选修坐标系与参数方程高考复习讲义

重点增分专题十三选修4－4坐标系与参数方程[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2018极坐标与直角坐标的互化、曲线方程的求解参数方程与直角坐标方程的互化、参数方程的应用参数方程与普通方程的互化、参数方程的应用2017参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法2016参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值(1)坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．(2)全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．考点一极坐标保分考点·练后讲评1.[极坐标方程化直角坐标方程](2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以|－k＋2|k2＋1＝2，故k＝－43或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－43时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以|k＋2|k2＋1＝2，故k＝0或k＝43.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝43时，l2与C2没有公共点．综上，所求C1的方程为y＝－43|x|＋2.2.[直角坐标方程化极坐标方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝4，直线C2的方程为y＝33x，以O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线C1和直线C2的极坐标方程．解：∵曲线C1的普通方程为(x－3)2＋(y－2)2＝4，即x2＋y2－23x－4y＋3＝0，∴曲线C1的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0.∵直线C2的方程为y＝33x，∴直线C2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．3.[极坐标方程的应用](2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为2，π3，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝4 cos θ.由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB面积S＝12|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·sinα－π3＝2sin2α－π3－32.当α＝－π12时，S取得最大值2＋ 3.所以△OAB面积的最大值为2＋ 3.[解题方略]1．直角坐标与极坐标方程的互化(1)直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可．(2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造ρ2，ρsin θ，ρcos θ，常用的技巧有式子两边同乘以ρ，两角和与差的正弦、余弦展开等．2．求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用；(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标.考点二参数方程保分考点·练后讲评1.[普通方程化参数方程]在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－cos θ＝0，M1，π2.以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．斜率为－1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．求曲线C和直线l的参数方程．解：由ρsin2θ－cos θ＝0得ρ2sin2θ＝ρcos θ，∴y2＝x，故曲线C的直角坐标方程为y2＝x.故曲线C的参数方程为x＝t2，y＝t(t为参数)，由题意，M的直角坐标为(0,1)，则直线l的参数方程为x＝tcos3π4，y＝1＋tsin3π4(t为参数)，即x＝－22t，y＝1＋22t(t为参数)．2.[参数方程化普通方程](2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cos θ，y＝4sin θ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝1＋tcos α，y＝2＋tsin α(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tanα·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－42cos α＋sin α1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.[解题方略]参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．(2)三角恒等式法：利用sin 2α＋cos 2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．(3)常见消参数的关系式：①t ·1t＝1；②t ＋1t 2－t －1t 2＝4；③2t 1＋t 22＋1－t 21＋t22＝1.考点三极坐标与参数方程的综合应用增分考点广度拓展[分点研究]题型一直线的参数方程中参数几何意义的应用[例1](2019届高三·湖北五校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(a,1)，其参数方程为x ＝a ＋2t 2，y ＝1＋2t2(t 为参数，a ∈R)．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．[解](1)∵曲线C1的参数方程为x＝a＋2t2，y＝1＋2t2(t为参数，a∈R)，∴曲线C1的普通方程为x－y－a＋1＝0.∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0，∴ρ2cos2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，又ρcos θ＝x，ρ2＝x2＋y2，∴x2＋4x－x2－y2＝0，即曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，由y2＝4x，x＝a＋2t2，y＝1＋2t2，得t2－22t＋2－8a＝0.Δ＝(－22)2－4(2－8a)>0，即a>0，∴t1＋t2＝22，t1·t2＝2－8a，根据参数方程中参数的几何意义可知|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，∴由|PA|＝2|PB|得t1＝2t2或t1＝－2t2，∴当t1＝2t2时，有t1＋t2＝3t2＝22，t1·t2＝2t22＝2－8a，解得a＝136>0，符合题意，当t1＝－2t2时，有t1＋t2＝－t2＝22，t1·t2＝－2t22＝2－8a，解得a＝94>0，符合题意．