边际函数与弹性函数

并 说 明 其 经 济 意 义.
（二）弹性分析
1.相对改变量、相对变化率
定义： 设函数y f(x)在x x0处可导， 函数的相对改变量
y f ( x0 x) f ( x0 ) ,与自变量的相对改变量x 之比
y0
f ( x0 )
x0
y x
/ /
y0 x0
称 为f
( x)从x0到x0
x两 点 间 的 平 均 相 对 变 化率 或
L(Q)取最大值必要条件：L'(Q) 0,即R'(Q) C'(Q)
(边际收益＝边际成本）
充分条件：L''(Q) 0,即R''(Q) C''(Q)
(边际收益的变化率<边际成本的变化率）
最大利润原则：R'(Q) C'(Q) , R''(Q) C''(Q)
略:3、常见函数的弹性：
(1) f ( x) C的弹性EC 0； Ex
ln ax
(6) f ( x) sin x的 弹 性E(sin x) x cot x; Ex
f ( x) cos x的 弹 性E(cos x) x tan x. Ex
4、弹性的四则运算：
1. E( f ( x) g( x))
f ( x) Ef ( x) g( x) Eg( x)
Ex
Ex tan
A
）
o
（
x
在曲线上任一点A处对应的弹性,只要过A点作曲线的 切线与线段OA,它们与x轴夹角的正切值之比即所求。
两 点 间 的 弹 性。
lim
x0
y x
/ /
y x
0 0

⾼等数学在经济学中的边际、弹性分析及应⽤2019-09-03【摘要】边际与弹性是⾼等数学中的重要概念，是微分学在经济分析中的有效应⽤。

本⽂从经济理论中的“边际”和“弹性”出发，对⽬前经济学中⼏个常见问题进⾏了数学化探讨，阐述了⾼等数学在经济学中的相关应⽤。

【关键词】边际弹性应⽤边际与弹性分析是经济数量分析的重要组环节，是⾼数微分法的重要应⽤之⼀。

在分析经济量的之间关系时，不仅要知道因变量依赖于⾃变量变化的函数关系，还要进⼀步了解这个函数值随⾃变量的变化的速率，函数的变化率，即它的边际函数；不仅要了解相应函数的绝对变化率，⽽且还要了解它的相对变化率，即它的弹性函数；经过进⼀步的分析，就可以探求如何取得最佳经济效益，达到理想应⽤的⽬的。

⼀、边际概念及其在经济学中的应⽤（⼀）边际概念边际作为⼀个数学概念，是指函数y=f（x）中变量x的某⼀值的“边缘”上y的变化。

它是瞬时变化率，也就是y对x的导数。

⽤数学语⾔表达为：设函数y=f（x）在[α，b]内可导，则称导数f'（x）为y=f（x）在[α，b]内的边际函数；在x0处的导数值f'（x0）称为y=f（x）在x0处的边际值。

根据不同的经济函数，边际函数有不同的称呼，如边际成本、边际产值、边际消费、边际储蓄、边际收益、边际利润等。

（1）边际成本。

在经济学中，把产量增加（或减少）⼀个单位时所增加（或减少）的⽣产总成本，定义为边际成本，边际成本就是总成本函数在所给定点的导数，记作MC=C′（q）。

（2）边际收益。

是指销售量增加（或减少）⼀个单位时所增加（或减少）的销售产品总收⼊，是总收⼊函数在给定点的导数，记作MR=R′（q）。

（3）边际利润。

对于利润函数 L（q）=R（q）-C（q），边际利润为 ML=L′（q）=R′（q）CC′（q）=MR-MC，其指销售量增加（或减少）⼀个单位销售量时所增加（或减少）的利润。

（⼆）边际理论在经济学中的应⽤边际分析理论可⽤来预测商品价格需求量或供给量，确定企业内部⽣产资料同劳动数量之间最合理的配置。

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lim ( y x) lim ( y x0 )
y x0 0
x0
x0 x y0
=
f
x0 (x0 )
f
(x0 )
Ey Ex
x x0
由极限与无穷小量的关系有
y x Ey ，且 lim 0
y0 x0 Ex xx0
x0
所以 y Ey x y0 Ex xx0 x0
故
Ey Ex
x x0
表示在点x
(6) 1.2 1,说明当P 6时，需求变动的幅度
大于价格变动幅度，即P 6时，价格上涨1%， 需求下降1.2%为富有弹性
(2)供给价格弹性 设某商品的供给函数为Q Q(P), 其中Q为 供给量，P为价格，供给对价格的弹性为：
EQ P Q(P) EP Q(P)
一般情况下 EQ 0,即供给量会随价格的升高 EP
当销售量为Q 时，销售Q 前最后一个
0
0
单位商品所增加的利润
L(Q) R(Q) C(Q)
L(Q) R(Q) C(Q)
厂商理论：R(Q) C(Q) 此时，L(Q) R(Q) C(Q) 0 即再增加销量时不会增加利润， 此时利润达到最大.
例3.设某商品的需求函数为P 10 Q ,总成本 5
§3.6 边际与弹性 一、边际的概念 二、弹性函数
• 在经济活动中，经常需要考虑一项指标的变化给 其他指标带来的影响，如产量的变化对成本、收 益、利润的影响，价格的变化对需求量、销售量 的影响等。将这些经济指标建立数学模型，利用 导数的特性去研究它们之间的关系，这就是本次 课的内容。
一、边际的概念
x0处，当x产生1%的
改变时，y f (x)相应改变 Ey % Ex xx0
例4.求函数y 100e3x的弹性函数 Ey 及 Ey Ex Ex x2

