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《形态构成教案》word版一、教案概述本教案旨在帮助学生了解和掌握形态构成的基本原理和方法，培养学生的创意思维和审美能力。
通过本课程的学习，学生将能够熟练运用形态构成原理，创造出具有独特风格的艺术作品。
二、教学目标1. 了解形态构成的基本概念、原理和方法。
2. 掌握形态构成的基本要素，如点、线、面、体等。
3. 学会运用形态构成原理进行创意设计。
4. 提高学生的审美能力和创新能力。
三、教学内容1. 形态构成的基本概念：形态、形态构成、形态要素等。
2. 形态构成的基本原理：对立统一、对比协调、层次感等。
3. 形态构成的基本方法：重复、对称、平衡、节奏等。
4. 形态构成的基本要素：点、线、面、体等。
5. 形态构成的应用：平面设计、立体设计、空间设计等。
四、教学方法1. 讲授法：讲解形态构成的基本概念、原理和方法。
2. 实践法：引导学生进行创意设计实践，培养学生的动手能力。
3. 案例分析法：分析经典案例，帮助学生理解形态构成的应用。
4. 讨论法：组织学生进行分组讨论，培养学生的团队协作能力。
五、教学安排1. 第一课时：形态构成的基本概念及其原理。
2. 第二课时：形态构成的基本方法及其应用。
3. 第三课时：形态构成的基本要素（点、线、面、体）及其特点。
4. 第四课时：形态构成的实际应用案例分析。
5. 第五课时：形态构成在艺术创作中的重要性。
六、教学评估1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生的学习兴趣和积极性。
2. 创意设计实践：评估学生在创意设计实践中的表现，包括想法的创新性、执行的准确性以及作品的完成度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度、合作能力和交流技巧。
4. 课后作业：通过学生提交的课后作业，评估学生对课堂所学知识的理解和应用能力。
七、教学资源1. 教材：选用合适的形态构成教材，为学生提供系统的学习资料。
2. 投影仪：用于展示案例分析和学生作品，增强课堂教学的互动性。
第九讲：小学数学概念的教学案例分析---“量与计量”中的概念的教学教学目标：1、通过“克、千克的认识”与“厘米的认识”的教学设计的讨论，掌握量与计量的概念教学设计的技能和方法，提高学生概念教学的能力。
2、通过学生自学教材和教师的重点讲解，了解量与计量的概念教学的重点、难点及教学策略。
3、通过学习并结合练习，发展和提高学生在量与计量概念教学设计和实践中教学及应聘求职的能力。
教学重点：“克、千克的认识”与“厘米的认识”的教学设计，量与计量概念的的教学要求与策略。
教学难点：量与计量概念教学理论知识在教学设计和教学实践中的具体应用。
教具准备：PPT课件。
教学时间：2课时教学过程：一、量与计量的教学内容与任务在小学阶段学习的量与计量单位包括：货币单位：元、角、分；时间单位：时、分、秒，年、月、日；重量（质量）单位：克、千克，吨。
长度单位：毫米、厘米、分米、米、千米；角度单位：度；面积单位：平方厘米、平方分米、平方米；体积单位：立方厘米、立方分米、立方米。
货币、时间、重量等计量单位被安排在“数与代数”领域，长度、角度、面积。
体积计量单位被安排在“图形与几何”领域。
这部分内容中的数学概念有些虽说“常见”，如货币、时间、重量等计量单位，但对于小学生来说，还是比较抽象的。
长度、角度、面积、体积单位的内涵可以借助图形的语言描述，而另外的计量单位的内涵大多无法用语言直接描述。
量与计量的教学，在认识计量单位时还要包括学习计量方法与认识计量工具。
二、、货币、重量、时间单位的教学（参阅教材200-202页）1、货币、重量、时间单位概念的教学（1）依托现实生活来使学生认识货币。
货币单位有形象直观的背景，学生具有一定的感性基础，可在现实情境中依托现实生活来使学生认识货币。
货币单位一般安排在百以内数的认识后教学。
教学时，要充分利用学生的购物经验。
引导学生把已有知识、经验系统化。
在购物情境中，通过付钱、找钱等活动，引导学生理解元、角、分之间的十进关系，从而学会用面额较小的人民币购物。
高等数学教学教案第9章多元函数微分学及其应用授课序号01),n x 的全体组成的集合称为{(R x n =),n x 称为n 维空间中的一个点，数维空间中任意两点(),,n P x 与),,n Q x 之间的距离为2222(()n n PQ y x y x +-++- 2中的一个平面点集，如果对于每个点D y x ∈),(，变量y x y x f ∈),(),(),n x 或),n x D ∈授课序号02授课序号03授课序号04授课序号05授课序号06设0M 为曲面∑上的一点，若∑上任意一条过点0M 的曲线在点0M 有切线，且这些切线均在同一平面内，则称此平面为曲面∑在点0M 的切平面，称过0M 而垂直于切平面的直线为∑在点0M 的法线. 称法线的方向向量（切平面的法向量）为∑在点0M 的法向量.1．