点的直角坐标为____________．【解析】()12，22.（2014湖北理16）已知曲线1C的参数方程是xy⎧=⎪⎨=⎪⎩t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程是2ρ=，则1C与2C交点的直角坐标为________【解析】1)曲线1C为射线(0)y x=≥．曲线2C为圆224x y+=．设P为1C与2C的交点，如图，作PQ 垂直x轴于点Q．因为tan POQ=∠所以30POQ=∠º，又∵2OP=，所以1C与2C的点交P的直线坐标为)1．评析0，≥误认为1C为直线y x．23.（2014湖南理11）在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l与曲线C：2cos1sinxyαα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）交于A，B两点，且2AB=，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是_____________．【解析】sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=，设直线l 的方程为y x b =+，因为弦长2AB =，所以圆心()21，到直线l 的距离0d =，所以圆心在直线l 上，故1y x =-πs i n c o s 1s i 4ρθρθρθ⎛⎫⇒=-⇒-= ⎪⎝⎭πsin 4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 24. （2014湖南文12）在平面直角坐标系中，曲线22:1x C y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）的普通方程为___________． 【解析】 10x y --= 25. （2014江苏理21C ）在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l的参数方程122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 是参数)，直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，求线段AB 的长．【解析】 直线:3l x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+=∴交点(1,2)A ，(9,6)B -，故AB26. （2014江西理11⑵）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（）A ．1π,0cos sin 2ρθθθ=+≤≤ B ．1π,0cos sin 4ρθθθ=+≤≤C ．πcos sin ,02ρθθθ=+≤≤D ．πcos sin ,04ρθθθ=+≤≤【解析】 A∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，，∴1y x =-化为极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=，即1c o s s i n ρθθ=+，∵01x ≤≤，∴线段在第一象限内（含端点），∴π02θ≤≤．故选A ．27. （2014辽宁理23文23）将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ．⑴写出C 的参数方程； ⑵设直线220l x y +-=∶与C 的交点为12P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．【解析】 ⑴ 设11(,)x y 为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(),x y ，依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩；由22111x y +=得22()12y x +=，即曲线C 的方程为2214y x +=．故C 的参数方程为cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数）．⑵ 由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：10x y =⎧⎨=⎩，或02x y =⎧⎨=⎩． 不妨设12(1,0),(0,2)P P ，则线段12P P 的中点坐标为1(,1)2，所求直线斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3,ρθρθ-=-即34sin 2cos ρθθ=-．28. （2014陕西理15C 文15C ）在极坐标系中，点π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，到直线πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离是_______．【解析】 1由πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得ππsin cos cos sin 166ρθρθ⋅-⋅=，∴直线的直角坐标方程为1102x y +=，又点π26⎛⎫⎪⎝⎭，的直角坐标为1)， ∴点到直线的距离1d ==．29. （2014天津理13）在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin ρθ=和直线sin a ρθ=相交于A B ，两点．若AOB △是等边三角形，则a 的值为_______．【解析】 3以极点为平面直角坐标系原点，极轴作为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，则4sin ρθ=所表示圆的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，而sin a ρθ=则表示直线y a =由已知，直线截圆所得弦与原点组成三角形为正三角形，则弦AB 所对圆心角为120︒，该弦到圆心距离等于半径的一半，因此易知213a =+=30. （2014新课标1理23文23）已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． ⑴写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；⑵过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．【解析】 ⑴ 曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）直线l 的普通方程为260x y +-=．⑵ 在曲线C 上任意取一点(2cos 3sin )P θθ，到l的距离为3sin 6d θθ=+-则)6sin30d PA θα=+-︒，其中α为锐角．且4tan 3θ=．当sin()1θα+=-时，PA当sin()1θα+=时，PA ．31. （2014新课标2理23文23）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，π02θ⎡⎤∈,⎢⎥⎣⎦．⑴求C 的参数方程；⑵设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据⑴中你得到的参数方程，确定D 的坐标．32. （2014重庆理15）已知直线l 的参数方程为23x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴线建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=（002πρθ,<≥≤），则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=________．【解析】。

《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）选修4－4 坐标系与参数方程第1课时 坐 标 系1. (选修44P 17习题第7题改编)已知点M 的直角坐标是(－1，3)，求点M 的极坐标．解：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋2π3(k∈Z )都是极坐标． 2. (选修44P 32习题第4题改编)求直线xcos α＋ysin α＝0的极坐标方程． 解：ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝0，cos(θ－α)＝0，取θ－α＝π2.3. (选修44P 32习题第5题改编)化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程． 解：ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝x 2＋y 2＝0，或ρcos θ＝x ＝1.∴ 直角坐标系方程为x 2＋y 2＝0或x ＝1.4. 求极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线．解：ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或ρ＝4sin θ，即ρ2＝4ρsin θ，则θ＝k π＋π2，或x 2＋y 2＝4y.∴ 表示的曲线为一条直线和一个圆．5. (选修44P 33习题第14题改编)求极坐标方程分别为ρ＝cos θ与ρ＝sin θ的两个圆的圆心距．解：圆心分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故圆心距为22.1. 极坐标系是由距离(极径)与方向(极角)确定点的位置的一种方法，由于终边相同的角有无数个且极径可以为负数，故在极坐标系下，有序实数对(ρ，θ)与点不一一对应．这点应与直角坐标系区别开来．2. 在极坐标系中，同一个点M 的坐标形式不尽相同，M(ρ，θ)可表示为(ρ，θ＋2n π)(n∈Z )．3. 极坐标系中，极径ρ可以为负数，故M(ρ，θ)可表示为(－ρ，θ＋(2n ＋1)π)(n∈Z )．4. 特别地，若ρ＝0，则极角θ可为任意角．5. 建立曲线的极坐标方程，其基本思路与在直角坐标系中大致相同，即设曲线上任一点M(ρ，θ)，建立等式，化简即得．6. 常用曲线的极坐标方程(1) 经过点A(a ，0)与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcos θ＝a. (2) 经过点A(0，a)与极轴平行的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a. (3) 圆心在A(a ，0)，且过极点的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ.7. 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位．平面内任一点P 的直角坐标(x ，y)与极坐标(ρ，θ)可以互换，公式是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 和⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x . [备课札记]题型1 求极坐标方程例1 如图，AB 是半径为1的圆的一条直径，C 是此圆上任意一点，作射线AC ，在AC 上存在点P ，使得AP²AC＝1，以A 为极点，射线AB 为极轴建立极坐标系．(1) 求以AB 为直径的圆的极坐标方程； (2) 求动点P 的轨迹的极坐标方程； (3) 求点P 的轨迹在圆内部分的长度．解：(1) 易得圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2) 设C(ρ0，θ)，P(ρ，θ)，则ρ0＝2cos θ，ρ0ρ＝1.∴ 动点P 的轨迹的极坐标方程为ρcos θ＝12.(3) 所求长度为 3. 备选变式（教师专享）求以点A(2，0)为圆心，且过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6的圆的极坐标方程． 解：由已知圆的半径为 AB ＝22＋（2 3）2－2³2³2 3cos π6＝2.又圆的圆心坐标为A(2，0)，所以圆过极点， 所以圆的极坐标方程是ρ＝4cos θ.题型2 极坐标方程与直角坐标方程的互化例2 在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝2的距离为d.求d 的最大值．解：将极坐标方程ρ＝3化为普通方程，得圆：x 2＋y 2＝9.极坐标方程ρ(cos θ＋3sin θ)＝2化为普通方程，得直线：x ＋3y ＝2.在x 2＋y 2＝9上任取一点A(3cos α，3sin α)． 则点A 到直线的距离为d ＝|3cos α＋33sin α－2|2＝|6sin （α＋30°）－2|2，∴ 所求d 的最大值为4. 变式训练在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的方程为y ＝2x ＋1，判断直线l 和圆C 的位置关系．解：ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255<2，所以直线l 和圆C 相交． 题型3 极坐标的应用例3 若两条曲线的极坐标方程分别为ρ＝1与ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，它们相交于A 、B两点，求线段AB 的长．解：(解法1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝1，ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，得交点坐标为A(1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－2π3(注意坐标形式不唯一)．