人教版-数学-八年级下册-《勾股定理的逆定理》教学设计(第1课时)

勾股定理的逆定理数学教案
标题：勾股定理的逆定理数学教案
一、教学目标
1. 知识与技能目标：理解并掌握勾股定理的逆定理，并能运用它解决实际问题。

2. 过程与方法目标：通过探究、讨论、练习等活动，提高学生的观察力、思维能力和解决问题的能力。

3. 情感态度价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们的合作精神和实事求是的科学态度。

二、教学内容与过程
1. 引入新课：通过一些简单的实例，让学生感受到直角三角形中边长之间的关系，引出勾股定理的逆定理。

2. 新课讲解：首先回顾勾股定理的内容，然后提出问题：如果一个三角形的三条边满足a²+b²=c²，那么这个三角形一定是直角三角形吗？引导学生思考这个问题，从而引入勾股定理的逆定理。

3. 例题解析：给出几个具体的例子，让学生通过计算验证勾股定理的逆定理是否成立。

4. 练习巩固：设计一些习题，让学生自己动手计算，进一步理解和掌握勾股定理的逆定理。

三、教学反思
在本节课的教学过程中，要注意引导学生主动思考，积极参与课堂活动。

同时，要注重理论联系实际，使学生能够将所学知识应用到实际生活中去。

课题：17.1 探索勾股定理教学设计（第1课时）一、教材地位作用这节课内容部编版八年级下册第十七章第一节勾股定理第一课时。

勾股定理是学生在学习了直角三角形有关性质的基础上进行本课学习，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，在实际生活中用途很大。

通过课题的学习，学生可以经历从实际问题观察、发现、抽象出数学问题，猜想并验证直角三角形三条边之间满足的数量关系，到综合应用已学知识联想、证明的全过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力。

本节课学习过程中渗透了数形结合、从特殊到一般和方程思想等重要数学思想，同时为勾股定理逆定理和后续解直角三角形的学习奠定了基础，也为高中学习的一般三角形中余弦定理和平面解析几何的部分公式做铺垫。

二、教学重点、难点勾股定理的学习是建立在掌握一般三角形的性质、直角三角形以及三角形全等的基础上, 是直角三角形性质的拓展。

本节课主要是对勾股定理的探索和勾股定理的证明。

勾股定理的证明方法很多，本节课介绍的是等积法。

通过本节课的教学，引领学生从不同的角度发现问题、用多样化策略解决问题，从而提高学生分析、解决问题的能力。

基于以上考虑，本节课的教学重点为：探索、验证、证明勾股定理过程。

八年级学生已初步具备几何的观察能力和说理能力，也有了一定的空间想象和动手操作能力，但是他们的推理能力较弱、抽象思维能力不足。

而本节课先采用的是等积法证明。

对于其他的证明方法，由于需要合理的发散思维和联想，没有教师的启发引领，学生不容易独立想到。

难点：用拼图的方式利用等积法证明勾股定理，并结合方程思想尝试从不同角度理解、证明勾股定理。

三、目标和目标解析本节活动课应当恰当发展学生的几何直观、推理能力和模型思想的数学核心观念与数学能力，还要注重发展学生的创新意识。

知识技能目标（1）经历勾股定理的探索过程，理解并掌握勾股定理；（2）能尝试从不同角度证明勾股定理。

数学思考目标：（1）让学生切实经历“观察—猜想---验证---证明”的探索过程；（2）发展合情推理能力，分析勾股定理的证明思路；（3）体会数形结合，从特殊到一般，化归和方程思想方法。

八年级数学《勾股定理的逆定理》教案优秀10篇、课堂小结1①角为直角、②垂直、③勾股定理的逆定理、能力目标2(1)理解并会证明勾股定理的逆定理;(2)会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形;(3)知道什么叫勾股数，记住一些觉见的勾股数。

让学生自己解决问题3判断上述逆命题是否为真命题？对这一问题的解决，学生会感到有些困难，这里教师可做适当的点拨，但要尽可能的让学生的发现和探索，找到解决问题的`思路。

教学过程4(1)通过自主学习的开展体验获取数学知识的感受;(2)通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征。

