高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案

一平面直角坐标系-人教A版选修4-4 坐标系与参数方程教案1. 基本概念1.1 平面直角坐标系平面直角坐标系是指在平面上建立起一个直角坐标系，将二维平面上的任意点都能用其坐标表示出来。

平面直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴组成，分别为x轴和y轴。

坐标轴的交点称为坐标原点O，x轴和y轴的正方向分别取向右和向上。

1.2 参数方程参数方程是指用含有参数的方程表示函数的方法。

其中，参数是自变量，函数的值是关于参数的函数。

通常用一组参数，如t、θ等来表示函数。

2. 教学目标本节课教学目标为：•掌握平面直角坐标系的建立方法，能将二维平面上的任意点用其坐标表示出来。

•掌握用参数方程描述平面曲线的方法，能解决相关应用问题。

3. 教学重点•平面直角坐标系的建立方法。

•参数方程的概念，应用与推导方法。

4. 教学难点•参数方程描述平面曲线的方法。

•参数方程在几何应用中的解题方法。

5. 教学内容及过程5.1 知识讲解5.1.1 平面直角坐标系要求学生掌握平面直角坐标系的建立方法，说出x轴和y轴的正方向，确定坐标原点，并会将二维平面上的任意点用其坐标表示出来。

5.1.2 参数方程要求学生掌握参数方程的概念，了解参数方程与常规方程的区别，掌握参数方程描述平面曲线的方法，并能解决相关应用问题。

5.2 课堂互动5.2.1 平面直角坐标系练习让学生在纸上绘制出平面直角坐标系并标注好坐标轴、坐标原点以及x轴和y 轴的正方向。

然后，教师可以随机给出几个点的坐标进行练习，并让学生互相交换练习答案。

5.2.2 参数方程的练习让学生练习参数方程的应用，例如让学生求出直线 y = 2x - 1 的参数方程，并根据所求出的参数方程进行绘制。

另外，也可以出一些实际应用中相关的问题，例如让学生通过参数方程求出某行星的轨道方程等。

5.3 课堂小结教师对本节课所讲内容进行总结，强调重点、难点内容，并进行提问、讨论。

同时，对本节课的拓展内容进行展示，并引导学生进行初步了解。

直线的参数方程（1）教学设计一、教学目标：知识与技能：（1）了解直线参数方程的条件及参数t 的几何含义（2）会使用t 的几何意义解简单的题目。

（3）体会什么条件下使用直线的参数方程。

过程与方法：（1）利用翻转课堂形式自学直线的参数方程，课堂上应用主要联系应用。

（2）使用生活中的汽车行驶来发现t 的集合含义。

（3）课堂上由学生讨论解决问题。

情感、态度与价值观：（1） 培养学生自学的能力，并体会自主学习的快乐。

（2） 体会观察、探索、查错的过程，培养解决问题的方向和信心。

二 教学重点：直线参数方程中t 的几何含义教学难点：利用t 的几何含义解决问题三、教学方法：启发、诱导发现教学四 教学过程：课前导学：（1）利用多媒体的优势建立高速公路实景，对引入t 的几何含义有决定性的作用。

学生可以在实景中体会直线上的任意一点与一个实数一一对应关系。

（2）视频有助于学生反复观看，对学生的学习有很好的作用。

课堂教学：例1 引入：同学们，昨天我们在家里通过视频学习了直线的参数方程，那么直线的参数方程怎么写呢？ T 有没有几何含义？是什么呢？（|t |=|PM |－1,2到A ，B 两点的距离之积（我们用普通方程可以解吗？让同学说出思路，指出麻烦之处，关键是由MA,MB 引起PMt )1(的，什么里面可以有MA,MB 联想到参数方程）问题1 ：怎么把直线普通方程写成参数方程（学生活动）主要是由斜率找到倾斜角 解: 的参数方程为:问题2：怎么表达两个曲线相交（学生活动）把它代入＝2中,得t 2+√2t −2=0 问题3：你要什么？（距离的积）小结例题1中的三个问题。

学生活动练一练：在平面直角坐标系中，已知直线：（为参数），曲线的方程为设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值 解：）将代入②式，得，点M 的直角坐标为（0，3）．设这个方程的两个实数根分别为t 1，t 2，则t 1t 2=-3 =3∴ t 1＜0， t 2＜0则由参数t 的几何意义即得（注意引导学生分析t 1＜0， t 2＜0） 挑战一下（合作探究）21(222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即为参数）21t t B A 、对应的参数分别为、设2,22121-=-=+t t t t 则2||||||||||2121==⋅=⋅t t t t MB MA在平面直角坐标系中，已知点，曲线C 的参数方程为为参数设直线L 与曲线C 交于A,B 两个不同的点，求的值 本题的难点：（1）在于圆是参数方程，直线是普通方程，如何选取方程形式是关键（2）如何表达解：曲线的普通方程为①， 直线的参数方程为（为参数）②， 把②代入①得，得，， 又∵，，且与异号， ∴回顾：为什么直线写参数方程，圆写普通方程？本题中为什么|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2 |例题1中求AB 的长度。

坐标系与参数方程教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应该能够：1.掌握二维直角坐标系和三维直角坐标系的定义和表示；2.理解二维和三维坐标系中的基本几何概念，如点、线、面等；3.掌握直线和平面的参数方程的概念和解法；4.能够应用参数方程求解二维和三维图形的问题。

二、教学内容1. 二维直角坐标系在数学中，直角坐标系是一个二维平面上的坐标系。

它由两条垂直的数轴组成，分别为水平的x轴和垂直的y轴。

x轴和y轴相交于原点，这个点的坐标为(0,0)。

我们可以通过二元有序对(x,y)表示平面上的点。

2. 三维直角坐标系除了二维的直角坐标系，我们还需要在三维空间中使用直角坐标系。

三维直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴组成，分别为x轴、y轴和z轴，它们的交点称为空间原点。