在△OAB 中，根据余弦定理，得AB 2＝1＋1－2³1³1³cos 2π3＝3，所以AB ＝ 3.(解法2)由ρ＝1，得x 2＋y 2＝1.∵ ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝cos θ－3sin θ，∴ ρ2＝ρcos θ－3²ρsin θ，∴ x 2＋y 2－x ＋3y ＝0.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，得A(1，0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，∴AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋322＝ 3. 备选变式（教师专享）在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a(a>0) 的一个交点在极轴上，求a 的值．解：曲线C 1的直角坐标方程是2x ＋y ＝1，曲线C 2的普通方程是直角坐标方程x 2＋y 2＝a 2，因为曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，所以C 1与x 轴交点横坐标与a 值相等，由y ＝0，x ＝22，知a ＝22.1. (2013²安徽)在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程． 解：在极坐标系中，圆心坐标ρ＝1，θ＝0，半径r ＝1，所以左切线方程为θ＝π2，右切线满足cos θ＝2ρ，即ρcos θ＝2.2. (2013²天津)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，求|CP|. 解：由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2＝4x ，所以(x －2)2＋y 2＝4，圆心C(2，0)．点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，即ρ＝4，θ＝π3，所以x ＝ρcos θ＝4cos π3＝2，y ＝ρsinθ＝4sin π3＝23，即P(2，23)，所以|CP|＝2 3.3. (2013²上海)在极坐标系中，求曲线ρ＝cos θ＋1与ρcos θ＝1的公共点到极点的距离．解：联立方程组得ρ(ρ－1)＝1 ρ＝1±52.又ρ≥0，故所求为1＋52.4. 在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：∵ 圆C 的圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点， ∴ 在ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1.∴ 圆C 的圆心坐标为(1，0)． ∵ 圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4， ∴ 圆C 的半径为PC ＝（2）2＋12－2³1³2cos π4＝1.∴ 圆C 经过极点．∴ 圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.1. (2013²北京)在极坐标系中，求点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离．解：在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线ρsin θ＝2化为直角坐标方程为y ＝2.(3，1)到y ＝2的距离1，即为点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离1.2. (2013²福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线上．(1) 求a 的值及直线的直角坐标方程；(2) 圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos αy ＝sin α，(α为参数)，试判断直线与圆的位置关系．解：(1) 由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2) 由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆心为(1，0)，半径r ＝1， 因为圆心到直线的距离d ＝22<1，所以直线与圆相交． 3. 在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ＝12sin θ，曲线C 2：ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6. (1) 求曲线C 1和C 2的直角坐标方程；(2) 若P 、Q 分别是曲线C 1和C 2上的动点，求PQ 的最大值．解：(1) 因为ρ＝12sin θ，所以ρ2＝12ρsin θ，所以x 2＋y 2－12y ＝0，即曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －6)2＝36.又ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6，所以ρ2＝12ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π6＋sin θsin π6，所以x 2＋y 2－63x －6y ＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为(x －33)2＋(y －3)2＝36.(2) PQ max ＝6＋6＋（33）2＋32＝18.4. 圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.(1) 把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 求经过圆O 1、圆O 2交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点、极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1) x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x.即圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，同理圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋4y ＝0.(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝－2，即圆O 1、圆O 2交于点(0，0)和(2，－2)，故过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x.由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)，都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同．所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4＋2π或⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4－2π或⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，5π4等多种形式，其中，只有⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4的极坐标满足方程ρ＝θ.请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。

第二讲 坐标系与参数方程(选修4－4)1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．4．(2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).2．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin θ. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 4．几种常见曲线的参数方程 (1)圆以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程为⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数．(2)椭圆椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．(3)直线经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．热点一极坐标方程及其应用[例1] (1)(2014·江西高考改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程．(2)(2014·东北三校联考)已知点P (1＋cos α，sin α)，参数α∈[0，π]，点Q 在曲线C ：ρ＝92sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4上．①求点P 的轨迹方程和曲线C 的直角坐标方程； ②求点P 与点Q 之间距离的最小值．1．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22.(ρ≥0,0≤θ<2π) (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．热点二 参数方程及其应用[例2] (2014·福建高考)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．2．倾斜角为α的直线l 过点P (8,2)，直线l 和曲线C ：⎩⎨⎧x ＝42cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程； (2)求|PM 1|·|PM 2|的取值范围．[例3] (2014·辽宁高考)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．3．极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2 θ＝8cos θ.热点三 极坐标方程与参数方程的综合应用(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴的交点为F ，求1|AF |＋1|BF |的值．1．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．2．(2014·南京模拟)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)，若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．3．(2014·郑州模拟)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |.4．(2014·贵阳模拟)以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l 的方程为ρcos θ－ρsin θ－1＝0(ρ>0)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点M 是曲线C 上的一动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值．5．(2014·沈阳模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点． (1)求A 、B 两点的极坐标；(2)曲线C 1与直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)分别相交于M 、N 两点，求线段MN 的长度．6．(2014·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．第二部分题1．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．2．(2014·南京模拟)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)，若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．3．(2014·郑州模拟)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |.4．(2014·贵阳模拟)以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l 的方程为ρcos θ－ρsin θ－1＝0(ρ>0)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点M 是曲线C 上的一动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值．5．(2014·沈阳模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点． (1)求A 、B 两点的极坐标；(2)曲线C 1与直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)分别相交于M 、N 两点，求线段MN 的长度．6．(2014·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．