让学生主动提出问题5利用类比的学习方法，由学生将上节课所学习的勾股定理的逆命题书写出来。

这里分别找学生口述文字;用符号、图形的形式板书逆命题的内容。

所有这些都由学生自己完成，估计学生不会感到困难。

这样设计主要是培养学生善于提出问题的习惯及能力。

重点、难点分析6本节内容的重点是勾股定理的逆定理及其应用。

它可用边的关系判断一个三角形是否为直角三角形。

为判断三角形的形状提供了一个有力的依据。

本节内容的难点是勾股定理的逆定理的应用。

在用勾股定理的逆定理时，分不清哪一条边作斜边，因此在用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时而出错;另外，在解决有关综合问题时，要将给的边的数量关系经过代数变化，最后到达一个目标式，这种“转化〞对学生来讲也是一个困难的地方。

判定直角三角形的方法7勾股定理的内容文字表达(投影显示)符号表述图形(画在黑板上)板书设计8(1)逆定理应用时易出现的错误：分不清哪一条边作斜边(最大边)(2)判定是否为直角三角形的一种方法：结合勾股定理和代数式、方程综合运用。

、定理的应用(投影显示题目上9(1)让学生用文字语言将上述定理的逆命题表述出来(2)学生自己证明逆定理：如果三角形的三边长有下面关系：那么这个三角形是直角三角形强调说明：(1)勾股定理及其逆定理的区别勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理。

《勾股定理》教学设计日照市东港区教育局电教站安伯玉教学内容人教版八年级下册18.1《勾股定理》第一课时教材分析勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的。

本节课的学习在教材中起到承上启下的作用，为下面学习勾股定理的逆定理作了铺垫，为以后学习“四边形”和“解直角三角形”奠定基础。

勾股定理的探索和证明蕴含着丰富的数学思想和科学研究方法，是培养学生具有良好思维品质的载体，它在数学的发展过程中起着重要的作用。

勾股定理是数与形结合的优美典范。

教学目标一、了解勾股定理的文化背景，经历探索发现并验证勾股定理的过程。

二、在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。

三、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。

在探究活动中，学会与人合作，并在与他人交流中获取探究结果。

四、通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。

在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神。

教学重点及难点重点：经历探索及验证勾股定理的过程。

难点：用拼图的方法证明勾股定理。

学具准备：方格纸、全等的直角三角形纸片。

教法与学法教法:在教学中要力求实现以教师为主导，以学生为主体，以知识为载体，以培养学生的“思维能力，动手能力，探究能力”为重点的教学思想。

尽量为学生创设“做数学、玩数学”的情境，让学生从“学会”到“会学”，使学生真正成为学习的主人。

学法:在探索勾股定理时，主要通过直观的，乐于接受的拼图法去验证勾股定理。

在本节课中，要充分体现学生的主体地位，主要采用小组合作、自主探究式学习模式。

通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。

在探究活动中，学会与人合作，并在与他人交流中获取探究结果。

教学过程一、设置悬念，引出课题师：请同学们观看大屏幕。

酷6网上曾经出现一个报道：人类一直想弄清楚其他星球上是否存在“人”，我们怎样才能与“外星人”取得联系呢？为什么我国科学家向太空发射勾股图试图与外星人沟通？这个图形蕴含怎样的秘密？师：2002年国际数学家大会在北京召开。

