17.2勾股定理的逆定理优秀教学设计

17.2 勾股定理的逆定理（第二课时）一、教学目标1．核心素养:通过运用勾股定理的逆定理，提高运算能力、逻辑推理能力和应用意识．2．学习目标（1）理解勾股数的含义.（2）能运用勾股定理的逆定理解决实际问题.3．学习重点勾股定理的逆定理的应用.4．学习难点二、教学设计（一）课前设计1．预习任务请写出几组能作为直角三角形边长的正整数.2．预习自测1.由7、24、25组成的三角形是直角三角形吗？2.我们知道以3、4、5为边长能构成直角三角形，那6、8、10呢？9、12、15呢？你发现了什么？（二）课堂设计1．知识回顾勾股定理的逆定理是什么？2．问题探究问题探究一勾股数●活动一理解定义像3、4、5这样，能够成为直角三角形三边长的三个正整数成为勾股数. 即满足的三个正整数就称为勾股数.再如：…●活动二推理论证我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k 、4k 、5k （k 是正整数）也是一组勾股数吗？ 因为，，所以且3k 、4k 、5k 均为正整数，所以3k 、4k 、5k 也是一组勾股数.●活动三 推广提升一般地，如果a 、b 、c 是一组勾股数，那么ak 、bk 、ck （k 是正整数）也是一组勾股数吗？ 因为，，而，∴∴，则ak 、bk 、ck （k 是正整数）也是一组勾股数.请你再写几组勾股数.问题探究二 利用勾股定理的逆定理解决生活中的问题 重点知识★ ●活动一 初步应用 例1 如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile ，“海天”号每小时航行12nmile, 它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？E NRP Q【知识点：勾股定理的逆定理；】详解：根据题意PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18， QR=30，因为，即，所以QPR=90o .由“远航”号沿东北方向航行可知，“海天”号沿西北方向航行. 点拨：由已知条件易想到求出两轮船航行的路程，即为三角形的边长，从而已知C A 三角形的三边长，再利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形而解决问题 .●活动二 拓展提升例2 如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇B 测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？【知识点：勾股定理的逆定理；】详解：设MN 交AC 于E ，则∠BEC=90°.又AB 2+BC 2=52+122=169=132∴△ABC 是直角三角形，∠ABC=90°.又∵MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ，则CE 2+BE 2=144，（13-CE ）2+BE 2=25，得26CE=288，∴CE=13144. 13144÷169144≈0.85（小时），0.85×60＝51（分）.9时50分+51分＝10时41分.答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.点拨：由题意可得△ABC 的三边长分别为5、12、13，根据勾股定理的逆定理判断∠ABC=90°，由题可知走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ，再利用勾股定理建方程求出CE 的长，从而解决问题.问题探究三 勾股定理及逆定理的综合运用例3. 某中学有一块四边形的空地ABCD ，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m ，BC=12m ，CD=13m ，DA=4m ，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？【知识点：勾股定理，勾股定理的逆定理；】详解：连接BD. 在Rt△ADB中∠BAD=90o，BD==5，在△DBC中，则∴∠DBC=90o，∴S四边ADBC=S△ADB+ S△DBC=5×12=36∴36×200=7200（元）.答：学校需投入7200元买草皮.点拨：根据条件易想到链接BD，将四边形的面积转化为两个三角形的面积之和，由AB=3，AD==4，易求BD=5，而△CBD中已知三边的长，可根据勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，再根据面积计算公式求出答案.3．课堂总结【知识梳理】1. 一般地，如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数.2.利用勾股定理的逆定理解决生活中的问题.【重难点突破】1.三个数是勾股数，则必须满足两个条件：（1）较小的两个数的平方和等于较大数的平方.（2）三个数必须是正整数.2.已知一个三角形的三边长时，首先应想到利用勾股定理的逆定理来判断这个三角形是否为直角三角形.3.在勾股定理及其逆定理的综合运用时需注意正确区分：勾股定理是在直角三角形中运用，而其逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形.4．随堂检测1. 在△ABC中，三边长a、b、c满足 = 0，则此三角形为（）A . 钝角三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形【知识点：勾股定理的逆定理】【答案】D2. 将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出两组基本勾股数：， .【知识点：勾股数】【答案】5，12，13；9，40，41.3．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东50°航行，乙船以12海里/时向南偏东方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船出发后的航向是南偏东多少度？东【知识点：勾股定理的逆定理；数学思想：模型思想】【答案】∵AC＝16×3＝48，AB＝12×3＝36，∴222222+=-==，BC AC AB604836∴△ABC为直角三角形且∠CAB＝90°，∴乙船出发后的航向是南偏东40o.4. 一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A与∠DBC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，BD=5，DC=13 ， BC=12，这个零件符合要求吗？【知识点：勾股定理的逆定理；数学思想：模型思想】【答案】这个零件符合要求.在△ADB中，，则，∴∠DAB=90o，同理，在△DBC中，则∴∠DBC=90o，∴这个零件符合要求.。

17.2《勾股定理的逆定理》教学设计教学目标：1.理解和掌握勾股定理的逆定理，并能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；2.了解和理解命题与逆命题，定理与逆定理的相互关系；3.了解勾股数并记住几组最简单和常用的勾股数；4.通过比较勾股定理及逆定理，提高学生对数学命题分析的能力；5.由勾股定理的逆定理的情境教学感知理论与实践的关系.教学重点：理解和掌握勾股定理的逆定理，并能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.教学难点：了解和理解命题与逆命题，定理与逆定理的相互关系.教学准备：教学课件（PPT）.教学方法：情境教学法，探索法、讲解法和练习法相结合教学过程：一、创设情境，提出问题古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.问题:（1）第4个结处的角是什么角？（2）在其他节点钉木桩，还能得到类似的结果吗？（3）这其中包含了什么科学道理？二、探索一般性的结论动手做一做！下面几组数分别是一个三角形的边长a、b、c（单位：cm）.2.5,6,6.5；4,7.5,8.5；6,8,10.（1）这三组数都满足a2+b2=c2吗？（2）分别以每组数为三边长作出三角形.（3）用量角器量一量，它们是直角三角形吗？猜想：根据上面的几个例子，你能提出一个数学命题吗？猜想：命题2 如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.原命题与逆命题命题1 如果一个三角形是直角三角形，两直角边长为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.命题2 如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.两个命题的题设、结论正好相反，即第一个命题的题设是第二个命题的结论；第一个命题的结论是第二个命题的题设.我们把这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.提出问题，证明命题命题1经证明是正确的，我们将其确定为定理——勾股定理，那么命题2也正确吗？证明：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形.己知：如图，在△ABC 中，a 2+b 2=c 2.求证：△ABC 是直角三角形证明：①作△ABC ，使a 2+b 2=c 2，（不妨设a =2.5cm ，b =6cm ，c =6.5cm ） ②作Rt △C B A '''，使a C B =''，b C A =''，∠C '=900.根据勾股定理，222222c b a C A C B B A =+=''+''=''得：c B A =''③在△ABC 和△C B A '''中：∵ C B a BC ''==，C A b AC ''==，B A c AB ''==∴ △ABC ≌△C B A '''∴ ∠C =C '∠=900即△ABC 是直角三角形3.分析定理，提出问题命题1→证明→正确→勾股定理（原定理）命题2→证明→正确→勾股定理的逆定理（逆定理）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形.［概念2］逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.其中一个定理称为原定理，那么另一个定理就称为逆定理.『问题3』如果两个命题互为逆命题，其中一个命题经证明是正确的，那么它的逆命题一定正确吗？例：1.同位角相等，两直线平行.逆命题_________________________________________2.如果天空在下雨，那么地面是湿的.逆命题_________________________________________你能举出“互逆命题”的例子吗？三、巩固练习1.如果三条线段长a、b、c满足a2=c2-b2 ，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？2.说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？（1）两直线平行，内错角相等；（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；（3）全等三角形的对应角相等；（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.四、小结1.本节课所学的主要内容：（1）通过多种活动得到一个猜想（命题2）；（2）互逆命题.2.通过这一节课的学习活动，你还有其他哪些收获？存在什么疑问？五、作业1.必做题：教材习题17.2第1、2题.2.选做题：在一根长为24个单位的绳子上，分别依次标出A、B、C、D四个点.它们将绳子分成长为6个单位，8个单位和10个单位的三条线段.自己握住绳子的两个端点（A点和D点），两名同伴分别握住B点和C 点，一起把绳子拉直，会得到一个什么形状的三角形？为什么？3.备选题：（1）下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说理由.9,12,15 12,18,22 12,35,36 15,36,39（2）某个三角形的三边长分别为8,15,17，你认为这个三角形是什么形状的三角形？你能求出这个三角形最长边上的高吗？试一试. （3）在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，试求此直角三角形的周长.。