我们可以通过三元有序组(x,y,z)表示空间中的点。

3. 直线和平面的参数方程在二维空间中，我们可以使用直线的斜率截距式表示直线方程，但是在三维空间中，这个方法无法使用，我们需要使用直线的参数方程。

直线的参数方程可以用向量或联立的方程表示。

在平面几何中，平面的方程通常表示为一般式或点法式。

但在三维空间中，我们也需要使用平面的参数方程。

平面的参数方程通常表示为一个点和两个方向向量的线性组合。

4. 应用参数方程解题在学习直线和平面的参数方程之后，我们可以用它们来解决更复杂的几何问题。

例如，在给定直线和平面的参数方程的情况下，可以计算它们的交点。

或者，如果给定一条直线和一个点，我们可以利用直线的参数方程计算出这条直线上距离该点最近的点。

三、教学方法1.在讲解直角坐标系的概念和表示方法时，可以使用PPT演示文稿或黑板进行展示；2.通过数学拓扑图和讲解，帮助学生理解坐标系中的基本几何概念；3.结合实例进行讲解，帮助学生理解直线和平面的参数方程的求解方法；4.设计课堂授课练习，让学生在解题中巩固所学知识。

四、教学步骤1. 理论部分1.介绍坐标系的概念和定义；2.分别讲解二维直角坐标系和三维直角坐标系的表示；3.介绍直线和平面的参数方程的定义和表示方法；4.演示几个典型的参数方程的例子。

课题：直角坐标系课型：新授课教者：孙明远课题二教学目标1知识目标：了解直线上点的坐标的意义，理解平面直角坐标系的建立，理解空间直角坐标系的建立；2能力目标：能用类比的方法由平面直角坐标系来学习空间直角坐标系及其有关性质和公式；3情感目标：掌握利用直角坐标系研究数学问题的基础方法。

教学重点：想到建立直角坐标系，并应用直角坐标系研究数学问题。

教学难点：与其他章节的综合应用。

教学行为流程：（不同时间段和学习内容怎样教、学的方式）时间环节教学内容师生互动设计意图2分钟引入65数轴上的基本公式；106空间直角坐标系；1直角坐标系教师通过预习案，对高中教材中涉及直角坐标系的部分，让学生课前进行学习，教师通过作业批改，以学定教。

由于在必修二中，学生有一定的学习基础，所以教师将本课部分新授内容交给学生自学。

教师以数学家故事引入，激发学生学习兴趣，初步渗透本课的数学方法。

8分钟探究一：直线上的点的坐标1解不等式：73x-<2解不等式：21x->学生先自主探究，教师巡视，收集问题，适度个别学生指小结规律绝对值的几何意义：a和a b-表示学习直线上的导。

点的坐标的常见用法。

10分钟探究二：平面直角坐标系－2，0，B1，0，如果动点ABC∆090C∠=3CA CB==M2BM AM=CM CA⋅=,河宽BC=3M,另一侧有点A,AB=4m,则点A与塔顶D的距离AD等于________．老师组织小组讨论，展示，老师提问点评并强调组内互对答案，小组讨论解决困惑并展示，强化记忆新方法。

组长负责组织协调合作，提醒记录等；纪律组长负责调控声音、纪律、时间讨论结束立即坐下，整理学案，进行理解记小结规律：用坐标法研究空间数量忆，准备展示、点评5分钟课堂小结10分钟巩固练习长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图所示的空间直角坐标系1写出点D、N、M的坐标；2求线段MD、MN的长度．教师组织本课小结：即知识小结，小组评价重点突破一、预判的学生问题：1.学生没有建立直角坐标系的意识和方法。