第十七章勾股定理教材简析本章的内容包括：勾股定理、勾股定理的逆定理．本章主要研究并揭示直角三角形三边之间的关系的勾股定理与勾股定理的逆定理．勾股定理是一个著名的几何定理，在西方也被称为毕达哥斯拉定理．勾股定理有几百种证明方法，本章主要介绍的是我国古代数学家赵爽的证明方法，这种方法利用直角三角形的面积与正方形的面积关系，数形结合，直观、简洁．勾股定理在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本章是直角三角形相关知识的延续，同时也让学生进一步认识无理数，充分体现了数学知识的紧密相关性、连续性．在中考中，主要考查勾股定理及三角形判别条件的应用，常与三角形的其他知识结合考查．教学指导【本章重点】勾股定理，勾股定理的逆定理．【本章难点】勾股定理的证明，勾股定理的应用．【本章思想方法】1．体会转化思想，如：应用勾股定理将实际问题转化成数学模型，从而构造直角三角形求解．2．体会和掌握方程思想，如：利用勾股定理求线段长时，往往需要列方程求解．课时计划17.1勾股定理3课时17.2勾股定理的逆定理1课时17.1勾股定理第1课时勾股定理及其证明教学目标一、基本目标【知识与技能】1．了解勾股定理的发现过程．2．掌握勾股定理的内容．3．会用面积法证明勾股定理．【过程与方法】经历观察—猜想—归纳—验证等一系列过程，体会数学定理发现的过程；在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养学生的数学语言表达能力和初步的逻辑推理能力．【情感态度与价值观】通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习兴趣；在探究活动中，体验解决问题的方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．二、重难点目标【教学重点】勾股定理的探究及证明．【教学难点】掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P22～P24的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.2．(1)教材P23“探究”，如图，每个方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A、B、C、A′、B′、C′的面积．解：A 的面积＝4；B 的面积＝9；C 的面积＝52－4×12×(2×3)＝13；所以A ＋B ＝C .A ′＝9；B ′＝25；C ′＝82－4×12×(5×3)＝34；所以A ′＋B ′＝C ′.所以直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．(2)阅读、理解教材P23～P24“赵爽弦图”证明勾股定理．解：朱实＝12ab ；黄实＝(a －b )2；正方形的面积＝4朱实＋黄实＝(a －b )2＋12ab ×4＝a 2＋b 2－2ab ＋2ab ＝a 2＋b 2.又正方形的面积＝c 2，所以a 2＋b 2＝c 2，即直角三角形两直角边的平方和等于第三边的平方．环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再作三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形．证明：a 2＋b 2＝c 2.图1图2【互动探索】(引发学生思考)从整体上看，这两个正方形的边长都是a ＋b ，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理．【证明】由图易知，这两个正方形的边长都是a ＋b ，∴它们的面积相等．又∵左边的正方形面积可表示为a 2＋b 2＋12ab ×4，右边的正方形面积可表示为c 2＋12ab ×4，∴a 2＋b 2＋12ab ×4＝c 2＋12ab ×4，∴a 2＋b 2＝c 2.【互动总结】(学生总结，老师点评)通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．【例2】 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 为两直角边，c 为斜边． (1)若a ＝3，b ＝4，则c 2＝____，c ＝____；(2)若a＝6，b＝8，则c2＝____，c＝____；(3)若c＝41，a＝9，则b＝____；(4)若c＝17，b＝8，则a＝____.【互动探索】(引发学生思考)根据勾股定理求解．【分析】(1)c2＝a2＋b2＝32＋42＝25，则c＝5.(2) c2＝a2＋b2＝62＋82＝100，则c＝10.(3) 因为c2＝a2＋b2，所以b＝c2－a2＝412－92＝40.(4)因为c2＝a2＋b2，所以a＝c2－b2＝172－82＝15.【答案】(1)255(2)10010(3)40(4)15【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.a2＋b2＝c2的常用变形b＝c2－a2，a＝c2－b2.活动2巩固练习(学生独学)1．在△ABC中，∠C＝90°.若a＝5，b＝12，则c＝13；若c＝41，a＝9，则b＝40.2．等腰△ABC的腰长AB＝10 cm，底BC为16 cm，则底边上的高为6_cm，面积为48_cm2.3．已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.(1)若a＝1，b＝2，求c；(2)若a＝15，c＝17，求b.解：(1)根据勾股定理，得c2＝a2＋b2＝12＋22＝5.∵c>0，∴c＝ 5.(2)根据勾股定理，得b2＝c2－a2＝172－152＝64.∵b>0，∴b＝8.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC 的周长．【互动探索】应考虑高AD在△ABC内和△ABC外的两种情形．【解答】当高AD在△ABC内部时，如图1.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.当高AD在△ABC外部时，如图2.同理可得，BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为42或60.图1 图2【互动总结】(学生总结，老师点评)题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC 外的情形．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.练习设计请完成本课时对应练习！第2课时勾股定理的应用教学目标一、基本目标【知识与技能】能运用勾股定理解决有关直角三角形的简单实际问题．【过程与方法】经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件．【情感态度与价值观】培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情．二、重难点目标【教学重点】勾股定理的简单应用．【教学难点】运用勾股定理建立直角三角形模型解决有关问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P25的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．2．在△ABC中，∠C＝90°.若BC＝6，AB＝10，则AC＝8.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，CD⊥AB于点D，求CD的长．【互动探索】(引发学生思考)观察图形：“多直角三角形嵌套”图形→已知边长，求高CD →利用等面积法求解．【解答】∵△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ， ∴由勾股定理，得AC ＝AB 2－BC 2＝4 cm. 又∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12AC ·BC ，∴CD ＝AC ·BC AB ＝4×35＝125(cm)．【互动总结】(学生总结，老师点评)由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．【例2】 如图，侦察员小王在距离东西向公路400 m 处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶．他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m,10 s 后，汽车与他相距500 m ，你能帮小王算出敌方汽车的速度吗？【互动探索】(引发学生思考)要求敌方汽车的速度，需要算出BC 的长．在Rt △ABC 中利用勾股定理即可求得BC .【解答】由勾股定理，得AB 2＝BC 2＋AC 2，即5002＝BC 2＋4002，所以BC ＝300 m. 故敌方汽车10 s 行驶了300 m ，所以它1 h 行驶的距离为300×6×60＝108 000(m)， 即敌方汽车的速度为108 km/h.【互动总结】(学生总结，老师点评)用勾股定理解决实际问题的关键是建立直角三角形模型，再代入数据求解．活动2 巩固练习(学生独学)1．等腰三角形的腰长为13 cm ，底边长为10 cm ，则它的面积为( D ) A ．30 cm 2 B ．130 cm 2 C ．120 cm 2D ．60 cm 22．直角三角形两直角边长分别为5 cm 、12 cm ，则斜边上的高为6013cm.3．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达地点B 200 m ，结果他在水中实际游了520 m ，求该河流的宽度为多少？解：根据图中数据，运用勾股定理，得AB ＝AC 2－BC 2＝5202－2002＝480(m)． 即该河流的宽度为480 m. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图1，长方体的高为3 cm ，底面是正方形，边长为2 cm ，现有绳子从D 出发，沿长方体表面到达B ′点，问绳子最短是多少厘米？图1 图2图3【互动探索】可把绳子经过的面展开在同一平面内，有两种情况，分别计算并比较，得到的最短距离即为所求．【解答】如图2，由题易知，DD′＝3 cm，B′D′＝2×2＝4(cm)．在Rt△DD′B′中，由勾股定理，得B′D2＝DD′2＋B′D′2＝32＋42＝25；如图3，由题易知，B′C′＝2 cm，C′D＝2＋3＝5 (cm)．在Rt△DC′B′中，由勾股定理，得B′D2＝B′C′2＋C′D2＝22＋52＝29.因为29>25，所以第一种情况绳子最短，最短为5 cm.【互动总结】(学生总结，老师点评)此类题可通过侧面展开图，将要求解的问题放在直角三角形中，问题便迎刃而解．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)勾股定理的简单运用：(1)由直角三角形的任意两边的长度，可以应用勾股定理求出第三边的长度．(2) 用勾股定理解决实际问题的关键是建立直角三角形模型，再代入数据求解．练习设计请完成本课时对应练习！第3课时利用勾股定理表示无理数教学目标一、基本目标【知识与技能】进一步熟悉勾股定理的运用，掌握用勾股定理表示无理数的方法．【过程与方法】通过探究用勾股定理表示无理数的过程，锻炼了学生动手操作能力、分类比较能力、讨论交流能力和空间想象能力．【情感态度与价值观】让学生充分体验到了数学思想的魅力和知识创新的乐趣，体会数形结合思想的运用．二、重难点目标【教学重点】探究用勾股定理表示无理数的方法．【教学难点】会用勾股定理表示无理数．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P26～P27的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．2．教材P27，利用勾股定理在数轴上画出表示1，2，3，4，…的点．3.13的线段是直角边为正整数3,2的直角三角形的斜边．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是()A．5＋1B．－5＋1C．5－1D． 5【互动探索】(引发学生思考)先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．【分析】图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A 的距离是5，那么点A所表示的数为5－1.故选C．【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的位置，再根据A的位置来确定a的值．活动2巩固练习(学生独学)1．小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点O，在数轴上的2个单位长度的位置找一个点A，然后过点A作AB ⊥OA，且AB＝3.以点O为圆心，OB为半径作弧，设与数轴右侧交点为点P，则点P的位置在数轴上(C)A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间2．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，根据勾股定理，得OP1＝ 2 ；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝3；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；….依此继续，得OP2018＝2019，OP n＝n＋1(n为自然数，且n＞0)．3．利用如图4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数8和－8.解：面积为8平方单位的正方形的边长为8，8是直角边长为2,2的两个直角三角形的斜边长，画图如下：活动3拓展延伸(学生对学)【例2】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；(2)在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；(3)在图3中，画一个正方形，使它的面积是10.【互动探索】(1)利用勾股定理，找长为有理数的线段，画三角形即可；(2)先找出几个能构成勾股数的无理数，再画出来即可，如画一个边长2，22，10的三角形；(3)画一个边长为10的正方形即可．【解答】(1)直角三角形的三边分别为3,4,5 ，如图1.(2)直角三角形的三边分别为2，22，10，如图2.(3)画一个边长为10的正方形，如图3.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了格点三角形的画法，需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理和正方形的性质即可解决问题．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)利用勾股定理表示无理数．练习设计请完成本课时对应练习！17.2勾股定理的逆定理教学目标一、基本目标【知识与技能】掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单运用；理解互逆命题的有关概念．【过程与方法】经历探索直角三角形的判定条件过程，理解勾股定理的逆定理．【情感态度与价值观】激发学生解决问题的愿望，体会勾股定理逆向思维所获得的结论，明确其应用范围和实际价值．二、重难点目标【教学重点】掌握勾股定理的逆定理，勾股数，理解互逆命题的有关概念．【教学难点】利用勾股定理的逆定理解决问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P31～P33的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．