17.2.2勾股定理逆定理的应用核心素养目标：1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题；3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

教学重难点：重点：进一步理解勾股定理的逆定理；难点：勾股定理逆定理的灵活应用；教学过程：一、复习导入1.我们已经学习了勾股定理及其逆定理，你能叙述吗？2.你能用勾股定理及其逆定理解决哪些问题？二、互助探究探究点一：利用勾股定理的逆定理解答角度问题例题讲解：例1如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?探究点二：利用勾股定理的逆定理解答面积问题例2已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.跟踪练习：如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m.求这块地的面积.探究点三：利用勾股定理的逆定理解答检测问题例3 如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？跟踪练习：一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗?三、课堂小结1．利用勾股定理逆定理求角的度数2．利用勾股定理逆定理求线段的长3．利用勾股定理逆定理解决实际问题四、课堂检测1.如图，直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A.4B.6C.16D.552. 如图,△ABC的顶点A,B,C,在边长为1的正方形方格的格点上，BD⊥AC于点D,则BD的长为（）A. 23√5 B. 34√5 C. 45√5 D.56√53. 医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东的方向.4.如图，等边三角形的边长为6，则高AD的长是；这个三角形的面积是 .5. 如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=6,将矩形沿AC折叠，点D落在E处，则重叠部分△AFC的面积是多少?五、课后作业必做题：教材习题17.2第4题.选做题：教材习题17.2第12、13、14题.。

17.2 勾股定理的逆定理教学目标【知识与技能】1.理解勾股定理的逆定理的证明方法，能证明勾股定理的逆定理.2.能用勾股定理的逆定理判别一个三角形是否是直角三角形，并能用它解决实际问题. 【过程与方法】在探索勾股定理的逆定理及其证明方法和运用勾股定理逆定理解决具体问题的过程中，进一步体验数形结合的思想，增强分析问题、解决问题的能力.【情感态度】1.通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系；2.进一步增强与他人交流合作的意识和探究精神.教学重难点【教学重点】勾股定理的逆定理及其应用.【教学难点】勾股定理的逆定理的证明.课前准备无教学过程一、情境导入，初步认识问题〔1〕勾股定理的内容是怎样的？〔2〕求以线段a，b为直角边的直角三角形的斜边c的长：①a=3，b=4；②a=2.5,b=6；③a=4,b=7.5.〔3〕想一想：分别以〔2〕中a、b、c为三边的三角形的形状会是怎样的？【教学说明】教师提出问题后，学生自主探究，相互交流获得结论，最后教师针对问题〔2〕、〔3〕提醒学生注意它们各自特征，其中〔2〕是由形获得数量关系，而〔3〕是由数量关系得到形的特征，为勾股定理的逆定理的引入作铺垫.二、思考探究，获取新知探究1 画出三边长分别为3cm、4cm和5cm，2.5cm、6cm和6.5cm，4cm、7.5cm和8.5cm 的三个三角形，用量角器测出较大角的度数，你有什么发现？你能解释其原因吗？【教学说明】将全班同学分成三个小组，分别画出上述三个三角形，然后相互交流，教师巡视，指导并帮助有困难同学画出尽可能准确的图形，从而形成对勾股定理的逆定理的感性认识.猜测如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.探究2 〔1〕三边长分别为3，4，5的三角形与以3，4为直角边的直角三角形的三边关系如何？你是怎样得到的？简要说明理由.〔2〕你能否受〔1〕启发，说明分别以2.5cm、6cm、6.5cm和4cm、7.5cm、8.5cm为三边长的三角形也是直角三角形呢？〔3〕如图，假设△ABC的三边a、b、c满足a2+b2=c2，试证明△ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程.【教学说明】教师应引导学生利用问题〔1〕、〔2〕的思路完成问题〔3〕的证明，得出勾股定理的逆定理，在这期间，教师顺势给出原命题、逆命题、逆定理的概念，最后师生共同给出逆定理的证明过程，在黑板上展示〔也可通过多媒体展示〕，从而帮助学生获得正确认知.证明：如图，画Rt△A′C′B′，使A′C′=b，B′C′=a，∠A′C′B′=90°.∴在Rt△A′C′B′中，有A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2.又a2+b2=c2，∴A′B′2=c2，∴A′B′=c.∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠ACB=∠A′C′B′=90°，即△ABC是直角三角形.三、典例精析，掌握新知例1判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：〔1〕a=15，b=8，c=17；〔2〕a=13，b=14，c=15.【教学说明】本例可由学生自己独立完成，教师巡视指导，应关注学生是否是利用两短边的平方和与最长边的平方进行比拟.例2某港口位于东西方向的海岸线上，“远航〞号、“海天〞号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航〞号每小时航行16海里，“海天〞号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航〞号沿东北方向航行，能知道“海天〞号沿哪个方向航行吗？【分析】由题意，可画出示意图如下图，易知PQ=16×32=24，PR=12×32=18，又RQ=30.∵242+182=576+324=900，RQ2=900，∴PR2+PQ2=RQ2，故以P、Q、R为顶点的三角形是直角三角形，由“远航〞号沿东北方向航行，故易知“海天〞号沿西北方向航行.例3说出以下命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？〔1〕两条直线平行，内错角相等；〔2〕如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等.【分析】如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题是互逆命题，从而可得〔1〕、〔2〕的逆命题分别为“内错角相等，两直线平行〞，“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个数相等〞，且〔1〕中的逆命题是真命题，〔2〕中的逆命题是假命题.四、运用新知，深化理解1.如果三条线段a、b、c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？2.说出以下命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？〔1〕全等三角形的对应角相等；〔2〕角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.【教学说明】学生自主探究，寻求结论，教师巡视，及时指导，让学生在练习过程中加深对知识的领悟.【答案】1.是直角三角形，由勾股定理的逆定理可得.2.〔1〕逆命题为对应角相等的三角形全等，该逆命题不成立.〔2〕逆命题为角平分线上的点到角的两边距离相等.该逆命题成立.五、师生互动，课堂小结谈谈这节课你的收获有哪些？还有哪些疑问？与同伴交流.课后作业1.布置作业：从教材“〞中选取.2.完成练习册中本课时练习.教学反思本课时的教学目标是在掌握了勾股定理的根底上,让学生如何从三边的关系来判定一个三角形是否为直角三角形，即“勾股定理的逆定理〞.由于学生对此在理解上可能有些困难，因此教学时可以实行分层教学，让不同水平的学生在同一课堂都能学好，为此，可设计三个层次的问题，以到达分层教学目标：第一层次是让学生直接运用定理判断三角形是否是直角三角形，掌握定理的根本运用；第二层次是强调三角形三边长或三边关系，再判断三角形是否是直角三角形，这样既稳固了勾股定理的逆定理的应用，又为下一个层次做好了铺垫；第三层次是灵活运用勾股定理及其逆定理解决图形面积的计算问题.根据学生原有的认知结构，让学生更好地体会分割的思想.教案中设计的题型前后照应，使知识有序推进，有助于学生的理解和掌握，让学生通过合作、交流、反思、感悟的过程，激发学生探究新知的兴趣，感受探索、合作的乐趣，并从中获得成功的体验，真正表达学生是学习的主人.第2课时教学目标：1、了解几何体、平面和曲面的意义，能正确判定围成几何体的面是平面还是曲面；了解几何图形构成的根本元素是点、线、面、体及其关系，能正确判定由点、线、面、体经过运动变化形成的简单的几何图形。