2.边际收益
总成本函数TR=TR(Q)对产量Q的导数称 为边际收益（函数）.
3.边际利润
总利润函数π=π(Q)对产量Q的导数称为 边际收益（函数）.
由于π(Q)=TR(Q)-TC(Q),所以
即边际利润为边际收益与边际成本之差.
边际利润的情形分析 >0,表示再销售1个单位 产品，总利润的增加量.
=0,表示再销售1个单位 产品，总利润不再增加.
很小时）的关
即 当需求价格弹性大于1时，应降价增加收益.
当需求价格弹性小于1时，应提价增加收益.
当需求价格弹性等于1时，当价格变化时， 总收益不变．
例9 某商品的需求量Q关于价格P的函数为 Q=50-5P
求P=2,5,6时的需求的价格弹性，并说明其 经济意义以及相应增加销售收益的策略.
解
经济意义： P=2时，价格上涨1%，需求量将下降0.25% P=5时，价格上涨1%，需求量将下降1% P=6时，价格上涨1%，需求量将下降1.5%
销售策略： 当0<P<5时，宜采取提高价格，增加收益
当5<P<10时，宜采取降低价格，增加收益
3. 供给弹性
例10 设某产品的供给函数
，求供给
弹性函数及
的供给弹性.
解
4. 收益弹性
三、小结
边际的基本概念
1、边际成本 3、边际利润
边际函数的计算
2、边际收益 4、边际需求
弹性的基本概念
1、需求弹性 3、收益弹性
弹性函数的计算
2、供给弹性
<0,表示再销售1个单位 产品,总利润的减少量.
例3 设某产品生产单位的总成本为，
求：(1)生产900个单位的总成本和平均成本； (2)生产900个单位到1000个单位时的总成

C (900) 1) C (900) 1775 C (900) 1.97 900 C (Q) C (1000) C (900) 2) 1.58 Q 1000 - 900
3) C(900) 1.5
生产900个单位 , 增加 ( 减少)1个单位产品 , 成本将增加 ( 减少)1.5
二、经济学中常见的边际函数
1.边际成本 1 边际成本 : 总成本函数C Q 的导数C (Q ) 2 边际平均成本 : 平均成本C Q 的导数 C (Q)Q C Q C Q C Q 2 Q Q 3 一般情况下，C Q C0 C1 Q ， 则C (Q ) C1 Q .
四、经济学中常见的弹性函数
1.需求弹性 : 设需求函数Q f P 在P处可导,
dQ P dQ P 则在P处需求弹性为 Ed ( ( P) ) dP Q dP Q
经济含义 : Q f P 在P处, 价格每上涨1%, 需求就减少 ( P )%; 价格每下降1%, 需求就增加 ( P )%.
(1) 当 1, 在价格 P 处, 价格每上涨 1%, 收益增加
收益减少
(1- ) %
| (1- ) | %
(2) 当 1, 在价格 P 处, 价格每上涨 1%,
(3) 当 1, 总收益最大
p 例4：设某商品需求函数 Q f ( p ) 12 2 试求：
(1)p=6时价格上涨1％，总收益将变化百分之几？
2
y / y0 x / x0
称为f ( x)从x0到x0 x两点间的
平均相对变化率或两点间的弹性.
2.弹性
y / y0 1 lim 称为f ( x)在x0处的相对变化率或弹性， x 0 x / x 0 Ey 记作 Ex E 或 f ( x0 ). Ex x x0