综上所述，a＝136或a＝94.[变式1]本例(2)的条件变为|PA||PB|＝6.求实数a的值．解：由本例解析知|PA|·|PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝|2－8a|＝6，解得a＝1或－12.又∵a>0，∴a＝1.[变式2]若本例曲线C1变为过点P(0，－1)，其参数方程为x＝2t，y＝－1＋2t(t为参数)，其他条件不变，求|PA|＋|PB|.解：曲线C1的参数方程化为x＝22t，y＝－1＋22t，代入曲线C2的方程y2＝4x得t2－62t＋2＝0.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝62，t1t2＝2，∴t1>0，t2>0.∴|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝6 2.[解题方略]利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0＝t1＋t2 2；(2)|PM|＝|t0|＝t1＋t22；(3)|AB|＝|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.题型二极坐标方程中极径几何意义的应用[例2]在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝1＋cos φ，y＝sin φ(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是2ρsinθ＋π3＝33，射线OM：θ＝π3与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段P Q的长．[解](1)由圆C的参数方程为x＝1＋cos φ，y＝sin φ(φ为参数)，可得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0. 由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)由θ＝π3，ρ－2cos θ＝0得P1，π3，由θ＝π3，2ρsinθ＋π3＝33得Q3，π3，结合图可得|P Q|＝|O Q|－|OP|＝|ρQ|－|ρP|＝3－1＝2.[解题方略]极径的几何意义及其应用(1)几何意义：极径ρ表示极坐标平面内点M到极点O的距离．(2)应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出弦长，结合根与系数的关系解题．[多练强化]1．(2019届高三·湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cos α，y＝sin α(α为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝ 2.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2的距离的最大值，并求此时点P的坐标．解：(1)曲线C1的普通方程为x23＋y2＝1，由ρsinθ＋π4＝2，得ρsin θ＋ρcos θ＝2，得曲线C2的直角坐标方程为x＋y－2＝0.(2)设点P的坐标为(3cos α，sin α)，则点P到C2的距离为|3cos α＋sin α－2|2＝2sinα＋π3－22，当sinα＋π3＝－1，即α＋π3＝－π2＋2kπ（k∈Z)，α＝－5π6＋2kπ（k∈Z)时，所求距离最大，最大值为22，此时点P的坐标为－32，－12.2．(2018·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cos t，y＝2sin t＋2(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若直线l1，l2的极坐标方程分别为θ1＝π6(ρ1∈R)，θ2＝2π3(ρ2∈R)，设直线l1，l2与曲线C的交点分别为O，M和O，N，求△OMN的面积．解：(1)由参数方程x＝2cos t，y＝2sin t＋2得普通方程为x2＋(y－2)2＝4，把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋(y－2)2＝4，得ρ2－4ρsin θ＝0.所以曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)由直线l1：θ1＝π6(ρ1∈R)与曲线C的交点为O，M，得|OM|＝4sinπ6＝2.由直线l2：θ2＝2π3(ρ2∈R)与曲线C的交点为O，N，得|ON|＝4sin2π3＝2 3.易知∠MON＝π2，所以S△OMN＝12|OM|×|ON|＝12×2×23＝2 3.[专题过关检测]1．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈0，π2.(1)求半圆C的参数方程；(2)若半圆C与圆D：(x－5)2＋(y－3)2＝m(m是常数，m＞0)相切，试求切点的直角坐标．解：(1)半圆C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤y≤2)，则半圆C的参数方程为x＝2＋2cos t，y＝2sin t(t为参数，0≤t≤π）．(2)C，D的圆心坐标分别为(2,0)，(5，3)，于是直线CD的斜率k＝3－05－2＝33.由于切点必在两个圆心的连线上，故切点对应的参数t 满足tan t ＝33，t ＝π6，所以切点的直角坐标为2＋2cos π6，2sin π6，即(2＋3，1)．2．(2018·贵阳摸底考试)曲线C 的参数方程为x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋π4＝ 2.(1)写出C 的普通方程，并用x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(α为直线的倾斜角，t 为参数)的形式写出直线l 的一个参数方程；(2)l 与C 是否相交？若相交，求出两交点的距离，若不相交，请说明理由．解：(1)C 的普通方程为x 24＋y 2＝1，由ρcos θ＋π4＝2得x －y －2＝0，则直线l 的倾斜角为π4，又直线l 过点(2,0)，得直线l 的一个参数方程为x ＝2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入C 的普通方程得5t 2＋42t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－425，显然l 与C 有两个交点，分别记为A ，B ，且|AB|＝|t 1－t 2|＝425.3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为x ＝cos α，y ＝3sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ－π4＝3 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程．