《勾股定理的逆定理》教学设计Yqzx Bmm【内容和教材分析】内容教材第31-33 页，勾股定理的逆定理.教材分析“勾股定理的逆定理”一节，是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直角三角形的判断定理，它是前面只是的继续和深化.勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔，所以本节也是本章的重要内容之一.【教学目标】知识与技能1．理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理．2．理解原命题、逆命题、逆定理的概念关系．3．掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形．过程与方法1．通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展与形成过程．2．通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形结合方法的应用．3．通过勾股定理的逆定理的证明，体会数与形结合方法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题．情感、态度与价值观1．通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系．2．在探究勾股定理的逆定理的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神．【教学重难点及突破】重点1．勾股定理的逆定理及运用.2．灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题.难点1．勾股定理的逆定理的证明.2．说出一个命题的逆命题及辨别其真假性.【教学突破】1.勾股定理的逆定理的题设实际上是给出了三条边的条件，其形式和勾股定理的结论形式一致.证明在此条件下的三角形是一个直角三角形，需要构造直角三角形才能完成，构造直角三角形是解决问题的关键.可以从特例推向一般，设置两个动手操作问题.2.勾股定理的逆定理给出的是判定一个三角形是直角三角形的方法，和前面学过的一些判定方法不同，它通过计算来做判断.3.几何中有许多互逆的命题、互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念.对互逆命题、互逆定理的概念，理解它们通常困难不大•但对那些不是以“如果……那么……”形式给出的命题，叙述它们的逆命题有时就会有困难，可以尝试首先把命题变为"如果那么”4.勾股定理的逆定理可以解决生活中的许多问题.在解决实际问题时，常先画出图形，根据已知条件计算出各边长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是否是直角三角形，再回答问题.【教学设计】一、复习导入师：上一节课我们学习了勾股定理，请同学们回忆一下：勾股定理的内容是什么生：如果直角三角形的两条直角边为a、b,斜边为c,那么三边满足的关系为a2+b2=d2.师：勾股定理反映了直角三角形三边间的数量关系，即直角边为a,b斜边为c,则三边满足a2+b2=c"（带领学生集体复习勾股定理）•思考：勾股定理的题设、结论分别是什么生：题设为直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边为c,结论为a2+b2=c2师：如果把勾股定理的题设、结论交换一下位置,即如果三角形的三边长a, b, c 满足a2+b2=c2,那么这个三角形是否是直角三角形本节课我们一起来研究这个问题板书课题：勾股定理的逆定理设计意图：通过对前面所学知识的归纳总结,联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形,自然地引出勾股定理的逆定理.二、教学新知1.发现勾股定理的逆定理.观察发现：师生共同学习古埃及人画直角的方法：把一根长绳打上等距离的13 个结,然后以3 个结间距, 4 个结间距、5 个结间距的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角。

17.2勾股定理的逆定理(优质课)优秀教学设计1000字教学设计：勾股定理的逆定理教学目标：1. 理解勾股定理的逆定理。

2. 能够使用逆定理解决三角形直角问题。

3. 培养学生自信心和解决问题的能力。

教学过程：一、导入：老师可以让学生回顾一下勾股定理，强调直角三角形的特征和斜边平方等于两条直角边平方和的关系。

二、新知：老师让学生学习勾股定理的逆定理。

首先，老师列出勾股定理的公式：a²+b²=c²。

然后，老师强调因为右边的平方和等于左边的平方和，所以如果c²=a²+b²那么这个三角形是直角三角形。

三、讲解：老师为学生讲解勾股定理的逆定理。

勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的三边中，某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

四、练习：老师让学生完成以下练习，巩固勾股定理的逆定理的运用能力。

1、在图中，AB=25，BC=24，AC=7，则△ABC是什么三角形？2、在图中，AB=10，AC=6，BC=8，则△ABC是什么三角形？3、在图中，AB=13，AC=12，则BC的值是多少？五、展示：老师通过学生的练习，展示勾股定理的逆定理的应用。