设曲面∑的方程为(),,0=F x y z ，()0000,,M x y z 是曲面∑上的一点，曲面∑上过点()0000,,M x y z 的 切平面的方程为()()()()()()000000000000,,,,,,0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=. 法线方程为), ,() , ,() , ,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-.2．若曲面方程为(),z f x y =，曲面在点0M 的切平面方程为0000000(,)()(,)()()0x y f x y x x f x y y y z z -+---=， 法线方程为0000000(,)(,)1x y x x y y z z f x y f x y ---==-.三．例题讲解例1 求曲线231,2,3x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩在点()2,3,4处的切线及法平面方程.例2 求曲线2226,x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点()1,2,1M -处的切线及法平面方程.例3 求椭球面222236x y z ++=在点()1,1,1处的切平面及法线方程.例4 求旋转抛物面221z x y =+-在点()2,1,4处的切平面及法线方程.例5 橄榄球运动是由足球运动派生出来的一项球类运动.因球形似橄榄，中国称为“橄榄球”.橄榄球运动分为英式橄榄球和美式橄榄球两大类.其中英式橄榄球相较于美式橄榄球更大、更短，如图9.22所示.（1）试建立橄榄球的空间曲面方程；（2）求上顶点处的切平面方程.图 9.22授课序号07。
9.2反比例函数的图象与性质（2）知识目标：使学生理解反比例函数y=k x (k≠0)的增减性质。
培养、提高学生的空间想象能力。
教学重点：反比例函数的对称性质教学难点：反比例函数的对称性质教学程序：一、情景创设1、画出反比例函数y=2x ，y=4x ，y=6x 的图象2、画出反比例函数y=-2x ，y=-4x ，y=-6x 的图象二、新授：1、观察反比例函数y=2x ，y=4x ，y=6x 的图象，回答下列问题？（1）函数图象分别位于哪几个象限内；（2）在每一个象限内，随着x 值的增大，y 的值怎样变化的？能说明这是为什么吗？（3）反比例函数的图象可能与x 轴相交吗？可能与y 轴相交吗？为什么？答：（1）第一、三象限（2）y 的值随着x 值的增大而减小；（3）不可能与x 轴相交，也不可能与y 轴相交，因为x≠0，所以图象与y 轴不可能有交点，因为不论x 取何实数值，y 的值永不为0（因k≠0）所以图象与x 轴不可能有交点。
2、考察当k=―2，―4，―6时，反比例函数y=k x 的图象，回答（1）中的三个问题。
3、反比例函数图象的性质：反比例函数y=k x的图象，当k >0时，在第一象限内，y 的值随x 的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y 的值随x 的增大而增大。
4、在一个反比例函数图象上任取两点P 、Q ，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1，过点Q 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的面积为S 2,S 1与S 2有什么关系？为什么？S1=S2= | K |5、将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图象重合吗？ 反比例函数的图象是一个以原点为中心的中心对称图形；反比例函数是一个以y=±x 为对称轴的轴对称图形。
三、例题精选例1、已知反比例函数k y x =的图象经过点A （2，－4） （1）求k 的值； （2）这个函数的图象在哪几个象限？y 随x 的增大怎样变化？ （3）画出函数的图象 （4） 点1(,16)2A -、C(-3,5)在这个函数的图象上吗？ 例2、如图所示,一个反比例函数的图象在第二象限内,点 A 是图象上的任意一点,A M⊥x 轴于M,O 是原点,若S △AOM =3,求该反比例函数的解析式,并写出自变量的取值范围.四、随堂练习：P85 1、21．已知反比例函数xm y 23-=，当______m 时， 其图象的两个分支在第二、四象限内；当______m 时，其图象在每个象限内y 随x 的增大而减小。
教案第二讲（4课时）一、教学课题：极限二、教学目标：1、了解极限的概念，知道数列的“ --N”定义和函数极限的描述性定义，会求左右极限。
2、掌握极限的四则运算法则。
3、掌握用两个重要极限求一些极限的方法。
三、教学重点：极限的计算方法四、教学难点：极限的概念五、教学过程：§2。
1数列极限一、定义(1)直观上理解（2）ε—N定义法：设有数列x n和数a , 如果对于任意给定的正数ε﹥0，总存在自然数N，使得当n>N时不等式︳x n—a ︳＜ε恒成立，则称数a是数列x n的极限。
