专题复习之坐标系与参数方程

选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：①理解坐标系的作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：①了解参数方程，了解参数的意义. ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、基础知识归纳总结：1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下， 点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ.极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。

极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。

如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

坐标系与参数方程高考知识点 2024数学2024年的高考数学考试中，坐标系与参数方程是一个重要的知识点。

本文将对坐标系和参数方程的概念、性质以及应用进行详细的论述。

一、坐标系的概念与性质坐标系是一种用来确定平面或空间中点位置的方法。

在平面上，常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系；在空间中，常用的坐标系有直角坐标系和球坐标系。

1. 直角坐标系：直角坐标系是平面上最常用的一种坐标系，使用两个数值来确定平面上的点的位置。

我们用横坐标x和纵坐标y来表示一个点的位置，记作P(x, y)。

直角坐标系具有以下性质：- 原点：坐标系的交叉点称为原点，表示为O(0, 0)。

- 坐标轴：直角坐标系由两条相互垂直的直线组成，分别称为x轴和y轴。

- 单位长度：直角坐标系中x轴和y轴的单位长度相等。

2. 极坐标系：极坐标系是另一种表示点位置的方法，它使用距离和角度来确定点的位置。

对于平面上的点P，极坐标系表示为(r, θ)，其中r为点P到原点的距离，θ为点P与正半轴的夹角。

极坐标系具有以下性质：- 极轴：极坐标系有一条特殊的直线称为极轴，通常与x轴重合。

- 极角：极坐标系中，与极轴正向的夹角称为极角，通常用θ表示。

- 极径：点P到原点的距离称为极径，用r表示。

二、参数方程的概念与性质参数方程是用参数的变化规律来确定点的位置的方法。

它通常由一组含有参数的方程组成，通过给参数赋值，可以确定出点的坐标。

在坐标系中，参数方程可以用来表示一条曲线或曲面。

常见的参数方程有平面曲线的参数方程和空间曲线的参数方程。

1. 平面曲线的参数方程：平面曲线的参数方程通常用两个参数t、u来表示。

例如，曲线C可以由参数方程表示为：x = f(t)y = g(t)其中t的取值范围确定了曲线上点的位置。

平面曲线的参数方程具有以下性质：- 曲线上的点的坐标是参数t的函数，参数t的值域决定了曲线的范围。

- 在参数方程中，可以通过改变参数的取值来绘制不同部分的曲线。

高二数学苏教版<理>坐标系与参数方程同步练习（答题时间：40分钟）1. 曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标为（ ）．A. 4)2(22=++y xB. 4)2(22=-+y xC. 4)2(22=+-y xD. 4)2(22=++y x 2. 已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ）．A. 1=ρB.θρcos =C. θρcos 1-=D. θρcos 1=3. 在同一坐标系中，将曲线x y 3sin 2=变为曲线x y sin =的伸缩变换是（ ）⎪⎩⎪⎨⎧==''213)(y y x x A ⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x B 213)('' ⎪⎩⎪⎨⎧==''23)(y y x x C ⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x D 23)(''4. 直线12+=x y 的参数方程是（ ）A. ⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数） B. ⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数）C. ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） D. ⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （θ为参数） 5. 方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=21y t t x （t 为参数）表示的曲线是（ ）． A. 一条直线 B. 两条射线 C. 一条线段 D. 抛物线的一部分6. 参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθ2cos 1sin 22y x （θ为参数）化为普通方程是（ ）．A. 042=+-y xB. 042=-+y xC. 042=+-y x ]3,2[∈xD. 042=-+y x ]3,2[∈x7. 设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ）A. （23，π43） B. （23-，π45） C. （3，π45） D. （－3，π43）8. 在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：02=++kx y 与曲线C ：θρcos 2=相交，则k 的取值范围是（ ）． A. 34k <-B. 43-≥k C. R k ∈ D. R k ∈但0≠k 9. 已知过曲线{()3cos 4sin x y θθπθθ≤≤==为参数，0上一点P 原点O 的直线PO 的倾斜角为4π，则P 点坐标是A. （3，4）B. 1212(,)55--C.（－3，－4）D. 1212(,)5510. 若圆的方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x （θ为参数），直线的方程为⎩⎨⎧-=-=1612t y t x （t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ）．A. 相交过圆心B. 相交而不过圆心C. 相切D. 相离 11. 在极坐标系中，以)2,2(πa 为圆心，2a为半径的圆的方程是 ． 12. 在极坐标中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点，则|AB|＝ ．13. 设直线参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 23322（t 为参数），则它的斜截式方程为 ． 14. 已知直线l 经过点P （1，1），6πα＝倾斜角．（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆422=+y x 相交于两点A 、B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积 15. 在气象台A 正西方向300千米处有一台风中心，它以每小时40千米的速度向东北方向移动，距台风中心250千米以内的地方都要受其影响．问：从现在起，大约多长时间后，气象台A 所在地将遭受台风影响？持续多长时间？（注：41.12,65.27==）14. 解：（1）直线l 的参数方程为)(211231是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=， （2）因为A 、B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数分别为,,21t t 则点A ，B 的坐标分别为)211,231(11t t A ++，)211,231(22t t B ++． 以直线l 的参数方程代入圆的方程422=+y x 整理得到 02)13(2=-++t t ①因为21,t t 是方程①的解，从而.221-=t t 所以，2||)21()23()21()23(||||2122222121==+++=⋅t t t t t t PB PA 15. 解：如图，以气象台为坐标原点，正东方向为x 轴正方向，建立直角坐标系，则现在台风中心B 1的坐标为（－300，0）．根据题意，可知，t 小时后，B 的坐标为（︒+-45cos 40300t ，︒45sin 40t ），即（t 220300+-，t 220），因为以台风中心为圆心，以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响，所以B 在圆上或圆内时，气象台将受台风影响．所以令250||≤AB ，即222250)220()220300(≤++-t t整理得02752120162≤+-t t 解得475215475215+≤≤-t ，61.899.1≤≤t ，故大约2小时后，气象台A 所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小时．yB2B1O A x。