六、总结：老师总结课程，让学生复习并归纳勾股定理和勾股定理的逆定理，以及它们在解决直角三角形问题中的应用。

七、作业：老师布置勾股定理和勾股定理的逆定理的作业，要求学生在完成作业的同时，运用勾股定理和勾股定理的逆定理解决问题。

教学方法：讲解、练习、展示、总结教学工具：黑板、彩色粉笔、PPT评估方法：学生完成的课堂练习和作业，以及他们在课堂上所展示的应用。

教学反思：教师需要注意在讲解中，既要强调勾股定理的逆定理的概念和公式，也要注重其实际应用。

在练习和布置作业中，老师需要注意难易程度的掌控，要让学生既能够完成，又能够得到提高。

在展示中，老师应该强调问题的解决方法，并及时纠正错误。

在总结时，老师需要重点强调勾股定理和勾股定理的逆定理的区别和应用，以及怎样能够更好地运用勾股定理和逆定理解决问题。

.17.2勾股定理的逆定理1.会理解并判断勾股数,掌握勾股定理的逆定理,并能灵活应用逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.1.通过对勾股定理的逆定理的探索,经历知识发生、发展和形成的过程.2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数形结合方法的应用.1.通过用三边之间的数量关系来判断三角形的形状,体验数与形的内在联系,感受定理与逆定理之间的和谐辩证统一的关系.2.在对勾股定理的逆定理的探索中,培养了学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度,同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值.【重点】勾股定理的逆定理的应用.【难点】勾股定理的逆定理的证明.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】三角板、绳子.学生利用准备好的绳子,以小组为单位动手操作,观察,做出合理的推断.[设计意图]介绍前人经验,启发思考,使学生意识到数学来源于生活,同时明确了本节课研究的问题,既实行了数学史的教育,又锻炼了学生动手实践、观察探究的水平.导入二：你能说出勾股定理吗?并指出定理的题设和结论.学生独立回忆勾股定理,师生共同分析得出其题设和结论,教师引导指出勾股定理是从形的特殊性得出三边之间的数量关系.追问：你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗?师生共同得出新的命题,教师指出其为勾股定理的逆命题.追问：“如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.”能否把它作为判定直角三角形的依据呢?本节课我们一起来研究这个问题.[设计意图]通过对前面所学知识的归纳总结,自然合理地引出勾股定理的逆定理.1.勾股定理的逆定理思路一①如果改变一下三条边的结数,是否还能摆放出同样形状的三角形吗?②画图看一看,三角形的三边长分别为2.5 cm,6 cm,6.5 cm,观察三角形的形状.再换成4 cm,7.5 cm,8.5 cm试试看.③三角形的三边具有怎样的关系,才得到上面同样的结论?教师根据学生的思考结果,对第③个问题总结归纳,提出猜想：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.[设计意图]由特殊到一般,归纳猜想出“如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就为直角三角形”的结论,培养学生动手操作水平和寻求解决数学问题的一般方法.思路二下面的三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c.5,12,13;7,24,25;8,15,17.①这三组数都满足a2+b2=c2吗?②分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?学生以小组为单位,按给出的三组数作出三角形,得出结论：①这三组数都满足a2+b2=c2;②以每组数为边长作出的三角形都是直角三角形.师生进一步通过实际操作,猜想结论：如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.[设计意图]本活动通过让学生按已知数据作出三角形,并测量三角形三个内角的度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的相关边的条件,猜想得出结论.学生独立思考回答问题,命题1的题设是直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,结论是a2+b2=c2;命题2的题设是三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,结论是这个三角形是直角三角形.教师引导学生分析得出这两个命题的题设和结论正好是相反的.归纳出互逆命题概念：两个命题的题设和结论正好相反,像这样的两个命题叫做互逆命题,如果其中一个叫原命题,那么另一个就叫做它的逆命题.提问：请同学们举出一些互逆命题,并思考：原命题准确,它的逆命题是否也准确呢?举例说明.学生分组讨论合作交流,然后举手发言,教师适时记下一些互逆命题,其中既包含有原命题、逆命题都成立的互逆命题,也包括原命题成立逆命题不成立的互逆命题.如：①对顶角相等和相等的角是对顶角;②两直线平行,内错角相等和内错角相等,两直线平行;③全等三角形的对应角相等和对应角相等的三角形是全等三角形.追问：在大家举出的互逆命题中原命题和逆命题都成立吗?学生举手发言回答,另一学生纠错.同时教师引导学生明确：①任何一个命题都有逆命题.②原命题准确,逆命题不一定准确;原命题不准确,逆命题可能准确.③原命题与逆命题的关系就是命题中题设与结论“互换”的关系.[设计意图]让学生在合作交流的基础上明确互逆命题的概念,在互动的过程中掌握互逆命题的真假性是各自独立的.这个三角形是直角三角形”吗?教师引导学生分析命题的题设及结论,让学生独立画出图形,写出已知和求证.已知：如图所示,△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,且a2+b2=c2.求证：∠C=90°.追问：要证明△ABC是直角三角形,只要证明∠C=90°,由已知能直接证吗?教师引导,如果能证明△ABC与一个以a,b为直角边长的Rt△A'B'C'全等.那么就证明了△ABC是直角三角形,为此,能够先构造Rt△A'B'C',使A'C'=b,B'C'=a,∠C'=90°,再让学生小组讨论得出证明思路,证明了猜想的准确性.教师适时板书出规范的证明过程.证明：如图所示,作直角三角形A'B'C',使∠C'=90°,B'C'=a,A'C'=b,由勾股定理得A'B'===c,∴A'B'=AB,B'C'=BC,A'C'=AC,∴△ABC≌△A'B'C',∴∠C=∠C'=90°,∴△ABC是直角三角形.教师在此基础上进一步指出,如果一个定理的逆命题经过证明是准确的,那么它也是一个定理,我们把上面所形成的这个定理叫做勾股定理的逆定理,称这两个定理为互逆定理.[设计意图]引导学生用图形和数学符号语言表示文字命题,构造直角三角形,让学生体会这种证明思路的合理性,协助学生突破难点.2.例题讲解(教材例1)判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a=15,b=8,c=17;(2)a=13,b=14,c=15.学生独立完成,教师适时指导,并规范地书写解题过程.在此活动中,教师协助学生分析得到：要判断一个三角形是不是直角三角形,可根据勾股定理及其逆定理,关键是对两条较小边长的平方和与最大边长的平方实行比较,只有相等时才是直角三角形.解：(1)因为a2+b2=152+82=289,c2=172=289,所以152+82=172,根据勾股定理的逆定理,这个三角形是直角三角形.(2)因为a2+b2=132+142=365,c2=152=225,所以132+142≠152,(1)3,4,;(2)6,8,;(3)7,24,;(4)5,12,;(5)9,12, .[设计意图]通过练习,学会使用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.[知识拓展]勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一,利用它判定是否为直角三角形的一般步骤：①确定最大边长c;②计算a2+b2和c2的值,若a2+b2=c2,则此三角形是直角三角形;若a2+b2<c2,则此三角形是钝角三角形;若a2+b2>c2,则此三角形是锐角三角形.(教材例2)某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16 n mile,“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处,且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?引导学生认真审题,弄清已知是什么,解决的问题是什么.学生通过思考举手回答,教师在黑板上列出：已知两艘轮船的航速,它们的航行时间以及相距的路程,“远航”号的航向——东北方向;解决的问题是“海天”号的航向.引导学生尝试画图,教师在黑板上或多媒体中画出示意图.引导学生分析：图中的E,N分别表示东、北两个方向.要求出“海天”号的航行方向,只要求出∠RPQ的度数,而∠1=45°,利用角的和差得出∠2的度数.解：根据题意,由已知得PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30.因为242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,所以∠QPR=90°,由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°,所以∠2=∠QPR-∠1=45°,即“海天”号沿西北方向航行.[设计意图]学生在规范化的解答过程及练习中,提升对勾股定理逆定理的理解以及实际应用的水平.师生共同回顾本节课所学主要内容：(1)已知一个三角形的三边长,利用勾股定理的逆定理来判定这个三角形是不是直角三角形.(2)一个命题一定有逆命题,一个定理不一定有逆定理.(3)三个数满足勾股数的两个条件：①三个数必须满足较小的两个数的平方和等于最大的一个数的平方;②三个数必须都是正整数.(4)解题时,注意勾股定理与其逆定理的区别.勾股定理是在直角三角形中使用的,而勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的.1.(2019·毕节中考)下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是 ()A.,,B.1,,C.6,7,8D.2,3,4解析：A中,()2+()2≠()2,不能构成直角三角形,故错误;B中,12+()2=()2,能构成直角三角形,故准确;C中,62+72≠82,不能构成直角三角形,故错误;D中,22+32≠42,不能构成直角三角形,故错误.故选B.2.若△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是 ()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析：根据题意可得a=b或a2+b2-c2=0,所以△ABC可能为等腰三角形,也可能为直角三角形.故选C.3.下列说法中准确的有 ()(1)在一个三角形中,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这条边所对的角是直角;(2)命题“在一个三角形中,有一个角是30°,那么它所对的边是另一边的一半”的逆命题是真命题;(3)勾股定理的逆定理是：如果两条直角边长的平方和等于斜边长的平方,那么这个三角形是直角三角形;(4)△ABC的三边之比是1∶1∶,则△ABC是直角三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个解析：(1)准确,(2)错误,(3)错误,(4)准确,故有两个说法是准确的.故选B.4.如图(1)所示的是一块地,已知AD=4 m,CD=3 m,AD⊥DC,AB=13 m,BC=12 m,求这块地的面积.解：如图(2)所示,连接AC.∵AD⊥DC,∴在Rt△ACD中,AD2+CD2=AC2,∴AC===5(m).∵AC2+BC2=52+122=132=AB2,∴△ABC为直角三角形,∴这块地的面积为S=S△ABC-S△ACD=AC·CB-AD·DC=×5×12-×3×4=24(m2).17.2勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理(1)归纳猜想(2)原命题、逆命题(3)勾股定理的逆定理的证明2.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材练习第33页第1,2,3题;教材第34页习题17.2第1,2,3,4题.【选做题】教材第34页习题17.2第7题.本节课以“提出问题——解决问题”为主线,以学生的自主探索学习为中心,从解决问题的完成情况看,知识目标完全达到,水平目标基本实现,情感目标基本实现.在本节课教学中,充分发挥学生在教学中的主体作用,教师不能一味地“讲知识”,而是应用启发式的原则,给学生指明学习目标和方向,让学生去自主探究,注重了知识上的即时巩固,也侧重了学生各方面的素质的培养.在重难点的突破上,还应加一些递进的习题,降低题的难度,使优生学好,中等生也能跟上.同时,缺少了板书示范,不利于学生养成良好的书写习惯.。