（3.5学案）第1讲 极坐标系与参数方程(大题)教学目标1.会将参数方程，极坐标方程化为普通方程2.理解极坐标方程中ρ，θ含义，参数方程中直线中的t 的含义，圆与椭圆中θ几何意义，及应用教学重点：ρ，θ应用及直线参数方程中t 应用椭圆中θ应用 教学难点：椭圆中θ的含义题型一：极坐标.参数方程与普通方程互化 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y)和(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx x ≠0.2．在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．（1）．直线的参数方程过定点M(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t为参数)．（2）．圆的参数方程圆心为点M(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数)．（3）．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)．(2)抛物线y 2＝2px(p>0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)．（4）．(1)参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来，所以有时处理曲线上与点的坐标有关的问题时，用参数方程求解非常方便；(2)充分利用直线、圆、椭圆等参数方程中参数的几何意义，在解题时能够事半功倍．例1、（1）方程表示的曲线是（ ）A. 双曲线B.双曲线的上支C.双曲线的下支D.圆 分析：把参数方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略.解析：注意到t与互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含的项，即有，又注意到，可见与以上参数方程等价的普通方程为.显然它表示焦点在轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.点评：这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题，转化的关键是要注意变量范围的一致性.（2）、设P 是椭圆上的一个动点，则的最大值是 ，最小值为 .分析：注意到变量的几何意义，故研究二元函数的最值时，可转化为几何问题.若设，则方程表示一组直线，（对于取不同的值，方程表示不同的直线），显然既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式问题.解析：令，对于既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得，由，解得：，所以的最大值为，最小值为.点评：对于以上的问题，有时由于研究二元函数有困难，也常采用消元，但由满足的方程来表示出或时会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，但若通过三角函数换元，则可实现这一途径.即，因此可通过转化为的一元函数.以上二个思路都叫“参数法”.（3）、极坐标方程表示的曲线是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.解析：由，化为直角坐标系方程为，化简得.显然该方程表示抛物线，故选D.点评：若直接由所给方程是很难断定它表示何种曲线，因此通常要把极坐标方程化为直角坐标方程，加以研究.（4）、极坐标方程转化成直角坐标方程为（）A． B． C． D．分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.解析：，因此选C.点评：此题在转化过程中要注意不要失解，本题若成为填空题，则更要谨防漏解.通关练习一1. 已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标是（）A. B. C. D.2．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）A． B． C． D．3．下列在曲线上的点是（）A． B． C． D．4．将参数方程化为普通方程为（）A． B． C．D．5．参数方程为表示的曲线是（）A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线6．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（） A． B． C． D．7．极坐标方程表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆8．直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是（）A． B． C． D．9. 圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程为10 若A，B，则|AB|=__________，___________（其中O是极点）11. ，若A、B是C上关于坐标轴不对称的任意两点，AB 的垂直平分线交x轴于P（a，0），求a的取值范围.一、选择题：1.A 解析：能表示点M的坐标有3个，分别是B、C、D.2．D 解析：3．B 解析：转化为普通方程：，当时，4．C 解析：转化为普通方程：，但是5、D 解析：表示一条平行于轴的直线，而，所以表示两条射线6．D 解析：，得，因此中点为7．C 解析：，则或8、C 解析：距离为9、解析：如下图，设圆上任一点为P（），则10、解析：在极坐标系中画出点A、B，易得，11. 解析：，，，，题型二极坐标，参数方程综合应用例2 (2019·全国Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ)(ρ>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程； (2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 解 (1)因为M(ρ0，θ0)在C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3. 由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2. 设Q(ρ，θ)为l 上除P 的任意一点，连接OQ ，在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上．所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，故θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.跟踪演练1 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋3y ＝53，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.射线OP ：θ＝π6(ρ≥0)与圆C 的交点为O ，A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长．解 由题意知ρA ＝4sinπ6＝2， ρB ＝532sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π6＝5，所以|AB|＝|ρA －ρB |＝3.例 3 (2019·六安质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，过点P(－2,0)作斜率为k 的直线l 与圆C交于A ，B 两点．(1)若圆心C 到直线l 的距离为455，求k 的值；(2)求线段AB 中点E 的轨迹方程．解 (1)由题意知，圆C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即圆C 的圆心为C(2,0)，半径r ＝2.依题意可得过点P(－2,0)的直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0， 设圆心C(2,0)到直线l 的距离为d ， 则d ＝|2k ＋2k|1＋k 2＝|4k|1＋k2＝455， 解得k ＝±12.(2)设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋tcos θ，y ＝tsin θ(t 为参数)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6，代入圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，得t 2－8tcos θ＋12＝0. 设A ，B ，E 对应的参数分别为t A ，t B ，t E ， 则t E ＝t A ＋t B2， 所以t A ＋t B ＝8cos θ，t E ＝4cos θ. 又点E 的坐标满足⎩⎨⎧x ＝－2＋t E cos θ，y ＝t E sin θ，所以点E 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋4cos 2θ，y ＝4sin θcos θ，即⎩⎨⎧x ＝2cos 2θ，y ＝2sin 2θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6，化为普通方程为x 2＋y 2＝4(1<x ≤2)．例4在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．(1)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值；(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，已知点M(1,1)，求|MA|·|MB|的值． 解 (1)设曲线C 上任意一点N(2cos α，3sin α)， 直线l ：x －2y ＋1＝0，则点N 到直线l 的距离d ＝|2cos α－23sin α＋1|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋15≤5，∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为 5. (2)设直线l 的倾斜角为θ， 则由(1)知tan θ＝12，∴cos θ＝255，sin θ＝55. ∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋255t ，y ＝1＋55t (t 为参数)，曲线C ：x 24＋y 23＝1，联立方程组，消元得165t 2＋45t －5＝0， 设方程两根为t 1，t 2，则t 1t 2＝－2516， 由t 的几何意义，得|MA|·|MB|＝－t 1t 2＝2516. 通关练习二1．(2019·东莞调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝34＋3t ，y ＝a ＋3t(t 为参数)，圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 和圆C 的极坐标方程； (2)若射线θ＝π3与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值．解(1)∵直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝34＋3t ，y ＝a ＋3t(t 为参数)，∴在直线l 的参数方程中消去t 可得直线l 的普通方程为x －y －34＋a ＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线l 的普通方程中， 得到直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－34＋a ＝0.∵圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4，∴圆C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0.(2)在极坐标系中，由已知可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π3，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ3，π3，联立⎩⎨⎧θ＝π3，ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0，得ρ2－(3＋33)ρ＋14＝0， ∴ρ2＋ρ3＝3＋3 3. ∵点M 恰好为AB 的中点， ∴ρ1＝3＋332，即M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋332，π3. 把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋332，π3代入ρcos θ－ρsin θ－34＋a ＝0，得3()1＋32×1－32－34＋a ＝0，解得a ＝94.2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(m,2)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋t ，y ＝2－t(t 为参数，m ∈R )，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋8cos θ－ρ＝0. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA|＝2|PB|，求实数m 的值． 解 (1)C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝m ＋t ，y ＝2－t(t 为参数，m ∈R )，消参得普通方程为x ＋y －m －2＝0.C 2的极坐标方程化为ρ(2cos 2θ－1)＋8cos θ－ρ＝0，两边同乘ρ得2ρ2cos 2θ＋8ρcos θ－2ρ2＝0，即y 2＝4x. 即C 2的直角坐标方程为y 2＝4x.(2)将曲线C 1的参数方程标准化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －22t ，y ＝2＋22t (t 为参数，m ∈R )，代入曲线C 2：y 2＝4x ， 得12t 2＋42t ＋4－4m ＝0， 由Δ＝(42)2－4×12×(4－4m)>0，得m>－3，设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，由题意得|t 1|＝2|t 2|，即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，当t 1＝2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝2t 2，t 1＋t 2＝－82，t 1·t 2＝24－4m，解得m ＝－239，满足m>－3； 当t 1＝－2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝－82，t 1·t 2＝24－4m解得m ＝33，满足m>－3. 综上，m ＝－239或33. 3．(2019·衡水中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知直线C 3的极坐标方程为θ＝α(0<α<π，ρ∈R )，A 是C 3与C 1的交点，B 是C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，|AB|＝42，求α的值． 解 (1)由⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ，得C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，又y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2， 所以C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4. (2)由(1)知曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 所以其极坐标方程为ρ＝4cos θ.设点A ，B 的极坐标分别为(ρA ，α)，(ρB ，α)， 则ρA ＝4cos α，ρB ＝4sin α，所以|AB|＝|ρA －ρB |＝4|cos α－sin α| ＝42⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝42，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝±1，即α－π4＝k π＋π2(k ∈Z )，解得α＝k π＋3π4(k ∈Z )，又0<α<π，所以α＝3π4. 4．(2019·保山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α(t 为参数)，直线l 与⊙O 交于A ，B 两个不同的点．(1)求倾斜角α的取值范围；(2)求线段AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解 (1)直线l 的倾斜角为α，当α＝π2时，直线l(即y 轴)与⊙O 交于A ，B 两个不同的点，符合题目要求；当α≠π2时，记k ＝tan α，直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α 化为普通方程为kx －y －2＝0，圆心O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2.因为直线l 与⊙O 交于不同的两点， 所以21＋k2<2， 解得k>1或k<－1.当k<－1时，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4；当k>1时，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，综上，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，其直角坐标方程为x 2＋y 2＝2， 因直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝2中得，t 2－4tsin α＋2＝0， 故可设A(t 1cos α，－2＋t 1sin α)，B(t 2cos α，－2＋t 2sin α)，注意到t 1 ，t 2为方程的根，故t 1＋t 2＝4sin α， 点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t 1＋t 22cos α，－2＋t 1＋t 22sin α， 即(sin 2α，－1－cos 2α)， 所以点P 的轨迹的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝sin 2α，y ＝－1－cos 2α(α为参数)．。