记为：limx n=an ∞(3)常见数列极限lim1/n=0,lim1/√x=0, limq n=0(׀q׀<1),lima=a二、数列极限性质（1）若极限存在，则唯一。
（2）数列有无极限，极限是何值，与该极限的任意有限项无关，将一个数列增加或删去有限项，不影响其极限。
如：10，200，300，1，1/2，1/3，1/4-----------1/9，1/10，1/11，1/12-----------------------极限相同！（3）有限项数列一定有界，反之，有界数列并非有限项。
（无界则一定无极限）如：1，-1，1，-1，--------------三、数列极限四则运算（要在每一数列有极限的前提下使用）例题1、求下列极限：（1）lim(3n+1)/(2n+1)n ∞(2)lim2n/(n2+2n-1) (3)limn2/(n+1)n ∞n ∞(4)lim{(1+2+3+------+n)/(n+2)－n/2} (5)lim(1+1/2+----+1/2n )/(1+1/3+---+1/3nn ∞n ∞(6)lim(√n(n+2)－√x－1 )n ∞n>m 析：（1）～（3）小结lim(a n x n+a n-1x n-1+-----+a1x+a0)/(b m x m+b m-1x m-1+-------+b1x+b0)=a n/b mn=m0 n<m(4) ～(5)利用等差和等比数列公式化简后求极限。
人教版六年级上册数学数学广角《数字与形态例2》教案教学目标1. 通过本节课的研究，使学生掌握数字与形态的转化规律；2. 培养学生观察、分析问题的能力；3. 培养学生合作探究的意识和能力。
教学重点学生能够正确运用数字与形态的转化规律。
教学难点学生能够灵活应用数字与形态的转化规律解决问题。
教学准备1. 教师准备活动图片、数学课本及相关教学素材；2. 学生准备纸笔。
教学过程导入活动1. 教师用一张图片展示不同的几何形状，引起学生的兴趣和好奇心；2. 教师可以提问学生，让学生观察并猜测图片中的几何形状。
新课讲解1. 教师出示数字“2”和几何形状“三角形”的图片，引导学生观察并思考两者之间的关系；2. 教师带领学生讨论，引导学生发现数字“2”和几何形状“三角形”之间的转化规律；3. 教师出示其他数字和几何形状的图片，引导学生运用转化规律，找出对应的数字和几何形状。
拓展练1. 教师出示一些只有数字的卡片，让学生通过观察来找出相应的几何形状；2. 学生配对练：学生之间相互出示数字或几何形状，要求对方配对找出相应的另一种形式。
归纳总结1. 教师与学生一起总结刚才研究到的数字与形态的转化规律；2. 教师可以将规律写在黑板上，并要求学生复述。
拓展应用1. 教师出示一些复杂的数字或几何形状，让学生尝试找出对应的另一种形式；2. 学生自由发挥，尝试设计一些数字与形态之间的转化题目，与同学互相挑战解答。
课堂小结通过本节课的研究，学生对数字与形态的转化规律有了更深入的了解。
同时，培养了学生的观察、分析问题的能力，以及合作探究的意识和能力。
作业布置1. 教师布置一些相关的练题，要求学生完成并及时批改；2. 学生自主设计一道数字与形态转化题目，并写在作业本中。
板书设计数字与形态的转化规律：2 → 三角形...教学反思本节课采用了图片展示、讨论、配对练习等多种教学方法，激发了学生的学习兴趣，并鼓励了学生的合作探究能力。
通过教师引导和学生自主思考，学生有效掌握了数字与形态的转化规律。
第九章多元函数微分法及其应用教学目的：1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。
2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。
3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
5、掌握多元复合函数偏导数的求法。
6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。
7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
8、了解二元函数的二阶泰勒公式。
9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
教学重点：1、二元函数的极限与连续性；2、函数的偏导数和全微分；3、方向导数与梯度的概念及其计算；4、多元复合函数偏导数；5、隐函数的偏导数6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；7、多元函数极值和条件极值的求法。
教学难点：1、二元函数的极限与连续性的概念；2、全微分形式的不变性；3、复合函数偏导数的求法；4、二元函数的二阶泰勒公式；5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；6、拉格郎日乘数法；7、多元函数的最大值和最小值。
§9. 1 多元函数的基本概念一、教学目的与要求：1．理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。