17.2《勾股定理的逆定理》教学设计导读：本节课安排在勾股定理之后，主要内容包括，勾股定理的逆定理及其应用、互逆命题（定理）及勾股数的概念，其中前者是重点，勾股定理逆定理的证明是难点。

勾股定理的逆定理既是对直角三角形的再认识，也是判断一个三角形是不是直角三角形（确定直角）的一种方法。

一、内容和内容解析1.内容勾股定理的逆定理证明及简单应用，原命题、逆命题的概念既及互关系。

2.内容解析勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长ａ、ｂ、ｃ满足ａ2﹢ｂ2﹦ｃ2，那么这个三角形是直角三角形。

勾股定理的逆定理是利用三边长关系来判断三角形是直角三角形的一种方法。

勾股定理的逆命题是真命题，勾股定理和它的的逆定理是互为逆定理的关系，两个定理的题设和结论正好相反。

应该注意，对于一般命题，原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题。

在命题的研究中，研究一个命题的逆命题是一种常用的研究方法。

基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：探究并证明勾股定理的逆定理。

二、目标和目标解析1.目标（1）理解，并应用勾股定理的逆定理，经历“实验测量-猜想-论证”的定理探究过程，体会“构造法”证明数学命题的基本思想。

（2）通过勾股定理逆定理的证明体会有特殊到一般和数形结合思想方法在问题解决中的作用。

（3）了解逆命题的概念，并了解原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题。

2.目标解析目标（1）要求经历勾股定理的逆定理的探究及证明过程，并理解通过构造一个直角三角形，证明此三角形和原三角形全等，从而证明三角形为直角三角形的方法，要求能应用勾股定理的逆定理来判断一个三角形是直角三角形。

目标（2）培养学生学生数学思想方法和罗辑思维的能力。

目标（3）能根据原命题写出它的逆命题，并了解原命题为为真命题，它的逆命题不一定为真命题。

理解判断逆命题为假命题只要举出反例即可，但要说明逆命题为真命题必须通过证明。

三、教学问题诊断分析证明勾股定理逆定理的实质，是通过ａ2﹢ｂ2﹦ｃ2 证明三角形中有一个角为90。

《勾股定理的逆定理》教学设计一、教学目标1、理解勾股定理的逆定理的证明方法。

2、能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。

3、通过对勾股定理逆定理的探索，培养学生的逻辑推理能力和动手操作能力。

二、教学重难点1、重点（1）掌握勾股定理的逆定理。

（2）能熟练运用勾股定理的逆定理判断三角形的形状。

2、难点（1）理解勾股定理的逆定理的推导过程。

（2）勾股定理的逆定理的应用。

三、教学方法讲授法、讨论法、探究法、练习法四、教学过程（一）导入新课1、复习勾股定理的内容：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么 a²＋ b²＝ c²。

2、提出问题：如果一个三角形的三边长 a，b，c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形是否一定是直角三角形呢？（二）新课讲授1、探究勾股定理的逆定理（1）让学生画一个三边长分别为 3cm，4cm，5cm 的三角形，然后用量角器测量三角形的最大角的度数，观察这个三角形的形状。

（2）再让学生画一个三边长分别为 5cm，12cm，13cm 的三角形，同样测量最大角的度数，观察三角形的形状。

（3）通过学生的动手操作，引导学生发现：当三角形的三边长满足 a²＋ b²＝ c²时，这个三角形是直角三角形。

2、证明勾股定理的逆定理（1）假设△ABC 的三边长 a，b，c 满足 a²＋ b²＝ c²，要证明△ABC 是直角三角形。

（2）构造一个直角三角形 A'B'C'，使其两条直角边分别为 a，b，根据勾股定理，斜边 A'C' ＝ c。

（3）证明△ABC ≌△A'B'C'，从而得出∠C ＝ 90°，即△ABC 是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理的应用（1）例 1：判断由线段 a ＝ 15，b ＝ 8，c ＝ 17 组成的三角形是不是直角三角形。

