微积分4.6边际弹性

⾼等数学在经济学中的边际、弹性分析及应⽤2019-09-03【摘要】边际与弹性是⾼等数学中的重要概念，是微分学在经济分析中的有效应⽤。

本⽂从经济理论中的“边际”和“弹性”出发，对⽬前经济学中⼏个常见问题进⾏了数学化探讨，阐述了⾼等数学在经济学中的相关应⽤。

【关键词】边际弹性应⽤边际与弹性分析是经济数量分析的重要组环节，是⾼数微分法的重要应⽤之⼀。

在分析经济量的之间关系时，不仅要知道因变量依赖于⾃变量变化的函数关系，还要进⼀步了解这个函数值随⾃变量的变化的速率，函数的变化率，即它的边际函数；不仅要了解相应函数的绝对变化率，⽽且还要了解它的相对变化率，即它的弹性函数；经过进⼀步的分析，就可以探求如何取得最佳经济效益，达到理想应⽤的⽬的。

⼀、边际概念及其在经济学中的应⽤（⼀）边际概念边际作为⼀个数学概念，是指函数y=f（x）中变量x的某⼀值的“边缘”上y的变化。

它是瞬时变化率，也就是y对x的导数。

⽤数学语⾔表达为：设函数y=f（x）在[α，b]内可导，则称导数f'（x）为y=f（x）在[α，b]内的边际函数；在x0处的导数值f'（x0）称为y=f（x）在x0处的边际值。

根据不同的经济函数，边际函数有不同的称呼，如边际成本、边际产值、边际消费、边际储蓄、边际收益、边际利润等。

（1）边际成本。

在经济学中，把产量增加（或减少）⼀个单位时所增加（或减少）的⽣产总成本，定义为边际成本，边际成本就是总成本函数在所给定点的导数，记作MC=C′（q）。

（2）边际收益。

是指销售量增加（或减少）⼀个单位时所增加（或减少）的销售产品总收⼊，是总收⼊函数在给定点的导数，记作MR=R′（q）。

（3）边际利润。

对于利润函数 L（q）=R（q）-C（q），边际利润为 ML=L′（q）=R′（q）CC′（q）=MR-MC，其指销售量增加（或减少）⼀个单位销售量时所增加（或减少）的利润。