专题：参数方程与坐标系一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构 1.直线的参数方程过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tan α=ab 的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00 (t 不参数)2.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧ϕ+=ϕ+=sin r b y cos r a x (ϕ是参数)(2)椭圆 椭圆2222by ax +=1(a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (ϕ为参数)3.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)4.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=⎩⎨⎧==)0(tan ,sin cos 222x x yyx y x θθθρ ρρ三、知识点、能力点提示考点1：参数方程，参数方程与普通方程的互化1.把下列参数方程化为普通方程：⑴⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x （ϕ为参数）；⑵⎩⎨⎧=-=ty t x 431（t 为参数）解：⑴．∵⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x两边平方相加，得ϕϕ2222sincos1625+=+yx即1162522=+yx⑵．∵⎩⎨⎧=-=ty tx 431∴由4y t =代入t x 31-=，得 431y x ⋅-= ∴0434=-+y x2.在极坐标系()(02ρθθ,≤<π)中,曲线(ρcos θ+sin )1θ=与(ρsin θ-cos )θ=1的交点的极坐标为 .答案:(1)2π,解析:(ρcos θ+sin )1θ=化为直角坐标系下的方程为x+y=1,(ρsin θ-cos )1θ=化为直角坐标系下的方程为y-x=1,故交点满足 11x y y x +=,⎧⎨-=,⎩解之,得x=0,y=1.即 sin 1c o s 0ρθρθ=,⎧⎨=,⎩ ∵02θ≤<π,故12πρθ=,=.3.在极坐标系中,已知圆2ρ=cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切,求实数a 的值.解:将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程为222x y x +=, 即22(1)1x y -+=,直线方程为3x+4y+a=0. 由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为1,即有1=,解得a=-8,或a=2.故a 的值为-8或2.4.极坐标方程25ρ=cos θ化为直角坐标方程为 .解析:由25ρ=cos θ, 得225ρρ=cos θ, 即22225x y x +=, 故22525()416x y -+=.5.在极坐标系中,方程ρsin 4()πθ-=的直角坐标方程为 .解析:ρsin ()4πθρ-=sin θcos 4πρ-cos θsin 4π=22y -=即x-y+2=0.考点2：极坐标的应用 6.极坐标方程分别为4ρ=cos θ和3ρ=-sin θ的两个圆的圆心距为 .答案:52解析:两圆方程分别为222243x y x x y y +=,+=-, 知两圆圆心123(20)(0)2C C ,,,-,∴|12C C |52==. 7.在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4ρ=cos θ于A 、B 两点,则|AB|= .答案:解析:曲线的直角坐标方程是224x y x +=, 直线的直角坐标方程是x=3, 圆心到直线的距离为1, 圆的半径为2, 故直线被圆所截得的弦长为=.8.两直线ρsin ()4πθ+=2 008ρ,sin ()24πθ-= 009的位置关系是 (判断垂直或平行或斜交).答案:垂直 解析:两直线方程可化为x+y=200y x -=200故两直线垂直.9.在极坐标系中,直线l 的方程为ρsin 3θ=,则点(2)6π,到直线l 的距离为 .答案:2 解析:直线l 的极坐标方程为ρsin 3θ=,化为直线方程得y=3;点(2)6π,化为直角坐标即为1),于是点(2)6π,到直线l 的距离为2.10.直线l:ρsin ()42πθ+=与圆rρ=相切,则r 的值是 .答案:2解析:化ρsin ()42πθ+=为直角坐标方程得x+y=1,圆r ρ=化为直角坐标方程得222x yr +=,依题意得圆心(0,0)到直线的距离为2d r ===得2r =.四、高考真题1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2y ＝t －1(t 为参数)的普通方程为________．解析：由y ＝t －1得t ＝y ＋1代入x ＝3t ＋2. 得x ＝3y ＋5，即x －3y －5＝0. 答案：x －3y －5＝02．(2012年高考江西卷)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．解析：利用公式法转化求解．直角坐标方程x 2＋y 2－2x ＝0可化为x 2＋y 2＝2x ，将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.答案：ρ＝2cos θ3．(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 上，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． 解析：化参数方程为普通方程然后解方程组求解．C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ≥0，y ≥0，x 2＋y 2＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴C 1与C 2的交点坐标为(1，1)． 答案：(1，1)4．(2012年高考陕西卷)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为______． 解析：利用极坐标方程与直角坐标方程的互化求解．直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12；圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x . 将x ＝12代入x 2＋y 2＝2x 得y 2＝34，∴y ＝±32.∴弦长为2×32＝ 3.答案： 35．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t y ＝t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆C 的圆心到直线l 的距离为________．解析：将直线l 的参数方程化为普通方程得x －y ＝0，将ρ＝2cos θ的两边同乘以ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程得x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.易知圆C 的圆心坐标为(1，0)，故圆心到直线l 的距离为|1－0|2＝22.答案：226．(2012年高考北京卷)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．解析：将参数方程化为普通方程求解．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0，0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点． 答案：27．(2012年高考湖南卷)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________．解析：将极坐标方程化为普通方程求解．ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将(22，0)代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22. 答案：228．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为(3，π3)，(4，π4)，则△AOB (其中O 为极点)的面积为________．解析：如图S △AOB ＝12×3×4×sin (π3－π6)＝3. 答案：39．(2012年高考安徽卷)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R)的距离是________．解析：将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解．极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，其圆心为(0，2)，直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y ＝33x ，即3x －3y ＝0. ∴圆心(0，2)到直线 3x －3y ＝0的距离为|0－3×2|3＋9＝ 3. 答案： 3专题：参数方程与坐标系一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构 1.直线的参数方程过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tan α=a b的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00 (t 不参数)2.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧ϕ+=ϕ+=sin r b y cos r a x (ϕ是参数)(2)椭圆 椭圆2222by ax +=1(a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (ϕ为参数)3.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)4.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=⎩⎨⎧==)0(tan ,sin cos 222x x yyx y x θθθρ ρρ 三、知识点、能力点提示考点1：参数方程，参数方程与普通方程的互化1.把下列参数方程化为普通方程：⑴⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x （ϕ为参数）； ⑵⎩⎨⎧=-=t y t x 431（t 为参数）2.在极坐标系()(02ρθθ,≤<π)中,曲线(ρcos θ+sin )1θ=与(ρsin θ-cos )θ=1的交点的极坐标为 .3.在极坐标系中,已知圆2ρ=cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切,求实数a 的值.4.极坐标方程25ρ=cos θ化为直角坐标方程为 .5.在极坐标系中,方程ρsin 4()πθ-=的直角坐标方程为 .考点2：极坐标的应用6.极坐标方程分别为4ρ=cos θ和3ρ=-sin θ的两个圆的圆心距为 .7.在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4ρ=cos θ于A 、B 两点,则|AB|= .8.两直线ρsin ()4πθ+=2 008ρ,sin ()24πθ-= 009的位置关系是 (判断垂直或平行或斜交).9.在极坐标系中,直线l 的方程为ρsin 3θ=,则点(2)6π,到直线l 的距离为 .10.直线l:ρsin ()42πθ+=r ρ=相切,则r 的值是 .四、高考真题1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2y ＝t －1(t 为参数)的普通方程为________．2．(2012年高考江西卷)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．3．(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 上，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．4．(2012年高考陕西卷)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为______．5．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t y ＝t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆C 的圆心到直线l 的距离为________．6．(2012年高考北京卷)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．7．(2012年高考湖南卷)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________．8．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为(3，π3)，(4，π4)，则△AOB (其中O 为极点)的面积为________．9．(2012年高考安徽卷)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R)的距离是________．专题：参数方程与坐标系答案考点1：参数方程，参数方程与普通方程的互化 1.解：⑴．∵⎩⎨⎧==ϕϕs i n 4c o s 5y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x两边平方相加，得ϕϕ2222s i n c o s 1625+=+yx即1162522=+yx⑵．∵⎩⎨⎧=-=ty tx 431∴由4y t =代入t x 31-=，得 431y x ⋅-= ∴0434=-+y x2.答案:(1)2π,解析:(ρcos θ+sin )1θ=化为直角坐标系下的方程为x+y=1,(ρsin θ-cos )1θ=化为直角坐标系下的方程为y-x=1,故交点满足 11x y y x +=,⎧⎨-=,⎩ 解之,得x=0,y=1.即 sin 1c o s 0ρθρθ=,⎧⎨=,⎩ ∵02θ≤<π,故12πρθ=,=.3.解:将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程为222x y x +=, 即22(1)1x y -+=,直线方程为3x+4y+a=0. 由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为1,即有1=,解得a=-8,或a=2.故a 的值为-8或2.4.解析:由25ρ=cos θ, 得225ρρ=cos θ, 即22225x y x +=, 故22525()416x y -+=.5.解析:ρsin ()4πθρ-=sin θcos 4πρ-cos θsin 4π=22y -=即x-y+2=0.考点2：极坐标的应用 6.答案:52解析:两圆方程分别为222243x y x x y y +=,+=-, 知两圆圆心123(20)(0)2C C ,,,-,∴|12C C|52==. 7.答案:解析:曲线的直角坐标方程是224x y x +=, 直线的直角坐标方程是x=3, 圆心到直线的距离为1, 圆的半径为2, 故直线被圆所截得的弦长为=.8.答案:垂直 解析:两直线方程可化为x+y=200y x -=200故两直线垂直.9.答案:2 解析:直线l 的极坐标方程为ρsin 3θ=,化为直线方程得y=3;点(2)6π,化为直角坐标即为1),于是点(2)6π,到直线l 的距离为2.10.答案2 解析:化ρsin ()42πθ+=为直角坐标方程得x+y=1,圆r ρ=化为直角坐标方程得222x yr +=,依题意得圆心(0,0)到直线的距离为2d r ===得2r =. 四、高考真题1．解析：由y ＝t －1得t ＝y ＋1代入x ＝3t ＋2. 得x ＝3y ＋5，即x －3y －5＝0. 答案：x －3y －5＝02．解析：利用公式法转化求解．直角坐标方程x 2＋y 2－2x ＝0可化为x 2＋y 2＝2x ，将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.答案：ρ＝2cos θ3．解析：化参数方程为普通方程然后解方程组求解． C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ≥0，y ≥0，x 2＋y 2＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴C 1与C 2的交点坐标为(1，1)． 答案：(1，1)4．解析：利用极坐标方程与直角坐标方程的互化求解．直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12；圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x . 将x ＝12代入x 2＋y 2＝2x 得y 2＝34，∴y ＝±32.∴弦长为2×32＝ 3.答案： 35．解析：将直线l 的参数方程化为普通方程得x －y ＝0，将ρ＝2cos θ的两边同乘以ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程得x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.易知圆C 的圆心坐标为(1，0)，故圆心到直线l 的距离为|1－0|2＝22.答案：226．解析：将参数方程化为普通方程求解．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0； 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0，0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点． 答案：27．解析：将极坐标方程化为普通方程求解．ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将(22，0)代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22. 答案：228．解析：如图S △AOB ＝12×3×4×sin (π3－π6)＝3. 答案：39．解析：将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解．极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，其圆心为(0，2)，直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y ＝33x ，即3x －3y ＝0. ∴圆心(0，2)到直线 3x －3y ＝0的距离为|0－3×2|3＋9＝ 3. 答案：3。