发展期
饱和期
时，其图形如图所示
初始期
发展期
饱和期
由图可见戈珀兹曲线当 t > 0 且无限增大时，其无限与直线 y = k 接近，且始终位于该直线下方。在产品销售预测中，当预测销售量充分接近到 k 的值时，表示该产品在商业流通中将达到市场饱和。
二、边际与弹性
1. 边际概念
如果函数
在
处可导，则在
内的平均变化率为
成本由固定成本和可变成本组成。固定成本是指支付固定生产要素的费用。包括厂房、设备折旧以及管理人员工资等；可变成本是指支付可变生产要素的费用，包括原材料、燃料的支付以及生产工人的的工资，它随着产量的变动而变动。
例4. 设某厂的生产函数
，其中 L 表示
劳动力数量，求劳动力价格为1152时的可变成本函数
一般说来，商品的市场价格越高，生产者愿意而且能够向市场提供的商品量也就越多。因此一般的供给函数都是单调增加的。
人们根据统计数据，常使用下面简单的供给函数
线性函数：
，其中
幂函数：
，其中
指数函数：
，其中
使一种商品的市场需求量与供给量相等的价格（记为P0），称为均衡价格。
例2. 已知某商品的需求函数和供给函数分别为
如果除价格外，收入等其他因素在一定时期内变化很少，即可认为其他因素对需求量无影响，则需求量 Q 便是价格 P 的函数，记
称 f 为需求函数，同时 f（P）的反函数 也称为需求函数。
一般说来，商品价格的上涨会使需求量减少。因此，需求函数是单调减少的。
人们根据统计数据，常使用下面简单的需求函数
线性函数：
的关系；
（2）试分别解出关于价格
的边际收益
，关于需求
的边际收益

定义4.5 设函数 y f ( x)在点 x x0处可导，函数的
相对改变量 y f ( x0 x) f ( x0 ) ，与自变量的相对改
y0
f ( x0 )
变量 x 之比 y / y0 ，
x0
x / x0
称为函数 f ( x)从 x x0到 x x0 x两点间的相对变化率，
或称为两点间的弹性．
所以符合最大利润原则．
例7 某工厂生产某种产品，固定成本20 000元，每生产
一单位产品，成本增加100 元．已知总收益 R 是年产量Q 的函数
R
R(Q)
400Q
1 2
Q2
0 Q 400
80 000
Q 400
问每年生产多少产品时，总利润最大?此时总利润是多少?
解 根据题意，总成本函数为C C(Q) 20 000 100Q
x 20%, y 44%
x
y
这表示当 x 10改变到 x 12时， x 产生了20%的改变， y 产生了44%的改变．而
y / y 44% 2.2 x / x 20% 表示在(10,12)内，从 x 10时起， x 改变1%时， 则相应 y 的改变2.2%。我们称它为从 x 10到 x 12， 函数 y x2的平均相对变化率．
即生产60个单位产品与生产80个单位产品时的总成本 分别为380、520； 平均成本分别为6.33、6.5； 边际成本分别为6、8．
注意：平均成本、平均变化率、边际成本三个概念 虽然都反映一定意义下的平均值，但是又有本质的区别．
平均成本C(Q) 是生产一定数量产品时的成本平均值， Q
它只与产量范围Q 有关．
Q Q0
Q0
Q
边际成本是总成本函数C (Q ) 关于产量Q 的导数。 其经济含义是: 当产量为Q时，

解
dP Q ( P ) 2 P , 当P 4时 的 边 际 需 求 为 dQ Q ( P ) P 4 8
它的经济意义时价格为4时，价格上涨（或下 降）1个单位，需求量将减少（或增加）8个单位.
三、弹性的概念
1. 弹性的定义
定义 设函数 y f ( x ) 在点 x0 处可导，且 x0 0 ，
例1 设函数 y x 2，试求 y 在 x 5 时的边际函数值． 解 因为 y 2 x ，所以 y x5 10．
该值表明：当 x 5 时，x 改变 1 个单位（增加 或减少 1 个单位） ，y 改变 10 个单位（增加或 减少 10 个单位） ．
二、 经济学中常见的边际函数
设在点 x x0 处， x 从 x0 改变一个单位时 y 的增量 y 的准确值为 y x 1 ，当 x 改变量很小时，则由微分的应用 知道， y 的近似值为
x x0
y x 1 dy f ( x )x
x x0
x x0 x 1
f ( x 0 )
当 x 1时，标志着 x 从 x0 减小一个单位.
3 弹性的四则运算
f1 ( x) E f 2 ( x) Ef1 ( x) Ef 2 ( x) (3) Ex Ex Ex
4 函数弹性的图解方案
即 tan( m ) tan m (图2 2)
边际函数 y f ( x )的 几 何 意 义 为 所 示 曲 上 线各 点 的 切 线 斜 率 ，
Ef1 ( x) Ef 2 ( x) f ( x ) f ( x ) 1 2 E f1 ( x) f 2 ( x) Ex Ex (1) Ex f1 ( x) f 2 ( x) (2) E f1 ( x) f 2 ( x) Ex Ef1 ( x) Ef 2 ( x) Ex Ex