17.2勾股定理的逆定理【教学目标】知识与技能:1.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.2.会用勾股定理的逆定理判断直角三角形.过程与方法:经历探索勾股定理的逆定理的过程,发展学生的推理能力和有条理的表达能力,培养学生的综合能力.情感态度与价值观:通过小组合作与交流,培养学生团结协作的精神和探索精神,有助于塑造他们挑战困难,挑战生活的勇气和信心.【重点难点】重点:理解并掌握勾股定理的逆定理,并会应用.难点:勾股定理的逆定理的证明.【教学过程】一、创设情境,导入新课小明做了一个长为40 cm,宽为30 cm的长方形模型,高兴地交给了老师,老师接过小明的模型,用刻度尺度量了模型的长宽所在的对角线,量得对角线的长为56 cm,然后老师指着模型对小明说:“这个角不是直角,你做的模型不合格.”小明不高兴地问老师:“老师,只通过直尺度量就能判断一个角不是直角吗?”同学们有这样的疑问吗?老师通过直尺度量判断直角有没有根据?带着这些问题,我们学习本节知识.二、探究归纳活动1:互逆命题、互逆定理1.问题1:下面几组数分别是一个三角形的边长a、b、c(单位:cm).①3、4、5;②4、7、9;③6、8、10.(1)这三组数都满足a2+b2=c2吗?(2)尺规作图:分别以每组数为三边长作出三角形.(3)用量角器量一量,它们是直角三角形吗?提示:(1)①③满足a2+b2=c2,②不满足(2)略(3)①③是直角三角形,②不是直角三角形.2.思考:根据上面的几个例子,你能提出一个数学命题吗?3.归纳:如果一个三角形的三边长a,b,c满足_________________,那么这个三角形是___________.答案:a2+b2=c2直角三角形4.问题2:阅读,命题1 : 如果一个三角形是直角三角形,两直角边长为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.命题2 :如果一个三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.(1)观察命题2与命题1,你有什么发现?发现:两个命题的______、______正好相反,命题1的____是命题2的______;命题1的______是命题2的______.我们把像这样的两个命题叫做________.如果把其中一个叫______,那么另一个叫做它的________.(2)你能举出互逆命题的例子吗?(3)如果原命题正确,那么逆命题也正确吗?举例说明.提示:(1)题设结论题设结论结论题设互逆命题原命题逆命题(2)略(3)不一定略5.思考:一个三角形各边长数量应满足怎样的关系时,这个三角形才是直角三角形呢?提示:三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2时,这个三角形是直角三角形.活动2:1.问题:已知△ABC中,BC=3,AC=4,AB=5,求证△ABC是直角三角形.证明:如图,画一个Rt△A′B′C′,使B′C′=______,A′C′= ______,∠C′= ______°.∵BC=3,AC=4,∴BC=______=3 ,AC=______=4,由勾股定理,得A′B′2=B′C′2+A′C′2=______+______=______,∴A′B′=______,∵AB=5,∴AB=______ ,在△ABC和△A′B′C′中,∵∴△ABC≌△A′B′C′()∴∠C′= ______= ______°∴△ABC是直角三角形.提示:BC AC 90B′C′A′C′ 32 42 255A′B′BC=B′C′,AC=A′C′,AB= A′B′SSS∠C 902.思考:若△ABC的三边不是3、4、5,而是a,b,c,但同样满足a2+b2=c2,你能证明△ABC是直角三角形吗? 提示:略3.思考:如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理吗?提示:是归纳:1.如果三角形的三边长是a,b,c,满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,是真命题,可以用来判定直角三角形,我们把它称为勾股定理的逆定理.2.一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理“互为逆定理”.活动3:勾股数思考:我们知道3、4、5是一组勾股数,那么3k、4k、5k(k是正整数)也是一组勾股数吗?一般地,如果a、b、c是一组勾股数,那么ak、bk、ck(k是正整数)也是一组勾股数吗?提示:是6.应用举例【例1】下列四个命题中:①对顶角相等;②同旁内角互补;③全等三角形的对应角相等;④两直线平行,同位角相等,其中是假命题的有________(填序号).分析:要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.解:①对顶角相等是真命题;②同旁内角互补是假命题;③全等三角形的对应角相等是真命题;④两直线平行,同位角相等是真命题;故是假命题有②.答案:②总结:要判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.【例2】观察以下几组勾股数,并寻找规律:①4,3,5;②6,8,10;③8,15,17;④10,24,26;…,根据以上规律的第⑦组勾股数是()A.14、48、49B.16、12、20C.16、63、65D.16、30、34分析:根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系,如果是第n组数,则这组数中的第一个数是2(n+1),第二个是:n(n+2),第三个数是:(n+1)2+1.根据这个规律即可解答.解:选C.根据题目给出的前几组数的规律可得:这组数中的第一个数是2(n+1),第二个数是n(n+2),第三个数是(n+1)2+1,故可得第⑦组勾股数是16,63,65.总结:勾股数满足的条件只要三个整数中,满足较小两个整数平方的和等于较大整数的平方,那么这三个整数就是一组勾股数.【例3】如图四边形ABCD是一块草坪,量得四边长AB=3 m,BC=4 m,DC=12 m,AD=13 m,∠B=90°,求这块草坪的面积.分析:连接AC,可以把四边形分割成两个三角形,由勾股定理及逆定理说明△ACD为直角三角形,利用三角形面积公式可求四边形ABCD的面积.解:连接AC,在Rt△ABC中,AB=3 m,BC=4 m,∠B=90°,由勾股定理得AB2+BC2=AC2,∴AC=5 m.在△ADC中,AC=5 m,DC=12 m,AD=13 m∵AC2+DC2=169,AD2=169,∴AC2+DC2=AD2 ,∴△ACD为直角三角形,即∠ACD=90°.所以四边形的面积=S Rt△ABC+S Rt△ADC=AB×BC+AC×DC=×3×4+×5×12=36(m2)即这块草坪的面积是36 m2.总结:应用勾股定理的逆定理判断三条线段能否构成直角三角形的方法1.排序:把三条线段按由小到大排列;2.计算:看较小两条线段边的平方和是否等于最大线段的平方;3.结论:判断能否构成直角三角形.三、交流反思这节课我们学习了互逆命题(定理),探索了勾股定理的逆定理,掌握了直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理),并能进行简单应用,理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别.四、检测反馈1.下列各组数中,是勾股数的为()A.1,2,3B.4,5,6C.3,4,5D.7,8,92.分别有下列几组数据:①6、8、10②12、13、5③7、8、15④40、41、9.其中是勾股数的有()A.4组B.3组C.2组D.1组3.把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么a2+b2=c2”的逆命题改写成“如果……,那么……”的形式: __________________.4.下列命题中,其逆命题成立的是________.(只填写序号)①同旁内角互补,两直线平行;②如果两个角是直角,那么它们相等;③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;④如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.5.叙述下列命题的逆命题,并判断逆命题是否正确.(1)如果a3>0,那么a2>0;(2)如果三角形有一个角小于90°,那么这个三角形是锐角三角形;(3)如果两个三角形全等,那么它们的对应角相等;(4)关于某条直线对称的两条线段一定相等.6.如图在△ABC中,AB=13,BC=10,BC边上的中线AD=12.求:(1)AC的长度;(2)△ABC的面积.7.如图是一块地的平面图,AD=4 m,CD=3 m,AB=13 m,BC=12 m,∠ADC=90°,求这块地的面积.五、布置作业教科书第34页习题17.2第1,2,5题六、板书设计17.2勾股定理的逆定理一、互逆命题(定理)二、勾股数三、勾股定理的逆定理四、例题讲解五、板演练习七、教学反思勾股定理的逆定理这节课的教学,我采用了体验探究的教学方式.在课堂教学中,我首先创设情境,提出问题;再让学生通过画图、测量、判断、找规律,猜想出一般的结论;然后由学生想、画、剪、叠,去验证结论……使学生自始至终感悟、体验、尝试到了知识的生成过程,品尝到成功的乐趣.这不仅使学生学到获取知识的思想和方法,同时也体会到在解决问题的过程中与他人合作的重要性,而且为学生今后获取知识以及探索、发现和创造打下了良好的基础,更增强了学生敢于实践、勇于探索、不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气.对互逆命题,原命题,逆命题,互逆定理,逆定理等概念的讲解可随题点化,而详细讲解、随堂练习可做为第二课时的重点,挤出更多时间来做勾股定理逆定理的相应练习,特别是应加大有灵活度和难度的生活习题的练习,拓宽学生知识面,提高学生的发散思维能力.。