2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。
二、重点（难点）：二元函数极限的定义与连续性 三、教学方式：讲授式教学结合多媒体讲授内容：一、平面点集n 维空间 1．平面点集由平面解析几何知道, 当在平面上引入了一个直角坐标系后, 平面上的点P 与有序二元实数组(x , y )之间就建立了一一对应. 于是, 我们常把有序实数组(x , y )与平面上的点P 视作是等同的. 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.二元的序实数组(x , y )的全体, 即R 2=R R ={(x , y )|x , y R }就表示坐标平面. 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集, 记作 E ={(x , y )| (x , y )具有性质P }.例如, 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是C ={(x , y )| x 2+y 2r 2}.如果我们以点P 表示(x , y ), 以|OP |表示点P 到原点O 的距离, 那么集合C 可表成 C ={P | |OP |r }. 邻域:设P 0(x 0, y 0)是xOy 平面上的一个点, d 是某一正数. 与点P 0(x 0, y 0)距离小于d 的点P (x , y )的全体, 称为点P 0的d 邻域, 记为U (P 0, d , 即}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x P U .邻域的几何意义: U (P 0, d )表示xOy 平面上以点P 0(x 0, y 0)为中心、d >0为半径的圆的内部的点P (x , y )的全体.点P 0的去心d 邻域, 记作) ,(0δP U, 即 }||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U.注: 如果不需要强调邻域的半径, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U .点与点集之间的关系任意一点P R 2与任意一个点集E R 2之间必有以下三种关系中的一种(1)内点: 如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )E , 则称P 为E 的内点 (2)外点 如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )E 则称P 为E 的外点 (3)边界点: 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点.E 的边界点的全体 称为E 的边界 记作EE 的内点必属于E E 的外点必定不属于E 而E 的边界点可能属于E 也可能不属于E 聚点如果对于任意给定的0点P 的去心邻域),(δP U内总有E 中的点 则称P 是E的聚点由聚点的定义可知 点集E 的聚点P 本身 可以属于E 也可能不属于E 例如 设平面点集E {(x y )|1x 2y 22}满足1x 2y 22的一切点(x y )都是E 的内点 满足x 2y 21的一切点(x y )都是E 的边界点 它们都不属于E 满足x 2y 22的一切点(x y )也是E 的边界点 它们都属于E 点集E 以及它的界边E 上的一切点都是E 的聚点 开集: 如果点集E 的点都是内点, 则称E 为开集.闭集 如果点集的余集E c为开集 则称E 为闭集开集的例子: E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}.闭集的例子: E ={(x , y )|1x 2+y 22}.集合{(x , y )|1x 2+y 22}既非开集 也非闭集连通性: 如果点集E 内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于E 则称E 为连通集区域(或开区域): 连通的开集称为区域或开区域. 例如E ={(x , y )|1x 2+y 22}. 闭区域: 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域. 例如E = {(x , y )|1x 2+y 22}.有界集: 对于平面点集E 如果存在某一正数r , 使得 E U (O r ) 其中O 是坐标原点 则称E 为有界点集无界集: 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集例如 集合{(x , y )|1x 2+y 22}是有界闭区域 集合{(x , y )| x +y 1}是无界开区域集合{(x , y )| x +y 1}是无界闭区域 2. n 维空间设n 为取定的一个自然数, 我们用R n表示n 元有序数组(x 1, x 2, × × × , x n )的全体所构成的集合, 即R n=R ´R ´×××´R ={(x 1, x 2, × × × , x n )| x i ÎR , i =1, 2, ×××, n }. R n中的元素(x 1, x 2, × × × , x n )有时也用单个字母x 来表示, 即x =(x 1, x 2, × × × , x n ). 