(1)勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2.(2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2；那么这个三角形是直角三角形．2．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．3．两个命题的题设、结论整好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．4．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形．(1)在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°；(2)在△ABC中，AC＝7，AB＝24，BC＝25；(3)△ABC的三边长a、b、c满足(a＋b)(a－b)＝c2.【互动探索】(引发学生思考)分别已知三角形的边和角，如何判定一个三角形是直角三角形呢？【解答】(1)在△ABC中，∵∠A＝20°，∠B＝70°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，即△ABC是直角三角形．(2)∵AC2＋AB2＝72＋242＝625，BC2＝252＝625，∴AC2＋AB2＝BC2.根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形．(3)∵(a＋b)(a－b)＝c2，∴a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2.根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断直角三角形的常用方法有两种：(1)两锐角互余的三角形是直角三角形(即有一个角等于90°的三角形是直角三角形)；(2)利用勾股定理的逆定理判断三角形的三边是否满足a2＋b2＝c2(c为最长边)．【例2】写出命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并说明理由．【互动探索】(引发学生思考)原命题的题设为等腰三角形，结论为腰上的高相等，然后交换题设与结论得到其逆命题；可根据三角形面积公式判断此命题的真假．【解答】命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题是两边上的高相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题．如图，在△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，且CD＝BE.∵BC＝BC，∴△CBD≌△BCE(HL)，∴∠DBC＝∠ECB，∴△ABC为等腰三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)两个命题的题设、结论整好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．【例3】某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【互动探索】(引发学生思考)根据“路程＝速度×时间”分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．【解答】根据题意，得PQ＝16×1.5＝24(海里)，PR＝12×1.5＝18(海里)，QR＝30海里．∵242＋182＝302，∴PQ2＋PR2＝QR2，∴∠QPR＝90°.由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS＝45°，∴∠SPR＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查路程、速度、时间之间的关系，勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．活动2巩固练习(学生独学)1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是(C)A．5,6,7B．10,8,4C．7,25,24D．9,17,152．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？(1)同旁内角相等，两直线平行；(2)如果两个角是直角，那么这两个角相等．解：(1)“同旁内角相等，两直线平行”的逆命题是两直线平行，同旁内角相等，逆命题不成立．(2)“如果两个角是直角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么两个角是直角，逆命题不成立．3．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a、b、c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？解：对．因为a2＋b2＝(2m)2＋(m2－1)2＝4m2＋m4－2m2＋1＝m4＋2m2＋1＝(m2＋1)2，且c2＝(m2＋1)2，所以a2＋b2＝c2，即a、b、c是勾股数．m＝2时，勾股数为4、3、5；m＝3时，勾股数为6、8、10；m＝4时，勾股数为8、15、17.4．如图，已知在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2 cm，AD＝ 5 cm，CD＝5 cm，BC＝4 cm，求四边形ABCD的面积．解：如图，连结BD.∵∠A＝90°，AB＝2 cm，AD＝ 5 cm，∴根据勾股定理，得BD＝3 cm.又∵CD＝5 cm，BC＝4 cm，∴CD2＝BC2＋BD2，∴△BCD是直角三角形，∴∠CBD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·AD＋12BC·BD＝12×2×5＋12×4×3＝()5＋6cm2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例4】在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 为BC 上一点，且CE ＝14CB ，试判断AF 与EF 的位置关系，并说明理由．【互动探索】观察图形，猜测AF ⊥EF .证明△AEF 为直角三角形可得AF ⊥EF .【解答】AF ⊥EF .理由如下：设正方形的边长为4a .∵F 是CD 的中点，CE ＝14CB ， ∴EC ＝a ，BE ＝3a ，CF ＝DF ＝2a .在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AE 2＝AB 2＋BE 2＝16a 2＋9a 2＝25a 2.在Rt △CEF 中，由勾股定理，得EF 2＝CE 2＋CF 2＝a 2＋4a 2＝5a 2.在Rt △ADF 中，由勾股定理，得AF 2＝AD 2＋DF 2＝16a 2＋4a 2＝20a 2.∴AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用三角形三边的数量关系来判定直角三角形，从而推出两线的垂直关系．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2－b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．2．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．3．两个命题的题设、结论整好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．练习设计请完成本课时对应练习！。

