《坐标系与参数方程》练习题(含详解)

各省市坐标系与参数方程习题（2012.三河模考）1．点()3,1-P ，则它的极坐标是 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π（2011.吴忠入门练习）2．点M的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ 2(2,)3π） （2012.合肥模拟）3．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ 32- ）（2009．宁夏模拟）4．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ 2(23)y x x =-≤≤ ）5．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ 201y +==2x 或x ） 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ 一条直线和一个圆 ）7．极坐标方程⎪⎭⎫⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是 圆8．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为_______221,(2)416x y x -=≥___________。

9．极坐标方程52sin 42=θρ化为直角坐标方程是 42552+=x y （2009.陕西模拟）10、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( 相交但直线不过圆心 )11．已知直线113:()24x tl t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =________52_______。

12．直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为。

（2011.贵阳联考）13．直线c o s s i n x y αα+=的极坐标方程为_________2πθα=+___________。

14、曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（射线 ） 15、在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ 221t t + ）16、实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ 4 ）17、若A 33，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-64π，，则|AB|=_____5 ______，S AOB ∆=_____6______。

数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练A组]选择题1 •若直线的参数方程为＜A. 333C.-2 为参数）,则直线的斜率为（y = 2-3/2 B. ---33 D.一一22•下列衽曲线＜gm 7 .，&为参数)上的点是( v = cos&+sin&k *1 3 1A. (-.->/2) C. (2,73) D. (tVS)乙厶x = 2+jn &(8为参数)化为普通方程为(y = siir&3.将参数方程A. y = x-2 B・y = x + 2 C. y = x-2(2<x<3) D・y = x + 2(0<y<l) 4•化极坐标方程Q2COS&-Q =0为直角坐标方程为（A. X- + y- = OsK}'= 1B. % = IC.x- + y- = 0»Kx = 1D.y = 15 •点M的亶角坐标是（-1・厲）,则点M的极坐标为（A. (2,-)B. (2,--)C.(2,—)D.(2,2£;r + -),(ReZ)3 3 3 36.极坐标方程Qcos& = 2sin2&表示的曲线为（A・一条射线和一个圆B,两条宜线 C. 一条直线和一个圆 D.—个圆二.填空题y = 3 + 4/円/为参数）的斜率为.I X = ” +2.参数方程L = 2（一严参数咖通方程为3 •已知直线/]X 1一•（f为参数）与直线人：2—4y = 5相交于点又点＞4（12）, [y = 2-4t -则仙=X = 2 —f2 （f为参数）被圆.V- + y-=4截得的弦长为,y = — 1 —t25.亶线xcosa + ysina = 0的极坐标方程为1.S知点P（x,y）是圆x-+y-=2y±的动点, （1）求2x+y的取值范围;（2）若x+y + a＞0恒成立，求实数a的取值范围。