坐标系与参数方程 知识点(一)坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩ 的作用下,点(,)P x y 对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=. 5.圆与直线一般极坐标方程（1）圆的极坐标方程若圆的圆心为 00(,)M ρθ，半径为r ，求圆的极坐标方程。

坐标系与参数方程_知识点总结一、坐标系1.直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系，在平面上由两个垂直的坐标轴组成，分别为x轴和y轴。

一个点在直角坐标系中的位置可以用坐标(x,y)来表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。

2.极坐标系3.球坐标系球坐标系是一种用于描述空间点位置的坐标系统，它由径向距离、极角和方位角组成。

一个点的位置可以用有序数组(r,θ,φ)来表示，其中r为点到原点的距离，θ为点与一些固定轴的夹角，φ为点的方位角。

二、参数方程1.一维参数方程一维参数方程是指由一个参数确定的直线或曲线的方程。

例如，一个点在直线上的一维参数方程可以表示为x=f(t)，其中x为点在直线上的位置，t为参数，f(t)为关于参数t的函数。

2.二维参数方程二维参数方程是指由两个参数确定的平面曲线的方程。

一个点在平面上的位置可以表示为(x(t),y(t))，其中x(t)和y(t)分别为关于参数t的函数。

二维参数方程常用于描述曲线、圆、椭圆等几何图形。

3.三维参数方程三维参数方程是指由三个参数确定的空间曲线的方程。

一个点在空间中的位置可以表示为(x(t),y(t),z(t))，其中x(t)、y(t)和z(t)分别为关于参数t的函数。

三维参数方程常用于描述空间曲线、曲面等几何图形。

三、坐标系与参数方程的关系坐标系和参数方程之间存在着密切的关系。

在直角坐标系中，一个函数的参数方程可以通过将x和y用参数表示来得到，即将x=f(t)和y=g(t)的参数方程转化为直角坐标系中的函数y=f(x)的形式。

反之，一个函数的直角坐标系方程也可以通过将x和y用参数表示来得到参数方程。

参数方程在极坐标系和球坐标系中也可以通过类似的方式转化。

总结：坐标系是描述点的位置的系统，常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和球坐标系。

参数方程是用参数表示的函数方程，常用于描述直线、曲线、曲面等几何图形。

坐标系和参数方程之间存在密切的关系，可以通过转化将一个方程从坐标系表示转化为参数方程，反之亦然。

完整版坐标系与参数方程知识点一、坐标系的概念坐标系是为了方便描述平面或空间中点的位置而引入的一种系统。

常见的坐标系包括直角坐标系、极坐标系和参数方程坐标系。

二、直角坐标系直角坐标系是最常见的一种坐标系。

在二维空间中，直角坐标系由两个相互垂直的坐标轴构成，分别是x轴和y轴。

点在直角坐标系中的位置可以用有序数对(x,y)表示，分别代表点在x轴和y轴上的距离。

三、极坐标系极坐标系是一种以原点为中心，以角度和半径表示点的位置的坐标系。

在极坐标系中，点的位置由有序数对(r,θ)表示，其中r代表点到原点的距离，θ代表与正x轴的夹角。

四、参数方程与轨迹参数方程是一种用参数来表示曲线上的点的坐标的方法。

一般形式的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，其中t是参数，f(t)和g(t)是定义在参数域上的函数。

