勾股定理专题复习(经典一对一学案)

《勾股定理》复习学案★知识汇总1．勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：设直角三角形的两直角边和斜边长由短到长分别为a,b,c 方法一：如图，S △AFD = EF= S 正方形EFGH = S 正方形ABCD = = 化简过程为：方法二：如图，S △= S 大正方形= S 小正方形= = 化简过程为：方法三：如图，S △AED = S △BEC = S △AEB = S 梯形ABCD = = ， 化简过程为：2.面积问题：⑴如图1，以直角三角形的三边长作正方形，则三个正方形的面积之间存在关系是 ⑵如图2，以直角三角形的三边长为直径作半圆，则三个半圆的面积之间存在关系是 ⑶如图3，以直角三角形的三边长为斜边作等腰直角三角形，则三个三角形的面积之间存在关系 是 小练习：1.如图1，①若S 1=9 S 2=16，则S 3= ，BC= ；②若AB=2，S 3=10，则S 2= ； ③若S 3=10，则S 1+S 2+S 3= ；④若S 1+S 2=5，则S 1+S 2+S 3= 。

2.如图2，①若S 1=2π S 3=258π，则S 2= ；②若S 1=3π，S 2=32π，则S 3= ，BC= ； ③若BC=10，则S 1+S 2= 。

3.如图3，BC=6，则S 1+S 2+S 3= 。

4.如图4，以直角三角形的三边长为直径作半圆，若AB=12,AC =5,则S 阴影= 。

5.如图5，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，①若最大的正方形的边长为7㎝，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为 ；②若最大的正方形的边长为10㎝，正方形A 的边长为6㎝，B 的边长为5㎝，C 的边长也为5㎝，则正方形D 的边长为 。

- 1 -18.1 勾股定理（一） （一）课前预习 1．直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： （2）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边：命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么 。

（二）、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，你能否利用右图：赵爽弦图证明呢？1．已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a 、b 、c 。

求证： 222a b c +=勾股定理的内容是： 。

（三）学以致用 在Rt△ABC 中，已知两边求第三边-------简称“知二求一” 1．在Rt△ABC 中，90C ∠=︒ ， ⑴如果a =6，b =8，求c 的值； ⑵如果a =5，b =12，求c 的值； ⑶如果a =9，c =41，求b 的值； 练习 1．若一个直角三角形的两直角边分别为9和12，则第三边的长为（ ） A.13 B. 13 C. 5 D.15 2．若一个直角三角形的斜边长为26，一条直角边长为24，则另一直角边长为（ ） A.8 B.10 C.50 D.36 3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，若a ︰b =3︰4，c=10，求a ，b 的值。

注意：⑴只有在直角三角形中，才能用勾股定理；⑵在用勾股定理求第三边时，要分清直角三角形的斜边和直角边； （四）当堂检测：1.如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为________．2．在Rt△ABC，∠C=90°；⑴ 已知a =b =5，求c ；⑵已知c =17，b =8，求a ；⑶ 已知a ∶b =1∶2，c=5，求a ； ⑷已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。

3．一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，求斜边的长？4.一个直角三角形的两边长分别为3cm 和4cm ，求第三边的长？5.已知，如图在正ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ．求ΔABC 的面积．BDbaD C C A- 2 -EFDCBA18.1 勾股定理（二）（一）回顾复习：1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么 。

勾股定理 复习学案一、知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

数学式子：∠C=900⇒222a b c +=2、神秘的数组(勾股定理的逆定理)：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形.数学式子：222a b c +=⇒∠C=900满足a 2＋b 2＝c 2三个数a 、b 、c 叫做勾股数。

二、举例：例1：⑴一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度⑵一个直角三角形一条直角边为6，斜边为10，求另一条直角边例2：在△ABC 中，AB=13，AC=15，BC=14，。

求BC 边上的高AD 。

例3：在△ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高AD=12，试求BC 的长．(两解)例4：如图，在△ABC 中，AC=AB ，D 是BC 上的一点，AD ⊥AB ，AD=9cm ，BD=15cm ，求AC 的长．A a D CB A DC BA例5：一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km ，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．⑴ 此时轮船离开出发点多少km? ⑵ 若轮船每航行1km ，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?例6：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ， BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线折叠，使它落在斜边AB 上，且点C 落到E 点，则CD 的长是多少?例7：如图，四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积。

