数字图像处理数学形态学原理PPT
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数字图像处理 数学形态学原理PPT
图 9—1 B1 击中X， B2 相离于X，B3 称之为元 素，元素常用小写字母 a, b, c, 表示，应注意的 是任何事物都不是空集的元素。
（3）平移转换： 设A和B是两个二维集合，A和B中的元素分别是
a (a1 , a2 ),
b (b1 , b2 )
了A被B的腐蚀。
图9—4(d)画出了伸长的结构元素，图9—4(e)显示
了A被此元素腐蚀的结果。注意原来的集合被腐蚀 成一条线了。
图 9—4 腐蚀操作的例子
c
膨胀和腐蚀是关于集合补和反转的对偶。也就是,
( A B ) A B
c c
(9—15)
关于上式的正确性可证明于下： 从腐蚀的定义可知：
开运算相反，它一般熔合窄的缺口和细长的弯口，
去掉小洞，填补轮廓上的缝隙。
设 A 是原始图像，B 是结构元素图像，则集
合A
被结构元素 B
作开运算，记为 AΟ B ，
其定义为：
A
B ( AB) B
(9—23)
换句话说，A 被 B 开运算就是A 被 B 腐蚀后 的结果再被B 膨胀。
设 A是原始图像，B 是结构元素图像，则集 合 A 被结构元素 B 作闭运算，记为 A B ，其 定义为：
(9—21)
( B C )A ( BA) (CA)
(9—22)
开运算（Opening）和闭运算(Closing)
如前边所见，膨胀扩大图像，腐蚀收缩图像。 另外两个重要的形态运算是开运算和闭运算。开
运算一般能平滑图像的轮廓，削弱狭窄的部分，
去掉细的突出。闭运算也是平滑图像的轮廓，与
(9—17)
③、递增性：
A B AC B C
【课件】数字图像处理01ppt
通常，三元组的每个数值也是在0到255之间，0表示相应的 基色在该像素中没有，而255则代表相应的基色在该像素中 取得最大值，这种情况下每个像素可用三个字节来表示。
彩色图像(128x128)及其对应的数值矩阵（仅列出一 部分(25x31)）
1 什么是数字图像
2 数字图像处理系统的基本结构
Terrain Model of Mars' Mojave Crater
4 数字图像处理应用_视觉监控
视频监视、公安：
银行防盗，人脸识别等。
4 数字图像处理应用_工业检测
工业检测与测量：
3 数字图像处理术语
运算
全局运算：对全幅图像所有像素做相同的处理。 点 运 算：输出图像每个像素的灰度值只依赖于对应
输入图像像素的灰度值。
局部运算：输出图像每个像素的灰度值依赖于对应输
入图像该像素邻域的灰度值。
几何运算：…… 代数运算：…… 邻域预算：……
4 数字图像处理应用
数字图像处理：是指将一幅图像转变为另一幅图像。 数字图像分析：是指将一幅图像转换为一种非图像的
表示。但数字图像处理通常又包括数字图像分析。如天 气预报，视频统计等。
计算机图形学：用计算机将由概念或数学描述所表示
的物体图像（非实物）进行处理和显示的过程。如机械 图、建筑图等，通过建筑图统计水泥、钢筋用量等。
图像数字化设备：扫描仪、数码相机、摄象机与图像采集卡 等
图像处理计算机：PC、工作站等（通常将存储设备也包括在 内）
图像输出设备：打印机、绘图仪等
图像显示 硬拷贝
SAN网络
计算机 特殊图像处理硬件
图像传感器 问题域
大规模存储 图像处理软件
彩色图像(128x128)及其对应的数值矩阵（仅列出一 部分(25x31)）
1 什么是数字图像
2 数字图像处理系统的基本结构
Terrain Model of Mars' Mojave Crater
4 数字图像处理应用_视觉监控
视频监视、公安：
银行防盗，人脸识别等。
4 数字图像处理应用_工业检测
工业检测与测量：
3 数字图像处理术语
运算
全局运算：对全幅图像所有像素做相同的处理。 点 运 算：输出图像每个像素的灰度值只依赖于对应
输入图像像素的灰度值。
局部运算：输出图像每个像素的灰度值依赖于对应输