例2
设某产品生产 Q
单位的总成本
C
(Q)
1100
Q2 1200
，
求：(1)生产 900 个单位的总成本和平均成本；
(2)生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成本的平均变化率；
(3)生产 900 个单位的边际成本，并解释其经济意义.
解 (1)生产900个单位时的总成本为
9020
C(Q) 1100 1775
相对改变量 y f ( x0 x) f ( x0 )与自变量的相对改变量
y0
f ( x0 )
x 之比 y
x0
x
y0 x0
为函数从
x0到
x0
x两点间的平均相对变化
第六节 边际与弹性
一、 边际的概念
定义: 如果函数 y f (x)在 x0 处可导，则在(x0, x0 x)内
的平均变化率为y ；在 x x
x0处的瞬时变化率为
lim f (x0 x)
x0
x
f (x0 )
f (x0 )
，
经济学中称它为 f (x)在 x x0处的边际函数值.
相应定义了一个函数：边际函数
L(Q) L(2)050 Q20
L(Q ) L(2)5 0
Q 25
L(Q) L(3)5100
Q35
上述结果表明当生产量为每月20吨时，再增加一吨，利润将增加50 元，当产量为每月25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为35吨 时，再增加一吨，利润将减少100．此处说明，对厂家来说，并非 生产的产品越多，利润越高.
销 售 1 5 个 单 位 时 , 总 收 益 R
5
Q 2
(2 0 Q )
2 5 5

经济学中边际与弹性的数学定义及实际意义摘要：边际与弹性是导数在经济学中的一个重要应用，是微分学在经济分析中一种有效可行的方法。

文章从经济数学中边际和弹性的数学定义出发，结合实际通俗的解释了边际和弹性的意义。

关键词：边际；弹性；定义1 整体分析2 从实例来解释边际和弹性先看边际，比如可以研究产品的边际成本，边际受益来衡量工厂合适的生产量，还有边际效用也是解决实际问题或解释实际问题常用的方法。

比如农民一年收获了袋谷子，第一袋谷子用来维持一个月的生活，效用为10，第二袋谷子可以卖掉使他生活水平提高，效用为8，第三袋谷子可以用来酿酒，效用为4，第四袋谷子可以用来喂宠物，效用为2。

第一袋谷子的效用最高，后面依次递减。

很多实际的问题都用到了边际分析法，比如长途汽车即将出站出发时，有一名乘客要求以票价的一半价格上车，售票员考虑之后还是让他上车了。

咋一看，我们会觉得长途车车主亏了，但实际上我们应该考虑的是边际成本和边际收益这两个概念。

在这个例子中，增加这一名乘客，所需汽油费、工作人员工资、过路费和汽车的磨损等几乎都不会增加，即长途车所增加的成本几乎为0，即边际成本约等于0元。

但是增加这一名乘客，长途车车主的收入增加了乘客所付的钱（票价的一半），即边际收益为票价的一半。

这样分析的话长途车车主还是得利了。

又比如在食品保鲜技术还不是非常发达的上世纪，乳品商面对当日无法全部售完的新鲜牛奶，是选择极低价促销还是全部掉入阴沟？众多的商家选择了后者。

这与以上所提到的坐车案例处理方法截然不同。

难道那时的商人不懂得边际分析？可想而知不是。

在商人的算盘中，并不仅是计算着今天的收益，他们所要考虑的是最为重要的：今天的极低价促销对于日后的牛奶价格会产生什么影响！因为今日的低价促销所获得的较少收益足不以弥补日后由于牛奶单价的降低所带来的亏损（原本购买正价牛奶的消费者亦选择在低价促销时购买）。

可见，关于边际分析法应用讨论还需继续。

弹性使用的范围也非常广，商品可分为弹性商品和非弹性商品，弹性商品是指商品的价格变动会带动需求量跟着会发生很大的变化，比如奢侈品就是弹性商品。

dQ
(p)
ER R '(Q) Q p(1 1 ) Q 1 1
EQ
R(Q)
(p) pQ
(p)
(x)从x0到x0

x两点间的平均相对变化率
或弹性.
lim
x0
y x
/ /
y x
0 0
称为f
(x)在x0处的相对变化率或弹性。
2.弹性定义：设y=f(x)可导，则
Ey Ex

y'
x y
f '(x)
x f (x)
称为y=f(x)的在x处 的弹性或相对变化率。
Ey x f '(x)表示x在x处改变1％时，函数f (x) Ex f (x) 改变了 | Ey | %

e
p 5
，求：
⑴需求弹性
⑵p=3、5、6时的需求弹性
⑶当价格在p=3处上涨2％时需求将变化百分之几？
(4) 当价格在p=3处下降3％时需求将变化百分之几？
4.收益弹性 Ey f '(x) x
R '(p)
Ex
Q
p
dQ
f