《坐标系与参数方程》专项练习一、知识梳理． 1．极坐标与直角坐标的互化．设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：（1）x y cos sin， 2 x2 y2（2） tany x2．参数方程x y f g(t) (t)(t为参数)化为普通方程的常用方法．（1）代入法/加减法消参． （2）借助三角恒等式 sin2θ＋cos2θ＝1（θ 为参数）消参．3．直角坐标方程，极坐标方程和参数方程的转化关系．y Mρ θy O x Ax极坐标方程 (ρ，θ)⇔直角坐标方程(普通方程) (x，y)⇔参数方程 (t 为参数)二、练习专项． 【题型 1】①极坐标方程 ⇔ 直角坐标方程．②参数方程 ⇔ 直角坐标方程．1．（2016全国Ⅲ卷，文科23，10分）在直线坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x 3 cosy sin（α 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin(θ＋ )＝2 2 ．4（Ⅰ）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求∣PQ∣的最小值及此时 P 的直角坐标．解：（Ⅰ）由x y 3 cos sin消去参数α得……………………1分（此处为消参的计算过程，可省略）变形得 x 3 cos y sin x2两边平方，得 3 cos2 ①y2 sin2 ②①＋②，得 x2 ＋y2＝13C1 的普通方程为 x2 ＋y2＝1……………………2 分3∵ρsin(θ＋ )＝2 24∴ρ(sinθcos ＋cosθsin )＝2 2 ……………………3 分44ρ( 2 sinθ＋ 2 cosθ)＝2 2222 ρsinθ＋ 2 ρcosθ＝2 222ρsinθ＋ρcosθ＝4……………………4 分∵ρcosθ＝x，ρsinθ＝y1 / 13∴x＋y＝4……………………5 分 （Ⅱ）由题意，可设点 P 的直角坐标为 ( 3 cos,sin ) ……………………6 分∵C2 是直线 ∴ | PQ | 的最小值即为 P 到 C2 的距离 d ( ) 的最小值d ( ) | 3 cos sin 4 | 2 | sin( ) 2 | ………………8 分23当且仅当 2k (k Z ) 时， d ( ) 取得最小值，最小值为 2 ………………9 分6此时 P 的直角坐标为 ( 3 , 1) ………………10 分 222．（2009全国卷，文/理23，10分）已知曲线C1：x y 4 3scos intt（t为参数），C2： x y 8cos 3sin（θ为参数）．（Ⅰ）化 C1，C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1 上的点P对应的参数为t＝ 2，Q为C2 上的动点，求PQ中点M到直线C3：x y 3 2t 2 t（t 为参数）距离的最小值．解：（Ⅰ）由C1：x y 4 3scost int消去参数t得……………………1分（此处为消参的计算过程，可省略）变形得x y 4 3 cost sint两边平方，得( (x y 4) 3) cos2 t 2 sin2 t① ②①＋②，得(x＋4)2＋(y－3)2＝1∴C1 的普通方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝1……………………2 分 ∴C1 为圆心是(－4，3)，半径是 1 的圆由C2：x y 8cos 3sin消去参数θ得……………………1分（此处为消参的计算过程，可省略）变形得 x 8 y 3 co s sin两边平方，得 x2 64 y2 9 cos2 sin2 ① ②　①＋②，得 x2 ＋ y2 ＝1 64 9∴C2 的普通方程为 x2 ＋ y2 ＝1……………………2 分64 9∴C2 为焦点在 x 轴上的椭圆（Ⅱ）当 t 时， P(4, 4) ， Q(8cos,3sin )2故 M (2 4 cos , 2 3 sin ) 2C3 为直线 x 2y 7 02 / 13M 到 C3 的距离 d 5 | 4cos 3sin 13 | 5从而当 cos 4 ,sin 3 时， d 取得最小值 8 5555【题型 2】①直角坐标方程 ⇔ 极坐标方程． ②直角坐标方程 ⇔ 参数方程．3．（2016 全国Ⅱ卷，文科 23，10 分）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x＋6)2＋y2＝25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是x y t tcos sin(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10 ．求 l 的斜率．解：（Ⅰ）由圆 C 的方程 x 62 y2 25可得……………………1 分x2＋12x＋36＋y2＝25 x2＋y2＋12x＋11＝0……………………2 分 把 x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ 代入上式得……………………3 分 ρ2＋12ρcosθ＋11＝0……………………4 分 ∴圆 C 的极坐标方程为 ρ2＋12cosθ＋11＝0……………………5 分（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 θ＝α(ρ∈R) 由 A，B 所对应的极径分别为 ρ1，ρ2……………………8 分 将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 ρ2＋12ρcosα＋11＝0……………………7 分于是 1 2 12cos, 12 11,| AB || 1 2 | (1 2 )2 412 144 cos2 44, ……………………8 分由|AB|＝ 10 得cos2 3 , tan 15 ……………………9 分83∴l 的斜率为 15 或 15 ……………………10 分334．（2015 全国Ⅰ卷，文/理 23，10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x－1)2 ＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求 C1，C2 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝(ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求△C2MN 的面积．解：（Ⅰ）把 x＝ρcosθ 代入 C1：x＝－2 得 ρcosθ＝－2……………………1 分 ∴C1 的极坐标方程为 ρcosθ＝－2………………2 分 由 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1 得 (x2－2x＋1)＋(y2－4y＋4)＝1 x2＋y2－2x－4y＋1＋4＝1 x2＋y2－2x－4y＋4＝0………………3 分 把 ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 代入上式得………………4 分 C2 的极坐标方程为 ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0………………5 分（Ⅱ）将 θ＝ 代入 ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得3 / 13ρ2－3 ρ＋4＝0………………6 分 解得 ρ1＝2 ，ρ2＝ ………………7 分 故 ρ1－ρ2＝ ，即|MN|＝ ………………8 分 由于 C2 的半径为 1∴△C2MN 的面积为 ………………10 分5．（2014全国Ⅰ卷，文/理23，10分）已知曲线C：x2 4y2 9 1，直线l：x y 2 2 t 2t(t为参数)．（Ⅰ）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值．解：（Ⅰ）∵曲线 C： ＝1∴ ( x)2 ( y)2 1 23又∵sin2θ＋cos2θ＝1∴ x ＝cosθ， y ＝sinθ23∴x＝2cosθ，y＝3sinθ曲线C的参数方程为x y 2 cos 3sin(θ为参数)．由直线 l：消去参数 t 得（此处为消参的计算过程，可省略） 把③代入②，得y＝2－2(x－2)由①得 t＝x－2 ③整理得 2x＋y－6＝0直线 l 的普通方程为 2x＋y－6＝0．（Ⅱ）曲线 C 上任意一点 P(2cosθ，3sinθ)到 l 的距离为d＝ |4cosθ＋3sinθ－6|则|PA|＝|5sin(θ＋α)－6|，其中 α 为锐角，且 tanα＝当 sin(θ＋α)＝－1 时，|PA|取得最大值，最大值为当 sin(θ＋α)＝1 时，|PA|取得最小值，最小值为6．（2014 全国Ⅱ卷，文/理 23，10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ，θ∈[0， ]． 2 （Ⅰ）求 C 的参数方程； （Ⅱ）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：y＝ 3 x＋2 垂直，根据（Ⅰ）中你得到的 参数方程，确定 D 的坐标．解：（Ⅰ）∵ρ＝2cosθ4 / 13∴ρ2＝2ρcosθ 把 x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ 代入上式得5 / 13x2＋y2＝2x ∴C 的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1) ∴半圆 C 的圆心为(1，0)，半径为 1可得 C 的参数方程为(t 为参数，0≤t≤π)（Ⅱ）设 D(1＋cost，sint)由(Ⅰ)知 C 是以 G(1，0)为圆心，1 为半径的上半圆∵C 在点 D 处的切线与 l 垂直∴直线 GD 与 l 的斜率相同．tant＝ ，t＝故 D 的直角坐标为，即【题型 3】极坐标方程 ⇔ 参数方程．7．（2016全国Ⅰ卷，文/理23，10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x y a 1cos t asint（t 为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝4cosθ．（Ⅰ）说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线 C3 的极坐标方程为 θ＝α0，其中 α0 满足 tanα0＝2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a．