选修4-4教案教案1平面直角坐标系（1课时）教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）教案3极坐标系的的概念（1课时）教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时）教案5圆的极坐标方程（2课时）教案6直线的极坐标方程（2课时）教案7球坐标系与柱坐标系（2课时）教案8参数方程的概念（1课时）教案9圆的参数方程及应（2课时）教案10圆锥曲线的参数方程（1课时）教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时）教案12直线的参数方程（2课时）教案13参数方程与普通方程互化（2课时）教案14圆的渐开线与摆线（1课时）课题：1、平面直角坐标系教学目的：知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题授课类型：新授课教学模式：互动五步教学法教具：多媒体、实物投影仪复习及预习提纲：1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法2坐标系的作用————教学过程————复习回顾和预习检查1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法2坐标系的作用创设情境，设置疑问情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。

情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。

要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。

问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？分组讨论刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。

选修4-4 坐标系与参数方程
第一节坐标系
课时计划：
实际教学课时：
教学方法：
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知识点：
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：______________的作用下，点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
2.极坐标系与点的极坐标
(1)极坐标系：在平面内取一个定点O，叫做_____，自极点O引一条射线Ox，叫做_____；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，就建立了极坐标系.
(2)点的极坐标：对于极坐标系所在平面内的任一点M，若设|OM|=ρ(ρ≥0)，以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的角为θ，则点M可用有序数对______表示.
(3)极坐标与直角坐标的互化公式：
设点P的直角坐标为(x,y)，它的极坐标为(ρ,θ)，则相互转化公式为
3.直线的极坐标方程
(1)特殊位置的直线的极坐标方程：
(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线l经过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，直线l的极坐标方程为：ρsin(α-θ)=______________.
4.半径为r的圆的极坐标方程
(1)特殊位置的圆的极坐标方程：
(2)一般位置的圆的极坐标方程：圆心为M(ρ0,θ0)，半径为r
的圆的极坐标方程为______________________________.
板书设计与典例分析：。

选修4-4教案教案1平面直角坐标系（1课时）教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）教案3极坐标系的的概念（1课时）教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时）教案5圆的极坐标方程（2课时）教案6直线的极坐标方程（2课时）教案7球坐标系与柱坐标系（2课时）教案8参数方程的概念（1课时）教案9圆的参数方程及应（2课时）教案10圆锥曲线的参数方程（1课时）教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时）教案12直线的参数方程（2课时）教案13参数方程与普通方程互化（2课时）教案14圆的渐开线与摆线（1课时）课题：1、平面直角坐标系教学目的：知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题授课类型：新授课教学模式：互动五步教学法教具：多媒体、实物投影仪1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法2坐标系的作用1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法2坐标系的作用情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。

情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。

要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。

问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。

它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。

人教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程全套教案课型：复习课课时数：讲学时间： 20101月18号班级：学号： 1、了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

2、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。

3、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。

通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。

4、分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程，能进行参数方程与普通方程的互化。

二、【回归教材】：1、阅读《》,试了解1）设点是平面直角坐标系中的任意一点，在伸缩变换公式的作用下，如何找到点P的对应点？试找出变换为的伸缩变换公式 .（2）极坐标系是如何建立的？试类比平面直角坐标系的建立过程画一个，并写出点M的极径与极角来表示它的极坐标，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，写出极坐标和直角坐标的互化公式 .（3）在平面直角坐标系中，曲线C可以用方程来表示，在极坐标系中，我们用什么方程来表示这段曲线呢？例如圆，直线，你是如何用极坐标方程表示它们的？2、阅读选修4-4《》2）将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型，我们是如何做到的？在互化的过程中，必须注意什么问题？试探究一下圆锥曲线的参数方程与普通方程的互化。

三、【达标练习与作业】：1、在同一平面直角坐标系中，曲线经过一个伸缩变换后变为，则这个伸缩变换为 .2、已知点的极坐标为，则它的直角坐标为；而如果点的直角坐标为，则它的极坐标为 .3、化极坐标方程为直角坐标方程是；则极坐标方程表示的曲线是；而圆心为，半径为3的圆所表示的极坐标方程为 .4、直线（t为参数）的倾斜角的大小是 .5、极坐标方程为，它所表示的圆的半径为 .6、（t为参数）上到点的距离为的点坐标为 .7、已知为参数，求点到方程表示的曲线的距离的最小值 .8、已知直线（t为参数），求被双曲线截得的弦长 .四、【课后反思】：书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