(x)
Q(1

(p))
dp
ER R '(p) p Q(1 (P)) p 1 (p)
Ep
R(p)
pQ
(1) 当 ER 0 在价格 p 处, 价格每上涨 1%,
Ep
收益增加 (1 - (P)) %
(2) 当 ER 0 在价格 p 处, 价格每上涨 1%,
Ep
收益减少 | (1 - (P)) | %
(3) 当(p) 1,即 ER 0 总收益最大

(边际收益＝边际成本）
L' ' (Q) 0,即R' ' (Q) C' ' (Q) 充分条件：
(边际收益的变化率<边际成本的变化率）
最大利润原则：R' (Q) C ' (Q) , R' ' (Q) C ' ' (Q)
（二）弹性分析
Ey x x 1.弹性定义：设y=f(x)可导，则 y' f ' ( x) Ex y f ( x) 称为y=f(x)的弹性。
例1：某企业生产一种产品，利润L(x)= 250x 5x 2 ，x 为产量，在x=10、25、30时分别求再多生产一吨产品所 带来的利润。
解： L' ( x) 250 10x
L' (10) 150, L' (25) 0, L' (30) 50
2.最大利润原则：设L(Q)=R(Q)-C(Q) L(Q)取最大值必要条件：L' (Q) 0,即R' (Q) C ' (Q)
4.收益弹性
ER p p p R' ( p ) (pQ)' 1 Q' 1 (p ) Ep R (p ) pQ Q
R' (p ) Q pQ' Q(1 (p ))
பைடு நூலகம்
(1) 当(p) 1 在价格 p 处, 价格每上涨 1%, 收益增加 (1 - (P)) % ( 2) 当(p) 1 在价格 p 处, 价格每上涨 1%,
y
2.需求弹性：设需求函数Q=f(p)在 p处可导， 则在p处需求弹性为
EQ p ( p ) Q Ep Q

P 1 1 1 1600 1600 ln 4 Q( P ) 4 4 P ( P ) P P P P Q( P ) 1 1600 1600 1 4 4
P

1 P ln ( 2 ln 2) P 1.39 P . 4
例1 设函数 y x 2，试求 y 在 x 5 时的边际函数值． 解 因为 y 2 x ，所以 y x5 10．
该值表明：当 x 5 时，x 改变 1 个单位（增加 或减少 1 个单位） ，y 改变 10 个单位（增加或 减少 10 个单位） ．
边际收入与边际利润 在估计产品销售量 x 时, 给产品所定的价格 P ( x ) 称为价格函数, 可以期望 P ( x ) 应是 x的递减函数. 于是 收入函数 R( x ) xP ( x )
。 C C(Q) 1000 7Q 50 Q , Q 0,1000
求：(1)当日产量为 1000 吨时的边际成本； (2)当日产量为 1000 吨时的平均单位成 本。
5．某产品的价格 P 与需求量 Q 的关系为
Q P 10 5 ，求需求量为
30 时的总收益 R，平均收益
(a ) P Q 2 2Q （ 1 供给函数 ) (b)Q 36 2 P (需 求 函 数 )
3．就下列各平均函数求其边际函数。
46 18 (a) AC 1.5Q 4 (b) AC 0.1 0.5Q 0 Q Q
4．某化工产日生产能力最高为 1000 吨，每 日产品的总成本Ｃ(单元:元)是日产量 Q(单 元:吨)的函数：
需求弹性为负, 说明商品价格 P 上涨1%时, 商品需求
量 Q 将减少1.39%. (2) 当商品价格 P 10 (元)时,