通过改变参数t的取值范围，可以获得曲线上的一系列点，从而绘制出整条曲线。

五、参数方程与直角坐标系的转换将直角坐标系的点(x,y)转换为参数方程的形式，可以使用以下步骤：1.将x和y分别表示为t的函数：x=f(t)，y=g(t)。

2.给定t的取值范围，求出对应的x和y的取值。

将参数方程的点(x,y)转换为直角坐标系的形式，可以使用以下步骤：1.通过解参数方程的两个方程，消去t，得到一个方程只包含x和y。

2.求解得到与x和y的关系式。

六、参数方程的性质参数方程可以表示各种各样的曲线，具有以下性质：1.参数方程可以用来表示直线、圆、椭圆、双曲线等曲线。

2.参数方程可以描述曲线的形状、方向、起点和终点等信息。

3.参数方程可以通过调整参数的取值范围来绘制出曲线的其中一部分或整条曲线。

七、应用场景参数方程在数学和物理学中有广泛的应用，例如：1.研究物体的运动轨迹，包括抛体运动、行星运动等。

2.描述动态系统的变化过程，如混沌系统、非线性振动等。

3.研究曲线的特殊性质，如曲率、曲线的长度等。

八、参数方程的解析与图像通过解析参数方程，可以得到曲线的方程，从而进一步研究曲线的性质。

专题18坐标系与参数方程考向一极坐标与参数方程【母题来源】2022年高考浙江卷【母题题文】在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为26t x y +⎧=⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），曲线2C的参数方程为26s x y +⎧=-⎪⎨⎪=⎩（s 为参数）．（1）写出1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为2cos sin 0θθ-=，求3C 与1C 交点的直角坐标，及3C 与2C 交点的直角坐标．【试题解析】【小问1详解】因为26t x +=，y =，所以226y x +=，即1C 的普通方程为()2620y x y =-≥．【小问2详解】因为2,6sx y +=-=，所以262x y =--，即2C 的普通方程为()2620y x y =--≤，由2cos sin 02cos sin 0θθρθρθ-=⇒-=，即3C 的普通方程为20x y -=．联立()262020y x y x y ⎧=-≥⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或12x y =⎧⎨=⎩，即交点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,2；联立()262020y x y x y ⎧=--≤⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩，即交点坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()1,2--．【命题意图】本题考查极坐标、参数方程与直角坐标的互化，属于较为简单题目．【命题方向】这类试题在考查题型上以解答题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）极坐标与直角坐标互化；（2）参数方程与直角坐标互化；（3）直线参数方程中参数的几何意义.【得分要点】(1)运用极坐标，借助极径的几何意义；(2)参数方程与直角方程的互化，借助直线的参数的几何意义；1．（2022·四川成都·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t为参数，α为常数且2πα≠），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为：22sin 40ρρθ--=．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)点(1,1)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若2PA PB =，求直线l 的斜率．2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，1C 的圆心为()11,1C点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，2C的极坐标方程为ρθ=．(1)求1C 的极坐标方程，判断1C ，C 的位置关系；(2)求经过曲线1C ，2C 交点的直线的斜率．3．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l的参数方程为：2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 8ρρθ=+．(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且AB =，求直线l 的倾斜角．4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.曲线2C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程；(2)若曲线1C ，2C 的交点为A ，B，已知)1P-，求PA PB ⋅.5．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（其中α为直线的倾斜角，t 为参数），在以为O 极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0.ρθθ-=(1)当直线l 的斜率k =2时，求曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 间的最小距离；(2)如果直线l 与曲线C 有两个不同交点，求直线l 的斜率k 的取值范围.6．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=．(1)求C 的参数方程；(2)判断l 与C 的位置关系．7．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ+-=.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，且点(0,2)M ，求11||||MP MQ +的值.8．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度），曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C的参数方程为2222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），曲线1C ，2C 相交于A 、B 两点，曲线3C 经过伸缩变换22x x y y ='+='⎧⎨⎩后得到曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程和线段AB 的长度；(2)设点P 是曲线3C 上的一个动点，求PAB △的面积的最小值．9．（2022·全国·模拟预测（理））在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程是11cos221sin2xyϕϕ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（ϕ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为1()ρθρ=∈R．(1)求曲线1C和曲线2C除极点外的交点的极坐标(02π)θ≤<；(2)若A，B分别为曲线1C和2C上的异于极点O的两点，且OA OB⊥，求OAB面积的最大值．10．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系Ox中，曲边三角形OPQ为勒洛三角形，且π2,6P⎛⎫-⎪⎝⎭，π2,6Q⎛⎫⎪⎝⎭，以极点O为直角坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，曲线1C的参数方程为2112x ty t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t为参数）．(1)求 PQ的极坐标方程和OQ所在圆2C的直角坐标方程；(2)已知点M的直角坐标为()0,1-，曲线1C和圆2C相交于A，B两点，求11||||MA MB-．1．（2022·四川成都·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为常数且2πα≠），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为：22sin 40ρρθ--=．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)点(1,1)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若2PA PB =，求直线l 的斜率．【答案】(1)tan (1)1y x α=⋅-+；22240x y y +--=(2)±1【解析】【分析】（1）消参可以把参数方程转化为普通方程，根据极坐标和直角坐标的转化，可将极坐标方程化成直角坐标方程.（2）根据直线的标准参数方程的几何意义以及韦达定理即可求解2cos 2α=±，进而可求tan α.(1)1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩()tan 11y x α⇒=⋅-+，2222sin 40240x y y ρρθ--=⇒+--=；(2)将1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入22240x y y +--=得22cos 40t t α+-=，12122cos 4t t t t α+=-⎧⎨=-⎩，因为点P 在圆内，故,A B 在点P 两侧，由题意知，122t t =-，因此122152t t t t +=-，即21212()12t t t t +=-，故2(2cos )142α-=--，解得2cos 2α=，进而tan 1k α==±因此斜率为±1．2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，1C 的圆心为()11,1C ，半径为2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，2C 的极坐标方程为2ρθ=．(1)求1C 的极坐标方程，判断1C ，2C 的位置关系；(2)求经过曲线1C ，2C 交点的直线的斜率．【答案】(1)2cos 2sin r q q =+，1C ，2C 相交21【解析】【分析】（1）先求解1C 的标准方程，再根据直角坐标与极坐标的转换求解1C 的极坐标方程，再根据2C 的直角坐标方程，分析1C ，2C 圆心之间的距离与半径之和差的关系判断即可；（2）根据1C ，2C 均过极点，联立极坐标方程，求解tan θ即可(1)由题意，1C 的标准方程为()()22112x y -+-=，即22220x y x y +--=，故1C 的极坐标方程为22cos 2sin =+ρρθρθ，即2cos 2sin r q q =+，又，2C 的极坐标方程为222cos ρθ=，即2222x y +=，(2222x y +=.因为()()22122110422C C -+-=-1C ，2C 半径相等，半径和为22124224222C C =-=<1C ，2C 相交.故1C 的极坐标方程2cos 2sin r q q =+，1C ，2C 相交.(2)由（1）1C ：2cos 2sin r q q =+，2C ：22ρθ=均经过极点且相交，联立2cos 2sin 22ρθθρθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩有2cos 2sin 22θθθ+=，显然cos 0θ≠，故22tan 22θ+=，即tan 21θ=，即经过曲线1C ，2C 213．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为：2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 8ρρθ=+．(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且42AB =，求直线l 的倾斜角．【答案】(1)当π2α=时，直线l 的普通方程为2x =；当π2α≠时，直线l 的普通方程为()3tan 2y x α=-；22280x y x +--=(2)π6或π2【解析】【分析】（1）因为直线l 的参数方程为2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），讨论π2α=和π2α≠时，消去参数t ，即可求出直线l 的普通方程，因为222x y ρ=+，cos x ρθ=即可求出曲线C 的直角坐标方程.（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程整理，()2232cos 50t t αα++-=．因为0∆>，可设该方程的两个根为2,l t t ，所以()2121224l AB t t t t t t =-=+-线l 的倾斜角.(1)因为直线l 的参数方程为2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），当π2α=时，直线l 的普通方程为2x =．当π2α≠时，直线l 的普通方程为()3tan 2y x α=-．因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，因为22cos 8ρρθ=+，所以2228x y x +=+．所以C 的直角坐标方程为22280x y x +--=．(2)曲线C 的直角坐标方程为22280x y x +--=，将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程整理，得()2232cos 50t t αα++-=．因为()2232cos 200αα∆=++>，可设该方程的两个根为2,l t t ，则()2232cos l t t αα+=-+，25l t t =-．所以()2121224l AB t t t t t t =-=+-()2[23sin 2cos ]2042αα=-++=整理得()23cos 3αα+=，故π2sin 36α⎛⎫+=± ⎪⎝⎭因为0πα≤<，所以ππ63α+=或π2π63α+=，解得或π6α=或π2α=，综上所述，直线l 的倾斜角为π6或π2．4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为3x ty t ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.曲线2C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程；(2)若曲线1C ，2C 的交点为A ，B ，已知)3,1P-，求PA PB ⋅.