数字图像处理学第9章数学形态学原理（第二讲）9.4 灰度图像的形态学处理前边针对二值图像的形态学处理的基本运算作了系统的介绍，这些基本算法可方便地推广至灰度图像的处理。
这一节我们将讨论对灰度图像的基本处理，即：膨胀、腐蚀、开运算、闭运算。
由此建立一些基本的灰度形态运算法则。
这一节的重点是运用灰度形态学提取描述和表示图像的有用成分。
特别是，我们将通过形态学梯度算子开发一种边缘提取和基于纹理的区域分割算法。
同时，我们将讨论在预处理及后处理步骤中非常有用的平滑及增强处理算法。
与前边二值图像形态学处理理论不同的是在以下的讨论中我们将处理数字图像函数而不是集合。
设f(x,y)是输入图像，b(x,y)是结构元素，它可被看作是一个子图像函数。
如果Z表示实整数的集合，同时假设(x,y)是来自Z X Z的整数，f 和b是对坐标为(x,y)像素灰度值的函数（来自实数集R的实数）。
如果灰度也是整数，则Z可由整数R所代替。
9.4.1 膨胀9.4.2 腐蚀9.4.3 开和闭运算9.4.4 灰度形态学的应用函数b 对函数f 进行灰度膨胀可定义，运算式如下：b f ⊕}),(;)(),(),(),(max{),)((b f D y x D y t x s y x b y t x s f t s b f ∈∈--+--=⊕(9—49)其中和分别是函数f 和b 的定义域，和前面一样, b 是形态处理的结构元素，不过在这儿的b 是一个函数而不是一个集合。
f D b D位移参数(s-x)和(t-y)必须包含在函数f的定义域内，此时它模仿二值膨胀运算定义。
在这里两个集合必须至少有一个元素相交叠。
还可以注意到，公式(9—48)很类似与二维卷积公式，同时，在这里用“最大”代替卷积求和并以“相加”代替相乘。
下面我们将用一维函数来解释公式(9—49)中的运算原理。
对于仅有一个变量的函数，公式(9—49)可以简化为：};)()()(max{))((b f D x D x s x b x s f s b f ∈∈-+-=⊕(9—50)在卷积中，f(-x)仅是f(x)关于x 轴原点的映射，正象卷积运算那样，相对于正的s ，函数f(s-x)将向右移，对于-s ，函数f(s-x)将向左移。
其条件是(s-x)必须在f的定义域内，x的值必须在b 的定义域内。
这意味着f和b将相覆盖，即b应包含在f内。
这和二值图像膨胀定义要求的情形是类似的，即俩个集合至少应有一个元素是相互覆盖的。
最后，与二值图像的情况不同，不是结构元素b而是f平移。
公式(9—49)可以使b 代替f 写成平移的形式。
然而，如果比小（这是实际中常见的），公式(9—49)所给出的形式就可在索引项中加以简化，并可以获得同样的结果。
就概念而言，在f 上滑动b 和在b 上滑动f 是没有区别的。
b D f D膨胀是可以代换的，因而f 和b 相互代换的方法运用于公式(9—49)可以用来计算，结果都是一样的，而且b 是平移函数。
相反，腐蚀是不可交换的，因而，这种函数也是不可互换的。
膨胀的例子可参见图9—19。
f b9—19 灰度膨胀图例由于膨胀操作是由结构元素形状定义的邻域中选择f+b的最大值，因而通常对灰度图像的膨胀处理方法可得到两种结果：（1）如果所有的结构元素都为正，则输出图像将趋向比输入图像亮；（2）黑色细节减少或去除取决于在膨胀操作中结构元素相关的值和形状。
9.4.1 膨胀9.4.2 腐蚀9.4.3 开和闭运算9.4.4 灰度形态学的应用灰度图像的腐蚀定义为，其运算公式为：b f Θ}),(;)(),(),(),(min{),)((b f D y x D y t x s y x b y t x s f t s b f ∈∈++-++=Θ(9—51)公式中和分别是 f 和 b 的定义域。
平移参数(s+x ) 和(t+y ) 必须包含在f 的定义域内，f D b D与二元腐蚀的定义类似，所有的结构元素将完全包含在与被腐蚀的集合内。
还应注意到公式(9—51)的形式与二维相关公式相似，只是用“最小”取代求和，用减法代替乘积。
如果只有一个变量时，我们可以用一维的腐蚀来说明公式(9—51)的原理。
此时，表达式可简化为:})(;)()()(min{))((b f D x D x s x b x s f s b f ∈∈+-+=Θ(9—52)在相关情况下，当s 为正时，函数f(s+x)将向右平移，当s 为负时，函数f (s +x )将移向左边，同时，要求，意味着b 将包含在f 的范围内。
这一点同二值图像腐蚀定义的情况相似，所有的结构元素将完全包含在被腐蚀的集合内。
f D x s ∈+)(b D x ∈不同于二值图像腐蚀定义，操作中是f在平移,而不是结构元素b在平移。
公式(9—51)可以把b写成平移函数，由于f在b上滑动同b在f上滑动在概念上是一致的。
图9—20展示了通过图9—20(b)的结构元素腐蚀图9—20(a)函数的结果。
图9—20 灰度腐蚀图例正如公式(9—51)所示，腐蚀是在结构元素定义的领域内选择(f-b)的最小值，因而，通常对灰度图像的膨胀处理可得到两种结果：（1）如果所有的结构元素都为正，则输出图像将趋向比输入图像暗；▪（2）在比结构元素还小的区域中的明亮细节经腐蚀处理后其效果将减弱。
减弱的程度取决于环绕亮度区域的灰度值以及结构元素自身的形状和幅值。