解：（Ⅰ）解法一：C1 是圆的方程…………1 分由x y a 1cos t asint消去参数t得…………2分（此处为消参的计算过程，可省略）移项，得x y a cost 1 a sint即x 2 ( y a2 1) 2cos2 a2t sin2t① ②①＋②，得两边平方，得x 2 ( y (a 1) 2cost)2 (a sint)2x2＋(y－1)2＝a2cos2t＋a2sin2t x2＋(y－1)2＝a2(cos2t＋sin2t) x2＋(y－1)2＝a2x2 y 12 a2 ①整理得 x2 y2 2y 1 a2 0 …………3 分∴把 x2 y2 2 ，y sin 代入上式得…………4 分2 2 sin 1 a2 0∴ C1 的极坐标方程为 2 2 sin 1 a2 0 …………5 分 （Ⅱ）由 C2：ρ＝4cosθ 得两边同乘 ρ 得 ρ2＝4ρcosθ ∵ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝xx2 y2 4x …………6 分即 x 22 y2 4 ②…………7 分C3：化为普通方程为 y 2x …………8 分由题意： C1 和 C2 的公共方程所在直线即为 C3 ①－②得： 4x 2y 1 a2 0 ，即为 C3 …………9 分5 / 13∴1 a2 0 6 / 13∴ a 1 …………10 分8．（2013全国Ⅰ卷，文/理23，10分）已知曲线C1的参数方程为x y 4 5 5 cos t 5sint(t为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2sinθ．（Ⅰ）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．解：（Ⅰ）将x y 4 5 5 cos t 5sint消去参数t得C1 的普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25即 C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0将x y cos sin代入上式得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0∴C1 的极坐标方程为 ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0 （Ⅱ）∵C2 的极坐标方程为 ρ＝2sinθ∴C2 的普通方程为 x2＋y2－2y＝0由x x2 2 y2 y28x 10y 16 0 2y 0① ②（此处为解方程的过程，可省略）提取 x，得 x(x－1)＝0②－①，得 8x＋8y－16＝0∴x＝0 或 x－1＝0整理，得 y＝2－x③解得 x＝0 或 x＝1把③代入②，得把 x＝0 代入③，得 y＝2x2＋(2－x)2－2(2－x)＝0把 x＝1 代入③，得 y＝1整理，得 x2－x＝0(特别注意，x 是未知数，不能约去的)解得x y 0 2或x y 1 1C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(0，2)，(1，1)对于点(0，2)有：ρ＝ x2 y2 ＝ 02 22 ＝2，θ＝ 2对于点(1，1)有：ρ＝ x2 y2 ＝ 12 12 ＝ 2 ，tanθ＝ y ＝1，θ＝ x4∴C1 与 C2 交点的极坐标分别为(2， )，( 2 ， )24【题型 4】其它题型：．求交点坐标，求点的坐标，求轨迹方程等．9．（2015全国Ⅱ卷，文/理23，10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1： x y t tcos sin(t为参数，t≠0)，其中 0≤α＜π．在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2 3 cosθ． （Ⅰ）求 C2 与 C3 交点的直角坐标； （Ⅱ）若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值． 解：（Ⅰ）∵C2：ρ＝2sinθ6 / 13∴ρ2＝2ρsinθ 把 ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ 代入上式得 曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y＝0 ①………………1 分∵C3：ρ＝2 cosθ∴ρ2＝2 ρcosθ 把 ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ 代入上式得曲线 C3 的直角坐标方程为 x2＋y2－2 3 x＝0 ②………………2 分联立①②得x 2x 2 y2 y22y 0 2 3x 0① ………………3 分②（此处为解方程的过程，可省略）提取 x，得 x(2x－ 3 )＝0①－②，得 －2y＋2 3 x＝0∴x＝0 或 2x－ 3 ＝0整理，得 y＝ 3 x③ 把③代入①，得 x2＋3x2－2 整理，得 2x2－ 3 x＝03 x＝0解得 x＝0 或 x＝ 32把 x＝0 代入③，得 y＝0(特别注意，x 是未知数，不能约去的) 把 x＝ 3 代入③，得 y＝ 322解得x y 0或 0x y 3 2 3 2………………4分∴C2 与 C3 交点的直角坐标为(0，0)和………………5 分（Ⅱ）曲线 C1 的极坐标方程为 θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中 0≤α<π因此 A 的极坐标为(2sinα，α)，B 的极坐标为(2 cosα，α)∴|AB|＝|2sinα－2 cosα|＝4 当 α＝ 时，|AB|取得最大值，最大值为 410．（2013全国Ⅱ卷，文/理23，10分）已知动点P，Q都在曲线C：x y 2 cos t 2sint(t为参数)上，对应参数分别为 t＝α 与 t＝2α(0＜α＜2π)，M 为 PQ 的中点．（Ⅰ）求 M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点．解：（Ⅰ）∵动点 P，Q 都在曲线 C：(t 为参数)上∴P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)∵M 为 PQ 的中点∴xM＝ 2cos 2cos2 ＝cosα＋cos2α 2yM＝ 2sin 2sin2 ＝sinα＋sin2α 2∴M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α)．∴M 的轨迹的参数方程为(α 为参数，0<α<2π)． 7 / 13（Ⅱ）M 点到坐标原点的距离 d＝(0<α<2π)．8 / 13当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点11．（2012全国卷，文/理23，10分）已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x (φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2．正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，3π)． （Ⅰ）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标； （Ⅱ）设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．解：（Ⅰ）∵点A 的极坐标为 ∴点B 的极坐标为点C 的极坐标为点D 的极坐标为∴x A ＝＝1，y A ＝＝ x B ＝2cos ＝－，y B ＝2sin＝1 x C ＝2cos ＋π＝－1，y C ＝2sin ＋π＝－x D ＝2cos ＝，y D ＝2sin ＝－1即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)（Ⅱ）设P(2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ∵0≤sin 2φ≤1∴S 的取值范围是[32，52]12．（2011全国卷，文/理23，10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x (α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP ＝2OM ，P 点的轨迹为曲线C 2． （Ⅰ）求C 2的方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝3π与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |．解：（Ⅰ）设P (x ，y )，则由条件知M (2x ，2y )． 由于M 点在C 1上∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==ααsin 222cos 22y x 即⎩⎨⎧+==ααsin 44cos 4y x 从而C 2的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 44cos 4y x (α为参数)（Ⅱ）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ射线θ＝3π与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin 3π 射线θ＝3π与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin 3π ∴|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2313．（2010全国卷，文/理23，10分）已知直线C 1：⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x （t 为参数），圆C 2：⎩⎨⎧==θθsin cos y x (θ为参数)． （Ⅰ）当α＝3π时，求C 1与C 2的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：（Ⅰ）当α＝3π时 C 1的普通方程为1)y x -C 2的普通方程为221x y += 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1)1(322y x x y 解得C 1与C 2的交点为（1，0），1(,2 （Ⅱ）C 1的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=.A 点坐标为2(sin ,cos sin )a a a -，故当a 变化时，P 点轨迹的参数方程为21sin 21sin cos 2x a y a a ==-⎧⎨⎩（a 为参数） P 点轨迹的普通方程为2211()416x y -+= 故P 点是圆心为1(,0)4，半径为14的圆（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