例8：有一根70cm 的木棒，要放在50cm ，40cm ，30cm 的木箱中，试问能放进去吗？例9：甲、乙两人在沙漠进行探险，某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时速度向东南方向行走，1小时后乙出发，他以5千米/时速度向西南方向行走，上午10∶00时，甲、乙两人相距多远？E D C B A B ACD例10：如图，由5个小正方形组成的十字形纸板，现在要把它剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形。

1.1 探索勾股定理（1）一、课前预习1、正方形面积的计算公式，边长为5时，面积为多少？2、三角形两边分别是2,5第三边是c ，求第三边的取值范围.3、直角三角形两直角边为3、4求则第三边斜边的取值范围，斜边与这两条直角边的长度之间还有什么关系？二、新课学习 1、观察下面两幅图：2、填表：A 的面积（单位面积） B 的面积（单位面积） C 的面积（单位面积）左图 右图（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？ 【小结】求面积常用方法： ____________________________（4）你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？【结论】：以_______三角形两_______边为边长的小正方形的面积的和，等于以______边为边长的正方形的面积．AB CC BA思考：（1）若直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，则你能用直角三角形的边长a 、b 、c 来表示上图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？★【勾股定理】如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么_________________ 即_______三角形两_____边的______和等于斜边的_______． 几何语言：∵在△ABC 中，∠____＝900∴____2＋____2＝____2三、典型例题及练习：例1、如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9m 处折断倒下，树顶落在离树根12m 处. 大树在折断之前高多少？ 解：∵在△ABC 中，∠____ ＝900 ∴____2＋____2＝____2 即92 ＋122＝AB 2∴AB 2＝____ ∴AB ＝____∴大树在折断之前高 。

【跟踪练习】：1、如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.弦股勾ACBabc2、求图形中未知正方形的面积：3、若△ABC 中，∠C =90°，（1）若a =5，b =12，则c =________；（2）若a =6，c =10，则b =________；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a =________，b =________.4.如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为多少？5.底边长6cm ，底边上的高为4cm 的等腰三角形的腰长为多少？6.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和是_________cm 2．1.1 探索勾股定理（2）一、课前复习：1、勾股定理：直角三角形_________________________ 几何语言：在△ABC 中，∵∠____ ＝900∴____2＋____2＝____22、在直角三角形ABC 中, ∠C =900,BC =12,CA =5,AB = ______.3、 如果直角三角形的一条直角边长为40，斜边长为41，那么另一条直角边的长为______.?2251002572577cmDACB二、典型例题：例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？例2、受台风麦莎影响，一棵高18m 的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？(提示：方程思想)三、课堂练习：1．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为多少？2．我方侦查员小王在距离东西向公路400米处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？6米5000m4000mC B A500m400m C B A“路”4m3m3、一棵9m 高的树被风折断，树顶落在离树根3m 之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？4．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则面积为（ ）． A ．30cm 2 B ．130cm 2 C ．120cm 2 D ．60cm 25、轮船从海中岛A 出发，先向北航行9km ，又往西航行9km ，由于遇到冰山，只好又向南航行4km ，再向西航行6km ，再折向北航行2km ，最后又向西航行9km ，到达目的地B ，求AB 两地间的距离.6、如图学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开 拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅 少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花 草．7、一个25m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时的AO 距离为24m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑4m ，那么梯子底端B 也外移4m 吗？A BOCD3米9km AB9km 4km6km9km 2km8、△ABC中，∠C=900,AC=6,BC=8,沿AD折叠，使C点与AB边上的E点重合，求CD的长。

勾股定理复习学案一.复习回顾 1.勾股定理：(1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有：————————————.这就是勾股定理．(2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据． 2.勾股定理的作用：(1）已知直角三角形的两边，求第三边； (2）在数轴上作出表示n （n 为正整数）的点．勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想． 考点一、已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为______． 2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________． 3．在数轴上作出表示10的点．考点二、利用列方程求线段的长1．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？考点三、判别一个三角形是否是直角三角形1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17 （4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有2..如图1，在△ABC 中，AD 是高，且CD BD AD 2⋅=，求证：△ABC 为直角三角形。

考点四、灵活变通1.在Rt △ABC 中， a ，b ，c 分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，则边长c=2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm ，82cm ，则以斜边为边长的正方形的面积为_________2cm ．3.如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm 4.如图：带阴影部分的半圆的面积是 （π取3）5. 如图一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 么它所爬行的最短路线的长是6.如图：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯， 则该地毯的长度至少是 米。