【答案】(1)1:C πsin 06ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（或5π6θ=，R ρ∈），2:C ρ＝4.(2)12【解析】【分析】（1）利用消参法进行化简曲线方程，然后通过公式将曲线的普通方程转化成极坐标方程；（2）利用直线的极坐标方程，结合参数的几何意义，联立曲线普通方程进行计算即可.(1)由曲线13:x tC y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得30x =，化成极坐标方程得cos 3sin 0ρθρθ=.化简极坐标方程为πsin 06ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（或5π6θ=，R ρ∈）.曲线24cos :4sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数θ得2216x y +=.化简极坐标方程为ρ＝4.(2)由已知得P 在曲线1C 上，将曲线1C 化为标准参数方程332112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入2C 的直角坐标方程2216x y +=，得2231311622t ⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，即24120t t --=，即A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，所以121212PA PB t t t t ⋅===.5．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（其中α为直线的倾斜角，t 为参数），在以为O 极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0.ρθθ-=(1)当直线l 的斜率k =2时，求曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 间的最小距离；(2)如果直线l 与曲线C 有两个不同交点，求直线l 的斜率k 的取值范围.【答案】52(2)5151(,0))22⋃【解析】【分析】（1）利用极坐标与平面直角坐标互化公式得到曲线C 的平面直角坐标方程为24y x =，设出曲线上点()2,A s s ±，求出直线方程230x y -+=，利用点到直线距离公式，得到曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 间的最小距离；（2）直线l 的普通方程为：()11y k x -=+，与曲线C ：24y x =联立消去x 后用根的判别式得到不等式，求出斜率k 的取值范围.(1)2sin 4cos 0ρθθ-=两边同乘以ρ得：22sin 4cos 0ρθ-ρθ=，所以曲线C 的平面直角坐标方程为24y x =，设曲线上的一点坐标为()2,2A s s ±，当直线l 的斜率k =2时，直线方程为()121y x -=+，即230x y -+=，则A 点到直线距离为2215222223415s s s d ⎛⎫±+⎪±+⎝⎭==+当12s =±时，d 52，故曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 52；(2)直线l 的普通方程为：()()110y k x k -=+≠，与曲线C ：24y x =联立得：24440y y k k-++=，由0∆>得：1152k +>1152k -解得：5151()22k ---∈⋃6．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=．(1)求C 的参数方程；(2)判断l 与C 的位置关系．【答案】(1)cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）(2)直线l 与圆C 相切.【解析】【分析】（1）先将圆C 的极坐标方程转化为直角坐标方程，求出圆心及半径，再转化为参数方程即可；（2）将直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离判断直线l 与圆C 的位置关系即可.(1)解：因为圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则22sin ρρθ=，则其直角坐标方程为222x y y +=，即22(1)1y x +-=，圆心为(0,1)，半径为1,则圆C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）.(2)解：因为直线l 的极坐标方程为2cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos cos sin sin 3066ππρθθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭3cos sin 30ρθρθ+-=，所以直线l 330x y +-=，由（1）得圆C 的直角坐标方程为22(1)1y x +-=，圆心为(0,1)，半径为1,则圆心(0,1)到直线l 22301131(3)1⨯+⨯-=+，故直线l 与圆C 相切.7．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ+-=.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，且点(0,2)M ，求11||||MP MQ +的值.【答案】(1)曲线2:2C y x =；直线:20+-=l x y (2)344【解析】【分析】（1）消去参数t 即可得C 的普通方程，并用极坐标与直角坐标互化即可得直线的普通方程；（2）写出直线l 参数方程的标准形式，再与C 的普通方程联立，借助参数的几何意义得解.(1)曲线C 的参数方程为2,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），转化为直角坐标方程为22y x =，可得22y x =；直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ+-=，转化为直角坐标方程为20x y +-=；(2)把直线l 的方程换成参数方程，得2,2222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入22y x =.得22202t t --=，∴12122,22t t t t +==-，显然12,t t 异号.由22111211||,||22MP t t t MQ t =+==，∴()212121212121212121841111342||||24t t t t t t t t MP MQ t t t t t t t t ++-+-+=+=====.8．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度），曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为222222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），曲线1C ，2C 相交于A 、B 两点，曲线3C 经过伸缩变换22x x y y ='+='⎧⎨⎩后得到曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程和线段AB 的长度；(2)设点P 是曲线3C 上的一个动点，求PAB △的面积的最小值．【答案】(1)22(2)4x y -+=，22AB =(2)45【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出1C 的普通方程，求出2C 的普通方程，然后求出圆心到直线的距离，再由圆心距，弦和半径的关系可求出AB 的长度，（2）由伸缩变换可求出曲线3C 的方程为2214xy +=，设点()2cos ,sin P ϕϕ，求出点P 到直线AB 的距离，化简后利用三角函数的性质可求出其最小值，从而可求出PAB △的面积的最小值(1)由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，又222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以22(2)4x y -+=．由22222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），消去参数得4x y -=，1C 的圆心为(2,0)，半径为2，则圆心到直线4x y -=的距离为2422d -==，所以()2222222AB =-=(2)曲线3C 经过伸缩变换22x x y y ='+='⎧⎨⎩后得到曲线1C ，则()()222224+-+=x y ，即曲线3C 的方程为2214x y +=，设点()2cos ,sin P ϕϕ，则点P 到直线AB 的距离为2555cos sin 4552cos sin 422d ϕϕϕϕ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭==()5sin 4522αϕ--==25sin 5α=，5cos 5α=），故当()sin 1αϕ-=时，d 取得最小值，且min 52d =，因此，当点P 到直线AB 的距离最小时，PAB △的面积也最小，所以PAB △的面积的最小值为min 1152245222AB d ⋅⋅=⨯=．9．（2022·全国·模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是11cos 221sin 2x y ϕϕ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（ϕ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为13sin ()ρθρ=+∈R ．(1)求曲线1C 和曲线2C 除极点外的交点的极坐标(02π)θ≤<；(2)若A ，B 分别为曲线1C 和2C 上的异于极点O 的两点，且OA OB ⊥，求OAB 面积的最大值．【答案】(1)()1,0，14π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭31【解析】【分析】（1）求出曲线1C 的普通方程，进而求出极坐标方程，与2C 的极坐标方程联立，求出曲线1C 和曲线2C 除极点外的交点的极坐标；（2）设出,A B 两点的极坐标方程，表达出OAB 的面积，利用三角函数的有界性求出最大值.(1)曲线1C 的普通方程为221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化为极坐标方程为：()2211cos sin 24ρθρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化简得到：cos ρθ=，与13sin ()ρθρ=+∈R 联立，得：cos 13θθ=，即π1cos 32θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为02πθ≤<，所以ππ7π333θ≤+<，所以π5π33θ+=，或ππ33θ+=，解得：14π3θ=或20θ=，当4π3θ=时，此时4π1cos 32ρ==-，当0θ=时，此时cos01ρ==所以曲线1C 和曲线2C 除极点外的交点的极坐标为()1,0与14π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)因为OA OB ⊥，①设()ππcos ,,13,22A B αααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2πcos 13cos 133cos 2OAB S αααααα⎛⎫⎛⎫=⋅+=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2333cos 612α=⎭因为[]cos 1,1α∈-，所以当cos 1α=时，OAB 31+；②设()ππcos ,,13,22A B αααα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2πcos 13cos 133cos 2OAB S αααααα⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2333cos 612α⎫=-+⎪⎪⎭，因为[]cos 1,1α∈-，所以当3cos 6α=时，OAB 面积取得最大值，最大值为312；33112>OAB 31.10．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系Ox 中，曲边三角形OPQ 为勒洛三角形，且π2,6P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，π2,6Q ⎛⎫⎪⎝⎭，以极点O 为直角坐标原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，曲线1C 的参数方程为32112x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．(1)求 PQ的极坐标方程和 OQ 所在圆2C 的直角坐标方程；(2)已知点M 的直角坐标为()0,1-，曲线1C 和圆2C 相交于A ，B 两点，求11||||MA MB -．【答案】(1)ππ2,,66ρθ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭；222:(3)(1)4++=C x y (2)3【解析】【分析】（1）由已知，可根据题意直接写出 PQ 的极坐标方程，并标注范围，然后求解出点P 的直角坐标，写出 OQ所在圆的直角坐标方程即可；（2）由已知，设A ，B 对应的参数分别为12,t t ，将曲线1C 的参数方程带入圆2C ，并根据根与系数关系，求解11||||MA MB -即可.(1)因为π2,6P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，π2,6Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以 PQ 的极坐标方程：ππ2,,66ρθ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，因为点P 的直角坐标是(3,1)-，所以 OQ所在圆的直角坐标方程为222:(3)(1)4++=C x y ．（注： PQ的极坐标方程不标明θ的取值范围或写错扣1分）(2)设A ，B 对应的参数分别为12,t t ，将32112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22(3)(1)4x y ++=得：2310,0--=∆>t t 所以12123,1+==-t t t t 因为120t t <，由t 的几何意义得：121212121111113||||+-=-=+==t tMA MB t t t t t t。