人教版八下17.2.1勾股定理的逆定理（第1课时）教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用在证明一个三角形是直角三角形时，之前都是从角的角度进行证明，三角形勾股定理的逆定理则是从边的数量关系的角度进行证明.通过对勾股定理及其逆定理的学习，加深对性质和判定之间关系的认识.几何中有许多互逆的命题、互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念.概念解析勾股定理的逆定理是通过三角形边的数量关系判定一个三角形是直角三角形，是直角三角形的判定定理.思想方法从特殊到一般的探索勾股定理的逆定理，在寻找证明思路的过程中蕴含着逻辑推理及转化思想.知识类型勾股定理的逆定理是原理与规则类知识，通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，证明勾股定理逆定理.教学重点探索勾股定理的逆定理.教学目标解析教学目标1.探索勾股定理的逆定理，运用勾股定理的逆定理解决简单的问题.2.结合具体实例，了解原命题及其逆命题的概念．会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立．目标解析目标1达成的标志是能通过画图探究或从逆命题的角度，猜想勾股定理逆定理，并用文字语言、符号语言、图形语言叙述勾股定理逆定理．能证明勾股定理逆定理．记住一些简单的勾股数，并能根据勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形．目标2达成的标志是会举例说明逆命题和逆定理的概念，以及性质定理和判定定理的关系．能举例说明原命题和逆命题不一定同时成立．能写出一个命题的逆命题，并判断这个逆命题是否成立．教学问题诊断分析具备的基础学生能运用勾股定理进行简单的计算，经历了探究勾股定理的过程，学习过其他图形的性质和判定，能体会性质与判定的关系.与本课目标的差距分析学生对利用计算证明几何结论比较陌生.存在的问题学生难以想到勾股定理逆定理的证明方法，对于没有写成“如果…那么…”形式的命题，在叙述它的逆命题时有时会感到困难.应对策略勾股定理的逆定理的证明关键是构建全等的直角三角形，教学中采取了从特殊到一般、从动手操作到推理证明的顺序，以问题串的形式，使学生在动手操作的基础上和合作交流的良好氛围中.通过巧妙而自然地在学生的认识结构与几何知识结构之间筑了一个信息流通渠道，进而达到完善学生的数学认识结构的目的，更有利于突破难点.教学难点证明勾股定理的逆定理.教学支持条件分析准备直角边长为3cm，4cm的直角三角形，用来和画出来的三边长为3cm、4cm、5cm的三角形进行比较，看是否能够重合，从而验证勾股定理的逆定理.利用《几何画板》或图形计算器画已知边长的三角形，度量最大角，发现勾股定理的逆定理.教学过程设计课前检测1.在直角三角形中，有两边分别为3和4，则第三边是（）A. 1B. 5C.D. 5或2.如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM≌△PON，OP平分∠AOB．以上作法中能证明△POM≌△PON根据的是（）A. SSSB. SASC. AASD. HL3.写出命题“两条直线相交，只有一个交点”的题设部分和结论部分，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.设计意图：复习勾股定理的内容为本节课勾股定理逆定理做准备，全等的证明过程为证明勾股定理逆定理做准备，命题的相关概念为学习互逆命题、互逆定理做准备.新课学习1．探究新知，得到猜想方案一：基于测评，学生对于命题的相关概念遗忘较严重.问题1：我们知道，对于一个直角三角形，已知两条边的长度利用勾股定理可以求出直角三角形的第三边，那么当一个三角形满足什么条件时它是直角三角形？师生互动设计：教师给学生一定的时间思考问题，然后视学生情况以下列问题引导学生进行思考．学生大部分回答①有一个内角是90°；②一个三角形有两个角的和是90°，那么这个三角形是直角三角形．教师总结我们知道，在三角形中，如果有一个角是90°，或两个锐角和为90°，那么这个三角形就为直角三角形，这是从角度的方面判定直角三角形，本节课，我们将学习如何从边的角度判定一个三角形是直角三角形．设计意图：先提出目标性问题，引发学生思考，再逐步探究解决．