第一章 坐标系第一课时 平面直角坐标系 一、理解新知 1．平面直角坐标系 （1）平面直角坐标系的作用：使平面上的点与 、曲线与 建立联系，从而实现 的结合． （2）坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的 元素，将几何问题转化为 问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成 结论． 2．平面直角坐标系中的伸缩变换 （1）平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为 伸缩变换，这就是用 研究 变换． （2）平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)y ′＝μy (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二、考点例题考点一 求轨迹方程[例1] (2012·湖北高考改编)设A 是单位圆122=+y x 上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标． 方法规律小结求轨迹的常用方法(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直接求解．(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程．(3)代入法：如果动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (11,y x )，而Q (11,y x )又在某已知曲线上，则可先列出关于x ，y ，11,y x 的方程组，利用x 、y 表示11,y x ，把11,y x 代入已知曲线方程即为所求． (4)参数法：动点P (x ，y )的横纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程． 变式训练1．二次方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为sin θ，cos θ，求点P (a ，b )的轨迹方程(其中|θ|≤π4)．2．△ABC 中，若BC 的长度为4，中线AD 的长为3，求A 点的轨迹方程．考点二 用坐标法解决几何问题[例2] 已知△ABC 中，AB ＝AC ，BD 、CE 分别为两腰上的高．求证：BD ＝CE . 方法规律小结建立平面直角坐标系的原则根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点，②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴， ③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上． 变式训练1．求证等腰梯形对角线相等．已知：等腰梯形ABCD .求证：AC ＝BD . 2．已知△ABC 中，BD ＝CD ， 求证：AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋BD 2)． 考点三 直角坐标系中的伸缩变换[例3] 求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 2＋y 2＝1变成曲线x ′29＋y ′24＝1.方法规律小结 坐标伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ＞0y ′＝μy μ＞0注意变换中的系数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程．已知前换前后曲线方程也可求伸缩变换φ. 变式训练1．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 24＋y 29＝1变成曲线x ′216＋y ′29＝1.2．求4x 2－9y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y 后的图形所对应的方程．第二课时 极坐标系理解新知1．极坐标系的概念（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做 ，自极点O 引一条射线Ox ，叫做 ；再选定一个 ，一个角度单位(通常取弧度)及其 (通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． （2）极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M ，用ρ表示 ，用θ表示 ，ρ叫做点M 的 ，θ叫做点M 的 ，有序数对 就叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． 2．极坐标和直角坐标的互化（1）互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．（2）互化公式，二、考点例题考点一 求点的极坐标[例1] 已知点Q (ρ，θ)，分别按下列条件求出点P 的极坐标．（1）点P 是点Q 关于极点O 的对称点； （2）点P 是点Q 关于直线θ＝π2的对称点．方法规律小结设点M 的极坐标是),(θρ，则M 点关于极点的对称点的极坐标是),(θρ-或),(πθρ+；M 点关于极轴的对称点的极坐标是),(θρ-；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是),(θπρ-或),(θρ--．另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的． 变式训练1．设点A (1，π3)，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求：（1）点A 关于极轴的对称点； （2）点A 关于直线l 的对称点；（3）点A 关于极点的对称点．(限定ρ>0，－π＜θ≤π)．2．在极坐标系中，点A 的极坐标是(3，π6)，求点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈[0,2π])．考点二 点的极坐标与直角坐标的互化[例2] （1）把点A 的极坐标(2，7π6)化成直角坐标；（2）把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标．(ρ>0，0≤θ<2π)．方法规律小结（1）极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者缺一不可．（2）熟记互化公式，必要时可画图来分析． 变式训练1．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为 ( ) A ．(2，π4) B ．(2，3π4) C ．(2，5π4) D ．(2，7π4)2．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系． （1）已知点A 的极坐标(4，5π3)，求它的直角坐标； （2）已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)第三课时 圆的极坐标方程理解新知1．曲线的极坐标方程（1）在极坐标系中，如果曲线C 上 的极坐标中有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点 ，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的 ． （2）建立曲线的极坐标方程的方法步骤是：①建立适当的极坐标系，设),(θρP 是曲线上任意一点． ②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式． ③将列出的关系式整理、化简．④证明所得方程就是曲线的极坐标方程．2．圆的极坐标方程（1）圆心在C (a,0)(a ＞0)，半径为a 的圆的极坐标方程为 . （2）圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程为 . （3）圆心在点(a ，π2)处且过极点的圆的方程为二、考点例题考点一 圆的极坐标方程[例1] 求圆心在),(00θρ，半径为r 的圆的方程． 方法规律小结几种特殊情形下的圆的极坐标方程当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos θ，若再有ρ0＝r ，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2r cos θ，若ρ0＝r ，θ0≠0，则方程为ρ＝2r cos(θ－θ0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置． 变式训练1．在极坐标系中，以(a 2，π2)为圆心，a2为半径的圆的方程是________．2．求圆心在A (2，3π2)处并且过极点的圆的极坐标方程．考点二 极坐标方程与直角坐标的互化[例2] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：（1）y 2＝4x ；（2）x 2＋y 2－2x －1＝0；（3）ρ＝12－cos θ.方法规律小结在进行两种坐标方程间的互化时，要注意：（1）互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ＜2π范围内求值．（3）由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简．（4）由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形． 变式训练1．把下列直角坐标方程化为极坐标方程．（1）y ＝3x ；（2）x 2－y 2＝1.2．把下列极坐标方程化为直角坐标方程． （1）ρ2cos 2θ＝1；（2）ρ＝2cos(θ－π4)．第四课时 直线的极坐标方程理解新知1．直线的极坐标方程（1）若直线经过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程为 ． （2）当直线l 过极点，即ρ0＝0时，l 的方程为 .（3）当直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴时，l 的方程为 . （4）当直线l 过点M (b ，π2)且平行于极轴时，l 的方程为 .2．图形的对称性（1）若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于 对称．（2）若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线 所在直线对称． （3）若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于 对称．二、考点例题考点一 求直线的极坐标方程[例1] 求从极点出发，倾斜角是π4的射线的极坐标方程．方法规律小结求直线的极坐标方程，首先应明确过点),(00θρM ，且极轴到此直线的角为α的直线极坐标方程的求法．另外，还要注意过极点、与极轴垂直和平行的三种特殊情况的直线的极坐标方程． 变式训练1．求过A (2，π4)且垂直于极轴的直线的方程．2．设点A 的极坐标为(2，π6)，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，求直线l 的极坐标方程．考点二 直线的极坐标方程的应用[例2] 在极坐标系中，直线l 的方程是ρsin(θ－π6)＝1，求点P (2，－π6)到直线l 的距离．方法规律小结对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，通常是将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．变式训练1．在极坐标系),(θρ(0≤θ<2π)中，曲线θρsin 2=与1cos -=θρ的交点的极坐标为________ 2．已知直线的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝22，则点A (2，7π4)到这条直线的距离是________第五课时 柱坐标系理解新知柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系O xyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用),(θρ(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标．这时点P 的位置可用有序数组 (z ∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组),,(z θρ之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组),,(z θρ叫做点P 的柱坐标，记作 ，其中 (2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标),,(z θρ之间的变换公式为二、考点例题考点一 将直角坐标化为柱坐标[例1] 设点A 的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标．方法规律小结知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出θtan 后，还要根据点M 所在象限确定θ的值(θ的范围是[0,2π))． 变式训练1．点A 的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标 2．点M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标．考点二 把点的柱坐标化为直角坐标[例2] 已知点P 的柱坐标为(4，π3，8)求它的直角坐标．方法规律小结知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z 即可．变式训练1．点N 的柱坐标为(2，2π，3)，求它的直角坐标． 2．已知点A 的柱坐标为(1，π，2)，B 的柱坐标为(2，π2，1)，求A 、B 两点间距离．第六课时 球坐标系理解新知球坐标系（1）定义：建立空间直角坐标系O xyz ，设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为ϕ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角θ，这样点P 的位置就可以用有序数组 表示．这样，空间的点与有序数组),,(θϕr 之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组),,(θϕr 叫做点P 的球坐标，记作 ，其中（2）空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标),,(θϕr 之间的变换关系为 二、考点例题考点一 将点的球坐标系化为直角坐标[例1] 已知点P 的球坐标为(4，3π4，π4)求它的直角坐标．方法规律小结已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求得，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ. 变式训练1．求下列各点的直角坐标：（1）M (2，π6，π3)；（2）N (2，3π4，7π6)．2．将M 的球坐标),,(πππ化成直角坐标．考点二 将点的直角坐标化为球坐标[例2] 设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求它的球坐标． 方法规律小结由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，再利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，求出r 、θ、φ代入点的球坐标即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，cos φ＝zr .特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．变式训练1．求下列各点的球坐标：（1）M (1，3，2)；（2）N (－1,1，－2)．第二章 参数方程第一课时 参数方程的概念理解新知1．参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x ，y 都是某个变数t (θ，φ，…)的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝fty ＝gt ①，并且对于每一个t 的允许值，方程组①所确定的点(x ，y ) ，那么方程组①就叫这条曲线的 ，t 叫做 ，相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫 ．2．参数的意义是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有 意义或 意义的变数，也可以是 的变数．二、考点例题考点一 求曲线的参数方程[例1] 如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B 、A 分别在x 轴、 y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．方法规律小结求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略． 变式训练1．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60 rad/s ，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．2．选取适当的参数，把直线方程y ＝2x ＋3化为参数方程．考点二 参数方程表示曲线上的点（1）判断点M 1(0,1)，M 2(5,4)与曲线C 的位置关系．（2）已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值．方法规律小结参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的． 变式训练1．曲线4)1(22=+-y x 上的点可以表示为( ) A ．(－1＋cos θ，sin θ) B ．(1＋sin θ，cos θ) C ．(－1＋2cos θ，2sin θ) D ．(1＋2cos θ，2sin θ)2．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 为参数，a ∈R)．点M (5,4)在该曲线上，求常数a .第二课时 圆的参数方程理解新知圆的参数方程（1）在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝ ，sin ωt ＝ ，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为 (t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：（2）若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为 (θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 时针旋转到 的位置时，OM 0转过的角度．（3）若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为二、考点例题考点一 求圆的的参数方程[例1] 圆)0()(222>=+-r r y r x ，点M 在圆上，O 为原点，以∠MOx ＝φ为参数，求圆的参数方程．方法规律小结（1）确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.（2）由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程． 变式训练1．已知圆的方程为x y x 222=+，写出它的参数方程．2．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．考点二 圆的参数方程的应用[例2] 若x ，y 满足4)2()1(22=++-y x ，求2x ＋y 的最值．方法规律小结圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题． 变式训练1．求原点到曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2sin θ，y ＝－2＋2cos θ(θ为参数)的最短距离．2．已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．第三课时 参数方程与普通方程的互化一、理解新知1．参数方程转化为普通方程曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过_________而从参数方程得到普通方程．2．普通方程转化为参数方程如果知道变数y x ,中的一个与参数t 的关系，例如)(t f x =，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系)(t g y =，那么⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 就是曲线的参数方程。