1．曲线的极坐标方程．(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox称为极轴．(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．明显，每一个有序实数对(ρ，θ)，确定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区分在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，假如平面曲线C上的随意一点的极坐标满意方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．直线的极坐标方程．(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下图所示．(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示．3．圆的极坐标方程．(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示．(3)圆心在过极点且与极轴成π2的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为ρ2rsin_θ，如图3所示．4．极坐标与直角坐标的互化．若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内随意一点M 的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x ，y)的公式如下：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或者ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，其中要结合点所在的象限确定角θ的值．1．曲线的参数方程的定义．在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)， 其中参数t 是以定点P(x 0，y 0)为起点，点M(x ，y)为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．依据t 的几何意义，有以下结论：①设A ，B 是直线上随意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则|AB|＝|t B －t A |＝（t B ＋t A ）2－4t A ·t B ；②线段AB 的中点所对应的参数值等于t A ＋t B2.(2)中心在P(x 0，y 0)，半径等于r 的圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数) (3)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos θ，y ＝asin θ. 中心在点P(x 0，y 0)，焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋acos α，y ＝y 0＋bsin α(α为参数)．(4)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asec θ，y ＝btan θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝btan θ，y ＝asec θ. (5)顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上的抛物线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p(t 为参数，p>0)． 注：sec θ＝1cos θ.3．参数方程化为一般方程．由参数方程化为一般方程就是要消去参数，消参数时经常采纳代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要留意参数的取值范围对x ，y 的限制．1．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，则点A 的直角坐标是(2，－23)．2．把点P 的直角坐标(6，－2)化为极坐标，结果为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－π6．3．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4．4．以极坐标系中的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6．5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为3．解析：由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，得y ＝x －a.由椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，得x 29＝y24＝1.所以椭圆C 的右顶点为(3，0)．因为直线l 过椭圆的右顶点，所以0＝3－a ，即a ＝3.一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3 2．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是(B )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l 被圆C 截得的弦长为(D )A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x －y －4＝0，x 2＋y 2＝4x ，所以圆心C(2，0)，半径r ＝2，圆心(2，0)到直线l 的距离d ＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为2 2.4．已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是(A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．过圆心解析：动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，即圆心(2，1)在直线l 上，又圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ的一般方程为x 2＋y 2＝9且22＋12<9，故点(2，1)在圆O 内，则直线l 与圆O 的位置关系是相交．二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为ρ2＋4ρsin_θ＋3＝0．解析：在平面直角坐标系xOy 中，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝sin θ，x ＝cos θ.依据sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得x 2＋(y ＋2)2＝1，即x 2＋y 2＋4y ＋3＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ2＋4ρsin θ＋3＝0.6．在平面直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2．三、解答题7．求极点到直线2ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(ρ∈R)的距离．解析：由2ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4⇒ρsin θ＋ρcos θ＝1⇒x ＋y ＝1，故d ＝|0＋0－1|12＋12＝22. 8．极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求|AB|的最小值．9．(2015·大连模拟)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，将曲线C 1上全部点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C 2.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6.(1)求曲线C 2和直线l 的一般方程；(2)P 为曲线C 2上随意一点，求点P 到直线l 的距离的最值．解析：(1)由题意可得C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，即C 2：x 24＋y23＝1，直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6化为直角坐标方程为x －2y －6＝0.(2)设点P(2cos θ，3sin θ)，由点到直线的距离公式得点P 到直线l 的距离为 d ＝|2cos θ－23sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π65＝55⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6. 所以255≤d ≤25，故点P 到直线l 的距离的最大值为25，最小值为255.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程．(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值．解析：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，得一般方程为(x －1)2＋(y －2)2＝16，即x 2＋y 2－2x －4y ＝11＝0.直线l 经过定点P(3，5)，倾斜角为π3，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 是参数)．(2)将直线的参数方程代入x 2＋y 2－2x －4y －11＝0，整理，得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－3，因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，所以|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝3.。