当所有的x i (i =1, 2, ×××, n )都为零时, 称这样的元素为R n 中的零元, 记为0或O . 在解析几何中, 通过直角坐标, R 2(或R 3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应, 因而R n 中的元素x =(x 1, x 2, × × × , x n )也称为R n中的一个点或一个n 维向量, x i 称为点x 的第i 个坐标或n 维向量x 的第i 个分量. 特别地, R n 中的零元0称为R n中的坐标原点或n 维零向量.为了在集合R n 中的元素之间建立联系, 在R n中定义线性运算如下:设x =(x 1, x 2, × × × , x n ), y =(y 1, y 2, × × × , y n )为R n中任意两个元素, l ÎR , 规定x +y =(x 1+ y 1, x 2+ y 2, × × × , x n + y n ), l x =(lx 1, lx 2, × × × , lx n ).这样定义了线性运算的集合R n称为n 维空间.R n中点x =(x 1, x 2, × × × , x n )和点 y =(y 1, y 2, × × × , y n )间的距离, 记作r (x , y ), 规定2222211)( )()(),(n n y x y x y x -+⋅⋅⋅+-+-=y x ρ.显然, n=1, 2, 3时, 上述规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至.R n中元素x=(x1, x2, × × × , x n)与零元0之间的距离r(x, 0)记作||x||(在R1、R2、R3中, 通常将||x||记作|x|), 即22221 ||||nx x x ⋅⋅⋅++=x . 采用这一记号, 结合向量的线性运算, 便得),()( )()(||||2222211y x y x ρ=-+⋅⋅⋅+-+-=-n n y x y x y x在n 维空间R n中定义了距离以后 就可以定义R n中变元的极限设x =(x 1, x 2, × × × , x n ) a =(a 1, a 2, × × × , a n )R n如果||x a ||0则称变元x 在R n中趋于固定元a 记作x a 显然x a x 1a 1, x 2a 2, × × × , x n a n在R n中线性运算和距离的引入 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念 可以方便地引入到n (n 3)维空间中来 例如设a =(a 1, a 2, × × × , a n )R n是某一正数 则n 维空间内的点集U (a ){x | x R n(x a )}就定义为R n中点a 的邻域 以邻域为基础 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点 以及开集、闭集、区域等一系列概念 二. 多元函数概念例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系V =r 2h .这里, 当r 、h 在集合{(r , h ) | r >0, h >0}内取定一对值(r , h )时, V 对应的值就随之确定.例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系 VRT p =, 其中R 为常数. 这里, 当V 、T 在集合{(V ,T ) | V >0, T >0}内取定一对值(V , T )时, p 的对应值就随之确定.例3 设R 是电阻R 1、R 2并联后的总电阻, 由电学知道, 它们之间具有关系 2121R R R R R +=.这里, 当R 1、R 2在集合{( R 1, R 2) | R 1>0, R 2>0}内取定一对值( R 1 , R 2)时, R 的对应值就随之确定.定义1 设D 是R 2的一个非空子集 称映射f D R 为定义在D 上的二元函数 通常记为z =f (x , y ) (x , y )D (或z =f (P ) P D )其中点集D 称为该函数的定义域 x , y 称为自变量 z 称为因变量上述定义中 与自变量x 、y 的一对值(x y )相对应的因变量z 的值 也称为f 在点(x y )处的函数值 记作f (x y ) 即z f (x y ) 值域: f (D ){z | z =f (x , y ), (x , y )D } 函数的其它符号: z =z (x , y ), z =g (x , y )等.