入图像该像素邻域的灰度值。
几何运算：…… 代数运算：…… 邻域预算：……
4 数字图像处理应用
数字图像处理：是指将一幅图像转变为另一幅图像。 数字图像分析：是指将一幅图像转换为一种非图像的
表示。但数字图像处理通常又包括数字图像分析。如天 气预报，视频统计等。
计算机图形学：用计算机将由概念或数学描述所表示
的物体图像（非实物）进行处理和显示的过程。如机械 图、建筑图等，通过建筑图统计水泥、钢筋用量等。
图像数字化设备：扫描仪、数码相机、摄象机与图像采集卡 等
图像处理计算机：PC、工作站等（通常将存储设备也包括在 内）
图像输出设备：打印机、绘图仪等
图像显示 硬拷贝
SAN网络
计算机 特殊图像处理硬件
图像传感器 问题域
大规模存储 图像处理软件
最新《图像处理教学课件》第9章数字形态学及其应用ppt课件
开操作的几何解释：
43
第9章 数字形态学 §9.2 二值形态学 §9.2.3 二值开运算
形态学开操作
44
第9章 数字形态学 §9.2 二值形态学 §9.2.4 二值闭运算
闭运算是开运算的对偶运算，定义为先作膨胀后作腐蚀。
或
开、闭运算也互为对偶运算 开运算具有磨光图像外边界的作用 闭运算具有磨光图像内边界的作用
25
第9章 数字形态学 §9.2 二值形态学 §9.2.2 二值膨胀
26
第9章 数字形态学 §9.2 二值形态学 §9.2.2 二值膨胀
B
B1
B2
A
27
第9章 数字形态学 §9.2 二值形态学 §9.2.2 二值膨胀
A
B1
28
第9章 数字形态学 §9.2 二值形态学 §9.2.2 二值膨胀
B2 A
4
第9章 数字形态学 §9.1 概述 §9.1.1 数字形态学的发展简史及基本思想
数学形态学是研究空间结构的形状、框架的学科 ➢ 以积分几何、集合代数及拓扑论为理论基础，此外还涉
及随机集论、近世代数和图论等一系列数学分支。 ➢ 数学形态学的理论虽然很复杂，被称为“惊人的数学”，
但它的基本思想却是简单而完美的。 ➢ 数学形态学的基于集合的观点是极其重要的。
形态学方法优于低通滤波方法的一个直接优点是这种方 法在一幅二值图像中直接得到结果。
34
第9章 数字形态学 §9.2 二值形态学 §9.2.2 二值膨胀
利用膨胀将间断的字符连接起来
35
第9章 数字形态学 §9.2 二值形态学 §9.2.2 二值膨胀
结构元素
Pablo Picasso, Pass with the Cape, 1960
43
第9章 数字形态学 §9.2 二值形态学 §9.2.3 二值开运算
形态学开操作
44
第9章 数字形态学 §9.2 二值形态学 §9.2.4 二值闭运算
闭运算是开运算的对偶运算，定义为先作膨胀后作腐蚀。
或
开、闭运算也互为对偶运算 开运算具有磨光图像外边界的作用 闭运算具有磨光图像内边界的作用
25
第9章 数字形态学 §9.2 二值形态学 §9.2.2 二值膨胀
26
第9章 数字形态学 §9.2 二值形态学 §9.2.2 二值膨胀
B
B1
B2
A
27
第9章 数字形态学 §9.2 二值形态学 §9.2.2 二值膨胀
A
B1
28
第9章 数字形态学 §9.2 二值形态学 §9.2.2 二值膨胀
B2 A
4
第9章 数字形态学 §9.1 概述 §9.1.1 数字形态学的发展简史及基本思想
数学形态学是研究空间结构的形状、框架的学科 ➢ 以积分几何、集合代数及拓扑论为理论基础，此外还涉
及随机集论、近世代数和图论等一系列数学分支。 ➢ 数学形态学的理论虽然很复杂，被称为“惊人的数学”，
但它的基本思想却是简单而完美的。 ➢ 数学形态学的基于集合的观点是极其重要的。
形态学方法优于低通滤波方法的一个直接优点是这种方 法在一幅二值图像中直接得到结果。
34
第9章 数字形态学 §9.2 二值形态学 §9.2.2 二值膨胀
利用膨胀将间断的字符连接起来
35
第9章 数字形态学 §9.2 二值形态学 §9.2.2 二值膨胀
结构元素