经济数学中的函数都有哪些分类一、在经济学中的几个常用函数（一）需求函数与供给函数需求函数是指消费者在一定的价格水平上对某种商品有支付能力的需要：人们对某一商品的需求受许多因素的影响，如价格、收入、替代品、偏好等.一般研究中，需求量Qd是价格p的函数，此函数称为需求函数，记为Qd=f（p）.供给函数是生产者或销售者在一定价格水平上提供市场的商品量.一般而言，供给量Qs是价格p的函数，记为Qs=g（p）.（二）总成本函数成本是指生产制造产品所投入的原材料、人的劳动力与技术等生产资料的货币表现.它是产量的函数，记为C（x），其中x为产量.总成本函数由固定成本和可变成本两部分组成.固定成本与产品的产量（或销售量）x无关.可变函数是x的函数，因此总成本是x的函数，记为C（x）=C0+V（x）其中C0是固定成本，x是产量（或销售量），V（x）是可变成本.（三）总收益函数和总利润函数总收益函数是指一定量的产品出售后所得到的全部收入，若产品的销售单价为p，销售量为x，则总收益函数为R（x）=P（x）.平均收益函数为R（x）=R（x）x=xP（x）x=P（x）.若产品的销售量即是生产量，则生产x单位产品的总利润函数等于总收益函数与成本函数之差，即L（x）=R（x）-C（x）.（四）边际函数与弹性函数设函数y=f（x）可导，则导函数f′（x）在经济学中又称为边际函数.设函数y=f（x）在点x0处可导，函数的相对改变量Δyy0=f（x0+Δx）-f （x0）f（x0）与自变量的相对该变量Δxx0之比，当Δx→0limΔx→0Δy/y0Δx/x0存在，则称此极限为f（x）在x=x0处弹性，记为EyEx|x=x0.若f（x）在任意x处可导，则称EyEx=xy·f′（x）为f（x）在x处的弹性函数.二、极限在经济方面的应用极限概念是微积分中最基本的概念.微积分中很多概念都是用极限概念来表达的.如导数和定积分在定义时都是建立在极限概念的基础之上.而在经济学中同样有很多概念也是通过极限概念来定义的.所以掌握极限的概念及其思想方法对于掌握经济学中重要概念有很大的帮助.下面就通过一个例子——复利与连续复利问题，来说明极限在经济学中应用.例1有本金10000元，存款一年，年利率为12%，求到期本利之和为：（1）如果一年计息1期；（2）按连续复利计息.三、经济中的最值问题在生产销售中，到处可见“最大、最小”这类问题.生产者追求最低成本，销售者要得到最大利润等等.这些实际问题的解决办法就要借助高等数学中的求解最大值与最小值的方法.例2某专门卖宠物用品连锁店的市场推销部门研究他们销售的金鱼缸泵价格需求曲线近似为p=120-20lnx（0<x<=""p=""style="user-select:initial!important;"></x 其中x为每周销售这种泵的数量，p是每个泵的价格（以元为单位）.若每个泵的成本为30元，试求每周取得利润的最大值以及相应的每周泵的销售量.解由已知可求得收益函数R（x）为R（x）=px=（120-20lnx）x=120x-20xlnx.其成本函数为C（x）=30x，因此利润函数为L（x）=R（x）-C（x）=120x-20xlnx-30x=90x-20xlnx，则L′（x）=90-20lnx-20=70-20lnx.令L′（x）=0，求得L（x）的驻点为x=e72≈32.又因为L″（x）=-20x<0，所以L（x）在x=32处取得极大值.而在0<x<=""p=""style="user-select:initial!important;"></xL（32）=90×32-20×32ln32=640（元）.此时相应每个泵的价格为p=120-20ln32≈50（元）.四、定积分在经济学中的应用学了一元函数积分学后就知道在经济学中的成本函数，总收入函数，利润函数分别是边际成本函数，边际收入函数，边际利润函数的原函数.那么再根据定积分定义及其计算方法，便可求得相应的函数.例3已知某商品的边际收益为R′（x）=200-12x（元/单位），其中x表示该商品的产量.求该商品的总收益函数，并求当商品的产量达到100单位时总收益.解函数为R（x）=∫x0（200-12t）dt=[200t-t24]x0=200x-x24，则平均收益函数为R（x）=R（x）x=200-x4.当生产100单位时，总收益为R（100）=200×100-10024=17500（元），平均收益为R（100）=200-1004=175（元）.。

L '(Q ) lim L(Q Q ) L(Q ) Q 0 Q
称为边际利润函数. 当销售量为Q, 总利润为L=L(Q)时, 称 L(Q ) 为销售量 为Q 时的边际利润, 它近似等于销售量为Q 时再多销售一
个单位产品所增加或减少的利润.
例3 某糕点加工厂生产A 类糕点的总成本函数和总收入
p 1 3 Q( p) a( ) (a是常数), 求：(1)需求弹性函数(通常记作 p); 2
(2)当单价分别是4元、4.35元、5元时的需求点弹性. 解
p 1 1 3 1 (1) Q ( p ) a ( ) ln( ) 3 2 2
Q( p) 由p p Q( p )
(2) p 0.92,
(2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量
C C (90) C (75) 101.25(元 / 件) x 90 75
(3) 当日产量为75件时的边际成本 1 C ( x ) x 60 2
C(75) C( x)
x 75
97.5(元)
2. 边际收益
利用需求价格弹性来分析价格变动对总收益的影响. 在商品经济中,商品经营者关心的的是提价(Δp > 0)或降
价(Δp < 0)对总收益的影响.下面利用需求弹性的概念,可以
得出价格变动如何影响总收益的结论. 总收益 R 表示为价格 P 的函数需求函数
R(P ) P Q P Q ( P)
总收益 R 对 P 的导数是总收益关于价格的边际收益
际函数值。 已知 意义). 故有
y f ( x0 )x
在经济学中, 通常取Δx =1, 就认为Δx达到很小(再小无
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )

