第2章 各向异性材料弹性力学基础_2017_19990

第二章 各向异性材料弹性力学基础
The basic questions of lamina macromechanics are: (1) what are the characteristics of a lamina? and (2) how does a lamina respond to applied stresses as in Figure 2-1?
• 平衡方程 σ ij , j + fi = 0 i, j = 1,2,3
展开一个方程:
∂σ x ∂x
+
∂τ xy ∂y
+
∂τ xz ∂z
+
f
= 0x
• 运动方程:
σ ij , j +
fi = ρ
∂ 2u ∂t 2
惯性力
指标重复服从加法约定
平衡方程
⎧ ⎪ ⎪
∂σ x ∂x
+
∂τ xy ∂y
+
∂τ xz ∂z
线性弹性力学中的六个应变分量εij之 间必须满足的微分方程。 六个应变分 量εij是由三个位移分量导出的，它们 彼此之间存在一定的内在联系，这些 联系就是应变协调方程。
• （i, j 交换）共有六个方程，六个应变分量应该 满足的一个关系，即:
ε ε ε ε + = + ij,kl
kl,ij
ik, jl
几何关系方程
εx
=
∂u ∂x
,
εy
=
∂v ∂y
,
εz
=
∂w ∂z ,
γ yz
=
∂w ∂y
+
∂v ∂z
;
γ zx
=
∂u ∂z
+
∂w ∂x
;
γ xy
=
∂v ∂x
+
∂u ∂y
.
变形协调方程（1）
∂2ε x ∂y 2
+
∂2ε y ∂x 2
=
∂ 2γ xy ∂x∂y
∂2ε y ∂z 2
+
∂2ε z ∂y 2
=
几何关系（位移和应变关系），6 物理关系（应力和应变关系），6 平衡方程，3
15个方程求15个未知数——可解 难以实现 简化或数值解法
4 弹性本构关系
（1）弹性应力~应变关系：广义胡克定律
σ ij = Cijklε kl
i, j = 1,2 ,3
• Cijkl可改写为 Cmn 其中 m, n = 1...6
+
∂γ yz ∂x
−
∂γ zx ∂y
⎟⎟⎠⎞
=
2
∂2ε y ∂z∂x
∂ ∂z
⎜⎜⎝⎛
∂γ yz ∂x
+
∂γ zx ∂y
−
∂γ xy ∂z
⎟⎟⎠⎞
=
2
∂2ε z ∂x∂y
分别是正应变和3个切应变之间的协调关系。
物理方程
(本构关系) Hooke 定理：
⎧σ x ⎫
⎪⎪σ
y
⎪ ⎪
⎡C11 ⎢⎢C21
C12 C22
C35 C36
C45 C46
C55 C56
C56 C66
⎥ ⎥ ⎥⎦
⎪γ ⎪⎪⎩γ
31 12
⎪ ⎪⎪⎭
应变势能密度为：W = 1 [σ]Τ[ε]= 1 [ε]Τ[C][ε]
2
2
W
=
1 2
C11ε
2 1
+ C12ε1ε 2
+ C13ε1ε 3
+ C14ε1ε 4
+ C15ε1ε 5
+ C16ε1ε 6
2.2.1 有一个弹性对称面的材料
如取xoy坐标面与弹性对称面平行，取A与A’ 为相互对称点，则它们的弹性性能相同。即 将z轴转到z’轴时，应力应变关系不变。
2.2.1 有一个弹性对称面的材料
为保证W值不变,将含有 γ yz ,γ zx (ε4与ε5)一次项的Cij
置为零，只剩下13个独立变量。
⎡C11 C12 C13 0 ⎢⎢C12 C22 C23 0
主要内容
1. 各向异性材料弹性力学基本方程 2. 各向异性材料应力应变关系 3. 正交各向异性材料的工程弹性常数 4. 弹性常数的限制
§2.1 各向异性弹性力学基本方程
⎧位移分量： u, v, w
• 基本未知量：⎪⎨应变分量： ε x ,ε y ,ε z ,γ yz ,γ zx ,γ xy
⎪⎩应力分量： σ x ,σ y ,σ z ,τ yz ,τ zx ,τ xy