Pablo Picasso, Pass with the Cape, 1960
数字图像处理_课件_9
像
处 3. 从背景中分割物体。
理
4. 物体量化描述（面积、周长、投影）。
7
常用的集合运算
数第 字九 图章 像形 处态 理学
图 像 处 理
➢ 常用的集合运算包含：属于或包含（⊂或⊃）、 交（∩）、并（∪）、空集、集合补（C）、
集合差（ X Y X I Y C ）
➢ 一个集合 Bˆ 的反射表示为：Bˆ {w | w b, b B}
40
人脸检测与定位
数 第 ➢ 总的流程：人脸大致定位→ 眼睛的定位
字九
图 章 → 嘴的定位→勾勒人脸
像形
处 态 ➢ 人脸大致定位流程：读入图像→光线补
理学 图
偿→色彩空间转换→皮肤颜色建模→膨
像 胀→腐蚀→去掉假的人脸区域→再次膨
处
理 胀→再次腐蚀→大致定位人脸区域
41
数 第 ➢ 眼睛的大致定位流程：眼睛的色度匹配
B{)z ((BB))z z
A| (
B)
z
A}
TBran在slatAes中of B的in 平A 移
B
(a) 结构元B沿集合A的内侧边界滚动（黑点表示B的原点）； (b) 结构元； (c) 粗线是开操作的外部边界； (d) 完全的开操作（阴影部分）。
29
闭操作的一个简单几何解释
数 第 ➢ 开操作和闭操作彼此对偶，所以闭操作在边
9.2.2 膨胀 A的膨胀是所有位移z的集合，这样，和 A至少有一个元素是重叠的。
数 第 ➢ A和B是Z2中的集合，表示为AB的B对A的
字九 图章 像形
膨胀定义为，假定B是一个结构元，A是被膨 胀的集合（图像物体） ：
处态 理学
A B {z | (Bˆ)z
处 3. 从背景中分割物体。
理
4. 物体量化描述（面积、周长、投影）。
7
常用的集合运算
数第 字九 图章 像形 处态 理学
图 像 处 理
➢ 常用的集合运算包含：属于或包含（⊂或⊃）、 交（∩）、并（∪）、空集、集合补（C）、
集合差（ X Y X I Y C ）
➢ 一个集合 Bˆ 的反射表示为：Bˆ {w | w b, b B}
40
人脸检测与定位
数 第 ➢ 总的流程：人脸大致定位→ 眼睛的定位
字九
图 章 → 嘴的定位→勾勒人脸
像形
处 态 ➢ 人脸大致定位流程：读入图像→光线补
理学 图
偿→色彩空间转换→皮肤颜色建模→膨
像 胀→腐蚀→去掉假的人脸区域→再次膨
处
理 胀→再次腐蚀→大致定位人脸区域
41
数 第 ➢ 眼睛的大致定位流程：眼睛的色度匹配
B{)z ((BB))z z
A| (
B)
z
A}
TBran在slatAes中of B的in 平A 移
B
(a) 结构元B沿集合A的内侧边界滚动（黑点表示B的原点）； (b) 结构元； (c) 粗线是开操作的外部边界； (d) 完全的开操作（阴影部分）。
29
闭操作的一个简单几何解释
数 第 ➢ 开操作和闭操作彼此对偶，所以闭操作在边
9.2.2 膨胀 A的膨胀是所有位移z的集合，这样，和 A至少有一个元素是重叠的。
数 第 ➢ A和B是Z2中的集合，表示为AB的B对A的
字九 图章 像形
膨胀定义为，假定B是一个结构元，A是被膨 胀的集合（图像物体） ：
处态 理学
A B {z | (Bˆ)z
数字图像处理图像分割和数学形态学PPT文档50页
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
数字图像处理图像分割和数学形态学
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
数字图像处理图像分割和数学形态学
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
数字图像处理数学形态学及其应用PPT课件
➢对结构元素g的定义域Dg 中的每一个点x将信号f平移x，然后，再对每次平移 信号的值加上g(x)，这样对于结构元素定义域中的每个点都得到一个信号，对所 有这些信号逐点取其最大值，便可得到膨胀结果。
第25页/共40页
图9.7 灰值膨胀运算