边际函数与弹性函数及其商业应用边际函数与弹性函数及其商业应用文/何国柱王刚在经济活动中,常常遇到边际分析和弹性分析问题.边际分析与弹性分析是微分学在经济分析中应用的一种有效的方法,这种方法广泛应用于经济分析与经济管理当中.通过对经济问题的边际情况的认识和研究,便可寻求对经济活动的科学指导.一.边际成本边际收入与利润决策在经济学中通常定义边际值为经济函数Y=f(x)中的因变量Y随着某一变量增加或减少一个单位而获得的改变量.即=f(xo+1)一,),或Ay=f(X.一1)一f(Xo),由于==厂()不妨我们取Ax=l,于是得厂(=厂即,),在经济学中我们称f(xdjY=f(x)的边际函数,记为.例如,总成本c=C(q)对产量q的变化率称为边际成本,记为MC,~OMC=(q);同样我们称总收入R是销量g的变化率为边际收入,记为MR,即=(q).设销售价为q,则月(q)=qP,于是有下述结论:(1)如果销售价格与销售量无关,即q是常数,则MR==P,即边际收入等于价格.(2)一般售价P是q的单调减函数,则P(q)&lt;0,而MR=[qP(q)】=P(q)+qP(q),从而有MR—p)=qP(g)&lt;0,即边际收入MR总小于价格P(q).设总收入为R=qP,总成本为C=Cl+q,则总利润L=R-C=qP一(+q),设L(qo)=0,解得qo=(1)赢(1'为盈利的起点,当q&lt;qo时亏损(图1),称为盈利临界点或损益分歧点.盈亏临界点也可用销量收入表示, 用P乘(1)式两边得p吼:—lLl一Lp即销售额要达到一之时才不致亏本.若要达到预定的计划利润任务fn,则产(销)量的目标可由下式确定:lo=R()一c)=p一(+吼)得q=专_二,用P乘上式得互,即销售额要达到上面p之时,才能达到预定的计划利润.下面我们讨论产(销)量q为多少时所获利润达到最大值.因总利润函数z=z(=(g)一c(g所以z=(q)一(q)=一由极值存在的必要条件知,欲使总利润最大,必须使边际收入等于边际成本,这是经济学中关于厂商行为的一个重要命题,根据极值存在的第二充分条件,还要求q=qo时二阶导数L(qo)=R吼)一C(吼)&lt;0集团经济研究2007?11月下旬刊(总第249期)这就是说,在获得最大利润的产(销)量处,必须要求边际收入等于边际成本,但此时若又有(%)&lt;(吼),则在吼处一定能获得最大利润,由极值存在的第一充分条件, 这又相当于有IMR=MC,q=q0{MR&gt;MC,q&lt;q0IMR&lt;MC,q&gt;q0上面的关系式说明:当q=qo时利润取得最大值,此时边际收入等于边际成本;当q&lt;q.时,边际收入大于边际成本,此时增加产(销)量可以增加利润;当q&gt;qo时,边际收入小于边际成本,此时增加产(销)量就会减少利润.在上述讨论中,我们是假定先由厂商规定产(销)量,再根据需求关系决定价格,但在某些市场条件下,也可由厂商先定价格,然后由需求关系去决定生产量,此时可将产量q看作是价格P的函数,q(p1则在价格为P时的总利润为L=R—C=P'(p)一Cl(p)l为使利润最大,须满足:1)～,即妒(p)+p(p)一(p):02).,即2(p)+p(p)一d2Cr,.)].一矿(p).扫一"'"f满足上述两个条件的价格就能使总利润达到最大值,此时的最优产量由q=~O(po)确定.由1)容易得到:,而dR=[p妒(p)],=妒(p)+(pa嘶plplp所以dCdRdR(p)由(p)(p)由这说明,能使总利润达到最大值的价格也必能使边际收入等于边际成本,由此可见,无论是以q还是以P作为自变量,上述两种分析得到的是同样的最优产(销)量和最优价格.二弹性1.函数的弹性设经济函数为y=,(),=称为函数=,()在X处的弹性,的表达式又可改写为:五:堕里墼平均函数'即弹性又可理解为边际函数与平均函数之比.在经济学中弹性表示某种变量对另一变量变化的相对反应程度(灵敏度).例如,需求函数对价格的弹性表示商品的需求量对价格变化的相对反应程度,即价格为P时, 价格每变动1%时需求量变化的百分数.2.不变弹性曲线经济学中一种特殊情形是,不论某种商品的价格如何变化,其总收入总保持不变,即R=C(常数),而R=Pq,故需求函数q=兰,该函数图形为等轴双曲线,此时需求弹性为:=,=,[一c),c,1它的经济意义是,当价格十1%时,需求量匕升1%,从而总收^保持不变,因此称需求曲线g=为不变弹f生曲线.3.