与求补、映射相关的膨胀、腐蚀是有互补性的，即：),)((),()(y x b f y x b f c ∧⊕=Θ（9—53）其中: ),();,(y x b y x f f c --=-=∧9.4.1 膨胀9.4.2 腐蚀9.4.3 开和闭运算9.4.4 灰度形态学的应用灰度图像开运算和闭运算的表达式与二值图像相比具有相同的形式。
结构元素b 对图像f 作开运算处理，可定义为，即：b f οbb f b f ⊕Θ=)(ο(9—54)如果是二值图像的情况，开运算是b对f的简单的腐蚀操作，接下来对腐蚀的结果再进行膨胀操作。
类似的，b对f的闭运算，定义为，即：f•b(⊕=)•(9—55)bbfbfο灰度图像开运算和关运算对于求补和映射也是对偶的，即：∧=•bf b f c c ο)(（9—56）由于),(y x f f c -=，式(9—56) 也可以写为)()(b f b f ο-=•-图像的开和闭运算有一个简单的几何解释。
假设看到一个三维的图像函数f(x,y)（象一个地貌地图），x 和y 是空间坐标轴，第三坐标轴是亮度坐标轴（即：f 的值）。
在重现中，图像作为一个平面显示，其中的任意点(x,y)是f 在该点坐标值。
假设我们想用球形结构元素 b 对 f 作开运算，这时可将 b 看作“滚动的球”。
B 对 f 的开运算处理在几何上可解释为让“滚动球”沿 f 的下沿滚动，经这一“滚动”处理，所有的比“小球”直径小的峰都磨平了。
图9—21解释了这一概念。
图9—21(a) 为解释简单，把灰度图像简化为连续函数剖面线。
9—21(b)显示了“滚动球”在不同的位置上滚动，9—21(c)显示了沿函数剖面线结构元素 b 对 f 开运算处理的结果。
所有小于球体直径的波峰值、尖锐度都减小了。
在实际运用中，开运算处理常用于去除较小的亮点（相对结构元素而言），同时保留所有的灰度和较大的亮区特征不变。
腐蚀操作去除较小的亮的细节，同时使图像变暗。
如果再施以膨胀处理将增加图像的亮度而不再引入已去除的部分。
图9—21 开和闭运算的图例图9—21(d)显示了结构元素b对f的闭操作处理。
此时，小球（结构元素）在函数剖面上沿滚动，图9—21(e)给出了处理结果，只要波峰的最窄部分超过小球的直径则波峰保留原来的形状。
在实际运用中，闭运算处理常用于去除图像中较小的暗点（较结构元素而言），同时保留原来较大的亮度特征。
最初的膨胀运算去除较小暗细节，同时也使图像增亮。
随后的腐蚀运算将图像调暗而不重新引入已去除的部分。
开运算处理满足以下的性质：（i ）；(ii) 如果,则；(iii) 。
表达式表示是的子集，而且在的定义域内对于任意都有。
f b f ↵)(ο21f f ↵)()(21b f b f οο↵b f b b f οοο=)(v u ↵u v u),(y x ),(),(y x v y x u ≤类似的，闭运算处理满足以下的性质：（i ）；(ii)如果,则；(iii) 。
)(b f f •↵21f f ↵)()(21b f b f •↵•b f b b f •=••)(这些表达式的使用类似于对应的二值表达式。
正如在二值情况下，对开运算处理和闭运算处理性质(ii)和性质(iii)被分别称作单调增加和等幂。
9.4.1 膨胀9.4.2 腐蚀9.4.3 开和闭运算9.4.4 灰度形态学的应用根据前边讨论的灰度形态学的基本运算，下边介绍一些简单的形态学实用处理算法，这些处理都是针对灰度图像进行的。
(1)形态学图像平滑一种获得平滑的方法是将图像先进行闭运算处理然后再进行开运算处理，处理结果将去除或消减亮斑和暗斑。
(2)形态学图像梯度除了前面对去除亮点和暗斑处理外，膨胀和腐蚀处理常用于计算图像的形态梯度，梯度g用表示，则：-gΘ⊕=f))((bfb经过形态学梯度处理，使输入图像灰度变化更加尖锐，与利用象Sobel算子这样的一类处理方法所获得的梯度图像相反，运用对称结构元素获得的形态学梯度将较少受边缘方向的影响，这一优点的获得是以运算量显著增加为代价的。
（3）Top-hat 变换.所谓的图像形态变换用来表示，其定义为：(9—58)公式中 f 是输入图像，b 是结构元素函数。
这一变换的最初命名是由于用平顶圆柱和平行六面体作为结构元素函数，因此，得名（高帽）变换，它常被用于阴影的细节增强处理。
hat Top -h )(b f f h ο-=hat Top -（4）纹理分割.图9—22(a)是一幅包含两个纹理区的图像。
我们的目的是分割出两个纹理区并提取两个区域的边界。
由于闭运算可去除图像中的暗细节，在这种特殊情况下，依次使用较大的结构元素对输入图像进行闭运算处理。
当结构元素的尺寸与小圆的尺寸相当时，它们将从图像中被除去，在原来的位置仅留下小圆曾经占有的区域的亮的背景。
处理到这种状态，仅有右边大圆区域和左边背景区域。
下一步，采用相对于大圆间的间隙来说较大的结构元素作开运算处理，将去除圆间的亮的区域，同时仅留下右边包含大圆的暗区域，这样，处理的结果将产生一个右边为暗，左边为亮的区域。
用一个简单的门限就可以检测出两个区域。
图9—22 纹理分割（5）粒状处理.粒状处理和其他处理一样，是决定一幅图像分散颗粒尺寸大小的处理。
图9—23(a)显示了包含三种不同尺寸的亮颗粒图像。
这些颗粒不但重叠，而且混乱到无法检测单一个体的程度。