f f (s)
f (s) ＋ b(s－ x)
f (s) ＋ b(s－ x)
9.2.1 二值腐蚀
集合A（输入图像）被集合B（结构元素）腐蚀:
(9.3)
AB {x | (B) A} x
d
d
d
A
d/4
d/4
B
AB
d/8
d/8
图9.2 腐蚀示意图
第9页/共40页
9.2.2 二值膨胀
• 腐蚀运算的对偶运算，可以直接定义，也可 通过对补集的腐蚀来定义，即以AC表示集合A 的补集， 表示B关于坐标原点的反射。
•
WHT(f) = f — (f○g)
(9.16)
• 其中，g为结构元素。
• 高帽变换是一种波峰检测器
• 它在较暗的背景中求亮的像素点很有效。
第35页/共40页
低帽变换
• 与高帽变换相对偶的算子，定义为：
•
BHT(f) = (f●g) —f
(9.17)
• 低帽变换是一种波谷检测器
• 适合于在较亮的背景中求暗的像素点。
第12页/共40页
9.2.3 二值开运算
• 有两种二次运算起着非常重要的作用 • 开运算 • 闭运算（开运算的对偶运算） 。
• 从结构元素填充的角度看，它们具有更为直观的几何形式。
第13页/共40页
开运算的定义
• 假设A仍为输入图像，B为结构元素，利用B对A作开运算，用符号A○B表示，其 定义为：
第25页/共40页
图9.7 灰值膨胀运算
f f (s)
f (s) ＋ b(s－ x)
f (s) ＋ b(s－ x)
9.2.1 二值腐蚀
集合A（输入图像）被集合B（结构元素）腐蚀:
(9.3)
AB {x | (B) A} x
d
d
d
A
d/4
d/4
B
AB
d/8
d/8
图9.2 腐蚀示意图
第9页/共40页
9.2.2 二值膨胀
• 腐蚀运算的对偶运算，可以直接定义，也可 通过对补集的腐蚀来定义，即以AC表示集合A 的补集， 表示B关于坐标原点的反射。
•
WHT(f) = f — (f○g)
(9.16)
• 其中，g为结构元素。
• 高帽变换是一种波峰检测器
• 它在较暗的背景中求亮的像素点很有效。
第35页/共40页
低帽变换
• 与高帽变换相对偶的算子，定义为：
•
BHT(f) = (f●g) —f
(9.17)
• 低帽变换是一种波谷检测器
• 适合于在较亮的背景中求暗的像素点。
第12页/共40页
9.2.3 二值开运算
• 有两种二次运算起着非常重要的作用 • 开运算 • 闭运算（开运算的对偶运算） 。
• 从结构元素填充的角度看，它们具有更为直观的几何形式。
第13页/共40页
开运算的定义
• 假设A仍为输入图像，B为结构元素，利用B对A作开运算，用符号A○B表示，其 定义为：
数字图像处理 PPT课件
tt p : // ww w. xd u ph .co m
课程教学引导 • 教材选择 • 教学结构及主要重点 • 教学目的
目录
第一章 概 论 第二章 数字图像处理基础 第三章 VC＋＋图像编程基础 第四章 图像增强与平滑 第五章 图像分割与边缘检测 第六章 图像的几何变换 第七章 频域处理 第八章 数学形态学及其应用 第九章 图像特征与理解 第十章 图像编码 第十一章 图像复原
应用实例（续）
无线电波成像 主要用途： ������ 医学（核磁共振成像）
������ 天文观测
应用实例（续）
其它成像模式 ������ 声波成像：
������ 地质勘探、工业、医学 ������ 电子显微镜
应用实例（续）
数字图像处理－绪论
基本概念 应用实例 研究目的 主要研究内容 本课程特点
当造成图像退化（图像品质下降）的原因已知时，
复原技术可以对图像进行校正。图像复原最关键的是对每
种退化都需要有一个合理的模型。
主要研究内容（续）
4、图像分割（Image Segmentation）
主要研究内容（续）
5、图像分析
图像处理应用的目标几乎均涉及到图像分析， 即 对图像中的不同对象进行分割、 特征提取和表示，从