(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|P Q |的最小值及此时点P 的直角坐标．解：(1)曲线C1的参数方程为x＝cos α，y＝3sin α(α为参数)，普通方程为x2＋y23＝1，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ－π4＝32，即ρcos θ＋ρsin θ－6＝0，直角坐标方程为x＋y－6＝0.(2)设P(cos α，3sin α)，则|P Q|的最小值为P到x＋y－6＝0距离，即|cos α＋3sin α－6|2＝2sinα＋π6－3，当且仅当α＝2kπ＋π3(k∈Z)时，|P Q|取得最小值22，此时P 12，32.4．(2018·贵阳适应性考试)在平面直角坐标系xOy中，曲线C：x＝3cos α，y＝sin α(α为参数)，在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为2 2ρcosθ＋π4＝－1.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)过点M(－1,0)且与直线l平行的直线l1交曲线C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之和．解：(1)曲线C的普通方程为x23＋y2＝1，由22ρcosθ＋π4＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.(2)直线l1的参数方程为x＝－1＋22t，y＝22t(t为参数)，将其代入x23＋y2＝1中，化简得2t2－2t－2＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝22，t1t2＝－1，所以|MA|＋|MB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝222－4×－1＝322.5．(2018·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2＋cos α，y＝2＋sin α(α为参数)，直线C2的方程为y＝3x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求1|OA|＋1|OB|.解：(1)由曲线C1的参数方程为x＝2＋cos α，y＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)(tan θ＝3)．(2)由ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，∴1|OA|＋1|OB|＝|OA|＋|OB||OA|·|OB|＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27.6．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线C2的参数方程为x＝m＋tcos α，y＝tsin α(t为参数，0≤α＜π），射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C1交于(不包括极点O)三点A，B，C.(1)求证：|OB|＋|OC|＝2|OA|；(2)当φ＝π12时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．解：(1)证明：设点A，B，C的极坐标分别为(ρ1，φ)，ρ2，φ＋π4，ρ3，φ－π4，因为点A，B，C在曲线C1上，所以ρ1＝4cos φ，ρ2＝4cosφ＋π4，ρ3＝4cosφ－π4，所以|OB|＋|OC|＝ρ2＋ρ3＝4cosφ＋π4＋4cosφ－π4＝42cos φ＝2ρ1，故|OB|＋|OC|＝2|OA|.(2)由曲线C2的方程知曲线C2是经过定点(m,0)且倾斜角为α的直线．当φ＝π12时，B，C两点的极坐标分别为2，π3，23，－π6，化为直角坐标为B(1，3)，C(3，－3)，所以tan α＝－3－33－1＝－3，又0≤α＜π，所以α＝2π3.故曲线C2的方程为y＝－3(x－2)，易知曲线C2恒过点(2,0)，即m＝2.7．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝1＋tcos α，y＝3＋tsin α(t为参数)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1：ρ＝4cos θ.直线l 与曲线C1相切．(1)将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，并求α的值．(2)已知点Q(2,0)，直线l与曲线C2：x2＋y23＝1交于A，B两点，求△AB Q的面积．解：(1)曲线C1：ρ＝4cos θ，即ρ2＝4ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝4x，即C1：(x－2)2＋y2＝4，可得圆心(2,0)，半径r＝2，直线l的参数方程为x＝1＋tcos α，y＝3＋tsin α(t为参数)，其中0≤α＜π，由题意l与C1相切，可得普通方程为y－3＝k(x－1)，k＝tan α，0≤α＜π且α≠π2，因为直线l与曲线C1相切，所以|k＋3|k2＋1＝2，所以k＝33，所以α＝π6.(2)直线l的方程为y＝33x＋233，代入曲线C2：x2＋y23＝1，整理可得10x2＋4x－5＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－25，x1·x2＝－12，所以|AB|＝1＋13·－252－4×－12＝625，Q到直线的距离d＝43313＋1＝2，所以△AB Q的面积S＝12×625×2＝625.8．已知直线L的参数方程为x＝2＋t，y＝2－2t(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝21＋3cos2θ.(1)求直线L的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)过曲线C上任意一点P作与直线L夹角为π3的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．解：(1)由x＝2＋t，y＝2－2t(t为参数)，得L的普通方程为2x＋y－6＝0，令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得直线L的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ－6＝0，由曲线C的极坐标方程，知ρ2＋3ρ2cos2θ＝4，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y24＝1.(2)由(1)，知直线L的普通方程为2x＋y－6＝0，设曲线C上任意一点P(cos α，2sin α)，则点P到直线L的距离d＝|2cos α＋2sin α－6|5.由题意得|PA|＝dsin π3＝4152sinα＋π4－315，所以当sinα＋π4＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为4153＋215.。