最新勾股定理复习学案一、重点：1、明确勾股定理及其逆定理的内容2、能利用勾股定理解决实际问题二、知识小管家：通过本章的学习你都学到了三、练习：考点一、已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为_____________．2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．3．在数轴上作出表示10的点．4．已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高．求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．考点二、利用列方程求线段的长5．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？6．如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．考点三、判别一个三角形是否是直角三角形7、分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有-----------8、若三角形的三别是a 2+b 2,2ab,a 2-b 2(a>b>0),则这个三角形是---------------.9、如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截。

已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西400.那么甲巡逻艇的航向是怎样的？A D EB C四、灵活变通10、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm ，82cm ，则以斜边为边长的正方形的面积为_________2cm ．11、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm ，一只蚂蚁沿外 壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm12、．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.613、如图：带阴影部分的半圆的面积是-----------（π取3） 14、若一个三角形的周长123c m,一边长为33c m,其他两边之差为3c m,则这个三角形是______________________．五、能力提升15、已知：如图，△ABC 中，AB ＞AC ，AD 是BC 边上的高．求证：AB 2-AC 2=BC(BD-DC)．16、如图，四边形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且BC CE 41=．你能说明∠AFE 是直角吗？复习第一步：：勾股定理的有关计算例1： （2006年甘肃省定西市中考题）下图阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 ．析解：图中阴影是一个正方形，面积正好是直角三角形一条直角边的平方，因此由勾股定理得正方形边长平方为：172-152=64，故正方形面积为6勾股定理解实际问题例2．（2004年吉林省中考试题）图①是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm ）． 其中矩形ABCD 是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为矩形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆旗顶到地面的高度为220cm ．在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②． 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h ．析解：彩旗自然下垂的长度就是矩形DCEF的对角线DE 的长度，连接DE ，在Rt △DEF 中，根据勾股定理，得DE=150901202222=+=+EF DF A Bh=220-150=70(cm)所以彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h 为70cm与展开图有关的计算例3、（2005年青岛市中考试题）如图，在棱长为1的正方体ABCD —A’B’C’D’的表面上，求从顶点A 到顶点C’的最短距离．析解：正方体是由平面图形折叠而成，反之，一个正方体也可以把它展开成平面图形，如图是正方体展开成平面图形的一部分，在矩形ACC’A’中，线段AC’是点A 到点C’的最短距离．而在正方体中，线段AC’变成了折线，但长度没有改变，所以顶点A 到顶点C’的最短距离就是在图2中线段AC’的长度．在矩形ACC’A’中，因为AC=2，CC’=1所以由勾股定理得AC’= ．∴从顶点A 到顶点C’的最短距离为复习第二步：1．易错点：本节同学们的易错点是：在用勾股定理求第三边时，分不清直角三角形的斜边和直角边；另外不论是否是直角三角形就用勾股定理；为了避免这些错误的出现，在解题中，同学们一定要找准直角边和斜边，同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形．例4：在Rt △ABC 中， a ，b ，c 分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，求边长c ．错解：因为a=6，b=10，根据勾股定理得c=3421062222=+=+b a剖析：上面解法，由于审题不仔细，忽视了∠B=90°，这一条件而导致没有分清直角三角形的斜边和直角边，错把c 当成了斜边．正解：因为a=6，b=10，根据勾股定理得，c=86102222=-=-a b 温馨提示：运用勾股定理时，一定分清斜边和直角边，不能机械套用c2=a2+b2例5：已知一个Rt △ABC 的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是错解：因为Rt △ABC 的两边长分别为3和4，根据勾股定理得: 第三边长的平方是32+42=25剖析：此题并没有告诉我们已知的边长4一定是直角边，而4有可能是斜边，因此要分类讨论．正解：当4为直角边时，根据勾股定理第三边长的平方是25；当4为斜边时，第三边长的平方为：42-32=7，因此第三边长的平方为：25或7．温馨提示：在用勾股定理时，当斜边没有确定时，应进行分类讨论．例6：已知a ，b ，c 为⊿ABC 三边，a=6，b=8，b<c ，且c 为整数，则c= ．错解：由勾股定理得c=108622=+ 剖析：此题并没有告诉你⊿ABC 为直角三角形，因此不能乱用勾股定理． 正解：由b<c ，结合三角形三边关系得8<c<6+8，即8<c<14，又因c 为整数，故c 边长为9、10、11、12、13． 温馨提示：只有在直角三角形中，才能用勾股定理，因此解题时一定注意已知条件中是否为直角三角形． 2．思想方法：本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分类的思想； 例7：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？ 析解：因两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，所以由勾股定理求得AB=10 cm ，设CD=x ，由题意知则DE=x ，AE=AC=6，BE=10-6=4，BD=8-x ．在Rt △BDE 由勾股定理得：42+x2=(8-x)2，解得x=3，故CD 的长能求出且为3． 运用中的质疑点：（1）使用勾股定理的前提是直角三角形；（2）在求解问题的过程中，常列方程或方程组来求解；（3）已知直角三角形中两边长，求第三边长，要弄清哪条边是斜边，哪条边是直角边，不能确定时，要分类讨论．复习第三步：选择题1．已知△ABC 中，∠A= ∠B= ∠C ，则它的三条边之比为（ ）．A ．1：1：B ．1： ：2C ．1： ：D ．1：4：12．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ）．A ．B ．3C ．D ．3．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）．A ．6，7，8B ．5，6，7C ．4，5，6D ．3，4，54．下列各命题的逆命题成立的是（ ）A ．全等三角形的对应角相等B ．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C ．两直线平行，同位角相等D ．如果两个角都是45°，那么这两个角相等5．若等边△ABC 的边长为2cm ，那么△ABC 的面积为（ ）．A ． cm2B ．2 cm2C ．3 cm2D ．4cm26．在Rt △ABC 中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c 的长为（ ）．7．直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为（ ）A ．6cmB ．8．5cmC ．1330cmD ．1360cm8．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）A ．50cmB ．100cmC ．140cmD ．80cm9、有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．10．一座桥横跨一江，桥长12m ，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m ，则小船实际行驶＿＿＿m ．11．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，则它的面积是＿＿＿．12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，中线BE ＝13，另一条中线AD2＝331，则AB ＝＿＿＿．13．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．14．如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m 处，已知旗杆原长16m ，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？请你试一试．15．如图4所示，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ，梯子的顶端B 到地面的距离为7m ．现将梯子的底端A 向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O 的距离为3m ，同时梯子的顶端B 下降到B′，那么BB′也等于1m 吗?16．在△ABC 中，三条边的长分别为a ，b ，c ，a ＝n2－1，b ＝2n ，c ＝n2+1(n ＞1，且n 为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角？与同伴一起研究．15、参考在Rt △ABO 中，梯子AB2＝AO2+BO2＝22+72＝53．在Rt △A′B′O 中，梯子A′B′2＝53＝A′O2+B′O2＝32+B′O2，＞2×3＝6．所以BB′＝OB －OB′＜1．16、参考．因为a2＝n4－2n2+1，b2＝4n ，c2＝n4+2n2+1，a2+b2＝c2，所以△ABC 是直角三角形，∠C 为直角． 复习小结通过教学，我们知道勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此要注意直角三角形的条件，要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力。