答案解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32.解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0， 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2.解：(1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上， 可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1，所以直线l 与圆C 相交．[师生共研] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，且y ＝1－x ，所以ρsin θ＝1－ρcos θ，所以ρ(sin θ＋cos θ)＝1，ρ＝1sin θ＋cos θ.又0≤x ≤1，所以0≤y ≤1，所以点(x ，y )都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0≤θ≤π2，即所求线段的极坐标方程为ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2. (2)①由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，消去α，得点P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，又由ρ＝92sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，得ρ＝9sin θ＋cos θ，所以ρsin θ＋ρcos θ＝9.所以曲线C 的直角坐标方程为x ＋y ＝9.②因为半圆(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)的圆心(1,0)到直线x ＋y ＝9的距离为42， 所以|PQ |min ＝42－1.解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，即为所求．热点二 参数方程及其应用[师生共研] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.解：(1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 24＝1，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得：(8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32，整理得(8sin 2α＋cos 2α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0，由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2α＋cos 2α)>0，得cos α>sin α，故α∈⎣⎡⎭⎫0，π4， ∴|PM 1||PM 2|＝|t 1t 2|＝641＋7sin 2 α∈⎝⎛⎦⎤1289，64.热点三 极坐标方程与参数方程的综合应用[师生共研] (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.解：(1)由ρsin 2θ＝8cos θ得ρ2sin 2θ＝8ρcos θ，，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x . (2)易得直线l 与x 轴的交点为F (2,0)，将直线l 的方程代入y 2＝8x ，得(t sin α)2＝8(2＋t cos α)，整理得t 2sin 2 α－8t cos α－16＝0.由已知sin α≠0，Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin 2 α＝64>0，∴t 1＋t 2＝8cos αsin 2α，t 1t 2＝－16sin 2α<0，故1|AF |＋1|BF |＝⎪⎪⎪⎪1t 1－1t 2＝⎪⎪⎪⎪t 1－t 2t 1t 2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝⎝⎛⎭⎫8cos αsin 2α2＋64sin 2α16sin 2α＝12.解：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.解：易求直线l ：4x －3y －2＝0，圆C ：(x －a )2＋y 2＝a 2，依题意，有|4a －2|42＋(－3)2＝|a |，解得a ＝－2或29.解：(1)C 1：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，C 2：x 216＋y 29＝1.曲线C 1为圆心是(－2,1)，半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．(2)曲线C 2的左顶点为(－4,0)，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋22s ，y ＝22s(s 为参数)，将其代入曲线C 1整理可得：s 2－32s ＋4＝0，设A ，B 对应参数分别为s 1，s 2，则s 1＋s 2＝32，s 1s 2＝4.所以|AB |＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝ 2.解：(1)设中点P 的坐标为(x ，y )，依据中点公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．这是点P 轨迹的参数方程，消参得点P 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到直线l 的距离减去半径，设所求最小距离为d ，则d ＝|－1×2－1|1＋1－2＝322－2.因此曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为322－2.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6得：ρ2cos π3＝8，所以ρ2＝16，即ρ＝±4.所以A 、B 两点的极坐标为：A ⎝⎛⎭⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎫－4，π6或B ⎝⎛⎭⎫4，7π6. (2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为x 2－y 2＝8，将直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 2－y 2＝8，整理得t 2＋23t －14＝0，所以|MN |＝(23)2－4×(－14)1＝217.解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ]．第二部分题答案：1．解：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.2．解：易求直线l ：4x －3y －2＝0，圆C ：(x －a )2＋y 2＝a 2，依题意，有|4a －2|42＋(－3)2＝|a |，解得a ＝－2或29.3．解：(1)C 1：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，C 2：x 216＋y 29＝1.曲线C 1为圆心是(－2,1)，半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．(2)曲线C 2的左顶点为(－4,0)，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋22s ，y ＝22s(s 为参数)，将其代入曲线C 1整理可得：s 2－32s ＋4＝0，设A ，B 对应参数分别为s 1，s 2，则s 1＋s 2＝32，s 1s 2＝4.所以|AB |＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝ 2.4． 解：(1)设中点P 的坐标为(x ，y )，依据中点公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．这是点P 轨迹的参数方程，消参得点P 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到直线l 的距离减去半径，设所求最小距离为d ，则d ＝|－1×2－1|1＋1－2＝322－2.因此曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为322－2.5． 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6得：ρ2cos π3＝8，所以ρ2＝16，即ρ＝±4.所以A 、B 两点的极坐标为：A ⎝⎛⎭⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎫－4，π6或B ⎝⎛⎭⎫4，7π6. (2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为x 2－y 2＝8，将直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 2－y 2＝8，整理得t 2＋23t －14＝0，所以|MN |＝(23)2－4×(－14)1＝217.6．解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ]．。

2014-2019年高考数学真题分类汇编专题15：选考内容（坐标与参数方程）选择题1．（2014•北京理）曲线1cos (2sin x y θθθ=-+⎧⎨=+⎩为参数）的对称中心( ) A ．在直线2y x =上 B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上【考点】圆的参数方程【分析】曲线1cos (2sin x y θθθ=-+⎧⎨=+⎩为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论． 【解答】解：曲线1cos (2sin x y θθθ=-+⎧⎨=+⎩为参数）表示圆，圆心为(1,2)-，在直线2y x =-上， 故选：B ．【点评】本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题．2．（2014•安徽理）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是1(3x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A B ．CD ．【考点】直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程 【分析】先求出直线和圆的直角坐标方程，求出半径和弦心距，再利用弦长公式求得弦长． 【解答】解：直线l 的参数方程是1(3x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），化为普通方程为40x y --=；圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，即24cos ρρθ=，化为直角坐标方程为224x y x +=， 即22(2)4x y -+=，表示以(2,0)为圆心、半径r 等于2的圆．弦心距d r <，∴弦长为=故选：D ．【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．3．（2014•江西理）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段1(01)y x x =-剟的极坐标方程为( )A ．1cos sin ρθθ=+，02πθ剟 B ．1cos sin ρθθ=+，04πθ剟C ．cos sin ρθθ=+，02πθ剟 D ．cos sin ρθθ=+，04πθ剟【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】根据直角坐标和极坐标的互化公式cos x ρθ=，sin y ρθ=，把方程1(01)y x x =-剟化为极坐标方程．【解答】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式cos x ρθ=，sin y ρθ=，1(01)y x x =-剟， 可得cos sin 1ρθρθ+=，即1cos sin ρθθ=+．由01x 剟，可得线段1(01)y x x =-剟在第一象限，故极角[0θ∈，]2π，故选：A ．【点评】本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，注意极角θ的范围，属于基础题． 4．（2016•上海理）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是( )A ．65cos ρθ=+B ．65sin ρθ=+C ．65cos ρθ=-D ．65sin ρθ=-【考点】简单曲线的极坐标方程 【分析】由图形可知：2πθ=-时，ρ取得最大值，即可判断出结论．【解答】解：由图形可知：2πθ=-时，ρ取得最大值，只有D 满足上述条件． 故选：D ．【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（2019北京理科3）已知直线l 的参数方程为13,(24x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数），则点(1,0)到直线l 的距离是()A ．15B ．25C ．45D ．65【考点】参数方程化成普通方程；IT ：点到直线的距离公式【分析】消参数t 化参数方程为普通方程，再由点到直线的距离公式求解． 