选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义一、广东高考考试大纲说明的具体要求：1.坐标系：①理解坐标系的作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况•③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系中给岀简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.2・参数方程：①了解参数方程，了解参数的意义.②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、基础知识梳理：1.伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换____________________ 的作用下，点P(x,y)对应到点P'(x；y°,称。

为平面直角坐标系中的_______________________ ,简称____________ O2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点0,叫做__________ ；自极点0引一条射线Ox叫做_______ ;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆吋针方向)，这样就建立了一个___________ 。

3•点M的极坐标：设M是平面内一点，极点0与点M的距离|0M|叫做点M的 ________ ，记为____ ;以极轴Ox为始边，射线0M为终边的ZXOM叫做点M的________ ,记为有序数对(°,&)叫做______________ ,记为______ • 极坐标_______ 与___________ 表示同一个点。

极点0的坐标为___________ ・4•若/?<0,则->0,规定点(-°,0)与点(00)关于极点对称，即(-°,0)与(°,龙+ &)表示同一点。

女n果规定p〉0,05&52龙，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(p,&)表示；同时，极坐标(p,&)表示的点也是唯一确定的。

高二理科专题复习讲义 坐标系与参数方程一、《考试说明》呈现 主备人:常青藤实验中学高二数学组 何睦二、高考试题展示（看看高考是怎么考的？）1．（08年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．（考查参数方程的简单应用）2．（09年江苏）已知曲线C 的参数方程为13()x y t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，0t >）．求曲线C 的普通方程．（考查参数方程与普通方程的互化）3．（10年江苏）在极坐标系中，已知圆θρcos 2=与直线0sin 4cos 3=++a θρθρ相切，求实数a 的值．（考查极坐标方程与直角坐标的互化） 4．（11年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点且与直线423x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行直线普通方程．（考查参数方程与普通方程的互化）三、试题分类汇总题型一：考查极坐标方程与直角坐标的互化例1：若两条曲线的极坐标方程分别为1=ρ与⎪⎭⎫⎝⎛+=3cos 2πθρ，它们相交于B A ,两点，求线段AB 的长度；例2：圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为θρcos 4=，θρsin 4-= （1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过圆1O 和圆2O 的交点的直线的直角坐标方程.例3：在极坐标系中，已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛π32,2P ，点Q 为圆θρcos 2:=C 上的动点，求点P 与点Q 间距离的最大值和最小值.题型二：参数方程与普通方程的互化例4：圆的方程是0sin 2cos 222=⋅-⋅-+y a x a y x θθ （1）若a 是参数，θ是常数，求圆心的轨迹； （2）若θ是参数，a 是常数，求圆心的轨迹题型三：参数方程的应用例5：（2011，湖南）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则C1与C2的交点个数为_____________个.例6：设直线1l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx 311，（t 为参数），直线2l 的方程为43+=x y ，则1l 与2l 间的距离为____________________ 例7：若直线043=++m x 与圆,sin 2cos 1⎩⎨⎧+-=+=θθy x （θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是______________例8：（2011，陕西）直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线13cos :4sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为______________例9：（2011，福建）在直接坐标系xOy 中，直线l 的方程为x-y+4=0，曲线C 的参数方程为x y sin ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩（为参数）．（I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为（4，2π），判断点P 与直线l 的位置关系；（II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．例10：（2011，全国卷）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．（I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求|AB|.例11：（2010，福建）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=. （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|.。

选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义广东高考考试大纲说明的具体要求：1．坐标系：① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程： ① 了解参数方程，了解参数的意义.② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.（一）基础知识梳理：1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

2．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。

极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 3.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。

如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

4．极坐标与直角坐标的互化：5。

圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,a (C (a>0)为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρ2acos =； 在极坐标系中，以 )2,a (C π(a>0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 θρ2asin =；6.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点)0a )(0,a (A >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a cos =θρ. 7．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),t (g y ),t (f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数。