坐标系与参数方程基础巩固强化1.(文)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t .(t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线[答案] D[解析] 由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2－x ＝0.此方程所表示的图形是圆．消去方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t .中的参数t 可得，x ＋y －1＝0，此方程所表示的图形是直线．(理)(2011·皖中地区示范高中联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t ＋1.(t ∈R )，圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋1y ＝sin θ(θ∈[0,2π))，则圆心C 到直线l 的距离为( )A ．0B ．2 C. 2 D.22[答案] C[解析] 化直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t ＋1(t ∈R )为普通方程为x －y＋1＝0，化圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋1，y ＝sin θ.(θ∈[0,2π))为普通方程为(x－1)2＋y 2＝1，则圆心C (1,0)到直线l 的距离为|1－0＋1|12＋(－1)2＝ 2.2．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋3t .(t 为参数)，则直线的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] A[解析] 由直线的参数方程知，斜率k ＝y －2x －1＝3t 3t ＝33＝tan θ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为30°.3．(文)(2011·北京市西城区高三模拟)在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )A ．ρ＝cos θB ．ρ＝sin θC ．ρcos θ＝1D ．ρsin θ＝1 [答案] C[解析] 过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x ＝1，所以其极坐标方程为ρcos θ＝1，故选C.(理)在极坐标系中，过点(2，π3)且与极轴平行的直线的方程是( )A ．ρcos θ＝ 3B ．ρsin θ＝ 3C ．ρ＝3cos θD ．ρ＝3sin θ [答案] B[解析] 设P (ρ，θ)是所求直线上任意一点，则ρsin θ＝2sin π3，∴ρsin θ＝3，故选B.4．在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线方程x 2＋y 2＝16变换为椭圆方程x ′2＋y ′216＝1，此伸缩变换公式是( )A.⎩⎨⎧x ＝14x ′y ＝y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4x ′y ＝y ′ C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ′y ＝y ′ D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4x ′y ＝8y ′ [答案] B[解析] 设此伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入x ′2＋y ′216＝1， 得(λx )2＋(μy )216＝1，即16λ2x 2＋μ2y 2＝16，与x 2＋y 2＝16比较得⎩⎪⎨⎪⎧16λ2＝1(λ>0)，μ2＝1(μ>0)，故⎩⎨⎧λ＝14，μ＝1，故所求变换为⎩⎨⎧x ′＝14x ，y ′＝y .故选B.5．设极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴为x轴正半轴，则直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)被圆ρ＝3截得的弦长为( )A.125 B.125 5 C.95 5 D.9510[答案] B[解析] 圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝9，直线的参数方程化为普通方程为x －2y ＋3＝0，则圆心(0,0)到直线的距离d ＝35.所以弦长为232－d 2＝1255.6．抛物线x 2－2y －6x sin θ－9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0的顶点的轨迹是(其中θ∈R )( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线[答案] B[解析] 原方程变形为：y ＝12(x －3sin θ)2＋4cos θ.设抛物线的顶点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θy ＝4cos θ，消去参数θ得轨迹方程为x 29＋y 216＝1.它是椭圆．7．(文)极坐标系中，点A 在曲线ρ＝2sin θ上，点B 在曲线ρcos θ＝－2上，则|AB |的最小值为________．[答案] 1[解析] ρ＝2sin θ⇒ρ2＝2ρsin θ ∴x 2＋y 2－2y ＝0，即x 2＋(y －1)2＝1； ∵ρcos θ＝－2，∴x ＝－2，易知圆心(0,1)到直线x ＝－2的距离为2，圆半径为1，故|AB |min＝1.(理)(2011·安徽“江南十校”联考)在极坐标系中，直线ρsin(θ－π4)＝22与圆ρ＝2cos θ的位置关系是________．[答案] 相离[解析] 直线的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，其圆心C (1,0)，半径r ＝1.因为圆心到直线的距离d ＝22＝2>1，故直线与圆相离．8．(文)已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0,0≤θ<π2)，则曲线C 1与C 2交点的极坐标为________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6[解析] 化为直角坐标方程为x ＝3和x 2＋y 2＝4x (y ≥0)，故交点为(3，3)，其极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6.[点评] 可直接解⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ，得⎩⎨⎧ρ＝23，θ＝π6.(理)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标为__________．[答案] (1，π2)[解析] 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程为y －x ＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1y －x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1，则交点为(0,1)，对应的极坐标为(1，π2)． [点评] 可直接由两方程联立解出交点坐标，∵⎩⎪⎨⎪⎧ ρcos θ＋ρsin θ＝1，ρsin θ－ρcos θ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝0，ρsin θ＝1.∵ρ≠0，∴cos θ＝0，∴θ＝π2＋k π (k ∈Z )， ∴sin θ＝±1，∵ρ>0，∴sin θ＝1， ∴θ＝π2＋2n π(n ∈Z )，ρ＝1，令n ＝0得，交点的一个极坐标为(1，π2)．9．(文)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4t ，y ＝－1－3t .(t 为参数)被曲线ρ＝2cos(θ＋π4)所截的弦长为________．[答案] 75[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4t ，y ＝－1－3t .得直线方程为3x ＋4y ＋1＝0，∵ρ＝2cos(θ＋π4)＝cos θ－sin θ， ∴ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，∴x 2＋y 2＝x －y ，即(x －12)2＋(y ＋12)2＝12. 圆心到直线的距离d ＝110， ∴弦长＝2×12－1100＝75.(理)已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－1＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝23－cos2θ，则直线l 被曲线C 截得的弦长等于________．[答案] 827[解析] 由ρ＝23－cos2θ得，ρ＝22＋2sin 2θ，∴ρ2(1＋sin 2θ)＝2，∴x 2＋2y 2＝2，将⎩⎨⎧x ＝－1＋12t ，y ＝32t ，代入并化简得，7t 2－4t －4＝0，∴t 1＋t 2＝47，t 1t 2＝－47，∴|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(47)2＋167＝827.10．(文)(2012·山西高考联合模拟)已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ.(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π6)＝0.(1)写出直线l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程； (2)求圆C 截直线l 所得的弦长．解析：(1)消去参数得圆C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9， 由ρcos(θ＋π6)＝0得32ρcos θ－12ρsin θ＝0， 直线l 的直角坐标方程3x －y ＝0. (2)圆心(3，1)到l 的距离d ＝|3×3－1|(3)2＋(－1)2＝1.设圆心截直线l 所得弦长为m ，则m2＝r 2－d 2＝22，∴m ＝4 2. (理)(2012·银川一中二模)平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t .(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－2ρsin θ－3＝0.(1)求直线l 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求|AB |. [解析] (1)消去参数得直线l 的直角坐标方程：y ＝3x将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入得ρsin θ＝3ρcos θ⇒θ＝π3或θ＝4π3(ρ≥0)． (也可以是：θ＝π3(ρ∈R ))(2)由⎩⎨⎧ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－2ρsin θ－3＝0θ＝π3得，ρ2－3ρ－3＝0 设A (ρ1，π3)，B (ρ2，π3)，则|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝15. [点评] 也可化为直角坐标方程求解.能力拓展提升11.(2011·西安检测)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t .(t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ.(θ为参数)，它们的公共点个数为________个．[答案] 2[解析] 直线l 的普通方程为x ＋y －2＝0，⊙C 的圆心(1,1)，半径r ＝2，圆心C 在直线l 上，∴l 与⊙C 相交．12．(文)(2011·咸阳模拟)若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ.(θ为参数)没有公共点，则实数m 的取值范围是____． [答案] (－∞，0)∪(10，＋∞)[解析] 由条件知，圆心C (1，－2)到直线3x ＋4y ＋m ＝0的距离大于圆的半径1，∴|3－8＋m |5>1，∴m <0或m >10. (理)已知直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t .(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程：ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，求直线l 被曲线C 截得的弦长为_______．[答案] 2305[分析] 可将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解；也可将曲线C 的方程化为直角坐标方程后，将l 方程代入利用t 的几何意义求解．[解析] 将直线l 的参数方程化为普通方程为y ＝2x ＋1，将圆C 的极坐标方程化为普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，从圆方程中可知：圆心C (1,1)，半径r ＝2，所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|2×1－1＋1|22＋(－1)2＝25<2＝r .所以直线l 与圆C 相交．所以直线l 被圆C 截得的弦长为 2r 2－d 2＝22－45＝2305.13．(2011·天津理，11)已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t ，(t为参数)，若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.[答案]2[解析] 根据抛物线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t2y ＝8t，得出y 2＝8x ，得出抛物线焦点坐标为(2,0)，所以直线方程：y ＝x －2，利用圆心到直线距离等于半径，得出r ＝22＝ 2.14．(文)(2012·江西理，15)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．[答案] ρ＝2cos θ[解析] 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入x 2＋y 2－2x ＝0中得，ρ2－2ρcos θ＝0，∵ρ≠0，∴ρ＝2cos θ.(理)(2012·湖北理，16)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2.(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．[答案] (52，52)[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2，化为普通方程y ＝(x －2)2① 由θ＝π4化为直角坐标方程y ＝x (x ≥0)② 联立①②，∴(x －2)2＝x ，即x 2－5x ＋4＝0， ∴x 1＋x 2＝5，∴中点坐标为(52，52)．15．(2011·课标全国文，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP→＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.[解析] (1)设P (x ，y )，则由条件知M (x 2，y2)．由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3＝23， 射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3＝4 3. 所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.16．(文)(2011·大连市模拟)已知直线l 经过点P (12，1)，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．[解析](1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t .(t 为参数)．由ρ＝2cos(θ－π4)得ρ＝cos θ＋sin θ，所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，得(x －12)2＋(y －12)2＝12.(2)把⎩⎨⎧x ＝12＋32ty ＝1＋12t代入(x －12)2＋(y －12)2＝12中得t 2＋12t －14＝0.由根与系数的关系得t 1t 2＝－14，由参数t 的几何意义得：|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝14.(理)(2012·乌鲁木齐地区诊断)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝sin α(α为参数)，经过变换⎩⎨⎧x ′＝12x ＋1，y ′＝y .后曲线C变换为曲线C ′.(1)在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴(单位长度与直角坐标系相同)的极坐标系中，求C ′的极坐标方程；(2)求证：直线x －2y －2＝0与曲线C ′的交点也在曲线C 上． [解析] (1)设曲线C ′上任意一点P (x ′，y ′)，由变换⎩⎨⎧x ′＝12x ＋1，y ′＝y .得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′－2，y ＝y ′.代入C 得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1＋cos α，y ′＝sin α. 所以曲线C ′是以(1,0)为圆心，半径为1的圆. ∴C ′的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)曲线C ′的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －2＝0，(x －1)2＋y 2＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.或⎩⎨⎧x ＝23，y ＝－223.所以交点为(2,0)或(23，－223)，两点的坐标均满足曲线C 的直角坐标方程x 24＋y 2＝1.∴直线x －2y －2＝0与曲线C ′的交点也在曲线C 上．1．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t sin50°－1y ＝－t cos50°(t 为参数)，则直线的倾斜角为( )A ．40°B ．50°C ．140°D ．130°[答案] C[解析] 将直线的参数方程变形得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t cos140°y ＝－t sin140°，∴倾斜角为140°.2．在极坐标系下，直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2与曲线ρ＝2的公共点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．2或0 [答案] B[分析] 讨论极坐标方程表示的曲线的位置关系，交点个数等问题，一般是化为直角坐标方程求解．对于熟知曲线形状、位置的曲线方程，也可以直接画草图，数形结合讨论．[解析] 方程ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，∴x ＋y ＝2，方程ρ＝2，即x 2＋y 2＝2，显然直线与圆相切，∴选B.3．已知点P (x ，y )满足(x －4cos θ)2＋(y －4sin θ)2＝4(θ∈R )，则点P (x ，y )所在区域的面积为( )A ．36πB ．32πC ．20πD ．16π[答案] B[解析] 圆心坐标为(4cos θ，4sin θ)，显然圆心在以原点为圆心、半径等于4的圆上，圆(x －4cos θ)2＋(y －4sin θ)2＝4(θ∈R )绕着上述圆旋转一周得到的图形是一个圆环，圆环的外径是6，内径是2，∴选B.4．(2011·广州)设点A 的极坐标为(2，π6)，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，则直线l 的极坐标方程为________．[答案] 填ρcos(θ＋π6)＝1、3ρcos θ－ρsin θ－2＝0、 ρsin(π3－θ)＝1、ρsin(θ－4π3)＝1中任意一个均可[解析] ∵点A 的极坐标为(2，π6)，∴点A 的平面直角坐标为(3，1)，又∵直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，∴直线l 的方程为y －1＝(x －3)tan π3，即3x －y －2＝0，∴直线l 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ－2＝0，可整理得ρcos(θ＋π6)＝1或ρsin(π3－θ)＝1或ρsin(θ－4π3)＝1.[点评] 一般地，在极坐标系下，给出点的坐标，曲线的方程，讨论某种关系或求某些几何量时，通常都是化为直角坐标(方程)求解．如果直接用极坐标(方程)求解，通常是解一个斜三角形．5．(2012·河南六市联考)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋4t ，y ＝2＋3t(t 为参数)．(1)将C 1化为直角坐标方程；(2)曲线C 1与C 2是否相交？若相交，求出弦长，若不相交，请说明理由．[解析] (1)∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝4x ， 所以C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0. (2)C 2的直角坐标方程为3x －4y －1＝0， C 1表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆． 圆心C 1(2,0)到直线C 2的距离 d ＝|3×2－4×0－1|32＋42＝1<2.所以C 1与C 2相交．相交弦长|AB |＝222－12＝2 3.6．(2012·包头市一模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，(a >b >0，φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C 1上的点M (1，32)对应的参数φ＝π3，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D (1，π3)．(1)求曲线C 1、C 2的方程；(2)若点A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋π2)在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．[解析] (1)将M (1，32)及对应的参数φ＝π3，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，得⎩⎨⎧1＝a cos π3，32＝b sin π3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1， 所以曲线C 1的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ.(φ为参数)，或x 24＋y 2＝1.设圆C 2的半径为R ，由题意，圆C 2的方程为ρ＝2R cos θ(或(x －R )2＋y 2＝R 2)．将点D (1，π3)代入ρ＝2R cos θ， 得1＝2R cos π3，即R ＝1.(或由D (1，π3)，得点D 的直角坐标(12，32)，代入(x －R )2＋y 2＝R 2，得R ＝1)，所以曲线C 2的方程为ρ＝2cos θ(或(x －1)2＋y 2＝1)． (2)因为点A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋π2)在曲线C 1上，所以ρ21cos 2θ4＋ρ21sin 2θ＝1，ρ22sin 2θ4＋ρ22cos 2θ＝1，所以1ρ21＋1ρ22＝(cos 2θ4＋sin 2θ)＋(sin 2θ4＋cos 2θ)＝54.。

