2021年人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理的逆定理的应用》学案

人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.2 勾股定理的逆定理课时2 勾股定理的逆定理的应用教案【教学目标】1．能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；2．灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题；3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.【教学重点】1．能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；2．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.【教学难点】能灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题．【教学过程设计】一、情境导入某港口位于东西方向的海岸线上，“远望号”“海天号”两艘轮船同时离开港口，各自沿一固定的方向航行，“远望号”每小时航行16海里，“海天号”每小时航行12海里，它们离开港口1个半小时后相距30海里，如果知道“远望号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？二、合作探究探究点：勾股定理的逆定理的应用【类型一】运用勾股定理的逆定理求角度如图，已知点P是等边△ABC内一点，P A＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB 的度数．解析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连接EP，判断△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB的度数．解：∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC.可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°.在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，∴AE2＝PE2＋P A2，∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，∴∠APB＝90°＋60°＝150°.方法总结：本题考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．解决问题的关键是根据题意构造△APE为直角三角形．【类型二】运用勾股定理的逆定理求边长在△ABC中，D为BC边上的点，AB＝13，AD＝12，CD＝9，AC＝15，求BD的长．解析：根据勾股定理的逆定理可判断出△ACD为直角三角形，即∠ADC＝∠ADB＝90°.在Rt△ABD中利用勾股定理可得出BD的长度．解：∵在△ADC中，AD＝12，CD＝9，AC＝15，∴AC2＝AD2＋CD2，∴△ADC 是直角三角形，∠ADC＝∠ADB＝90°，∴△ADB是直角三角形．在Rt△ADB中，∵AD＝12，AB＝13，∴BD＝AB2－AD2＝5，∴BD的长为5.方法总结：解题时可先通过勾股定理的逆定理证明一个三角形是直角三角形，然后再进行转化，最后求解，这种方法常用在解有公共直角或两直角互为邻补角的两个直角三角形的图形中．【类型三】勾股定理逆定理的实际应用如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？解析：把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，验证它是否为直角三角形．解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴该农民挖的不合格．方法总结：解答此类问题，一般是根据已知的数据先运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，然后再作进一步解答．【类型四】运用勾股定理的逆定理解决方位角问题如图，南北向MN 为我国领海线，即MN 以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A 艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B 密切注意．反走私艇A 和走私艇C 的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇B 测得距离C 艇12海里，若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？解析：已知走私船的速度，求出走私船所走的路程即可得出走私船所用的时间，即可得出走私船何时能进入我国领海．解题的关键是得出走私船所走的路程，根据题意，CE 即为走私船所走的路程．由题意可知，△ABE 和△ABC 均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出．解：设MN 与AC 相交于E ，则∠BEC ＝90°.∵AB 2＋BC 2＝52＋122＝132＝AC 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°.∵MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我国领海的最短距离是CE .由S △ABC ＝12AB ·BC ＝12AC ·BE ，得BE ＝6013海里．由CE 2＋BE 2＝122，得CE ＝14413海里，∴14413÷13＝144169≈0.85(小时)＝51(分钟)，9时50分＋51分＝10时41分．答：走私艇C 最早在10时41分进入我国领海．方法总结：用数学几何知识解决实际问题的关键是建立合适的数学模型，注意提炼题干中的有效信息，并转化成数学语言．【板书设计】17.2 勾股定理的逆定理课时2 勾股定理的逆定理的应用1．利用勾股定理逆定理求角的度数2．利用勾股定理逆定理求线段的长3．利用勾股定理逆定理解决实际问题【教学反思】在本节数学课的教学中，应尽量给学生充足的时间和空间，让学生以平等的身份参与到学习活动中去，教师要帮助、指导学生进行实践活动，这样既锻炼了学生的实践、观察能力，又在教学中渗透了人文和探究精神，体现了“数学源于生活、寓于生活、用于生活”的教育思想．人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.2 勾股定理的逆定理课时2 勾股定理的逆定理的应用学案【学习目标】1．.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题；2．能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题．【学习重点】能灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.