17.2《勾股定理的逆定理（第1课时）》教学设计一、教学内容及其解析1.教学内容探究勾股定理的逆定理及其简单应用；原命题、逆命题及其相互关系.2.教学内容解析勾股定理揭示了直角三角形由“形”的特殊性，可以得到“三边长”的数量关系.反之，可逆向探究从三角形三边长的数量关系来判断它是不是直角三角形.即“如果三角形三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形”.了解互逆命题的结构特点，理解原命题为真命题时,其逆命题不一定为真命题.教学重点：通过设置情境，启发学生提出数学问题,探究并证明勾股定理的逆定理.二、教学目标及其解析1.教学目标（1）理解勾股定理的逆定理，经历“情境、问题、实验、猜想、证明”的探究过程，体会“构造法”证明数学命题的基本思想，并能简单运用勾股定理的逆定理.（2）了解原命题、逆命题的相关概念，进一步加深性质和判定定理之间关系的认识.2.教学目标解析目标（1）要求经历勾股定理逆定理的探究过程，了解证明几何命题的思想方法，同时体会“构造法”证明数学命题的基本思想，并能应用勾股定理的逆定理来判断一个三角形是直角三角形.目标（2）要求知道互逆命题的结构特点，能根据原命题写出它的逆命题，了解原命题为真命题时，逆命题不一定为真命题,理解用“举反例”来判断逆命题为假命题的方法.三、学情分析通过前面的学习，学生已具备研究几何问题的基本经验，能够进行一般的推理和论证，对动手操作和问题探究充满热情，但思维有一定的局限性，能力也有差距.其二，构造一个直角三角形，用“同一法”来证明勾股定理逆定理的方法是第一次遇到，大多数学生对此难以理解.教学难点：勾股定理逆定理的证明.四、教学策略分析通过设置数学情境，引导观察，启发思考，提出数学问题.再通过操作实验，分析归纳，推理论证来探究勾股定理逆定理及其证明，使学生体会从“特殊”到“一般”的数学思想，培养分析和解决问题的能力.通过回忆勾股定理从“形”到“数”的研究过程，启发学生逆向思考提出相关的数学问题，并有针对性地进行了三组实验.第一、二组实验是为了培养学生的规范作图、观察思考和简单的逻辑推理能力.第三组实验运用“超级画板”软件直观地进行了动态演示，渗透从“特殊”到“一般”的数学思想，体会几何证明的必要性，培养学生严密审慎的逻辑思考习惯，同时也能让学生在不断有问题生成的课堂中饶有兴趣地展开学习活动.此外，通过回顾和类比已学的“平行线”性质定理和判定定理，使学生进一步加深对互逆定理、性质和判定定理之间关系的认识，体现数学知识及学习的整体性和系统性.在教学中教师要有适当的“追问”环节，其目的是使学生弄清知识的来龙去脉，不仅知道“是什么”，更要知道“为什么”以及“你是怎样知道为什么是这样的”，此即“知其然，知其所以然，何由以知其所以然”“示以学生思维之道”.同时，在学习过程中通过对问题的置疑与分析、质疑甚至是批判，力争为培养学生的创造性思维做点努力.五、教学过程设计1.回忆旧知，再次梳理问题1：勾股定理的内容是什么？预设学生回答“a²+b²=c²”，这时可以追问a，b，c是任意三条边吗？”（这里主要是让学生明确勾股定理是“直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方”.）设计意图：让学生通过回忆，巩固勾股定理的内容，以及勾股定理的数学符号语言如何表达.也让学生再次感受到勾股定理揭示了直角三角形可以由“形”的特殊性得到其“三边长”的数量关系——即由“形→数”，为下一步启发思考、提出问题做铺垫.2.提出问题问题2：你能提出一个相关的数学问题吗？设计意图：希望学生在已体会到由“形→数”的情况下，有一种对由“数→形”的置疑，培养学生的逆向思维能力.学生完成提问：如果三角形的三边长a,b,c，且满足a²+b²=c²，那么三角形是直角三角形吗？老师追问：满足a²+b²=c²这个等式的三个数多不多？学生答：多.老师问：有哪些？预计学生回答：3,4,5；6,8,10;5,12,13……老师提出质疑：那是不是以每一组数作为三边长所围成的三角形都是直角三角呢？设计意图：启发学生提出问题后，先让学生们明白其实三角形的三边长满足a²+b²=c²这个等量关系的数特别多，但是不是都是直角三角形呢？由此引起学生的质疑，让他们感觉到要通过实验来验证的必要性，培养学生的科学精神和严谨的学习态度.3.实验第一组实验：教师：“我们选择3,4,5这组数来验证一下.”∵3²+4²=255²=25∴3²+4²=5²既然3,4,5满足a²+b²=c²这个等量关系，那我们就以3,4,5为三边长画三角形，看看它是什么三角形？”（1）学生动手画图.（2）大部分学生画完后，请一位同学上黑板来画，让其他同学观察其画法.设计意图：①用实验来验证提出的问题；②培养学生的规范作图能力；③对于本问题的研究来说，“已知三边长画三角形”要用尺规作图的方法，但并非所有同学都会作图.大多数学生在以前的学习中，都知道“勾三股四弦五”，所以在画图时就很容易犯一个经验性的错误——直接用3,4为直角边画出一个直角三角形.通过对这个“错误”的纠正，培养学生严密审慎的逻辑思考习惯.画完之后让学生通过测量，验证以3,4,5为边所围成的三角形确实是一个直角三角形.教师再提出质疑：一个实验的结果，是必然的还是巧合呢？随之再进行下一组实验.第二组实验：分别以 2.5，6，6.5为边长画出三角形（单位：cm）.教师提问：先计算一下这一组数有什么数量关系？引导学生完成：∵2.5²+6²=42.256.5²=42.25∴2.5²+6²=6.5²设计意图：通过前两次这种推理性的书写，让学生又次明确，在画图试验前，三边长的数量关系都满足了a²+b²=c².让学生有目的性地进行探究实验.通过尺规作图，经测量，学生发现以2.5，6，6.5为边长围成的三角形也是直角三角形.第三组实验：“超级画板”动态演示以“6,8,10”为边长画三角形.在动态演示过后，提问学生“你有什么发现？”预设学生答案：（1）∵6²+8²=100，10²=100，∴6²+8²=10²；（2）AB边越短，∠ACB越小……设计意图：通过“超级画板”的动态演示，渗透从“特殊”到“一般”的数学思想，体会几何证明的必要性，培养学生的观察能力和问题意识，同时也能让学生在不断有问题生成的课堂中饶有兴趣地展开学习活动.也为本节课小结第二个问题，做一个动态、直观的铺垫.通过这个活动，学生发现以6,8,10为边长围成的三角形也是直角三角形，且6²+8²=10².再一次满足提问中的a²+b²=c²这样的数量关系.教师问：看一下这三个实验的结果，现在能不能来回答之前所提出的问题？——“如果三角形的三边长a,b,c，且满足a²+b²=c²，那么三角形是直角三角形吗？”预设1：学生回答：能.教师：也就是说“如果三角形的三边长a,b,c，且满足a²+b²=c²，那么三角形是直角三角形.”教师追问：仅仅通过三个实验，能说明三边长满足a²+b²=c²的所有三角形都是直角三角形吗？预设2：学生回答：不能教师：为什么，说出你的理由？设计意图：先让学生通过三个实验来回答刚才的提问，如果学生回答“能”，这里可以先让他们品尝到实验的成果，同时认识到实验的必要性.但通过教师追问，让学生再次去质疑，毕竟满足a²+b²=c²这一等式的三边长有无数组，不仅仅只有实验的这三组数，让学生意识到，这三组实验只是得到了一种猜想，如果要想说明猜想（命题）是正确的，那就必须通过推理证明，从而发展学生的理性思维和实践能力.老师总结：所以，我们通过实验得到“如果三角形的三边长a,b,c，且满足a²+b²=c²，那么三角形是直角三角形.”现在只能是一个猜想.4.证明，形成定理活动：如何证明这个猜想（命题）？已知：如上图所示，△ABC的三边长a,b,c满足a²+b²=c².求证：△ABC是直角三角形.设计意图：引导学生用图形和数学符号语言表示命题，明确任务.教师引导：如果要证明△ABC是直角三角形，只要证明∠C=90°，由命题的已知条件，能直接证明吗？这是本节课的难点.教师一定要给足时间，引导学生充分讨论，提出解决问题的方法.如果学生仍没有思路和解决办法，可适时点拔以下关键点：（1）从已知条件不能直接证明△ABC是直角三角形怎么办？（2）我们至今学过哪些几何知识？有哪些证明几何问题的方法和经验？由此启发学生想到可以利用“三角形”中的“全等三角形”，而至少要有两个三角形才能考虑全等，于是才能顺理成章地想到可先构造一个直角三角形，再证明△ABC与这个直角三角形全等即可.设计意图：当难以直接证明△ABC是直角三角形时，需要“全等三角形”这一工具，通过构造一个直角三角形证明△ABC与这个直角三角形全等，从而证明△ABC是直角三角形，让学生体会“同一法”证明思路的合理性，帮助学生突破难点.5.定理应用例1 判断下列问题中以线段a，b，c为边组成的三角形是不是直角三角形？（1）a=15，b=8， c=17（2）a=13，b=14，c=15（3）a=41，b=4，c=5师生活动：第（1）师生共同完成；（2）、（3）由学生独立完成.设计意图：这组练习是勾股定理逆定理的应用，通过练习把陈述性的定理转化为认知操作，学会用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形，规范地示范解答过程，并介绍勾股数的概念.6.逆命题的教学①如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c²．②如果三角形的三边长a，b，c 满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形．师生活动：比较两个命题的题设和结论，让学生初步感受到其题设和结论的关系，然后归纳和介绍原命题，逆命题，互逆定理的概念.同时再让学生回忆之前学习过的一些互逆定理.设计意图：首先让学生观察上面两个命题的特点，然后引入逆命题的概念，再进一步了解互逆命题，互逆定理，体现数学的整体性、系统性，使学生进一步加深对性质和判定之间的关系认识.例2 说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题是真命题吗？（1）如果a=b，那么a²=b².（2）角平分线上的点到角两边的距离相等 .师生活动：学生独立思考并口答完成.设计意图：加深学生对原命题、逆命题，真命题、假命题等概念的理解，理解任何一个命题都有逆命题，但是逆命题不一定都是真命题，理解并会用“举反例”来判断逆命题为假命题.7.小结（1）本节课你有什么收获？（2）通过今天的学习，你还能提出什么问题？设计意图：通过第一个问题可引导对本节课内容及数学思想方法进行及时归纳和总结，且须特别强调研究几何问题的基本思路“观察、发现→提出问题→实验→得出猜想→证明→形成定理”.第二个问题是本节问题研究的引申，并可引导学生提出新的问题，既开拓学生思维，又培养学生发现问题，提出问题的能力，让学生感受到课已终而学未止、思未休.预测学生提出的问题有：钝角三角或者锐角三角形的三边长是否也存在某种数量关系？三角形三边长满足什么数量关系时，三角形是锐角三角形或钝角三角形？等等……8.作业布置教科书第33页练习第1,2，习题17.2第4,5题.设计意图：考查勾股定理逆定理的应用，互逆命题的概念及其关系，判断一个命题是假命题的方法.《17.2勾股定理的逆定理(第1课时)》点评本节课以数学知识本身作为数学情境，通过复习勾股定理，启发学生逆向思考提出新的数学问题：“如果三角形三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是不是直角三角形。