需求价格弹性和总收入函数的关系由于需求函数—般为价格的递减函数,它的边际值小于零,因此它对价格的『生为负值.经济学中常规定需求firMS 性为一?P,这实际上是我们前面定义的『生的绝对值为制定决策,通常将需求弹性分为三类:(1)当1时,称该商品的需求量对价格富有弹性,即价格变化将引起需求量较大变化,此时若采取提价措施的话,因需求下降的百分比大于价格增长的百分比,结果将使总收入降低;反之,若降低价格将会使总收入增加. (2)当=1时,称该商品具有单位弹性,此时不论价格上升或下降,总收入都保持不变,这就是前面讨论过的不变曲线问题.(3)当&lt;1时,称该商品的需求量对价格缺乏弹性,即价格变化只引起需求量的微小变化,此时提价会使总收入增加,降价使总收入减少.下面我们换一个角度,从总收入对价格的变化率来对上述问题进行分析.给出总收^.函数R(P)=qP,设当P=Po时,取得塌-大值,即有fR(,))0,PPo,{R)=o,p=p}R(,)0P&gt;Po又因为p)==g+dq=g(1+p1=g(11),故有f(P)0,~lr/I&lt;1时,.'爿,【)&lt;0,当&gt;1时a这说明,当c耐,提高价格即使销量有所减少,但总收入对价格的变化率R(p)仍为正,从而总收入仍将增加,即需求对价格缺乏弹性;当l叩l&gt;1时,(P)为负,提价将会使总收入减少,因为需求量将会大大减少,此时需求对价格富有弹性;当lr/l=1时,价格与需求达到平衡,此时总收入取得最大值(图2).…一OP.图2三.在商业中的应用1.以旧换新的最优时间.拥有汽车者经常面临的问题是:什么时候是更换新汽车的最优时间?它与两个较重要的因素有关:一是估计维持旧汽车的修理成本,二是汽车的更换成本,我们希望把这些成本表示为时间t的函数,然后决定t的值使总成本最小.设汽车在七月后被更换,每次修理的平均成本是500元,修理次数k满:7Ztj,若更换成本是28000元,则每月的更换成本是00元每月修理成本是500.生元,因此总成本(不计本金)为:c1:5ook_+—280—00:50r÷+—280—00c1:一50一T28000令c(f)=0,得t=107.85).因C'(107.85)&lt;0,故t=10785月时每月修理和更换的总成本为最小,总成本的鼋渔为.oo)=元.此模型中所得之tg1]为最优更换时间.2.利润关于时间的最大化在某些具有特别性质的商业开发中,如钻探石油,开采矿物和其它有耗竭的开发中,收入率尺,ff)作为时间的函数是一个递减函数是因为有消耗发生),而成本率C,(f)是一个递增函数(由于通货膨胀和其它原因),这两个数学模型由通常经济学中单位成本乘单位数和单位价格乘单位数的定义诱导出来,管理部门面临的问题是要确定开发中止的最优时间t,使利润L(r)最大.由第一部分的讨论易知开发中止的最优时间t应满足c,(r'):(r)而Lr(f)=R(f)一C,(f),所以最大利润为:￡(r')=『[R,(f)一c(r)几何匕最啊闰(r)是从f:0到t:t围在曲线c(f铂Rr(f)之间的面积咽.图中的收^率勉唰炙^)函数服在构造模型时所做的『匿殴,它是递减的,目.在开始时非常高;同时成本率G际威函数是递增的,且下凹表示成本率最终于平稳3.消费善睬余图3为P=D(q),鼋为市量,通常它导—减函数;P=S(q)为生产者愿匐潞,q为厂家对该商氏嬗,通常邑—增函数,对囱孺习之曲线垃曲线|腋E稍抨衡,坐标为,P),其中P为谚市场廊;愿付价格,生产者愿售的价沩q需求水平.生产眷,总收^是qp几何匕为图4中自勺j柳面槐在市场经济中,有时—些顾客愿意对商品付出比他们实际所付的市场价格P更高的价格,顾客由此得到的好处称为消费者剩余(cs),它由公式.CS=lD(q一p*q表示,其中j.0艉由—些出更§,它减去Pq就姥『馀CS,几何E为图5中阴影部分的面积.图4图5图6有时也会苻愿意幽物利的市『}各p低的价,生此E畦瞌沩生产宅除(),它由公式PS=P''一fs(g表示,其中』S(q)dq表示生产者感忖—鼬勺价恪而产生的收入,它被p'q'减去兢得生产者剩余,如图6中阴影玢韵面积《f乍者单窿=四JII农业大鹗集团经济研究2007?11月下旬刊(总第249期)。