直线的参数方程共2学时一、概述本节课是高中二年级人教B版数学选修4-4中第二章的内容，直线的参数方程是本章的重点。

也是高中数学中重要内容，是学生对解析几何学习的继续，学好直线的参数方程对提高学生的数学解题能力有着积极地意义。

二、教学目标分析（一）知识与技能（1）理解并掌握直线的参数方程（2）理解直线参数方程中的参数的意义（二）过程与方法结合直线的方向向量和直线的点斜式方程，借助共线向量定理，探索直线方程的建立过程，并通过对参数几何意义的研究，进一步研究直线及直线与曲线相交弦等问题。

（三）情感态度与价值观通过学习让学生体会直线的参数方程的在解题时的便利，增强学生的转化与化归的数学思维意识。

三、学习者特征分析高二三班数学基础较好，对必修二的直线方程的形式和必修四的向量运算掌握较好，同学们学习数学的热情很高，因此在教学过程中多让学生去讨论探究，精讲多练。

四、教学重点、难点重点：恰当的选择参数建立直线的参数方程难点：参数的几何意义及直线参数方程的应用五、教学过程（一）、复习回顾1直线方程的点斜式：设计意图：为用代数方法推到直线的参数方程做铺垫。

2共线向量定理：设计意图：为用向量方法推到直线的参数方程做铺垫。

（二）、新课导入如何确定直线的参数方程？设计意图：通过小组探究激发学生的学习积极性。

直线的方向向量：向量所在直线与已知直线平行或者重合的向量。

设计意图：为掌握参数t 的几何意义做铺垫。

（三）、直线的参数方程：{00cos sin ()x x t y y t a t α=+=+为参数思考：1、如何从向量的角度推导直线的参数方程呢？2、你能从代数的角度推到直线方程吗？3、直线参数的几何意义是什么？设计意图：通过小组探究，熟练的掌握直线的参数方程的推到过程，并了解参数t 的几何含义。

四、例题选讲：2231.(2,1),4,4.l M l x y A B AB AM BM π-+=•已知直线过定点且倾斜角为，与圆交于两点， 求及设计意图：通过例题讲解，让学生进一步加深和巩固对参数的几何意义的理解。

直线的参数方程教学设计教材：湘教版《选修4—4》执教人：林禄云指导教师：苏华春学校：宁德市民族中学直线的参数方程宁德市民族中学林禄云教材：湘教版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修4—4 坐标系与参数方程0M M te =在直线L 上运动时，都有哪些量在发生变化？可以用以前数学中学过的什么量表示？【师生活动】教师提出问题，并引发学生探究思考，通过提问方式，对学生所得结论进行展示。

【设计意图】结合多媒体动态功能，展示动点M 在直线上的变化，帮助提升学生的直观想象能力，根据学生探究结果的反馈时引导学生用向量来描述问题中的变化情况，为后面引入参数t 做好必要的铺垫。

问题 2 是否可以引入一个实数t 来刻画点M 在直线上的位置，如何引入？【师生活动】引导学生去建立数量和向量的联系，回忆必修四中的平面向量共线定理，引出直线的方向向量，为了接下来的计算简便，选定与直线向上方向同向的单位向量e 。