《3.1探索勾股定理（第1课时）》学案学习目标：1.经历探索勾股定理的过程，了解我国勾股定理发展史，培养推理意识、主动探究习惯；2.掌握勾股定理，并能用勾股定理解决一些简单问题；3.体会分类讨论的思想方法，发展几何直观、模型观念.学习重点：掌握勾股定理，并能用勾股定理解决一些简单问题.学习难点：探索勾股定理.学习过程：一溯源求本二探究求真（一）初识1.在方格纸上分别画出直角边为以下数值的直角三角形并度量斜边长.（1）3cm和4cm （2）6cm和8cm（3）1cm和3cm将数据填入下表，这三边的平方之间有怎样的关系？直角边的平方 直角边的平方 斜边的平方（二）生惑独立思考1分钟后，小组合作交流3分钟，并解决下列问题： 1..________,____,===C B A S S S 2.表示三个正方形面积之间的关系. 3.描述Rt △DEF 三边的关系.（三）又惑任意一个直角三角形的三边关系是否都满足上面的猜想呢？ （四）验证（五）终获勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的平方.如果 用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边长，那么 . 符号语言：三 应用 求实例1求下图中字母所代表的正方形的面积.例2在Rt △ABC 中∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c . (1)a =6,b =8,求c . (2)b =40,c =41, 求a . 四 变式 求深在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c . 1.若a =3,b =4,则c = . 2.若c =5,b =4,则a = .变式一：其中两边长为3、4，则第三边的平方为 .abcac ba中国的“青朱出入图”青出青入朱入朱出青入青出cb青方朱方a225400A81225B变式二：a :b =3:4,c =25,则a= ,b = .五 小结 求远六 测评 求同1.在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =9，AC =12,则斜边AB 的长为 .2.求右图中字母B 所代表的正方形的面积 .3.下列说法中，正确的是（ ）A. 已知a ，b ，c 是三角形的三边，则a 2+b 2=c 2B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方.C. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，则a 2+b 2=c 2D. 在Rt △ABC 中，∠B =90°，则a 2+b 2=c 2 . 七 作业 求效基础作业：课本68页习题3.1第1、2、3题.提升作业：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =3,AC =4. （1）CD 为斜边上的高，求CD 的长.变式：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC =3,AC =4. （2）E 为斜边上一动点，求CE 的最小值.实践作业：用四个全等的直角三角形拼凑法、证明勾股定理.附：自我评价量表通过学习，能基本了解我国勾股定理发展简史，增强文化自信.☆能熟练说出勾股定理内容. ☆☆ 会用勾股定理进行简单计算. ☆☆☆ 会用割补法计算正方形面积.☆☆☆☆ 4DCA4CAE。