【学习难点】能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题．【自主学习】一、知识回顾1.你能说出勾股定理及其逆定理的内容吗？2.快速填一填：(1)已知△ ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为_______三角形，_________是最大角;(2)等腰△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC边上的高是__________cm.二、合作探究考点1：勾股定理的逆定理的应用【典例探究】例1如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？分析：题目已知“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离，实质是要求出两艘船航向所成角，由此容易联想到勾股定理的逆定理.方法总结:解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解.变式题如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.例2一个零件的形状如图①所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图②所示,这个零件符合要求吗？【跟踪训练】1.A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？2.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？考点2：勾股定理及其逆定理的综合应用【典例探究】例3 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.分析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.方法总结:四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.变式题1 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.变式题2如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.【跟踪训练】1.如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC＝5 ，BD=2．（1）求证：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC的面积．三、知识梳理勾股定理的逆定理的应用应用与勾股定理结合解决不规则图形等问题航海问题方法认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题四、学习中我产生的疑惑【学习检测】1.医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东______的方向.2.若△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析:根据题意可得a=b或a2+b2-c2=0,因此△ABC可能为等腰三角形,也可能为直角三角形.故选C.3.下列说法中正确的有()(1)在一个三角形中,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这条边所对的角是直角;(2)命题“在一个三角形中,有一个角是30°,那么它所对的边是另一边的一半”的逆命题是真命题;(3)勾股定理的逆定理是:如果两条直角边长的平方和等于斜边长的平方,那么这个三角形是直角三角形;(4)△ABC的三边之比是1∶1∶,则△ABC是直角三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个解析:(1)正确,(2)错误,(3)错误,(4)正确,故有两个说法是正确的.故选B.4.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（）A B C D5.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.6.如图(1)所示的是一块地,已知AD=4 m,CD=3 m,AD⊥DC,AB=13 m,BC=12 m,求这块地的面积.解:如图(2)所示,连接AC.∵AD⊥DC,∴在Rt△ACD中,AD2+CD2=AC2,∴AC===5(m).∵AC2+BC2=52+122=132=AB2,∴△ABC为直角三角形,∴这块地的面积为S=S△ABC-S△ACD=AC·CB-AD·DC=×5×12-×3×4=24(m2).7. 如图，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC边上的中线AD=15，试说明：AB =AC.8. 在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？9.如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，求PQ的长．10.如图所示,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A,B两个基地前去拦截,6分钟后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西22.62°,求甲巡逻艇的航向.解:AC=120×0.1=12(海里),BC=50×0.1=5(海里).又因为AB=13海里,所以AB2=BC2+AC2,即∠ACB=90°.因为∠CBA=90°-22.62°=67.38°,所以∠CAB=22.62°,所以甲巡逻艇的航向为北偏东67.38°.11.王丽准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈,用于饲养家兔.已知第一条边长为a米,由于受地势限制,第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.(1)请用a表示第三条边长.(2)第一条边长可以为7米吗?为什么?请说明理由,并求出a的取值范围.(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数?若能,说明你的围法;若不能,请说明理由.解:(1)由题意知第二条边长为(2a+2)米,∴第三条边长为30-a-(2a+2)=28-3a(米).(2)当a=7时,三边长分别为7米、16米、7米.由于7+7<16,故不能构成三角形,即第一条边长不能为7米.由解得<a<.即a的取值范围是<a<.(3)在(2)的条件下,注意到a为整数,所以a只能取5或6.当a=5时,三角形的三边长分别为5,12,13.由52+122=132知,恰好能构成直角三角形.当a=6时,三角形的三边长分别为6,14,10.由62+102≠142知,此时不能构成直角三角形.综上所述,能围成满足条件的直角三角形,三边长分别为5米、12米、13米.。