【设计意图】回忆旧知识，加强知识间的联系与串通，促进知识网络的构建。

用一元参数来控制点的变化，探究过程也促进数学建模思想的生成，提升学生跨维度研究问题的能力，培养创新思维。

问题3 如何描述e 的坐标，思考如何求得直线的参数方程？直线的标准参数方程有何特点？【师生活动】教师通过多媒体软件动态功能， 确定判断单位向量e 的坐标的方法，并通过0M M te = 过程求得直线的参数方程，具体过程如下：一般地，设直线l 经过点000M x y （，），且倾斜角为α，动点M x y （，）为直线上任意一点，直线l 的单位方向向量记作cos sin e αα=（，）,[)0απ∈，，那么0//M M e ，因此根据共线向量的充要条件可知，存在实数t ，使得0=M M te ，即00cos sin x x y y t αα--=（，）（，），于是，有00cos sin x x t t y y t αα-=⎧⎨-=⎩（为参数） 因此，把上面的方程叫做经过点000M x y （，），倾斜角为α的直线l 的参数方程． 直线参数方程的文字表述：直线上任意动点的纵横坐标等于定点相应坐标加上参数乘以倾斜角的正余弦．注意：直线上的任意一个点都唯一对应一个参数t ．并探究思考该参数方程的形式特征为：≤≤0(1)两t 前系数平方和为1.（2）y =y +tsin θ中的系数0sin θ 1.故也可称该形式方程为直线标准的参数方程。

学习总结报告-苏教版选修4-4 坐标系与参数方程教案一、教学目的本节课旨在帮助学生掌握坐标系和参数方程的概念，并能够用参数方程来描述曲线的特征和性质。

通过这节课的学习，学生可以进一步了解二维平面直角坐标系的基本性质和应用，并培养他们的数学思维和观察力。

二、教学重难点教学重点：1.掌握坐标系和参数方程的概念；2.理解曲线的对称性和特征。

教学难点：1.理解坐标系的三个特征：坐标轴、原点和单位长度；2.通过参数方程来描述曲线的性质。

三、教学内容本节课的教学内容主要分为两部分：坐标系和参数方程。

1. 坐标系在本节课中，我们主要讨论的是平面直角坐标系，也就是笛卡尔坐标系。

平面直角坐标系是由两条互相垂直的直线（x轴和y轴）组成的。

其中，x轴是水平的，y轴是垂直的。

坐标系的原点是两条坐标轴的交点，可以用于确定平面上点的位置。

平面直角坐标系可以用于表示平面上的点、线、曲线等各种图形。

在本节课中，我们主要用坐标系来描述曲线的形状和特征。

2. 参数方程参数方程是一种描述曲线的方式，它是通过对x和y两个变量分别用一个参数t来表示的。

这个参数t通常是时间的函数，也可以是其他自变量。

通过改变t的值，我们可以得到不同的x和y坐标，从而画出曲线的形状。

例如，一个圆的参数方程可以表示为：x = r * cos(t)y = r * sin(t)其中，r是圆的半径，t是角度的参数。

通过这个参数方程，我们可以得到圆上的任意一点的坐标，从而画出整个圆的形状。

四、教学方法本节课的教学方法主要采用课堂讲解和练习相结合的方式。

首先，老师会讲解坐标系和参数方程的基本概念和原理，然后通过教材上的例子进行演示和讲解。

接着，老师会让学生自己完成一些练习题，巩固所学的知识。

教学过程中，老师应该注意：1.例子要精选：选择具有代表性、简单易懂的例子，便于学生理解和记忆；2.注意分层次：将知识点按照难度分层次，逐步推进，不要跳跃式讲解；3.注重细节：坐标系和参数方程需要注意一些细节问题，如坐标轴的正方向、参数的范围等等，老师需要引导学生注意到这些问题。

§直线与圆的极坐标方程一、教学目标1、理解直线与圆的极坐标方程的本质特点2、掌握求直线与圆的极坐标方程的方法3、类比直角坐标系中求曲线方程的方法，求极坐标系中曲线的方程二、教学重点与难点重点:求直线与圆的极坐标方程难点：掌握求直线与圆的极坐标方程的方法三、教材分析本节内容是北师大版选修4-4第二章第三节的内容，在学习了极坐标的概念，点的极坐标与直角坐标的互化以后安排的求直线与圆的极坐标方程，本节内容有承上启下的作用，是点的极坐标方程的延伸，求圆锥曲线统一的极坐标方程的基础，是高考的考点之一四、学情分析学生在必修的学习中，已经有了在直角坐标系中求曲线方程的基础，理解了求曲线方程的方法，又在前两节学习极坐标系的概念及点的极坐标与直角坐标的互化的基础上，学习直线与圆的极坐标方程是容易理解的五、教学方法启发引导与自主探究相结合（学生讲解展示答案教师指导总结）六、教学过程1、复习回顾（1）一般地，在直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程(,)0f x y 的实数解建立了如下关系：① 曲线C 上的点的坐标都是方程的解，② 以方程(,)0f x y =的解为坐标的点都在曲线上，那么把这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线（2） 在直角坐标系中，求曲线方程的步骤：① 设点的坐标② 建立等量关系③ 化简得到方程(,)0f x y =（3）点的极坐标2、新知探究曲线的极坐标方程的定义：一般地，如果极坐标系中的曲线C 与方程(,)0f ρθ=之间建立了如下关系： ①曲线C 上的任意一点的无穷多个极坐标中至少有一个适合方程(,)0f ρθ= ②满足方程(,)0f ρθ=的C 点都在曲线上，那么方程(,)0f ρθ=叫做曲线C 的极坐标方程3、实例分析例1、求从极点出发，倾斜角为4π解：画出倾斜角4π的直线与射线，就是直线的极坐标方程，这就是所求射线的点是射线上任意一点，则设404)0)(,(πθρθρ=≥≥M M .3223A 12）且和极轴平行的直线，（）过点（；）并与极轴垂直的直线，（）过点（坐标方程、求适合下列条件的极例ππB ；）并与极轴垂直的直线，（画出过点分析：π3A )1(.,3cos 3)cos(3A ),(线极坐标方程这就是所求直，即在直角三角形中上任意一点，）并与极轴垂直的直线，（是过点设-==-θρθπρπθρM 等量关系用三角函数的定义建立转化在直角三角形中利，）且和极轴平行的直线，（画出过点）类比（32)1(2πB 的直线的极坐标方程；）、倾斜角为，（、求经过点例6023πA.),(602方程系，化简得所求直线的定理建立等量关，在三角形中利用正弦设直线上任意点的直线的极坐标方程，）、倾斜角为，（分析：画出经过点θρπM A 的圆的极坐标方程）、半径为）（，、求圆心在（例a 0a 0a 4>分析：画出圆心在a,0半径为a 的圆，设圆上任意一点的极坐标),(θρM ，在直角三角形中利用三角函数的定义建立等量关系。