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 图像获取、表示与表现 ������图像增强 ������图像复原 ������图像分割 图像分析 ������图像重建 ������图像编码压缩 ……
主要研究内容（续）
1. 图像获取、表示和表现
该过程主要是把模拟图像信号转化为计算机所能 接受的数字形式，以及把数字图像显示和表现出来（ 如打印）。这一过程主要包括摄取图像、 光电转换及 数字化等几个步骤。
课程教学引导 • 教材选择 • 教学结构及主要重点 • 教学目的
目录
第一章 概 论 第二章 数字图像处理基础 第三章 VC＋＋图像编程基础 第四章 图像增强与平滑 第五章 图像分割与边缘检测 第六章 图像的几何变换 第七章 频域处理 第八章 数学形态学及其应用 第九章 图像特征与理解 第十章 图像编码 第十一章 图像复原
应用实例（续）
无线电波成像 主要用途： ������ 医学（核磁共振成像）
������ 天文观测
应用实例（续）
其它成像模式 ������ 声波成像：
������ 地质勘探、工业、医学 ������ 电子显微镜
应用实例（续）
数字图像处理－绪论
基本概念 应用实例 研究目的 主要研究内容 本课程特点
当造成图像退化（图像品质下降）的原因已知时，
复原技术可以对图像进行校正。图像复原最关键的是对每
种退化都需要有一个合理的模型。
主要研究内容（续）
4、图像分割（Image Segmentation）
主要研究内容（续）
5、图像分析
图像处理应用的目标几乎均涉及到图像分析， 即 对图像中的不同对象进行分割、 特征提取和表示，从
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 图像获取、表示与表现 ������图像增强 ������图像复原 ������图像分割 图像分析 ������图像重建 ������图像编码压缩 ……
主要研究内容（续）
1. 图像获取、表示和表现
该过程主要是把模拟图像信号转化为计算机所能 接受的数字形式，以及把数字图像显示和表现出来（ 如打印）。这一过程主要包括摄取图像、 光电转换及 数字化等几个步骤。
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2020/5/13
9.1 数学形态学的发展
“数学形态学（Mathematical Morphology） 是一种应用于图像处理和模式识别领域的新的方 法。形态学是生物学的一个分支,常用它来处理动 物和植物的形状和结构。
2020/5/13
数学形态学发展历史
“数学形态学”诞生于1964年。1964年，法国学者J.Serr a对铁矿石的岩相进行了定量分析，以预测铁矿石的可轧性。 几乎在同时，G.Matheron研究了多孔介质的几何结构、渗 透性及两者的关系，他们的研究成果直接导致“数学形态 学”雏形的形成。
2020/5/13
一般情况，结构元的选择本着如下几个原则进 行：
1）结构元必须在几何上比原图像简单，且有 界。当选择性质相同或相似的结构元时，以选择极 限情况为益；
2）结构元的凸性非常重要，对非凸子集，由 于连接两点的线段大部分位于集合的外面，故而用 非凸子集作为结构元将得不到什么信息。
2020/5/13
2020/5/13
随着数学形态学逻辑基础的发展，其应用开始向边缘 学科和工业技术方面发展。数学形态学的应用领域已不限 于传统的微生物学和材料学领域，80年代初又出现了几种 新的应用领域如：工业控制、放射医学、运动场景分析等。 数学形态学在我国的应用研究也很快，目前，已研制出一 些以数学形态学为基础的实用图像处理系统，如：中国科 学院软件研究所、电子研究所和自动化所参加研究的癌细 胞自动识别系统等。
总之，数学形态学的基本思想和基本研究方法具有 一些特殊性，掌握和运用好这些特性是取得良好结 果的关键。
2020/5/13
9.2 数学形态学的基本概念和运算
用于描述数学形态学的语言是集合论。集合代表图 像中物体的形状。
2020/5/13