类似地可定义三元函数u f (x y z ) (x y z )D 以及三元以上的函数一般地 把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n内的点集D 映射f D R 就称为定义在D 上的n 元函数 通常记为u f (x 1, x 2, × × × , x n ) (x 1, x 2, × × × , x n )D或简记为u f (x ) x (x 1, x 2, × × × , x n )D 也可记为u f (P ) P (x 1, x 2, × × × , x n )D关于函数定义域的约定: 在一般地讨论用算式表达的多元函数u =f (x )时, 就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域 因而 对这类函数 它的定义域不再特别标出 例如函数z =ln(x +y )的定义域为{(x , y )|x +y >0}(无界开区域);函数z =arcsin(x 2+y 2)的定义域为{(x , y )|x 2+y 21}(有界闭区域).二元函数的图形: 点集{(x , y , z )|z =f (x , y ), (x , y )D }称为二元函数z =f (x , y )的图形, 二元函数的图形是一张曲面.例如 z =ax +by +c 是一张平面, 而函数z =x 2+y 2的图形是旋转抛物面 三. 多元函数的极限与一元函数的极限概念类似, 如果在P (x , y )P 0(x 0, y 0)的过程中, 对应的函数值f (x , y )无限接近于一个确定的常数A , 则称A 是函数f (x , y )当(x , y )(x 0, y 0)时的极限. 定义2设二元函数f (P )f (x y )的定义域为D P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果存在常数A 对于任意给定的正数总存在正数d , 使得当),(),(0δP U D y x P⋂∈时 都有 |f (P )A ||f (x y )A | 成立, 则称常数A 为函数f (x , y )当(x , y )(x 0, y 0)时的极限, 记为A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00, 或f (x , y )A ((x , y )(x 0, y 0))也记作A P f P P =→)(lim 0或f (P )A (P P 0)上述定义的极限也称为二重极限. 例4. 设22221sin )(),(y x y x y x f ++=, 求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .证 因为2222222222 |1sin ||| |01sin )(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+⋅+=-++=-,可见>0, 取εδ=, 则当δ<-+-<22)0()0(0y x即),(),(δO U D y x P⋂∈时, 总有|f (x y )0|,因此0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .必须注意:(1)二重极限存在, 是指P 以任何方式趋于P 0时, 函数都无限接近于A .(2)如果当P 以两种不同方式趋于P 0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在. 讨论:函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)有无极限？提示: 当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0 0)时00lim )0 ,(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f当点P (x , y )沿y 轴趋于点(0 0)时0lim ) ,0(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f当点P (x , y )沿直线y =kx 有22222022 )0,0(),(1lim limk k x k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→. 因此, 函数f (x , y )在(0, 0)处无极限.极限概念的推广: 多元函数的极限.多元函数的极限运算法则: 与一元函数的情况类似. 例5 求x xy y x )sin(lim)2,0(),(→. 解:y xy xy x xy y x y x ⋅=→→)sin(lim )sin(lim)2,0(),()2,0(),(y xy xy y x y x )2,0(),()2,0(),(lim )sin(lim→→⋅==12=2. 四. 多元函数的连续性定义3 设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D P 0(x 0, y 0)为D 的聚点 且P 0D .