（⼆）边际理论在经济学中的应⽤边际分析理论可⽤来预测商品价格需求量或供给量，确定企业内部⽣产资料同劳动数量之间最合理的配置。

第六节 边际与弹性教学目的：掌握边际函数、弹性函数定义。

教学重点：经济学中常见边际函数及弹性函数。

教学难点：需求弹性的计算教学内容：一、边际概念在经济学中，边际概念通常指经济问题的变化率，称函数()f x 的导数()f x '为函数()f x 的边际函数．在点0x 处，当x 改变x ∆时，相应的函数()=y f x 的改变量为)()(00x f x x f y -∆+=∆．当1=∆x 个单位时，)()1(00x f x f y -+=∆，如果单位很小，则有 )()()1(01000x f dy x f x f y dx x x '=≈-+=∆==．这说明函数)(0x f '近似地等于在0x 处x 增加一个单位时，函数)(x f 的增量y ∆．当x 有一个单位改变时，函数)(x f 近似改变了)(0x f '．二、经济学中常见边际函数1．边际成本总成本函数)(x C 的导数)(x C '称为边际成本函数，简称边际成本．边际成本的经济意义是，在一定产量x 的基础上，再增加生产一个单位产品时总成本增加的近似值．在应用问题中解释边际函数值的具体意义时，常略去“近似”二字．例1： 已知生产某产品x 件的总成本为20010409000)C(x x x .++=(元)，(1)求边际成本)(x C '，并对)1000(C '的经济意义进行解释．(2)产量为多少件时，平均成本最小解： (1)边际成本x x 002040)(C .+='． (1000)400.002100042C '=+⨯=．它表示当产量为1000件时，再生产1件产品则增加42元的成本；(2)平均成本x xx x 0010409000C )(C .++==， 00109000)(C 2.+-='xx ，令=')(C x 0，得 x = 3000(件)．由于318000C (3000)03000''=>，故当产量为3000件时平均成本最小．2．边际收入 总收入函数)(x R 的导数)(x R '称为边际收入函数，简称边际收入．边际收入的经济意义是，销售量为x 的基础上再多售出一个单位产品所增加的收入的近似值．例2：设产品的需求函数为p x 5100-=，其中p 为价格，x 为需求量．求边际收入函数，及70,50,20=x 时的边际收入，并解释所得结果的经济意义．解： 根据p x 5100-=得5100x p -=总收入函数)100(515100)(2x x x x px x R -=⋅-== 边际收入函数为)2100(51)(x x R -=' 即销售量为20个单位时，再多销售一个单位产品，总收入增加12个单位；当销售量为50个单位时，扩大销售，收入不会增加；当销售量为70个单位时，再多销售一个单位产品，总收入将减少8个单位． 3．边际利润总利润函数)(x L 的导数)(x L '称为边际利润函数，简称边际利润．边际利润的经济意义是，在销售量为x 的基础上，再多销售一个单位产品所增加的利润． 由于)()()(x C x R x L -=，所以()()()L x R x C x '''=-．即边际利润等于边际收入与边际成本之差．例3：某加工厂生产某种产品的总成本函数和总收入函数分别为202.02100)(x x x C ++=（元）与201.07)(x x x R +=（元）求边际利润函数及当日产量分别是200千克、250千克和300千克时的边际利润，并说明其经济意义．解： 总利润函数100501.0)()()(2-+-=-=x x x C x R x L边际利润函数为502.0)(+-='x x L日产量为200千克、250千克和300千克时的边际利润分别是 1)200(='L （元），0)250(='L （元），1)300(-='L （元）其经济意义是，在日产量为200千克的基础上，再增加1千克产量，利润可增加1元；在日产量为250千克的基础上，再增加1千克产量，利润无增加；在日产量为300千克的基础上，再增加1千克产量，将亏损1元．二、弹性概念弹性概念是经济学中的另一个重要概念，用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的灵敏程度．例如，设有A 和B 两种商品，其单价分别为10元和100元．同时提价1元，显然改变量相同，但提价的百分数大不相同，分别为10%和1%．前者是后者的10倍，因此有必要研究函数的相对改变量以及相对变化率，这在经济学中称为弹性．它定量地反映了一个经济量(自变量)变动时，另一个经济量(因变量)随之变动的灵敏程度，即自变量变动百分之一时，因变量变动的百分数．定义：设函数)(x f y =在点x 处可导．则函数的相对改变量y y ∆与自变量的相对改变量x x ∆之比，当0→∆x 时的极限： )()(lim0x f x f x y y x x x y y x '='=∆∆→∆称为函数)(x f y =在点x 处的弹性，记作Ey Ex 或()Ef x Ex，即 ()()Ey x f x Ex f x '=． 由定义知，当%1=∆xx 时，%y Ey y Ex ∆≈．可见，函数)(x f y =的弹性具有下述意义：函数)(x f y =在点0x 处的弹性0x x Ey Ex =表示在点0x 处当x 改变1%时，函数)(x f y =在)(0x f 的水平上近似改变0%x x EyEx =．四、经济学中常见的弹性函数1. 需求价格弹性设某商品的需求量为Q ，价格为p ，需求函数()Q Q p =，则该商品需求对价格的弹性（简称需求价格弹性）为：d p dQ E Q dp= ．2. 供给价格弹性设某商品的供给量为W ，价格为p ，供给函数()W W p =，则该商品供给对价格的弹性（简称供给价格弹性）为：s p dW E W dp=3．需求弹性与总收益的关系总收益()R pQ p =， 所以()()()[1()]()[1]()p R Q p pQ p Q p Q p Q p Q p η'''=+=+⋅=-例4：:某商品需求函数为210Q -=，求（1）当3=P 时的需求弹性； (2)在3=P 时，若价格上涨%1，其总收益是增加，还是减少它将变化多少解： (1)1220102EQ P P P Q P EP Q P ⎛⎫'==-⋅= ⎪-⎝⎭-． 当3=P 时的需求弹性为3317P EQ EP ==-18.0-≈． (2)总收益2102P P PQ R -==，总收益的价格弹性函数为 22(10)(10)20102ER dR P P P P P EP dP R P P -=⋅=-⋅=--， 在3=P 时，总收益的价格弹性为332(10)0.8220P P ER P EP P ==-=≈-． 故在3=P 时，若价格上涨%1，需求仅减少0018.0， 总收益将增加， 总收益约增加%82.0．。