17.2 勾股定理逆定理（第1课时）课题: 17.2 勾股定理逆定理（第1课时）教学目标1．知识与能力：应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形. 2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识.过程与方法：在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度.使学生能归纳总结数学思想方法在题目中应用的规律.情感态度价值观：通过引例问题情境的创设，诱发学生的求知欲，进一步认识数学与生活的密切联系；在解决问题的过程中，培养学生的数学建模能力；发展学生与他人交流、合作的意识。

教学重、难点重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

学情分析八年级学生认知结构、心理特征趋于逐渐成熟时期，是学生由试验几何向推理几何过渡的重要阶段。

这个时期的学生对所学知识有一种急于尝试和运用的冲动，若不能正确引导，则必将对其学习数学的积极性造成伤害。

课前准备利用教学平台多媒体,对本节知识做一些补充，以增大课堂容量，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结构，提高课堂教学效率。

教学过程教师活动学生活动设计意图【活动1】创设情境，导入课题 （1） 我们已经学习了勾股定理，你能叙述吗？ （2） 【实验观察】 实验方法：用一根钉上13个等距离结的细绳子，让同学操作，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起．然后用角尺量出最大角的度数．（90°），可以发现这个三角形是直角三角形．(3) 提出课题§《18.2.2勾股定理的逆定理》归纳结论：勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

【教师活动】 （1）出示问题 【学生活动】 学生通过思考举手回答及总结得出勾股定理的逆定理。

【媒体使用】（略） 【赏 析】旨在通过复习勾股定理来引入本课时的学习任务——应用勾股定理及逆定理解决有关实际问题。

17.2勾股定理的逆定理教学设计一、教学目标1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3．理解逆定理的概念。

二、重点、难点1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。

2．难点：勾股定理的逆定理的证明。

三、例题的意图分析（P31探究）通过让学生动手操作，画好图形，量一量，比一比，看看画出的三角形是不是直角三角形，从而激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维。

例1（P32）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。

②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。

③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

四、课堂引入勾股定理内容五、新课讲解创设情景：问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长蝇打上等距离的13个结，然后以3个结，4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5．有下面的关系“32＋42＝52”．那么围成的三角形是直角三角形．活动1：画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，有下面的关系，“2.52＋62＝6.52，画出的三角形是直角三角形吗?换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm．再试一试．设计意图：由特殊到一般，归纳猜想出“如果三角形三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就为直免三角形的结论，培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法．师生行为让学生在小组内共同合作，协手完成此活动．教师参与此活动，并给学生以提示、启发．在本活动中，教师应重点关注学生：①能否积极动手参与．②能否从操作活动中，用数学语言归纳、猜想出结论．③学生是否有克服困难的勇气．生：我们不难发现上图中，第(1)个结到第(4)个结是3个单位长度即AC＝3；同理BC＝4，AB＝5．因为32＋42＝52．我们围成的三角形是直角三角形．生：如果三角形的三边分别是2.5cm，6cm，6.5cm．我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现6.5cm 的边所对的角是直角，并且2.52＋62＝6.52．再换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm的三角形，目标可以发现8.5cm的边所对的角是直角，且也有42＋7.52＝8.52．是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢?命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2那么这个三角形是直角三角形．命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．命题2 如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足a2＋b2＝c2那么这个三角形是直角三角形．它们的题设和结论各有何关系?设计意图：认识什么样的两个命题是互逆命题，明白什么是原命题，什么是逆命题?你前面遇到过有互逆命题吗?师生行为：学生阅读课本，并回忆前面学过的一些命题．教师认真倾听学生的分析．教师在本活动中应重点关注学生；①能否发现互逆命题的题设和结论之间的关系．②能否积极主动地回忆我们前面学过的互逆命题．生：我们可以看到命题2与命题1的题设．结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．例如把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题．生：我们前面学过平行线的性质和判定．其中“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆命题．“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆命题．生：“两直线平行，同旁内角互补”和“同旁内角互补，两直线平行”也是互逆命题． 活动2：证明：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

b c 转化为如何判断一个角是直角。

BC17．2 勾股定理的逆定理第一课时教学目的1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

重点、难点1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。

2．难点：勾股定理的逆定理的证明。

例题的意图分析例 1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。

例 2 通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和 求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学 生的理性思维。

例 3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一 般步骤：①先判断那条边最大。

②分别用代数方法计算出 a 2+b 2 和 c 2 的值。

③判断 a 2+b 2 和 c 2 是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

课堂引入创设情境：⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定 理的逆命题进行猜想。

例习题分析例 1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？⑴同旁内角互补，两条直线平行。

⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。

⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

⑷直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半。

分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设 和结论，并注意语言的运用。

⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真 一假，还可能都假。

解略。

例 2 证明：如果三角形的三边长 a ，， 满足 a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图 形，然后写已知求证。

⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道 若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题cA A1b b⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三 a a B1C1角形全等，使问题得以解决。