高中数学坐标系与参数方程复习专题（三）知识梳理补充双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一个参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝asecφy ＝btanφ(φ为参数)，φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2； 抛物线y2＝2px(p>0)的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt2y ＝2pt (t 为参数)．1．半径为a ，圆心坐标为C(a,0)(a ＞0)的圆的极坐标方程为____________ .2.（2009年广州一模）在极坐标系中，直线ρsin(θ+π/4)=2被圆ρ=4截得的弦长为________3.已知圆x 2＋y 2＝16在点P (2,23)处的切线为l ，把x 2＋y 2＝16向x 轴进行压缩，使图象上每一个点的纵坐标缩短为原来的14，得到曲线C . (1)求切线l 的方程； (2)判断l 与曲线C 的位置关系．4.[2009·盐城模拟] 若两条曲线的极坐标方程分别为ρ＝1与ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，它们相交于A ，B两点，求线段AB 的长．5.如右图所示，在△ABC 中，底边BC ＝10，∠A ＝12∠B ，以B 点为极点，BC 为极轴，顶点A 的轨迹的极坐标方程为________．6.[2009·福建卷] 已知直线L ：3x ＋4y －12＝0与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cosθ，y ＝2＋2si nθ(θ为参数)．试判断他们的公共点个数．7.已知直线L 过点P(3,2)，且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值为最小时直线L 的方程．【思路】可设直线的倾斜角为α，利用直线的参数方程求解，进而转化为三角函数的问题来解．8.[2008·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求S ＝x ＋y 的最大值．规律总结1．参数方程化为普通方程即为解方程组，常用代入法、加减消元法、三角恒等式消元法等，但要注意保持同解变形．2．求曲线参数方程的一般步骤：①画图，设点；②选参数；③建方程，关键是选取适当的参数．选参数时，一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定．选取的参数不同，其方程是不一样的．参数可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．3．应用直线参数方程时，需先判断是否为标准形式，再考虑参数t的几何意义.其参数t的几何意义是： |t|表示参数t对应的点M到点M0的距离．当与e同向时，t取正数；当与e反向时，t取负数(直线L的方向向量是e＝(cosα，sinα))．直线参数方程的标准形式主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的距离问题，它可以避免求交点时解方程的繁琐运算，简化运算量．4．圆锥曲线的参数方程的应用主要在于通过参数可以简明地表示曲线上任意点的坐标，将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解最值、参数范围等问题．。

专题一、坐标系与参数方程知识点：1、直角坐标),(y x 与极坐标),(θρ互化的依据⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=x yy x θρtan 222 2、参数方程（1）直线的：.,)(sin cos 0000是倾斜角）是直线上的点，，其中（是参数αααy x t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+= （2）圆的：.,)(sin cos 是半径）是圆心，，其中（是参数r b a r b y r a x θθθ⎩⎨⎧+=+=（3）椭圆的：).(sin cos 是参数θθθ⎩⎨⎧==b y a x说明：三种方程的特征直角坐标方程体现的是的关系与y x ；参数方程是把y x 与分开写；极坐标方程体现的关系与θρ. 3、对直线参数方程的考查（1）求弦长：若直线与曲线交于21221214)(t t t t t t AB B A ⋅-+=-=两点，则、 （2）直线l 与曲线交于21t t PB PA P B A ⋅=⋅在直线上，则两点，点、说明：用以上结论时都需先把直线的参数方程带入曲线的普通方程后，整理成关于t 的二次方程后，便可得act t a b t t =⋅-=+2121;专题训练：1．在极坐标系中，曲线C ：ρsin 2θ＝2cos θ，过点A (5，α)（α为锐角且tan α＝ 34作平行于θ＝ π4（ρ∈R ）的直线l ，且l 与曲线C 分别交于A ，B 两点．（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线C 和直线l 的普通方程； （2）求|AB |的长．2.已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立直角坐标系,直线l的参数方程为x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 是参数). (Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程,将直线l 的参数方程化为普通方程;(Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且||AB =试求实数m 值.3.已知在直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ⎧⎨⎩＝＝（θ为参数），直线l 经过定点P （2，3），倾斜角为3π．（Ⅰ）写出直线l 的参数方程和圆的标准方程；（Ⅱ）设直线l 与圆相交于A ，B 两点，求｜PA ｜·｜PB ｜的值．4．已知曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，曲线1C 、2C 相交于点,A B ．（1）将曲线1C 、2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求弦AB 的长．()()()().3,.2;.13cos 4213235.5的范围上，求在圆若点的位置关系与圆判断直线的极坐标方程，圆半轴为极轴建立坐标系轴的正，以坐标原点为极点，为参数的参数方程为已知直线y x C y x P C l C x t t y t x l +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=πθρ6.在直角坐标系xoy 中，以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆1C ,直线2C的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. (I)求1C 与2C 交点的极坐标;(II)设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为()3312x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数,求,a b 的值.7．已知直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝1＋2t(t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin(θ＋π4)．(1)将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断直线l 和圆C 的位置关系．8.已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. (Ⅰ)把1C 的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求1C 与2C 交点的极坐标(0,02ρθπ≥≤<).9.已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2,以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角 坐标系,(I)写出直线l 与曲线C 的直角坐标系下的方程; (II)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='=',2,y y x x 得到曲线C '设曲线C '上任一点为M(x,y),求10.在平面直角坐标系xOy 中,曲线1:221=+y x C ,以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线ρθθ8sin 2cos 3:-=-l .(1)将曲线C 1上的所有点的横坐标,纵坐标分别伸长为原来的2倍,3倍后得到曲线C 2，(1)试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程; (2)求C 2上一点P 的l 的距离的最大值.11．在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线1C : 122=+y x ,在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线l 的极坐标方程为6)sin cos 2(=-θθρ.(I)将曲线1C 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的3倍、2倍后得到曲线2C ,试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程;(II)在曲线2C 上求一点P ,使点P 到直线l 的距离最大,并求出此最大值12.已知曲线C 的极坐标方程为θθρ2sin cos 4=，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 1cos t y t x ( t 为参数，0≤α＜π).(Ⅰ)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状；(Ⅱ)若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长.。