微积分教案例3设函数f(x)可微,-2- 2f (xAx2f(x)f (x)第三章 导数、微分、边际与弹性第一节导数概念教学目的与要求： 理解导数概念，意义教学重点(难点)：对导数概念理解，及其与连续的关系 一、 引例 二、 导数的定义f (X 0)limx 0 xlimx 0f (X 0X) f(X o ) Xlim X Xf(X ) Xf (X 。

) X 0 f (X x) f (x) f (x) lim - ----- ------------------- x 0 X左导数f (X) lim f(X0x) f(X0)lim f(x) f(X0)x 0-Xx xX X 0右导数f(X 0 X) f(x °) f (X) f(x °)f (x) lim ------------------------------- lim ---------------------- x 0 X x XoX x 0f (X 0) A f (X 0) f (X 0) A三、导数的几何意义 曲线yf x 在点X 0,y °处切线:y y 0 f X 0 x X 01xsin — x 0例1讨论f(x)x X 0在X = 0处可导性.0 X 0解：lim f (x) lim xsinx 00 f (0) , f (x)在 x = 0 连续「 f(x)-f(0) 「 . 1 ，尸右 limlim sin —不存在 x 0x-0 x 0 xf (x)在x = 0不可导例2已知f(x °)存在，则lim* 街*)2f /(X 0)h 0h -----------limf(X 05h)E5f /(X 0) h 0h「m f(x ° 3h) fg h)_lim [f(x 0 3h) f(x °) f(x °h) f(x °)]4 f (X 0)「 f ( x) - f (0) lim 。