选4系列坐标系与参数方程、不等式选讲§选修4－4坐标系与参数方程考纲展示► 1.理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．4．了解参数方程，了解参数的意义．5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．6．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．考点1直角坐标方程与极坐标方程的互化1.极坐标系(1)设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的________，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明，我们认为ρ≥0,0≤θ＜2π.(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝________，y＝________.另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________(x≠0)．答案：(1)极径(2)ρcos θρsin θx2＋y2yx2．常用简单曲线的极坐标方程(1)几个特殊位置的直线的极坐标方程①直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；②直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；③直线过M⎝⎛⎭⎫b，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b.(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程①当圆心位于极点，半径为r：ρ＝________；②当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝________；③当圆心位于M⎝⎛⎭⎫a，π2，半径为a：ρ＝________.答案：(2)①r②2a cos θ③2a sin θ[典题1](1)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22.①求圆O和直线l的直角坐标方程；②当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．[解]①圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0.直线l：ρsin⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0.②由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. (2)[2017·河南洛阳统考]已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos θ－π4＝2.①将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； ②求经过两圆交点的直线的极坐标方程． [解] ①由ρ＝2知，ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2， 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. ②将两圆的直角坐标方程相减，得 经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. [点石成金] (1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．考点2参数方程与普通方程的互化1.曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).并且对于t 的每一个允许值，上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________，其中变量t 称为________．答案：参数方程 参数 2．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ (t 为参数)．(2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ (θ为参数)．(3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ (θ为参数)．答案：(1)x 0＋t cos α y 0＋t sin α (2)a ＋r cos θ b ＋r sin θ (3)a cos θ b sin θ3．直线参数方程的标准形式的应用(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 是参数，t 可正、可负、可为0)．若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则(1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α)．(2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪t 1＋t 22.[典题2] (1)把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：①⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)；②⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝2＋t (t 为参数)； ③⎩⎨⎧x ＝t ＋1t，y ＝1t －t(t 为参数)．[解] ①由x ＝1＋12t ，得t ＝2x －2，∴y ＝2＋32(2x －2)， ∴3x －y ＋2－3＝0，此方程表示直线． ②由y ＝2＋t ，得t ＝y －2， ∴x ＝1＋(y －2)2，即(y －2)2＝x －1，此方程表示抛物线．③⎩⎨⎧x ＝t ＋1t，①y ＝1t －t ，②∴①2－②2，得x 2－y 2＝4，此方程表示双曲线．(2)[2017·重庆巴蜀中学模拟]已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋55t ，y ＝4＋255t (t 为参数)，①求曲线C 与直线l 的普通方程；②若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝455，求实数m 的值． [解] ①由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，①y －m ＝sin α，② ①的平方加②的平方，得曲线C 的普通方程为x 2＋(y －m )2＝1. 由x ＝1＋55t ，得55t ＝x －1， 代入y ＝4＋255t 得y ＝4＋2(x －1)，所以直线l 的普通方程为y ＝2x ＋2.②圆心(0，m )到直线l 的距离为d ＝|－m ＋2|5，所以由勾股定理，得⎝⎛⎭⎪⎫|－m ＋2|52＋⎝⎛⎭⎫2552＝1， 解得m ＝3或m ＝1.[点石成金] 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ， 所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)．考点3 极坐标、参数方程的综合应用[典题3] 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. [解] (1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得⎝⎛⎭⎫3－22t 2＋⎝⎛⎭⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(－32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义，得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝3 2.[点石成金] 1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．2．过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，t 的几何意义是直线上的点P 到点P 0(x 0，y 0)的数量，即|t |＝|P 0P →|，t 可正，可负．使用该式时直线上任意两点P 1，P 2对应的参数分别为t 1，t 2，则|P 1P2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2).[2017·黑龙江大庆模拟]在平面直角坐标方程xOy 中，已知直线l 经过点P ⎝⎛⎭⎫12，1，倾斜角α＝π6.在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |的值．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．由ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，得 ρ＝2cos θ＋2sin θ， ∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝2x ＋2y ，故圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)把⎩⎨⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)代入(x －1)2＋(y －1)2＝2，得t 2－32t －74＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝－74， ∴|P A |＋|PB |＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝312.[方法技巧] 1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方、两边同时乘以ρ等．2．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ.3．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法．[易错防范] 1.极径ρ是一个距离，所以ρ≥0，但有时ρ可以小于零．极角θ规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos ty ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆． 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中， 得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝ －1(舍去)或a ＝1. a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上． 所以a ＝1.2．[2016·新课标全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10，得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 3．[2016·新课标全国卷Ⅲ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4 ＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 4．[2015·新课标全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0， 解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1， 所以△C 2MN 的面积为12.5．[2015·新课标全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0 或⎩⎨⎧x ＝32y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)， 其中0≤α＜π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.课外拓展阅读直线参数方程中参数t 的几何意义过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α.(t 为参数)①通常称①为直线l 的参数方程的“标准式”．其中参数t 的几何意义是：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.