坐标系与参数方程专题⏹ 温故知新1．坐标系 (1)坐标变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ>0）y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为坐标系中的伸缩变换． (2)极坐标系在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝yx （x ≠0）. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos_θ＝a ；(3)直线过M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin_θ＝b ．4．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ； (3)当圆心位于M (a ，π2)，半径为a ：ρ＝2a sin_θ．⏹ 举一反三考点一、平面直角坐标系中的伸缩变换 例1、 求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y变换后所得曲线C ′的焦点坐标． [解] 设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)为所求． 变式练习 1.在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），代入第二个方程，得2λx －μy ＝4，与x －2y ＝2比较系数得λ＝1，μ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y .因此，经过变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y 后，直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4.考点二、极坐标与直角坐标的互化例2、 (2014·高考天津卷改编)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，求a 的值．[解] 由ρ＝4sin θ，可得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4. 由ρsin θ＝a ，可得y ＝a .设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示． 由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt △DOB 中，易求DB ＝33a ， ∴B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫33a ，a .又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，4．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝⎛⎭⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标；(2)点B 经过φ变换得到点B ′⎝⎛⎭⎫－3，12，求点B 的坐标； (3)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得到的直线l ′的方程．解：(1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′(1，－1)即为所求． (2)设B (x ，y )，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′.由于点B ′的坐标为⎝⎛⎭⎫－3，12，于是x ＝13×(－3)＝－1，y ＝2×12＝1，∴B (－1，1)即为所求． (3)由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′.代入直线l ：y ＝6x ，得到经过伸缩变换后的方程y ′＝x ′，因此直线l ′的方程为y ＝x .5．(2015·福建泉州质检)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2， 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 6．求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数．证明：建立如图所示的极坐标系，设抛物线的极坐标方程为ρ＝p1－cos θ(p >0)．PQ 是抛物线的弦，若点P 的极角为θ，则点Q 的极角为π＋θ， 因此有|FP |＝p1－cos θ，|FQ |＝p 1－cos （π＋θ）＝p1＋cos θ.所以1|FP |＋1|FQ |＝1－cos θp ＋1＋cos θp ＝2p(常数)．原命题得证．大试牛刀1．(2015·唐山市统一考试)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为 C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ |·|OP |＝|OR |2，得ρρ1＝ρ22. 又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．2．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2)．3．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，。