一、边际分析边际的概念.如果一个经济指标y 是另一个经济指标x 的函数)(x f y =，那么当自变量有改变量x ∆时，对应有函数的改变量y ∆.在经济学中，当自变量在x 处有一个单位改变量时，所对应的函数改变量为该函数所表示的经济指标在x 处的边际量.例如当生产量在x 单位水平时的边际成本，就是在已生产x 单位产品水平上，再多生产一个单位产品时总成本的改变量，或者可以说是再多生产一个单位产品所花费的成本. 设x 的改变量为x ∆时，经济变量y 的改变量为y ∆=)()(x f x x f -∆+，则相应于x ∆,y 的平均变化率是xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( 由边际的概念，在上式中取1=∆x 或1-=∆x 就可得到边际量的表达式.但边际概念的定义和计算使我们想到能否用函数)(x f y =的导数作为y 的边际量呢？如果按纯粹的数学概念来讲，似乎行不通，因为导数定义要求自变量增量必须趋向于零，而实际问题中自变量x 的经济意义通常是按计件的产量或销量作为单位的，改变量为小数且趋于零不合乎实际.但我们可以这样考虑，对于现代企业来讲，其产销量的数额和一个单位产品相比是一个很大数目，1个单位常常是其中微不足道的量，可以认为改变一个单位的这种增量是趋近于零的.正是这个缘故，在经济理论研究中，总是用导数xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 表示经济变量y 的边际量，即认为)(x f '的经济意义是自变量在x 处有单位改变量时所引起函数y 的改变数量.1．边际成本在经济学中，边际成本定义为产量为x 时再增加一个单位产量时所增加的成本.成本函数的平均变化率为xx C x x C x C ∆-∆+=∆∆)()( 它表示产量由x 变到x +x ∆时，成本函数的平均改变量.当成本函数()C x 可导时，根据导数定义，成本函数在x 处变化率为xx C x x C x C x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 在经济上我们认为)(x C '就是边际成本.因此，边际成本)(x C '是成本函数)(x C 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于产量为x 时再生产一个单位产品所需增加的成本，即)()1()()(x C x C x C x C -+=∆≈'在实际问题中企业为了生产要有厂房、机械、设备等固定资产，在短期成本函数中作为固定成本0C ，它是常数，而生产中使用劳力，原料、材料、水电等方面的投入随产量x 的变化而改变，生产的这部分成本是可变成本，以)(1x C 记，于是成本函数可表示为)()(10x C C x C +=此时边际成本为)()()()(110x C x C C x C '='+'='由此，边际成本与固定成本无关，它等于边际可变成本.在实际经济量化分析问题中，经常将产量为x 时的边际成本)(x C '和此时已花费的平均成本xx C )(做比较，由两者的意义知道，如果边际成本小于平均成本，则可以再增加产量以降低平均成本，反之如果边际成本大于平均成本，可以考虑削减产量以降低平均成本.由此可知，当边际成本等于平均成本时可使产品的平均成本最低.2．边际收入和边际利润在经济学中，边际收入定义为销量为x 时再多销售一个单位产品时所增加的收入.设收入函数)(x R R =是可导的，收入函数的变化率是xx R x x R x R x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 同边际成本道理一样，我们认为)(x R '就是边际收入.因此，边际收入)(x R '是收入函数)(x R 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的收入.即)()1()()(x R x R x R x R -+=∆≈'设利润函数为)(x L L =，由于利润函数是收入函数与成本函数之差，即)()()(x C x R x L -=则边际利润是)()()(x C x R x L '-'='因此，边际利润)(x L '是利润函数)(x L 关于产量x 的一阶导数，它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的利润.在经济学中还经常用到边际效用，边际产量、边际劳动生产率等概念，它和边际成本、边际收入、边际利润的经济解释方法大同小异，在此不再阐述.下面用具体例子说明边际概念在实际问题中的意义和作用.例 1 设某企业的产品成本函数和收入函数分别为52003000)(2x x x C ++=和20350)(2x x x R +=，其中x 为产量，单位为件，)(x C 和)(x R 的单位为千元，求：（1）边际成本、边际收入、边际利润；（2）产量20=x 时的收入和利润，并求此时的边际收入和边际利润，解释其经济意义.解 由边际的定义有（1）边际成本 x x C 52200)(+=' 边际收入 10350)(x x R +=' 边际利润 x x C x R x L 103150)()()(-='-'='（2）当产量为20件时，其收入和利润为702020)20(20350)20(2=+⨯=R （千元） 6070807020)20()20()20(-=-=-=C R L （千元）其边际收入与边际利润为3521020350)20(=+='R （千元/件） 144208352)20()20()20(=-='-'='C R L （千元/件）上面计算说明，在生产20件产品的水平上，再把产品都销售的利润为负值，即发生了亏损，亏损值为60千元；而此时的边际收入较大，即生产一件产品收入为352千元，从而得利润144千元.这样以来，该企业的生产水平由20件变到21件时，就将由亏损60千元的局面转变到盈利8460144=-千元的局面，故应该再增加产量.二、弹性分析一个简单引例.设2x y =，当x 由10变到11时，y 由100变到121.