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第三章 导数与微分一、判断题1. 若函数)(x f 在0x 点可导，则00()[()]f x f x ''=；（ ）2. 若)(x f 在0x 处可导，则 )(lim 0x f x x → 一定存在；（ ）3. 函数 x x x f =)( 是定义区间上的可导函数；（ ）4. 函数 x x f =)( 在其定义域内可导；（ ）5. 若 )(x f 在 [,]a b 上连续，则 )(x f 在 (,)a b 内一定可导；（ ）6. 若 ()f x 在 0x 点不可导，则 ()f x 在 0x 不连续；（ ）7. 函数 22,1()ln ,014x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩ 在 1x = 点可导；（ ）8. ()(),()f x f x y e y e f x ''''==已知则；（ ）9. 若 (),n f x x = 则 ()(0)!n f n = ；（ ）10. 2()2d ax b ax += ；（ ）二、填空题1. 设 )(x f 在 0x 处可导，且 A x f =')(0，则 hh x f h x f h )3()2(lim000--+→用A 的代数式表示为_______ ；2.()f x = ，则 (0)f '= _________ ；3. 设 ln e x e y x e x e =+++，则 y '= ______ ；4. ()x x ' = _______；5. 曲线 3y x = 在点 (1,1) 处的切线方程是 ________ ；6. 曲线 x e x y += 在点 (0,1) 的处的切线方程是_______；7. 函数 32sin(1)y x x =+ 的微分 dy =__________ ；8. sin(1)x y e =+ ，dy =_______ ；9. dy y -∆ 的近似值是 _________ ；10. 设 e x y n += ，则 ()n y = ________ ；三、选择题1. 设)(x f 在点0x 处可导，则下列命题中正确的是 ( ) (A) 000()()lim x x f x f x x x →-- 存在 (B) 000()()limx x f x f x x x →--不存在 (C) 00()()lim x x f x f x x →+-存在 (D) 00()()lim x f x f x x ∆→-∆不存在2. 设)(x f 在点0x 处可导且0001lim (2)()4x xf x x f x →=--，则0()f x '等于 () (A) 4 (B) –4 (C) 2 (D) –23. 设 ()y f x = 可导，则 (2)()f x h f x -- = ( )(A) ()()f x h o h '+ (B) 2()()f x h o h '-+(C) ()()f x h o h '-+ (D) 2()()f x h o h '+4. 设 (0)0f = ，且 0()lim x f x x → 存在，则 0()lim x f xx →＝ ( )(A) ()f x ' (B) (0)f ' (C) (0)f (D) 1(0)2f '5. 设 1(2)1f x x +=+ ，则 ()f x '= ( )(A) 21(1)x -- (B) 21(1)x -+ (C) 11x + (D) 11x --6. 函数 x x x f )1()(-=的导数为 ( )(A)x x x )1(- (B)1)1(--x x (C)x x x ln (D))]1ln(1[)1(-+--x x xx x7. 设 21,10()1,02x x f x x ⎧+-<≤=⎨<≤⎩ ，则)(x f 在点x = 0 处 ( )(A) 可导 (B) 连续但不可导 (C) 不连续 (D) 无定义8. 函数)(x f 在 0x x =处连续，是 )(x f 在 0x 处可导的 ( )(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件9. 函数 x xx f =)( 在 0=x 处 ( )(A) 连续但不可导 (B) 连续且可导(C) 极限存在但不连续 (D) 不连续也不可导10.函数 0,0()1,0x f x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ，在点 0x = 不连续是因为 ( )(A) (00)(0)f f +≠ (B) (00)(0)f f -≠(C) (00)f +不存在 (D) (00)f -不存在11.设 21cos ,0()0,01tan ,0x x x f x x x x x⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩ ，则 ()f x 在 0x =处（ ）(A) 极限不存在 (B) 极限存在，但不连续(C) 连续但不可导 (D) 可导12. 函数 )(x f e y =，则 ="y ( )(A) )(x f e (B) )(")(x f e x f (C) 2)()]('[x f e x f (D) )}(")]('{[2)(x f x f e x f +13. 设 x x y e e -=+ ，则 y ''=( )(A) x x e e -+ (B) x x e e -- (C) x x e e --- (D) x x e e --+14. 已知 ln y x x = ，则 (10)y = ( )(A) 91x - (B) 91x (C) 98!x (D) 98!x- 15. 已知 sin y x = ，则 (10)y = ( )(A) sin x (B) cos x (C) sin x - (D) cos x -四、计算与应用题1.设 x y e y ln = 确定 y 是 x 的函数，求dxdy2.方程 0y x e e xy -+= 确定 y 是 x 的函数，求 y '3.方程 2cos 0y y x e += 确定 y 是 x 的函数，求 y '4.设 21(1)arctan cos 2y x x x =++，求 y '5.ln tan 2x y = ，求 'y 及 dy6.221cos 5ln x x y -+= ，求 y ' 及 dy7.y e = ，求 y ' 及 dy8.xy e y x -= ，求 y ' 及 dy 9.已知 2cos 3y x =，求 y '10.设 ln(y x x =+，求 y ' 11.设 22arctan()1x y x =- ，求 y '12.设 x y x = ，求 y ' 13.求 13cos x y e x -= 的微分14.求 2xe y x = 的微分 15.设 )ln(ln x y =，求 dy16.设 xx y 1cos 1ln+= ，求 dy 17.设 cos 2x y e = ，求 dy18.3cos cos x y x x e =+ ，求 dy 19.ln y x x = ，求 y ''20.已知 ()sin3f x x = ，求 ()2f π''。