教学过程一、复习1． 直线的极坐标方程：若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 2． 圆的极坐标方程：若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)圆心位于M ⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 3． 常见曲线的参数方程：(1)圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．(2)圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(4)抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)． (5)过定点P (x 0，y 0)的倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．4． 直角坐标与极坐标的互化：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标 系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直 角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝yx (x ≠0)二、知识讲解考点/易错点1 极坐标与直角坐标的互化极坐标方程与普通方程互化核心公式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝yx (x ≠0).考点/易错点2 参数方程与普通方程的互化参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．考点/易错点3 极坐标与参数方程的综合应用解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用．三、例题精析【例题1】在以O 为极点的极坐标系中，直线l 与曲线C 的极坐标方程分别是ρcos(θ＋π4)＝32和ρsin 2θ＝8cos θ，直线l 与曲线C 交于点A 、B ，求线段AB 的长．【解析】∵ρcos(θ＋π4)＝ρcos θcos π4－ρsin θsin π4＝22ρcos θ－22ρsin θ＝32，∴直线l 对应的直角坐标方程为x －y ＝6. 又∵ρsin 2θ＝8cos θ，∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ. ∴曲线C 对应的直角坐标方程是y 2＝8x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝6y 2＝8x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18y ＝12， 所以A (2，－4)，B (18,12)，所以AB ＝(18－2)2＋[12－(－4)]2＝16 2. 即线段AB 的长为16 2.【点评】 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围， 否则点的极坐标将不唯一．(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．【例题2】已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．【解析】 由于直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，故直线l 的普通方程为x ＋2y ＝0.因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上的任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈R .因此点P 到直线l 的距离是d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π45.所以当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值2105.【点评】 (1)参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．(2)参数方程思想的应用，不仅有利于曲线方程的表达，也成为研究曲线性质的有力工具，如在求轨迹方程、求最值的问题中有广泛的应用．【例题3】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足\s\up6(→(→)OP →＝2\s\up6(→(→)OM →，点P 的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的参数方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .【解析】(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数) (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3.【点评】(1)曲线参数方程有很多优点：①曲线上任一点坐标都可用一个参数表示，变元只有一个．特别对于圆、椭圆、双曲线有很大用处．②很多参数都有实际意义，解决问题更方便．比如：直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(α为倾斜角，t 为参数)，其中|t |＝PM ，P (x ，y )为动点，M (x 0，y 0)为定点．(2)求两点间距离时，用极坐标也比较方便，这两点与原点共线时，距离为|ρ1－ρ2|，这两点与原点不共线时，用余弦定理求解．无论哪种情形，用数形结合的方法易得解题思路．四、课堂运用【基础】1.求直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长． 【答案】3【解析】直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12；圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ， 化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x .将x ＝12代入x 2＋y 2＝2x 得y 2＝34，∴y ＝±32.故弦长为2×32＝ 3. 2.在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，求a 的值． 【答案】22【解析】 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2. 在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22. 将⎝⎛⎭⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22.3.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【答案】(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1. 【解析】 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0. 同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1. .【巩固】1.已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos ty ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程． 【答案】ρcos θ＋ρsin θ－2＝0【解析】 由⎩⎨⎧x ＝2cos ty ＝2sin t(t 为参数)，得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2.则在点(1,1)处的切线l 的方程为y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0.又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 故l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0.2.已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点．①求M 的轨迹的参数方程；②将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．【答案】①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α②M 的轨迹过坐标原点．【解析】①依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0<α<2π)．②M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)． 当α＝π，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．【拔高】1.在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π4)＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，求椭圆C 的离心率． 【答案】63【解析】椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，直线l 的标准方程为x ＋y ＝m ，圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|m |2＝ba 2－b 2＝|m |，∴a 2－b 2＝2b 2，a 2＝3b 2，∴e ＝c 2a 2＝3b 2－b 23b 2＝23＝63.2.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1tan φ，y ＝1tan 2φ(φ为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1，若曲线C 1与C 2相交于A 、B 两点．①求线段AB 的长；②求点M (－1,2)到A 、B 两点的距离之积． 【答案】①10 ②|t 1t 2|＝2.【解析】 ①由曲线C 1的参数方程可得曲线C 1的普通方程为y ＝x 2(x ≠0)，由曲线C 2的极坐标方程可得曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －1＝0，则曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，将其代入曲线C 1的普通方程得t 2＋2t －2＝0， 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2， 则t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－2， 所以AB ＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝10. ②由①可得MA ·MB ＝|t 1t 2|＝2.课程小结1． 解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用．在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度． 2． 极坐标方程与普通方程互化核心公式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0). 3． 过点A (ρ0，θ0) ，倾斜角为α的直线方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．特别地，①过点A (a,0)，垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a .②平行于极轴且过点A (b ，π2)的直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝b .4． 圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．5． 重点掌握直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θy ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)，理解参数t 的几何意义.课后作业【基础】1. 在极坐标系中，求过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程．【答案】ρcos θ＝3.【解析】把ρ＝6cos θ两边同乘以ρ，得ρ2＝6ρcos θ，所以圆的普通方程为x 2＋y 2－6x ＝0， 即(x －3)2＋y 2＝9，圆心为(3,0)， 故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝3.2.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1 (t 为参数)平行，求常数a 的值．【答案】a ＝4【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s 消去参数s ，得x ＝2y ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1消去参数t ，得2x ＝ay ＋a . ∵l 1∥l 2，∴2a ＝12≠1a，∴a ＝4.3.如图，在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与 极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 【答案】ρ＝2cos θ.【解析】在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.4.在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程． 【答案】x －2y －4＝0.【解析】由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.【巩固】1.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，求AB 的长． 【答案】16【解析】将极坐标方程ρcos θ＝4化为直角坐标方程得x ＝4，将x ＝4代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3得t ＝±2，从而y ＝±8.所以A (4,8)，B (4，－8)．所以AB ＝|8－(－8)|＝16.2.在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6上的动点， 试求PQ 的最大值．【答案】18【解析】 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0， 即x 2＋(y －6)2＝36.圆心坐标为(0,6)，半径为6. 又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6， ∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π6)，∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36， 圆心坐标为(33，3)，半径为6.∴(PQ )max ＝6＋6＋(33)2＋(6－3)2＝18.3.已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )，曲线C 1，C 2相交于点M ，N .(1)将曲线C 1，C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求线段MN 的长．【答案】(1)y ＝33x (2)MN=2 【解析】 (1)由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，即曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，由θ＝π6(ρ∈R )得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝33x . (2)把y ＝33x 代入x 2＋y 2－4y ＝0， 得x 2＋13x 2－433x ＝0，即43x 2－433x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝3，∴y 1＝0，y 2＝1.∴MN ＝(3)2＋1＝2.即线段MN 的长为2.【拔高】1.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值． 【答案】(1)⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4 (2)a ＝－1，b ＝2. 【解析】(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4， (2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1， 所以⎩⎨⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.2．在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．【答案】(1) ⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. (2) 【解析】 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝t －3≤t ≤ 3. ⎝ ⎛⎭⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝y －3≤y ≤3 方法二 将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝tan θ⎝⎛⎭⎫－π3≤θ≤π3.课后评价（在各自的系统上进行布置，不在教学案中体现）。