高二年数学选修4-4坐标系与参数方程测试班级:__________________ 座号:______ ：___________________成绩：___________ 一、选择题〔共12题，每题5分〕1、点M的直角坐标是(1-，那么点M 的极坐标为〔 〕 A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 2、极坐标系中，以下各点与点P 〔ρ，θ〕〔θ≠k π，k ∈Z 〕关于极轴所在直线对称的是 〔 〕A ．〔-ρ，θ〕B ．〔-ρ，-θ〕C ．〔ρ，2π-θ〕D ．〔ρ，2π+θ〕 3．点P 的极坐标为〔1，π〕，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 〔 〕A ．ρ=1B ．ρ=cosθC ．ρ=-θcos 1D ．ρ=θcos 14．以极坐标系中的点〔1，1〕为圆心，1为半径的圆的方程是 〔 〕A ．ρ=2cos(θ-4π) B ．ρ=2sin(θ-4π) C ．ρ=2cos(θ-1) D ．ρ=2sin(θ-1) 5．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为〔 〕A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆 6．假设直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，那么直线的斜率为〔 〕A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 7．在极坐标系中，以〔2,2πa 〕为圆心，2a为半径的圆的方程为〔 〕A ．θρcos a =B ．θρsin a =C ．a =θρcosD ．a =θρsin8．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，那么曲线是〔 〕A ．线段B .双曲线的一支 C.圆 D.射线 9、在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x 变为曲线y=sinx 的伸缩变换是〔 〕A ．⎪⎩⎪⎨⎧==//213y y x xB ．⎪⎩⎪⎨⎧==y y xx 213//C ．⎩⎨⎧==//23y y x xD ．⎩⎨⎧==y y x x 23// 10．以下在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是〔 〕A ．1(,2B ．31(,)42-C ．D ． 11、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心12、设P(x ，y)是曲线C ：⎩⎨⎧θ=θ+-=sin y ,cos 2x 〔θ为参数，0≤θ<2π〕上任意一点，那么yx的取值范围是 〔 〕A ．[-3，3]B ．〔-∞，3〕∪[3，+∞]C ．[-33，33]D ．〔-∞，33〕∪[33，+∞]二、填空题〔共8题，各5分〕1、点A 的直角坐标为〔1，1，1〕，那么它的球坐标为 ，柱坐标为2、曲线的1cos 3sin --=θθρ直角坐标方程为____________________3、直线3()14x att y t=+⎧⎨=-+⎩为参数过定点_____________4、设()y tx t =为参数那么圆2240x y y +-=的参数方程为__________________________。