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时,x x sin tan -是x 的阶无穷小.4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为。
5、=-∞→x e xx arctan lim .6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________. 13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________.15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数,则中所给的函数必为奇函数。
(Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C))]()()[(x h x g x f +；(D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； (C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
.)()()()((D);)()()()((C);)()()()((B);)()(,)()((A)( ).,)(,)(00都不可导与不可导可导且都可导与未必不可导而必不可导处则在不可导而可导处设在x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x x g x f x 第 三 章 练习题（A ）一．单项选择题1．设)(x f 是可导函数，且12)()(lim000=--→hx f h x f h ，则)('0x f 为( )(A) 1 (B) 2 (C) －1 (D) －2 答 D2．设)(x f 在1=x 处可导，且2)1('=f ，则=--+→xx f x f x )1()1(lim 0( ).(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 3 答 C3.解选D.利用排除法.)(lim a f h h [1/h a f )(1/)(limha f h 1/h a f )(),(a f .)(不入选A )(在a x x f 而中极限的存在性并不能保证)(C ,0处不连续在x,0)(处不可导在因此x x f 但2)0()0(lim0h h f h f h ,021/cos 1/cos lim0h h h ()h (),)(也不入选故C .)(也不入选类似地可说明B 处的连续性,例如,,00,1/cos )(xx x x f ()4.答 A..( ))(,)(a x x f a x x f 处可导在则的某个邻域内有定义在设(C)(A)的一个充分条件是(B)(D);)]()1([lim a f h a f h h存在;)]()2([lim 0h h a f h af h 存在;2)]()([lim 0h h af h af h 存在.)]()([lim 0h h af a f h存在5．函数()3x x f =在0=x 处满足下列哪个结论( )(A)极限不存在 (B)极限存在，不连续 (C)连续，不可导 (D)可导 答 D6．函数()x f 在区间()b a ,内连续是()x f 在()b a ,内可导的( ) (A)充分但非必要条件 (B)必要但非充分条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 答 B7．设)(x f 为奇函数，则其导数)(x f '的奇偶性为( ) (A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶 (D)奇偶性不定 答 B8．设函数)(x f 可导，记)()()(x f x f x g -+=，则导数()x g '为( ) (A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶 (D)奇偶性不定 答 A9．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0001)(1x x e xx f x ，在0=x 处( )(A)不连续 (B)连续但不可导 (C)可导，且0)0('=f (D)可导，且1)0('=f 答 B10．设x x x f ln )(=在0x 处可导，且2)(0='x f ，则=)(0x f ( ) (A)0 (B)e (C)1 (D)2e 答 B11．设x e 2为)(x f 的导函数，则='')(x f ( ) (A)x e 2 (B)x e 22 (C)x e 24 (D)0 答 B12．设(0)2f '=，则当0x →时，()(0)f x f -是x 的( ) (A)低阶无穷小量 (B)同阶无穷小量 (C)高阶无穷小量 (D)等价无穷小量 答 B13．设x x x f 2ln )(=在0x 处可导，且2)(0='x f ，则=)(0x f （ ）(A)1 (B)2e (C)e2(D)2e答 B14．曲线x x x y -=ln 在e x =处的切线方程是( )已知783x x y和)(t f x 设0t 时2)0(,f x 则t 时d t d y 8(A)219(B)19(C)38(D),,( ).,;;.;( ).,1211222d x d y t ty t t x 则已知.2(D);1(C);1(B);1(A)2222t x t t (A)x e y -= (B)e x y -= (C)1+-=e x y (D)e x y += 答 B15．设)(x f 可导且2)2(=-'f ，又)(2x f y -=，则==2x dy ( ) (A)dx 2 (B)dx 2- (C)dx 24 (D)dx 24- 答D16．设0)0(=f ，且)0(f '存在，则=→xx f x )(lim 0( )(A))(x f ' (B))0(f ' (C))0(f (D))0(21f答 B17．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin )(2x x xx x f ，则该函数在0=x 处( ) (A)极限不存在 (B)极限存在但不连续 (C)连续但不可导 (D)可导 答 D18．