显然，自变量和函数的绝对改变量分别是x ∆=1，y ∆=21，而它们的相对改变量xx ∆和y y ∆分别为 x x ∆=%10101= y y ∆=%2110021= 这表明，当自变量x 由10变到11的相对变动为10%时，函数y 的相对变动为21%，这时两个相对改变量的比为1.2%10%21==∆∆=x x y yE 解释E 的意义：x =10时，当x 改变1%时，y 平均改变2.1%，我们称E 为从x =10到x =11时函数2x y =的平均相对变化率，也称为平均意义下函数2x y =的弹性.这个大小度量了)(x f 对x 变化反应的强烈程度.特别是在经济学中，定量描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度对科学决策至关重要.如果极限00000000/)(/)]()([lim /)(/limx x x f x f x x f x x x f y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆ 存在，则称此极限值为函数)(x f y =在点x 0处的点弹性，记为0x x Ex Ey =，=∆∆⋅=→∆=x y x f x Ex Ey x x x )(lim 0000)()(000x f x f x ' 称)()(x f x f x Ex Ey '=为函数)(x f y =在区间Ⅰ的点弹性函数，简称弹性函数.而称00000/)(/)]()([/)(/x x x f x f x x f x x x f y ∆-∆+=∆∆ 为函数)(x f y =在以x 0与x 0+x ∆为端点的区间上的弧弹性. 弧弹性表达了函数)(x f 当自变量x 从x 0变到x 0+x ∆时函数的平均相对变化率，而点弹性正是函数)(x f 在点x 0处的相对变化率. 例2 求指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的弹性函数.解 因为a a y x ln ='所以a x ax a a y x y Ex Ey x x ln ln =⋅='=.1. 需求弹性函数的弹性表达了函数)(x f 在x 处的相对变化率，粗略来说，就是当自变量的值每改变百分之一所引起函数变化的百分数.需求弹性就是在需求分析中经常用来测定需求对价格反应程度的一个经济指标.设某商品的市场需求量Q 是价格p 的函数：)(p Q Q =，)(p Q 是可导函数，则称Q Qp p Q p Q p Ep EQ '='=)()( 为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，记为p ε.可以这样解释p ε的经济意义；当商品的价格为p 时，价格改变1%时需求量变化的百分数.为什么不使用变化率而要使用这种相对变化率来表达价格改变对需求量的反应呢？由弹性定义看到，弹性与量纲无关，需求弹性与需求量和价格所用的计量单位无关.以对水果的需求为例，在我国将以m 公斤/元来度量，在美国将以n 公斤/美元来度量，这就无法比较两国需求对价格的反应.正因为弹性可不受计量单位的限制，所以在经济活动分析中广泛采用，除需求价格弹性，还有收入价格弹性,成本产量弹性等.由经济理论知道，一般商品的需求函数为价格的减函数，从而0)(<'p Q ,这说明需求价格弹性p ε一般是负的.由此，当商品的价格上涨（或下跌）1%时，需求量将下跌（或上涨）约%p ε，因此在经济学中，比较商品需求弹性的大小时，是指弹性的绝对值p ε,一般在经济分析中将需求弹性记为p p εε-=. 当1=p ε时，称为单位弹性，此时商品需求量变动的百分比与价格变动的百分比相等；当1>p ε时，称为高弹性，此时商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，价格的变动对需求量的影响比较大；当1<p ε时，称为低弹性，此时商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，价格的变动对需求量影响不大.在商品经济中，商品经营者关心的是提价（0>∆p ）或降价（0<∆p ）对总收入的影响，利用需求弹性的概念，可以对此进行分析.设收入函数为R ，则pQ R =，此时边际收入为Q p Q p R '+=')()1(Q Qp Q '+=)1(p Q ε+= （2） 当p ∆很小时,有p Q p p R R p ∆+=∆'≈∆)1()(ε p Q p ∆-=)1(ε （3） 由此可知，当1>p ε（高弹性）时，商品降价时(0<∆p )，0>∆R ，即降价可使收入增加，商品提价时(0>∆p )，0>∆R ，即提价将使总收入减少. 当1<p ε（低弹性）时，降价使总收入减少，提价使总收入增加. 当1=p ε（单位弹性）时，0=∆R ，提价或降价对总收入无影响. 上述分析使我们看到,根据商品需求弹性的不同,应制定不同的价格政策,以使收入快速增长.例3 设某种产品的需求量Q 与价格p 的关系为p p Q )41(1600)(= （1）求需求弹性；（2）当产品的价格10=p 时再增加1%，求该产品需求量变化情况.解 （1）由需求弹性公式'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅='=p pp p Q Q p )41(1600)41(1600εp p 39.141ln -≈= 需求弹性为-1.39p ，说明产品价格p 增加1%时，需求量Q 将减少1.39p %.（2）当产品价格10=p 时,有9.131039.1-=⨯-=p ε这表示价格10=p 时，价格增加1%，产品需求量将减少13.9%；如果价格降低1%，产品的需求量将增加13.9%.这也表明此商品的需求弹性是高弹性的，适当降价会使销量大增.例4 已知某企业的产品需求弹性为2.1，如果该企业准备明年降价10%，问这种商品的销量预期会增加多少？总收益预期会增加多少？题中价格的改变量是相对量,所以所求的销量和总收益的改变也采用相对改变量.解 由需求函数弹性定义知，当p ∆较小时pQ Q p dp dQ Q p p ∆∆⋅≈⋅=ε 即p p Q Q p ∆≈∆ε 故当1.2=p ε，1.0-=∆pp 时，有 %21)1.0(1.2=-⨯-≈∆QQ 因为R =PQ ，由(3)式有p Q p Q R R p ∆⋅-≈∆)1(εpp p ∆-=)1(ε当1.2=p ε时，有%11)1.0()1.21(=-⨯-≈∆RR 可见，明年企业若降价10%，企业销量将增加21%，收入将增加11%.。