【解答】解：由13(24x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数），消去t ，可得4320x y -+=．则点(1,0)到直线l 的距离是65d ==． 故选：D ．【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．填空题1．（2014•广东文）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=与cos 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 交点的直角坐标为 (1,2) ．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化【分析】直接由cos x ρθ=，sin y ρθ=化极坐标方程为直角坐标方程，然后联立方程组求得答案． 【解答】解：由22cos sin ρθθ=，得：222cos sin ρθρθ=， 即22y x =．由cos 1ρθ=，得1x =． 联立212x y x =⎧⎨=⎩，解得：12x y =⎧⎨=⎩． ∴曲线1C 与2C 交点的直角坐标为(1,2)．故答案为：(1,2)．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．2．（2014•广东理）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为 (1,1) ．【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】首先运用cos x ρθ=，sin y ρθ=，将极坐标方程化为普通方程，然后组成方程组，解之求交点坐标．【解答】解：曲线21:sin cos C ρθθ=，即为22sin cos ρθρθ=， 化为普通方程为：2y x =，曲线sin 1ρθ=，化为普通方程为：1y =， 联立21y x y ⎧=⎨=⎩，即交点的直角坐标为(1,1)． 故答案为：(1,1)．【点评】本题考查极坐标方程和普通方程的互化，考查解方程的运算能力，属于基础题3．（2014•湖北理）已知曲线1C的参数方程是x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，则1C 与2C 交点的直角坐标为． 【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程【分析】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得1C 与2C 交点的直角坐标．【解答】解：把曲线1C的参数方程是x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）， 消去参数化为直角坐标方程为223x y = (0,0)x y 厖，即y =(0)x …． 曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，化为直角坐标方程为224x y +=．解方程组222234x y x y ⎧=⎨+=⎩，再结合0x >、0y >，求得1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩1C ∴与2C交点的直角坐标为1)，故答案为：1)．【点评】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．4．（2014•湖南文）在平面直角坐标系中，曲线2:(1x C t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）的普通方程为 10x y --= ． 【考点】直线的参数方程【分析】利用两式相减，消去t ，从而得到曲线C 的普通方程． 【解答】解：曲线2:(1x C t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）， ∴两式相减可得10x y --=．故答案为：10x y --=．【点评】本题考查参数方程化成普通方程，应掌握两者的互相转化． 5．（2014•湖南理）在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩，(α为参数）交于A ，B 两点，且||2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是 (cos sin )1ρθθ-= ．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】由题意可得直线l 的方程为y x b =+，曲线方程化为直角坐标，表示一个圆，由于弦长正好等于直径，可得圆心(2,1)在直线l 上，由此求得b 的值，可得直线的方程． 【解答】解：设倾斜角为4π的直线l 的方程为y x b =+， 曲线2cos :(1sin x C y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数），即22(2)(1)1x y -+-=，表示以(2,1)为圆心、半径等于1的圆．由于弦长||2AB =，正好等于直径，故圆心(2,1)在直线l 上，故有12b =+，解得1b =-， 故直线l 的方程为1y x =-，即10x y --=．再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得cos sin 10ρθρθ--=，即(cos sin )1ρθθ-= 故答案为：(cos sin )1ρθθ-=．【点评】本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，直线和圆的位置关系，属于基础题． 6．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程1(2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），直线l 与抛物线24y x =相交于AB 两点，则线段AB 的长为【考点】参数方程化成普通方程【分析】直线l 的参数方程化为普通方程，与抛物线24y x =联立，求出A ，B 的坐标，即可求线段AB 的长．【解答】解：直线l的参数方程为1(2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），化为普通方程为3x y +=， 与抛物线24y x =联立，可得21090x x -+=，∴交点(1,2)A ，(9,6)B -，||AB ∴==故答案为：【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题． 7．（2014•陕西）在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是 1 ．【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出． 【解答】解：点(2,)6P π化为2cos 6x π=2sin 16y π==，P ∴．直线sin()16πρθ-=展开化为：1sin cos 12θρθ-=，化为直角坐标方程为：20x --=，即20x +=．∴点P到直线的距离1d ==．故答案为：1．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（2014•上海理）已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=，则C 与极轴的交点到极点的距离是 13． 【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】由题意，0θ=，可得C 与极轴的交点到极点的距离．【解答】解：由题意，0θ=，可得(3cos04sin0)1ρ-=， C ∴与极轴的交点到极点的距离是13ρ=． 故答案为：13．【点评】正确理解C 与极轴的交点到极点的距离是解题的关键．9．（2014•天津理）在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin ρθ=和直线sin a ρθ=相交于A 、B 两点，若AOB ∆是等边三角形，则a 的值为 3 ． 【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B 的坐标的值，代入22(2)4x y +-=，可得a 的值． 【解答】解：直线sin a ρθ=即y a =，(0)a >，曲线4sin ρθ=，即24sin ρρθ=，即22(2)4x y +-=，表示以(0,2)C 为圆心，以2为半径的圆，AOB ∆是等边三角形，B ∴，)a ，代入22(2)4x y +-=，可得22)(2)4a +-=， 0a >，3a ∴=．故答案为：3．【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B 的坐标是解题的关键，属于基础题．10．（2014•重庆理）已知直线l 的参数方程为2(3x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0(0,02)ρθθρθπ-=<厔，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ ．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程【分析】直线l 的参数方程化为普通方程、曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求出公共点的坐标，即可求出极径．【解答】解：直线l 的参数方程为23x ty t =+⎧⎨=+⎩，普通方程为1y x =+，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=的直角坐标方程为24y x =， 直线l 与曲线C 联立可得2(1)0x -=， 1x ∴=，2y =，∴直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=．【点评】本题考查直线l 的参数方程、曲线C 的极坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题．11．（2015•北京理）在极坐标系中，点(2,)3π到直线(cos )6ρθθ+=的距离为 ．【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出．【解答】解：点(2,)3P π化为P ．直线(cos )6ρθθ+=化为60x -=．∴点P 到直线的距离1d ==．故答案为：1．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（2015•广东文）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为(cos sin )2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 (2,4)- ．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】曲线1C 的极坐标方程为(cos sin )2ρθθ+=-，把c o s sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入可得直角坐标方程．曲线2C 的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数），化为普通方程：28y x =．联立解出即可．【解答】解：曲线1C 的极坐标方程为(cos sin )2ρθθ+=-，化为直角坐标方程：20x y ++=．曲线2C的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数），化为普通方程：28y x =． 联立2208x y y x ++=⎧⎨=⎩，解得24x y =⎧⎨=-⎩，则1C 与2C 交点的直角坐标为(2,4)-． 故答案为：(2,4)-．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（2015•广东理）已知直线l的极坐标方程为2sin()4πρθ-=，点A的极坐标为A 7)4π，则点A 到直线l 的距离为． 【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：直线l的极坐标方程为2sin()4πρθ-，对应的直角坐标方程为：1y x -=，点A的极坐标为A 7)4π，它的直角坐标为(2,2)-． 点A 到直线l=．． 【点评】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力． 14．（2015•湖北理）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1(1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t 为参数），l 与C 相交于A ，B 两点，则||AB =【考点】简单曲线的极坐标方程；双曲线的参数方程【分析】化极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标，由两点间的距离公式得答案．【解答】解：由(sin 3cos )0ρθθ-=，得30y x -=，由C 的参数方程为1(1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t 为参数），两式平方作差得：224x y -=-．联立2234y x x y =⎧⎨-=-⎩，得212x =，即x =．A ∴，(B ，||AB ∴==．故答案为：【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题．15．（2015•湖南文）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为 22(1)1x y +-= ． 