高二年数学选修4-4坐标系与参数方程测试班级:__________________ 座号:______ 姓名：___________________成绩：___________ 一、选择题（共12题，每题5分）1、点M的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈2、极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线对称的是 （ ）A ．（-ρ，θ）B ．（-ρ，-θ）C ．（ρ，2π-θ）D ．（ρ，2π+θ） 3．已知点P 的极坐标为（1，π），那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 （ ）A ．ρ=1B ．ρ=cos θC ．ρ=-θcos 1D ．ρ=θcos 14．以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是 （ ）A ．ρ=2cos(θ-4π) B ．ρ=2sin(θ-4π) C ．ρ=2cos(θ-1) D ．ρ=2sin(θ-1) 5．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆 6．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 7．在极坐标系中，以（2,2πa ）为圆心，2a为半径的圆的方程为（ ）A ．θρcos a =B ．θρsin a =C ．a =θρcosD ．a =θρsin8．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A ．线段 B .双曲线的一支 C.圆 D.射线 9、在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x 变为曲线y=sinx 的伸缩变换是（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧==//213y y x xB ．⎪⎩⎪⎨⎧==y y xx 213//C ．⎩⎨⎧==//23y y x xD ．⎩⎨⎧==y y x x 23// 10．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A ．1(,2B ．31(,)42- C ． D ．11、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心12、设P(x ，y)是曲线C ：⎩⎨⎧θ=θ+-=sin y ,cos 2x （θ为参数，0≤θ<2π）上任意一点，则yx的取值范围是 （ ）A ．[-3，3]B ．（-∞，3）∪[3，+∞]C ．[-33，33]D ．（-∞，33）∪[33，+∞]二、填空题（共8题，各5分）1、点A 的直角坐标为（1，1，1），则它的球坐标为 ，柱坐标为2、曲线的1cos 3sin --=θθρ直角坐标方程为____________________3、直线3()14x att y t=+⎧⎨=-+⎩为参数过定点_____________4、设()y tx t =为参数则圆2240x y y +-=的参数方程为__________________________。