当0<α<π时，sin α>0，所以，直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上．此时，若t >0，则M 0M →的方向向上；若t <0，则M 0M →的方向向下；若t ＝0，则点M 与点M 0重合．即当点M 在M 0上方时，有t ＝|M 0M →|；当点M 在M 0下方时，有t ＝－|M 0M →|.该参数t 经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中，解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于A ，B 两点，所求问题与定点到A ，B 两点的距离有关．解题时主要应用定点在直线AB 上，利用参数t 的几何意义，结合根与系数的关系进行处理，巧妙求出问题的解．[典例1] 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22ty ＝－4＋22t (t 为参数)．直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)求a 的取值范围；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．[思路分析] (1)由题意知，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a >0)，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，令Δ>0即可求得结果；(2)设交点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，由参数方程中t 1，t 2的几何意义，可得t 1＋t 2＝2(42＋2a )，t 1t 2＝2(16＋4a )，然后由|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，可得|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|，代入求解即可．[解] (1)由题意，可得曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a >0)，将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－2＋22ty ＝－4＋22t (t 为参数)代入曲线C 的直角坐标方程，得12t 2－(42＋2a )t ＋16＋4a ＝0，因为直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，所以Δ>0，即a >0或a <－4.又a >0，所以a 的取值范围为(0，＋∞)． (2)设交点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2. 则由(1)知，t 1＋t 2＝2(42＋2a )．t 1t 2 ＝2(16＋4a )，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，则|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|. 解得a ＝1或a ＝－4(舍去)， 所以实数a 的值为1.[典例2] 过点M (2,1)作曲线x 2＋4y 2＝16的弦AB ，若M 为线段AB 的三等分点，求线段AB 所在直线的方程．[思路分析][解] 设直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos αy ＝1＋t sin α(t 为参数)， 代入曲线方程，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋4(cos α＋2sin α)t －8＝0， 令A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－4cos α＋8sin αcos 2α＋4sin 2α，①t 1·t 2＝－8cos 2α＋4sin 2α.②因为点M (2,1)是弦AB 的三等分点，不妨令点M 为靠近点B 的一个三等分点， 所以t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝－t 2，t 1·t 2＝－2t 22＝－2(t 1＋t 2)2，③将①②代入③，得12tan 2α＋16tan α＋3＝0， 可求得tan α＝－4±76，则AB 所在直线的方程为y －1＝－4±76(x －2)．课时跟踪检测(七十五) [高考基础题型得分练]1．[2017·辽宁沈阳模拟]已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6，曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点． (1)求A ，B 两点的极坐标；(2)曲线C 1与直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)分别相交于M ，N 两点，求线段MN 的长度．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6，得ρ2cos π3＝8，所以ρ2＝16，即ρ＝±4.所以A ，B 两点的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎫－4，π6或 B ⎝⎛⎭⎫4，7π6. (2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为 x 2－y 2＝8，将直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 2－y 2＝8，整理得t 2＋23t －14＝0， 即t 1＋t 2＝－23，t 1·t 2＝－14， 所以|MN |＝(－23)2－4×(－14)＝217.2．[2017·吉林实验中学模拟]已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t(t 为参数)．(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A (1,0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．解：(1)椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －3y ＋9＝0.(2)设P (2cos θ，3sin θ)，则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92.由|AP |＝d ，得3sin θ－4cos θ＝5， 又sin 2θ＋cos 2θ＝1， 得sin θ＝35，cos θ＝－45.故P ⎝⎛⎭⎫－85，335.3．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程和直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|其中α为锐角，且tan α＝43，当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.4．[2017·河南洛阳模拟]极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴的交点为F ，求1|AF |＋1|BF |的值．解：(1)由ρsin 2θ＝8cos θ，得ρ2sin 2θ＝8ρcos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x . (2)易得直线l 与x 轴的交点为F (2,0)， 将直线l 的方程代入y 2＝8x ， 得(t sin α)2＝8(2＋t cos α)， 整理得sin 2α·t 2－8cos α·t －16＝0. 由已知sin α≠0，Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin 2α＝64＞0， ∴t 1＋t 2＝8cos αsin 2α，t 1t 2＝－16sin 2α＜0，故1|AF |＋1|BF |＝⎪⎪⎪⎪1t 1－1t 2＝⎪⎪⎪⎪t 1－t 2t 1t 2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝⎝⎛⎭⎫8cos αsin 2α2＋64sin 2α16sin 2α＝12. [冲刺名校能力提升练]1．[2017·辽宁五校联考]倾斜角为α的直线l 过点P (8,2)，直线l 和曲线C ：⎩⎨⎧x ＝42cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程； (2)求|PM 1|·|PM 2|的取值范围．解：(1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 24＝1，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得， (8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32，整理得(8sin 2α＋cos 2α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0， 由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2α＋cos 2α)>0， 得cos α>sin α，故α∈⎣⎡⎭⎫0，π4， ∴|PM 1|·|PM 2|＝|t 1t 2| ＝641＋7sin 2α∈⎝⎛⎦⎤1289，64. 2．[2017·山西模拟]在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋12t ，y ＝－3＋32t (t 为参数)．(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，定点P (－2，－3)，求|P A |·|PB |的值． 解：(1)ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4sin θ＋4cos θ， 所以ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ， 所以x 2＋y 2－4x －4y ＝0， 即(x －2)2＋(y －2)2＝8.直线l 的普通方程为3x －y ＋23－3＝0.(2)把直线l 的参数方程代入到圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＝0中，得t 2－(4＋53)t ＋33＝0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝33. 点P (－2，－3)显然在直线l 上， 由直线标准参数方程下t 的几何意义知， |P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝33， 所以|P A |·|PB |＝33.3．[2017·吉林长春模拟]以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 的半径为4.(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程． (2)试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π3，y ＝－5＋t sin π3(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t (t 为参数)．由题知C 点的直角坐标为(0,4)，圆C 的半径为4，∴圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝16.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得， 圆C 的极坐标方程为ρ＝8sin θ.(2)由题意得，直线l 的普通方程为3x －y －5－3＝0，圆心C 到l 的距离为d ＝|－4－5－3|2＝9＋32>4，∴直线l 与圆C 相离．4．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． 解：(1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π2， C ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π， D ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)， 令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2， 则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．。