εx → ε1 εy →ε2 应变 ε z → ε3 γ yz = 2ε yz → ε 4 γ zx = 2ε zx → ε5 γ xy = 2ε xy → ε 6
证明：Cij的对称性
在刚度矩阵Cij中有36个常数，但在材料中，实际常数 小于36个。首先证明Cij的对称性：
当应力σi作用产生dεi的增量时，单位体积的功（应变势 能密度）的增量为：dw= σi dεi
z
工程应力
应力张量：任意质点的应力有6个独立分量
[ ]σ = ⎢⎢⎡τσyxx
τ xy σy
τ τ
xz
⎤ ⎥
yz ⎥
⎢⎣τzx τzy σz ⎥⎦
工程应变
应变张量：任意质点的应变有6个独立分量
ε γ γ ⎡
⎤
⎢x
xy
xz⎥
γ ε γ [ε ]= ⎢
⎥
⎢ yx
y
yz⎥
γ γ ε ⎢
⎥
⎣ zx
zy
z⎦
1.平衡或运动方程
§2.2 各向异性弹性体的本构关系
2.2.1 具有一个弹性对称面的材料 2.2.2 正交各向异性材料 2.2.3 横观各向同性材料 2.2.4 各向同性材料
采用1, 2, 3轴代替x, y, z轴，简写符号表 示关系如下：
应力
σx →σ1 σy →σ2 σz →σ3 τ yz → σ 4 τ zx → σ 5 τ xy → σ 6
c23 0
c33 0
0 c44
0 0
0⎥
0
⎥ ⎥
⎢0 ⎢ ⎢⎣ 0
0 0
0 0
0 0
c55 0
0⎥ c66⎥⎥⎦
2.2.2 正交各向异性材料
⎡S11 S12 S13 0 0 0 ⎤
⎢⎢S12 S22 S23 0
0
0
⎥ ⎥
[ ]S
=
⎢ ⎢
S13
⎢0
S23 0
S33 0
0 S44
0 0
0⎥
0
⎥ ⎥
⎢0 ⎢ ⎢⎣ 0
⎢⎢⎢⎣CC5611
C52 C62
C53 C63
C54 C64
C55 C65
C56 C66
⎥ ⎥ ⎥⎦
⎪γ ⎪⎪⎩γ
zx xy
⎪ ⎪ ⎪⎭
记作{σ}=[C]{ε}， [C]—刚度矩阵，具有36个刚性系数。 但可以证明， [C]是对称矩阵，因此它只有21个独立变量。
小结
弹性力学问题的一般解法 六个应力分量 σ x ,σ y ,σ z ,τ yz ,τ zx ,τ xy 六个应变分量 ε x , ε y , ε z , γ yz , γ zx , γ xy 三个位移分量 u, v, w
• 基本方程： 1 平衡方程 2 几何关系方程 3 变形协调方程 4 物理方程
三维应力状态
y σy
τyx
τyz τzy
τxy
τzx τxz σz
• 物体中任意一点的应力状 态具有9个分量，其中，
τ xy = τ yx ,τ xz = τ zx ,τ yz = τ zy
σx • 因此应力分量共6个，
x σ x ,σ y ,σ z ,τ yz ,τ zx ,τ xy
∂ 2γ yz ∂y∂z
∂2ε z ∂x 2
+
∂2ε x ∂z 2
=
∂ 2γ xz ∂z∂x
分别是xy，yz，zx平面内的3个应变量间的协调关 系；
变形协调方程（2）
∂ ∂x
⎜⎜⎝⎛
∂γ xz ∂y
+
∂γ xy ∂z
−
∂γ yz ∂x
⎟⎟⎠⎞
=
2
∂2ε x ∂y∂z
∂ ∂y
⎜⎜⎝⎛
∂γ xy ∂z
jl,ik
• 以下只写出两个有代表性的式子：
∂ 2 ε 11 ∂x2∂x3
=
∂ ∂x1
(−
∂ ε 23 ∂x1
+
∂ ε 31 ∂x2
+
∂ ε 12 ∂x3
)
2
∂ 2 ε 12 ∂x1∂x 2
=
∂ 2 ε 11
∂

2 1
+
∂ 2 ε 22
∂
x
2 2
共有81个方程，但只有6个是不同的，其余的不是恒等式就是由于εij的对 称性而都是重复的。
+
1 2
C22ε
2 2
+
C23ε 2ε 3
+
C24ε 2ε
4
+
C25ε
2ε 5
+
C26ε 2ε 6
+
1 2
C33ε
2 3
+
C34ε 3ε 4
+
C35ε 3ε 5
+
C36ε 3ε 6
+
1 2
C44ε
2 4
+
C45ε 4ε 5
+
C46ε
4ε 6