设)(x f y =，已知36)2()(lim000=+-→xx x f x f x ，则==0x x dy （ ） (A)dx 9- (B)dx 18 (C)dx 3- (D)dx 2 答 A19．设x x y cos )(sin =，则='y （ ）(A)x x x x cot cos sin ln sin +- (B)x x x x x x cos )(sin )(sin cos cos 1cos +- (C)]sin ln sin cot [cos )(sin cos x x x x x x - (D)]sin ln sin cot [cos )(sin cos x x x x x x + 答 C20.答 D.21．设233232)2(x y 则y (A)(C)(D)(B);;.;( ).,若x x y则(A))ln 1(x x x (B)2)ln 1(x x x (C)1)ln 1(x x x x x (D)12)ln 1(x x x x x ,( ).;;;.设xx f 1(则f(A)(B))2ln 3(ln 3(C)2ln 33(C)3ln 3ln ;;;.,( ).t t t t t t t t t t x 2csc 2cot 16(D)2csc 2cot 8(C)2sec 2cot 16(B)2csc 2cot 16(A),sec csc 222222应为则设d x d t ( ).;;;.设)1ln(2t yarctg x则22d x y d (A)2(B)212t(C))1(22t (D)221tt;;;.( ).答 A.22.答 D.23.答 D.24.答 D.25.D.答26.答 C.为计算5270的近似值x x )1(式中的x (A)269(B)27(C)9(D)91/可迁用近似公式,,( ).;;;.这时(D)(C)(B)(A),11小得多时比正数当n n na xanax ana xa na x a a x ( ).;.;;)1((D))1((C))((B))1((A),1x e x e x a e x a e e a x a a a a xa似公式由用微分法可得的常数是大于近似于零且设( ).;.;;的近)(,0)(a f a f则极限lim anf n(A)不存在(B)不一定存在1(C)1(D),( ).;;;.27．答 D.28.B.答29.答 D.30.答 D.二．填空题1. 设A x f =)('0，则=∆-∆-→∆xx f x x f x )()3(lim000答 A 3-2．设)()(ln x f e x f y =，其中f 可微，则=dy答 dx x f x f x f x e x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+')(ln )()(ln 1)(3．设xxx f +-=11)(，则=)()(x f n答 )1()1(!2)1(+-+⋅-n n x n4．设),(00y x 是抛物线c bx ax y ++=2上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是答 c ax =2（或0≥ac），b 任意5. 函数()x x x f 3=在点0=x 处的导数()=0'f 答 06．设)(x f y =，且36)2()(lim 000=+-→hh x f x f h ，则==0|x x dy答 dx 9－7．设函数⎩⎨⎧>+≤=0)1(02sin )(x e x x xx f x，则左导数=')0(－f 答 28．曲线⎩⎨⎧=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程 答 )2(38-=-x y9．设xx x f 1)(+=，则=''=1)(x x f答 410．设)(x f 具有二导数，且2)]([)(x f x f ='，则='')(x f 答 3)]([2x f11．根据导数定义，函数()1-=x x x f 在点1=x 处的导数()=1'f 答 不存在12．函数()x x f sin =在点0=x 处的导数()=0'f 答 不存在13．设函数)()3)(2)(1()(n x x x x x f ++++= （其中n 为正整数），则=)0('f答 ∑=nk kn 11!14．曲线()x e x y +=1在点0=x 处的切线方程为=y 答 12+x15．设()2x x f =，则()[]=x f f ' 答 22x16．x e x y -+=2，则=)0("y答 317．设)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=，则=22dxyd答 2)cos 1(1t a --18．设10<<x ，则=)arcsin (x x d答 dx x x x )121arcsin 21(-+19．设12+=x y ，则其反函数)(y x x =的导数=')(y x答 2120．设x x y 2arctan )1ln(+-=，则导数dxdy在点4=x 处的值为答 4arctan 17241+21．设需求函数bP a Q -=，则边际收益()=Q R '答 ()Q a b 21-22．某商品的需求量Q 与价格P 的关系为5P Q =，则需求量Q 对价格P 的弹性是 答 523．设某商品的需求函数为P Q 21000-=，其中P 为价格，Q 为需求量，则该商品的收益弹性=EQER答 Q Q --10002100024．某商品的需求函数为P Q 21000-=，其中P 为价格，Q 为需求量，则销售该商品的边际收益为()=Q R ' 答 Q -50025．某商品的需求量Q 与价格P 之间的关系为bP a Q -=，则该商品的收益弹性=EPER答 bP a bP a --226．设x x x y ++=，则='y答 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++x x x x x x 2112112127．设函数)(u f 二阶可导，且)(ln x f y =，则=''y答 [])(ln )(ln 12x f x f x'-''28．设xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛+=11)(，则=')21(f答 )323(ln 3-29．设函数10)(x x f =，则=)](['x f f 答 9010x30．问自然数n 至少多大，才能使⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(x x xx x f n有)0(f ''，并求其值 。