高考数学一轮精品复习讲义：选修系列(第1部分：坐标系与参20XX年高考数学一轮精品复习讲义：选修系列(第1部分：坐标系与参数方程)20XX年数学一轮精品复习学案：选修系列第一部分：坐标系与参数方程【高考目标导航】一、坐标系1．考纲点击（1）理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；（2）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置。

能进行极坐标和直角坐标的互化；（3）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程。

2．热点提示（1）根据具体问题选择适当坐标系，简捷解决问题；（2）极坐标系的应用；（3）直角坐标与极坐标的互化。

二、参数方程1．考纲点击（1）了解参数方程，了解参数的意义；（2）能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。

2．热点提示（1）参数方程和普通方程互化；（2）会利用直线参数方程中参数的几何意义解决有关线段问题；（3）会利用圆、椭圆的参数方程，解决有关的最值问题。

【考纲知识梳理】1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:x x y y( 0)( 0)的作用下,点P(x,y)对应到点P (x ,y ),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念20XX年高考数学一轮精品复习讲义：选修系列(第1部分：坐标系与参数方程)(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为 .有序数对( , )叫做点M的极坐标,记作M( , ).一般地,不作特殊说明时,我们认为0, 可取任意实数.特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0, )( ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,0 2 ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标( , )表示;同时,极坐标( , )表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是( , )( 0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:20XX年高考数学一轮精品复习讲义：选修系列(第1部分：坐标系与参数方程)在一般情况下,由tan 确定角时,可根据点M所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程20XX年高考数学一轮精品复习讲义：选修系列(第1部分：坐标系与参数方程)注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即( , ),( ,2 ),( , ),( , ),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,点M((4,4)可以表示为4,2 或) 2或)(-44454)等多种形式,其中,只有(,)的极坐标满足方程 .444二、参数方程1.参数方程的概念x f(t)一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数①,并y g(t)且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与x f(t) y g(t)参数的关系y g(t),那么的取值范围保持一致.就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。