新人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理的逆定理的应用》导学
案
一、温故而知新
1、勾股定理的逆定理的内容
，题
设 ，结论 。

2、三角形的三边长a,b,c 满足 (a+b)2=c 2+2ab,则这个三角形是( )
A 等边三角形
B 钝角三角形
C 直角三角形
D 锐角三角形
3、△ABC 的三边长为 9 ,40 ,41 ,则△ABC 的面积为 ;
（提示：先确定三角形的形状）
二、探究新知
学生阅读课本57页右上角并回答。

勾股数 。

请举例3个以上的勾股数 、 、 ……
探究
学生阅读课本76 页第4题，完成所提问题。

师生：结论 ，
例题：学生阅读课本75页例2
学习目标 1、让学生进一步理解勾股定理及逆定理，分清俩个定理的题设和结论。

2、灵活用勾股定理的逆定理解决一些实际问题。

三、巩固练习
1、三角形的三边长为 8 ,15 ,17 ,那么最短边上的高为 。

2、有一块菜地,形状如下,试求它的面积.
3、工人师傅想要检测一扇小门两边AB 、CD 是否垂直于底边BC,但他只带了一把卷尺,你能替工人师傅想办法完成任务吗?
3 4 13
12 C A B D A B C D
4、三角形的三边长a 、b 、c 满足222506810a b c a b c +++=++此三角形为 三角
形.(实验班学生完成）
四畅谈收获。

八年级数学下册第十七章勾股定理及逆定理的运用导学案（新版）新人教版一、学习目标：1、掌握、理解勾股定理的内容，并会运用勾股定理解决一些实际问题。

2、能够运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，并能实际应用。

3、能区分勾股定理与勾股定理逆定理的条件与结论。

4、了解勾股数的定义及其探索规律，了解定理的含义及逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立，其逆命题不一定成立。

二、重点、难点：1、勾股定理的应用。

2、数学思想方法的掌握，勾股定理与方程的思想及类讨论思想。

三、考点分析：勾股定理及其逆定理是几何中的重要定理，其应用极其广泛，历年来都是中考命题的热点。

典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1：如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A、 CD、EF、GHB、 AB、EF、GHC、 AB、CD、GHD、 AB、CD、EF思路分析：1）题意分析：本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理。

2）解题思路：可利用勾股定理直接求出各边长，再进行判断。

解答过程：在Rt△EAF中，AF=1，AE=2，根据勾股定理，得同理计算发现，即，根据勾股定理的逆定理得到以AB、EF、GH为边的三角形是直角三角形。

故选B。

解题后的思考：1、勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形。

因此，解题时一定要认真分析题目所给条件，看是否可用勾股定理来解。

2、在运用勾股定理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为“”就是斜边而“固执”地运用公式，其实，同样是△，∠不一定就等于90，不一定就是斜边，△不一定就是直角三角形。

3、直角三角形的判定条件与勾股定理是互逆的，区别在于勾股定理的运用是一个从“形”（一个三角形是直角三角形）到“数”（）的过程，而直角三角形的判定是一个从“数”（一个三角形的三边满足的条件）到“形”（这个三角形是直角三角形）的过程。

人教版数学八年级下册17.2《勾股定理的逆定理》优秀教学设计一. 教材分析《勾股定理的逆定理》是人教版数学八年级下册第17.2节的内容。

本节课主要让学生掌握勾股定理的逆定理，并能运用其判断一个三角形是否为直角三角形。

教材通过生活中的实际例子引入勾股定理的逆定理，使学生能够更好地理解并运用这一定理。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了勾股定理和三角形的知识，对三角形的基本概念和性质有所了解。

但是，学生对勾股定理的逆定理可能较为陌生，需要通过实例和练习来加深理解。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握勾股定理的逆定理，并能运用其判断一个三角形是否为直角三角形。

2.过程与方法：通过实例、讨论和练习，培养学生的推理能力和合作能力。

3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：勾股定理的逆定理的内容和运用。

2.难点：如何判断一个三角形是否为直角三角形，以及如何运用勾股定理的逆定理解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实际例子，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。

2.小组讨论法：学生进行小组讨论，培养学生的合作能力和口头表达能力。

3.练习法：通过大量的练习题，巩固学生对勾股定理逆定理的理解和运用。

六. 教学准备1.教学课件：制作勾股定理的逆定理的相关课件，以便进行课堂教学。

2.练习题：准备一些有关勾股定理逆定理的练习题，用于课堂练习和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际例子，如建筑工人测量楼房的高度，引导学生思考如何判断一个三角形是否为直角三角形。