问题2：实际上，刚才老师提的那个问题，在很久之前的古埃及人已经有了答案，看看他们是怎么做的．在古代，没有直角尺、圆规、量角器等作图工具，人们是怎样得到一个直角的呢？方法：把一根长绳打上13个等距的结，把一根绳子分成等长的12段，然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.按照这种方法真的能得到一个直角吗？设计意图：介绍前人经验，引发思考，让学生感受数学来源于生活，激发学生学习兴趣．合作探究1：接下来我们也按照古人的方法画一画，请同学们组内合作完成合作探究部分，要求组内每位同学完成一幅作图．师生互动设计：学生合作活动1：（小组内合作完成）.1.画图：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）A：3、4、5 ；B：2.5、6、6.5 ；C：3、4、6 ；D：6、8、102.测量：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的度数，并记录下来．3.判断：请判断一下上述你所画的三角形的形状．4.找规律：每组给出的三边之间具有怎么样的数量关系？5.你能得到什么猜想？你的猜想是__________________________．学生分小组回答问题．追问1：C组作图当两边的平方和小于第三边时，这个三角形是钝角三角形，若两边的平方和大于第三边时，这个三角形又是什么三角形呢？追问2：教师适当动画展示，通过老师的动画演示，和同学们的猜想一致，如果给出任意一个三角形，三边长为a、b、c，这三边之间满足什么关系，就构成了直角三角形？结合图形，你能说出这个猜想命题吗？猜想：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．设计意图：教学中让学生画三角形，测量边长，然后计算边长的平方，并分析最长边的平方和其它两边平方和之间的关系，最后引导得出结论.让学生充分经历测量——计算——归纳——猜想等几何定理的探索过程．方案二：基于测评，学生对于命题的相关概念掌握情况良好．问题1：怎样判定一个三角形是直角三角形呢？师生互动设计：学生可能无从回答这个问题．或者从角的关系入手回答．追问1：回忆一下我们学习等腰三角形的过程，学习完了等腰三角形我们学习了什么？是如何进行学习的？学生回答“学习等腰三角形的判定”，通过把等腰三角形的性质中的题设和结论互换，得到等腰三角形判定的猜想．追问2：你还学习过哪些将题设和结论互换得到的定理呢？师生互动设计：学生思考后回答平行线的性质和判定也是将题设和结论互换得到的．追问3：你能从性质和判定的关系出发思考一下怎样判定一个三角形是直角三角形吗？师生互动设计：学生猜想将勾股定理的题设和结论互换得到直角三角形的判定．猜想：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 , 那么这个三角形是直角三角形．设计意图：引导学生从研究一个图形的性质和判定的角度入手进行思考，感受性质和判定的关系，体会互逆命题的关系，从而得到猜想．2．证明猜想，得到定理问题3：我们看到这个猜想和勾股定理的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做逆命题．我们得到的这个猜想是不是正确的呢？我们要进行证明．如何证明这个命题呢？师生互动设计：学生先独立思考，然后教师视学生情况直接让学生分析或以下列问题引导．追问1：对于这个猜想我们需要证明的是什么？通过什么证明？师生互动设计：学生回答一个三角形是直角三角形．通过三边的关系进行证明．设计意图：检测学生是否真的明确证明对象．追问2：那么满足什么条件的三角形是直角三角新呢？师生互动设计：学生回答一个内角是90°．设计意图：将证明对象聚焦到三角形的构成元素．追问3：如何证明一个角是90°？师生互动设计：学生感觉到困难．追问4：如果已经有一个三角形是直角三角形呢？师生互动设计：学生回答只需要运用全等进行证明即可．设计意图：帮助学生理清证明对象渗透证明方法．合作探究2：作图：1.三边长度为3cm，4cm，5cm的三角形ABC；2.以3cm，4cm为直角边的直角三角形A'B'C'，并剪下△A'B'C'，放在△ABC上，两个三角形是否重合？师：如果老师把边长是3、4、5的三角形换成边长分别为a、b、c，且满足a2+b2=c2，你会证明这个三角形是直角三角形么？