【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】直接利用极坐标与直角坐标互化，求解即可．【解答】解：曲线C 的极坐标方程为2sn ρθ=，即22sn ρρθ=，它的直角坐标方程为：222x y y +=，即22(1)1x y +-=． 故答案为：22(1)1x y +-=．【点评】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，基本知识的考查．16．（2015•重庆理）已知直线l 的参数方程为1(1x tt y t =-+⎧⎨=+⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为 (2,)π ．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程【分析】求出直线以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标，转化我2极坐标即可． 【解答】解：直线l 的参数方程为1(1x tt y t =-+⎧⎨=+⎩为参数），它的直角坐标方程为：20x y -+=；曲线C 的极坐标方程为235cos24(0,)44ππρθρθ=><<， 可得它的直角坐标方程为：224x y -=，0x <．由22204x y x y -+=⎧⎨-=⎩，可得2x =-，0y =， 交点坐标为(2,0)-， 它的极坐标为(2,)π． 故答案为：(2,)π．【点评】本题考查曲线的极坐标方程直线的参数方程与普通方程的互化，基本知识的考查． 17．（2015•安徽理）在极坐标系中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 6 ．【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】圆8sin ρθ=化为28sin ρρθ=，把222sin x y y ρρθ⎧=+⎨=⎩代入可得直角坐标方程，直线()3R πθρ=∈化为y =．利用点到直线的距离公式可得圆心(0,4)C 到直线的距离d ，可得圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值d r =+．【解答】解：圆8sin ρθ=化为28sin ρρθ=，228x y y ∴+=，化为22(4)16x y +-=．直线()3R πθρ=∈化为y =．∴圆心(0,4)C 到直线的距离2d ==，∴圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值246d r =+=+=．故答案为：6．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（2016•上海文理）在平面直角坐标系中，已知(1,0)A ，(0,1)B -，P 是曲线y =BP BA 的取值范围是 [0，1 ．【考点】平面向量数量积的性质及其运算；参数方程【分析】设(cos ,sin )P αα，[0α∈，]π，则(1,1)BA =，(cos ,sin 1)BP αα=+，由此能求出BP BA 的取值范围．【解答】解：在平面直角坐标系中，(1,0)A ，(0,1)B -，P 是曲线y =∴设(cos ,sin )P αα，[0α∈，]π，∴(1,1)BA =，(cos ,sin 1)BP αα=+，cos sin 1)14BP BA πααα=++++，∴BP BA 的取值范围是[0，1+．故答案为：[0，1+．【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积的性质的合理运用．19．（2016•北京理）在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ--=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB = 2 ．【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心C 在直线上可得||AB ．【解答】解：直线cos sin 10ρθθ-=化为y 直线10x --=．圆2cos ρθ=化为22cos ρρθ=，222x y x ∴+=，配方为22(1)1x y -+=，可得圆心(1,0)C ，半径1r =． 则圆心C 在直线上，||2AB ∴=． 故答案为：2．【点评】本题考查了把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，考查了计算能力，属于基础题． 20．（2017•北京理11）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为(1,0)，则||AP 的最小值为 1 ．【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P 的距离的最小值．【解答】解：设圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=为圆C ，将圆C 的极坐标方程化为：222440x y x y +--+=， 再化为标准方程：22(1)(2)1x y -+-=；如图，当A 在CP 与C 的交点Q 处时，||AP 最小为： ||||211min C AP CP r =-=-=，故答案为：1．【点评】本题主要考查曲线的极坐标方程和圆外一点到圆上一点的距离的最值，难度不大．21．（2017•天津理）在极坐标系中，直线4cos()106πρθ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为 2 ．【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d ，与半径比较即可得出位置关系． 【解答】解：直线4cos()106πρθ-+=展开为：14sin )102ρθθ++=，化为：210y ++=．圆2sin ρθ=即22sin ρρθ=，化为直角坐标方程：222x y y +=，配方为：22(1)1x y +-=．∴圆心(0,1)C到直线的距离314d R ==<=． ∴直线4cos()106πρθ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为2．故答案为：2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（2018•天津理12）已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线13x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，(t 为参数）与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为 ．【考点】直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程 【分析】把圆的方程化为标准方程，写出圆心与半径； 直线的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，计算弦长||AB ，利用三角形面积公式求出ABC ∆的面积．【解答】解：圆2220x y x +-=化为标准方程是22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径1r =；直线13x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩化为普通方程是20x y +-=， 则圆心C到该直线的距离为d ==弦长||2AB ==ABC ∴∆的面积为111||22222S AB d ==⨯=． 故答案为：12． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了参数方程应用问题，是基础题．23．（2019•天津理12）设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,(12sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数）相切，则a 的值为 ．【考点】圆的参数方程【分析】推导出圆心(2,1)到直线20ax y -+=的距离：2d r ===，由此能求出a 的值．【解答】解：a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,(12sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数）相切， ∴圆心(2,1)到直线20ax y -+=的距离：2d r ===，解得34a =． 故答案为：34． 【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与圆相切的性质、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．24．（2018•北京理10）在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a = ． 【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】首先把曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离等于半径求出结果．【解答】解：圆2cos ρθ=，转化成：22cos ρρθ=，进一步转化成直角坐标方程为：22(1)1x y -+=，把直线(cos sin )a ρθθ+=的方程转化成直角坐标方程为：0x y a +-=． 由于直线和圆相切，所以：利用圆心到直线的距离等于半径． 1=，解得：1a =±0a > 则负值舍去．故：1a =故答案为：1【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充要条件的应用．解答题1．（2014•新课标Ⅰ）已知曲线22:149x y C +=，直线2:(22x t l t y t =+⎧⎨=-⎩为参数） （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程．（Ⅱ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值． 【考点】直线与圆锥曲线的综合；参数方程化成普通方程【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取2cos x θ=、3sin y θ=得曲线C 的参数方程，直接消掉参数t 得直线l 的普通方程；（Ⅱ）设曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ．由点到直线的距离公式得到P 到直线l 的距离，除以 sin30︒进一步得到||PA ，化积后由三角函数的范围求得||PA 的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线22:149x y C +=，可令2cos x θ=、3sin y θ=，故曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数）．对于直线2:22x t l y t =+⎧⎨=-⎩①②，由①得：2t x =-，代入②并整理得：260x y +-=； （Ⅱ）设曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ．P 到直线l 的距离为4cos 3sin 6|d θθ=+-．则||5sin()6|sin30d PA θα==+-︒，其中α为锐角．当sin()1θα+=-时，||PA当sin()1θα+=时，||PA ． 【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．2．（2014•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[0θ∈，]2π（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在半圆C 上，半圆C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD 的倾斜角及D 的坐标． 【考点】参数方程化成普通方程【分析】（1）利用222cos x y x ρρθ⎧=+⎨=⎩即可得出直角坐标方程，利用22cos sin 1t t +=进而得出参数方程．（2）利用半圆C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，则直线CD 的斜率与直线l 的斜率相等，即可得出直线CD 的倾斜角及D 的坐标．【解答】解：（1）由半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[0θ∈，]2π，即22cos ρρθ=，可得C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=剟． 可得C 的参数方程为1cos (sin x tt y t =+⎧⎨=⎩为参数，0)t π剟．（2）设(1cos D + t ，sin )t ，由（1）知C 是以(1,0)C 为圆心，1为半径的上半圆，直线CD 的斜率与直线l 的斜率相等，tan t ∴=3t π=．故D 的直角坐标为(1cos ,sin )33ππ+，即3(2．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（2014•福建）已知直线l 的参数方程为2(4x a t t y t =-⎧⎨=-⎩为参数），圆C 的参数方程为4cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为常数）．