从而引出本节课的主题——勾股定理的逆定理。

2.呈现（10分钟）讲解勾股定理的逆定理的内容，并通过动画或实物演示，让学生直观地理解这一定理。

同时，给出勾股定理逆定理的数学表达式。

3.操练（10分钟）让学生进行一些有关勾股定理逆定理的练习题，巩固对这一定理的理解。

可以学生进行小组讨论，共同解决问题。

人教版数学八年级下册教案：第17章勾股定理的逆定理（一）一. 教材分析勾股定理的逆定理（一）是八年级下册数学的重要内容，旨在让学生理解和掌握勾股定理的逆定理，并能够运用它解决实际问题。

本节课的内容对于学生来说是一个新的知识点，需要通过实例来引导学生理解和掌握。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了勾股定理和三角形的相关知识，对于这些知识有一定的掌握。

但是，学生对于逆定理的理解可能会有一定的困难，因此需要通过实例和操作来帮助学生理解和掌握。

三. 教学目标1.让学生理解和掌握勾股定理的逆定理。

2.培养学生运用勾股定理的逆定理解决实际问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和合作能力。

四. 教学重难点1.勾股定理的逆定理的证明和理解。

2.运用勾股定理的逆定理解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、小组合作法等教学方法，通过引导学生自主探究、合作交流，帮助学生理解和掌握勾股定理的逆定理。

六. 教学准备1.教学PPT。

2.实例和图片。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题“如果一个三角形的三边满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是什么三角形？”引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示勾股定理的逆定理的定义和证明过程，让学生理解和掌握勾股定理的逆定理。

3.操练（10分钟）让学生通过PPT上的练习题进行自主学习，巩固对勾股定理的逆定理的理解和掌握。

4.巩固（10分钟）通过小组合作的方式，让学生解决实际问题，运用勾股定理的逆定理进行计算和证明。

5.拓展（10分钟）让学生思考和讨论：还有哪些定理或公式有逆定理？逆定理和原定理之间的关系是什么？6.小结（5分钟）通过PPT总结本节课的学习内容，让学生回顾和巩固所学知识。

7.家庭作业（5分钟）布置相关的练习题，让学生课后巩固和复习本节课的内容。

8.板书（5分钟）勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形。

人教版数学八年级下册17.2《勾股定理的逆定理》教学设计1一. 教材分析人教版数学八年级下册17.2《勾股定理的逆定理》是本节课的主要内容。

这部分内容是在学生已经掌握了勾股定理的基础上进行学习的，主要是让学生了解并掌握勾股定理的逆定理，并能够运用逆定理解决实际问题。

教材中通过丰富的实例，引导学生探究并发现勾股定理的逆定理，从而培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了勾股定理的相关知识，具备了一定的数学基础。

但是，对于勾股定理的逆定理的理解和应用，还需要通过本节课的学习来进一步深化。

此外，学生对于实际问题的解决，还需要进一步的引导和培养。

三. 教学目标1.让学生了解并掌握勾股定理的逆定理。

2.培养学生运用逆定理解决实际问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。

四. 教学重难点1.勾股定理的逆定理的理解和应用。

2.解决实际问题时的算术运算和逻辑推理。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过丰富的实例，引导学生探究并发现勾股定理的逆定理。

在教学过程中，注重学生的参与和实际操作，培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。

六. 教学准备1.教学PPT。

2.相关实例和练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何判断一个三角形是否为直角三角形。

让学生意识到，我们需要知道一个三角形的两条边的平方和是否等于第三边的平方。

从而引入本节课的主题——勾股定理的逆定理。

2.呈现（10分钟）通过PPT，呈现勾股定理的逆定理的定义和表达式。

让学生理解并掌握逆定理的内容。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个实例，运用勾股定理的逆定理进行验证。

教师在旁边指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，检验学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握程度。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

5.拓展（10分钟）让学生运用勾股定理的逆定理解决实际问题，如判断一个三角形是否为直角三角形，计算一个直角三角形的面积等。