➢ 一些基本的定义
（1）集合：具有某种性质的确定的有区别 的事物的全体。如果某种事物不存在，称为
2020/5/13
随后，J.Serra和 G.Matheron在法国共同建立了枫 丹白露（Fontainebleau）数学形态学研究中心。 在以后的几年的研究中，他们逐步建立并进一步完 善了“数学形态学”的理论体系，此后，又研究了 基于数学形态学的图像处理系统。
2020/5/13
“数学形态学”是一门建立在严格的数学理论 基础上的科学。G.Matheron 于1973年出版的《Ens embБайду номын сангаасes aleatoireset geometrie integrate》一 书严谨而详尽地论证了随机集论和积分几何，为数 学形态学奠定了理论基础。1982年，J.Serra出版 的专著《Image Analysis and Mathematical Mor phology》是数学形态学发展的里程碑，它表明数 学形态学在理论上已趋于完备，在实际应用中不断 深入。
3 基于数学形态学的边缘信息提取处理优于基于微分运算的 边缘提取算法，它不象微分算法对噪声那样敏感，同时， 提取的边缘也比较光滑；
4 利用数学形态学方法提取的图像骨架也比较连续，断点少。
2020/5/13
数学形态学的核心运算是击中与否变换（HM T），在定义了HMT及其基本运算膨胀（Dilation） 和腐蚀(Erosion)后，再从积分几何和体视学移植 一些概念和理论，根据图像分析的各种要求，构造 出统一的、相同的或变化很小的结构元素进行各种 形态变换。在形态算法设计中，结构元的选择十分 重要，其形状、尺寸的选择是能否有效地提取信息 的关键。
AB
(9—10)
A B { xx A ,x B }A B c (9—11)
4）经过形态变换后的图像突出了我们需要的信息， 此时，就可以方便地提取信息；
2020/5/13
数学形态学方法的优势：
1 在图像恢复处理中，基于数学形态学的形态滤波器可借助 于先验的几何特征信息利用形态学算子有效地滤除噪声， 又可以保留图像中的原有信息；
2 数学形态学算法易于用并行处理方法有效的实现，而且硬 件实现容易；
2020/5/13
利用数学形态学进行图像分析的基本步骤 有如下几步：
1）提出所要描述的物体几何结构模式，即 提取物体的几何结构特征；
2）根据该模式选择相应的结构元素，结构 元素应该简单而对模式具有最强的表现力；
2020/5/13
3）用选定的结构元对图像进行击中与否（HMT）变换 ，便可得到比原始图像显著突出物体特征信息的图 像。如果赋予相应的变量，则可得到该结构模式的 定量描述；
空集。集合常用大写字母 A,B,C,… 表示，空集用 Φ 表示。
2020/5/13
设 E 为一自由空间， R(E) 是由集合 空间 E 所构成的幂集，集合 X,BR(E)， 则集合 X 和 B之间的关系只能有以下三种 形式：
2020/5/13
①集合B包含于X（表示为 BX）
②集合B击中X（表示为 B X），即： BX
③集合B相离于X（表示为 BX），即：
BX
图 9—1 B1 击中X，B 2 相离于X，B 3 包含于X
2020/5/13
（2）元素：构成集合的每一个事物称之为元 素，元素常用小写字母 a,b,c, 表示，应注意的 是任何事物都不是空集的元素。
2020/5/13
（3）平移转换： 设A和B是两个二维集合，A和B中的元素分别是
a ( a 1 ,a 2 ), b ( b 1 ,b 2 )
定义 x(x1,x2) ，对集合的平移转换为:
Ax {ccax,f oraA} (9—8)
2020/5/13
（4）子集：当且仅当A集合的所有元素都属于B时，称A 为B的子集。
（5）补集：定义集合A的补集为:
Ac {xxA}
(9—9)
（6）差集：定义集合A和B的差集为
2020/5/13