课题：极坐标和参数方程教学目标1、通过近五年的高考题，发现全国卷的命题规律和特点，举一反三。

教学重点参数方程与普通方程的互化；一般要求是把参数方程化成普通方程，较高要求是利用设参求曲线的轨迹方程或研究某些最值问题；极坐标与直角坐标的互化。

教学难点研究极坐标方程、直角坐标方程和参数方程的互化以及求解相关最值问题教学过程一、考试说明对本节的要求1、坐标系（1）理解坐标系的作用；了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况（2）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标系和直角坐标的互化（3）能在极坐标系中给出简单图形的方程。

了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法。

（不做要求）2、参数方程（1）了解参数方程以及参数的意义；能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。

（2）了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出他们的参数方程。

（不做要求）二、全国卷极坐标和参数方程的命题趋向根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及他们的位置关系的数据确立。

有些问题用极坐标系解决比较简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手简单，计算简便。

高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程和普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题、交点问题和位置关系的判定。

极坐标和参数方程在高考中的地位在全国卷1中以主观题形式出现，题序为第22题，分值为10分。

全国卷考情扫描2021年全国卷以椭圆和圆为背景，求解直角坐标点和取值范围的问题；2021年全国卷Ⅰ以圆为背景，考查参数方程与极坐标方程的互化及应用；2021年全国卷Ⅰ以直线与椭圆为背景，考查直角坐标方程与参数方程的互化以及距离的最值问题；2021年全国卷Ⅰ以直线与圆为背景，考查直角坐标方程与极坐标方程的互化以及三角形的面积的求解； 2021年全国卷Ⅰ以直线和圆为背景，考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化与应用.三、模拟练习题再现1、（2021年全国1）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为)0a (sin 1cos >⎩⎨⎧+==为参数，t ta y t a x ，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C（1）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程（2）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 和2C 的公共点都在3C 上，求a2、（2021年全国1）在直角坐标系xOy 中，直线1C :x=2-,圆2C ：22(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

选修4-4 坐标系与参数方程【课程目标】本专题的内容包括：坐标系、曲线的极坐标方程、平面坐标系中几种变换、参数方程。

通过本专题的教学，使学生简单了解柱坐标系、球坐标系，掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式；通过从实际问题中抽象出数学问题的过程，使学生体会数学在实际中的应用价值；培养学生探究数学问题的能力和应用意识。

【学习要求】1．坐标系了解极坐标系；会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；会进行极坐标和直角坐标的互化。

了解在球坐标系、柱坐标系中刻画空间中点的位置的方法（本节内容不作要求）。

2．曲线的极坐标方程了解曲线的极坐标方程的求法；会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形（过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆）的极坐标方程。

3．平面坐标系中几种常见变换（本节内容不作要求）了解在平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换。

4．参数方程了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。

理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。

会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。

【教学建议】1．坐标系的教学应着重让学生理解平面和空间中点的位置都可以用有序数组（坐标）来刻画，在不同坐标系中，这些数所体现的几何含义不同。

同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式。

因此，选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式。

在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处2．教学中应通过具体例子让学生体会极坐标的多值性，但是在表示点的极坐标时，如无特别要求，通常取ρ≥0 ，0≤θ＜2π。

极坐标方程与直角坐标方程的互化，主要是极坐标方程化为直角坐标方程；参数方程与普通方程的互化，主要是参数方程化为普通方程，并注意参数的取值范围。

3．求曲线的极坐标方程主要包括：特殊位置的直线（如过极点的直线）、圆（过极点或圆心在极点的圆）；求曲线的参数方程主要包括：直线、圆、椭圆和抛物运动轨迹的参数方程。

坐标系与参数方程教案一、高考考试大纲说明的具体要求： 1．坐标系：① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 二、基础知识梳理： 1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎪⎩⎪⎨⎧>⋅=>⋅=)0(,)0(,:''μμλλϕy y x x 的作用下，点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的 坐标伸缩变化 ， 简称伸缩变化 。

1. (由x y x y 2sin sin =→=；)“保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21”，设),(y x P 是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21，得到),('''y x p ，那么⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x ''21思考：（由x y x y 21sin sin =→=)2.（由x y x y sin 3sin =→=）“保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍.”设),(y x p 是平面直角坐标系中的任意一点，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍，得到点),('''y x p ，那么⎪⎩⎪⎨⎧==yy xx 3''3.（x y x y 2sin 3sin =→=）设平面直角坐标系中任意一点),(y x p 经过上述变换后变为),('''y x p ，那么⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 321''基础练习：1. 在同一平面坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 2131''后的图形 （1）14922=+xx；（2）1121822=-yx；（3）x y 22=.2.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy xx ''3后，曲线C 变为曲线992'2'=+y x ，求曲线C 的方程并画出图像.3.在同一平面直角坐标系中，求满足下列图像变换的伸缩变换： （1） 直线22=-y x 变成直线42''=-y x ； （2） 曲线0222=--x y x 变成曲线0416'2'2'=--x yx伸缩变化高考题：1. (2011年高考湖北卷理科14)如图，直角坐标系x Oy 所在的平面为α，直角坐标系''x oy Oy (其中'y 轴与y 轴重合)所在平面为β，'45xox ∠=(Ⅰ)已知平面内有一点2)P ，则点'P 在平面α内的射影P 的坐标为 ；(Ⅱ)已知平面β内的曲线'C 的方程是22('2'20x y -+-=，则曲线'C 在平面α内的射影C 的方程是 .答案：（2，2） 22(1)1x y -+=2. (2011年高考全国新课标卷理科23) （本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x ，(α为参数) M 是曲线1C 上的动点，点P 满足OM OP 2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C ，2C 交于不同于原点的点A,B 求AB2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做 极点 ；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做 极轴 ；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个 极坐标 。