勾股定理辅助线一、本章概述本章共分为勾股定理与几何计算、勾股定理与几何证明和勾股弦图三部分，都是勾股定理的重难点内容二、知识回顾1.勾股定理（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边c的平方和。

（即：）2.勾股定理的逆定理（2）如果三角形的三边长：。

满足关系，那么这个三角形是直角三角形。

3.勾股定理的证明：（3）勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进行割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

（4）常见方法如下：方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积。

方法三：美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.1. 勾股定理与几何计算一、本节概述本节主要讲解勾股定理常见的三个辅助线模型，将斜三角形问题，转化为直角三角形问题。

当遇到三角形内的几何计算，特别是长度计算时，可以考虑用勾股定理解决。

在没有直角三角形时，我们就构造直角三角形，方法就是作高。

要尽量作与题中条件有关系的高，总有一条适合你的，比如特殊角所对的高。

二、典例精析知识点：勾股定理与几何计算【例1】如图，已知AC=2,思路分析：标记条件，题目中给出三角形的两个角和一条边，符合“AAS”，故三角形形状固定，可通过作高转化为勾股定理来解决，作高的时候，要充分利用特殊角。

作AB角形问题。

解：，先从右边已知一边和一角的直角三角形入手，这是个（）的特殊直角三角形。

得到CD后，再看左边已知一边和一角的直角三角形，这是个（）的特殊直角三角形。

方法总结这是利用勾股定理时常见的辅助线做法之一：三角形给出的条件满足“AAS”，作高的时候要充分利用特殊角，使分割后得到的直角三角形可求解即可，此例题是垂线在三角形内，并获得特殊直角三角形的例子。

【例2】思路分析：标记条件，给出的三角形符合“SAS”，故形状固定，可通过作高解决，作高时要充分利用特殊三角形，因为给出的特殊角是钝角，故可利用它的补角。

⑤④③②①EDB AC B AA BC DE a bca bc2.1勾股定理（2）学习、巩固案班级 姓名 学号一、复习：1．请说出勾股定理： 。

2．△ABC 中，∠A=90°，根据以下条件，求第三边和长 （1）a=15,b=12；（2）b=10,c=24；（3）c=7,a=25.二、实验、探究1．将P 43章头图中的①②③④⑤剪开 拼成大正方形ABDE 。

2．早在公元3世纪，我国数学家赵爽说用 4个直角三角形拼成如图所示的图形， 证明了勾股定理，这个图形称为“弦图”。

赵爽是怎样用“弦图”说明勾股定理的呢？3．如图，把火柴盒放倒，在这个过程中也能验证勾股定理 分析：请考虑用不同的方法计算梯形ACDE 的面积。

勾股定理的证明方法：有记载的就有几百种三、思考锐角三角形、钝角三角形三边之间也有这样的等量关系吗？ 不是直角三角形没有这个结论。

看过动画演示后，你有什么结论？A B CD C B A四、再探索（1）用4张直角三角形纸片拼成如图形状，图中的3个正方形的面积之间有何关系？请用a 、b 、c 将所得的关系表示出来。

（2）用8个直角三角形纸片拼成如图形状，图中的3个正方形的面积之间有何关系？请用a 、b 、c 将所得的关系表示出来。

（1） （2）五、应用 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=12， 边BC 上的中线AD 长为13，求边BC 的长。

六、反馈练习：P 46 练习七、拓展延伸2002年8月在北京召开了国际数学大会，其会标取材于我国古代数学家赵爽的“弦”图，此图是由4个斜边为c 的全等直角三角形和1个小正方形拼成的大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为2，且直角三角形两直角边分别为a 、b ，求（a+b ）2的值。

a bbaa bc cbaabb abbaa ab ccbacc EDC BAGF 7DC B A 八、巩固练习1．如图，小方格的面积为1，画出图中以格点 为端点且长度为5的线段。