几何推理论证：已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且a2+b2=c2求证：∠C=90°．（探究的关键是构建一个直角边是a、b的Rt△A’B’C’，然后和△ABC比较！于是画一个Rt△A’B’C’，使∠C’=90°，A’C’=b，B’C’=a）证明 : 作△A’B’C’，使∠C’=90°，A’C’=b，B’C’=a，如图，那么A’B’2=a2+b2（勾股定理）又∵a2+b2=c2（已知）∴A’B’2= c2，即A’B’=c (A’B’＞0)∴△ABC≌△A’B’C’(SSS)∴∠C=∠C’=90°，∴△ABC是直角三角形．当我们证明了命题2是正确的，那么命题就成为一个定理．并且这个命题的题设和结论和勾股定理的题设和结论相反，我们就称之为勾股定理逆定理，利用这个定理可以判定一个三角形是否为直角三角形．一般地原命题成立时，它的逆命题可能成立也可能不成立．像勾股定理和它的逆定理这样的两个互逆命题都是成立的，我们称之为互逆定理．设计意图：引导学生分组画三边长度为3cm，4cm，5cm的三角形和3cm，4cm 为直角边的直角三角形．让学生自然联想到三角形全等这一工具，为构造直角三角形，证明当前三角形与一个直角三角形全等做好铺垫，从而证明当前三角形是直角三角形，让学生体会这种证明思路的合理性，经历从特殊到一般的探究过程，从而突破本节课的教学难点．实际应用归纳总结3．定理运用，加深理解【例题1】判断以下线段组成的三角形是不是直角三角形:（1）a=15，b=17，c=8；（2）a=13，b=14，c=15；师生互动设计：学生计算并判断三角形是否为直角三角形，教师进行适当点拨．关注学生能否进一步理解勾股定理的逆定理的用处，以及能否运用几何语言规范书写过程．介绍勾股数，像15、8、17这样，能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数．设计意图：通过练习帮助学生把陈述性的定理转化为认知操作，让学生学会用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形．【例题2】说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命题吗？（1）两条直线平行，内错角相等．（2）对顶角相等．（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．师生互动设计：学生独立思考并完成回答，教师关注学生如何写出命题的逆定理，对互逆命题关系及真假性的理解，体会原命题成立但是逆命题不一定成立．归纳总结4．课堂小结，有效提升教师引导学生对以下问题进行反思，回顾本节课内容：1.勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作用？2.原命题、逆命题之间有什么关系？什么是互逆定理？3.我们证明勾股定理的逆定理的思路是什么？设计意图：引导学生回顾和理解勾股定理的逆定理，明确其基本应用．体会互逆命题的有关知识．引导学生回顾和体会证明勾股定理逆定理的基本思路．人教版八下17.2.1勾股定理逆定理（第1课时）目标检测一、选择题1．已知三角形三条边分别是1，，2，则该三角形为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形2．若a，b，c为三角形的三边，则下列各组数据中，不能组成直角三角形的是（）A．a=8，b=15，c=17B．a=3，b=5，c=4C．a=4，b=8，c=9D．a=9，b=40，c=41二、填空题3．下列命题：①对顶角相等；②等腰三角形的两个底角相等；③两直线平行，同位角相等．其中逆命题为真命题的有：_________________（请填上所有符合题意的序号）．4．已知∆ABC中，BC=41，AC=40，AB=9，则此三角形为____________三角形，____________是最大角．三、解答题5．在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，判断由下列a,b,c组成的三角形是不是直角三角形；如果是，请指出哪个角是直角：（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=15，c=14.。