如果),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→,则称函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)连续.如果函数f (x , y )在D 的每一点都连续 那么就称函数f (x , y )在D 上连续 或者称f (x , y )是D 上的连续函数.二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数f (P )上去.例6设f (x ,y )=sin x 证明f (x y )是R 2上的连续函数证 设P 0(x 0, y 0) R 20 由于sin x 在x 0处连续 故0 当|x x 0|时 有|sin x sin x 0|以上述作P 0的邻域U (P 0 ) 则当P (x y )U (P 0 )时 显然 |f (x y )f (x 0 y 0)||sin x sin x 0|即f (x y )sin x 在点P 0(x 0, y 0) 连续 由P 0的任意性知 sin x 作为xy 的二元函数在R 2上连续证 对于任意的P 0(x 0, y 0)R 2因为),(sin sin lim),(lim 000),(),(),(),(0000y x f x x y x f y x y x y x y x ===→→所以函数f (x ,y )=sin x 在点P 0(x 0, y 0)连续. 由P 0的任意性知 sin x 作为x y 的二元函数在R 2上连续类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的定义4设函数f (x y )的定义域为D P 0(x 0 y 0)是D 的聚点 如果函数f (x y )在点P 0(x 0 y 0)不连续 则称P 0(x 0, y 0)为函数f (x y )的间断点 例如函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f其定义域D R2O (0 0)是D 的聚点 f (x y )当(x y )(0 0)时的极限不存在所以点O (00)是该函数的一个间断点又如 函数11sin22-+=y x z 其定义域为D {(x y )|x2y 21} 圆周C {(xy )|x 2y 21}上的点都是D 的聚点 而f (x y )在C 上没有定义 当然f (x y )在C 上各点都不连续 所以圆周C 上各点都是该函数的间断点. 注: 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数多元初等函数: 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数, 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.例如2221y y x x +-+ sin(x +y )222z y xe ++都是多元初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域由多元连续函数的连续性 如果要求多元连续函数f (P )在点P 0处的极限 而该点又在此函数的定义区域内 则 )()(lim 00P f P f p p =→.例7 求xy yx y x +→)2,1(),(lim.解: 函数xyyx y x f +=),(是初等函数 它的定义域为 D {(x y )|x 0 y 0} P 0(1, 2)为D 的内点 故存在P 0的某一邻域U (P 0)D 而任何邻域都是区域 所以U (P 0)是f (x y )的一个定义区域 因此23)2,1(),(lim)2,1(),(==→f y x f y x .一般地 求)(lim 0P f P P →时 如果f (P )是初等函数 且P 0是f (P )的定义域的内点则f (P )在点P 0处连续 于是 )()(lim 00P f P f P P =→例8 求xyxy y x 11lim)0 ,0(),(-+→. 解:)11()11)(11(lim11lim)0 ,0(),()0 ,0(),(++++-+=-+→→xy xy xy xy xy xy y x y x 21111lim )0 ,0(),(=++=→xy y x . 多元连续函数的性质:性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数, 必定在D 上有界 且能取得它的最大值和最小值.性质1就是说 若f (P )在有界闭区域D 上连续 则必定存在常数M 0 使得对一切P D 有|f (P )|M 且存在P 1、P 2D 使得f (P 1)max{f (P )|P D } f (P 2)min{f (P )|P D }性质2 (介值定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.§9. 2 偏导数 一、教学目的与要求： 1．理解多元函数偏导数概念，偏导数的计算。