数学形态学是一门综合了多学科知识的交叉科 学，其理论基础颇为艰深，但其基本观念却比较简 单。它体现了逻辑推理与数学演绎的严谨性，又要 求具备与实践密切相关的实验技术与计算技术。它 涉及微分几何、积分几何、测度论、泛函分析和随 机过程等许多数学理论，其中积分几何和随机集论 是其赖以生存的基石。总之，数学形态学是建立在 严格的数学理论基础上而又密切联系实际的科学。
9.1 数学形态学的发展
“数学形态学（Mathematical Morphology） 是一种应用于图像处理和模式识别领域的新的方 法。形态学是生物学的一个分支,常用它来处理动 物和植物的形状和结构。
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数学形态学发展历史
“数学形态学”诞生于1964年。1964年，法国学者J.Serr a对铁矿石的岩相进行了定量分析，以预测铁矿石的可轧性。 几乎在同时，G.Matheron研究了多孔介质的几何结构、渗 透性及两者的关系，他们的研究成果直接导致“数学形态 学”雏形的形成。
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一般情况，结构元的选择本着如下几个原则进 行：
1）结构元必须在几何上比原图像简单，且有 界。当选择性质相同或相似的结构元时，以选择极 限情况为益；
2）结构元的凸性非常重要，对非凸子集，由 于连接两点的线段大部分位于集合的外面，故而用 非凸子集作为结构元将得不到什么信息。
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随着数学形态学逻辑基础的发展，其应用开始向边缘 学科和工业技术方面发展。数学形态学的应用领域已不限 于传统的微生物学和材料学领域，80年代初又出现了几种 新的应用领域如：工业控制、放射医学、运动场景分析等。 数学形态学在我国的应用研究也很快，目前，已研制出一 些以数学形态学为基础的实用图像处理系统，如：中国科 学院软件研究所、电子研究所和自动化所参加研究的癌细 胞自动识别系统等。
总之，数学形态学的基本思想和基本研究方法具有 一些特殊性，掌握和运用好这些特性是取得良好结 果的关键。
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9.2 数学形态学的基本概念和运算
用于描述数学形态学的语言是集合论。集合代表图 像中物体的形状。
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➢ 一些基本的定义
（1）集合：具有某种性质的确定的有区别 的事物的全体。如果某种事物不存在，称为
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随后，J.Serra和 G.Matheron在法国共同建立了枫 丹白露（Fontainebleau）数学形态学研究中心。 在以后的几年的研究中，他们逐步建立并进一步完 善了“数学形态学”的理论体系，此后，又研究了 基于数学形态学的图像处理系统。
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“数学形态学”是一门建立在严格的数学理论 基础上的科学。G.Matheron 于1973年出版的《Ens embБайду номын сангаасes aleatoireset geometrie integrate》一 书严谨而详尽地论证了随机集论和积分几何，为数 学形态学奠定了理论基础。1982年，J.Serra出版 的专著《Image Analysis and Mathematical Mor phology》是数学形态学发展的里程碑，它表明数 学形态学在理论上已趋于完备，在实际应用中不断 深入。
3 基于数学形态学的边缘信息提取处理优于基于微分运算的 边缘提取算法，它不象微分算法对噪声那样敏感，同时， 提取的边缘也比较光滑；
4 利用数学形态学方法提取的图像骨架也比较连续，断点少。