数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练A 组]一、选择题1．若直线的参数方程为12()23x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23 B ．23-C ．32 D ．32- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A．1(,2B ．31(,)42-C． D． 3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或B ．1x =C ．201y +==2x 或xD ．1y = 5．点M的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题 1．直线34()45x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。

2．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。

3．已知直线113:()24x tl t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =_______________。

4．直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。

5．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________。

坐标系与参数方程1．点()3,1-P ，则它的极坐标是 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π 2．点M的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ 2(2,)3π ） 3．若直线的参数方程为12()23x t t y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ 32- ） 4．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ 2(23)y x x =-≤≤ ） 5．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ 201y +==2x 或x ）6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ 一条直线和一个圆 ）7．极坐标方程⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是 圆 8．参数方程()2()t t t t x e e t y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为_______221,(2)416x y x -=≥___________。

9．极坐标方程52sin 42=θρ化为直角坐标方程是 42552+=x y 10、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( 相交但直线不过圆心 )11．已知直线113:()24x t l t y t =+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ， 则AB =________52_______。

12．直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为。

13．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为_________2πθα=+___________。

14、曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（射线 ）15、在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ 221t t + ） 16、实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ 4 ）17、若A 33，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-64π，，则|AB|=_____5 ______，S AOB ∆=_____6______。

坐标系与参数方程练习附答案1．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求点M ，N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1， 从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1， 即x ＋3y ＝2.θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0)．θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2. (2)由(1)得点M 的直角坐标为(2，0)，点N 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233. 所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33， 则点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)． 2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设⊙C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，点P 为⊙C 上一动点，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，点Q 为线段PM 的中点．(1)求点Q 的轨迹C 1的方程；(2)试判定轨迹C 1和⊙C 的位置关系，并说明理由．解：(1)由⊙C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ，所以⊙C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，又点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2， 所以点M 的直角坐标为(0，4)．设点P (x 0，y 0)，点Q (x ，y )，则有x 20＋(y 0－1)2＝1.(*)因为点Q 为线段PM 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y －4， 代入(*)得轨迹C 1的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝14. (2)因为⊙C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1，圆心为(0，1)，半径为1，而轨迹C 1是圆心为⎝⎛⎭⎫0，52，半径为12的圆， 所以两圆的圆心距为32，等于两圆半径和，所以两圆外切． 3．在极坐标系中，圆C 是以点C ⎝⎛⎭⎫2，－π6为圆心，2为半径的圆． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)求圆C 被直线l ：θ＝－5π12(ρ∈R )所截得的弦长． 解：法一：(1)设所求圆上任意一点M (ρ，θ)，如图，在Rt △OAM 中，∠OMA ＝90°，∠AOM ＝2π－θ－π6，|OA |＝4. 因为cos ∠AOM ＝|OM ||OA |， 所以|OM |＝|OA |·cos ∠AOM ，即ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2π－θ－π6＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6， 验证可知，极点O 与A ⎝⎛⎭⎫4，－π6的极坐标也满足方程， 故ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6为所求． (2)设l ：θ＝－5π12(ρ∈R )交圆C 于点P ， 在Rt △OAP 中，∠OP A ＝90°，易得∠AOP ＝π4， 所以|OP |＝|OA |cos ∠AOP ＝22.法二：(1)圆C 是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转π6而得到的圆，。