（1）求直线l 和圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 【考点】直线的参数方程；圆的参数方程【分析】（1）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程；（2）求出圆心到直线的距离d ，再根据直线l 与圆C 有公共点d r ⇔…即可求出． 【解答】解：（1）直线l 的参数方程为24x a t y t =-⎧⎨=-⎩，消去t 可得220x y a --=；圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，两式平方相加可得2216x y +=；（2）圆心(0,0)C ，半径4r =．由点到直线的距离公式可得圆心(0,0)C 到直线L的距离d =直线L 与圆C 有公共点，4d ∴…4，解得a - 【点评】熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键．4．（2014•辽宁文）将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ． （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线:220l x y +-=与C 的交点为1P ，2P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程． 【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程【分析】（Ⅰ）在曲线C 上任意取一点(,)x y ，再根据点(,)2yx 在圆221x y +=上，求出C 的方程，化为参数方程．（Ⅱ）解方程组求得1P 、2P 的坐标，可得线段12P P 的中点坐标．再根据与l 垂直的直线的斜率为12，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据cos x ρα=、sin y ρα= 可得所求的直线的极坐标方程． 【解答】解：（Ⅰ）在曲线C 上任意取一点(,)x y ，由题意可得点(,)2yx 在圆221x y +=上，2214y x ∴+=，即曲线C 的方程为2214y x +=，化为参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(02θπ<…，θ为参数）． （Ⅱ）由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，可得10x y =⎧⎨=⎩，02x y =⎧⎨=⎩，不妨设1(1,0)P 、2(0,2)P ，则线段12P P 的中点坐标为1(2，1)， 再根据与l 垂直的直线的斜率为12，故所求的直线的方程为111()22y x -=-，即3202x y -+=．再根据cos x ρα=、sin y ρα= 可得所求的直线的极坐标方程为3cos 2sin 02ραρα-+=， 即34sin 2cos ραα=-．【点评】本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题．5．（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△2C MN 的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（Ⅰ）由条件根据cos x ρθ=，sin y ρθ=求得1C ，2C 的极坐标方程．（Ⅱ）把直线3C 的极坐标方程代入240ρ-+=，求得1ρ和2ρ的值，结合圆的半径可得22C M C N ⊥，从而求得△2C MN 的面积2212C M C N 的值． 【解答】解：（Ⅰ）由于cos x ρθ=，sin y ρθ=，1:2C x ∴=- 的 极坐标方程为cos 2ρθ=-，故222:(1)(2)1C x y -+-=的极坐标方程为：22(cos 1)(sin 2)1ρθρθ-+-=，化简可得2(2cos 4sin )40ρρθρθ-++=． （Ⅱ）把直线3C 的极坐标方程()4R πθρ=∈代入圆222:(1)(2)1C x y -+-=，可得2(2cos 4sin )40ρρθρθ-++=，求得1ρ=，2ρ=12||||MN ρρ∴=-=2C 的半径为1，22C M C N ∴⊥，△2C MN 的面积为2211111222C M C N ==．【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．6．（2015•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :(sin x t C t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)t ≠，其中0απ剟，在以O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，3:C ρθ=． （1）求2C 与3C 交点的直角坐标；（2）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】()I 由曲线2:2sin C ρθ=，化为22sin ρρθ=，把222sin x y y ρρθ⎧=+⎨=⎩代入可得直角坐标方程．同理由3:C ρθ=．可得直角坐标方程，联立解出可得2C 与3C 交点的直角坐标．（2）由曲线1C 的参数方程，消去参数t ，化为普通方程：tan y x α=，其中0απ剟，2πα≠；2πα=时，为0(0)x y =≠．其极坐标方程为：(,0)R θαρρ=∈≠，利用|||2sin |AB αα=-即可得出． 【解答】解：()I 由曲线2:2sin C ρθ=，化为22sin ρρθ=，222x y y ∴+=．同理由3:C ρθ=．可得直角坐标方程：22x y +=，联立2222200x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 2C ∴与3C 交点的直角坐标为(0,0)，3)2． （2）曲线1cos :(sin x t C t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)t ≠，化为普通方程：tan y x α=，其中0απ剟，2πα≠；2πα=时，为0(0)x y =≠．其极坐标方程为：(,0)R θαρρ=∈≠，A ，B 都在1C 上，(2sin ,)A αα∴，,)B αα．|||2sin |4|sin()|3AB πααα∴=-=-，当56πα=时，||AB 取得最大值4． 【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（2015•福建理）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为13cos (23sin x tt y t =+⎧⎨=-+⎩为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴），直线l 的方sin()4m πθ-=，()m R ∈（1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值． 【考点】简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程【分析】（1）直接利用极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普通方程的互化求解即可． （2）直接利用点到直线的距离个数求解即可．【解答】解：（1）消去参数t ，得到圆的普通方程为22(1)(2)9x y -++=，sin()4m πθ-=，得sin cos 0m ρθρθ--=，所以直线l 的直角坐标方程为：0x y m -+=．（2）依题意，圆心(1,2)C -到直线:0l x y m -+=的距离等于22=，解得3m =-±【点评】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．8．（2015•湖南理）已知直线5:(12x l t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MA MB 的值． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）曲线的极坐标方程即22cos ρρθ=，根据极坐标和直角坐标的互化公式得222x y x +=，即得它的直角坐标方程；（2）直线l 的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．【解答】解：（1）2cos ρθ=，22cos ρρθ∴=，222x y x ∴+=，故它的直角坐标方程为22(1)1x y -+=； （2）直线5:(12x l t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），普通方程为y x =，在直线l 上， 过点M 作圆的切线，切点为T ，则22||(51)3118MT =-+-=， 由切割线定理，可得2||||||18MT MA MB ==．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．9．（2015•陕西）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132(x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=． （Ⅰ）写出C 的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 【考点】点的极坐标和直角坐标的互化【分析】()I 由C的极坐标方程为ρθ=．化为2sin ρθ=，把222sin x y y ρρθ⎧=+⎨=⎩代入即可得出；．()II设1(3)2P t +，又C．利用两点之间的距离公式可得||PC =，再利用二次函数的性质即可得出．【解答】解：()I 由C的极坐标方程为ρθ=．。

第一节 坐标系[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，点O 叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，Ox 叫做极轴；再确定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一个点，特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R )，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是惟一确定的．[探究] 1.极点的极坐标如何表示？提示：规定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ； ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0). [探究] 2.平面内点与点的直角坐标的对应法则是什么？与点的极坐标呢？提示：平面内的点与点的直角坐标是一一对应法则，而与点的极坐标不是一一对应法则，如果规定ρ>0,0≤θ<2π，那么除极点外，点的极坐标与平面内的点就一一对应了．4．常见曲线的极坐标方程[自测·牛刀小试]1．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程． 解：由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ， 故x 2＋y 2＝x .2.(2013·北京模拟)在极坐标系中，求过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程．解：过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x ＝1，所以其极坐标方程为ρcos θ＝1.3．在极坐标系中，求点A ⎝⎛⎭⎫2，π2关于直线l ∶ρcos θ＝1的对称点的一个极坐标． 解：在直角坐标系中，A (0,2)，l ：x ＝1，点A 关于l 的对称点为(2,2)，所以ρ＝22＋22＝22，θ＝π4，所以此点极坐标为⎝⎛⎭⎫22，π4. 4．在极坐标系中，若过点A (3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A 、B 两点，求AB 的长．解：曲线ρ＝4cos θ，即为圆x 2＋y 2－4x ＝0，过A (3,0)且与极轴垂直的直线为x ＝3，将x ＝3代入x 2＋y 2－4x ＝0，得y 2＝12－9＝3，解得y ＝±3.故AB ＝2 3.5．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ，求该圆的圆心到直线ρsin θ＋2ρcos θ＝1的距离． 解：直线ρsin θ＋2ρcos θ＝1化为2x ＋y －1＝0，圆ρ＝2cos θ的圆心(1,0)到直线2x ＋y －1＝0的距离是55.[例1] 求椭圆x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y 后的曲线方程．[自主解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x ′2＋y ′2＝1.若椭圆x 24＋y 2＝1经过伸缩变换后的曲线方程为x ′216＋y ′24＝1，求满足的伸缩的变换．解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入x ′216＋y ′24＝1，得λ2x 216＋μ2y 24＝1，与x 24＋y 2＝1的系数对比，得λ＝2，μ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝y .因此经过变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y后，椭圆x 24＋y 2＝1变换为x ′216＋y ′24＝1. ——————————————————— 求经伸缩变换后曲线方程的方法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．1．