经济学主要公式范文经济学是研究资源配置和决策行为的一门学科，主要通过使用数学和统计方法来分析和解决实际问题。

以下是一些经济学中常用的主要公式。

1. 边际收益(Marginal Benefit)：衡量当其中一行为增加一单位时所带来的额外收益或满足度。

MB=Δ总效用/Δ数量2. 边际成本(Marginal Cost)：衡量当其中一行为增加一单位时所需付出的额外成本。

MC=Δ总成本/Δ数量3.微积分法则-边际递减法则：当增加一单位输入或输出时，其边际效用递减。

-边际比较法则：当边际效用比边际成本大时，应增加该行为；当边际效用比边际成本小时，应减少该行为。

4. 弹性(Elasticity)：衡量需求或供给对于价格变化的敏感度。

价格弹性(Elasticity of Demand) = (Δ数量/初始数量) / (Δ价格/初始价格)5. 德玛西庇夫定律(Demasi-Peiper Law)：当价格提高一倍，需求量减少一半。

数学表示：P*Q=k其中P为价格，Q为需求量，k为常数。

6.产出与成本- 边际产出(Marginal Product)：当增加一单位输入时，产出增加的额外量。

- 平均产出(Average Product)：总产出除以使用的输入数量。

- 生产函数(Production Function)：描述输入与产出之间的关系。

7. 生产可能性边界(Production Possibility Frontier, PPF)：描述一个国家或个体在有限资源条件下能够生产的不同组合。

8.成本理论- 固定成本(Fixed Cost)：与生产无关的固定支出。

- 可变成本(Variable Cost)：与生产量成正比的可变支出。

- 边际成本(Marginal Cost)：生产额外一单位产品所需的额外成本。

9.消费与储蓄- 消费函数(Consumption Function)：描述收入与消费之间的关系。

- 边际倾向消费(Marginal Propensity to Consume, MPC)：当收入增加一单位时，消费增加的额外量。