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数学形态学的核心运算是击中与否变换（HM T），在定义了HMT及其基本运算膨胀（Dilation） 和腐蚀(Erosion)后，再从积分几何和体视学移植 一些概念和理论，根据图像分析的各种要求，构造 出统一的、相同的或变化很小的结构元素进行各种 形态变换。在形态算法设计中，结构元的选择十分 重要，其形状、尺寸的选择是能否有效地提取信息 的关键。
AB
(9—10)
A B { xx A ,x B }A B c (9—11)
4）经过形态变换后的图像突出了我们需要的信息， 此时，就可以方便地提取信息；
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数学形态学方法的优势：
1 在图像恢复处理中，基于数学形态学的形态滤波器可借助 于先验的几何特征信息利用形态学算子有效地滤除噪声， 又可以保留图像中的原有信息；
2 数学形态学算法易于用并行处理方法有效的实现，而且硬 件实现容易；
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利用数学形态学进行图像分析的基本步骤 有如下几步：
1）提出所要描述的物体几何结构模式，即 提取物体的几何结构特征；
2）根据该模式选择相应的结构元素，结构 元素应该简单而对模式具有最强的表现力；
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3）用选定的结构元对图像进行击中与否（HMT）变换 ，便可得到比原始图像显著突出物体特征信息的图 像。如果赋予相应的变量，则可得到该结构模式的 定量描述；
空集。集合常用大写字母 A,B,C,… 表示，空集用 Φ 表示。
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设 E 为一自由空间， R(E) 是由集合 空间 E 所构成的幂集，集合 X,BR(E)， 则集合 X 和 B之间的关系只能有以下三种 形式：
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①集合B包含于X（表示为 BX）
②集合B击中X（表示为 B X），即： BX
③集合B相离于X（表示为 BX），即：
BX
图 9—1 B1 击中X，B 2 相离于X，B 3 包含于X
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（2）元素：构成集合的每一个事物称之为元 素，元素常用小写字母 a,b,c, 表示，应注意的 是任何事物都不是空集的元素。
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（3）平移转换： 设A和B是两个二维集合，A和B中的元素分别是
a ( a 1 ,a 2 ), b ( b 1 ,b 2 )
定义 x(x1,x2) ，对集合的平移转换为:
Ax {ccax,f oraA} (9—8)
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（4）子集：当且仅当A集合的所有元素都属于B时，称A 为B的子集。
（5）补集：定义集合A的补集为:
Ac {xxA}
(9—9)
（6）差集：定义集合A和B的差集为
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数学形态学是一门综合了多学科知识的交叉科 学，其理论基础颇为艰深，但其基本观念却比较简 单。它体现了逻辑推理与数学演绎的严谨性，又要 求具备与实践密切相关的实验技术与计算技术。它 涉及微分几何、积分几何、测度论、泛函分析和随 机过程等许多数学理论，其中积分几何和随机集论 是其赖以生存的基石。总之，数学形态学是建立在 严格的数学理论基础上而又密切联系实际的科学。