在同一坐标系中，曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y 后得到的曲线方程为y ′＝lg(x ′＋5)，求曲线C 的方程．解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y 代入y ′＝lg(x ′＋5) 得12y ＝lg(x ＋5)，即y ＝2lg(x ＋5)为所求曲线C 的方程.[例2] 已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． [自主解答] (1)由ρ＝2知ρ2＝4所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 ， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2. 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. ——————————————————— 极坐标与直角坐标互化的注意点(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不惟一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．2．(2013·佛山检测)在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求点P 的极坐标．解析：由极坐标与直角坐标的互化公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 可得，ρcos θ＝1，ρsin θ＝－3，解得ρ＝2，θ＝2k π－π3(k ∈Z )，故点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，2k π－π3(k ∈Z )． 3．求以点A (2,0)为圆心，且过点B ⎝⎛⎭⎫23，π6的圆的极坐标方程． 解：由已知圆的半径为 AB ＝22＋(23)2－2×2×23cos π6＝2，又圆的圆心坐标为A (2,0)， 所以圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆的极坐标方程是ρ＝4cos θ.[例3] 从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值．[自主解答] (1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程．(2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝3x ， 即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝⎝⎛⎭⎫322， 知P 的轨迹是以⎝⎛⎭⎫32，0为圆心，半径为32的圆．直线l 的直角坐标方程是x ＝4.结合图形易得|RP |的最小值为1.——————————————————— 求解与极坐标有关的问题的主要方法一是直接利用极坐标系求解，求解时可与数形结合思想结合使用； 二是转化为直角坐标系后，用直接坐标求解．使用后一种时应注意，若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．4．(2013·西安五校联考)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标．解：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，即两曲线的交点为(－1,1)，又0≤θ<2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π4. 5．(2012·安徽高考改编)在极坐标系中，求圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离．解：将ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心为(0,2)．将θ＝π6(ρ∈R )化成直角坐标方程为x －3y ＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d ＝|0－23|2＝ 3.1个互化——极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的三个前提条件 ①极点与原点重合； ②极轴与x 轴正方向重合； ③取相同的单位长度．(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．5个步骤——求曲线极坐标方程的五步曲易误警示——极坐标系中的解题误区[典例] (2012·湖南高考改编)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，求a 的值．[解] 直线方程为2x ＋y －1＝0，与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫22，0，圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，把交点⎝⎛⎭⎫22，0代入得⎝⎛⎭⎫222＋02＝a 2，又a >0，所以a ＝22.[易误辨析](1)因没有掌握极坐标与直角坐标的转化，无法把极坐标方程转化为普通方程． (2)因不清楚题意，即直线与圆的交点实为直线与x 轴的交点，如果不会转化，导致计算加大，多走弯路．(3)解答与极坐标有关的问题时，还易出现不注意极径、极角的取值范围等而致错的情况．[变式训练]已知两曲线的极坐标方程C 1：ρ＝2(0≤θ≤π)，C 2：ρ＝4cos θ，求两曲线交点的直角坐标．解：C 1的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4(y ≥0)，C 2的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.将两方程联立，解方程组得x ＝1，y ＝±3.又因为y ≥0，舍去y ＝－3，所以两曲线交点坐标为(1，3)．1．已知直线的极坐标方程ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，求极点到直线的距离． 解：∵ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，即直角坐标方程为x ＋y ＝1. 又极点的直角坐标为(0,0)，∴极点到直线的距离d ＝|0＋0－1|2＝22.2．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线方程为3x ＋4y ＋a ＝0，又圆与直线相切，所以|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝2或a ＝－8.3．(2012·江西高考改编)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．解：将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入x 2＋y 2－2x ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ. 4．已知圆M 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋6＝0，求ρ的最大值． 解：原方程化为ρ2－42ρ⎝⎛⎭⎫22cos θ＋22sin θ＋6＝0， 即ρ2－4(ρcos θ＋ρsin θ)＋6＝0.故圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0. 圆心为M (2,2)，半径为 2.故ρmax ＝|OM |＋2＝22＋2＝3 2.5．(2012·江苏高考)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝ (2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.1．设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝a ＋3t ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系得另一直线l 1的方程为ρsin θ－3ρcos θ＋4＝0，若直线l 1与l 2间的距离为10，求实数a 的值．解：将直线l 1的方程化为普通方程得3x －y ＋a －3＝0，将直线l 2的方程化为直角坐标方程得3x －y －4＝0，由两平行线的距离公式得|a －3＋4|10＝10⇒|a ＋1|＝10⇒a ＝9或a ＝－11.2．(2011·江西高考改编)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，求该曲线的直角坐标方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，得，ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ⇒x 2＋y 2－4x －2y ＝0.3．极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求AB 的最小值．解：将互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ分别代入曲线和直线的极坐标方程，可得圆方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，圆心(－1,0)，半径为2，直线方程为x ＋y －7＝0，圆心到直线的距离d ＝|－1－7|2＝4 2.所以|AB |的最小值为42－2.4．在极坐标系中，圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎫6，π6，半径r ＝6. (1)写出圆C 的极坐标方程；(2)若Q 点在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上，且OQ ∶QP ＝3∶2，求动点P 的轨迹方程．解：(1)圆C 的极坐标方程ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6. (2)设P 的坐标为(ρ，θ)，因为P 在O Q 的延长线上， 又O Q ∶QP ＝3∶2.所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫35ρ，θ， 若Q 点在圆C 上运动，则35ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，即ρ＝20cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6. 故点P 的轨迹方程为ρ＝20cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6.第二节 参数方程[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x ，y 都可以表示为某个变量t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )反过来，对于t 的每个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )叫做这条曲线C 的参数方程，变量t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．[探究] 1.平面直角坐标系中，同一曲线的参数方程惟一吗？提示：不唯一，平面直角坐标系中，对于同一曲线来说，由于选择的参数不同，得到的曲线的参数方程也不同．2．直线的参数方程经过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．3．圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)． 4．椭圆的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． [探究] 2.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)中，参数φ的几何意义是什么？提示：如图，取椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任一点M 作x 轴垂线，交以原点为圆心，a 为半径的圆于点A ，φ就是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角(或点M 的离心角)即Ox 绕O 逆时针转到与OA 重合时的最小正角，φ∈[0,2π)．[自测·牛刀小试]1．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)，求直线l 倾斜角的余弦值．解：消去参数，得直线l 方程为4x ＋3y －10＝0，所以tan θ＝－43，cos θ＝－35.2．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，求|PF |.解：将抛物线的参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1.又P (3，m )在抛物线上，由抛物线的定义知|PF |＝3－(－1)＝4.3．(2012·中山模拟)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程．解：将参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y －1＝sin α(α为参数)，平方相加得x 2＋(y －1)2＝cos 2α＋sin 2α＝1，所以对应的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.4．求参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2(t 为参数)表示的曲线．解：当t >0时，x ＝t ＋1t ≥2；当t <0时，x ＝t ＋1t ≤－2，故此方程表示的曲线是两条射线．5．求椭圆(x －1)23＋(y ＋2)25＝1的参数方程．解：设x －13＝cos θ，y ＋25＝sin θ，则⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝－2＋5sin θ(θ为参数)，即为所求的参数方程．[例1] 将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝3k1＋k 2，y ＝6k21＋k 2，(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.[自主解答] (1)两式相除，得k ＝y2x ，将其代入得x ＝3·y 2x1＋⎝⎛⎭⎫y 2x 2，化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]． ——————————————————— 将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2，y ＝t1＋t 2(t 为参数)．解：(1)∵x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫1t 2＋⎝⎛⎭⎫1t t 2－12＝1，∴x 2＋y 2＝1.∵t 2－1≥0.∴t ≥1或t ≤－1.又x ＝1t ，∴t ≠0.当t ≥1时，0<1t ≤1，当t ≤－1时，－1≤1t <0，∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x ≤1，0≤y <1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <0，－1<y ≤0.(2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝⎛⎭⎫2t 1＋t 22＝1，得x 2＋4y 2＝1， 又x ＝1－t 21＋t 2≠－1，得所求的普通方程是x 2＋4y 2＝1(x ≠－1).[例2] (2012·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，求a 的值．[自主解答] ∵C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，∴C 1的方程为2x ＋y －3＝0.∴C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，∴C 2的方程为：x 2a 2＋y 29＝1.∵C 1与C 2有一个公共点在x 轴上，且a >0，∴C 1与x 轴的交点⎝⎛⎭⎫32，0在C 2上．∴a ＝32. ———————————————————与参数方程有关的问题，求解时，一般是将参数方程化为普通方程，转化为我们熟悉的形式，利用直角坐标方程求解问题．2．(2011·广东高考改编)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，求它们的交点坐标．解：由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)得x 25＋y 2＝1(y ≥0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )得x ＝54y 2.联立方程可得⎩⎨⎧x 25＋y 2＝1，x ＝54y 2.则5y 4＋16y 2－16＝0，解得y 2＝45或y 2＝－4(舍去)，则x ＝54y 2＝1，又y ≥0，所以其交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.3．(2013·扬州模拟)已知P (x ，y )是椭圆x 24＋y 2＝1上的点，求M ＝x ＋2y 的取值范围．解：∵x 24＋y 2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)，∴设P (2cos θ，sin θ)，∴M ＝x ＋2y ＝2cos θ＋2sin θ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， ∴M ＝x ＋2y 的取值范围是[－22，22]．[例3] (2012·辽宁高考)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．[自主解答] (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2；圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ；联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，解得ρ＝2，θ＝±π3.故圆C 1，C 2的交点极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3.(2)由ρ＝2，θ＝±π3，及⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝3，⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－3，圆C 1，C 2的交点直角坐标为(1, 3)，(1，－3)，故圆C 1，C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t (－3≤t ≤3)．——————————————————— 求参数方程与极坐标问题的转化方法在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．转化时要注意两坐标系的关系，注意ρ，θ的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同．4．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，求|AB |的最小值．解：曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －4)2＝1，知C 1是以(3,4)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2：ρ＝1的直角坐标方程是x 2＋y 2＝1，可知C 2是以原点为圆心，1为半径的圆，题意就是求分别在两个圆C 1和C 2上的两点A ，B 的最短距离. 由圆的方程知，这两个圆相离，所以|AB |min ＝(3－0)2＋(4－0)2－1－1＝5－1－1＝3.4种方法——化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有： ①代入消元法； ②加减消元法； ③乘除消元法； ④三角恒等式消元法.数学思想——参数方程中的转化思想在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了等价转化的数学思想．[典例] (2012·浙江高考改编)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，求曲线C 1与C 2的交点坐标． [解] C 1的直角坐标方程为：y 2＝x (x ≥0)，C 2的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝2，联立方程得：⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，x 2＋y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以交点坐标为(1,1)．[题后悟道](1)本题是利用交轨法解决参数方程问题的常见题型，解题方法是将参数方程转化为普通方程，关键是消去参数，这里特别注意所给参数的取值范围．(2)对于此类问题，熟练掌握将参数方程化为普通方程的方法，如代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角恒等式消元法等是必要的，也是必须的．[变式训练](2012·朝阳模拟)在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)和C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，求|AB |的长．解：直线l 可化为x ＋y －2＝0，① 曲线C 可化为y ＝(x －2)2，②联立①②消去y 得x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋(－1)2·(x 1－x 2)2＝2|x 1－x 2|＝ 2.1．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋t ，y ＝1－t (t 为参数)被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(θ为参数，求θ∈[0,2π))所截得的弦长．解：把直线的参数方程和圆的参数方程分别化为普通方程为x ＋y ＋1＝0和(x －3)2＋(y ＋1)2＝25，于是弦心距d ＝322，弦长l ＝225－92＝82.2．(2012·福州模拟)已知点P (x ，y )在曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1，且a 2＋b 2≤3，求x ＋y 的最小值． 解：设x ＝a cos t ，y ＝b sin t (0≤t ≤2π)， 则x ＋y ＝a cos t ＋b sin t ＝a 2＋b 2cos(t －α)，因此，当a 2＋b 2＝3，cos(t －α)＝－1时，x ＋y 取得最小值－ 3.3．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－ 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程； (2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)得 x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]．(2)由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－2得曲线D 的普通方程为 x ＋y ＋2＝0.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y ＝1，得x 2－x －3＝0.解得x ＝1±132∉[－1,1]，故曲线C 与曲线D 无公共点．4．(2012·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫0，233，又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x .(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|1＋3＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．5．(2012·新课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． 解：(1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π2， C ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π， D ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则 S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．1．(2012·南京模拟)已知圆的极坐标方程为 ρ2＋4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－5＝0. (1)将圆的极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋3y 的最大值和最小值． 解：(1)∵ρ2＋4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－5＝0， ∴ρ2＋2(ρcos θ－3ρsin θ)－5＝0. ∴x 2＋y 2＋2x －23y －5＝0， 即(x ＋1)2＋(y －3)2＝9.∴圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋3cos α，y ＝3＋3sin α(α为参数)．(2)利用圆的参数方程可得：x ＋3y ＝33sin α＋3cos α＋2＝6sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋2， ∴x ＋3y 的最大值为8，最小值为－4.2．(2013·厦门模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求直线l 的直角坐标方程；(2)点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值． 解：(1)ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22化简ρcos θ＋ρsin θ＝4， ∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4； (2)设点P 的坐标为(2cos α，sin α)， 得P 到直线l 的距离d ＝|2cos α＋sin α－4|2，即d ＝|5sin (α＋φ)－4|2，其中cos φ＝15，sin φ＝25 .当sin(α＋φ)＝－1时，d max ＝22＋102.。